2.3. Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme

2.3.1. Tam sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme

Tabanlı bir sistemden tam sayıları çevirmek için bir algoritma formüle etmek mümkündür. P tabanı olan bir sisteme Q :

1. Yeni sayı sisteminin temeli, orijinal sayı sisteminin sayılarıyla ifade edilir ve sonraki tüm işlemler orijinal sayı sisteminde gerçekleştirilir.

2. Ortaya çıkan tamsayı bölümlerinin verilen sayıdaki bölümünü yeni sayı sistemine göre bölenden küçük olan bölümü elde edene kadar ardışık olarak gerçekleştirin.

3. Sayının basamakları olan sonuçtaki kalıntılar yeni sistem sayıları yeni sayı sisteminin alfabesine uygun hale getirin.

4. Yeni sayı sisteminde son kalandan başlayarak bir sayı oluşturun.

Örnek 2.12. 173 10'u ondalık sayıya dönüştür sekizli sistem hesaplaşma:

Şunu elde ederiz: 173 10 = 255 8

Örnek 2.13. Ondalık sayı 173 10'u şuna çevir onaltılık sistem hesaplaşma:

Şunu elde ederiz: 173 10 = AD 16.

Örnek 2.14. Ondalık sayıyı 11 10'a çevir İkili sistem hesaplaşma. Yukarıda ele alınan eylemlerin sırasını (çeviri algoritması) aşağıdaki gibi göstermek daha uygundur:

Şunu elde ederiz: 11 10 = 1011 2.

Örnek 2.15. Bazen çeviri algoritmasını bir tablo şeklinde yazmak daha uygundur. Ondalık 363 10'u ikiliye dönüştürme.

bölücü

Şunu elde ederiz: 363 10 = 101101011 2

2.3.2. Kesirli sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme

Doğru robi'yi bir sayı tabanı ile çevirmek için bir algoritma formüle etmek mümkündür. P baz ile fraksiyona Q:

1. Yeni sayı sisteminin temeli, orijinal sayı sisteminin sayılarıyla ifade edilir ve sonraki tüm işlemler orijinal sayı sisteminde gerçekleştirilir.

2. Ardışık olarak bu sayıları ve ürünlerin elde edilen kesirli kısımlarını yeni sisteme göre çarpın. kesirli kısımçarpım sıfır olmayacak veya sayı gösteriminin gerekli hassasiyeti sağlanacaktır.

3. Yeni sayı sisteminde bir sayının rakamları olan ürünlerin ortaya çıkan bütün parçaları, alfabetik yeni sayı sistemine uygun hale getirilmelidir.

4. Yeni sayı sisteminde sayının kesirli kısmını birinci çarpımın tamamından başlayarak oluşturun.

Örnek 2.17. 0.65625 10'u Onaltılık gösterime dönüştürün.

Şunu elde ederiz: 0.65625 10 = 0.52 8

Örnek 2.17. 0.65625 10'u Onaltılık gösterime dönüştürün.

	x 16

Şunu elde ederiz: 0.65625 10 = 0, A8 1

Örnek 2.18. Ondalık 0,5625 10'u ikili gösterime dönüştürün.

	x 2
	x 2
	x 2
	x 2

Şunu elde ederiz: 0,5625 10 = 0.1001 2

Örnek 2.19. Ondalık kesri ikili gösterime dönüştürün 0,7 10.

Açıkçası, bu süreç süresiz olarak devam edebilir ve 0,7 10 sayısının ikili eşdeğerinin görüntüsünün giderek daha fazla işaretini verir. Böylece, dört adımda 0.1011 2 sayısını ve yedi adımda 0.1011001 2 sayısını elde ederiz; bu, ikili sistemde 0,7 10 sayısının daha doğru bir temsilidir. sayı sistemi ve Böyle bir sonsuz süreç, sayı gösteriminin gerekli kesinliğinin elde edildiği düşünüldüğünde bir aşamada sonlandırılır.

2.3.3. Rasgele sayıların çevirisi

Rasgele sayıların çevirisi, yani. tamsayı ve kesirli kısımlar içeren sayılar iki aşamada gerçekleştirilir: tüm kısım ayrı olarak çevrilir ve kesirli kısım ayrı olarak çevrilir. Ortaya çıkan sayının son kaydında tamsayı kısmı kesirli virgülden (noktadan) ayrılır.

Örnek 2.20... İkili sayı 17.25 10 dönüştürün.

Şunu elde ederiz: 17.25 10 = 1001.01 2

Örnek 2.21. 124.25 10'u Octal sistemine dönüştürün.

Şunu elde ederiz: 124.25 10 = 174.2 8

2.3.4. Sayıları taban 2'den taban 2 n'ye ve geriye çevirme

Tamsayıların çevirisi. Bir q-ary sayı sisteminin tabanı 2'nin katı ise, o zaman sayıların q-ary sayı sisteminden 2-ary sayı sistemine dönüştürülmesi ve bunun tersi de yapılabilir. Basit kurallar... q = 2 n tabanında bir tamsayı ikili sayı yazmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. İkili sayıyı sağdan sola her biri n basamaklı gruplara bölün.

2. Soldaki son grup n'den daha az basamak içeriyorsa, o zaman sol tarafta, gerekli basamak sayısına sıfırlarla doldurulmalıdır.

