Sayıları farklı hesap sistemlerine çevirme metodolojisi

Ondalık tam sayıları sekizli, onaltılı ve ikili sistemlere dönüştürme ondalık sayının çevrildiği sistemin tabanına, bölüm bu tabandan küçük olana kadar sıralı olarak bölünmesiyle gerçekleştirilir. Yeni sistemdeki sayı, son bölümden başlayarak bölme kalanları şeklinde yazılır.

a) 19 sayısını ikili sayı sistemine dönüştürün.

19 = 10011 2

b) 181 10 -> "8" sayı sistemini çevir

Sonuç. 181 10 -> 265 8

c) 622 10 - "16" sayı sistemini çevir

Sayıları ondalık sayıya dönüştürme sayının çevrildiği sistemin tabanı ile bir kuvvet serisi çizilerek gerçekleştirilir. Daha sonra toplamın değeri hesaplanır.

a) 10101101.1012'yi ondalık sayı sistemine çevir

10101101.101 2 = 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 173.625 10

b) 703.048'i ondalık gösterime dönüştürün

703.048 = 7 82+ 0 81+ 3 80+ 0 8-1+ 4 8-2 = 451,062510

c) B2E.416'yı ondalık sayıya çevir

B2E.4 16 = 11 16 2 + 2 16 1 + 14 16 0 + 4 16 -1 = 2862.25 10

İçin sekizlik veya onaltılık bir sayıyı ikili sayıya dönüştür bu sayının her bir basamağını karşılık gelen üç basamaklı bir ikili sayı (üçlü) (Tablo 1) veya dört basamaklı ikili sayı (tetrade) (Tablo 1) ile değiştirmek, en anlamlı ve en az gereksiz sıfırları atmak yeterlidir. önemli rakamlar

İçin ikili sistemden sekizli veya onaltılı sisteme geçiş aşağıdaki gibi ilerleyin: bir noktadan sola ve sağa hareket ederek ikili sayıyı üç (dört) basamaklı gruplara bölün, gerekirse aşırı sol ve sağ grupları sıfırlarla tamamlayın. Daha sonra üçlü (tetrad), karşılık gelen sekizlik (onaltılık) basamakla değiştirilir.

Sekizliden onaltılıya dönüştürme ve tam tersiüçlü ve tetradlar kullanılarak ikili sistem aracılığıyla gerçekleştirilir.

Aritmetik işlemler

Ek

Ondalık sayı sisteminde olduğu gibi gerçekleştirilir.

Çıkarma

2 ve 8 SS'deki sayıların çıkarılması, ondalık olarak aynı kurallara göre yapılır. Çıkarılan sayı, çıkarılandan büyükse, büyük ve küçük sayı arasındaki fark belirlenir ve önüne bir eksi işareti konulur.

Çarpma işlemi

Çarpma işlemi ondalık sayı sisteminde olduğu gibi yapılır.

Doğrudan kod

Sayıları çarpma ve bölme yaparken ve kodların geri kalanını toplama ile çıkarmayı değiştirmek için kullanılır.

0.011 pozitif bir sayıdır

1.011 negatif bir sayıdır

Yaparken çarpma veya bölme işlemleri iki ikili kesir işaretli basamaklar kesirli kısımlardan bağımsız olarak eklenir

ters kod

Toplama ile çıkarma işlemini değiştirmek için kullanılır

Pozitif sayılar için: normal bir ikili kesrin görüntüsü, geri ve ileri kodda aynıdır

Bir ters kodda negatif bir normal ikili kesir yazmak için, sıfırları birlerle değiştirmeli ve bunun tersini yapmalısınız ve virgülün soluna -0 yerine 1 koymalısınız.

Yani, –0.0101 = 1.1010

Değerlendirilebilir:

Taşma durumunda, toplama sonucu ondalık noktanın solunda iki basamak göründüğünde, en soldaki basamak taşınarak kesirli kısmın en az anlamlı biti ile, kalan basamak ondalık basamağın soluna eklenir. nokta sonucun işaretini belirler

Negatif bir düzenli ikili kesrin kesirli kısmının basamak sayısı, başka bir ekin kesirli kısmının basamak sayısından azsa, negatif kesri ters koda dönüştürmeden önce, onu sıfırlarla tamamlamak gerekir. ikinci ekin rakamları eşit olana kadar sağ

Numaranın imzalı basamağında ise a ters kod 1'dir, daha sonra normal gösterime gitmek için, kesirli kısımda birimleri sıfırlarla ve sıfırları birlerle değiştirmeniz ve virgülün soluna -0 yazmanız gerekir.

