Komplexné premenné funkcie.
Diferenciácia funkcií komplexnej premennej.

Tento článok otvára sériu lekcií, v ktorých zvážim typické úlohy súvisiace s teóriou funkcií komplexnej premennej. Pre úspešné zvládnutie príkladov musíte mať základné znalosti o komplexných číslach. Ak chcete materiál konsolidovať a zopakovať, stačí navštíviť stránku. Na nájdenie budete potrebovať aj zručnosti parciálne deriváty druhého rádu... Tu sú, tieto parciálne deriváty ... aj teraz som bol sám trochu prekvapený, ako často sa vyskytujú ...

Téma, ktorú začíname analyzovať, nie je nijak zvlášť náročná a vo funkciách komplexnej premennej je v zásade všetko jasné a dostupné. Hlavné je dodržať základné pravidlo, ktoré som odvodil empiricky. Pokračuj v čítaní!

Koncept komplexnej premennej funkcie

Najprv si obnovme vedomosti o školskej funkcii jednej premennej:

Funkcia jednej premennej Je pravidlo, podľa ktorého každej hodnote nezávislej premennej (z oblasti definície) zodpovedá jedna a len jedna funkčná hodnota. Prirodzene, X a Y sú reálne čísla.

V zložitom prípade je funkčná závislosť nastavená rovnakým spôsobom:

Jednohodnotová funkcia komplexnej premennej- to je pravidlo, podľa ktorého každý integrovaný hodnota nezávislej premennej (z domény) zodpovedá len jednej komplexný funkčná hodnota. Teoreticky sa uvažuje aj o viachodnotových a niektorých ďalších typoch funkcií, ale pre jednoduchosť sa zameriam na jednu definíciu.

Aký je rozdiel medzi komplexnou premennou funkciou?

Hlavný rozdiel: čísla sú zložité. Nie som ironický. Z takýchto otázok často upadnú do stuporov, na konci článku vám poviem skvelý príbeh. Na lekcii Komplexné čísla pre figuríny uvažovali sme o komplexnom čísle vo forme. Odvtedy sa zmenilo písmeno "z". premenlivý, potom to označíme takto:, pričom „x“ a „hra“ môžu trvať rôzne platné hodnoty. Zhruba povedané, funkcia komplexnej premennej závisí od premenných a, ktoré nadobúdajú „obyčajné“ hodnoty. Z tejto skutočnosti logicky vyplýva nasledujúci bod:

Funkciu komplexnej premennej možno zapísať ako:
, kde a sú dve funkcie dvoch platné premenné.

Funkcia sa volá reálna časť funkcie.
Funkcia sa volá imaginárnu časť funkcie.

To znamená, že funkcia komplexnej premennej závisí od dvoch reálnych funkcií a. Aby ste nakoniec všetko objasnili, zvážte praktické príklady:

Príklad 1

Riešenie: Nezávislá premenná "z", ako si pamätáte, je napísaná takto:

(1) Pôvodná funkcia bola nahradená.

(2) Pre prvý člen bol použitý skrátený násobiaci vzorec. V termíne - boli otvorené zátvorky.

(3) Opatrne zarovnané, nezabúdajme na to

(4) Preusporiadanie pojmov: najskôr prepíšte pojmy v ktorej neexistuje pomyselná jednotka(prvá skupina), potom pojmy, kde sú (druhá skupina). Treba poznamenať, že nie je potrebné zamiešať pojmy a túto fázu možno preskočiť (v skutočnosti po jej ústnom podaní).

(5) Pre druhú skupinu to vytiahneme zo zátvoriek.

Výsledkom bolo, že naša funkcia bola zastúpená vo forme

odpoveď:
- skutočná časť funkcie.
- imaginárna časť funkcie.

Aké sú tieto funkcie? Najbežnejšie funkcie dvoch premenných, z ktorých možno nájsť také obľúbené parciálne deriváty... Bez milosti - nájdeme. Ale o niečo neskôr.

Algoritmus riešeného problému možno v stručnosti napísať nasledovne: dosadiť do pôvodnej funkcie, zjednodušiť a rozdeliť všetky pojmy do dvoch skupín - bez imaginárnej jednotky (reálna časť) a s imaginárnou jednotkou (imaginárna časť).

