zhodný filter.

Zhodný filter, alebo detekčný filter , je postavený na základe kritéria pre maximálny špičkový pomer signálu k šumu na výstupe filtra a je navrhnutý tak, aby riešil problém detekcie signálu. Pod detekcia signálu rozumie sa len zistenie prítomnosti signálu, čo sa dosiahne najmä výrazným skreslením tvaru signálu. Upozorňujeme, že extrakcia signálu zahŕňa odhad tvaru signálu. V prípade prispôsobeného filtra to zvyčajne nie je možné. Súčasne je zabezpečená detekcia signálu slabé signály s pomerom signálu k šumu pod úrovňou intenzity rušenia.

matematický model pre zodpovedajúci filter je aditívny model pole , pre ktoré sa predpokladá znalosť tvaru signálu, a nie jeho ACF, ako pri Kolmogorov-Wienerovom filtri.

Rušenie je dané ako stacionárny náhodný proces so známym ACF, určený v oblastiach bez užitočných signálov. Voľba tvaru signálu (anomálie) sa vykonáva buď riešením priameho problému pre konkrétnu geofyzikálnu metódu, alebo analýzou pozorovaných hodnôt nad objektmi tvoriacimi anomálie, kde je tvar signálov fixovaný vizuálne. Pri spracovaní časových úsekov pri seizmickom prieskume sa tvar signálu odhaduje z hodnôt CCF susedných stôp alebo stôp umiestnených v určitej vzdialenosti od seba, takže nepravidelné interferenčné vlny by neboli korelované.

Význam problému detekcie slabých signálov neustále narastá v súvislosti s vyhľadávaním hlboko položených a málo kontrastných objektov, ktorých účinky sú skreslené hlukom rôzneho charakteru a intenzita hluku presahuje amplitúdu užitočné signály.

Kritérium maximálneho špičkového pomeru signálu k šumu je zredukované na maximalizáciu nasledujúceho výrazu

(7.13)

Špičkovým pomerom signálu k šumu sa rozumie pomer v jednom centrálnom bode výstupného signálu, pre ktorý sa rozptyl rovná štvorcu skalárneho súčinu hodnôt signálu a váhovej funkcie, čo je výsledok konvolúcie signálu a váhovej funkcie pre bod .

Energia šumu (disperzia) na výstupe filtra sa rovná kvadratickej forme , kde a sú riadkový vektor a stĺpcový vektor hodnôt váhových funkcií, v tomto poradí, je matica korelácie šumu vytvorená pre daný šum ACF.

Aby ste maximalizovali (7.13), mali by ste vziať deriváciu a prirovnať ju k nule, čo zaisťuje, že sa získa systém lineárne rovnice nájsť váhovú funkciu spárovaného filtra v maticovej forme (7.14) alebo vo forme:

(7.15)

Znamienko mínus pre úsečku signálu znamená, že hodnoty signálu sa počítajú od jeho konca, pretože pri konvolúcii musí byť buď funkcia váhy alebo signál obrátený.

Aplikovaním vlastností Fourierovej transformácie na (7.15) získame výraz pre frekvenčnú odozvu prispôsobeného filtra: , kde je komplexne konjugované spektrum signálu zodpovedajúce „invertovanému“ signálu, t.j. signál, ktorý sa zrkadlí okolo osi y. Z posledného výrazu vyplýva, že

(7.16).

Z (7.16) je ľahké pochopiť, prečo sa filter nazýva spárovaný. Ak sa predpokladá, že šum je nekorelovaný, tak jeho spektrum je určené len hodnotou rozptylu, t.j. , A . Inak frekvenčná odozva filter je prispôsobený spektru vstupného signálu. V tomto prípade inverzná Fourierova transformácia umožňuje zistiť, že , t.j. funkcia hmotnosti je v súlade s tvarom signálu. V opačnom prípade sú hodnoty váhovej funkcie úplne určené hodnotami signálu špecifikovaného tvarom a znamienko mínus zdôrazňuje potrebu použiť jeho prevrátené hodnoty pri konvolúcii.

Príklad 2 Nech je signál a šum, ako v príklade 1, daný vzťahom , t.j.

Laboratórium č. 6

disciplínou "Základy rádiovej elektroniky a komunikácie"

téma:

"Prechádzanie signálov cez prispôsobený filter"

Prednosta: prof. Trofimov A.T.

Ukončené: študent gr. č. 4141 Ponkin D.O.

Dubna, 2011

ÚČEL PRÁCE.. 3

ÚLOHY.. 3

1. TEORETICKÁ ČASŤ. 4

2. PRAKTICKÁ ČASŤ. 8

2.1. Prechod signálu cvrlikania cez prispôsobený filter. 8

2.2. Návod harmonický signál cez prispôsobený filter. deväť

2.3. Prechod pravouhlého impulzu cez prispôsobený filter. 10

ZÁVERY.. 11

REFERENCIE.. 11

ÚČEL PRÁCE

Účelom práce je upevniť poznatky o prispôsobených filtroch používaných na detekciu signálov.

