Fonksiyonun optimal değeri değerdir. Karar verme kriterleri - dosya ТПР.doc. Optimal üretim programının ikili probleminin çözümü

Amaç fonksiyonu, optimalliğe ulaşmanın doğrudan bağlı olduğu bazı değişkenleri olan bir fonksiyondur. Belirli bir nesneyi karakterize eden birkaç değişken olarak da hareket edebilir. Aslında bu, belirlenen görevi yerine getirmede nasıl ilerleme kaydettiğimizi gösteriyor diyebiliriz.

Bu tür işlevlerin bir örneği, bir yapının mukavemetinin ve kütlesinin hesaplanması, kurulumun gücü, üretim hacmi, nakliye maliyeti ve diğerleri olabilir.

Amaç işlevi, birkaç soruyu yanıtlamanıza olanak tanır:

Şu veya bu olay faydalı mı, değil mi;

Hareket doğru yönde mi;

Seçimin ne kadar doğru yapıldığı vb.

Bir fonksiyonun parametrelerini etkileme yeteneğimiz yoksa, analiz etmekten başka bir şey yapamayacağımızı söyleyebiliriz ve bu kadar. Ancak bir şeyi değiştirebilmek için genellikle değişken parametreler fonksiyonlar. Ana görev, değerleri fonksiyonun optimal hale geldiği değerlerle değiştirmektir.

Amaç fonksiyonları her zaman bir formül şeklinde sunulamaz. Örneğin bir masa olabilir. Ayrıca, koşul birkaç amaç fonksiyonu şeklinde olabilir. Örneğin, maksimum güvenilirlik sağlamak istiyorsanız, asgari maliyetler ve minimum malzeme tüketimi.

Optimizasyon görevleri en önemli başlangıç ​​koşuluna sahip olmalıdır - bir amaç fonksiyonu. Bunu yaparsak, optimizasyon olmadığını varsayabiliriz. Başka bir deyişle, eğer bir hedef yoksa, bunu başarmanın hiçbir yolu ve hatta daha uygun koşullar yoktur.

Optimizasyon görevleri koşullu ve koşulsuzdur. İlk tip kısıtlamaları içerir, yani belirli koşullar sorunu ayarlarken. İkinci tür, maksimumu veya mevcut parametrelerle bulmaktır. Çoğu zaman, bu tür görevler minimumu bulmayı içerir.

Klasik optimizasyon anlayışında, amaç fonksiyonunun istenen sonuçları sağladığı bu tür parametre değerleri seçilir. Mümkün olan en iyi seçeneği seçme süreci olarak da adlandırılabilir. Örneğin, seçin daha iyi dağıtım kaynaklar, tasarım seçeneği vb.

Eksik optimizasyon diye bir şey var. Birkaç nedenden dolayı oluşabilir. Örneğin:

Maksimum noktaya ulaşan sistemlerin sayısı sınırlıdır (bir tekel veya oligopol zaten kurulmuştur);

Tekel yoktur, ancak kaynak yoktur (herhangi bir rekabette yeterlilik eksikliği);

Onun çok ya da daha doğrusu "cehaletinin" yokluğu (bir adam belirli bir rüyayı güzel kadın, ancak bunun doğada var olup olmadığı bilinmemektedir), vb.

Pazar ilişkileri koşullarında, satış yönetimi ve üretim faaliyetleri Firmalar ve işletmeler için, karar vermenin temeli pazar hakkında bilgidir ve bu kararın geçerliliği, ilgili ürün veya hizmetle pazara girerken zaten kontrol edilir. Bu durumda, başlangıç ​​noktası tüketici talebinin incelenmesidir. Çözüm bulmak için bir hedef tüketim fonksiyonu kurulur. Tüketilen malların miktarını ve tüketici ihtiyaçlarının tatmin derecesini ve aralarındaki ilişkiyi gösterir.

Tasarım parametreleri. Bu terim bağımsız anlamına gelir değişken parametreler, çözülecek tasarım problemini tamamen ve açık bir şekilde belirleyen. Tasarım parametreleri, değerleri optimizasyon işlemi sırasında hesaplanan bilinmeyen miktarlardır. Sistemi nicel olarak tanımlayan herhangi bir temel veya türetilmiş miktar, tasarım parametreleri olarak hizmet edebilir. Yani bunlar bilinmeyen uzunluk, kütle, zaman, sıcaklık değerleri olabilir. Tasarım parametrelerinin sayısı, belirli bir tasarım görevinin karmaşıklık derecesini karakterize eder. Genellikle tasarım parametrelerinin sayısı n ile gösterilir ve tasarım parametrelerinin kendisi karşılık gelen indekslerle x ile gösterilir. Böylece, bu problemin n tasarım parametresi ile gösterilecektir.

X1, X2, X3, ... Xn.

Bazı kaynaklarda tasarım parametrelerinin dahili kontrollü parametreler olarak adlandırılabileceğine dikkat edilmelidir.

Amaç fonksiyonu. Mühendisin maksimize etmeye veya minimize etmeye çalıştığı bir ifadedir. Amaç işlevi, iki alternatif çözümler... İLE BİRLİKTE matematiksel nokta vizyon, amaç fonksiyonu bazı (n + 1) boyutlu yüzeyleri tanımlar. Değeri tasarım parametreleri tarafından belirlenir.

M = M (x1, x2, ..., xn).

Mühendislik uygulamalarında yaygın olan amaç fonksiyonlarına örnek olarak maliyet, ağırlık, güç, boyut ve verimlilik verilebilir. Yalnızca bir tasarım parametresi varsa, amaç fonksiyonu bir düzlem üzerinde bir eğri ile temsil edilebilir (Şekil 1). Eğer iki tasarım parametresi varsa, amaç fonksiyonu üç boyutlu uzayda bir yüzey ile gösterilecektir (Şekil 2). Üç veya daha fazla tasarım parametresi ile amaç fonksiyonu tarafından belirtilen yüzeyler hiperyüzeyler olarak adlandırılır ve görüntülenemez. geleneksel araçlar... En verimli algoritmanın seçimi bunlara bağlı olduğundan, amaç fonksiyonunun yüzeyinin topolojik özellikleri optimizasyon sürecinde önemli bir rol oynar.

Şekil 1. Tek boyutlu amaç fonksiyonu.

Şekil 2. İki boyutlu amaç fonksiyonu.

Bazı durumlarda, amaç fonksiyonu en beklenmedik biçimleri alabilir. Örneğin kapalı bir matematiksel formda ifade etmek her zaman mümkün değildir, diğer durumlarda parçalı lineer bir fonksiyon olabilir. Amaç fonksiyonunu belirlemek için bazen bir teknik veri tablosu (örneğin bir su buharı durumu tablosu) veya bir deney gerekebilir. Bazı durumlarda tasarım parametreleri yalnızca tamsayı değerleri alır. Bir dişli takımındaki diş sayısı veya bir flanştaki cıvata sayısı buna bir örnek olabilir. Bazen tasarım parametrelerinin sadece iki anlamı vardır - evet veya hayır. Ürünü satın alan müşterinin deneyimlediği müşteri memnuniyeti, güvenilirlik, estetik gibi niteliksel parametreleri, niceliksel olarak karakterize etmek neredeyse imkansız olduğu için optimizasyon sürecinde dikkate alınması zordur. Ancak, amaç fonksiyonu hangi biçimde sunulursa sunulsun, tasarım parametrelerinin açık bir fonksiyonu olmalıdır.

Bir dizi optimizasyon problemi, birden fazla amaç fonksiyonunun tanıtılmasını gerektirir. Bazen biri diğeriyle uyumsuz olabilir. Bir örnek, aynı zamanda maksimum güç, minimum ağırlık ve minimum maliyet sağlamanın gerekli olduğu uçakların tasarımıdır. Bu gibi durumlarda, tasarımcı bir öncelik sistemi getirmeli ve her bir amaç fonksiyonuna belirli bir boyutsuz faktör atamalıdır. Sonuç olarak, optimizasyon sürecinde bir birleşik amaç fonksiyonunun kullanılmasına izin veren bir "uzlaşma fonksiyonu" ortaya çıkar.

Minimum ve maksimumu bulma. Bazı optimizasyon algoritmaları maksimumu bulmak için uyarlanmıştır, diğerleri minimumu bulmak için. Ancak, çözülen ekstremum probleminin türü ne olursa olsun, aynı algoritma kullanılabilir, çünkü minimizasyon problemi, amaç fonksiyonunun işaretinin tersi değiştirilerek kolaylıkla maksimum arama problemine dönüştürülebilir. Bu teknik Şekil 3'te gösterilmektedir.

Şekil 3. Minimum için problemde amaç fonksiyonunun işaretinin tersi değiştiğinde, maksimum için probleme dönüşür.

Tasarım alanı. Bu, tüm n, tasarım parametreleri tarafından tanımlanan alanın adıdır. Tasarım alanı, göründüğü kadar büyük değildir, çünkü genellikle problemin fiziksel doğasıyla ilgili bir takım koşullarla sınırlıdır. Kısıtlamalar o kadar güçlü olabilir ki, sorunun tek bir tatmin edici çözümü olmayacaktır. Kısıtlar iki gruba ayrılır: kısıtlamalar - eşitlik ve kısıtlamalar - eşitsizlik.

Eşitlik kısıtlamaları, bir çözüm bulunurken dikkate alınması gereken tasarım parametreleri arasındaki ilişkidir. Doğanın, ekonominin, hukukun, hakim zevklerin ve varlığın yasalarını yansıtırlar. gerekli malzemeler... Eşitlik kısıtlamalarının sayısı herhangi biri olabilir. benziyorlar

C1 (X1, X2, X3,..., Xn) = 0,

C2 (X1, X2, X3,..., Xn) = 0,

..……………………………..