Örnek 2.22. 101100001000110010 2 sayısını sekizlik sayı sistemine çevirelim.

Sayıyı sağdan sola üçlülere böleriz ve her birinin altına karşılık gelen sekizlik basamağı yazarız:

Orijinal sayının sekizli temsilini alıyoruz: 541062 8.

Örnek 2.23. 10000000001111110000111 2 sayısı onaltılık sayı sistemine dönüştürülür.

Sayıyı sağdan sola dörtlülere böleriz ve her birinin altına karşılık gelen onaltılık basamağı yazarız:

Orijinal sayının onaltılık gösterimini alıyoruz: 200F87 16.

Kesirli sayıların çevirisi. q = 2 n bazında bir kesirli ikili sayı yazmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. İkili sayıyı soldan sağa her biri n basamaklı gruplara bölün.

2. Son sağ grup n'den az basamak içeriyorsa, sağdan gerekli basamak sayısına kadar sıfırlarla tamamlanmalıdır.

3. Her grubu bir n-bitlik ikili sayı olarak düşünün ve q = 2 n bazında karşılık gelen bir rakamla yazın.

Örnek 2.24. 0.10110001 2 sayısı sekizli sayı sistemine dönüştürülür.

Sayıyı soldan sağa üçlülere böleriz ve her birinin altına karşılık gelen sekizlik basamağı yazarız:

Orijinal sayının sekizli temsilini alıyoruz: 0,542 8.

Örnek 2.25. 0.100000000011 2 sayısını onaltılık sayı sistemine çeviriyoruz. Sayıyı soldan sağa dörtlülere böleriz ve her birinin altına karşılık gelen onaltılık basamağı yazarız:

Orijinal sayının onaltılık gösterimini alıyoruz: 0.803 16

Rasgele sayıların çevirisi. q = 2 n bazında isteğe bağlı bir ikili sayı yazmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. Verilen bir ikili sayının tamsayı kısmını sağdan sola ve kesirli kısmını soldan sağa her biri n basamaklı gruplara ayırın.

2. Son sol ve/veya sağ gruplarda n'den az rakam varsa, bunlar gerekli basamak sayısına kadar sola ve/veya sağa sıfırlarla tamamlanmalıdır;

3. Her grubu bir n-bitlik ikili sayı olarak düşünün ve q = 2 n tabanındaki karşılık gelen rakamla yazın.

Örnek 2.26. 111100101,0111 2 sayısını sekizli sayı sistemine çevirelim.

Sayının tamsayı ve kesirli kısımlarını üçlülere böleriz ve her birinin altına karşılık gelen sekizlik basamağı yazarız:

Orijinal sayının sekizli temsilini alıyoruz: 745.34 8.

Örnek 2.27. 11101001000,11010010 2 sayısını onaltılık sayı sistemine çeviriyoruz.

Sayının tamsayı ve kesirli kısımlarını not defterlerine böldük ve her birinin altına karşılık gelen onaltılık basamağı yazıyoruz:

Orijinal sayının onaltılık gösterimini alıyoruz: 748, D2 16.

Sayı sistemlerinden sayıları q = 2 tabanlı dönüştürmen ikiliye. NS Rasgele sayı, sayı sisteminde q = 2 n tabanı ile yazılmış, ikili sayı sistemine çevrildiğinde, bu sayının her basamağını ikili sayı sistemindeki n basamaklı eşdeğeriyle değiştirmeniz gerekir.

Örnek 2.28.Biz tercüme ederiz onaltılık sayı 4АС35 16 ikili bir sayı sistemidir.

Algoritmaya göre:

Aldığımız: 1001010110000110101 2.

Kendi kendine çalışma ödevleri (Cevaplar)

2.38. Her satırına aynı tamsayı yazılması gereken tabloyu doldurunuz. farklı sistemler hesaplaşma.

İkili	Sekizli	Ondalık	onaltılık

2.39. Tabloyu doldurun, her satırda aynı kesirli sayı farklı sayı sistemlerinde yazılmalıdır.

İkili	Sekizli	Ondalık	onaltılık

2.40. Her satırında aynı keyfi sayının (sayı hem tamsayı hem de kesirli kısımlar içerebilir) farklı sayı sistemlerinde yazılması gereken tabloyu doldurun.

İkili	Sekizli	Ondalık	onaltılık
			59, B

Dersin Hedefleri:

• sayı sistemi üzerinde çalışılan materyali tekrarlayın;
• bir sayıyı ondalık sistemden başka herhangi bir konumsal sayı sistemine veya tam tersine çevirmeyi öğrenin;
• sayıları bir sistemden diğerine aktarma ilkelerine hakim olmak;
• mantıksal düşünme geliştirin.

Dersler sırasında

Dersin başında kısa bir inceleme ve ev ödevi kontrolü.

Bilgisayar belleğinde sunulan sayısal bilgiler hangi biçimdedir?

Sayı sistemleri ne için kullanılır?

Ne tür sayı sistemleri biliyorsunuz? Örneklerinizi verin.

Konumsal sistemler konumsal olmayanlardan nasıl farklıdır?

