Rozklad signálov z hľadiska harmonických funkcií. Fourierov rad. Fourierove rady pre periodické signály

21.07.2019

Úvodné poznámky

V tejto časti budeme uvažovať o reprezentácii periodických signálov pomocou Fourierovho radu. Fourierove rady sú základom teórie spektrálnej analýzy, pretože, ako uvidíme neskôr, Fourierovu transformáciu neperiodického signálu možno získať ako limitný prechod Fourierovho radu s nekonečnou periódou opakovania. V dôsledku toho sú vlastnosti Fourierovho radu platné aj pre Fourierovu transformáciu neperiodických signálov.

Budeme uvažovať o výrazoch pre Fourierov rad v trigonometrických a komplexných formách a tiež venovať pozornosť Dirichletovým podmienkam pre konvergenciu Fourierovho radu. Okrem toho sa budeme podrobne zaoberať vysvetlením takého pojmu, ako je negatívna frekvencia spektra signálu, ktorá často spôsobuje ťažkosti pri oboznámení sa s teóriou spektrálnej analýzy.

Periodický signál. Trigonometrické Fourierove rady

Nech existuje spojitý periodický signál , ktorý sa opakuje s periódou c, t.j. , kde je ľubovoľné celé číslo.

Ako príklad je na obrázku 1 znázornená sekvencia pravouhlých impulzov s trvaním c, opakujúcich sa s periódou c.

Obrázok 1. Periodická postupnosť

Obdĺžnikové impulzy

Z priebehu matematickej analýzy je známe, že systém goniometrických funkcií

s viacerými frekvenciami , kde rad/s je celé číslo, tvorí ortonormálny základ pre expanziu periodických signálov s periódou spĺňajúcou Dirichletove podmienky.

Dirichletove podmienky pre konvergenciu Fourierovho radu vyžadujú, aby bol segmentu vysielaný periodický signál pri splnení nasledujúcich podmienok:

Napríklad periodická funkcia nespĺňa Dirichletove podmienky, pretože funkcia má diskontinuity druhého druhu a má nekonečné hodnoty pre , kde je ľubovoľné celé číslo. Takže funkcia nemôže byť reprezentovaný Fourierovým radom. Môžete uviesť aj príklad funkcie , ktorý je ohraničený, ale tiež nespĺňa Dirichletove podmienky, pretože má nekonečný počet extrémnych bodov, keď sa blíži k nule. Graf funkcií znázornené na obrázku 2.

Obrázok 2. Graf funkcie :

A - dve obdobia opakovania; b - v susedstve

Obrázok 2a znázorňuje dve periódy opakovania funkcie a na obrázku 2b je oblasť v blízkosti . Je vidieť, že pri približovaní sa k nule sa frekvencia kmitov nekonečne zvyšuje a takáto funkcia nemôže byť reprezentovaná Fourierovým radom, pretože nie je po častiach monotónna.

Treba poznamenať, že v praxi neexistujú žiadne signály s nekonečnými hodnotami prúdu alebo napätia. Funkcie s nekonečným počtom extrémov typu sa tiež nenachádzajú v aplikovaných problémoch. Všetky reálne periodické signály spĺňajú Dirichletove podmienky a môžu byť reprezentované nekonečným trigonometrickým Fourierovým radom v tvare:

Vo výraze (2) koeficient udáva konštantnú zložku periodického signálu .

Vo všetkých bodoch, kde je signál spojitý, Fourierov rad (2) konverguje k hodnotám daného signálu a v bodoch nespojitosti prvého druhu k strednej hodnote , kde a sú limity vľavo a vpravo. bodu diskontinuity, resp.

Z priebehu matematickej analýzy je tiež známe, že použitie skráteného Fourierovho radu obsahujúceho iba prvé členy namiesto nekonečného súčtu vedie k približnému znázorneniu signálu:

čo zaisťuje minimálnu strednú kvadratúru chybu. Obrázok 3 znázorňuje aproximáciu periodického sledu štvorcových vĺn a periodického tvaru pílovitých vĺn s použitím rôznych počtov členov Fourierovej série.