Cj (X1, X2, X 3,..., Xn) = 0.

Eşitsizlik kısıtlamaları, eşitsizlik kısıtlamasının özel bir türüdür. V Genel dava herhangi bir sayıda olabilir ve hepsinin formu vardır

z1?r1 (X1, X2, X3,..., Xn)? Z1

z2?r2 (X1, X2, X3,..., Xn)? Z2

………………………………………

zk?rk (X1, X2, X3,..., Xn)?Zk

Unutulmamalıdır ki, kısıtlamalar nedeniyle çok sık optimal değer yüzeyinin sıfır eğime sahip olduğu yerde amaç fonksiyonuna ulaşılmaz. Sıklıkla en iyi çözüm tasarım alanının sınırlarından birine karşılık gelir.

Doğrudan ve işlevsel sınırlamalar. Doğrudan kısıtlamalar

xнi? xi? benim için xbi? ,

nerede xнi, xvi - i-th kontrollü parametrenin izin verilen minimum ve maksimum değerleri; n, kontrol edilen parametrelerin uzayının boyutudur. Örneğin, birçok nesne için öğelerin parametreleri negatif olamaz: xнi? 0 (geometrik boyutlar, elektrik dirençleri, kitleler vb.)

Fonksiyonel sınırlamalar, kural olarak, amaç fonksiyonuna dahil olmayan çıktı parametrelerinin çalışabilirliği için koşulları temsil eder. Fonksiyonel sınırlamalar şunlar olabilir:

• 1) eşitliklerin türü
• w(X) = 0; (2.1)
• 2) eşitsizliklerin türü

q (X)> 0, (2.2)

burada w (X) ve q (X) vektör fonksiyonlarıdır.

Doğrudan ve işlevsel kısıtlamalar, kabul edilebilir arama alanını oluşturur:

HD = (X | w (X) = 0, q (X) ›0, xi› xнi,

xi ‹xvi at i? ).

(2.1) ve (2.2) kısıtlamaları çalışabilirlik koşullarıyla örtüşüyorsa, kabul edilebilir bölge aynı zamanda XP çalışabilirlik bölgesi olarak da adlandırılır.

CD'ye ait X noktalarından herhangi biri, problem için uygun bir çözümdür. Parametrik sentez genellikle uygun çözümlerden herhangi birinin belirlenmesi sorunu olarak ortaya çıkar. Ancak, optimizasyon problemini çözmek - kabul edilebilir olanlar arasından en uygun çözümü bulmak çok daha önemlidir.

Yerel optimum. Bu, amaç fonksiyonunun izdüşüm uzayında bulunduğu noktanın adıdır. en yüksek değer yakın çevresindeki diğer tüm noktalardaki değerlerine kıyasla. Şekil 4, iki yerel optima ile tek boyutlu bir amaç fonksiyonunu göstermektedir. Çoğu zaman tasarım alanı birçok yerel optimum içerir ve ilkini soruna en uygun çözüm olarak görmemeye özen gösterilmelidir.

Şekil 4. Rastgele bir amaç fonksiyonu birkaç yerel optimuma sahip olabilir.

Global Optimum, tüm tasarım alanı için en uygun çözümdür. Yerel optimuma karşılık gelen diğer tüm çözümlerden daha iyidir ve yapıcının aradığı da budur. Tasarım alanının farklı bölümlerinde yer alan birkaç eşit küresel optimum durumu mümkündür. Bu, seçim yapmanızı sağlar en iyi seçenek amaç fonksiyonu için eşit optimal seçenekler. V bu durum tasarımcı sezgisel olarak veya elde edilen seçeneklerin karşılaştırmasına dayalı olarak bir seçenek seçebilir.

Kriter seçimi. Aşırı problemlerin formüle edilmesindeki temel problem, amaç fonksiyonunun formülasyonundadır. Amaç fonksiyonunun seçiminin karmaşıklığı, herhangi bir teknik nesnenin başlangıçta bir optimallik kriteri (çoklu kriter) vektör karakterine sahip olması gerçeğinde yatmaktadır. Ayrıca, tüm çıktı parametreleri aynı kontrollü parametrelerin işlevleri olduğundan ve birbirinden bağımsız olarak değişemeyeceğinden, çıkış parametrelerinden birinde bir iyileştirme, kural olarak diğerinde bozulmaya yol açar. Bu çıktılara çakışan parametreler denir.

Tek bir amaç fonksiyonu olmalıdır (belirsizlik ilkesi). Çok kriterli bir problemin tek kriterli bir probleme indirgenmesine vektör kriterinin evrişimi denir. Ekstremumunu bulma sorunu, soruna indirgenmiştir. matematiksel programlama... Çıktı parametrelerinin nasıl seçildiğine ve birleştirildiğine bağlı olarak, skaler kalite fonksiyonunda özel, toplamsal, çarpımsal, minimaks, istatistiksel kriterler ve diğer kriterler ayırt edilir. Teknik bir nesnenin tasarımı için referans şartlarında, ana çıktı parametrelerinin gereksinimleri belirtilmiştir. Bu gereksinimler, belirli sayısal veriler, bunların varyasyon aralığı, çalışma koşulları ve izin verilen minimum veya maksimum değerler şeklinde ifade edilir. Çıktı parametreleri ile teknik gereksinimler (TT) arasındaki gerekli oranlara servis edilebilirlik koşulları denir ve şu şekilde yazılır:

yi< TTi , i О ; yi >TTj, jO;

yıl = TTr ±? yıl; o.

burada yi, yj, yr bir dizi çıktı parametresidir;

TTi, TTj, TTr - referans şartları için ilgili çıktı parametrelerinin gerekli nicel değerleri;

Yr, referans şartlarında belirtilen TTr değerinden r-th çıkış parametresinin izin verilen sapmasıdır.

Tasarım görevi bir tasarım çözümü seçmek olduğundan, teknik cihazların geliştirilmesinde servis verilebilirlik koşulları belirleyici bir öneme sahiptir. en iyi yol tüm çalışma koşulları, tüm varyasyon aralığında karşılanır harici parametreler ve teknik görevin tüm gereklilikleri yerine getirildiğinde.

Tasarlanan nesnenin verimliliğini en tam olarak yansıtan çıktı parametreleri arasında bir ana parametre yi (X)'in ayırt edilebildiği durumlarda özel kriterler uygulanabilir. Bu parametre amaç fonksiyonu olarak alınır. Bu tür parametrelere örnekler: bir enerji nesnesi için - güç, teknolojik bir makine için - üretkenlik, araç- Taşıma kapasitesi. Birçok teknik nesne için bu parametre maliyettir. Nesnenin diğer tüm çıktı parametrelerinin çalışabilirliği için koşullar, işlevsel sınırlamalar olarak adlandırılır. Böyle bir ayara dayalı optimizasyon, kısmi kriter optimizasyonu olarak adlandırılır.

Bu yaklaşımın avantajı basitliğidir, önemli bir dezavantajı, büyük bir çalışabilirlik marjının yalnızca amaç fonksiyonu olarak alınan ana parametre ile elde edilebilmesi ve diğer çıktı parametrelerinin hiçbir rezervinin olmamasıdır.

Ağırlıklı katkı kriteri, çalışma koşulları iki grup çıktı parametresini ayırt etmemize izin verdiğinde kullanılır. İlk grup, optimizasyon sırasında değerleri arttırılması gereken çıkış parametrelerini içerir y + i (X) (performans, gürültü bağışıklığı, arızasız çalışma olasılığı, vb.), ikincisi - çıkış parametreleri , değerlerinin düşürülmesi gereken yi (X) ( yakıt tüketimi, süre geçiş süreci, aşma, ofset, vb.). Genellikle farklı fiziksel boyutlara sahip birkaç çıktı parametresini tek bir skaler amaç fonksiyonunda birleştirmek, bu parametrelerin ön normalizasyonunu gerektirir. Parametreleri standartlaştırma yöntemleri aşağıda tartışılacaktır. Şimdilik, tüm y (X)'in boyutsuz olduğunu ve aralarında eşitlik türünün çalışma kapasitesi koşullarına karşılık gelen hiç birinin olmadığını varsayacağız. Daha sonra amaç fonksiyonunun minimize edilmesi durumunda vektör kriterinin konvolüsyonu şu şekilde olacaktır.

burada aj> 0, j-th çıktı parametresinin önem derecesini belirleyen bir ağırlık faktörüdür (genellikle aj tasarımcı tarafından seçilir ve optimizasyon işlemi sırasında sabit kalır).

Toplamsal kriteri ifade eden (2.1) formundaki amaç fonksiyonu, performansın tamamının veya temel koşullarının eşitlik formuna sahip olması durumunda da yazılabilir. Daha sonra amaç fonksiyonu

yj (X)'in verilen TTj spesifikasyonuna kök-ortalama-kare yaklaşımını tanımlar.

Eşitlik gibi işlerlik koşullarının olmadığı ve çıktı parametrelerinin sıfır değeri alamadığı durumlarda çarpma kriteri uygulanabilir. Daha sonra minimize edilecek çarpımsal amaç fonksiyonu şu şekildedir:

En iyilerinden biri önemli dezavantajlar hem katkı hem de çarpım kriteri, sorunun formülasyonunda çıktı parametreleri için teknik gereksinimlerin dikkate alınmamasıdır.