Príklad 2

Nájdite skutočnú a imaginárnu časť funkcie

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Predtým, ako vrhnete svoju dámu do boja na zložitom lietadle, dovoľte mi dať vám najdôležitejšiu radu na túto tému:

BUĎ OPATRNÝ! Všade musíte byť pozorní, samozrejme, ale v komplexných číslach by ste mali byť pozorní ako nikdy predtým! Pamätajte, opatrne otvorte zátvorky, nič nestratíte. Podľa mojich pozorovaní je najčastejšou chybou strata znamienka. Neponáhľaj sa!

Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Teraz kocka. Pomocou vzorca pre znížené násobenie odvodíme:
.

Vzorce sú veľmi vhodné na použitie v praxi, pretože výrazne urýchľujú proces riešenia.

Diferenciácia funkcií komplexnej premennej.

Mám dve správy: dobrú a zlú. Začnem dobrým. Pre funkciu komplexnej premennej platia pravidlá diferenciácie a tabuľka derivácií elementárnych funkcií. Derivácia sa teda berie rovnakým spôsobom ako v prípade reálnej premennej funkcie.

Zlou správou je, že pre mnohé funkcie komplexnej premennej derivácia vôbec neexistuje a musíte na to prísť diferencovateľné tú či onú funkciu. A „zistenie“, ako sa cíti vaše srdce, je spojené s ďalšími problémami.

Zvážte komplexnú premennú funkciu. Aby bola táto funkcia diferencovateľná, je potrebné a postačujúce:

1) Aby existovali parciálne derivácie prvého rádu. Na tieto označenia hneď zabudnite, keďže v teórii funkcie komplexnej premennej sa tradične používa iný zápis: .

2) Na uskutočnenie tzv Cauchy-Riemannove podmienky:

Len v tomto prípade bude derivát existovať!

Príklad 3

Riešenie rozkladá sa do troch po sebe nasledujúcich etáp:

1) Nájdite skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Táto úloha bola analyzovaná v predchádzajúcich príkladoch, takže ju napíšem bez komentárov:

Odvtedy:

takto:

- imaginárna časť funkcie.

Zastavím sa ešte pri jednom technickom bode: v akom poradí zapisovať pojmy do reálnej a vymyslenej časti? Áno, v zásade žiadny rozdiel. Napríklad skutočná časť môže byť napísaná takto: , a pomyselne - takto:.

2) Skontrolujme plnenie Cauchy-Riemannových podmienok. Sú dve.

Začnime kontrolou stavu. nachádzame parciálne deriváty:

Podmienka je teda splnená.

Dobrou správou nepochybne je, že parciálne deriváty sú takmer vždy veľmi jednoduché.

Kontrolujeme splnenie druhej podmienky:

Ukázalo sa to isté, ale s opačnými znakmi, to znamená, že podmienka je tiež splnená.

Cauchyho-Riemannove podmienky sú splnené, preto je funkcia diferencovateľná.

3) Nájdite deriváciu funkcie. Derivát je tiež veľmi jednoduchý a nachádza sa podľa obvyklých pravidiel:

Imaginárna jednotka sa pri diferenciácii považuje za konštantnú.

odpoveď: - skutočná časť, Je to imaginárna časť.
Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené.

Existujú dva ďalšie spôsoby, ako nájsť derivát, samozrejme sa používajú menej často, ale informácie budú užitočné pre pochopenie druhej lekcie - Ako nájdem funkciu komplexnej premennej?

Derivát možno nájsť podľa vzorca:

V tomto prípade:

Teda

Musíme vyriešiť inverzný problém - vo výslednom výraze musíte izolovať. Aby ste to dosiahli, je potrebné v podmienkach a vyňať zo zátvorky:

Opačná akcia, ako si mnohí všimli, je o niečo zložitejšia, na overenie je vždy lepšie vziať výraz a na koncepte alebo ústne otvoriť zátvorky, aby ste sa uistili, že to dopadne presne

Zrkadlový vzorec na nájdenie derivátu:

V tomto prípade: , preto:

Príklad 4

Určiť skutočné a imaginárne časti funkcie ... Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Ak sú splnené Cauchyho-Riemannove podmienky, nájdite deriváciu funkcie.