Obrázok 3. Aproximácia signálov skráteným Fourierovým radom:

A - obdĺžnikové impulzy; b - pílovitý signál

Fourierove rady v komplexnej forme

V predchádzajúcom odseku sme uvažovali o trigonometrickom Fourierovom rade pre rozšírenie ľubovoľného periodického signálu, ktorý spĺňa Dirichletove podmienky. Pomocou Eulerovho vzorca môžeme ukázať:

Potom trigonometrické Fourierove rady (2) berúc do úvahy (4):

Periodický signál teda môže byť reprezentovaný súčtom jednosmernej zložky a komplexných exponentov rotujúcich pri frekvenciách s koeficientmi pre kladné frekvencie a pre komplexné exponenty rotujúcich pri záporných frekvenciách.

Zvážte koeficienty pre komplexné exponenty rotujúce s kladnými frekvenciami:

Výrazy (6) a (7) sa zhodujú, navyše konštantná zložka môže byť zapísaná aj z hľadiska komplexnej exponenciály pri nulovej frekvencii:

Takže (5), berúc do úvahy (6)-(8), môže byť reprezentované ako jeden súčet pri indexovaní od mínus nekonečna do nekonečna:

Výraz (9) je Fourierov rad v komplexnej forme. Koeficienty Fourierovho radu v komplexnej forme súvisia s koeficientmi a radu v trigonometrickej forme a sú definované pre kladné aj záporné frekvencie. Index vo frekvenčnom zápise udáva číslo diskrétnej harmonickej, pričom záporné indexy zodpovedajú záporným frekvenciám.

Z výrazu (2) vyplýva, že pre reálny signál sú reálne aj koeficienty a séria (2). Avšak (9) priraďuje reálnemu signálu množinu komplexných konjugovaných koeficientov , súvisiacich s kladnými aj zápornými frekvenciami.

Niektoré vysvetlenia Fourierovho radu v komplexnej forme

V predchádzajúcej časti sme urobili prechod od trigonometrického Fourierovho radu (2) k Fourierovmu radu v komplexnej forme (9). Výsledkom bolo, že namiesto rozširovania periodických signálov na báze reálnych goniometrických funkcií sme dostali expanziu na báze komplexných exponentov, s komplexnými koeficientmi a pri expanzii sa objavili aj záporné frekvencie! Keďže táto otázka je často nepochopená, je potrebné ju objasniť.

Po prvé, práca s komplexnými exponentmi je vo väčšine prípadov jednoduchšia ako práca s goniometrickými funkciami. Napríklad pri násobení a delení zložitých exponenciál stačí exponenty len sčítať (odčítať), pričom vzorce na násobenie a delenie goniometrických funkcií sú ťažkopádnejšie.

Diferencovanie a integrovanie exponentov, aj zložitých, je tiež jednoduchšie ako goniometrické funkcie, ktoré sa pri diferencovaní a integrácii neustále menia (sínus sa stáva kosínusom a naopak).

Ak je signál periodický a reálny, potom sa trigonometrický Fourierov rad (2) javí ako názornejší, pretože všetky expanzné koeficienty zostávajú skutočné. Často sa však musíme zaoberať komplexnými periodickými signálmi (napríklad modulácia a demodulácia používa kvadratúrnu reprezentáciu komplexnej obálky). V tomto prípade sa pri použití trigonometrického Fourierovho radu všetky koeficienty a expanzie (2) stanú komplexnými, zatiaľ čo pri použití Fourierovho radu v komplexnej forme (9) sa použijú rovnaké koeficienty rozšírenia pre reálne aj komplexné vstupné signály. .

A nakoniec je potrebné sa pozastaviť nad vysvetlením negatívnych frekvencií, ktoré sa objavili v (9). Táto otázka je často nepochopená. V bežnom živote sa s negatívnymi frekvenciami nestretávame. Napríklad nikdy nenaladíme naše rádio na zápornú frekvenciu. Zoberme si nasledujúcu analógiu z mechaniky. Nech existuje mechanické pružinové kyvadlo, ktoré voľne kmitá s určitou frekvenciou. Môže kyvadlo kmitať so zápornou frekvenciou? Samozrejme, že nie. Rovnako ako neexistujú žiadne rádiové stanice, ktoré by vysielali na záporných frekvenciách, tak ani frekvencia kyvadla nemôže byť záporná. Ale pružinové kyvadlo je jednorozmerný objekt (kyvadlo kmitá pozdĺž jednej priamky).