Fonksiyon şekli kriteri, problem, verilen (referans) karakteristik yТТ (X, u) ile tasarlanan nesnenin karşılık gelen çıkış karakteristiği y (X, u) ile en iyi eşleşmesine göre oluşturulduğunda kullanılır, burada u bir değişkendir, örneğin, frekans, zaman, seçilen faz değişkeni. Bu görevler şunları içerir: kontrollü bir parametre için gerekli geçici süreç tipini sağlayan bir otomatik kontrol sisteminin tasarımı; teorik olarak maksimum tesadüf veren transistör modelinin parametrelerinin belirlenmesi akım-gerilim özellikleri deneysel ile; değerleri verilen stres diyagramının hesaplananla en iyi eşleşmesine yol açan kiriş bölümlerinin parametrelerini arayın, vb.

Bu durumlarda belirli bir optimizasyon kriterinin kullanımı, sürekli karakteristiklerin sonlu bir düğüm noktası kümesiyle değiştirilmesine ve minimize edilecek aşağıdaki amaç işlevlerinden birinin seçilmesine indirgenir:

p, u değişkeninin ekseni üzerindeki uj düğüm noktalarının sayısıdır; aj - değerleri daha büyük olan ağırlık katsayıları, j noktasında y (X, uj) - yTT (X, ujj) sapması o kadar küçük olmalıdır.

Maximin (minimax) kriterleri, optimal tasarımın hedeflerinden birine - çalışma koşullarından en iyi şekilde memnuniyet - ulaşılmasına izin verir.

j'inci çalışabilirlik koşulunun yerine getirilme derecesinin nicel bir tahminini sunalım, bunu zj ile gösterelim ve yj parametresinin çalışabilirlik marjı olarak adlandıralım. j-th çıktı parametresi için stok hesaplaması çeşitli şekillerde gerçekleştirilebilir, örneğin,

burada aj bir ağırlıklandırma faktörüdür; yjnom - j-th çıkış parametresinin nominal değeri; dj, j -th çıktı parametresinin yayılmasını karakterize eden bir değerdir.

Burada tüm ilişkilerin yi biçimine indirgendiği varsayılır.< TТj. Если yi >TTj, ardından -yj< -TТj . Следует принимать аj >1 (önerilen değerler 5? Aj? 20), j-th elde etmek istenirse teknik gereksinim belirli bir toleransla, yani yj = TТj ±?yj; aj = l, zj'nin maksimum olası tahminini elde etmek gerekirse.

çalışma kalitesi teknik sistemçıktı parametrelerinin bir vektörü ile ve dolayısıyla bir Z = (zm, zm,…, zm) vektörü ile karakterize edilir. Bu nedenle, amaç fonksiyonu, tahmin vektörünün bir q (Z) fonksiyonu olarak oluşturulmalıdır. Örneğin, yalnızca çıktı parametresinin stoku, belirli bir X noktasında TOR gereksinimlerini karşılama açısından en kötü olan amaç fonksiyonu olarak kabul edilirse, o zaman

burada m, işletilebilirlik rezervlerinin sayısıdır.

Artık, stokların minimumunu maksimize edecek bir X arama stratejisi seçme problemini ortaya koymak doğaldır, yani.

HD, arama için izin verilen alandır.

Amaç fonksiyonu (2.6) ile optimizasyon kriteri, maksimin kriteri olarak adlandırılır.

İstatistiksel kriterler. İstatistiksel kriterler altında optimizasyon, performansın maksimum olasılığını P elde etmeyi amaçlar. Bu olasılık bir amaç fonksiyonu olarak alınır. O zaman sorunumuz var

Kontrollü ve çıkış parametrelerinin standardizasyonu. Kontrollü parametre uzayı metriktir. Bu nedenle, arama adımlarının yönlerini ve değerlerini seçerken, iki nokta arasındaki mesafe ile tanımlanan bir veya daha fazla normu tanıtmak gerekir. İkincisi, kontrol edilen tüm parametrelerin aynı boyuta sahip olduğunu veya boyutsuz olduğunu varsayar.

Çeşitli standardizasyon yöntemleri mümkündür. Örnek olarak, avantajı mutlak parametre artışlarından göreceli olanlara geçiş olan logaritmik normalleştirme yöntemini düşünün. Bu durumda, i-th kontrollü parametre ui, boyutsuz хi'ye dönüştürülür. Aşağıdaki şekilde:

oi sayısal olarak bir katsayıdır bire eşit parametre ui.

Çıkış parametrelerinin normalizasyonu, toplama kriterinde olduğu gibi ağırlık katsayıları kullanılarak veya (2.5)'e göre уj'den işlerlik marjları zj'ye geçilerek gerçekleştirilebilir.

işleme moduna bağlı olmayan sabit maliyetler nerede, min;

Burada - hazırlık - operasyon için son süre, min;

İşlenmiş parça partisinin boyutu;

Yardımcı çalışma süresi, min;

Takım değiştirme süresi dikkate alınmadan servis süresi, min;

İşçi dinlenme süresi, dk;

Kör bir aletin değiştirilmesi ve teknolojik sistemin buna göre ayarlanması ile ilgili zaman maliyetleri;

aleti ve ilgili boyut ayarını değiştirme zamanı nerede;

İşlenmiş şaftın çapı ve uzunluğu;

Kesme hızının hesaplanması için katsayı;

Hız kesmek;

Kesme derinliği;

Kesim koşullarını hesaplamak için formüllerdeki üsler buradadır.

Zamanın amaç fonksiyonunun analizi, verimlilikte ek bir artışın rezervlerini ortaya çıkarmaya ve belirlemeye izin verir. optimal modlar kesim, işlemi gerçekleştirmenin minimum maliyetini sağlar.

Amaç maliyet fonksiyonuşaft işleme örneği için şöyle görünür:

İşte malzeme maliyeti;

Genel giderler dikkate alınarak ekipman, demirbaşlar, ücretlerin işletilmesi için sırasıyla birim zaman başına maliyetler;

Takım değiştirme ve uygun boyutsal ayarlama zamanı;

Aracın çalışma süresi için maliyeti.

İfadenin ilk terimi, malzemenin sabit maliyetlerini, hazırlık - son süre ve hizmet süresi ile ilgili maliyetleri belirler. İkinci terim, kesici takımın maliyetini ve takım değiştirme için arıza süresini belirler. İfadenin üçüncü terimi, kesme işleminin yürütülmesiyle doğrudan ilişkili maliyetleri tanımlar.

Teknolojik takım tezgahı sistemlerinin çalışmalarının hacimsel planlaması

Bu ve sonraki tüm dersler sorulara ayrılmıştır. matematiksel modelleme ve teknolojik takım tezgahı sistemlerinin optimizasyonu.

Maksimum yüke ulaşıldığında mekanik bölümün hacimsel planlaması teknolojik ekipman

Sorunun formülasyonu... Orada m- makineler ( m- üzerinde yapılabilecek makine grupları) n- parça türleri. İşlemenin emek yoğunluğu J- oh detaylar ben- m makine, saat. Her makinenin (makine grubu) çalışma süresinin fonları bilinmektedir - B ben. Problemi çözmek için ilk veriler tablo 14.1'de sunulmuştur.

Tablo 14.1. Sorunu çözmek için ilk veriler, sunulan Genel görünüm

Tanımlamak gereklidirşantiye ekipmanının maksimum yükünün elde edildiği işlem sırasında her bir öğenin parça sayısı.

Matematiksel model sorunu çözmek için yazılacak:

Kısıtlamalar:

Problem doğrusal programlama yöntemi ile çözülmüştür. Bunu yaparken, aşağıdakiler akılda tutulmalıdır. Matematiksel modeldeki (14.1) - (14.3) biçimindeki kısıtlamaların sayısı, sitenin makine (makine grupları) sayısına kesinlikle eşit olmalıdır. Bir bilgisayar kullanarak bir problemi çözerken, parça türlerinin yanı sıra makine sayısı (makine grupları) pratik olarak sınırsızdır ve yalnızca bilgisayarın ve ilgili programın yetenekleri ile belirlenir. Bir problemi grafik-analitik yöntemi kullanarak manuel olarak çözerken, makine türlerinin (makine grupları) sayısı da sınırlı değildir, ancak bunların artması doğal olarak hesaplama süresinde bir artışa yol açacaktır. Parça türlerinin sayısı ikiyi geçmemelidir, çünkü aksi takdirde uçakta gerekli grafik konstrüksiyonları yapmak imkansız olacaktır.

Örnek.Örnek için ilk veriler tablo 14.2'de verilmiştir.

Tablo 14.2. Sorunu çözmek için ilk veriler

D 1 tipi parça sayısını, D 2 tipi parça sayısını belirleyelim.

Matematiksel model Bu sorunu çözmek için aşağıdaki gibi yazılacaktır:

Kısıtlamalar(ekipman çalışma süresi fonuna göre):

Verilen kısıtlamaları (14.6) - (14.10) karşılayan ve amaç fonksiyonunun (14.11) maksimumunu sağlayan değerleri bulmak gerekir. Parametreler ve kontrollü parametreler matematiksel bir modelde.

Problemi grafik - analitik yöntemle çözelim (bakınız ders 6). Sorunun çözümünün grafiksel bir gösterimi Şekil 2'de gösterilmektedir. 14.1.