Ek kod

Tersinin yanı sıra, çıkarmayı toplama ile değiştirmek için kullanılır.

Bu durumda: pozitif bir düzenli ikili kesrin görüntüsü ileri, geri ve tümleyen kodlarda aynıdır.

Negatif bir kesri dönüştürmek için: Sıfırları birlerle ve 1'i sıfırlarla değiştirmek gerekir. En önemsiz basamağa bir tane ekleyin, ardından virgülün soluna 1 koyun.

Unutma:

Virgülün solunda yer alan imzalı rakamların rakamları da dahil olmak üzere, eklerin tüm rakamları, tek bir sayının rakamları olarak toplamaya katılır.

Taşma durumunda, toplama işlemi sonucunda virgülün solunda iki rakam göründüğünde, en soldaki rakam atılır ve virgülün solunda kalan rakam sonucun işaretini belirler.

başka bir ekin kesirli kısmının basamak sayısı, daha sonra negatif bir kesri ters koda dönüştürmeden önce, ikinci ekin basamakları eşit olana kadar sağdaki sıfırlarla tamamlaması gerekir.

virgülün soluna ekleme sonucunda 1 elde edilirse sayı negatif, 0 ise pozitif (buna göre hiçbir şeyin çevrilmesine gerek yoktur)

Sayıları onaltılıdan sekizliye dönüştürme

Bir sayıyı onaltılıdan sekizliye dönüştürmek için:

1. Bu sayının ikili sistemde gösterilmesi gerekmektedir.

2. Daha sonra ikili sistemdeki elde edilen sayıyı üçlülere bölün ve sekizli sisteme dönüştürün.

Örneğin:

1.7 Düzenli kesirleri herhangi bir sayı sisteminden ondalık sisteme dönüştürmek için algoritma

Bir sayıyı ondalık sisteme çevirme İLE BİRLİKTE q-ary sayı sisteminde yazılan hem tamsayı hem de kesirli, sayının formül 1'e göre genişletilmesi kullanılarak gerçekleştirilir (bkz. Bölüm 1.2).

Ancak, normal kesirleri dönüştürmek için aşağıdaki yöntemi kullanabilirsiniz:

1. Kesrin en az anlamlı basamağı 0, bir q tabana göre bölmek Q... Ortaya çıkan bölüme, sayının bir sonraki (daha kıdemli) basamağının basamağını ekleyin 0, A q.

2. Alınan miktar tekrar bölünmelidir Q ve numaranın bir sonraki basamağını tekrar ekleyin.

3. Kesrin en anlamlı basamağı eklenene kadar bunu yapın.

4. Alınan miktarı şuna bölün: Q ve sonuca bir virgül ve sıfır tamsayı ekleyin.

Örneğin: Kesri ondalık sayı sistemine çevirelim:

a).	0,1101 2	B).	0,356 8
	1/2 + 0 = 0,5		6/8+5 = 5,75
	0,5/2 + 1 = 1,25		5,75/8 + 3 = 3,71875
	1,25/2 + 1 = 1,625		3,71875/8 = 0,46484375
	1,625/2 = 0,8125
Cevap: 0.1101 2 = 0,8125 10	Cevap: 0.356 8 = 0,46484375 10

1.8 Doğru ondalık kesirleri başka herhangi bir sayı sistemine dönüştürmek için algoritma

1. Verilen sayıyı yeni tabanla çarpın r.

2. Ortaya çıkan ürünün tamamı, istenen kesrin en önemli basamağıdır.

3. Ortaya çıkan ürünün kesirli kısmı tekrar ile çarpılır. r ve sonucun tamamı, istenen kesrin bir sonraki basamağı olarak kabul edilir.