Môžeme uviesť aj ďalšie prirovnanie z mechaniky: koleso rotujúce s frekvenciou . Koleso sa na rozdiel od kyvadla otáča, t.j. bod na povrchu kolesa sa pohybuje v rovine a nekmitá len po jednej priamke. Na jednoznačné nastavenie otáčania kolieska teda nestačí nastaviť frekvenciu otáčania, pretože je potrebné nastaviť aj smer otáčania. Presne na to môžeme použiť frekvenčný znak.

Ak sa teda koleso otáča frekvenciou rad / s proti smeru hodinových ručičiek, potom sa domnievame, že koleso sa otáča s kladnou frekvenciou, a ak sa otáča v smere hodinových ručičiek, potom bude frekvencia otáčania záporná. Na určenie rotácie teda záporná frekvencia prestáva byť nezmysel a označuje smer rotácie.

A teraz to najdôležitejšie, čo musíme pochopiť. Osciláciu jednorozmerného objektu (napríklad pružinového kyvadla) možno znázorniť ako súčet rotácií dvoch vektorov znázornených na obrázku 4.

Obrázok 4. Kývanie pružinového kyvadla

Ako súčet rotácií dvoch vektorov

v komplexnej rovine

Kyvadlo kmitá pozdĺž skutočnej osi komplexnej roviny s frekvenciou podľa harmonického zákona. Pohyb kyvadla je znázornený ako horizontálny vektor. Horný vektor rotuje v komplexnej rovine s kladnou frekvenciou (proti smeru hodinových ručičiek) a spodný vektor sa otáča zápornou frekvenciou (v smere hodinových ručičiek). Obrázok 4 jasne ilustruje dobre známy vzťah z kurzu trigonometrie:

Fourierov rad v komplexnej forme (9) teda predstavuje periodické jednorozmerné signály ako súčet vektorov v komplexnej rovine rotujúcich s kladnými a zápornými frekvenciami. Zároveň poznamenávame, že v prípade reálneho signálu podľa (9) sú expanzné koeficienty pre záporné frekvencie komplexne konjugované so zodpovedajúcimi koeficientmi pre kladné frekvencie . V prípade komplexného signálu táto vlastnosť koeficientov neplatí, pretože a sú tiež zložité.

Spektrum periodických signálov

Fourierov rad v komplexnej forme je expanzia periodického signálu na súčet komplexných exponenciál rotujúcich s kladnými a zápornými frekvenciami v násobkoch rad/s s príslušnými komplexnými koeficientmi, ktoré určujú spektrum signálu. Komplexné koeficienty môžu byť reprezentované Eulerovým vzorcom ako , kde je amplitúdové spektrum a a je fázové spektrum.

Keďže periodické signály sa rozširujú do série len na mriežke s pevnou frekvenciou, spektrum periodických signálov je čiarové (diskrétne).

Obrázok 5. Spektrum periodickej sekvencie

Obdĺžnikové impulzy:

A je amplitúdové spektrum; b - fázové spektrum

Obrázok 5 zobrazuje príklad amplitúdového a fázového spektra periodickej sekvencie pravouhlých impulzov (pozri obrázok 1) pre c, trvanie impulzu c a amplitúdu impulzu B.

Amplitúdové spektrum pôvodného reálneho signálu je symetrické vzhľadom na nulovú frekvenciu, zatiaľ čo fázové spektrum je antisymetrické. Zároveň si všimneme, že hodnoty fázového spektra a zodpovedajú rovnakému bodu v komplexnej rovine.

Možno konštatovať, že všetky expanzné koeficienty redukovaného signálu sú čisto skutočné a fázové spektrum zodpovedá záporným koeficientom .

Všimnite si, že rozmer amplitúdového spektra sa zhoduje s rozmerom signálu. Ak popisuje zmenu napätia v čase, meranú vo voltoch, potom amplitúdy harmonických v spektre budú mať tiež rozmer voltov.

závery

V tejto časti uvažujeme o reprezentácii periodických signálov pomocou Fourierovho radu. Uvádzajú sa výrazy pre Fourierov rad v trigonometrických a komplexných formách. Zvláštnu pozornosť sme venovali Dirichletovým podmienkam pre konvergenciu Fourierovho radu a uviedli príklady funkcií, pre ktoré Fourierov rad diverguje.