Şekil 14.1. Sorunun çözümünün grafik gösterimi

Kısıtları oluşturmak için hesaplamalar (14.6) - (14.8):

x 1
x 2

x 1
x 2

Verilene paralel düz bir çizgi çizerek, ODR sınırının teğet noktasını buluruz - bu A noktasıdır. Koordinatlarını bulmak için (14.7 ve 14.8 kısıtlamalarının kesişme noktaları), aşağıdaki denklem sistemini çözeriz:

Onlar. nihayet

Maksimum değer gerekli parametrelerin optimal değerlerinde amaç fonksiyonu (saha ekipmanının maksimum yükü):

Minimum Ekipman Yükü Problemi

Bu dersteki bu ve sonraki görevler, problem ifadesi ve çözümü için matematiksel bir modelin oluşturulması düzeyinde sunulmaktadır. Hepsi doğrusal programlama yöntemleri ile çözülmüştür.

Orada m yapılabilecek makineler n parça türleri. Verim ben- bir parçanın imalatındaki makine J- tür C ij... Planlanan görevlerin değerleri bir jüretim için J- oh ayrıntılar ve zamanın kaynağı benİş ben- inci makine tablo 14.3'te verilmiştir.

Tablo 14.3 Sorunu çözmek için ilk veriler

Her makinenin çalışma süresinin kaynakları dikkate alınarak, görevlerin makineler arasında tüm makinelerin toplam çalışma süresi minimum olacak şekilde dağıtılması gerekir.

İzin vermek t ij- hazırlanma zamanı J- ah detaylar ben- makine. Her makine için zaman sınırını oluşturalım:

Oluşturulan problemin çözümü, doğrusal amaç fonksiyonunu (toplam zaman) en aza indirmektir.

(14.14)

kısıtlamalara tabidir (14.12), (14.13) ve tüm değişkenlerin olması koşuluyla.

Sorunu optimal dağılım takım tezgahları için parçalar

Bazı makinelerin şunlardan oluşmasına izin verin: farklı şekiller rakamlarla numaralandıracağımız detaylar. Farklı makine türleri vardır ve makine sayısı eşittir. Parçalar makinelerde yapılabilir farklı şekiller... Parça imalatında makine tipinin verimliliğidir. İmalattan sonra parçalar montaja gönderilir. Parçalar için makinelerin, bir birim zamanda teslim almaları için sabitlenmesi gerekir. en yüksek miktar makineler.

-th parçanın üretilebileceği -th tipindeki makinelerin sayısı olsun. Açıkçası, türlerin parçalarını üreten birinci tip makinelerin sayısı geçmemelidir. verilen numara :

Makineyi monte etmek için gereken toplam parça seti sayısı toplam herhangi bir ayrıntı, örneğin, 1 numara. Bu nedenle, sorunun çözümü maksimize etmektir. doğrusal fonksiyon

(14.17)

(14.15), (14.16) kısıtlamaları altında, tüm değişkenlerin ek koşulu ile.

Bu problem için bulunan optimal değerler mutlaka tamsayı olmak zorunda değildir. Örneğin, birinci tip iki makinede 1 numaralı parçanın birim zamanda üretileceği, aynı türden üçüncü bir makinenin ise belirtilen sürenin sadece yarısında çalışacağı anlamına gelir.

Sınırlı hammadde stoğuna sahip ürünler üretme sorunu

Hammaddelerden üretilmiştir farklı şekillerÜrün:% s. Birinci tip mamul ürünleri satmanın maliyeti. Planlanan dönem için hammadde stoğu eşittir. Hammadde talebi 1. türdendir. Problemin çözümüne yönelik ilk veriler Tablo 14.4'te verilmiştir.

Tablo 14.4 Sorunu çözmek için ilk veriler

Mevcut hammadde stoklarını aşmamak kaydıyla, imal edilen ürünlerin gerçekleştirilmesinin maksimum maliyetini sağlamak için her tür ürün için böyle bir üretim hacminin belirlenmesi gerekir.

Hammadde stoklarına ilişkin kısıtlamalar aşağıdaki gibidir:

(14.18)

Görev, üretim maliyetini maksimize eden parametrelerin (değişkenlerin) optimal değerlerini belirlemek, yani. hedef fonksiyon

kısıtlamalara tabidir (14.18) ve ek koşullar.

Teorinin temelleri kuyruk

Kuyruk teorisi, olasılık teorisinin dallarından biridir. Bu teori, olasılıksal problemler ve matematiksel modeller (bundan önce deterministik matematiksel modelleri düşündük). Şunu hatırlatalım:

Deterministik matematiksel model bakış açısından bir nesnenin (sistem, süreç) davranışını yansıtır tam kesinlikşimdiki zamanda ve gelecekte.

Olasılıksal matematiksel model rastgele faktörlerin bir nesnenin (sistem, süreç) davranışı üzerindeki etkisini dikkate alır ve bu nedenle geleceği belirli olayların olasılığı açısından değerlendirir.

Onlar. burada, örneğin oyun teorisinde olduğu gibi, problemler göz önünde bulundurulur. belirsizlik karşısında.

Problemde yer alan belirsiz faktörler aşağıdaki gibi olduğunda, önce "rastlantısal belirsizliği" karakterize eden bazı kavramları ele alalım. rastgele değişkenler(veya rastgele fonksiyonlar), olasılıksal özellikleri ya bilinen ya da deneyimden elde edilebilen. Bu belirsizliğe "olumlu", "iyi huylu" da denir.

Rastgele bir süreç kavramı

Kesin olarak söylemek gerekirse, rastgele rahatsızlıklar herhangi bir sürecin doğasında vardır. Rastgele bir sürece örnek vermek, “rastgele olmayan” bir süreçten daha kolaydır. Örneğin, saatin süreci bile (kesinlikle doğrulanmış bir çalışma gibi görünüyor - "bir saat gibi çalışır"). rastgele değişiklikler(ileri gitmek, geride kalmak, durmak). Ancak bu bozulmalar önemsiz olduğu ve ilgilendiğimiz parametreler üzerinde çok az etkisi olduğu sürece, onları ihmal edebilir ve süreci rastgele değil deterministik olarak kabul edebiliriz.

Biraz sistem olsun S (teknik cihaz, bu tür cihazlardan oluşan bir grup, teknolojik bir sistem - bir takım tezgahı, bir site, bir atölye, bir işletme, bir endüstri vb.). sistemde S akışlar rastgele süreç zaman içinde durumunu değiştirirse (bir durumdan diğerine geçerse), üstelik rastgele bilinmeyen bir şekilde.

Örnekler: 1. Sistem S- teknolojik sistem (makine takımı bölümü). Zaman zaman makineler bozuluyor ve tamir ediliyor. Bu sistemdeki süreç rastgeledir.

2. Sistem S- belirli bir rota boyunca belirli bir irtifada uçan bir uçak. Rahatsız edici faktörler - meteorolojik koşullar, mürettebat hataları vb., sonuçlar - "çarpma", uçuş programının ihlali vb.

Markov rastgele süreç

Sistemdeki rastgele bir sürece denir Markovski eğer herhangi bir an için T 0, gelecekteki sürecin olasılıksal özellikleri yalnızca şu anki durumuna bağlıdır. şu an T 0 ve sistemin bu duruma ne zaman ve nasıl girdiğine bağlı değildir.

Bırak girsin şu anda t 0 sistem belirli bir durumda S 0. Sistemin şu andaki durumunun özelliklerini ve bu süreçte meydana gelen her şeyi biliyoruz. T < T 0 (işlem geçmişi). Geleceği tahmin edebilir miyiz, yani. ne olacak T > T 0? Kesinlikle - hayır, ancak sürecin bazı olasılıksal özellikleri gelecekte bulunabilir. Örneğin, bir süre sonra sistemin S edebilecektir S 1 veya eyalette kalacak S 0, vb.

Örnek... sistem S- hava muharebesine katılan bir grup uçak. İzin vermek x- "kırmızı" uçak sayısı, y- "mavi" uçak sayısı. Zamana kadar T 0 sırasıyla hayatta kalan (vurulmayan) uçak sayısı - x 0 , y 0. Şu anda sayısal avantajın “kırmızı” tarafında olma olasılığıyla ilgileniyoruz. Bu olasılık, sistemin o anki durumuna bağlıdır. T 0 ve şu ana kadar vurulmanın ne zaman ve hangi sırayla öldüğü değil T 0 uçak.

Uygulamada, Markov süreçleri saf formu genellikle bulunmaz. Ancak "tarih öncesi" etkisinin ihmal edilebileceği süreçler vardır. Ve bu tür süreçleri incelerken, Markov modelleri uygulanabilir (kuyruk teorisinde, Markov kuyruk sistemleri dikkate alınmaz, ancak matematiksel aparat onları tanımlamak çok daha karmaşıktır).

Yöneylem araştırmasında büyük önem ayrık durumlara ve sürekli zamana sahip Markov rasgele süreçlerine sahiptir.

süreç denir ayrık durum süreci eğer onun olası durumlar S 1 , S 2, ... önceden belirlenebilir ve sistemin durumdan duruma geçişi neredeyse anında "atlamalı" gerçekleşir.

süreç denir sürekli zaman süreci Durumdan duruma olası geçiş anları önceden sabit değilse, belirsiz, rastgeleyse ve her an gerçekleşebilirse.

Örnek... Teknolojik sistem (site) S her biri rastgele bir zamanda arızalanabilen (arızalanabilen) iki makineden oluşur, bundan sonra ünitenin onarımı hemen başlar ve daha önce bilinmeyen, rastgele bir zamanda devam eder. Aşağıdaki sistem durumları mümkündür:

S 0 - her iki makine de iyi çalışır durumda;

S 1 - ilk makine tamir ediliyor, ikincisi çalışıyor;

S 2 - ikinci makine tamir ediliyor, birincisi çalışıyor;

S 3- Her iki makine de tamir ediliyor.