ÚLOHY

Prebieha laboratórne práce je potrebné vyriešiť nasledujúce úlohy:

1. Získajte model prechodu signálu cvrlikania cez prispôsobený filter.

2. Získajte model prechodu harmonického signálu cez prispôsobený filter.

3. Získajte model prechodu pravouhlého impulzu cez prispôsobený filter.

TEORETICKÁ ČASŤ

Príjem rádiových signálov bol vždy sprevádzaný rušením. Preto počas vývoja rádiového inžinierstva (najmä prijímacie zariadenia) ústredným problémom bol a zostáva boj proti rušeniu a hluku (ďalej len hluk). V prípadoch, keď je užitočný výkon signálu úmerný priemernému výkonu šumu, je ťažké signál nielen izolovať, ale aj detegovať.

Prispôsobený lineárny filter

Základ väčšiny praktické metódy extrakcia signálu z aditívum zmes signálu a šumu v rádiových prijímačoch je optimálne lineárne filtrovanie, pomocou lineárnych frekvenčných filtrov.

V teórii prijímacích zariadení sa zistilo, že kvalitatívne kritérium lineárneho filtrovania závisí od jednej z riešených úloh: detekcia signálu v šume alebo rozlíšení signálu. o objav signál v šume je najúčinnejší maximálne kritérium odstupu signálu od šumu výkon na výstupe filtra. Lineárny filter, pre ktorý je tento pomer maximálny, sa nazýva optimálne(rozumej najlepšie). Malo by sa očakávať, že keď sa aditívny súčet užitočného signálu a šumu aplikuje na vstup optimálneho filtra, možno na jeho výstupe dosiahnuť výrazné zvýšenie pomeru signálu k šumu.

Jedným z hlavných parametrov filtrov prijímača je zisk. Optimálny zisk filtra prijímač je určený za podmienky, že signál je prijímaný na pozadí biely šum s obojstrannou výkonovou spektrálnou hustotou W 0 (hoci biely šum je často daný jednostranne, t.j. v oblasti fyzikálnych frekvencií, hustotou výkonovej spektrometrie N 0 = 2W 0).

Pre uľahčenie analýzy uvádzame koeficient prenosu optimálneho filtra vo formulári

kde TO(ω ) - frekvenčná odozva; φk(ω ) - PFC filtra.

Nechať byť vstupný signál u(t) má spektrálnu hustotu

(15.2)

Tu S(ω )A φc(ω ) sú amplitúdové a fázové spektrá prijímaného signálu.

Všimnime si nejaký, zatiaľ neznámy moment v čase t = t 0 , pri ktorej bude pomer signálu k šumu na výstupe filtra maximálny. Potom výstupný signál filtra(lineárny štvorpól):

(15.3)

Pokiaľ ide o S von ( ω ) = S v ( ω )K(ω ), potom priemerný výkon(disperzia)biely šum na výstupe filtra:

(15.4)

Pomocou výrazov (15.3) a (15.4) zapíšeme pomer výstupných výkonov signálu a šumu

(15.5)

Pre pohodlie výpočtov uvádzame ekvivalentný faktor prenosový filter

Optimálny koeficient prenosu analyzovaného filtra maximalizuje pravú stranu výrazu (15.5). Problém nájdenia optimálneho koeficientu prenosu TO(ω ) sa rieši na základe dobre známeho z matematiky Bunyakovsky-Cauchy-Schwartz nerovnosti, ktoré pre tento prípad vyzerá ako:

(15.7)

Priama substitúcia ukazuje, že z nerovnosti sa stáva rovnosť, ak

(15.8)

kde ALE- ľubovoľný konštantný koeficient; je komplexná konjugovaná funkcia S(ω ).

Ekvivalentný koeficient prenosu (15,8) predstavujeme ako:

Odtiaľ nájdeme zisk filtra

Vzorec (15.9) úplne určuje koeficient prenosu optimálneho filtra, ktorý maximalizuje pomer signálu k šumu. Odtiaľto nasledujú požiadavky na frekvenčnú odozvu a fázovú odozvu optimálneho filtra:

(15.10)

Podľa definície je koeficient prenosu frekvencie bezrozmerné množstvo, preto konštantný koeficient A musí mať rozmer prevrátený rozmeru amplitúdového spektra vstupného signálu S(ω ).

Podstata spôsobu spracovania prijatého signálu optimálnym filtrom prijímača je znázornená na obrázku 1, kde sú znázornené a príslušne označené: spektrá vstupného signálu S(ω ) a biely šum W 0 ;výstupné spektrum S von ( ω ) a frekvenčná odozva filtra K(ω ); výkonové spektrum výstupného šumu .

Ryža. 1. Optimálna filtrácia:

ale- spektrá vstupného signálu a šumu; b- spektrum výstupného signálu a frekvenčná odozva filtra; v je spektrum výstupného šumu.