Dersimizin amacı, bir sayının nasıl çevrileceğini öğrenmektir. ondalık sistem başka herhangi bir konumsal sayı sistemine ve tam tersi. Ama önce, nasıl yapabileceğinize bakacağız.

negatif olmayan herhangi bir tamsayıyı temsil eder:

V konumsal sistemler bir tamsayı kaydetmenin değeri aşağıdaki kurala göre belirlenir: a n a n-1 a n-2 ... a 1 a 0 - A sayısını ve i - basamakları kaydedin, ardından

p, sayı sisteminin tabanı olarak adlandırılan 1'den büyük bir tam sayıdır.

Belirli bir p için negatif olmayan herhangi bir tamsayı formül (1) ile ve ayrıca benzersiz bir şekilde yazılabilmesi için, Sayısal değerler farklı rakamlar, 0 ile p-1 aralığına ait farklı tam sayılar olmalıdır.

1) Ondalık sistem

rakamlar: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

5735 sayısı = 5 10 3 + 7 10 2 + 3 10 1 + 8 10 0

2) üçlü sistem

rakamlar: 0,1,2

sayı 201 3 = 2 3 2 + 0 3 1 + 1 3 0

Not: Sayı gösterimindeki alt simge, sayının yazıldığı sayı sisteminin tabanını belirtir. Ondalık sayı sistemi için dizin atlanabilir.

Negatif ve kesirli sayıların gösterimi:

Tüm konumsal sistemlerde, '-' işareti, ondalık sistemde olduğu gibi negatif sayıları yazmak için kullanılır. Sayının tamsayı kısmını kesirli kısımdan ayırmak için virgül kullanılır. A sayısının ana n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 a -2 ... a m-2 a m-1 am kaydının değeri aşağıdaki formülle belirlenir. formülün (1) bir genellemesidir:

75,6 = 7 · 10 1 + 5 · 10 0 + 6 · 10 -1

–2.314 5 = - (2 · 5 0 + 3 · 5 –1 + 1 · 5 –2 + 4 · 5 –3)

gelen sayıları çevirmek keyfi sistem ondalık sayılar:

Bir sayı sistemini bir sayı sisteminden diğerine çevirirken, sayının nicel değerinin değişmediği, ancak bir sayının adının, örneğin Rusça'dan İngilizce'ye.

Sayıları rastgele bir sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürmek, tamsayılar için formül (1) ve kesirli sayılar için formül (2) kullanılarak doğrudan hesaplama ile gerçekleştirilir.

Sayıları ondalık sayıdan keyfi hale dönüştürme.

Bir sayıyı ondalık sistemden taban p sistemine dönüştürmek, formül (2)'deki katsayıları bulmak anlamına gelir. Bazen yapmak kolaydır basit seçim... Örneğin, 23,5 sayısını sekizlik sisteme dönüştürmek istediğinizi varsayalım. 23,5 = 16 + 7 + 0,5 = 2 · 8 + 7 + 4/8 = 2 · 8 1 + 7 · 8 0 + 4 · 8 –1 = 27,48 olduğunu görmek kolaydır. Cevabın her zaman bu kadar açık olmadığı açıktır. V Genel dava sayının tamsayı ve kesirli kısımlarını ayrı ayrı çevirme yöntemi uygulanır.

Tam sayıları çevirmek için aşağıdaki algoritma kullanılır (formül (1) temelinde elde edilir):

1. Sayıyı p'ye böldükten sonra bölümü ve kalanı bulun. Geri kalan, yeni sayı sistemindeki sayı kaydının bir sonraki basamağı ai (j = 0,1,2 ...) olacaktır.

2. Bölüm sıfır ise, sayının çevirisi tamamlanmıştır, aksi takdirde bölüme 1'inci maddeyi uygularız.

Açıklama 1. Sayı kaydındaki ai rakamları sağdan sola doğru numaralandırılmıştır.

Not 2. Eğer p> 10 ise, sayısal değerleri 10'a eşit veya daha büyük olan sayılar için tanımların girilmesi gerekir.

165 sayısını yedili sayı sistemine dönüştürün.

165: 7 = 23 (kalan 4) => a 0 = 4

23: 7 = 3 (kalan 2) => a 1 = 2

3: 7 = 0 (kalan 3) => a 2 = 3

Sonucu yazalım: a 2 a 1 a 0, yani. 3247.

Formül (1)'i kontrol ettikten sonra, çevirinin doğru olduğundan emin olacağız:

3247 = 3 7 2 + 2 7 1 + 4 7 0 = 3 49 + 2 7 + 4 = 147 + 14 + 4 = 165.

Sayıların kesirli kısımlarını çevirmek için formül (2) temelinde elde edilen bir algoritma kullanılır:

1. Sayının kesirli kısmını p ile çarpın.

2. Tüm parça sonuç, yeni numara sistemindeki numara kaydının bir sonraki basamağı (m = –1, –2, –3 ...) olacaktır. Sonucun kesirli kısmı sıfır ise, sayının çevirisi tamamlanmıştır, aksi takdirde ona 1. noktayı uygularız.

Not 1. Sayı kaydındaki a m rakamları, m'nin mutlak değerine göre artan sırada soldan sağa doğru yer alır.

Not 2. Genellikle kesirli basamakların sayısı Yeni giriş sayı önceden sınırlıdır. Bu, belirli bir doğrulukla yaklaşık bir çeviri yapmanızı sağlar. Sonsuz kesirler durumunda, bu kısıtlama algoritmanın sonluluğunu sağlar.