Sistem geçişleri S eyaletten eyalete neredeyse anında gerçekleşir, rastgele anlar bir veya başka bir makinenin arızalanması veya onarımın sonu.

Analiz ederken rastgele süreçler ayrık durumlarla, geometrik bir şema kullanmak uygundur - durum grafiği... Grafiğin köşeleri sistemin durumlarıdır. Grafik yayları - durumdan duruma olası geçişler

Şekil 15.1. Sistem durumu grafiği

şart. Örneğimiz için durum grafiği Şekil 15.1'de gösterilmiştir.

Not. Devlet geçişi S 0 inç S 3 şekilde gösterilmemiştir, çünkü makinelerin birbirinden bağımsız olarak arıza yaptığı varsayılır. Her iki makinenin de aynı anda arızalanma olasılığını ihmal ediyoruz.

Olay akışları

Olay akışı- zaman içinde bazı rastgele anlarda birbiri ardına gelen homojen olaylar dizisi.

Önceki örnekte, bu bir arıza akışı ve bir kurtarma akışıdır. Diğer örnekler: çağrı akışı Telefon değişimi, mağazadaki müşteri akışı vb.

Olayların akışı, zaman ekseninde bir dizi nokta olarak görselleştirilebilir. o t- pilav. 15.2.

Şekil 15.2. Olayların akışını zaman ekseninde görüntüleme

Her noktanın konumu rastgeledir ve burada akışın yalnızca bir uygulaması gösterilmektedir.

Olay akış hızı () Birim zamandaki ortalama olay sayısıdır.

Olay akışlarının bazı özelliklerini (türlerini) ele alalım.

Olay akışı denir sabit olasılıksal özellikleri zamana bağlı değilse.

Özellikle, durağan akışın yoğunluğu sabittir. Olayların akışı kaçınılmaz olarak kalınlaşma veya seyrekleşmeye sahiptir, ancak bunlar düzenli bir yapıya sahip değildir ve birim zaman başına ortalama olay sayısı sabittir ve zamana bağlı değildir.

Olay akışı denir sonuçsuz akış eğer herhangi iki ayrık zaman dilimi için ve (bkz. Şekil 15.2) bunlardan birine düşen olayların sayısı diğerinin üzerine düşen olay sayısına bağlı değilse. Başka bir deyişle bu, akışı oluşturan olayların zaman içinde belirli noktalarda ortaya çıkması anlamına gelir. birbirinden bağımsız ve her biri kendi sebeplerinden kaynaklanır.

Olay akışı denir sıradan, olaylar tek tek görünüyorsa ve aynı anda birkaç grup halinde değil.

Olay akışı denir en basit (veya sabit Poisson), aynı anda üç özelliği varsa: 1) sabit, 2) sıradan, 3) hiçbir sonucu yoktur.

En basit akış en basit matematiksel açıklamaya sahiptir. Diğer dağıtım yasaları arasında normal dağılım yasasının yaptığı gibi, akışlar arasında aynı özel rolü oynar. Yani, üst üste bindirirken yeterlidir Büyük bir sayı bağımsız, durağan ve sıradan akışlar (yoğunluk bakımından karşılaştırılabilir), en basitine yakın bir akış elde edilir.

Yoğunluk aralığına sahip en basit akış için T bitişik olaylar arasında sözde üstel dağılım yoğunluk ile

Amaç fonksiyonunun maksimumunu bulmak için, formatı maksimize eden maksimize fonksiyonunu kullanın (<функция>, <система ограничений>, <опции>);

Bu durumda değişkenlerin negatif olmama koşulunun NEGATİF OLMAYAN seçeneği ile belirtilmesi uygundur.

> optimum: = maksimize et (f, syst_ogr, NEGATİF OLMAYAN);

Değişken değerlerini değiştirmek için subs komutunu kullanın x 1 ve x 2 işleve F.

> fmax: = yedekler (x1 = 83/17, x2 = 19/17, f);

Yanıtı formda temsil etmek için evalf işlevini kullanın gerçek Numara 4 anlamlı basamak ile.

> fmax: = değerlendirme (fmax, 4);

Ekte açıklama yapmadan LP problemini çözmenin bir çeşidi hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Özelleştirilmiş bir SimplexWin paketinde optimizasyon problemlerini çözme. Http://www.Simplexwin.Narod.Ru/

Bu program, simpleks yöntemini kullanarak doğrusal programlama problemlerini çözmek için tasarlanmıştır.

Görev... Değişken değerleri bul x 1 ve x 2, hangi

kısıtlamalarla

İş emri:

SimplexWin programını çalıştırın ve menüden Ayarlar - Matris boyutu komutunu seçerek kısıtlama matrisinin gerekli boyutunu ayarlayın (Şekil 13).

Pirinç. 13... Matrisin boyutunun belirlenmesi.

Verileri girin (şek. 14). Görev girilmemişse kanonik biçim, ardından ek değişkenler ve yapay bazlar(aynı zamanda ilgili amaç fonksiyonu katsayıları) otomatik olarak eklenir.

14... Veri girişi.

II. Optimal planı ve amaç fonksiyonunun optimal değerini bulma.

Pirinç. 15... Form Sonuçları.

Sonuçlar formunda, sorunu çözmenizi sağlayan Sonuç düğmesini tıklayın. otomatik mod ve sonuncuyu göster tek yönlü tablo ve sonuç (şek. 16).

Pirinç. 16... Sorunun çözümü.

Optimizasyon problemlerini çözmeExcel

Aşağıdaki doğrusal programlama problemi için bir bulma örneği düşünün.

Görev... Değişken değerleri bul x 1 ve x 2, hangi

kısıtlamalarla

İş emri:

I. İlk verilerin kaydı.

Problemin koşullarını (değişkenler, amaç fonksiyonu, kısıtlar) girmek için bir ekran formu oluşturun ve ilk verileri (hedef fonksiyonunun katsayıları, kısıtlardaki değişkenler için katsayılar, kısıtların sağ tarafları) girin (Şekil 17).

Pirinç. 17... Görevin ekran formu (D6 hücresindeki imleç).

Yorum Yap: Şek. Her değişkene ve problemin her katsayısına Excel'de belirli bir hücre atanır. Yani, örneğin, hücreler B3 ( ), C3 ( ), amaç fonksiyonunun katsayıları B6 hücrelerine karşılık gelir (
), C6 (
), hücreler F10 (
), F11 (
), F12 (
)vesaire.

Matematiksel modeldeki kısıtlamaları ekrana girin, ör. amaç fonksiyonunu hesaplama formülünü ve kısıtlamaların sol taraflarının değerlerini hesaplama formülünü girin.

Problemin durumuna göre amaç fonksiyonunun değeri ifade ile belirlenir.
... Excel'de karşılık gelen hücrelerin atamalarını kullanarak, amaç fonksiyonunu hesaplama formülü şu şekilde yazılabilir: işlerin toplamı problem değişkenlerinin (B3, C3) değerleri için tahsis edilen hücrelerin her biri, amaç fonksiyonunun (B6, C6) katsayıları için tahsis edilen ilgili hücrelere.

Amaç fonksiyonu için bağımlılık formülünü ayarlamak için aşağıdakileri yapın. :

- imleci hücreye yerleştirin D6;

- pencereyi ara Özellik Sihirbazı - Adım 1/2 düğmesine basarak üzerinde standart panel aletler;

- pencerede İşlev fonksiyon seç SUMPRODUCT;

- görünen pencerede SUMPRODUCTÇizgide dizi 1 ifadeyi girin B $ 3: C $ 3, ve satırda dizi 2- ifade B6: C6;

- düğmesine basın Tamam.

Pirinç. on sekiz... Fonksiyon Sihirbazı penceresinde CF hesaplama formülünün girilmesi.

Hücreleri satırlara girdikten sonra dizi 1 ve dizi 2 pencerede SUMPRODUCT görünecek Sayısal değerler girilen diziler (Şekil 18) ve girilen formüle göre hesaplanan mevcut değer yani 0 (formülün girildiği anda problem değişkenlerinin değerleri sıfır olduğu için) ekrana gelecektir. formu (Şek. 19).

Yorum Yap: Satır numarasının önündeki $ karakteri, bu formülü Excel çalışma sayfasında başka yerlere kopyalarsanız, satır numarası 3'ün değişmeyeceği anlamına gelir. Sembol : formülün, kolonun solunda ve sağında belirtilen hücreler arasında bulunan tüm hücreleri kullandığı anlamına gelir.

Problem kısıtlamalarının sol tarafları, işlerin toplamı sorun değişkenlerinin (B3, C3) değerleri için tahsis edilen hücrelerin her biri, belirli bir kısıtlamanın katsayıları için tahsis edilen ilgili hücreye (B10, C10 - 1 kısıtlaması; B11, C11 - 2 kısıtlaması; B12, C12 - 3 kısıtlama).

Problem kısıtlamalarının sol taraflarını tanımlayan formüller birbirinden ve hedef hücredeki formülden farklıdır. D6 sadece ikinci dizideki satır numarası. Bu sayı, ekran formunda kısıtlamanın yazıldığı satıra göre belirlenir. Bu nedenle, kısıtlamanın sol kısımlarına bağımlılıkları ayarlamak için, formülü hedef hücreden kısıtlamaların sol kısımlarındaki hücrelere kopyalamak yeterlidir.