Podrobne sme sa zaoberali vyjadrením Fourierovho radu v komplexnej forme a ukázali sme, že periodické signály, skutočné aj komplexné, sú reprezentované sériou komplexných exponenciál s pozitívnymi a negatívnymi frekvenciami. V tomto prípade sú expanzné koeficienty tiež zložité a charakterizujú amplitúdové a fázové spektrum periodického signálu.

V ďalšej časti sa budeme podrobnejšie zaoberať vlastnosťami spektier periodických signálov.

Softvérová implementácia v knižnici DSPL

Dech, G. Sprievodca praktickou aplikáciou Laplaceovej transformácie. Moskva, Nauka, 1965, 288 s.

2.1. Spektrá periodických signálov

Periodický signál (prúd alebo napätie) sa nazýva taký typ vplyvu, keď sa priebeh opakuje po určitom časovom intervale T ktoré sa nazýva obdobie. Najjednoduchšou formou periodického signálu je harmonický signál alebo sínusová vlna, ktorá je charakterizovaná amplitúdou, periódou a počiatočnou fázou. Všetky ostatné signály budú neharmonický alebo nesínusový. Dá sa ukázať a prax to dokazuje, že ak je vstupný signál napájacieho zdroja periodický, potom všetky ostatné prúdy a napätia v každej vetve (výstupné signály) budú tiež periodické. V tomto prípade sa priebehy v rôznych vetvách budú navzájom líšiť.

Existuje všeobecná technika na štúdium periodických neharmonických signálov (vstupné akcie a ich reakcie) v elektrickom obvode, ktorá je založená na rozklade signálov do Fourierovho radu. Táto technika spočíva v tom, že je vždy možné vybrať určitý počet harmonických (t.j. sínusových) signálov s takými amplitúdami, frekvenciami a počiatočnými fázami, ktorých algebraický súčet ordinát je v ľubovoľnom čase rovný ordináte študovaného nesínusový signál. Takže napríklad napätie u na obr. 2.1. môže byť nahradený súčtom napätí a , pretože kedykoľvek nastane rovnaká rovnosť: . Každý z pojmov je sínusoida, ktorej frekvencia kmitov súvisí s periódou T celočíselné pomery.

Pre uvažovaný príklad máme periódu prvej harmonickej zhodnej s periódou neharmonického signáluT 1 = Ta perióda druhej harmonickej je dvakrát menšiaT 2 = T/2, t.j. okamžité hodnoty harmonických by sa mali zapísať ako:

Tu sú amplitúdy harmonických kmitov navzájom rovnaké ( ) a počiatočné fázy sa rovnajú nule.

Ryža. 2.1. Príklad sčítania prvej a druhej harmonickej

neharmonický signál

V elektrotechnike sa nazýva harmonická zložka, ktorej perióda sa rovná perióde neharmonického signálu najprv alebo základné harmonické signály. Všetky ostatné zložky sa nazývajú vyššie harmonické zložky. Nazýva sa harmonická, ktorej frekvencia je k-krát väčšia ako prvá harmonická (a perióda je k-krát menšia).

k - tá harmonická. Priraďte aj priemernú hodnotu funkcie za obdobie, ktoré sa volá nulový harmonika. Vo všeobecnom prípade je Fourierova séria napísaná ako súčet nekonečného počtu harmonických zložiek rôznych frekvencií:

(2.1)

kde k je harmonické číslo; - uhlová frekvencia k - tej harmonickej;

ω 1 \u003d ω \u003d 2 π / T- uhlová frekvencia prvej harmonickej; - nulová harmonická.

Pre bežne sa vyskytujúce priebehy možno v špecializovanej literatúre nájsť rozšírenie Fourierovho radu. Tabuľka 2 ukazuje expanzie pre osem priebehov. Treba poznamenať, že rozšírenia uvedené v tabuľke 2 sa uskutočnia, ak sa počiatok súradnicového systému zvolí tak, ako je to znázornené na obrázkoch vľavo; pri zmene pôvodu času t počiatočné fázy harmonických sa zmenia, zatiaľ čo amplitúdy harmonických zostanú rovnaké. V závislosti od typu skúmaného signálu by sa V malo chápať buď ako hodnota nameraná vo voltoch, ak ide o napäťový signál, alebo ako hodnota nameraná v ampéroch, ak ide o prúdový signál.