İkili sayıyı 0.625 dönüştürün.

0.625 2 = 1.25 (tüm kısım 1) => a -1 = 1

0,25 2 = 0,5 (tamsayı 0) => a- 2 = 0

0,5 2 = 1,00 (tüm kısım 1) => a- 3 = 1

Yani 0.62510 = 0.1012

Formül (2)'yi kontrol ettikten sonra, çevirinin doğru olduğundan emin olacağız:

0.1012 = 1 2 -1 + 0 2- 2 + 1 2 -3 = 1/2 + 1/8 = 0.5 + 0.125 = 0.625.

0.165 sayısını, dört dörtlü basamakla sınırlı dörtlü sayı sistemine dönüştürün.

0.165 4 = 0.66 (tamsayı 0) => a -1 = 0

0.66 4 = 2.64 (2'nin tamsayı kısmı => a -2 = 2

0.64 4 = 2.56 (bütün kısım 2) => a -3 = 2

0,56 4 = 2,24 (2'nin tamsayı kısmı => a -4 = 2

Yani, 0.16510 "0.02224

Mutlak hatanın 4–4'ü geçmediğinden emin olmak için ters çeviri yapalım:

0.02224 = 0 4 -1 + 2 4 -2 + 2 4 -3 + 2 4 -4 = 2/16 + 2/64 + 2/256 = 1/8 + 1/32 + 1/128 = 21/128 = 0.1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

Sayıları rastgele bir sistemden diğerine dönüştürme

Bu durumda, önce sayıyı ondalık sisteme, ardından ondalıktan gerekli sayıya çevirmelisiniz.

Çoklu tabanlı sistemler için sayıları çevirmek için özel bir yöntem kullanılır.

İki sayı sisteminin tabanı p ve q olsun. p = qn veya q = pn ise bu çoklu tabanlı sayı sistemlerini arayacağız, burada n bir doğal sayıdır. Örneğin, 2 ve 8 tabanlı sayı sistemleri, birden çok tabanlı sayı sistemleridir.

p = qn olsun ve q tabanlı sayı sisteminden bir sayıyı p tabanlı sayı sistemine dönüştürmek gerekir. Sayı kaydının tamsayı ve kesirli kısımlarını virgülün solunda ve sağında art arda yazılmış n basamaklı gruplara ayırdık. Sayının tamsayı kısmının kaydındaki basamak sayısı n'nin katı değilse, o zaman karşılık gelen sıfır sayısını sola eklemelisiniz. Bir sayının kesirli kısmının kaydındaki basamak sayısı n'nin katı değilse, sağa sıfırlar eklenir. Bu tür her bir rakam grubu, içinde bir sayıdır. eski sistem sayılar, yeni sayı sistemindeki bir sayının bir basamağına karşılık gelecektir.

110001.111 2'yi 4'lü sayı sisteminde dönüştürme.

Sıfırları toplayıp sayı çiftlerini seçtikten sonra 01100001.11102 elde ederiz.

Şimdi, sayıları rastgele bir sistemden diğerine dönüştürme öğesini kullanarak her bir sayı çiftini ayrı ayrı çevirelim.

Böylece, 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.

Şimdi, q tabanlı büyük bir sistemden, daha küçük tabanlı bir sisteme, yani. q = p n. Bu durumda, eski sayı sistemindeki sayının bir hanesi, yeni sayı sistemindeki sayının n hanesine karşılık gelir.

Örnek: Bir sayının önceki çevirisini kontrol edelim.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

Onaltılı sistemde 10,11,12,13,14,15 sayısal değerleri olan sayılar vardır. Bunları belirtmek için Latin alfabesi A, B, C, D, E, F'nin ilk altı harfini kullanın.

İşte 10, 2, 8 ve 16 tabanlarında yazılmış 0'dan 16'ya kadar bir sayı tablosu.

Ondalık sayı	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
sekizli olarak	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
ikili olarak	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
onaltılık	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	NS	E	F	10

kayıt için onaltılık rakamlar küçük harf de kullanabilirsiniz Edebiyat a-f.

Örnek: 110101001010101010100.11 2 sayısını onaltılık sayı sistemine çevirelim.

Sayı sistemlerinin (16 = 2 4) tabanlarının çokluğunu kullanalım. Sayıları dörde göre gruplayalım, gerekli sayıda sıfırı sola ve sağa ekleyerek

000110101001010101010100,1100 2

ve tabloya bakarak şunu elde ederiz: 1A9554, C 16

Çıktı:

Hangi sayı sisteminin sayı yazmak için daha iyi olduğu bir kolaylık ve gelenek meselesidir. Teknik açıdan bakıldığında, bir sayıyı kaydetmek için yalnızca iki basamak 0 ve 1 kullandığından, bir bilgisayarda ikili bir sistem kullanmak uygundur; bir işaret".

Öte yandan, ondalık sayılardan daha uzun olmaları ve içlerinde çok sayıda tekrar eden basamak olması nedeniyle, bir kişinin ikili sayıların gösterimi ile uğraşması elverişsizdir. Bu nedenle, sayıların makine gösterimleriyle çalışmak gerekirse, sekizli veya onaltılı sayı sistemini kullanın. Bu sistemlerin tabanları ikinin tamsayı kuvvetleridir ve bu nedenle sayılar bu sistemlerden ikiliye veya tam tersine kolayca çevrilebilir.

