Markov ağı- Markov ağı, Markov rastgele alanı veya yönlendirilmemiş grafik modeli, bir dizi rastgele değişkenin, yönsüz bir grafikle tanımlanan Markov özelliğine sahip olduğu bir grafik modeldir. Markov ağı farklı ... Wikipedia

ARALIK VEKTÖR- vektör istatistikleri R = = (R1,..., Rn), rastgele bir gözlem vektöründen oluşturulmuş X = (X 1 ..., X n), sürünün i bileşeni Ri = Ri (X), i = l, 2,. ... ., n, kümenin karakteristik fonksiyonunun olduğu kural tarafından belirlenir, yani istatistiğe Ri denir ... matematik ansiklopedisi

ŞARTLI DAĞITIM- bir temel olayın ve bir Borel kümesinin bir fonksiyonu, bu her sabit temel olay için olasılıkların bir dağılımı ve her sabit Borel kümesi için koşullu bir olasılıktır. Olasılıklı olsun ... ... matematik ansiklopedisi

GAUSS YASASI normal dağılımın ortak adıdır. İsim, bu dağılımın K. Gauss teorisinin hatalarında oynadığı rolle ilişkilidir. Yoğunluklar (başlangıçta G. z. olarak adlandırılıyordu) K. Gauss'ta op. Hareket teorisi ... ... matematik ansiklopedisi

rastgele vektörler

İki rastgele değişkenin ortak olasılık yoğunluk dağılımı

Fonksiyonun ikinci bir karışık türevin yanı sıra türevleri olsun. Rastgele değişkenlerin olasılık dağılımının ortak (veya iki boyutlu) yoğunluğu, fonksiyondur.

İki boyutlu olasılık yoğunluğunun ana özelliklerini ele alalım.

1. Oran adil:

Kanıt için eşitlik (51.1) kullanıyoruz, sonra:

Şimdi eşitlik (50.2), (51.2) anlamına gelir. Bu oran, iki boyutlu bir vektörün bölümler tarafından tanımlanan bir dikdörtgene düşme olasılığını ve olasılık yoğunluğu aracılığıyla hesaplamanıza izin verdiği için pratik öneme sahiptir.

2. Belirli bir ilişki durumu düşünün (51.2). O halde (51.2) şu şekli alsın:

Bu ilişki, olasılık yoğunluğu aracılığıyla olasılık dağılım fonksiyonunu tanımlar ve eşitliğe (51.1) göre terstir.

3. (51.2)'yi şu koşullar altında düşünün:, sonra (51.2)'den eşitlik gelir:

çünkü - belirli bir olayın olasılığı olarak. İlişki (51.5), olasılık yoğunluğu için normalleştirme koşulu olarak adlandırılır.

4. Vektörün olasılık yoğunluğu ve rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu ise, o zaman

Bu eşitlik, ikinci dereceden yoğunluğun ve birinci dereceden yoğunluğun tutarlılık özelliği olarak adlandırılır. İkinci derecenin yoğunluğu biliniyorsa, formül (51.6) ile olasılık yoğunluğunu hesaplamak mümkündür - rastgele bir değişken. Benzer şekilde,

(51.6) ispatını eşitlik temelinde elde ederiz.

(51.4) 'e göre yoğunluk aracılığıyla temsil ediyoruz ve sonra (51.8) 'den şu şekilde çıkıyor

Farklılaşma (51.9), ispatı tamamlayan eşitliğe (51.6) yol açar.

5. Rastgele değişkenler ve rastgele olaylar bağımsız ise ve herhangi bir sayı ve için bağımsız olarak adlandırılır. Bağımsız rastgele değişkenler için ve:

Kanıt, fonksiyonların tanımlarından ve,. ve bağımsız rasgele değişkenler olduğundan, olaylar: ve biçimindeki olaylar herhangi ve için bağımsızdır. Bu yüzden

Eşitlik (51.10) geçerlidir. (51.10) ile ilgili olarak farklılaşırız ve sonra (51.1'e göre) yoğunluklar için bir sonuç elde ederiz:

6. Düzlemde keyfi bir etki alanı olsun, o zaman

Vektörün bölgeden herhangi bir değer alma olasılığı, olasılık yoğunluğunun integrali üzerinden belirlenir.