Tieto výsledky sú hlboké fyzický význam, vzorec (15.10) určuje, že frekvenčná odozva filtra K(ω ) musí, až do mierky, ALE tvarovo sa zhodujú s amplitúdovým spektrom S(ω ) vstupného signálu. Vďaka tomu drvivá väčšina spektrálnych zložiek vstupného signálu, ktoré majú najväčšie amplitúdy, prechádza na výstup optimálneho filtra prakticky bez útlmu a má hlavný podiel na tvorbe jeho špičkovej hodnoty. Z mnohých spektrálnych zložiek vstupného bieleho šumu, nachádzajúcich sa v nekonečnom frekvenčnom pásme, prechádzajú na výstup filtra len tie, ktoré sú pod jeho krivkou frekvenčnej odozvy, teda v obmedzenom frekvenčnom pásme, a nie sú utlmené. To vedie k zoslabeniu priemerného výkonu šumu na výstupe filtra v porovnaní s výkonovou spektrálnou hustotou bieleho šumu W 0 na vstupe. V dôsledku toho sa zvyšuje pomer signálu k šumu na výstupe optimálneho filtra.

Vzťah (15.11), ktorý popisuje fázovo-frekvenčnú charakteristiku optimálneho filtra, možno interpretovať ako podmienka kompenzácie počiatočnej fázy všetky harmonické zložky spektra signálu. Podľa tejto podmienky musí mať optimálny filter takú fázovú odozvu, aby bol fázový posun každej harmonickej v ňom získanej φ s(ω ) mala rovnakú veľkosť a opačné znamienko ako počiatočná fáza zodpovedajúcej zložky spektrálnej hustoty S(ω ) vstupného signálu. Optimálny filter vedie kompenzácie("nula") počiatočných fáz všetkých spektrálnych zložiek signálu u(t), výsledkom je vrchol výstupného signálu. PFC komponent - ωt 0 znamená, že vrchol (maximum) výstupného signálu je oneskorený od začiatku vstupného signálu o čas t 0 Vzťah medzi fázovou odozvou φ s(ω ) vstupného signálu, jeho kompenzačná fázová charakteristika - φ s(ω ) a PFC filtra je znázornené na obr. 2. Fázová charakteristika výstupného signálu určená vzorcom:

znázornené na tomto obrázku ako priamka.

Ryža. 2. Vzťah medzi fázovo-frekvenčnými charakteristikami filtra a signálom.

Takže zisk filtra, popísaný vzťahom (15.1), súhlasil s amplitúdovým a fázovým (alebo fázovou odozvou) spektrami vstupného signálu. Preto sa analyzovaný optimálny filter často nazýva súhlasil.

Vráťme sa opäť k vyjadreniu (15.5) a zvážme energetické vzťahy medzi signálom a šumom na výstupe skúmaného optimálneho filtra. Keďže modulový štvorec komplexné číslo sa rovná druhej mocnine svojej reálnej časti, potom po jednoduchých transformáciách vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

(15.13)

Čitateľ vo vzorci (15.13) v súlade s Parsevalovou rovnosťou je energia vstupného signálu E. Potom má posledný vzťah tvar:

(15.14)

PRAKTICKÁ ČASŤ

SF je lineárny optimálny filter postavený na základe známych spektrálnych charakteristík užitočného spektra a šumu. Na vstupe filtra: , kde S(t) je kvázi-deterministický signál známeho tvaru, daný funkcioučas alebo spektrum.

n(t) je normálny biely šum s výkonovou spektrálnou hustotou N 0 .

Úlohou syntézy v triede lineárnych filtrov je získať h(t) alebo K(jω), ktoré poskytujú maximálny pomer signálu k šumu na výstupe. Túto úlohu vykonáva korelátor(zariadenie s premenlivými parametrami, ktoré určuje generátor referenčného signálu).

výstupný signál filtra.

Filter má konštantné parametre. Jeho prenosová funkcia sa získa Fourierovou transformáciou impulznej odozvy:

Pomer signálu k šumu na výstupe filtra: (t. j. pomer energie signálu k spektrálnemu výkonu šumu).

14. Implementácia prispôsobených filtrov jednotlivých impulzov. Kvázi-zhodné filtrovanie

V praxi sa na implementáciu SF používajú kvázi zhodné filtre. Šírka pásma takýchto filtrov je optimalizovaná, aby sa dosiahol maximálny pomer signálu k šumu na výstupe. V tomto prípade sa berie do úvahy fázové spektrum, PFC filtra je lineárne. Kompromisom pre nekonzistentnosť filtra je strata vo výstupnom pomere s/n. Tieto straty sú malé (menej ako 1 dB), preto sa najčastejšie používa kvázi zhodná filtrácia.

15. Detekcia výbuchu

Existujú 2 typy: koherentný burst s náhodnou fázou a nekoherentný burst, pričom všetky impulzy majú rôzne a náhodné fázy.

Koherentný balík: za predpokladu, že vzorky šumu sú nezávislé počas periód opakovania impulzov, logaritmus pomeru pravdepodobnosti sa porovnáva s prahovou hodnotou C.

, kde

Referenčné oscilácie sú posunuté o 90 stupňov, potom sú v každom kanáli samostatné pulzné integrátory. Ďalej výber zložiek kvadratúry obálky a jej porovnanie s prahovou úrovňou.