Görevi evde yazıyoruz:

a) Ailenizin tüm üyelerinin doğum tarihlerini farklı numaralandırma sistemlerine kaydedin.

b) Sayıları ikiliden sekizliye ve onaltılıya çevirin ve ardından ters çevirileri yaparak sonuçları kontrol edin:

a) 1001111110111.011 2;

Etiketler: Sayı sistemi, sayı sistemi çevirisi, ilgili sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemleri için sayı tabanını değiştirme

Tabanı q olan konumsal sayı sisteminde, sayı bir polinom olarak gösterilebilir.

... + bir 2 ∙ q 2 + bir 1 q 1 + bir 0 ∙ q 0 + bir -1 ∙ q -1 + bir -2 ∙ q -2 + ...

burada a i katsayıları q tabanlı rakamlardır.

Örneğin, ondalık gösterimde

124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3

Baz q sisteminde basamak sayısı q'dur, maksimum basamak q - 1'dir. Basamak q'ya eşit olamaz, çünkü bu durumda birim yeni bir basamağa aktarılacaktır.

Örneğin, 7832 sayısının yazıldığı minimum tabanı bulmanız gerekir.Maksimum rakam 8 olduğundan, o zaman en az değer q = 8 + 1 = 9.

Sayı sisteminin temeli, prensipte herhangi bir sayı olabilir: tam, negatif, rasyonel, irrasyonel, karmaşık vb. Yalnızca pozitif tamsayı tabanlarını ele alacağız.

Bizim için özellikle ilgi çekici olan, üs 2 ve iki - 8 ve 16'nın kuvvetleri olan üsler olacaktır.

Baz ile olması durumunda. ile birlikte. ondan fazla ise yeni sayılar alfabeden sırayla alınır. Örneğin, onaltılık sistem için bunlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F sayıları olacaktır.

Ondalık sayı sisteminin tamsayı bölümünün çevirisi

Ondalık sayıdan n-ary'ye dönüştürmenin ilk yolu, sayıyı sıralı olarak yeni tabana bölmektir.

123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10 = A)

Önce tekrar bir araya getirmek son değer(bu 0), sonra yukarıdan aşağıya tüm artıkları. 0A3 = A3 elde ederiz

4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)

Tekrar bir araya getirdiğimizde 10723 elde ederiz.

3349 10 → X 16

3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)

Bir araya getirmek: 0D15 = D15

545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)

01000100001 = 1000100001 topluyoruz

Kağıt üzerinde çeviri genellikle uzun bölme ile yapılır. Bölme sıfıra ulaşana kadar, sonraki her cevap s tabanına bölünür. ile birlikte. Sonunda, cevap bölümün geri kalanından toplanır.

Ayrıca, sıklıkla bir sayıyı başka bir s'ye dönüştürebilirsiniz. ile birlikte. , eğer zihnimizde sayıyı çevirmek istediğimiz karşılık gelen bazın derecelerinin toplamı olarak hayal edersek.

Örneğin 129, 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2'dir.

80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3

Tamsayı bölümünün ondalık gösterimine dönüştürme

Çeviri, sayının konumsal sayı sistemindeki temsili kullanılarak gerçekleştirilir. A3 12 → X 10 A3'ün 3 ∙ q 0 + A ∙ q 1 olduğu biliniyor, yani 3 * 1 + A * 12 = 3 + 120 = 123

10723 8 → X 10

1 ∙ q 4 + 0 ∙ q 3 + 7 ∙ q 2 + 2 ∙ q 1 + 3 ∙ q 0 = 1 ∙ 8 4 + 0 + 7 ∙ 8 2 + 2 ∙ 8 + 3 = 1 ∙ 4096 + 7 ∙ 64 + 2 ∙ 8 + 3 = 4563

D ∙ 16 2 + 1 ∙ 16 1 + 5 ∙ 16 0 = 13 ∙ 256 + 16 + 5 = 3349

1000100001 2 → X 10

2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.

Kağıt üzerinde çeviri genellikle yapılır Aşağıdaki şekilde... Her basamağın üstüne derecenin numarasını sırayla yazın. Sonra tüm terimler yazılır.

Ondalık sistemden kesirli bir parçayı dönüştürme

Kesirli kısmın çevrilmesi sırasında, genellikle son ondalık kesrin sonsuz bir sayıya dönüştüğü bir durum ortaya çıkar. Bu nedenle, genellikle çeviri yaparken, çevirmenin gerekli olduğu doğruluk belirtilir. Çeviri, kesirli kısmı sayı sisteminin tabanı ile sırayla çarparak gerçekleştirilir. Aynı zamanda, bütün kısım yatar ve kesire dahil edilir.

0.625 10 → X 2

0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)

0 - daha fazla çarpma sadece sıfır verir
Yukarıdan aşağıya doğru koyarsak 0.101 elde ederiz.

0,310 → X2 0,3 * 2 = 0,6 (0) 0,6 * 2 = 1,2 (1) 0,2 * 2 = 0,4 (0) 0,4 * 2 = 0,8 (0) 0,8 * 2 = 1,6 (1) 0,6 * 2 = 1,2 (1 )

0.2 ... periyodik bir kesir elde ederiz
Bir araya getirdiğimizde, 0.0100110011001 ... = 0.0 (1001) elde ederiz.