Krátke riešenie a hrubá ukážka konečnej úpravy na konci tutoriálu.

Sú Cauchy-Riemannove podmienky vždy splnené? Teoreticky sú častejšie nepopravení, ako sú. Ale v praktických príkladoch si nespomínam na prípad, že by neboli vykonané =) Ak teda vaše parciálne deriváty „nesúhlasili“, tak s veľkou pravdepodobnosťou môžete povedať, že ste niekde urobili chybu.

Poďme si skomplikovať naše funkcie:

Príklad 5

Určiť skutočné a imaginárne časti funkcie ... Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Vypočítajte

Riešenie: Algoritmus riešenia je úplne zachovaný, ale na konci bude pridaný nový módny trend: nájdenie derivácie v bode. Pre kocku už bol odvodený požadovaný vzorec:

Definujme skutočnú a imaginárnu časť tejto funkcie:

Pozor a ešte raz pozor!

Odvtedy:


takto:
- skutočná časť funkcie;
- imaginárna časť funkcie.

Kontrola druhej podmienky:

Ukázalo sa to isté, ale s opačnými znakmi, to znamená, že podmienka je tiež splnená.

Cauchyho-Riemannove podmienky sú splnené, preto je funkcia diferencovateľná:

Vypočítajme hodnotu derivácie v požadovanom bode:

odpoveď:,, Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené,

Funkcie s kockami sú bežné, takže príklad na určenie:

Príklad 6

Určiť skutočné a imaginárne časti funkcie ... Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Vypočítajte.

Riešenie a úprava vzorky na konci lekcie.

V teórii komplexnej analýzy sú definované aj ďalšie funkcie komplexného argumentu: exponent, sínus, kosínus atď. Tieto funkcie majú nezvyčajné a dokonca bizarné vlastnosti - a to je naozaj zaujímavé! Chcel by som vám toho veľa povedať, ale tu sa to stalo, nie referenčná kniha alebo učebnica, ale riešiteľ, takže zvážim rovnaký problém s niektorými bežnými funkciami.

Najprv o tzv Eulerove vzorce:

Pre hocikoho skutočné očíslujte, platia nasledujúce vzorce:

Môžete si ho prepísať aj do zošita ako referenčný materiál.

Presne povedané, existuje iba jeden vzorec, ale zvyčajne pre pohodlie píšu aj špeciálny prípad s mínusom v ukazovateli. Parameter nemusí byť osamelé písmeno, môže to byť zložitý výraz, funkcia, dôležité je len to, aby akceptovali len platný hodnoty. V skutočnosti to uvidíme hneď teraz:

Príklad 7

Nájdite derivát.

Riešenie: Generálna línia strany zostáva neotrasiteľná – je potrebné vyčleniť skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Poskytnem podrobné riešenie a nižšie uvediem každý krok:

Odvtedy:

(1) Nahradiť „z“.

(2) Po nahradení musíte vybrať skutočnú a imaginárnu časť prvý v ukazovateli vystavovateľov. Ak to chcete urobiť, otvorte zátvorky.

(3) Zoskupíme imaginárnu časť ukazovateľa, pričom imaginárnu jednotku vyberieme zo zátvoriek.

(4) Školskú akciu používame s titulmi.

(5) Pre faktor používame Eulerov vzorec, zatiaľ čo.

(6) Rozbaľte zátvorky, výsledkom čoho bude:

- skutočná časť funkcie;
- imaginárna časť funkcie.

Ďalšie úkony sú štandardné, skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann:

Príklad 9

Určiť skutočné a imaginárne časti funkcie ... Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann. Derivát nenájdeme, tak budiž.

Riešenie: Algoritmus riešenia je veľmi podobný predchádzajúcim dvom príkladom, ale sú tu veľmi dôležité body, takže znova komentujem počiatočnú fázu krok za krokom:

Odvtedy:

1) Nahraďte „z“.

