En yaygın modern dünya hesaplama yöntemleri - ondalık ve ikili. Kusursuz kullanılırlar farklı bölgeler ama ikisi de eşit derecede önemlidir. Çoğu zaman, ikiliden ikiliye bir çeviri de gereklidir. ondalık sistem ya da tam tersi. İsimler, sayıların yazılmasında kaç karakter kullanıldığına bağlı olarak tabanlardan gelir. İkili olarak sadece 0 ve 1'dir ve ondalık olarak 0'dan 9'a kadardır. Diğer sistemlerde, sayılara ek olarak harfler, diğer simgeler ve hatta hiyeroglifler kullanılır, ancak neredeyse hepsinin modası geçmiştir. Sayı sistemlerinin diğer çeşitleri bile çok daha az yaygın olduğu için, Biz konuşacağız Her şeyden önce, daha önce bahsedilen ikisi. Tüm bunların nasıl ortaya çıkabileceği gerçekten şaşırtıcı. Bu konu hakkında ayrı ayrı konuşalım.

Olay tarihi

Şimdi bile tüm dünya aynı şekilde düşünüyor gibi görünse de çok farklı sistemler var. En uzak köşelerde Dünya yalnızca "bir", "iki" ve "çok" veya benzeri kavramlarla yetinmek. İnsanların birbirleriyle iletişim kurmasının çok daha zor olduğu, bu yüzden kullanılmaya başlandığı zamanlar hakkında ne söyleyebiliriz? büyük miktarçoğu farklı şekiller kayıtlar ve hesaplama yöntemleri. İnsanlık hemen gelmedi mevcut sistem ve bu, saatin daha mantıklı görünen 100 zaman dilimine değil, 60 dakikaya bölünmesi gerçeğine yansır. Aynı zamanda, insanlar genellikle düzinelerce değil, onlarca sayar. Bütün bunlar, kişinin kendi parmaklarının veya örneğin bazılarının parmaklarının bir şeyi ölçmek için araç olarak hizmet ettiği zamanın yankılarıdır. Ondalık ve on iki onlu sistemler böyle ortaya çıktı. Ama ikili nasıl ortaya çıktı? Çok basit ve mantıklı. Gerçek şu ki, örneğin diyotların sadece iki konumu vardır: açık veya kapalı olabilir. Böylece birinci durum 1, ikincisi 0 olarak yazılabilir. Ancak bu, ikili sistemin aynı anda ortaya çıktığı anlamına gelmez. elektronik aletler. Çok daha önce kullanıldı, örneğin Leibniz onu son derece kullanışlı, zarif ve basit olarak değerlendirdi. Bu sayı sisteminin nihayetinde ana sayı haline gelmemesi bile şaşırtıcı.

Uygulamalar

Çoğu insan için iki büyük sayı sistemi örtüşmez. Dolayısıyla ikiliden ondalık sayıya dönüştürmek herkes için mümkün olmayan bir iştir. Gerçek şu ki son sistem günlük yaşamda, insanlar arasındaki iletişimde, basit hesaplamalarla vb. kullanılır. Ama herkes ikili dili konuşur. dijital enstrümanlaröncelikle bilgisayarlar. Her masaüstü PC, tablet, telefon, dizüstü bilgisayar ve diğer birçok cihazın hafızasında bulunan her türlü bilgi, çeşitli kombinasyonlar sıfırlar ve birler.

Farklılıklar ve özellikler

Sayı sistemleri söz konusu olduğunda, aralarında bir şekilde ayrım yapmak zorunludur. Sonuçta, 11 veya 100'ü ayırt etmek için farklı yöntemler kayıt yapmak tamamen imkansız. Bu nedenle, sayının kendisinin altındaki ve sağındaki işaretçi kullanılır. Böylece, 11 2 veya 100 10 girişini gördüğünüzde, ne olduğunu anlayabilirsiniz. söz konusu. Her iki sistem de konumsaldır, yani değeri belirli bir basamağın yerine bağlıdır. Okulda ondalık sistemin basamakları hakkında konuşurlar: Birimler, onluklar, yüzler, binler vb. vardır. İkili sistemde her şey aynıdır. Ancak tabanının - 2 - 10'dan küçük olması nedeniyle, çok daha fazla basamağa ihtiyaç duyar, yani sayıların kaydı çok daha uzundur. Bu arada, ikili sistemde, en yaygın olan ondalık hariç diğer tüm sistemlerde olduğu gibi, okuma özel bir şekilde gerçekleşir. Taban 10, 101'i "yüz bir" olarak okumayı mümkün kılarsa, 2 için "bir sıfır bir" olacaktır.