4. Kesirli kısım sıfıra eşit olana veya gerekli doğruluk elde edilene kadar işlemlere devam edin.

5. D sayısının maksimum mutlak öteleme hatası q - (k +1) / 2'ye eşittir, burada k ondalık basamak sayısıdır.

Örneğin: Decimal 0.375'i İkili, Üçlü ve Onaltılı gösterim sistemine dönüştürün. Çeviriyi üçüncü ondalık basamağa kadar doğru yapın.

Örneğin: 0.36 10 sayısını ikili, sekizli ve onaltılı sistemlere çevirelim:

Yazmak için aşağıdaki formu kullanmak uygundur:

Çeviri Çeviri Çeviri Çeviri

ikili s / n. sekizli s / n. onaltılık

0,	x 36		0,	x 36		0,	x 36
	x 72		x 88		x 76
	x 44		x 04		x 16
	x 88		x 32		x 56
	x 76		x 46		x 96
	x 52		x 68		x 36

0.36 10 = 0.010111 2 sınırlayıcı mutlak hata (2 -7) / 2 = 2 -8

0.36 10 = 0.270235 8 maksimum mutlak hata ile
(8 -7)/2=2 -22

0,36 10 = 0,5C28F5 16 maksimum mutlak hata ile
(16 -7)/2=2 -29

Hem tamsayı hem de kesirli kısımlara sahip sayılar için, ondalık sayı sisteminden diğerine çeviri, yukarıda belirtilen kurallara göre tamsayı ve kesirli kısımlar için ayrı ayrı gerçekleştirilir.

1.9 Konumsal sayı sistemlerinde rakamların ilerlemesi

Her sayı sisteminde sayılar anlamlarına göre sıralanır: 1, 0'dan büyüktür, 2, 1'den büyüktür, vb.

Herhangi bir konumsal sayı sistemi, aynı yapım ilkelerine ve en düşük rakamdan en yüksek rakama geçişe dayanır.

Konumsal sayı sistemindeki bir basamağın ilerlemesini düşünün.

Figürü ilerleterek(bir ekleyerek) bir sonraki en büyüğü ile değiştirme denir.

Ondalık gösterimde, basamakların ilerlemesi aşağıdaki gibidir:

Tekrar 9 sayısına ulaştık, yani daha yüksek bir haneye geçiş var, ancak 1. hane konumunda zaten 1 hanesi var, bu nedenle ilk hanenin 1 hanesi de ilerliyor, yani. 1 + 1 = 2 (iki onluk). Böylece sayıları, sayı sistemindeki en anlamlı basamak ilk basamakta görünene kadar ilerletiriz (örneğimizde, 9'dur), şimdi bir sonraki basamağa geçiş gerçekleştirilir.

Şimdi üçlü sayı sistemindeki rakamların ilerlemesini ele alalım, yani. q = 3 (0, 1, 2 rakamları kullanılır) ve en anlamlı rakam 2'dir.

	0+1	1+1
2+1	10+1	11+1
12+1	20+1	21+1
22+1	100+1	101+1
102+1	110+1	111+1
vesaire.

Hayatta, ondalık sayı sistemini kullanırız, çünkü muhtemelen eski zamanlardan beri parmaklarla sayılırlar ve bildiğiniz gibi, ellerde ve ayaklarda on parmak vardır. Çin'de uzun süre olmasına rağmen beş katlı sayı sistemini kullandılar.

Bilgisayarlar ikili bir sistem kullanır, çünkü onu uygulamak için iki kararlı duruma sahip teknik cihazlar kullanılır (akım yok - 0; akım var - 1 veya manyetize edilmemiş - 0; manyetize - 1, vb.). Ayrıca, ikili sayı sisteminin kullanılması, bilgilerin mantıksal dönüşümlerini gerçekleştirmek için Boole cebri aygıtını (bkz. Bölüm 2) kullanmanıza izin verir. İkili aritmetik, ondalıktan çok daha basittir, ancak dezavantajı, sayıları yazmak için gereken basamak sayısındaki hızlı artıştır.

Örneğin:İkili sayı sistemindeki rakamları ilerletelim, burada q = 2, (0, 1 rakamları kullanılır) en anlamlı rakam 1:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, vb.