Bir dikdörtgen üzerinde ve bu dikdörtgenin dışında bir olasılık yoğunluğuna sahip, düzgün bir olasılık dağılımına sahip rastgele bir vektör örneğini düşünün. Sayı normalleştirme koşulundan belirlenir:

B.V.'nin katkısı Olasılık teorisinin geliştirilmesinde Gnedenko

1930'larda, Boris Vladimirovich'in dikkati, bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı ile ilgili problemlere çekildi. Bu tür problemlere ilgi, matematikte 17. yüzyılın başlarında ortaya çıktı ...

Matematik istatistikleri

Normal dağılım yasasının parametrelerinin nokta tahminlerini kullanarak ve olasılık yoğunluğunu ve dağılım fonksiyonunu yazın ...

Sürekli rastgele değişkenler. Normal dağılım yasası

Sürekli bir rastgele değişken X, dağılım yoğunluğu f (x) tarafından verilsin. X'in tüm olası değerlerinin [a, b] segmentine ait olduğunu varsayalım. Bu segmenti n kısmi uzunluk segmentine bölüyoruz ...

rastgele vektörler

Rastgele sonucu olan problemlerde, genellikle birkaç rastgele değişkenin etkileşimini hesaba katmak gerekir. Bu doğal olarak çok boyutlu (vektör) rastgele değişkenler kavramına veya birkaç rastgele değişken koleksiyonuna yol açar ...

rastgele vektörler

Koşul altındaki rastgele bir değişkenin olasılık dağılımının koşullu yoğunluğuna fonksiyon: denir. (53.1) İlişkiyi (52.5) ​​​​(53.1) ile değiştiririz, o zaman. (53.2) Bu nedenle aşağıdaki gibidir. (53.3) - yoğunluklar için çarpma formülü ...

rastgele vektörler

Bağımsız rastgele değişkenler ve kovaryans için. Buna karşılık, rastgele değişkenler ve işlevsel bağımlılıkla bağlandığında başka bir aşırı durumu ele alacağız:, (56.1) sayılar nerede. Rastgele değişkenlerin kovaryansını hesaplayalım ve:. (56 ...

rastgele vektörler

Rastgele bir vektörün bir olasılık dağılım fonksiyonuna sahip olmasına izin verin ve kısmi bir türev var, (61.1) o zaman fonksiyona rastgele vektörün olasılık dağılım yoğunluğu denir veya - boyutsal olasılık yoğunluğu ...

rastgele vektörler

Ortak yoğunluk ve ortak olasılık dağılım fonksiyonu ile rastgele değişkenler olsun. Fonksiyonlar ve değişkenler de verilsin. İşlev argümanları yerine rastgele değişkenleri değiştiririz, o zaman (64 ...

rastgele vektörler

66.1. Dönüştürülen miktarın olasılık yoğunluğunu orijinal rasgele değişkenin yoğunluğu cinsinden belirleyen bağıntı (65.11), rasgele değişkenlerin dönüşümü durumuna genelleştirilebilir ...

rastgele süreçler

(71.1) türevi varsa, bu türev rastgele sürecin olasılık dağılımının -boyutlu yoğunluğu olarak adlandırılır. Yoğunluğun temel özellikleri (71 ...

Olasılık teorisi

Rastgele değişken, sayısal değeri bir stokastik deneyin sonucuna bağlı olarak değişebilen bir niceliktir. Ayrık, olası değerleri sonlu bir küme oluşturan rastgele bir değişkendir ...

Olasılık teorisi

Rastgele değişken, sayısal değeri stokastik bir deneyin sonucuna bağlı olarak değişebilen bir niceliktir. Sürekli, belirli bir aralıktan herhangi bir değer alabilen rastgele bir değişkendir ...

Olasılık teorisi ve rastgele değişkenler

Bir sürekli rasgele değişken X, dağılım fonksiyonu f (x) tarafından verilsin. Rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin segmente ait olduğunu varsayalım. Tanım. Sürekli bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisi ...

rastgele değişken nedir

İki tür rastgele değişken vardır: kesikli ve sürekli. Ayrık, değer kümesi sonlu veya sabit olan rastgele değişkenlerdir. Ayrık bir rastgele değişken örneği ...

Olasılık teorisinin unsurları

Matematiksel beklenti: (6) değerine matematiksel beklenti denir. Esasen, mevcut değerin uygulama ağırlığının verilen ortalamasıdır. Ağırlık kavramını açıklığa kavuşturmak için, burada bunun ayrık bir nicelik olduğunu varsayalım...