Deşarj konusuna dönersek, çok daha küçük taban nedeniyle daha fazla deşarjın gerekli olduğu tekrarlanmalıdır. Örneğin, 8 10, 1000 2'dir. Fark açıktır - bir basamak ve dört. Başka bir önemli fark - ikili sistemde mevcut değil negatif sayılar. Tabii ki yazabilirsiniz, ancak yine de farklı bir şekilde saklanacak ve şifrelenecektir. Peki, ikiliden ondalık sayıya ve tam tersine çeviri nasıl?

algoritma

Nadiren yeterli, ancak yine de bazen bir tabandan diğerine geçiş yapmanız gerekir. Başka bir deyişle, ikiliden ondalık sayıya veya tam tersine dönüştürmeye ihtiyaç vardır. Modern bilgisayarlar kayıtlar çok uzun ve hacimli olsa bile bunu kolay ve hızlı hale getirin. İnsanlar da çok daha yavaş ve daha az verimli bir oranda olsa da bunu yapabilir. Hem bir hem de ikinci işlemi yapmak çok zor değil, ancak nasıl yapılacağına dair bilgi, dikkat ve pratik gerekiyor. Taban 2'den taban 10'a geçmek için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

2) değeri, konum numarasına eşit güce yükseltilmiş 2 ile art arda çarpın;

3) sonuçları toplayın.

Diğer bir yol ise sayıların çarpımlarını sağdan sola sırayla toplamaya başlamaktır. Buna Horner'ın dönüşümü denir ve çoğu kişiye normal algoritmadan daha uygun görünmektedir.

Ters işlemi gerçekleştirmek, yani ondalıktan ikiliye geçmek için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1) orijinal sayıyı 2'ye bölün ve kalanı (1 veya 0) yazın;

2) sadece 0 veya 1 kalana kadar 1. adımı tekrarlayın;

3) Elde edilen değerleri sırayla yazınız.

İkiliden ondalık sayıya dönüştürmenin başka yolları da vardır ve bunun tersi de geçerlidir. Ancak açıklanan algoritmaya göre herhangi bir avantajları yoktur, daha verimli değildirler. Ancak, çok az kişinin kullanabileceği ikili sistemde aritmetik işlemleri gerçekleştirme becerisine ihtiyaç duyarlar.

kesirler

Neyse ki ya da ne yazık ki, ikili sistemde sadece tam sayıların kullanılmadığı gerçeği devam ediyor. Kesirlerin çevirisi çok zor değildir, ancak çoğu zaman bir kişi için zahmetli bir iştir. Orijinal sayı ondalık sistemde temsil ediliyorsa, tam sayıyı dönüştürdükten sonra, ondalık noktadan sonraki her şey artık bölünmemeli, tüm bölümleri yazarak 2 ile çarpılmalıdır. İkiliden ondalığa çeviriyorsanız, her şey daha da basittir. Bu durumda, ondalık noktadan sonraki kısmın dönüşümü başladığında, 2'nin yükseltildiği güç sırayla -1, -2, -3 vb. olacaktır. Bunu pratikte düşünmek en iyisidir.

Örnek

Açıklanan algoritmaların nasıl uygulanacağını anlamak için tüm işlemleri kendiniz yapmanız gerekir. Uygulama her zaman teoriyi güçlendirebilir, bu nedenle aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurmak en iyisidir:

• 1000101 2'yi ondalık sayıya dönüştürme: 1x2 6 + 0x2 5 + 0x2 4 + 0x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 = 64+0+0+0+4+1 = 69 10;
• Horner'ın yöntemini kullanarak. 00110111010 2 = 0x2+0=0x2+0=0x2+1=1x2+1=3x2+0=6x2+1=13x2+1=27x2+1=55x2+0=110x2+1=221x2+0=442 10 ;
• 1110.01 2: 1x2 3 + 1x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 + 0x2 -1 + 1x2 -2 \u003d 8 + 4 + 2 + 0.25 \u003d 14.25 10;
• ondalık sistemden: 15 10 = 15/2=7(1)/2=3(1)/2=1(1)/2=0(1)= 1111 2 ;

Nasıl kafan karışmaz?