Rozšírenie Fourierovho radu periodických funkcií

tabuľka 2

Rozvrh f(t)	Fourierove rady funkciíf(t)	Poznámka
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		S=1,2,3,4,..
		k=1,2,4,6,..

Signály 7 a 8 sú generované zo sínusoidy hradlovými obvodmi.

Súbor harmonických zložiek, ktoré tvoria nesínusový signál, sa nazýva spektrum tohto neharmonického signálu. Z tohto súboru harmonických sa rozlišujú a rozlišujú amplitúda a fáza spektrum. Amplitúdové spektrum je súbor amplitúd všetkých harmonických, ktorý je zvyčajne reprezentovaný diagramom vo forme súboru zvislých čiar, ktorých dĺžky sú úmerné (vo zvolenej mierke) hodnotám amplitúdy harmonickej zložky a miesto na vodorovnej osi je určené frekvenciou (harmonickým číslom) tejto zložky. Podobne sa fázové spektrá považujú za súbor počiatočných fáz všetkých harmonických; sú tiež zobrazené v mierke ako súbor zvislých čiar.

Treba poznamenať, že v elektrotechnike je obvyklé merať počiatočné fázy v rozsahu od -180 0 do +180 0. Spektrá pozostávajúce z jednotlivých čiar sa nazývajú lemované alebo diskrétne. Spektrálne čiary sú vo vzdialenosti f od seba, kde f- frekvenčný interval rovný frekvencii prvej harmonickej f Diskrétne spektrá periodických signálov teda majú spektrálne zložky s viacerými frekvenciami - f, 2f, 3f, 4f, 5f atď.

Príklad 2.1. Nájdite amplitúdové a fázové spektrum pre pravouhlý signál, keď je trvanie kladných a záporných signálov rovnaké a priemerná hodnota funkcie za dané obdobie je nula

u(t) = DPH 0<t<T/2

u(t) = -DPH T/2<t<T

Pre signály jednoduchých, často používaných foriem je vhodné nájsť riešenie pomocou tabuliek.

Ryža. 2.2. Lineárne amplitúdové spektrum pravouhlého signálu

Z Fourierovho rozšírenia pravouhlého signálu (pozri tabuľky 2 - 1) vyplýva, že harmonický rad obsahuje len nepárne harmonické, pričom amplitúdy harmonických klesajú úmerne počtu harmonických. Amplitúdové čiarové spektrum harmonických je znázornené na obr. 2.2. Pri konštrukcii sa predpokladá, že amplitúda prvej harmonickej (tu napätie) sa rovná jednému voltu: B; potom sa amplitúda tretej harmonickej bude rovnať B, piatej - B atď. Počiatočné fázy všetkých harmonických signálu sa rovnajú nule, preto má fázové spektrum iba nulové hodnoty súradníc.

Problém je vyriešený.

Príklad 2.2.Nájdite amplitúdové a fázové spektrum pre napätie, ktoré sa mení podľa zákona: pri - T/4<t<T/4; u(t) = 0 pre T/4<t<3/4T. Takýto signál je vytvorený zo sínusoidy elimináciou (zapojením pomocou ventilových prvkov) zápornej časti harmonického signálu.

a) b)

Ryža. 2.3. Čiarové spektrum polvlnového usmerňovacieho signálu: a) amplitúda; b) fáza

Pre polvlnový usmerňovací signál sínusového napätia (pozri tabuľky 2 - 8) obsahuje Fourierova séria konštantnú zložku (nulovú harmonickú), prvú harmonickú a potom súbor iba párnych harmonických, ktorých amplitúdy rýchlo klesajú. s rastúcim harmonickým číslom. Ak napríklad dáme hodnotu V = 100 B, potom vynásobením každého člena spoločným faktorom 2V/π nájdeme(2.2)

Amplitúdové a fázové spektrá tohto signálu sú znázornené na obr. 2.3a,b.

Problém je vyriešený.