X olayının sonuç akışları ile Y olayının akışları arasında sıfırdır. Bu nedenle, eğer stokastik bağımsızlık gerçekleşirse, X = 0 ve Y = 3 olasılığının (6/27) (8/27) = 0.222 0.0658 = 0.0658'e eşit olması beklenir. Bunun yerine, bu olasılık sıfırdır, dolayısıyla ortak yoğunlukların koşulsuz bileşen yoğunluklarından türetilemeyeceği kabul edilen koşullu olasılık teoremini doğrular.

Yalnızca eklem yoğunluğu ve koşulsuz yoğunlukların varlığında korelasyon katsayısının nasıl belirleneceği biliniyordu, ancak uzun süre yalnızca koşulsuz yoğunluklara ve akıların korelasyon katsayısına sahip olan eklem yoğunluğunu belirlemenin imkansız olduğuna inanılıyordu. . Ve bu tam olarak ihtiyacım olan şeydi.

ORTAK DAĞITIM YOĞUNLUK FONKSİYONU

Normallik (koşul 1) ve rank (koşul 2) koşullarının sağlandığı eşzamanlı denklemler (2.1) sistemini göz önünde bulundurun. Daha sonra, (i) eklem yoğunluğu (y / 1,..., R / n) (Bo, T0, Ho) sadece indirgenmiş form parametreleri aracılığıyla (Po, o) 5 (n) Po ve 1'e bağlıdır. küresel olarak tanımlanabilirler.

Gerçekten, izin ver

kısıtlamaların rastgele vektörü b. Bileşen 6'nın dağıtım yoğunluğu

b (w) vektörünün bileşenlerinin ortak dağılım yoğunluğunu f ile gösteririz.

Bu formül, bu SW'lerin ortak olasılığını (ortak olasılık yoğunluğu) belirlemek için kullanılabilir.

Ortak olasılık, ortak dağılım fonksiyonu, ortak olasılık yoğunluğu, dikkate alınan RV'nin bileşenlerinin her birinin davranışı ve birbirleriyle ilişkileri hakkında net bir fikir vermez. Bu durumda, çok boyutlu SV'nin bileşenlerinin her birinin dağılım yasaları oluşturulabilir. Ayrıca, her biri aynı değerleri alır, ancak (1.23), (1.24) formülleriyle hesaplanan karşılık gelen marjinal olasılıklar veya marjinal dağılım fonksiyonları ile. Örneğin, iki boyutlu ayrık SV (X, Y) tablo şeklinde belirtilebilir.

Ortak olasılık nedir, ortak dağılım fonksiyonu, ortak olasılık yoğunluğu

İki rastgele değişkenin ortak olasılık yoğunluk dağılımına bir örnek verin ve bu değişkenlerin korelasyon katsayısının farklı değerleri için seviye çizgilerini çizin.

Bu varsayım analitik olarak şu şekilde yeniden yazılabilir: varlık / -ve şirket bir X, (1), X, (2), ..., X, (T) gelir akışı oluşturur. Bu akışın öğeleri, хЛ-У, (1), Х, (2), biçiminde bir ortak dağılım yoğunluğuna sahip rastgele değişkenlerdir. .., X, (T)]. i-th cor-'un karlılığı

Esas olarak, X rastgele değişkenlerinin ortak dağılımının olduğu zaman serilerini ele alacağız. .., X, p (x, x, ..., x) ortak dağılım yoğunluğuna sahiptir.

Bu varsayımlar altında, ul, ...,un rastgele vektörlerinin ortak dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

u, = y, T - xtB olduğundan, daha sonra u1, ..., unc değişkenlerinden y1, ..., yn değişkenlerine geçerek, y1 vektörlerinin değerlerinin ortak yoğunluğu için bir ifade elde ederiz. , ..., y şeklinde

f (x) - f (x, y) dy ve ftj (y) - f (x, y) dx için eklem yoğunluğunun

Tüm bu koşullu yoğunluklar, eklem yoğunluğu cinsinden kolayca ifade edilir.

Rastgele ve sistematik faktörlerin birleşik etkisi nedeniyle, teknolojik parametreler ve ürün parametreleri rastgele değişkenlerdir. Genellikle dağılım yoğunluğu f (x) (-)] normal veya kesik normal yasaya göre dağıtılırlar.