Yalnızca ikili ve ondalık sistemler örneğinde bile, tabanı manuel olarak değiştirmenin önemsiz bir iş olmadığı açıkça ortaya çıkıyor. Ama başkaları da var: onaltılık, sekizlik, altmışlık, vb. Bir sayı sisteminden diğerine manuel olarak dönüştürürken dikkatli olmak son derece gereklidir. Özellikle yazı uzunsa kafanın karışmaması gerçekten zor. Ayrıca rakamların 1'den değil 0'dan sayıldığını, yani basamak sayısının her zaman bir fazla olacağını unutmamalıyız. Tabii ki, basamak sayısını dikkatli bir şekilde saymanız ve aritmetik işlemlerde hata yapmamanız ve elbette algoritmadaki adımları atlamamanız gerekir. Nihayetinde, üsler arasında geçiş yapmanın yolları vardır. yazılım yöntemleri. Ama burada kendi başına bir senaryo yazmak, onu açıkta aramaktan daha kolay Dünya çapında Ağ. Her durumda, manuel çeviri becerileri ve bunun nasıl yapıldığına dair teorik bir anlayış da olmalıdır.

| 6 sınıf | Okul yılı için ders planlaması | İkili sayıları ondalık sayı sistemine dönüştürme

5. Ders
İkili sayıları ondalık sayı sistemine dönüştürme
Hesap Makinesi uygulamasıyla çalışma

Tamsayılı ondalık sayıları ikili koda dönüştürme

Yöntem 1

1409 sayısını ikinci sıranın üyelerinin toplamı olarak temsil etmeye çalışalım.

Fark yöntemini kullanalım. İkinci sıranın asıl sayıya en yakın ancak onu aşmayan üyesini alalım ve aradaki farkı bulalım:

1409 - 1024 = 385.

Elde edilen farka en yakın, ancak onu aşmayan ikinci satırın üyesini alalım ve farkı bulalım:

385 - 256 = 129.

Benzer şekilde, farkı biz yaratırız: 129 - 128 = 1.

Sonuç olarak şunları elde ederiz:

1409 = 1024 + 256 + 128 + 1 = 1 1024 + 0 512 + 1 256 + + 1 128 + 0 64 + 0 32 + 0 16 + 0 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1.

İkinci satırın her bir üyesinin toplama dahil edilemediğini veya sadece bir kez dahil edilebileceğini görüyoruz.

İkinci dizinin elemanlarının çarpıldığı 1 ve 0 sayıları da orijinal 1409 sayısını oluşturur, ancak diğer ikili gösterimde: 101100000001.

Sonuç şöyle yazılır:

1409 10 = 10110000001 2 .

Orijinal sayıyı 0 ve 1 kullanarak yazdık, yani bu sayının ikili kodunu aldık veya sayıyı ikili sayı sisteminde temsil ettik.

Yöntem 2

İkili kod almanın bu yolu ondalık sayı orijinal sayının ve elde edilen bölümlerin 2'ye bölünmesinden kalanları kaydetmeye dayanır ve bir sonraki bölüm 0'a eşit olana kadar devam eder.

Örnek:

En üst satırın ilk hücresi orijinal sayıyı ve sonraki her hücre sonucu içerir. tamsayı bölümüönceki sayı 2'dir.

hücrelerde Sonuç olarak ayakta bölümünden kalanlar üst çizgi 2 ile sayılar.

Alt satırın son hücresi boş bırakılır. Orijinal ondalık sayının ikili kodu, sonuncudan başlayarak tüm kalanlar sırayla yazılarak elde edilir: 1409 10 = 10110000001 2 .

İkili sistemde doğal serilerin ilk 20 üyesi şu şekilde yazılır: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100, 1101,1110,1111, 10000. 10001 10010. 10011. 10100.