0.64510 → X5 0.645 * 5 = 3.225 (3) 0.255 * 5 = 1.275 (1) 0.275 * 5 = 1.375 (1) 0.375 * 5 = 1.875 (1) 0.875 * 5 = 4.375 (4) 0.375 * 5 = 1.875 (1 ) ...

0.3111414… = 0.311(14)

Kesirli kısmı ondalık sisteme çevirme

Tüm kısmın çevrilmesine benzer şekilde, basamağın basamağının taban ile sayıdaki konumuna eşit derecede çarpılmasıyla gerçekleştirilir.

0.101 2 → X 10

1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625

0.134 5 → X 10

1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352

Rasgele bir sayı sisteminden keyfi bir sayı sistemine dönüşüm

Rasgele bir sayı sisteminden keyfi bir s'ye çeviri. ile birlikte. ondalık s kullanılarak gerçekleştirilir. ile birlikte.

X N → X M ≡ X N → X 10 → X M

Örneğin

122121 3 → X 7

1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10

1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)

1221201 3 → 4060 7

İlgili sayı sistemleri

Sayı sistemleri, tabanları aynı sayının kuvvetleri olduğunda ilişkili olarak adlandırılır. Örneğin 2, 4, 8, 16. Tablo kullanılarak ilgili sayı sistemleri arasında çeviri yapılabilir.

Taban 2 ile ilgili sayı sistemleri arasında çeviri yapmak için tablo

10	2	4	8	16
0	0000	000	00	0
1	0001	001	01	1
2	0010	002	02	2
3	0011	003	03	3
4	0100	010	04	4
5	0101	011	05	5
6	0110	012	06	6
7	0111	013	07	7
8	1000	020	10	8
9	1001	021	11	9
10	1010	022	12	A
11	1011	023	13	B
12	1100	030	14	C
13	1101	031	15	NS
14	1110	032	16	E
15	1111	033	17	F

Bir ilgili sayı sisteminden diğerine çevirmek için önce sayıyı ikili sisteme çevirmeniz gerekir. İkili sisteme dönüştürmek için, sayının her basamağı karşılık gelen iki (dörtlü için), üç (sekizlik için) veya dört (onaltılık için) ile değiştirilir.

123 4 için bir, 01 yerine iki, 10 yerine iki, 11 yerine üç konur, 11011 2 elde ederiz.

5721 8 için sırasıyla 101, 111, 010, 001, toplam 101111010001 2

E12 16 için 111000010010 2 alıyoruz

İkili sistemden çeviri yapmak için, sayıyı ikişer (4.), üçlü (8.) veya dörtlü (16.) sayılara bölmeli ve ardından bunları karşılık gelen değerlerle değiştirmelisiniz.

Açıklama 1

Bir sayıyı bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek istiyorsanız, onu ondalık sayı sistemine çevirmeye başlamak ve ancak o zaman ondalık sayıdan başka bir sayı sistemine çevirmek daha uygundur.

Sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürme kuralları

V bilgi işlem, makine aritmetiği kullanarak, sayıların bir sayı sisteminden diğerine dönüştürülmesi önemli bir rol oynar. Aşağıda bu tür dönüşümler (çeviriler) için temel kurallar bulunmaktadır.

İkili bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürürken, ikili sayıyı, her bir elemanı sayının basamağının ve taban sayının karşılık gelen gücünün bir ürünü olarak temsil edilen bir polinom şeklinde temsil etmek gerekir. bu durum$ 2 $ ve ardından polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $

Şekil 1. Tablo 1

örnek 1

$ 11110101_2 $ sayısı Decimal gösterime dönüştürülür.

Çözüm.$ 1 $ derece tabanı $ 2 $ tablosunu kullanarak, sayıyı bir polinom şeklinde temsil ediyoruz:

$ 11110101_2 = 1 \ cdot 27 + 1 \ cdot 26 + 1 \ cdot 25 + 1 \ cdot 24 + 0 \ cdot 23 + 1 \ cdot 22 + 0 \ cdot 21 + 1 \ cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $

Bir sayıyı sekizli sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürmek için, onu her bir elemanı sayının basamağının bir ürünü olarak temsil edilen bir polinom olarak temsil etmeniz gerekir ve bu durumda 8 $ $ ve ardından polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $

Şekil 2. Tablo 2

Örnek 2

$ 75013_8 $ sayısı Decimal gösterime dönüştürülür.

Çözüm.$ 2 $ derece tabanı $ 8 $ tablosunu kullanarak, sayıyı bir polinom şeklinde temsil ediyoruz:

$ 75013_8 = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $

Bir sayıyı onaltılık sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürmek için, her elemanı sayının basamağının ve taban sayının karşılık gelen gücünün bir ürünü olarak temsil edilen bir polinom olarak temsil etmek gerekir, bu durumda $ 16 $ ve sonra polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $

Şekil 3. Tablo 3

Örnek 3

$ FFA2_ (16) $ sayısı ondalık gösterime dönüştürülür.