Birçok nesil fizikçi ve matematikçinin üç yüz yıllık ortak güçlü faaliyeti için uyumlu bir bina inşa etmek mümkün oldu - fiziksel süreçlerin matematiksel modellerinden oluşan bir sistem. Bu binanın birçok katı var. Fiziksel fenomen modellerinin temelini oluşturan ilkelere dayanır. Bu ilkeler, uzun bir bilim gelişiminin ürünüdür, insanın çevresindeki doğa üzerindeki etkisinin deneyimini, yani doğal bir deneyin önemli bir yer işgal ettiği pratiği (kelimenin felsefi anlamında) somutlaştırır. Doğa Bilimleri. Isaac Newton tarafından formüle edilen mekaniğin üç ilkesi, ilgilendiğimiz nesnelerin maddi noktalar ve hızları şeklinde yeterli bir doğruluk derecesi ile tanımlanabilmesi durumunda mekanikte matematiksel modeller oluşturmak için yeterli bir temel görevi görür. ışık hızından uzaktır. Bu tür nesneler, bir sarkacın salınımlarından bir uzay aracının kontrollü uçuşuna kadar geniş bir incelenen fenomen sınıfını içerir. Üç Newton ilkesine katı bir cismin deformasyonunu tanımlama ilkelerini ekleyerek, katı cisimlerin sonlu boyutlarla etkileşimini zaten tanımlayabiliriz. Newton'un ilkelerine, bir sıvıyı sürekli, sürekli bir ortam olarak kabul etme ilkesini (yani moleküler yapısını ihmal etme), yoğunluk ve basınç arasındaki ilişkiyi açıklama ilkesini ve forma sahip kütlenin korunumu ilkesini ekleyerek. bir ortamın süreklilik denkleminden sıvının matematiksel bir modelini elde ederiz.

Bu örnekten, ilk sütundaki olasılıkların toplamının, İyi Sonuçlar sütunuyla (0.4) ilişkili koşulsuz yoğunluğa eşit olması gerektiğini görebilirsiniz. Yani, bir yanda Savaş, Kriz, Durgunluk, Barış ve Refah ve diğer yanda İyi sonuçların ortak olasılıklarının toplamı kesinlikle 0,4'e eşit olmalıdır.

Her satırdaki ve her sütundaki ortak olasılıkların, her satır ve her sütunla ilişkili koşulsuz yoğunluğa (olması gerektiği gibi) toplanmasını istiyorsanız, artık tek bir ortak olasılığa sahip olmama konusunda endişelenmenize gerek olmadığını unutmayın. üst sınırı aşacaktır (ve olması gerektiği gibi, tüm ortak olasılıklarınız 0'dan büyük veya 0'a eşit olduğu sürece, alt sınırı geçmeleri konusunda endişelenmenize gerek yoktur). Ayrıca, her satırdaki ve her sütundaki ortak olasılıklar, her satır ve her sütunla ilişkili koşulsuz yoğunluklara eşitse, o zaman

Bileşenlerin koşulsuz olasılık yoğunluklarından ortak olasılık yoğunluğunun elde edilemeyeceğini öne süren, koşullu olasılıklar üzerine iyi bilinen teorem beni çok üzdü. Geleneksel bakış açısına göre, stokastik bağımsızlığın yokluğunda, birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonunun benzersiz olduğuna, tamamen bağımsız olduğuna, bu da sanki hiçbir yerdenmiş gibi göründüğüne inanılıyordu. Yani, koşulsuz fonksiyonlar aracılığıyla ifade edilmez. ancak koşulsuz bileşen yoğunluklarının işlevlerinden geri alınamayan yeni, bağımsız bir olasılık yoğunluk işlevi vardır. Bunu doğrulamak için, Şekil 2'de grafiksel olarak gösterdiğimiz Feller'den ödünç alınan aşağıdaki tabloyu inceleyin. 3.1.

Modern Arnavut toplumu, sanayileşmeden, şehirlerin büyümesinden, köylerden şehirlere, bir şehirden diğerine nüfus göçü, aynı işletmede çalışan insanların şehrin farklı yerlerine yeniden yerleştirilmesinden, diğer herhangi bir Avrupa ülkesinden daha az etkilenmektedir. Bu ülkedeki ailelerin parçalanması (nükleerleşmesi), örneğin Rusya'daki kadar ileri gitmedi. Sadece köylerde değil, Arnavutluk şehirlerinde de komşular çocukluktan biliyor