(2) Najprv vyberte skutočnú a imaginárnu časť vnútri sínus... Za týmto účelom otvoríme zátvorky.

(3) Používame vzorec, zatiaľ čo .

(4) Používame parita hyperbolického kosínusu: a nepárny hyperbolický sínus:. Hyperbolika, hoci nie je z tohto sveta, v mnohom pripomína podobné goniometrické funkcie.

Nakoniec:
- skutočná časť funkcie;
- imaginárna časť funkcie.

Pozor! Znamienko mínus odkazuje na imaginárnu časť a v žiadnom prípade ho nestrácame! Pre jasnú ilustráciu možno výsledok získaný vyššie prepísať takto:

Skontrolujme splnenie Cauchy-Riemannových podmienok:

Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené.

odpoveď:,, Cauchy-Riemannove podmienky sú splnené.

S kosínom, dámy a páni, prídeme na to sami:

Príklad 10

Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann.

Schválne som vychytal príklady, ktoré sú zložitejšie, pretože všetko sa vraj s niečím dokáže vyrovnať, ako napríklad lúpané arašidy. Zároveň si precvičíte pozornosť! Luskáčik na konci hodiny.

No a na záver zvážim ďalší zaujímavý príklad, keď je v menovateli zložitý argument. Stretol som sa párkrát v praxi, poďme vyriešiť niečo jednoduché. Ej, starnem...

Príklad 11

Určte skutočnú a imaginárnu časť funkcie. Skontrolujte splnenie podmienok Cauchy-Riemann.

Riešenie: Opäť je potrebné oddeliť reálnu a imaginárnu časť funkcie.
Ak potom

Vynára sa otázka, čo robiť, keď je v menovateli „z“?

Všetko je dômyselné - norma pomôže trik násobenia čitateľa a menovateľa konjugovaným výrazom, to už bolo použité v príkladoch lekcie Komplexné čísla pre figuríny... Pamätáme si školskú formulu. Už to máme v menovateli, čo znamená, že pôjde o konjugovaný výraz. Čitateľ a menovateľ teda musíte vynásobiť:

Federálna agentúra pre vzdelávanie

___________________________________

Štát Petrohrad

Elektrotechnická univerzita "LETI"

_______________________________________

Teória funkcií komplexnej premennej

Metodické pokyny

na praktický výcvik

vo vyššej matematike

St. Petersburg

Vydavateľstvo SPbGETU "LETI"

MDT 512,64 (07)

TFKP: Metodické pokyny na riešenie problémov / komp .: VG Dyumin, AM Kotochigov, NN Sosnovskiy. SPb .: Vydavateľstvo ETU "LETI", 2010. 32 s.

Schválil

redakčná a vydavateľská rada univerzity

ako usmernenia

© SPbGETU "LETI", 2010

Funkcie komplexnej premennej sa vo všeobecnom prípade líšia od zobrazení skutočnej roviny
v sebe len vo forme nahrávky. Dôležitým a mimoriadne užitočným objektom je trieda funkcie komplexnej premennej,

majúci deriváciu rovnakú ako funkciu jednej premennej. Je známe, že funkcie viacerých premenných môžu mať parciálne a smerové derivácie, ale derivácie v rôznych smeroch sa spravidla nezhodujú a v jednom bode nemožno hovoriť o derivácii. Pre funkcie komplexnej premennej je však možné opísať podmienky, za ktorých pripúšťajú diferenciáciu. Obsahom smerníc je štúdium vlastností diferencovateľných funkcií komplexnej premennej. Návod má ukázať, ako možno použiť vlastnosti takýchto funkcií na riešenie rôznych problémov. Úspešné zvládnutie prezentovaného materiálu nie je možné bez elementárnych výpočtových zručností s komplexnými číslami a bez znalosti najjednoduchších geometrických objektov definovaných z hľadiska nerovností spájajúcich reálnu a imaginárnu časť komplexného čísla, ako aj jeho modulu a argumentu. Súhrn všetkých potrebných informácií nájdete v pokynoch.