Tam sayıları ikiliden ondalık sayıya dönüştürme

Yöntem 1

111101 2 sayısı olsun. Şu şekilde temsil edilebilir:

Yöntem 2

Aynı sayıyı alalım 111101 2 . 6. hanenin birimini (sayı kaydında soldan ilk), ikili sistemdeki 6. hanenin birimi 2 içerdiğinden, 1 ile 2 çarptığımız 5. hanenin birimlerine çevirelim. 5. hanenin birimleri.

5. kategorinin alınan 2 birimine, 5. kategorinin mevcut birimini ekliyoruz. 5. kategorinin bu 3 birimini 4. kategoriye çevirelim ve 4. kategorinin mevcut birimini ekleyelim: 3 2 + 1 = 7.

4. kategorinin 7 birimini 3. kategoriye çevirelim ve 3. kategorinin mevcut birimini ekleyelim: 7 2+1 = 15.

3. kategorinin 15 birimini 2. kategoriye çevirelim: 15 2 \u003d 30. 2. kategoride orijinal sayıda birim yok.

2. kategorinin 30 birimini 1. kategoriye çevirelim ve orada bulunan birimi ekleyelim: 30 2 + 1 \u003d 61. Orijinal sayının 1. kategorinin 61 birimini içerdiğini anladık.

Yazılı hesaplamalar aşağıdaki gibi uygun şekilde düzenlenmiştir:

Tam sayıları ondalık sayıya dönüştür İkili sistem matematiği ve tersi uygulamayı kullanarak mümkündür Hesap makinesi.

küçük bir deney yapalım .

1. Hesap Makinesi uygulamasını başlatın ve komutu çalıştırın [Görünüm Mühendisliği]. dikkat et sayı sistemini belirleyen bir grup anahtar:

2. Hesap Makinesinin çalışmak üzere ayarlandığından emin olun. ondalık sayı sistemi. Klavyeyi veya fareyi kullanarak giriş alanına rastgele iki basamaklı bir sayı girin. anahtarı etkinleştir Çöp Kutusu ve giriş penceresindeki değişiklikleri izleyin. Ondalık sisteme geri dönün. Giriş alanını temizleyin.

3. Diğer ondalık sayılar için 2. adımı birkaç kez tekrarlayın.

4. Hesap Makinesini ikili sistemde çalışacak şekilde ayarlayın. Hangi düğmelere dikkat edin Hesap makinesi ve sayı tuşları klavyeler elinizin altında. Alternatif olarak girin ikili kodlar Natural serisinin 5., 10. ve 15. üyeleri ve switch kullanımı Aralık ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Hesap makinesi, tam ve kesirli sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmenize olanak tanır. Sayı sisteminin tabanı 2'den küçük ve 36'dan büyük olamaz (10 hane ve 26). Latin harfleri yine de). Sayılar 30 karakteri geçmemelidir. Giriş için kesirli sayılar sembolü kullanın. veya, . Bir sayıyı bir sistemden diğerine dönüştürmek için ilk alana asıl sayıyı, ikinci alana asıl sayı sisteminin tabanını ve üçüncü alana sayıyı dönüştürmek istediğiniz sayı sisteminin tabanını girin, ardından "Giriş Al" düğmesini tıklayın.

orijinal numara 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -inci sayı sistemi.

bir numaranın kaydını almak istiyorum 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -inci sayı sistemi.

Giriş al

Tamamlanan çeviriler: 1237177

Sayı sistemleri

Sayı sistemleri iki türe ayrılır: konumsal ve konumsal değil. Arap sistemini kullanıyoruz, konumsal ve bir de Roma sistemi var - bu sadece konumsal değil. AT konumsal sistemler Bir sayıdaki bir basamağın konumu, o sayının değerini benzersiz bir şekilde belirler. Bazı sayıların örneğine bakarak bunu anlamak kolaydır.

örnek 1. Ondalık sayı sisteminde 5921 sayısını ele alalım. Sayıyı sıfırdan başlayarak sağdan sola doğru numaralandırıyoruz:

5921 sayısı şu şekilde yazılabilir: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . 10 sayısı, sayı sistemini tanımlayan bir özelliktir. Verilen sayının konumunun değerleri derece olarak alınır.