V súlade s teóriou Fourierových radov presná rovnosť neharmonického signálu so súčtom harmonických nastáva len pre nekonečne veľký počet harmonických. Výpočet harmonických zložiek na počítači umožňuje analyzovať ľubovoľný počet harmonických, ktorý je určený účelom výpočtu, presnosťou a formou neharmonických efektov. Ak trvanie signálut bez ohľadu na jeho tvar, oveľa menej obdobia T, potom budú amplitúdy harmonických klesať pomaly a pre úplnejší popis signálu je potrebné vziať do úvahy veľké množstvo členov v sérii. Túto vlastnosť možno sledovať pre signály uvedené v tabuľkách 2 – 5 a 6 za predpokladu, že je daný stav τ <<T. Ak je neharmonický signál tvarom blízky sínusoide (napríklad signály 2 a 3 v tabuľke 2), potom harmonické rýchlo klesajú a pre presný popis signálu stačí obmedziť sa na tri až päť harmonických zo série.

Medzi rôznymi systémami ortogonálnych funkcií, ktoré môžu byť použité ako základ pre reprezentáciu rádiových signálov, harmonické (sínusové a kosínusové) funkcie zaujímajú výnimočné miesto. Význam harmonických signálov pre rádiotechniku je spôsobený niekoľkými dôvodmi.

Konkrétne:

1. Harmonické signály sú invariantné vzhľadom na transformácie uskutočňované stacionárnymi lineárnymi elektrickými obvodmi. Ak je takýto obvod vybudený zdrojom harmonických kmitov, potom signál na výstupe obvodu zostáva harmonický s rovnakou frekvenciou, pričom sa od vstupného signálu líši len amplitúdou a počiatočnou fázou.

2. Technika generovania harmonických signálov je relatívne jednoduchá.

Ak je signál prezentovaný ako súčet harmonických oscilácií s rôznymi frekvenciami, potom hovoria, že spektrálny rozklad tohto signálu bol vykonaný. Jednotlivé harmonické zložky signálu tvoria jeho spektrum.

2.1. Periodické signály a Fourierove rady

Matematický model procesu, ktorý sa v čase opakuje, je periodický signál s nasledujúcou vlastnosťou:

Tu je T perióda signálu.

Úlohou je nájsť spektrálny rozklad takéhoto signálu.

Fourierov rad.

Stanovme časový interval uvedený v kap. I ortonormálny základ tvorený harmonickými funkciami s viacerými frekvenciami;

Akákoľvek funkcia z tohto základu spĺňa podmienku periodicity (2.1). Preto - po vykonaní ortogonálnej expanzie signálu na tomto základe, t.j. po vypočítaní koeficientov

dostaneme spektrálny rozklad

platí v nekonečne časovej osi.

Rad tvaru (2.4) sa nazýva Fourierov rad daného signálu. Uveďme základnú frekvenciu postupnosti tvoriacej periodický signál. Výpočtom expanzných koeficientov podľa vzorca (2.3) napíšeme Fourierov rad pre periodický signál

s koeficientmi

(2.6)

Vo všeobecnom prípade teda periodický signál obsahuje časovo nezávislú konštantnú zložku a nekonečný súbor harmonických kmitov, takzvané harmonické s frekvenciami, ktoré sú násobkami základnej frekvencie sekvencie.

Každá harmonická môže byť opísaná jej amplitúdou a počiatočnou fázou. Na tento účel by sa koeficienty Fourierovho radu mali zapísať ako

Nahradením týchto výrazov do (2.5) dostaneme inú, ekvivalentnú formu Fourierovho radu:

čo je niekedy pohodlnejšie.

Spektrálny diagram periodického signálu.

Preto je zvykom nazývať grafické znázornenie koeficientov Fourierovho radu pre konkrétny signál. Existujú amplitúdové a fázové spektrálne diagramy (obr. 2.1).

Tu sú harmonické frekvencie vynesené v určitej mierke pozdĺž horizontálnej osi a ich amplitúdy a počiatočné fázy sú prezentované pozdĺž vertikálnej osi.

Ryža. 2.1. Spektrálne diagramy niektorého periodického signálu: a - amplitúda; b - fáza

Obzvlášť sa zaujíma o diagram amplitúdy, ktorý vám umožňuje posúdiť percento určitých harmonických v spektre periodického signálu.

Pozrime sa na niekoľko konkrétnych príkladov.

Príklad 2.1. Fourierov rad periodickej sekvencie pravouhlých obrazových impulzov so známymi parametrami, dokonca aj vzhľadom na bod t = 0.

V rádiotechnike sa pomer nazýva pracovný cyklus sekvencie. Podľa vzorcov (2.6) nájdeme

Konečný vzorec Fourierovho radu je vhodné zapísať do formulára

Na obr. 2.2 sú znázornené amplitúdové diagramy uvažovanej postupnosti v dvoch extrémnych prípadoch.