V texte smerníc sa široko používa štandardný aparát matematickej analýzy: limity, derivácie, integrály, rady. Tam, kde majú tieto pojmy svoje špecifiká, sú v porovnaní s funkciami jednej premennej uvedené zodpovedajúce vysvetlenia, väčšinou však stačí oddeliť reálnu a imaginárnu časť a aplikovať na ne štandardný aparát reálnej analýzy.

1. Elementárne funkcie komplexnej premennej

Je prirodzené začať diskusiu o podmienkach diferencovateľnosti pre funkcie komplexnej premennej objasnením, ktoré elementárne funkcie majú túto vlastnosť. Zo zjavného vzťahu

Nasleduje diferencovateľnosť ľubovoľného polynómu. A keďže mocninný rad možno diferencovať člen po člene v kruhu jeho konvergencie,

potom je ľubovoľná funkcia diferencovateľná v bodoch, v okolí ktorých môže byť rozšírená v Taylorovom rade. Je to postačujúca podmienka, no, ako sa čoskoro ukáže, aj nevyhnutná. Štúdium funkcií jednej premennej vzhľadom na deriváciu je vhodné podporiť riadením správania sa funkčného grafu. Pre funkcie komplexnej premennej takáto možnosť neexistuje. Body grafu ležia v priestore dimenzie 4,.

Určité grafické znázornenie funkcie však možno získať zvážením obrázkov pomerne jednoduchých množín komplexnej roviny
vznikajúce pod vplyvom danej funkcie. Zvážte napríklad niekoľko jednoduchých funkcií z tohto hľadiska.

Lineárna funkcia

Táto jednoduchá funkcia je veľmi dôležitá, pretože každá diferencovateľná funkcia je lokálne podobná lineárnej. Zvážme činnosť funkcie čo najpodrobnejšie.

tu
- modul komplexných čísel a je jeho argument. Lineárna funkcia teda vykonáva rozťahovanie, rotáciu a strih. V dôsledku toho lineárne mapovanie prevezme akúkoľvek množinu na podobnú množinu. Najmä pod vplyvom lineárneho zobrazenia sa priame čiary premenia na priame čiary a kruhy na kruhy.

Funkcia

Táto funkcia je ďalšou zložitosťou po lineárnej. Ťažko očakávať, že premení akúkoľvek priamku na priamku a kružnicu na kružnicu, jednoduché príklady ukazujú, že sa to nedeje, dá sa však ukázať, že táto funkcia transformuje množinu všetkých čiar a kružníc. do seba. Na overenie je vhodné prejsť na skutočný (súradnicový) popis mapovania

Na dôkaz potrebujeme popis inverzného zobrazenia

Zvážte rovnicu, ak
, potom dostanete všeobecnú rovnicu priamky. Ak
, potom

Preto pre
získa sa rovnica ľubovoľného kruhu.

Všimnite si, že ak
a
, potom kruh prechádza počiatkom. Ak
a
, potom dostanete priamku prechádzajúcu počiatkom.

Pri pôsobení inverzie sa uvažovaná rovnica prepíše ako

, (
)

alebo . Je vidieť, že toto je tiež rovnica opisujúca buď kruhy alebo priamky. Skutočnosť, že v rovnici sú koeficienty a
swapped, znamená, že pri inverzii budú čiary prechádzajúce cez 0 prechádzať do kruhov a kruhy prechádzajúce cez 0 prechádzajú do priamych čiar.

Výkonové funkcie

Hlavný rozdiel medzi týmito funkciami a funkciami, o ktorých sme uvažovali skôr, je v tom, že nie sú individuálne (
). Môžeme povedať, že funkcia
prevedie komplexnú rovinu na dve inštancie tej istej roviny. Dôkladné zváženie tejto témy si vyžaduje použitie ťažkopádneho aparátu Riemannových povrchov a presahuje rámec tu uvažovaných problémov. Je dôležité pochopiť, že komplexná rovina môže byť rozdelená do sektorov, z ktorých každý je namapovaný na komplexnú rovinu jedna k jednej. Toto je rozdelenie funkcie
vyzerá takto, Napríklad horná polrovina je mapovaná jedna k jednej do komplexnej roviny pomocou funkcie
... Skreslenie geometrie pre takéto obrázky je ťažšie opísať ako v prípade inverzie. Ako cvičenie môžete sledovať, do čoho ide mriežka pravouhlých súradníc hornej polroviny pri zobrazení