Nekoherentný balík: pomer logaritmickej pravdepodobnosti sa porovnáva s prahom C2:

Štruktúra nekoherentného prasknutého detektora:

(1-Filter s jedným impulzom, 2-Obálkový detektor, 3-Akumulátor, 4-prah)

Výpočet detekčných charakteristík:

Koherentný zhluk: , kde a je pomer signálu k šumu na zhlukový impulz.

Nekoherentné balenie: , kde je koeficient určený typom uloženia balenia (pre ideálne skladovanie = 1, pre sklad CRT = 1/2, pre recirkulátor = 2/3), Q je koeficient v závislosti od typu výkyvy v balení.

16. Detekčné charakteristiky a ich výpočet

Závislosť pravdepodobnosti správnej detekcie signálu od pomeru signálu k šumu pre danú pravdepodobnosť falošného poplachu je tzv. detekčná charakteristika. Výpočet detekčných charakteristík pre koherentný zhluk N impulzov s náhodnou počiatočnou fázou a kolísavou amplitúdou používa pomer pre jeden signál, ktorého energia sa rovná energii zhluku NE 1:, kde a je pomer signálu k šumu na pulzný impulz.

V oddiele 3 sa zavádza pojem "prispôsobený filter" (SF) ako zariadenie na výpočet koeficientu reprezentácie demodulovaného signálu na ortonormálnom základe. Širšie uplatnenie nachádza SF vo vybavení prenosových sústav. Preto sa SF zo všeobecných pozícií uvažuje nižšie.

Existuje lineárny štvorpól (filter) s prenosovou funkciou H(j w). Jeho vstupom je súčet deterministického impulzného signálu s(t) a rušenie n(t): z(t) = s(t) + n(t). Na výstupe štvorpólu prebieha súčet odoziev na signál a šum r(t) = y s(t) + y n(t). Na výstup štvorpólu je pripojený diskretizér, ktorý momentálne odčítava t 0 (obr. 4.1). Takéto zariadenie sa používa na tlmenie rušenia a snímanie údajov s cieľom určiť hodnotu amplitúdy impulzu s(t).

Filter sa nazýva prispôsobený signálu s(t) ak, keď je na jeho vstup privedený súčet signálu s(t) a rušenie n(t) na jeho výstupe do určitý momentčas t 0 je maximálny pomer okamžitého výkonu signálu y s 2 (t 0) na priemerný výkon hluku P n von.

Prispôsobený filter (SF) sa používa nielen na maximalizáciu útlmu šumu, ale aj na vykonávanie niektorých ďalších dôležitých transformácií signálu a šumu. Preto zvážte vlastnosti SF .

1. Nájdite komplexná prenosová funkcia SF H(j w). Signál s(t) je daná a prekážka n(t) je biely šum s výkonovou spektrálnou hustotou N 0 /2.

– (4.1)

spektrálna hustota signálu s(t). Potom spektrálna hustota výstupného signálu y s(t) je určený

Referenčná hodnota signálu y s(t 0) definovať ako inverzná transformácia Fourier z S von ( j w) pre určitý časový bod t 0

. (4.3)

Výkon šumu na výstupe filtra (rms počet šumu y n(t 0)) sú určené

. (4.4)

Píšeme pomer okamžitého výkonu signálu y s 2 (t 0) na priemerný výkon hluku P n výstup v referenčnom momente

. (4.5)

Budeme hľadať funkciu prenosu H(j w) maximálna hodnotačitateľ vo vzťahu (4.5). Využime fakt, že integrál v čitateli je skalárnym súčinom dvoch funkcií S*(j w) a ( S*(j w) je komplexne združená funkcia funkcie S(j w)). Skalárny súčin funkcií je maximálny, ak sa funkcie zhodujú až do ľubovoľného kladného koeficientu c, t.j. = od× S*(j w). Preto maximum z čitateľa (4.5) je na prenosovej funkcii

Po dosadení výrazu (4.6) do vzťahu (4.5) dostaneme

. (4.7)

Využíva sa tu energia signálu s(t) je určený

. (4.8)

Vidíme, že pri splnení vzťahu (4.6) je poskytnuté nielen maximum v čitateli pomeru signál/šum (4.5), ale aj maximum tohto pomeru (hodnota r nezávisí od konkrétneho typ prenosovej funkcie H(j w) zahrnuté v menovateli). Teda problém určenia prenosovej funkcie SF H(j w) vyriešené.

2. Vzťah (4.7) určuje maximálny možný pomer signálu k šumu na výstupe filtra v referenčnom momente. Tento pomer sa nazýva vrchol

Poďme definovať zosilnenie signálu od šumu, ktorá ukazuje, koľkokrát sa pomer signálu k šumu zvýši pri filtrovaní SF,

kde F w je pásmo interferenčného šumu na vstupe filtra;

Ts– trvanie signálu s(t);

Ps A P n sú priemerné výkony signálu a šum na vstupe filtra.

Z výrazu (4.10) je zrejmé, že pre určité vzťahy medzi pásmom interferenčného šumu a trvaním signálu môže zisk nadobudnúť veľké hodnoty.