Je dôležité poznamenať, že sekvencia krátkych impulzov, ktoré nasledujú za sebou pomerne zriedkavo, má bohaté spektrálne zloženie.

Ryža. 2.2. Amplitúdové spektrum periodickej sekvencie pravouhlých video impulzov: a - s veľkým pracovným cyklom; b - s nízkym pracovným cyklom

Príklad 2.2. Fourierov rad periodickej sekvencie impulzov tvorených harmonickým signálom vo forme obmedzenej na úrovni (predpokladá sa, že ).

Zavádzame špeciálny parameter - medzný uhol , určený zo vzťahu odkiaľ

V súlade s tým sa hodnota rovná trvaniu jedného impulzu, vyjadrenej v uhlovej miere:

Analytický zápis impulzu, ktorý generuje uvažovanú sekvenciu, má tvar

Sekvencia DC

Činitel výkyvu prvej harmonickej

Podobne sa vypočítajú amplitúdy harmonických zložiek pri

Výsledky sa zvyčajne zapisujú takto:

kde sú takzvané Bergove funkcie:

Grafy niektorých Berg funkcií sú znázornené na obr. 2.3.

Ryža. 2.3. Grafy niekoľkých prvých Bergových funkcií

Komplexná forma Fourierovho radu.

Spektrálny rozklad periodického signálu môže byť tiež vykonaný trochu iónovo, pomocou systému základných funkcií pozostávajúcich z exponenciál s imaginárnymi exponentmi:

Je ľahké vidieť, že funkcie tohto systému sú periodické s periódou a sú ortonormálne v časovom intervale, pretože

Fourierov rad ľubovoľného periodického signálu má v tomto prípade tvar

s koeficientmi

Zvyčajne sa používa nasledujúci formulár:

Výraz (2.11) je Fourierov rad v komplexnej forme.

Spektrum signálu podľa vzorca (2.11) obsahuje zložky na zápornej frekvenčnej poloosi a . V sérii (2.11) sa členy s kladnými a zápornými frekvenciami kombinujú do párov, napríklad: a zostavujú sa súčty vektorov - v smere zväčšujúceho sa fázového uhla, pričom vektory sa otáčajú v opačnom smere. Koniec výsledného vektora v každom časovom bode určuje aktuálnu hodnotu signálu.

Takáto názorná interpretácia spektrálneho rozkladu periodického signálu bude použitá v ďalšej časti.

LAB #1

ROZŠÍRENIA SIGNÁLOV V ŠTYRI SÉRII

Účel úlohy

Oboznámte sa s príkladmi rozkladu signálov vo Fourierovom rade a prakticky zrealizujte rozklad rôznych typov signálov v systéme MatLab.

Formulácia problému

Vykonajte expanziu signálov rôznych typov vo Fourierovom rade. Nasledujúce signály podliehajú rozkladu: sekvencia pravouhlých impulzov, štvorcová vlna, pílovitý signál a sekvencia trojuholníkových impulzov.

Pre každú možnosť a každý typ signálu sú nastavené nasledujúce parametre:

pre sekvenciu pravouhlých impulzov - amplitúdu, periódu opakovania a trvanie impulzu;

pre meander, pílovitý signál a sekvenciu trojuholníkových impulzov - amplitúdu a periódu opakovania impulzov.

Pre všetky typy signálov je uvedený počet nenulových harmonických.

Píšte programy v systéme MatLab a vykresľujte grafy.

Formulácia problému.

Programový kód na rozklad sekvencie pravouhlých impulzov, štvorcových vĺn, pílového signálu a sekvencie trojuholníkových impulzov.

Výsledkom vykonávania programu sú grafy medzistupňov sčítania.

Smernice

Fourierov rad

Fourierovu expanziu možno aplikovať na periodické signály. Okrem toho sú reprezentované ako súčet harmonických funkcií alebo komplexných exponenciál s frekvenciami, ktoré tvoria aritmetickú progresiu.

Fourierov rad možno použiť na reprezentáciu nielen periodických signálov, ale aj signálov s konečnou dobou trvania. V tomto prípade je špecifikovaný časový interval, pre ktorý je skonštruovaný Fourierov rad a inokedy sa signál považuje za rovný nule. Pre výpočet koeficientov série tento prístup vlastne znamená periodické pokračovanie signálu za hranicami uvažovaného intervalu.