Je vidieť, že mriežka pravouhlých súradníc sa transformuje na rodinu parabol, ktoré tvoria systém krivočiarych súradníc v rovine.
... Rozdelenie roviny opísané vyššie je také, že funkcia
zobrazí každý z sektory na celej rovine. Popis dopredného a spätného mapovania vyzerá takto

Takže funkcia
Má rôzne inverzné funkcie,

uvedené v rôznych sektoroch lietadla

V takýchto prípadoch sa hovorí, že mapovanie je multivalentné.

Žukovského funkcia

Funkcia má svoj vlastný názov, pretože tvorila základ Žukovského teórie krídla lietadla (popis tohto dizajnu nájdete v knihe). Funkcia má množstvo zaujímavých vlastností, zastavme sa pri jednej z nich – zistite, na ktoré množiny táto funkcia pôsobí spôsobom jedna k jednej. Zvážte rovnosť

, kde
.

V dôsledku toho je funkcia Žukovského jedna k jednej v akomkoľvek regióne, v ktorom je pre ktorýkoľvek a ich produkt sa nerovná jednej. Ide napríklad o otvorený jednotkový kruh
a doplnok uzavretého jednotkového kruhu
.

Uvažujme teda o pôsobení Žukovského funkcie na kruhu

Oddelením reálnej a imaginárnej časti získame parametrickú rovnicu elipsy

,
.

Ak
, potom tieto elipsy vyplnia celú rovinu. Podobne je overené, že obrazy segmentov sú hyperboly

.

Exponenciálna funkcia

Funkcia pripúšťa expanziu v mocninnom rade, ktorá je absolútne konvergentná v celej komplexnej rovine, preto je všade diferencovateľná. Popíšme množiny, na ktorých je funkcia jedna k jednej. Zjavná rovnosť
ukazuje, že rovinu možno rozdeliť na rodinu pásov, z ktorých každý sa funkcia mapuje na jednu ku jednej v celej komplexnej rovine. Toto rozdelenie je nevyhnutné na pochopenie toho, ako je štruktúrovaná inverzná funkcia, presnejšie inverzné funkcie. Na každom z pásikov je prirodzene definované inverzné zobrazenie

V tomto prípade je inverzná funkcia tiež multivalentná a počet inverzných funkcií je nekonečný.

Geometrický popis mapovania je veľmi jednoduchý: rovné čiary
prejsť na trámy
, segmenty

ísť do kruhov
.

kde
sú reálne čísla a - zvláštny znak tzv pomyselná jednotka ... Pre imaginárnu jednotku sa podľa definície predpokladá, že
.

(4.1) – algebraická forma komplexné číslo a
volal reálna časť komplexné číslo a
-imaginárnu časť .

číslo
volal komplexný konjugát na číslo
.

Dané dve komplexné čísla
,
.

1. Suma
komplexné čísla a nazývané komplexné číslo

2. Rozdiel
komplexné čísla a nazývané komplexné číslo

3. Podľa produktu
komplexné čísla a nazývané komplexné číslo

4. Súkromné z delenia komplexného čísla na komplexnom čísle
nazývané komplexné číslo

.

Poznámka 4.1. To znamená, že operácie s komplexnými číslami sa zavádzajú podľa zvyčajných pravidiel aritmetických operácií na doslovných výrazoch v algebre.

Príklad 4.1. Uvádzajú sa komplexné čísla. Nájsť

.

Riešenie. 1) .

4) Vynásobením čitateľa a menovateľa komplexným číslom konjugovaným s menovateľom dostaneme

Trigonometrická forma komplexné číslo:

kde
- modul komplexného čísla,
je zložitý číselný argument. Injekcia je definovaný nejednoznačne, až do termínu
:

,
.

- hlavná hodnota argumentu, určená podmienkou

, (alebo
).

Ilustračná forma komplexné číslo:

.