Örnek 2. 1234.567 gerçek ondalık sayıyı düşünün. dan başlayarak numaralandıralım sıfır konum ondalık noktadan sola ve sağa sayılar:

1234.567 sayısı şu şekilde yazılabilir: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 10 -2 +7 10 -3 .

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme

Çoğu basit bir şekilde bir sayı sisteminden diğerine bir sayının aktarılması, sayının önce ondalık sayı sistemine, ardından elde edilen sonucun gerekli sayı sistemine çevrilmesidir.

Sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürme

Herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürmek için, örnek 1 veya 2'ye benzer şekilde sıfırdan (ondalık noktanın solundaki basamak) başlayarak basamaklarını numaralandırmak yeterlidir. Basamakların çarpımlarının toplamını bulalım. sayı sisteminin tabanına göre sayının bu basamağın konumunun gücüne:

1. 1001101.1101 2 sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.
Çözüm: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0.5 +0.25+0.0625 = 19.8125 10
Cevap: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. E8F.2D 16 sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.
Çözüm: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Cevap: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Sayıları ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürme

Sayıları bir ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürmek için sayının tamsayı ve kesirli kısımları ayrı ayrı çevrilmelidir.

Bir sayının tamsayı kısmını ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürme

Tamsayı kısmı, sayı sisteminin tabanından daha küçük bir tamsayı kalan elde edilinceye kadar, sayının tamsayı kısmı, sayı sisteminin tabanına art arda bölünerek ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürülür. Transferin sonucu, sonuncusundan başlayarak kalıntılardan bir kayıt olacaktır.

3. 273 10 sayısını sekizli sayı sistemine dönüştürün.
Çözüm: 273/8 = 34 ve kalan 1, 34 / 8 = 4 ve kalan 2, 4 8'den küçüktür, yani hesaplama tamamlanmıştır. Kalıntılardan gelen kayıt şöyle görünecek: 421
muayene: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , sonuç aynı. Yani çeviri doğru.
Cevap: 273 10 = 421 8

Uygun ondalık sayıları dönüştürmeyi düşünün çeşitli sistemler hesaplaşma.

Bir sayının kesirli kısmını ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine dönüştürme

Uygun bir ondalık kesir olduğunu hatırlayın sıfır ile gerçek sayı tüm parça . Böyle bir sayıyı N tabanlı bir sayı sistemine çevirmek için, kesirli kısım sıfırlanana veya gerekli sayıda basamak elde edilene kadar sayıyı sürekli olarak N ile çarpmanız gerekir. Çarpma sırasında sıfırdan farklı bir tamsayı kısmı olan bir sayı elde edilirse, sonuca sırayla girildiği için tamsayı kısmı daha fazla dikkate alınmaz.

4. 0.125 10 sayısını ikili sayı sistemine dönüştürün.
Çözüm: 0,125 2 = 0,25 (0 sonucun ilk basamağı olacak tamsayı kısmı), 0,25 2 = 0,5 (0 sonucun ikinci basamağı), 0,5 2 = 1.0 (1 sonucun üçüncü basamağıdır) ve kesirli kısım sıfır olduğundan, çeviri tamamlanmıştır).
Cevap: 0.125 10 = 0.001 2

Açıklama 1

Bir sayıyı bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek istiyorsanız, önce onu ondalık sayı sistemine dönüştürmek ve ancak daha sonra ondalık sayı sisteminden başka bir sayı sistemine aktarmak daha uygundur.

Sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürme kuralları

Makine aritmetiği kullanan bilgisayar teknolojisinde, sayıların bir sayı sisteminden diğerine dönüştürülmesi önemli bir rol oynar. Aşağıda bu tür dönüşümler (çeviriler) için temel kuralları sunuyoruz.