Sínusovo-kosínusový priebeh

V tejto verzii má Fourierova séria nasledujúcu formu:

Tu
je kruhová frekvencia zodpovedajúca perióde opakovania signálu rovná . Frekvencie zahrnuté vo vzorci sú jeho násobky
sa nazývajú harmonické, harmonické sú očíslované podľa indexu ; frekvencia
volal harmonickej signálu. Koeficienty série a sa vypočítajú podľa vzorcov:

Neustále vypočítané podľa všeobecného vzorca pre . Tento pojem sám o sebe je priemerná hodnota signálu za obdobie:

Ak
je párna funkcia, potom všetko sa bude rovnať nule a vo vzorci Fourierovho radu budú prítomné iba kosínusové členy. Ak
je nepárna funkcia, kosínusové koeficienty a vo vzorci zostanú len sínusové členy.

POSTUPNOSŤ OBDŽNÍKOVÝCH IMPULZOV

Sekvencia pravouhlých impulzov s amplitúdou

, trvanie

a doba opakovania

Ryža. 1 Periodický sled pravouhlých impulzov

Tento signál je párnou funkciou, preto je pre jeho reprezentáciu vhodnejšie použiť sínusovo-kosínusový tvar Fourierovho radu - bude obsahovať iba kosínusové členy , rovná

Pomer periódy k trvaniu impulzov sa nazýva pracovný cyklus sledu impulzov a označené písmenom :
.

Znázornenie postupnosti pravouhlých impulzov vo forme Fourierovho radu:

Amplitúdy harmonických členov radu závisia od harmonického čísla.

MEANDER

Špeciálnym prípadom predchádzajúceho signálu je meandrovať- sekvencia pravouhlých impulzov s pracovným cyklom rovným dvom, keď sa doby trvania impulzov a intervaly medzi nimi rovnajú (obr. 2).

Ryža. 2 Meander

O
, dostaneme

Tu je m ľubovoľné celé číslo.

Pri rozšírení vo Fourierovej sérii budú chýbať párne komponenty.

SIGNÁL PÍLY

V rámci periódy je opísaná lineárnou funkciou:

Ryža. 3. Pílový signál

Tento signál je nepárna funkcia, takže jeho Fourierov rad v sínusovo-kosínovom tvare bude obsahovať iba sínusové členy:

Fourierova séria pre samotný pílovitý signál vyzerá takto:

SEKVENCIA TROJUHOLNÍKOVÝCH IMPULZOV

Obr.4. Trojuholníková pulzná sekvencia

Signál je rovnomerná funkcia, takže budú prítomné kosínusové zložky.

Vypočítajme koeficienty Fourierovho radu:

Samotná Fourierova séria má nasledujúcu formu:

Ako vidíte, na rozdiel od sekvencií pravouhlých a pílovitých impulzov, pre trojuholníkový periodický signál amplitúdy harmonických klesajú úmerne k druhej mocnine harmonických čísel. .

Programový kód pre meander

N=8; % počtu nenulových harmonických

t= -1:0,01:1; % času vektora

A = 1; % amplitúdy

T = 1; % obdobie

nh=(1:N)*2-1; % počtu nenulových harmonických

harmonické = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am=2/pi/nh; % amplitúdy harmonických

Am(2:2:koniec) = -Am(2:2:koniec); % striedanie postáv

s1 = harmonické .* repmat(Am", 1, dĺžka(t));

% riadok - čiastkové súčty harmonických

pre k=1:N, subplot(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), end

R
výsledok programu

Komentáre :repmat– vytvorenie blokovej matice alebo viacrozmerného blokového poľa z rovnakých blokov.

Cumsum– výpočet čiastkových súčtov prvkov.

Podzápletka (Riadky, plk, N) – príkaz na zobrazenie viacerých grafov. Grafické okno je rozdelené na bunky vo forme matice s Riadky– linky, plk– stĺpce a N– bunka sa stáva aktuálnou.

možnosti

№ možnosť	Parametre pre signály
№ možnosť	–amplitúda signálu	–perióda opakovania signálu	–trvanie signálu	–počet nenulových harmonických