Çözüm. 8 $ bazında 3 $ derecelik yukarıdaki tabloyu kullanarak, sayıyı bir polinom olarak temsil ediyoruz:

$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_ (10) $

Sayıları bir ondalık sayı sisteminden diğerine dönüştürme kuralları

• Bir sayıyı ondalık sayıdan ikili sayıya dönüştürmek için, 1$'dan küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar sırayla 2$'a bölünmesi gerekir. İkili sistemdeki sayı, bölme işleminin son sonucunun bir dizisi olarak ve bölmenin geri kalanının tersi sırayla temsil edilir.

Örnek 4

$ 22_ (10) $ sayısı ikili gösterime dönüştürülür.

Çözüm:

Şekil 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Bir sayıyı ondalık sayıdan sekizliye dönüştürmek için, 7$'dan küçük veya buna eşit bir kalan kalana kadar sırayla 8$'a bölünmesi gerekir. Sekizli sayı, son bölme sonucunun basamak dizisi ve bölmenin geri kalanı ters sırada gösterilir.

Örnek 5

$ 571_ (10) $ sayısı sekizli gösterime dönüştürülür.

Çözüm:

Şekil 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Bir sayıyı ondalık sayıdan onaltılı sayıya dönüştürmek için, 15 ABD Dolarından küçük veya ona eşit kalana kadar sırayla 16 ABD Dolarına bölünmesi gerekir. Onaltılık sistemdeki sayı, bölme işleminin son sonucunun basamak dizisi ve bölmenin geri kalanı ters sırada gösterilir.

Örnek 6

$ 7467_ (10) $ sayısı onaltılık gösterime dönüştürülür.

Çözüm:

Şekil 6.

$ 7467_ (10) = 1D2B_ (16) $

Ondalık sayı sisteminden ondalık olmayana doğru bir kesri dönüştürmek için, dönüştürülecek sayının kesirli kısmını, dönüştürülmesi gereken sistemin tabanı ile sırayla çarpmak gerekir. Yeni sistemdeki kesir, ilkinden başlayarak işlerin bütün parçaları şeklinde sunulacaktır.

Örneğin: $ 0.3125 _ ((10)) $ sekizlik olarak $ 0.24 _ ((8)) $ gibi görünecektir.

Bu durumda, ondalık olmayan bir sayı sisteminde sonsuz (periyodik) bir kesir, son bir ondalık kesre karşılık geldiğinde bir sorunla karşılaşabilirsiniz. Bu durumda, yeni sistemde sunulan kesirdeki basamak sayısı gerekli kesinliğe bağlı olacaktır. Herhangi bir sayı sisteminde tam sayıların tamsayı olarak kaldığı ve düzenli kesirlerin kesir olarak kaldığı da belirtilmelidir.

Sayıları ikili sayı sisteminden diğerine dönüştürme kuralları

• Bir sayıyı ikili sayı sisteminden sekizliğe dönüştürmek için, en az anlamlı bitten başlayarak, gerekirse kıdemli üçlüyü sıfırlarla tamamlamalı, ardından her üçlüyü karşılık gelen sekizlik basamakla değiştirerek üçlülere (üçlü basamaklar) bölünmelidir. Tablo 4'e.

Şekil 7. Tablo 4

Örnek 7

$ 1001011_2 $ sayısını Sekizli gösterime dönüştürün.

Çözüm... Tablo 4'ü kullanarak, sayıyı ikiliden sekizliye çevirelim:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Bir sayıyı ikili sayı sisteminden onaltılık sayıya dönüştürmek için, en az anlamlı bitten başlayarak, gerekirse yüksek nibble'a sıfırlar ekleyerek dörtlülere (dört basamaklı) bölünmeli ve ardından her dörtlü, karşılık gelen sekizlik basamakla değiştirilmelidir. Tablo 4'e.

Bilgisayar biliminin en önemli konularından birine bakalım -. V Okul müfredatı büyük olasılıkla kendisine ayrılan saatlerin olmaması nedeniyle oldukça "mütevazı" olarak ortaya çıkıyor. Bu konuda bilgi sahibi olmak, özellikle sayı sistemleri tercümesi NS önkoşul Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek ve ilgili fakültelerdeki üniversitelere kabul edilmek için. Aşağıda detayda gibi kavramlar konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri, bu sayı sistemlerine örnekler verilir, tam sayıları çevirme kuralları ondalık sayılar, ondalık kesirleri ve karışık ondalık sayıları başka herhangi bir sayı sistemine düzeltme, sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürme, sekizlik ve onaltılık sayı sistemlerinden ikili sayı sistemine dönüştürme. sınavlarda Büyük bir sayı bu konuda görevler var. Bunları çözme yeteneği, başvuru sahipleri için gereksinimlerden biridir. Çok yakında: Ayrıntılı teorik materyale ek olarak, bölümün her konusu için hemen hemen tüm olası seçenekler görevler için bireysel çalışma... Ayrıca dosya barındırma hizmetinden hazır dosyaları ücretsiz olarak indirme imkanına sahip olacaksınız. detaylı çözümler gösteren bu görevlere Farklı yollar doğru cevabı almak.

konumsal sayı sistemleri.

Konumsal olmayan sayı sistemleri- bir basamağın nicel değerinin sayı içindeki konumuna bağlı olmadığı sayı sistemleri.