3. Nájdite amplitúdovo-frekvenčné a fázovo-frekvenčné charakteristiky SF. Prenosová funkcia ľubovoľnej lineárnej elektrický obvod určuje jeho frekvenčnú odozvu a fázovú odozvu:

H(j w) = H(w) exp( j j(w)), (4,11)

kde H(w) – frekvenčná charakteristika obvodu, j(w) – fázová charakteristika obvodu.

Predstavte si spektrálnu hustotu signálu s(t) cez modul a argument

S(j w) = S(w)exp( j y(š)), (4,12)

kde S(w) je amplitúdové spektrum signálu, y(w) je fázové spektrum signálu.

Po dosadení (4.11) a (4.12) do (4.6) dostaneme, že frekvenčná charakteristika SF

H(w) = cS(w) (4,13)

sa zhoduje s amplitúdovým spektrom signálu, s ktorým je filter prispôsobený, až do ľubovoľného koeficientu. Koeficient prenosu SF je väčší na tých frekvenciách, na ktorých je viac zložiek signálu s(t).

Rovnosť argumentov ľavice a pravé časti(4.6) dáva

j(w) = –y(w) – w t 0 , (4.14)

čo sa interpretuje nasledovne: PFC SF, až do lineárneho členu, má opačné znamienko k fázovému spektru signálu, s ktorým je filter prispôsobený.

Aby ste objasnili fyzikálnu podstatu PFC SF, zvážte niektorú zložku frekvenčného signálu fi: A i cos (2p fi t+y i). Táto zložka na výstupe SF je určená:

A i(fi)cos(2p fi t+y i+ j( fi)) = A i(fi)cos(2p fi t+y i– r i– 2p fi t 0).

Celková fáza kmitania je 2p fi(t – t 0). V momente t = t 0, celková fáza kmitania je nulová bez ohľadu na frekvenciu. V tomto bode sú všetky komponenty vo fáze a po pridaní dávajú maximálnu možnú hodnotu odozvy.

4. Nájdite impulzná odozva SF ako inverzná Fourierova transformácia prenosovej funkcie

(4.15)

Vidíme, že impulzná odozva SF je zrkadlovým obrazom signálu, s ktorým je filter prispôsobený, vzhľadom na bod t 0 na mierku od.

Príklad 4.1. Zostavme graf impulznej odozvy filtra prispôsobeného signálu

Podmienkou fyzickej realizovateľnosti lineárneho elektrického obvodu je požiadavka na jeho impulznú odozvu: g(t) º 0 pre hodnoty t < 0. Из рис. 4.2 видно, что для выполнения этого условия необходимо наложить требование на момент отсчета: t 0 ³ Ts, kde Ts– trvanie signálu s(t).

5. Nechajte pôsobiť SF na vstupe ľubovoľný signál z(t). Odozva filtra je daná Duhamelovým integrálom

kde Kzs(t) - funkcia krížová korelácia signály z(t) A s(t).

Z výrazu (4.16) vyplýva, že tvar signálu na výstupe SF je určený funkciou krížovej korelácie vstupného signálu a signálu, s ktorým je filter prispôsobený, menovite opakuje funkciu krížovej korelácie na stupnici od a posunul sa doprava t 0 .

Ak do vzťahu (4.16) dáme od= 1 a t 0 = Ts, potom je ľahké to overiť r(Ts) udáva hodnotu skalárneho súčinu signálov z(t) A s(t). Táto vlastnosť SF bola použitá vyššie na určenie koeficientov rozťažnosti - vzťah (3.4).

6. Na vstup SF necháme priviesť signál, s ktorým je filter zladený. Potom na základe (4.16) píšeme

, (4.17)

kde Ks(t) – signálna korelačná funkcia s(t).

Touto cestou, ak sa na vstup SF privedie signál, s ktorým je filter prispôsobený, potom je odozva filtra určená funkciou korelácie signálu, totiž opakuje funkciu korelácie signálu na stupnici od a posunul sa doprava t 0 .

Cvičenie 4.1. Ilustrujme uvažované vlastnosti SF na príklade filtra, s ktorým sa zhoduje obdĺžnikový impulz amplitúda ALE a trvanie Ts. Nechať byť od = 1/A A t 0 = Ts. Impulzná odozva filtra, prispôsobená impulzu P, má tvar U, amplitúdu 1 a trvanie Ts, t.j. impulzná odozva sa zhoduje so signálom (obr. 4.3, ale).

Spektrálna hustota P-pulzu je určená Fourierovou transformáciou

S P ( j w) = . (4,18)

Na základe vzťahu (4.6) dostaneme výraz pre prenosovú funkciu filtra zhodnú s P-impulzom, ak od = 1/A A t 0 = Ts

H(j w) = . (4.19)

Z tohto vzťahu vyplýva, že filtračný obvod zladený s P-impulzom pozostáva z integrátora (s prenosovou funkciou 1/ j w), časové oneskorenia Ts(s prenosovou funkciou exp(– j w Ts)) a odčítača (obr. 4.3, v). Na tomto obrázku čísla označujú jednotlivé body obvodu na diskusiu o jeho fungovaní.