İkili bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürürken, ikili sayıyı bir polinom olarak temsil etmek gerekir, her elemanı bir sayının basamağının çarpımı ve taban sayının karşılık gelen kuvveti olarak temsil edilir. bu durum$$ ve sonra polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Şekil 1. Tablo 1

örnek 1

11110101_2$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm. 2$ tabanının dereceleri için yukarıdaki $1$ tablosunu kullanarak, sayıyı bir polinom olarak temsil ediyoruz:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Bir sayıyı sekizliden ondalık sayıya dönüştürmek için, onu bir polinom olarak göstermeniz gerekir; her elemanı sayının bir basamağının ürünü ve taban sayının karşılık gelen kuvveti olarak temsil edilir, bu durumda $8$ ve sonra polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Şekil 2. Tablo 2

Örnek 2

$75013_8$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm.$8$ bazında 2$ derecelik yukarıdaki tabloyu kullanarak, sayıyı bir polinom olarak temsil ediyoruz:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Bir sayıyı onaltılıdan ondalık sayıya dönüştürmek için, onu bir polinom olarak göstermeniz gerekir; her elemanı sayının bir basamağının çarpımı ve taban sayının karşılık gelen kuvveti, bu durumda $16$ ve sonra temsil edilir. polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Şekil 3. Tablo 3

Örnek 3

$FFA2_(16)$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm. 8$'ın temel güçlerinin 3$$'lık yukarıdaki tablosunu kullanarak, sayıyı bir polinom olarak temsil ediyoruz:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Sayıları ondalık sayı sisteminden diğerine dönüştürme kuralları

• Bir sayıyı ondalık sayıdan ikili sayıya dönüştürmek için, 1$'a eşit veya daha az kalan kalana kadar art arda 2$'a bölünmesi gerekir. İkili sistemdeki bir sayı, bölme işleminin son sonucunun ve bölmenin geri kalanının ters sırada bir dizisi olarak temsil edilir.

Örnek 4

$22_(10)$ sayısını ikili sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm:

Şekil 4

$22_{10} = 10110_2$

• Bir sayıyı ondalık sayıdan sekizliye dönüştürmek için, 7$'a eşit veya daha az kalan kalana kadar art arda 8$'a bölünmesi gerekir. Sekizli sayı sistemindeki sayı, bölme işleminin son sonucunun basamak dizisi ve bölmenin geri kalanının tersi sırayla temsil edilir.

Örnek 5

$571_(10)$ sayısını şuna çevir: sekizli sistem hesaplaşma.

Çözüm:

Şekil 5

$571_{10} = 1073_8$

• Bir sayıyı ondalık sayıdan dönüştürmek için onaltılık sistem 15$'a eşit veya daha az kalana kadar art arda 16$'a bölünmelidir. Bir sayıyı, bölme işleminin son sonucunun basamak dizisi olarak ve bölmenin geri kalanını ters sırada onaltılı olarak ifade edin.

Örnek 6

$7467_(10)$ sayısını onaltılık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm:

Şekil 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Ondalık sayı sisteminden uygun bir kesri ondalık olmayan bir sayıya dönüştürmek için, kesirli kısım dönüştürülecek sayı, dönüştürüleceği sistemin tabanı ile art arda çarpılır. kesir yeni sistem ilkinden başlayarak eserlerin bütün bölümleri şeklinde sunulacaktır.

Örneğin: Sekizlik olarak 0,3125_((10))$ 0,24_((8))$ gibi görünür.

Bu durumda, ondalık olmayan bir sayı sisteminde sonlu bir ondalık kesir sonsuz (periyodik) bir kesre karşılık gelebildiğinde bir sorunla karşılaşabilirsiniz. Bu durumda, yeni sistemde temsil edilen kesirdeki basamak sayısı, gerekli doğruluğa bağlı olacaktır. Ayrıca, herhangi bir sayı sisteminde tam sayıların tam sayı olarak kaldığı ve uygun kesirlerin kesir olarak kaldığı da belirtilmelidir.

Sayıları ikili sayı sisteminden diğerine dönüştürme kuralları

• Bir sayıyı ikiliden sekizliye dönüştürmek için, en az anlamlı basamaktan başlayarak, gerekirse en yüksek üçlüye sıfırlar ekleyerek, ardından her üçlüyü Tabloya göre karşılık gelen sekizlik basamakla değiştirerek üçlülere (üçlü basamaklar) bölünmelidir. 4.