Root
mocnina čísla Má rôzne hodnoty, ktoré sa nachádzajú podľa vzorca

,

kde
.

Body zodpovedajúce hodnotám
, sú vrcholy správne
štvorec vpísaný do kruhu s polomerom
so stredom v počiatku.

Príklad 4.2. Nájdite všetky koreňové hodnoty
.

Riešenie. Predstavme si komplexné číslo
v trigonometrickom tvare:

,

, kde
.

Potom
... Preto podľa vzorca (4.2)
má štyri významy:

,
.

Za predpokladu
, nájdeme

,
,

, .

Tu sme skonvertovali hodnoty argumentov na ich hlavnú hodnotu.

Sadí na komplexnú rovinu

Komplexné číslo
zobrazený v rovine
bod
so súradnicami
... modul
a argument
zodpovedajú polárnym súradniciam bodu
.

Je užitočné pamätať na túto nerovnosť
definuje kruh so stredom v bode polomer ... Nerovnosť
určuje polrovinu umiestnenú napravo od priamky
a nerovnosť
- polrovina umiestnená nad priamkou
... Navyše systém nerovností
nastavuje uhol medzi lúčmi
a
pochádzajúce z pôvodu.

Príklad 4.3. Nakreslite oblasť definovanú nerovnosťami:
.

Riešenie. Prvá nerovnosť zodpovedá prstencu so stredom v bode
a dva polomery 1 a 2, kružnice nie sú zahrnuté v regióne (obr. 4.1).

Druhá nerovnosť zodpovedá uhlu medzi lúčmi
(osever 4 súradnicového uhla) a
(kladný smer osi
). Samotné lúče do regiónu nevstupujú (obr. 4.2).

Požadovaná oblasť je priesečníkom dvoch získaných oblastí (obr.4.3)

4.2. Komplexné premenné funkcie

Nech funguje jednohodnotová
vymedzené a súvislé v oblasti
, a - po častiach hladká uzavretá alebo otvorená orientovaná krivka ležiaca v
... Nech ako obvykle,
,, kde
,
- reálne funkcie premenných a .

Výpočet integrálu funkcie
komplexná premenná redukuje na výpočet obvyklých krivočiarych integrálov, a to

.

Ak je funkcia
analytické v jednoducho prepojenej doméne
obsahujúce body a , potom sa uskutoční Newton-Leibnizov vzorec:

,

kde
- akýkoľvek priradený prvok funkcie
, teda
v oblasti
.

V integráloch funkcií komplexnej premennej môžete premennú zmeniť a integrácia po častiach je podobná ako pri výpočte integrálov funkcií reálnej premennej.

Všimnite si tiež, že ak je integračná cesta súčasťou priamej línie vychádzajúcej z bodu , alebo časť kruhu so stredom v bode , potom je užitočné zmeniť premennú formulára
... V prvom prípade
, a - reálna premenná integrácie; v druhom prípade
, a je skutočnou premennou integrácie.

Príklad 4.4. Vypočítajte
parabola
z bodu
k veci
(Obrázok 4.4).

Riešenie. Integrand prepíšeme do tvaru Potom , ... Použijeme vzorec (4.3): Pretože , potom , ... Preto

Príklad 4.5. Vypočítajte integrál
, kde - oblúk kruhu
,
(obr. 4.5).

Riešenie. kladieme, , potom , , ... Dostaneme:

Funkcia
, jednohodnotové a analytické v kruhu
, sa v tomto prstenci rozkladá na Laurentova séria

Vo vzorci (4.5) je rad
volal Hlavná časť Laurentova séria a séria
volal pravá časť Laurentova séria.

Definícia 4.1. Bod volalizolovaný singulárny bod funkcie
ak existuje okolie tohto bodu, v ktorom je funkcia
analytické všade okrem samotného bodu .