Je ľahké získať výraz pre frekvenčnú odozvu filtra prispôsobeného P-impulzu. Konečný výraz pre frekvenčnú odozvu po prechode na vymeniteľnú f má formu funkcie sin( X)/X

. (4.20)

Frekvenčná odozva SF a amplitúdové spektrum signálu sú znázornené na obr. 4.3, b.

Na obr. 4.4, ale ukazuje procesy, ktoré prebiehajú v SF, keď je na jeho vstup privedená d-funkcia. Na výstupe obvodu sa pozoruje impulzná odozva. Na obr. 4.4, b ukazuje procesy, ktoré prebiehajú v SF, keď je na jeho vstup privedený impulz, s ktorým je filter zladený. Na výstupe obvodu je pozorovaná odozva, ktorá sa zhoduje s korelačnej funkcie Trvanie P-pulzu T s(pozri modul 1).

testovacie otázky

1. Aké je kritérium optimality pre prispôsobený filter?

2. Prepočítajte vlastnosti zhodného filtra.

3. Ako sa určuje špičkový pomer signálu k šumu na výstupe prispôsobeného filtra?

5. Použitie prispôsobených filtrov
v demodulátoroch AIM- M

Zvážte spolu Obvody modulátora a demodulátora signálu AIM-M(obr. 5.1). Obvod modulátora je zostavený na základe popisu kanálových symbolov AIM- M

kde ALE(t) je impulz s určitými frekvenčnými a časovými charakteristikami;

a i– koeficient reprezentujúci prenášané bity.

Na diagrame je KMK kódovač modulačného kódu, ktorý generuje koeficienty a i na základe vstupu digitálny signál– pri každom hodinovom intervale bloku od n= log 2 M bit je mapovaný koeficient a i. Tento koeficient je signálom privádzaný na vstup tvarovacieho filtra (FF). a i d( t). FF generuje hybnosť a i A(t).

Obvod demodulátora je založený na materiáli predchádzajúcich častí. Vstup prispôsobeného filtra prijíma súčet signálu a šumu a i A(t) + n(t). Prispôsobený filter tlmí rušenie a na jeho výstupe vzniká užitočný signál a i R(t) a hluk z( t). Digitalizátor odoberie vzorku a vytvorí odhad koeficientu a i. Maximálna hodnota impulzu P(t) v čase počítania sa rovná 1, teda = a i+ z (odhad možno považovať za koeficient z 0 znázornenie signálu z(t) v jednorozmernom priestore vzhľadom na základná funkcia ALE(t)). Digitalizátor je riadený sekvenciou impulzov z hodinového synchronizačného obvodu (TS), ktorý zabezpečuje odber vzoriek v momentoch maximálneho odstupu signálu od šumu. Na základe odhadu prijatého zo vzorkovača rozhodne rozhodovacia schéma (SR) o počte prenášaných kanálových symbolov a vydá rozhodnutie. binárne znaky podľa modulačného kódu.

Keďže tvarovací filter je vybudený d-funkciou, amplitúdovým spektrom impulzu A(t) sa rovná frekvenčnej odozve FF

S A(f) = H FF ( f). (5.2)

Amplitúdové spektrum impulzu R(t) je určený

S P(f) = S A(f)× H SF ( f), (5.3)

kde H SF ( f) je frekvenčná odozva filtra prispôsobená impulzu A(t).

Impulz na výstupe SF R(t) musí uspokojiť podmienka absencie medzisymbolové rušenie (MSI), takže požadujeme, aby spektrum S P(f) bolo Nyquistovo spektrum N(f):

S P(f) = N(f). (5.4)

Využime vlastnosť SF: jej frekvenčná odozva sa zhoduje s amplitúdovým spektrom signálu, s ktorým sa zhoduje (s od = 1)

H SF ( f) = S A(f). (5.5)

Berúc do úvahy rovnosti (5.2)...(5.5) sme dospeli k záveru, že

H FF ( f) = H SF ( f) = . (5.6)

Hovorí sa, že je popísaná frekvenčná odozva FF a SF závislosť "druhá odmocnina Nyquistovho spektra".

Zvyčajne sa popisuje Nyquistovo spektrum závislosť "zvýšený kosínus"

N(f) =
(5.7)

kde T– interval hodín;

f n = 1/(2 T) je Nyquistova frekvencia;

a je koeficient sklonu spektra.

Je opísaná závislosť „druhej odmocniny Nyquistovho spektra“.

=
(5.8)

Na obr. 5.2 ukazuje závislosti N(f) a pri a = 0,4. Z obr. 5.2, b je vidieť, že tvarovacie a prispôsobené filtre sú dolnopriepustné filtre, ale so špeciálnou frekvenčnou charakteristikou. Ak sa ako FF a SF použijú filtre Butterworth, Chebyshev a ďalšie, syntetizované tak, aby sa ich frekvenčná odozva priblížila k tvaru U, potom podmienka absencie ISI nebude splnená.