Şekil 7. Tablo 4

Örnek 7

$1001011_2$ sayısını sekizli sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm. Tablo 4'ü kullanarak, sayıyı ikiliden sekizliye çeviriyoruz:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Bir sayıyı ikiliden onaltılıya dönüştürmek için, en az anlamlı basamaktan başlayarak, gerekirse kıdemli dörtlüye sıfırlar ekleyerek dörtlülere (dört basamaklı) bölünmeli, daha sonra her dörtlü, karşılık gelen sekizlik basamakla değiştirilmelidir. Tablo 4.

İkili sayı sistemi yalnızca 0 ve 1 rakamlarını kullanır. Başka bir deyişle, iki, ikili sayı sisteminin temelidir. (Benzer şekilde, ondalık sistem 10 tabanına sahiptir.)

İkili sayı sisteminde sayıları nasıl anlayacağınızı öğrenmek için önce bildiğimiz ondalık sayı sisteminde sayıların nasıl oluştuğunu düşünün.

Ondalık sayı sisteminde on basamağımız var (0'dan 9'a kadar). Sayı 9'a ulaştığında yeni bir rakam (onlar) girilir ve birimler sıfırlanır ve sayım yeniden başlar. 19'dan sonra onlar basamağı 1 artırılır ve birler tekrar sıfırlanır. Ve benzeri. Onlar 9'a ulaştığında, üçüncü basamak belirir - yüzlerce.

İkili sayı sistemi, sayının oluşumunda yalnızca iki basamağın yer alması dışında ondalık sayı sistemine benzer: 0 ve 1. Bit sınırına ulaşır ulaşmaz (yani bir), yeni bir bit belirir ve eskisi sıfırlanır.

İkili sistemde saymaya çalışalım:
0 sıfırdır
1 birdir (ve bu deşarj limitidir)
10 ikidir
11 üçtür (ve yine sınır budur)
100, dört
101 - beş
110 - altı
111 - yedi, vb.

Sayıları ikiliden ondalık sayıya dönüştürme

İkili sayı sisteminde sayıların uzunluklarının artan değerlerle hızla büyüdüğünü görmek zor değildir. Bunun ne anlama geldiği nasıl belirlenir: 10001001? Bu sayı yazma biçimine alışkın değil İnsan beyni genellikle ne kadar olduğunu anlayamazsınız. İkili sayıları ondalık sayıya çevirebilmek güzel olurdu.

Ondalık sayı sisteminde, herhangi bir sayı birimlerin, onlukların, yüzlerin vb. toplamı olarak gösterilebilir. Örneğin:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Bu girişe dikkatlice bakın. Burada 1, 4, 7 ve 6 sayıları 1476 sayısını oluşturan bir dizi sayıdır. Tüm bu sayılar dönüşümlü olarak bir dereceye kadar on ile çarpılır. On, ondalık sayı sisteminin temelidir. On'un yükseltildiği güç, rakamın eksi bir basamağıdır.

Herhangi bir ikili sayı aynı şekilde ayrıştırılabilir. Burada sadece temel 2 olacaktır:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Şunlar. 2 tabanındaki 10001001 sayısı 10 tabanındaki 137 sayısına eşittir. Bunu şöyle yazabilirsiniz:

10001001 2 = 137 10

İkili sayı sistemi neden bu kadar yaygın?

Gerçek şu ki, ikili sayı sistemi bir dildir. bilgisayar Bilimi. Her figür bir şekilde fiziksel bir ortamda temsil edilmelidir. Bu ondalık bir sistemse, on durumda olabilen böyle bir cihaz oluşturmanız gerekecektir. Karmaşık. Sadece iki durumda olabilen bir fiziksel eleman yapmak daha kolaydır (örneğin, akım var veya akım yok). Bu, ikili sistemin bu kadar çok dikkat çekmesinin ana nedenlerinden biridir.

Ondalıktan ikiliye dönüştürme

Ondalık bir sayıyı ikiliye dönüştürmeniz gerekebilir. Bir yol ikiye bölerek kalanlardan ikili bir sayı oluşturmaktır. Örneğin, ikili gösterimini 77 sayısından almanız gerekir.