Funkcia
v blízkosti bodu možno rozšíriť v sérii Laurent. V tomto prípade sú možné tri rôzne prípady, keď séria Laurent:

1) neobsahuje výrazy so zápornou mocnosťou rozdielu
, teda

(Laurentova séria neobsahuje hlavnú časť). V tomto prípade volal odstrániteľná singularita funkcie
;

2) obsahuje konečný počet členov so zápornou mocninou rozdielu
, teda

,

navyše
... V tomto prípade ide o bod volal pól poriadku funkcie
;

3) obsahuje nekonečný počet členov so zápornou mocninou:

.

V tomto prípade ide o bod volal podstatný bod funkcie
.

Pri určovaní charakteru izolovaného singulárneho bodu nie je potrebné hľadať expanziu v Laurentovom rade. Môžete použiť rôzne vlastnosti izolovaných bodov.

1) je odnímateľný singulárny bod funkcie
ak existuje konečná limita funkcie
v bode :

.

2) je pólom funkcie
, ak

.

3) je podstatným singulárnym bodom funkcie
ak pri
funkcia nemá limitu, ani konečnú, ani nekonečnú.

Definícia 4.2. Bod volalnula
poradie (alebo mnohosť ) funkcie
ak sú splnené podmienky:

…,

.

Poznámka 4.2. Bod ak a len vtedy je nula
poradie funkcie
, keď v nejakom susedstve tohto bodu rovnosť

,

kde funkcia
analytický v bode a

4) bod je pólom poriadku (
) funkcie
ak je tento bod nula rádu pre funkciu
.

5) nech - izolovaná funkcia singulárny bod
, kde
- analytické funkcie v bode ... A nechajme pointu je objednávka nula funkcie
a objednávka nula funkcie
.

o
bod je pólom poriadku
funkcie
.

o
bod je odnímateľný singulárny bod funkcie
.

Príklad 4.6. Nájdite izolované body a určte ich typ pre funkciu
.

Riešenie. Funkcie
a
- analytický v celej komplexnej rovine. Preto singulárne body funkcie
sú nuly menovateľa, teda body, kde
... Takýchto bodov je nekonečne veľa. Prvá je pointa
, ako aj body spĺňajúce rovnicu
... Odtiaľ
a
.

Zvážte pointu
... V tomto bode dostaneme:

,
,

,
.

Poradie nula je
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Takže pointa
je pól druhého rádu (
).

... Potom

,
.

Nulové poradie čitateľa je
.

,
,
.

Nulové poradie menovateľa je
... Preto tie body
pri
sú póly prvého rádu ( jednoduché palice ).

Veta 4.1. (Cauchyho reziduálna veta ). Ak je funkcia
je analytický na hranici oblasti
a všade vo vnútri oblasti, s výnimkou konečného počtu singulárnych bodov
, potom

.

Pri výpočte integrálov sa oplatí pozorne nájsť všetky singulárne body funkcie
, potom nakreslite obrys a singulárne body a potom vyberte len tie body, ktoré spadajú do integračného obrysu. Urobiť správnu voľbu bez kreslenia je často ťažké.

Spôsob výpočtu odpočtu
závisí od typu špeciálneho bodu. Preto pred výpočtom odpočtu musíte určiť typ singulárneho bodu.

1) odpočet funkcie v bode sa rovná koeficientu v mínuse prvého stupňa v Laurentovej expanzii
v blízkosti bodu :

.

Toto tvrdenie platí pre všetky typy izolovaných bodov, a preto v tomto prípade nie je potrebné určovať typ špeciálneho bodu.

2) zvyšok v odstrániteľnom singulárnom bode je nula.

3) ak je jednoduchý pól (pól prvého rádu) a funkcia
môže byť reprezentovaný ako
, kde
,
(všimnite si, že v tomto prípade
), potom zrážka v bode rovná sa

.

Najmä ak
, potom
.

4) ak je teda jednoduchý pól

5) ak - pól
funkcia objednávky
, potom

Príklad 4.7. Vypočítajte integrál
.

Riešenie. Nájdite singulárne body integrandu ... Funkcia má dva singulárne body a Do obrysu spadá iba bod (obr. 4.6). Bod - pól druhého rádu, od r je nula násobku 2 pre funkciu .

Potom pomocou vzorca (4.7) nájdeme zvyšok v tomto bode:

Na základe vety 4.1 nájdeme