Konumsal olmayan sayı sistemleri, örneğin, sayıların yerine Latin harflerinin olduğu Roma'yı içerir.

ben	1 bir)
V	5 (beş)
x	10 (on)
L	50 (elli)
C	100 (yüz)
NS	500 (beş yüz)
m	1000 (bin)

Burada V harfi, konumundan bağımsız olarak 5 anlamına gelir. Bununla birlikte, Roma rakamı sisteminin klasik bir örnek olmasına rağmen, belirtmekte fayda var. konumsal olmayan sistem hesaplaşma tamamen konumsal değildir, çünkü büyük olandan önceki küçük rakam ondan çıkarılır:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
Mİ	1001 (1000+1=1001)

Konumsal sayı sistemleri.

Konumsal sayı sistemleri- bir basamağın nicel değerinin sayı içindeki konumuna bağlı olduğu sayı sistemleri.

Örneğin, ondalık sistem hakkında konuşursak, 700 sayısındaki 7 sayısı "yedi yüz" anlamına gelir, ancak 71 sayısındaki aynı sayı "yedi onluk" ve 7020 sayısındaki - "yedi bin" anlamına gelir.

Her biri konumsal sayı sistemi Lara sahip temel... Taban olarak ikiden büyük veya ikiden büyük bir doğal sayı seçilir. Bu sayı sisteminde kullanılan rakam sayısına eşittir.

Örneğin:
• İkili- 2 tabanlı konumsal sayı sistemi.
• Kuvaterner- 4 tabanlı konumsal sayı sistemi.
• beş katlı- 5 tabanlı konumsal sayı sistemi.
• Sekizli- 8 tabanlı konumsal sayı sistemi.
• onaltılık- 16 tabanlı konumsal sayı sistemi.

"Sayı sistemleri" konusundaki problemleri başarılı bir şekilde çözmek için, öğrencinin 16'ya kadar ikili, ondalık, sekizlik ve onaltılık sayıların yazışmalarını ezbere bilmesi gerekir 10:

10 sn / sn	2 sn / sn	8 sn / sn	16 s / s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	NS
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Bu sayı sistemlerinde sayıların nasıl elde edildiğini bilmekte fayda var. Bunu sekizli, onaltılı, üçlü ve diğerlerinde tahmin edebilirsiniz. konumsal sayı sistemleri her şey alıştığımız ondalık sisteme benzer şekilde gerçekleşir:

Numaraya bir eklenir ve yeni bir numara elde edilir. Birlerin yeri sayı sisteminin tabanına eşit olursa, onlar sayısını 1 artırırız vb.

Bu "tek geçiş", çoğu öğrenciyi korkutan şeydir. Aslında, her şey oldukça basit. Birler basamağı eşit olursa geçiş gerçekleşir sayı sistemi tabanı, onlarca sayısını 1 artırıyoruz. Birçok kişi, eski güzel ondalık sistemi hatırlayarak, basamakta ve bu geçişte anında karışır, çünkü ondalık ve örneğin ikili onlarca farklı şeylerdir.

Bu nedenle, becerikli öğrencilerin, örneğin, ilk sütunları (değişkenlerin değerleri) doldurulan doğruluk tablolarını doldururken "kendi yöntemleri" (şaşırtıcı bir şekilde ... çalışıyor) vardır. ikili sayılar artan sırada.

Örneğin, sayıları almaya bakalım sekizli sistem: İlk sayıya (0) 1 ekleriz, 1 elde ederiz. Sonra 1'e 1 ekleriz, 2 elde ederiz vb. 7'ye bir eklersek, sayı sisteminin tabanına eşit bir sayı elde ederiz, yani. 8. O zaman onlar basamağını birer birer artırmanız gerekir (sekizlik on - 10'u alırız). Ayrıca, açıkçası, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...

Bir sayı sisteminden diğerine geçiş kuralı.

1 Ondalık tam sayıları başka bir sayı sistemine dönüştürme.

Sayı bölünmelidir yeni sayı tabanı... Bölmenin ilk kalanı, yeni sayının ilk en az anlamlı basamağıdır. Bölmenin bölümü yeni tabandan küçük veya ona eşitse, (bölüm) tekrar yeni bir tabana bölünmesi gerekir. Bölümü yeni tabandan daha az olana kadar bölmeye devam edilmelidir. Bu, yeni sayının en önemli basamağıdır (örneğin, onaltılık sistemde 9'dan sonra harflerin olduğunu hatırlamanız gerekir, yani geri kalanda 11'iniz varsa, bunu B olarak yazmanız gerekir).

Örnek ("köşeli bölme"): 173 10 sayısını sekizli sayı sistemine çevirelim.

173 10 = 255 8

2 Doğru ondalık kesirleri başka bir sayı sistemine dönüştürme.

Sayı, sayı sisteminin yeni tabanı ile çarpılmalıdır. Bütün kısma geçen rakam, yeni sayının kesirli kısmının en anlamlı basamağıdır. bir sonraki basamağı elde etmek için, elde edilen ürünün kesirli kısmı, tam kısma geçiş gerçekleşene kadar sayı sisteminin yeni tabanı ile tekrar çarpılmalıdır. Kesirli kısım sıfıra eşit olana veya problemde belirtilen doğruluğa ulaşana kadar çarpmaya devam ederiz ("... örneğin iki ondalık basamak doğruluğu ile hesaplayın").

Örnek: 0.65625 10 sayısını sekizlik sayı sistemine çevirelim.