Kısıtlamaların sol taraflarının değerlerini hesaplamak için aşağıdakileri yapın:

- imleci hücreye yerleştirin D6 ve hücrenin içeriğini panoya kopyalayın (Ctrl + C tuşlarına basarak);

- imleci, kısıtlamaların her birinin sol tarafındaki alanlara tek tek yerleştirin, yani NS10 ,NS11 , NS12 tıklayın ve arabelleğin içeriğini bu alanlara yapıştırın (Ctrl + V tuşlarını kullanarak) (bu durumda, formülün ikinci dizisindeki hücre sayısı, yapıştırmanın eklendiği satırın numarasına değişecektir) tampon).

Alanlara ekrana girdikten sonra NS10 ,NS11 , NS12 0 (sıfır değeri) belirir (şek. 19).

Pirinç. 19... Su sonrası görevin ekran formu

gerekli tüm formüller.

Formüllerin doğru girildiğini kontrol edin.

Bunun için:

- tek tek gerçekleştir çift ​​dokunma formüllü hücreler üzerinde farenin sol tuşu ile formülde kullanılan hücreler ekranda vurgulanacaktır (Şekil 20 ve Şekil 21).

Pirinç. yirmi

formülleri hedef hücre D6'ya

Pirinç. yirmi... Girişin doğruluğunu kontrol etme

kısıtlamaların sol tarafı için D10 hücresindeki formüller.

Amaç fonksiyonunu ayarlayın ve pencereye kısıtlamaları girin bir çözüm bulma(şek. 21).

Bunun için:

- imleci hücreye yerleştirin D6;

- pencereyi ara bir çözüm bulma araç çubuğundan seçerek Veri - Bir çözüm bulma;

- imleci alana getirin Hedef hücreyi ayarla;

- hedef hücrenin adresini girin $ G $ 6 veya ekrandaki hedef hücrenin üzerine farenin sol tuşu ile bir tıklama yapın ki bu klavyeden adres girmekle eş değer olacaktır;

- seçici düğme üzerinde farenin sol tuşu ile bir kez tıklayarak amaç fonksiyonunun optimizasyon yönünü belirtin maksimum değer;

- pencerede Kararların aranması tarlada Hücreleri değiştirme değişken değerlere sahip hücrelere girin $ B $ 3: $ C $ 3 onları ekran formunda seçerek, sol fare düğmesini basılı tutarak;

Pirinç. 21... Çözüm ara penceresi.

- düğmesine basın Ekle;

- sorunun durumuna göre, işaret alanında gerekli işareti seçin, örneğin 1 kısıtlama için bu işarettir ;

- sahada sınırlama söz konusu kısıtlamanın sağ tarafındaki hücre adresini girin, örneğin $ F $ 10;

- aynı şekilde, diğer kısıtlamaların sağ ve sol tarafları arasındaki ilişkiyi kurun ( $ D $11$ F $ 11 , $ D $12$ F $ 12) ;

- düğmesine basarak listelenen tüm koşulların girişini onaylayın Tamam(şek. 22 ve şekil 23).

Pirinç. 22... Bir koşul ekleme.

Yorum Yap: Bir sorun durumu girilirken, getirilen kısıtlamaların değiştirilmesi veya kaldırılması gerekirse, bu, düğmelere basılarak yapılabilir. Değiştirmek veya Silmek.

Amaç fonksiyonu- bazı optimizasyon problemlerini çözmek için optimize edilecek (minimum veya maksimize edilecek) çeşitli değişkenlerin gerçek veya tamsayı fonksiyonu. Terim matematiksel programlama, yöneylem araştırması, doğrusal programlama, istatistiksel karar teorisi ve matematiğin diğer alanlarında, öncelikle uygulamalı bir yapıda kullanılır, ancak optimizasyon hedefi aynı zamanda gerçek matematik probleminin çözümü olabilir. Amaç fonksiyonuna ek olarak, değişkenler için optimizasyon problemi bir eşitlikler veya eşitsizlikler sistemi şeklinde sınırlandırılabilir. Genel durumda, amaç fonksiyonunun argümanları isteğe bağlı kümelerde belirtilebilir.

Örnekleri

Düzgün fonksiyonlar ve denklem sistemleri

Herhangi bir denklem sistemini çözme problemi

(F 1 (x 1, x 2,…, x M) = 0 F 2 (x 1, x 2,…, x M) = 0… FN (x 1, x 2,…, x M) = 0 ( \ displaystyle \ sol \ ((\ başlangıç ​​(matris) F_ (1) (x_ (1), x_ (2), \ ldots, x_ (M)) = 0 \\ F_ (2) (x_ (1), x_ (2), \ ldots, x_ (M)) = 0 \\\ ldots \\ F_ (N) (x_ (1), x_ (2), \ ldots, x_ (M)) = 0 \ bitiş (matris) ) \ sağ.)

amaç fonksiyon minimizasyon problemi olarak formüle edilebilir

S = ∑ j = 1 NF j 2 (x 1, x 2,…, x M) (1) (\ displaystyle S = \ toplam _ (j = 1) ^ (N) F_ (j) ^ (2) ( x_ (1), x_ (2), \ ldots, x_ (M)) \ qquad (1))

Fonksiyonlar düzgün ise minimizasyon problemi gradyan yöntemleri ile çözülebilir.

Herhangi bir düzgün amaç fonksiyonu için, tüm değişkenlerin kısmi türevlerini 0'a (\ displaystyle 0) ayarlayabilirsiniz. Optimum amaç fonksiyonu böyle bir denklem sisteminin çözümlerinden biri olacaktır. (1) (\ displaystyle (1)) işlevi için bu, en küçük kareler (OLS) denklem sistemidir. Orijinal sisteme herhangi bir çözüm, OLS sistemine bir çözümdür. Orijinal sistem tutarsızsa, her zaman çözüm olan LSM sistemi, orijinal sisteme yaklaşık bir çözüm elde etmenizi sağlar. LSM sisteminin denklemlerinin sayısı, bazen ortak başlangıç ​​sistemlerinin çözümünü kolaylaştıran bilinmeyenlerin sayısıyla çakışmaktadır.

Doğrusal programlama

Diğerleri ünlü örnek amaç fonksiyonu, doğrusal programlama problemlerinde ortaya çıkan doğrusal bir fonksiyondur. İkinci dereceden bir amaç fonksiyonundan farklı olarak, doğrusal bir fonksiyonun optimizasyonu, yalnızca bir doğrusal eşitlikler veya eşitsizlikler sistemi biçiminde kısıtlamalar varsa mümkündür.

kombinatoryal optimizasyon

Kombinatoryal amaç fonksiyonunun tipik bir örneği, gezgin satıcı probleminin amaç fonksiyonudur. Bu fonksiyon, grafikteki Hamilton döngüsünün uzunluğuna eşittir. Grafiğin köşelerinin n - 1 (\ displaystyle n-1) permütasyonları setinde verilir ve grafiğin kenar uzunluk matrisi tarafından belirlenir. Bu tür sorunlara kesin çözüm, çoğu zaman seçeneklerin sıralanmasına bağlıdır.

Bölüm 1. Doğrusal programlamanın ana probleminin ifadesi

1. Doğrusal programlama

Doğrusal programlama, değişkenler ve doğrusal bir kriter arasında doğrusal bir ilişki ile karakterize edilen aşırı problemleri çözme yöntemlerini inceleyen bir matematiksel programlama dalıdır. Bu tür görevler kapsamlı uygulamalar bulur farklı bölgeler insan aktivitesi. Bu tür sorunların sistematik olarak incelenmesi 1939-1940'ta başladı. L.V.'nin çalışmalarında Kantoroviç.

Doğrusal programlamanın matematiksel sorunları, bir biçimde sınırlı kaynakların optimal kullanımı sorunları olarak yorumlanan belirli üretim ve ekonomik durumların incelenmesini içerir.

Doğrusal programlama yöntemleri kullanılarak çözülen problemlerin aralığı oldukça geniştir, örneğin:

üretim planlamasında kaynakların optimal kullanımı sorunu;

karışım sorunu (ürünlerin bileşiminin planlanması);

depolarda depolamak için çeşitli ürün türlerinin en uygun kombinasyonunu bulma sorunu (envanter yönetimi veya);

nakliye görevleri (işletmenin bulunduğu yerin analizi, malların hareketi).

Doğrusal programlama, matematiksel programlamanın en gelişmiş ve yaygın olarak kullanılan dalıdır (ayrıca, tamsayı, dinamik, doğrusal olmayan, parametrik programlama). Bu, aşağıdakilerden kaynaklanmaktadır:

çok sayıda ekonomik problemin matematiksel modelleri istenen değişkenlere göre doğrusaldır;

Bu tür bir sorun şu anda en çok çalışılan sorundur. Onun için, bu görevlerin çözüldüğü özel yöntemler ve ilgili bilgisayar programları geliştirilmiştir;

çözülmüş birçok doğrusal programlama problemi geniş uygulama alanı bulmuştur;

İlk formülasyonda lineer olmayan bazı problemler, bir dizi ilave kısıtlama ve varsayımdan sonra lineer hale gelebilir veya lineer programlama yöntemleri ile çözülebilecek bir forma indirgenebilir.

Herhangi bir doğrusal programlama probleminin ekonomik ve matematiksel modeli şunları içerir: optimal değeri (maksimum veya minimum) bulunması gereken bir amaç fonksiyonu; sistem kısıtlamaları lineer denklemler veya eşitsizlikler; değişkenlerin negatif olmama şartı.