Výraz pre hybnosť A(t) možno získať ako inverznú Fourierovu transformáciu , za predpokladu, že fázové spektrum je identicky rovné nule:

(5.9)

Funkcia P(t) možno získať ako inverznú Fourierovu transformáciu z N(f), za predpokladu, že fázové spektrum je identicky rovné nule:

P(t) = . (5.10)

Na obr. 5.3 zobrazuje grafy pulzov A(t) A P(t) pri a = 0,4. Z grafu P(t) je to vidieť špičková hodnota sa rovná 1. A to znamená, že pri prenose hybnosti a i A(t) vzorka na výstupe diskretizéra sa rovná a i. Z obr. 5.3 je vidieť, že hybnosť P(t) nadobúda nulové hodnoty t = ± kT (k= 1, 2, 3,...), t.j. spĺňa referenčnú podmienku. Pulz A za predpokladu, že spektrálna hustota výkonu šumu na vstupe SF N 0 /2

Pri integrácii bol použitý rovnaký prístup ako pri výpočte integrálu (5.11). RMS hodnota hluku na výstupe SF sa rovná

Ak vezmeme do úvahy (5.12) a (5.14), je ľahké overiť, že pomer signálu k šumu v čase počítania

zodpovedá vlastnosti priradeného filtra (4.9).

testovacie otázky

1. Formulujte účel tvarovania a prispôsobených filtrov.

2. Formulujte účel synchronizácie hodín.

3. Ako sa určuje efektívna hodnota hluku na výstupe SF?

4.6. Príjem zhodného filtra

Existuje veľká trieda problémov, pri ktorých je potrebné detekovať signál, ak je známy jeho tvar. Medzi nimi je úloha prijímania telegrafných signálov, signálov s pulzno-kódovou moduláciou, radarových signálov. V týchto prípadoch dôležitý parameter, ktorá charakterizuje kvalitu detekcie, je pomer signálu k šumu. Lineárny filter, ktorý maximalizuje tento pomer, sa nazýva optimálne prispôsobený filter.

Na vstupe filtra nech pôsobí súčet signálu s(t) a rušenie (t), teda kmitanie X(t)= s(t)+ (t). Užitočný signál s(t) nepovažuje sa za náhodný proces, ale za funkciu známeho tvaru so spektrálnou hustotou

kde S() a sú amplitúdové a fázové spektrá signálu. Hluk sa bude považovať za stacionárny náhodný proces typ bieleho šumu so spektrálnou hustotou

Do formulára zapíšeme koeficient prenosu lineárneho filtra

Signál na výstupe filtra sa zjavne rovná súčtu užitočného signálu yc(t) a rušenie rP(t):

Užitočný výstupný signál možno zapísať ako

Špičková sila signálu v určitom bode sa bude rovnať:

,

a rušivý výkon

Potom prebytok signálu nad šumom v danom čase t0 bude definovaný nasledujúcim výrazom:

(4.32)

Je potrebné zistiť, aký by mal byť zisk filtra, aby bol pomer signálu k šumu q na jeho výstupe bola maximálna. Na základe Bunyakovskii-Schwartzovej nerovnosti získame

(4.33)

Pre akúkoľvek charakteristiku filtra teda pomer signálu k šumu nemôže prekročiť maximálnu hodnotu

(4.34)

kde E je celková energia signálu. Zadaná maximálna hodnota q sa dosiahne, keď zisk filtra má nasledujúci výraz:

kde S(-i)=S()e - komplex funkcie konjugovaný so spektrom signálu S( i),c je ľubovoľná konštanta. Je ľahké to overiť priamym dosadením výrazu (4.35) do rovnosti (4.32).

Výraz (4.35) možno zapísať ako dve rovnosti:

(4.36)

z čoho vyplýva, že amplitúdovo-frekvenčná charakteristika prispôsobeného filtra sa až do konštantného faktora zhoduje s amplitúdovým spektrom signálu a fázovo-frekvenčná charakteristika je určená fázovým spektrom signálu a lineárnou funkciou frekvencia . Frekvenčná odozva optimálneho filtra je teda úplne určená spektrom signálu, ktorý je s ním "zhodný". Odtiaľ názov - zhodný filter.

Fáza signálu na výstupe prispôsobeného filtra je:

o t= t, =0, t.j t, všetky harmonické zložky signálu majú rovnakú fázu a sú sčítané aritmeticky, čím v tomto momente tvoria vrchol signálu na výstupe filtra. Zložky spektrálneho šumu na výstupe filtra majú náhodnú fázu. To vysvetľuje vyššie preukázanú pozíciu, že prispôsobený filter maximalizuje pomer signálu k šumu na výstupe.

Ryža. 4.9. Signál s(t) (ale) a impulzná odozva prispôsobeného filtra g(t)(b)

Impulzná odozva prispôsobeného filtra sa dá ľahko určiť na základe Fourierovej transformácie. Podľa (4.35) máme

(4.37)

Takže impulzná odozva prispôsobeného filtra je zrkadlový odraz signál vzhľadom na mierku "c" (obr. 4.7). Z obr. 4.9 to ukazuje t0 nemôže byť menšia ako koniec signálu T. To znamená, že pre prakticky implementovaný filter je podmienka . Ak chcete skrátiť čas analýzy, odporúča sa vziať t= T.