Örnekte de görebileceğiniz gibi, satırdaki üçüncü sayı zaten bir basamak yukarı taşındı, yani. (ondalık sayı olsaydı) “onlarca”nın yerini aldı. Beşinci sayı "yüzler"in yeridir, dokuzuncu sayı "binler"in yeridir vb. Ondalık sistemde, başka bir basamağa geçiş çok daha yavaştır. İkili sistem bilgisayarlar için uygundur, ancak hantallığı ve olağandışı kaydı nedeniyle insanlar için elverişsizdir.

Sayıları ondalık sayıdan ikiliye ve tersine çevirme, bilgisayardaki programlar tarafından gerçekleştirilir. Ancak profesyonel olarak bir bilgisayarda çalışmak ve kullanmak için makineler kelimesini anlamak gerekir. Bunun için sekizli ve onaltılı sistemler geliştirilmiştir.

Bu sistemlerle kolayca çalışabilmek için sayıları bir sistemden diğerine çevirmeyi ve tam tersini öğrenmenin yanı sıra sayılar üzerinde en basit işlemleri - toplama, çıkarma, çarpma, bölme - yapmayı öğrenmek gerekir.

1.10 Konumsal sayı sistemlerinde aritmetik işlemleri gerçekleştirme

Ondalık sistemde temel aritmetik işlemleri gerçekleştirme kuralları iyi bilinmektedir - bunlar toplama, çıkarma, sütun çarpma ve açı bölmedir. Bu kurallar diğer tüm konumsal sayı sistemleri için geçerlidir. Her sistem için sadece toplama ve çarpma tabloları farklıdır.

Konumsal sayı sistemlerinde aritmetik işlemler genel kurallara göre yapılır. Sadece toplama sırasında bir sonraki basamağa transferin ve çıkarma sırasında en önemli basamaktan bir kredinin sayı sisteminin taban değeri tarafından belirlendiğini hatırlamak gerekir.

Aritmetik işlemler yapılırken, farklı sayı sistemlerinde temsil edilen sayılar öncelikle aynı tabana indirgenmelidir.

Ek

Toplama tabloları, sayma kuralı kullanılarak kolayca oluşturulabilir. Toplama işlemi yapılırken sayılar basamaklar üzerinden toplanır ve fazlalık olursa bir sonraki basamağa sola aktarılır.

Tablo 1.4

İkili ekleme:

+

Tablo 1.5

sekizli ekleme

+

Tablo 1.6

onaltılık ekleme

+

A

B

C

NS

E

F

A

B

C

NS

E

F

A

B

C

NS

E

F

A

B

C

NS

E

F

A

B

C

NS

E

F

A

B

C

NS

E

F

A

B

C

NS

E

F

A

B

C

NS

E

F

A

B

C

NS

E

F

A

B

C

NS

E

F

A

B

C

NS

E

F

A

A

B

C

NS

E

F

B

B

C

NS

E

F

1 A

C

C

NS

E

F

1 A

1B

NS

NS

E

F

1 A

1B

1C

E

E

F

1 A

1B

1C

1B

F

F

1 A

1B

1C

1B

1E

Örneğin:

a) 1111 2 ve 110 2 sayılarını toplayın:

c) F 16 ve 6 16 sayılarını toplayın:

b) 17 8 ve 6 8 sayılarını ekleyin:

d) İki sayı ekleyin: 17 8 ve 17 16.

İkili sistemi kullanarak 17 16 sayısını 8 tabanına düşürün

17 16 = 10111 2 = 27 8. Sekizli eklemeyi yapalım:

NS ) 2 sayı ekleyelim. 10000111 2 + 89 10

Yöntem 1: 10000111 2 sayısını ondalık gösterime çevirelim.

10000111 2 = 1*2 7 + 1*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 =128 + 4 + 2 + 1 = 135 10

135 10 + 89 10 = 224 10

Yöntem 2: 89 10 sayısını herhangi bir şekilde ikili sisteme çeviriyoruz.

89 10 = 1011001 2

Bu sayıları ekleyelim.

Doğrulama için bu sayıyı ondalık gösterime çevirelim.

11100000 2 = 1*2 7 + 1*2 6 +1*2 5 = 128+64+32 = 224 10

Çıkarma

Sayılar arasındaki farkı bulalım:

a) 655 8 ve 367 8 b) F5 16 ve 6 16

Çarpma işlemi

Tablo 1.7

İkili çarpma:

*

Tablo 1.8

sekizli çarpma

*