Model genel hatlarıyla şu şekilde yazılmıştır:

amaç fonksiyonu

(1.1) kısıtlamalara tabi

(1.2) negatif olmayan gereksinimler

(1.3) nerede x J- değişkenler (bilinmeyen);

doğrusal programlama probleminin katsayılarıdır.

Problem, (1.2) ve (1.3) kısıtlarına tabi olarak (1.1) fonksiyonunun optimal değerini bulmaktır.

Kısıtlar (1.2) sistemine problemin fonksiyonel kısıtları, kısıtlar (1.3) ise doğrudan denir.

(1.2) ve (1.3) kısıtlarını karşılayan bir vektöre doğrusal programlama probleminin uygun çözümü (planı) denir. (1.1) fonksiyonunun maksimum (minimum) değerine ulaştığı tasarıma optimal denir.

1.2. Doğrusal programlama problemlerini çözmek için tek yönlü yöntem

Simpleks yöntemi, ilk olarak 1947'de Amerikalı matematikçi J. Danzig tarafından problemlerin çözümünde geliştirildi ve uygulandı.

İki boyutlu doğrusal programlama problemleri grafiksel olarak çözülür. N = 3 durumu için, üç boyutlu bir uzay düşünebiliriz ve amaç fonksiyonu çokyüzlülerin köşelerinden birinde optimal değerine ulaşacaktır.

Standart bir formda verilen bir DP probleminin kabul edilebilir bir çözümü (uygulanabilir planı), kısıtlamaları karşılayan sıralı bir sayılar kümesidir (x1, x2, ..., xn); n boyutlu uzayda bir noktadır.

Uygulanabilir çözümler kümesi, LP probleminin uygun çözüm alanını (ADD) oluşturur. ODR bir dışbükey çokyüzlüdür (çokgen).

Genel olarak, probleme N-bilinmeyenler dahil edildiğinde, kısıtlayıcı koşullar sistemi tarafından tanımlanan uygulanabilir çözümler bölgesinin n boyutlu uzayda dışbükey bir çokyüzlü ile temsil edildiğini ve amaç fonksiyonunun optimal değerine ulaşıldığını söyleyebiliriz. bir veya birkaç köşede.

Temel bir çözüm, tüm serbest değişkenlerin sıfıra eşit olduğu bir çözümdür.

Destek çözümü negatif olmayan temel bir çözümdür. Destek çözümü dejenere olmayabilir ve dejenere olabilir. Bir destek çözümü, sıfır olmayan koordinatlarının sayısı sistemin rankına eşitse, dejenere olmayan olarak adlandırılır, aksi halde dejeneredir.

Amaç fonksiyonunun uç değerine ulaştığı uygun bir çözüme optimal denir ve şu şekilde gösterilir: .

Değişken sayısı 3'ten fazla olduğunda bu problemleri grafiksel olarak çözmek çok zordur. var evrensel yol simpleks yöntemi olarak adlandırılan doğrusal programlama problemlerini çözme.

Simpleks yöntemi evrensel yöntem Tek bir çözümle başlayan ve en iyi seçeneği ararken, optimal değere ulaşana kadar uygulanabilir çözümler bölgesinin köşe noktaları boyunca ilerleyen yinelemeli bir süreç olan LP problemlerini çözme.

Herhangi bir doğrusal programlama problemini çözmek için kullanılabilir.

Simpleks yöntemi, elde edilen çözümün art arda iyileştirilmesi fikrine dayanmaktadır.

Simpleks yönteminin geometrik anlamı, kısıt politopunun bir köşesinden bitişik olana ardışık bir geçişten oluşur, burada amaç fonksiyonu en iyi (veya en azından daha kötü olmayan) değeri optimal bir çözüm bulunana kadar alır - tepe noktası burada. optimal değer, hedefin işlevine ulaşılır (görev sonlu bir optimuma sahipse).

Böylece, kurallı forma indirgenmiş bir kısıtlamalar sistemine sahip olarak (tüm fonksiyonel kısıtlamalar eşitlik formuna sahiptir), bu sistemin herhangi bir temel çözümünü bulurlar, sadece mümkün olduğunca basit bulmaya özen gösterirler. İlk bulunan temel çözümün kabul edilebilir olduğu ortaya çıkarsa, optimallik için kontrol edilir. Optimal değilse, başka bir, zorunlu olarak kabul edilebilir temel çözüme geçiş yapılır. Simpleks yöntemi, bu yeni çözümle amaç fonksiyonunun optimuma ulaşmazsa ona yaklaşmasını (veya en azından ondan uzaklaşmamasını) garanti eder. Yeni bir kabul edilebilir temel çözümle, optimal olan bir çözüm bulunana kadar aynısını yapın.

Simpleks yöntemini uygulama süreci, ana unsurlarından üçünün uygulanmasını içerir:

soruna herhangi bir ilk kabul edilebilir temel çözümü belirlemek için bir yöntem;

en iyi (daha doğrusu en kötü değil) çözüme geçiş kuralı;

Bulunan çözümün optimalliğini kontrol etme kriteri.

Simpleks yöntemi bir dizi aşama içerir ve net bir algoritma şeklinde formüle edilebilir (uygulanması için net bir reçete). sıralı işlemler). Bu, bir bilgisayarda başarılı bir şekilde programlamanıza ve uygulamanıza izin verir. ile görevler küçük sayı değişkenler ve kısıtlamalar, simpleks yöntemi kullanılarak manuel olarak çözülebilir.

6.1 Giriş

Optimizasyon. Bölüm 1

Optimizasyon yöntemleri, tüm seçenekler arasından en iyi tasarım seçeneğini seçmenizi sağlar. olası seçenekler... V son yıllar Bu yöntemlere büyük önem verilmiş ve sonuç olarak tüm çizgi dijital bir bilgisayar kullanarak en uygun tasarım seçeneğini bulmanızı sağlayan yüksek verimli algoritmalar. Bu bölüm, optimizasyon teorisinin temellerini özetlemekte, optimal karar algoritmalarının inşasının altında yatan ilkeleri incelemekte, en ünlü algoritmaları açıklamakta, avantajlarını ve dezavantajlarını analiz etmektedir.

6.2 Optimizasyon teorisinin temelleri

Literatürdeki "optimizasyon" terimi, rafine bir çözüm elde etmenizi sağlayan bir süreci veya işlem dizisini ifade eder. Optimizasyonun nihai amacı en iyi veya "en uygun" çözümü bulmak olsa da, genellikle iyileştirme ile yetinmeniz gerekir. bilinen çözümler onları mükemmelleştirmek yerine. Bu nedenle, optimizasyon, belki de elde edilemeyecek olan mükemmellik arayışı olarak anlaşılmaktadır.

Bazıları göz önüne alındığında keyfi sistem n bilinmeyenli m denklem ile tanımlanan üç ana problem türü ayırt edilebilir. m = n ise, problem cebirsel olarak adlandırılır. Bu sorunun genellikle bir çözümü vardır. m> n ise, problem yeniden tanımlanır ve kural olarak çözümü yoktur. Son olarak m için

Optimizasyon konularını tartışmaya başlamadan önce, birkaç tanım sunacağız.

Tasarım parametreleri

Bu terim, çözülecek tasarım problemini tamamen ve açık bir şekilde belirleyen bağımsız değişken parametrelerini ifade eder. Tasarım parametreleri, değerleri optimizasyon işlemi sırasında hesaplanan bilinmeyen miktarlardır. Sistemi nicel olarak tanımlamaya yarayan herhangi bir temel veya türev değer, tasarım parametreleri olarak işlev görebilir. Yani uzunluk, kütle, zaman, sıcaklık gibi bilinmeyen değerler olabilir. Tasarım parametrelerinin sayısı, belirli bir tasarım probleminin karmaşıklık derecesini karakterize eder. Genellikle tasarım parametrelerinin sayısı n ile gösterilir ve tasarım parametrelerinin kendisi karşılık gelen indekslerle x ile gösterilir. Böylece, bu problemin n tasarım parametresi ile gösterilecektir.

X1, x2, x3, ..., xn.

Amaç fonksiyonu

Mühendisin maksimize etmeye veya minimize etmeye çalıştığı bir ifadedir. Amaç fonksiyonu, iki alternatif çözümü nicel olarak karşılaştırmanıza izin verir. Matematiksel bir bakış açısından, amaç fonksiyonu bazı (n + 1) boyutlu yüzeyleri tanımlar. Değeri tasarım parametreleri tarafından belirlenir.

M = M (x 1, x 2, ..., x n).

Mühendislik uygulamalarında yaygın olan amaç fonksiyonlarına örnek olarak maliyet, ağırlık, güç, boyut ve verimlilik verilebilir. Yalnızca bir tasarım parametresi varsa, amaç fonksiyonu bir düzlem üzerinde bir eğri ile temsil edilebilir (Şekil 6.1). Eğer iki tasarım parametresi varsa, amaç fonksiyonu üç boyutlu uzayda bir yüzey ile gösterilecektir (Şekil 6.2). Üç veya daha fazla tasarım parametresi ile amaç fonksiyonu tarafından belirtilen yüzeyler hiperyüzeyler olarak adlandırılır ve görüntülenemez.

olağan yollarla. En verimli algoritmanın seçimi bunlara bağlı olduğundan, amaç fonksiyonunun yüzeyinin topolojik özellikleri optimizasyon sürecinde önemli bir rol oynar.

Bazı durumlarda, amaç fonksiyonu en beklenmedik biçimleri alabilir. Örneğin, bunu ifade etmek her zaman mümkün değildir.

Şekil 1 Tek boyutlu amaç fonksiyonu.