Napätie na výstupe prispôsobeného filtra v určitom časovom okamihu t podľa Duhamelovho integrálu je:

Rovnica (4.38) ukazuje, že napätie na výstupe prispôsobeného filtra je úmerné funkcii krížovej korelácie prijatého signálu X(t) a prenášaný signál s(t). V tomto ohľade je prispôsobený filter adekvátny korelátoru.

Signál na výstupe filtra (bez rušenia) sa bude rovnať:

Takže signál na výstupe prispôsobeného filtra až do konštantného faktora od sa zhoduje s autokorelačnou funkciou vstupného signálu. Keď je hodnota funkcie Bs(0) rovná energii signálu E. Preto maximálna hodnota signálu na výstupe . Trvanie signálu na výstupe filtra je určené korelačným intervalom. Dt (2,24). V závislosti od typu signálov, kde T- trvanie signálu na vstupe. Je možné komprimovať signál

na čas. Takže pre signály podobné šumu. Kompresný pomer sa rovná základni signálu:

Syntéza prispôsobených filtrov môže byť uskutočnená impulznou odozvou g(t) alebo spektrálne z hľadiska koeficientu prenosu.

Ako príklad zvážte konštrukciu prispôsobeného filtra pre obdĺžnikový video impulz, ktorý je uvedený ako:

s(t) = 0 pre a t>T

Je známe, že spektrum takéhoto impulzu je . Na

Na základe (4.35) bude prispôsobený zisk filtra

Impulzná odozva takéhoto filtra je g(t) zodpovedá tvaru samotného signálu s(t); skutočne, vzťah (4.37) to naznačuje

g(t)=cs(T-t)=cA pri

g(t)=0 pri t<0 A t> T

Je známe, že násobenie vo frekvenčnej oblasti zodpovedá integrácii z do časovej oblasti a násobeniu zodpovedá oneskoreniu signálu o čas T.

Preto sa filter so ziskom (4.40) skladá z integrátora A, ktorého koeficient prenosu sa rovná: časové oneskorovacie linky T s prevodovým pomerom

Ryža. 4.10. Prispôsobený filter pre obdĺžnikový video impulz (ale), signál na jeho vstupe (b) a výstup (v)

odčítač IN(obr. 4.10a). Signál na výstupe filtra podľa (4.39) má tvar rovnoramenného trojuholníka (obr. 4.106) so zákl. 2T a výška rovnajúca sa energii signálu sA 2 T, t.j.

pri

V T

Zvážte druhý príklad - prispôsobený filter pre rádiový impulz. Nech je signál uvedený v tvare:

pri

s(t) = 0 pre a t>T

Pre jednoduchosť predpokladajme, že T \u003d (2n + 1), t.j. na intervale (0, T) fit nepárny počet polcyklov. Potom v tomto intervale

Taká impulzná odozva (od až do konštantného činiteľa) má bezstratový oscilačný obvod.

Rádiový impulz a zodpovedajúca impulzná odozva filtra g(t) možno znázorniť ako rozdiel medzi dvoma sínusoidami posunutými jedna voči druhej na chvíľu T.

Ryža. 4.11. Prispôsobený filter pre rádiový impulz (ale), signál na jeho vstupe (b) a výstup (v)

Preto sa prispôsobený filtračný obvod pre rádiový impulz (obr. 4.11 a) líši od obvodu na obr. 4.10a len tým, že namiesto integrátora A súčasťou je kvalitný oscilačný obvod s vlastnou frekvenciou. Časová konštanta obvodu musí byť samozrejme oveľa väčšia ako trvanie signálu T. esči už v časovom období T sa hodí párny (ale celý) počet polvĺn, potom musí byť odčítač nahradený sčítačkou. Keď sa na vstup privedie rádiový impulz (obr. 4.116), výstupný signál bude vyzerať ako na obr. 4.11 b. Tento signál sa tvarom zhoduje s autokorelačnou funkciou vstupného signálu Bs( ). Maximálna hodnota signálu na výstupe filtra, potom v súlade s výrazom (4.35), koeficient prenosu prispôsobeného filtra bude

Ak je signál sekvenciou rádiových impulzov, potom by sa mal rozumieť koeficient prenosu filtra, ktorý sa zhoduje s prvým jedným rádiovým impulzom.

V niektorých prípadoch sa ukázalo, že prispôsobené filtre je prakticky ťažké implementovať. Preto sa často používajú filtre, ktoré sú zosúladené so signálom len cez pásmo (kvázi optimálne filtre). Optimálne pásmo pre rôzne impulzy je rôzne a dá sa vypočítať bez väčších ťažkostí. Takže pre filter s pravouhlou frekvenčnou odozvou, ktorý je ovplyvnený rádiovým impulzom obdĺžnikového tvaru s trvaním

Optimálna šírka pásma je Dá sa ukázať, že pomer signálu k šumu na výstupe kvázi optimálneho filtra klesá asi o 15-20% v porovnaní s prispôsobeným filtrom.