Şekil 6.2 İki boyutlu amaç fonksiyonu.

kapalı matematiksel form, diğer durumlarda olabilir

parçalı düzgün bir fonksiyon olsun. Amaç fonksiyonunu belirlemek için bazen bir teknik veri tablosu (örneğin bir su buharı durumu tablosu) veya bir deney gerekebilir. Bazı durumlarda tasarım parametreleri yalnızca tamsayı değerleri alır. Bir dişli takımındaki diş sayısı veya bir flanştaki cıvata sayısı buna bir örnek olabilir. Bazen tasarım parametrelerinin sadece iki anlamı vardır - evet veya hayır. Ürünü satın alan müşterinin deneyimlediği müşteri memnuniyeti, güvenilirlik, estetik gibi niteliksel parametreleri, niceliksel olarak karakterize etmek neredeyse imkansız olduğu için optimizasyon sürecinde dikkate alınması zordur. Ancak, amaç fonksiyonu hangi biçimde sunulursa sunulsun, tasarım parametrelerinin açık bir fonksiyonu olmalıdır.

Bir dizi optimizasyon problemi, birden fazla amaç fonksiyonunun tanıtılmasını gerektirir. Bazen biri diğeriyle uyumsuz olabilir. Bir örnek, aynı zamanda maksimum güç, minimum ağırlık ve minimum maliyet sağlamanın gerekli olduğu uçakların tasarımıdır. Bu gibi durumlarda, tasarımcı bir öncelik sistemi getirmeli ve her bir amaç fonksiyonuna belirli bir boyutsuz çarpan atamalıdır. Sonuç olarak, optimizasyon sürecinde bir birleşik amaç fonksiyonunun kullanılmasına izin veren bir "uzlaşma fonksiyonu" ortaya çıkar.

Minimum ve maksimumu bulma

Bazı optimizasyon algoritmaları maksimumu bulmak için uyarlanmıştır, diğerleri minimumu bulmak için. Bununla birlikte, çözülmekte olan ekstremum probleminin türü ne olursa olsun, aynı algoritma kullanılabilir, çünkü minimizasyon problemi, amaç fonksiyonunun işaretini tersine çevirerek kolaylıkla bir maksimum arama problemine dönüştürülebilir. Bu teknik Şekil 6.3'te gösterilmektedir.

Tasarım alanı

Bu, tüm n tasarım parametreleri tarafından tanımlanan alanın adıdır. Tasarım alanı, göründüğü kadar büyük değildir, çünkü genellikle bir dizi tasarımla sınırlıdır.

Sorunun fiziksel doğasıyla ilgili koşullar. Kısıtlamalar o kadar güçlü olabilir ki, görevin hiçbir

Şekil 6.3 Amaç Fonksiyonunun İşaretini Tersine Çevirme

maksimum görev minimum göreve dönüşür.

tatmin edici bir çözüm. Kısıtlar iki gruba ayrılır: kısıtlamalar - eşitlik ve kısıtlamalar - eşitsizlik.

Kısıtlamalar - Eşitlik

Kısıtlamalar - Eşitlik, bir çözüm bulunurken dikkate alınması gereken tasarım parametreleri arasındaki ilişkidir. Doğa kanunlarını, ekonomiyi, hukuku, hakim zevkleri ve gerekli malzemelerin mevcudiyetini yansıtırlar. Eşitlik kısıtlamalarının sayısı herhangi biri olabilir. benziyorlar

C 1 (x 1, x 2, ..., x n) = 0,

C 2 (x 1, x 2, ..., x n) = 0,

..................

Cj (x 1, x 2, ..., xn) = 0.

Bu ilişkilerden herhangi biri tasarım parametrelerinden birine göre çözülebilirse, bu, bu parametreyi optimizasyon sürecinden çıkarmanıza izin verir. Bu, tasarım uzayının boyutlarının sayısını azaltır ve problemin çözümünü basitleştirir.

Kısıtlamalar - eşitsizlikler

Bu, eşitsizlik kısıtlamasının özel bir türüdür. Genel durumda, herhangi bir sayıda olabilir ve hepsinin formu vardır.

z 1 r 1 (x 1, x 2, ..., x n) Z 1

z 2 r 2 (x 1, x 2, ..., x n) Z 2

.......................

z k r k (x 1, x 2, ..., x n) Z k

Sıklıkla, sınırlamalar nedeniyle, yüzeyinin sıfır eğime sahip olduğu durumlarda amaç fonksiyonunun optimal değerine ulaşılmadığına dikkat edilmelidir. Çoğu zaman, en iyi çözüm, tasarım sınırlarından birine girer.

yerel optimum

Bu, amaç fonksiyonunun yakın çevresindeki diğer tüm noktalardaki değerlerine kıyasla en büyük değere sahip olduğu projeksiyon uzayındaki noktanın adıdır.

Şekil 6.4 Rastgele bir amaç fonksiyonunun birden fazla işlevi olabilir.

yerel optimum.

İncirde. 6.4, iki yerel optima ile tek boyutlu bir amaç fonksiyonunu gösterir. Çoğu zaman tasarım alanı birçok yerel optimum içerir ve ilkini soruna en uygun çözüm olarak görmemeye özen gösterilmelidir.

küresel optimum

Global Optimum, tüm tasarım alanı için en uygun çözümdür. Yerel optimuma karşılık gelen diğer tüm çözümlerden daha iyidir ve yapıcının aradığı da budur. Tasarım alanının farklı bölümlerinde yer alan birkaç eşit küresel optimum durumu mümkündür. Optimizasyon probleminin nasıl oluşturulduğu en iyi bir örnekle gösterilir.

Örnek 6.1

Paketlenmemiş elyafı taşımak için tasarlanmış 1 m hacimli dikdörtgen bir kap tasarlamak istediğinizi varsayalım. Bu tür kapların üretimi için mümkün olduğunca az malzeme harcanması arzu edilir (duvar kalınlığının sabit olması koşuluyla, bu, yüzey alanının minimum olması gerektiği anlamına gelir), çünkü bu durumda daha ucuz olacaktır. Konteyneri forklift ile taşımaya uygun hale getirmek için genişliği en az 1,5 m olmalıdır.

Bu problemi optimizasyon algoritmasını kullanmak için uygun bir biçimde formüle edelim.

Tasarım parametreleri: x 1, x 2, x 3.

Amaç fonksiyonu (küçültülecek), konteynerin yanal yüzey alanıdır:

A = 2 (x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3), m2.

Kısıt - Eşitlik:

Hacim = x 1 x 2 x 3 = 1m3.

Kısıtlama - eşitsizlik:

Doğrusal programlama sorunları

Doğrusal Programlama (LP) matematiksel programlamanın dallarından biridir - aşırı (optimizasyon) problemleri ve bunların çözümü için yöntemlerin geliştirilmesini inceleyen bir disiplin.

optimizasyon görevi- bu, amaç fonksiyonunun optimal (yani maksimum veya minimum) değerini bulmaktan oluşan matematiksel bir problemdir ve değişkenlerin değerleri belirli bir izin verilen değerler aralığına (ADV) ait olmalıdır.

Genel olarak, matematiksel programlamanın uç bir probleminin formülasyonu, bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerinin belirlenmesinden oluşur. hedef fonksiyon, koşullar (kısıtlamalar) altında, nerede ve - önceden ayarlanmış işlevler, ve - verilen sabitler. Bu durumda, eşitlikler ve eşitsizlikler şeklindeki kısıtlamalar, uygun çözümler (ODS) kümesini (bölgesini) belirler ve - denir. Tasarım parametreleri.

Fonksiyonların türüne bağlı olarak, matematiksel programlama problemleri bir dizi sınıfa ayrılır (doğrusal, doğrusal olmayan, dışbükey, tamsayı, stokastik, dinamik program ve benzeri.).

V Genel görünüm LP problemi aşağıdaki forma sahiptir:

, (5.1)

, , (5.2)

, , (5.3)

nerede,, verilen sabitlerdir.

Fonksiyon (5.1) amaç fonksiyonu olarak adlandırılır; sistemler (5.2), (5.3) - bir kısıtlama sistemi ile; koşul (5.4) - tasarım parametrelerinin negatif olmaması koşulu.

Kısıtlamaları (5.2), (5.3) ve (5.4) karşılayan tasarım parametreleri kümesine denir. kabul edilebilir karar veya plan.

en uygun çözüm veya optimal plan LP problemi, amaç fonksiyonunun (5.1) optimal (maksimum veya minimum) değeri aldığı uygun bir çözümdür.

standart görev LP, (5.2) ve (5.4) koşuluna bağlı olarak amaç fonksiyonunun (5.1) maksimum (minimum) değerini bulma problemi olarak adlandırılır, burada, yani. onlar. sadece eşitsizlikler (5.2) biçimindeki kısıtlamalar ve tüm tasarım parametreleri negatif olmama koşulunu karşılar ve eşitlikler biçiminde hiçbir koşul yoktur:

,

, , (5.5)

.

Kanonik (ana) görev LP, (5.3) ve (5.4) koşuluna bağlı olarak amaç fonksiyonunun (5.1) maksimum (minimum) değerini bulma problemidir, burada, yani. onlar. sadece eşitlikler (5.3) şeklindeki kısıtlamalar ve tüm tasarım parametreleri negatif olmama koşulunu karşılar ve eşitsizlikler şeklinde hiçbir koşul yoktur:

,

.

Kanonik LP problemi matris ve vektör formunda da yazılabilir.

matris formu kurallı görev LP aşağıdaki forma sahiptir:

Kanonik LP probleminin vektör formu.