Signály a lineárne systémy. Korelácia signálov

Téma 6. Korelácia signálov

Najvyšší strach a najvyššia horlivosť odvahy rozrušujú žalúdok a spôsobujú hnačku.

Michel Montaigne. Francúzsky právnik-mysliteľ, 16. storočie.

Tu je číslo! Dve funkcie majú 100% koreláciu s treťou a sú navzájom ortogonálne. No, Všemohúci mal pri stvorení sveta vtipy.

Anatolij Pyshmintsev. Novosibirský geofyzik Uralskej školy, XX storočia.

1. Autokorelačné funkcie signálov. Koncept autokorelačných funkcií (ACF). ACF signálov časovo obmedzených. ACF periodických signálov. Autokovariančné funkcie (FAK). ACF diskrétnych signálov. ACF šumových signálov. ACF kódových signálov.

2. Krížové korelačné funkcie signálov (CCF). Krížová korelačná funkcia (CCF). Krížová korelácia zašumených signálov. VKF diskrétnych signálov Odhad periodických signálov v šume. Funkcia koeficientov vzájomnej korelácie.

3. Spektrálne hustoty korelačných funkcií. Spektrálna hustota ACF. Interval korelácie signálu. Spektrálna hustota VKF. Výpočet korelačných funkcií pomocou FFT.

Úvod

Korelácia a jej špeciálny prípad pre centrované signály - kovariancia, je metóda analýzy signálu. Tu je jedna z možností použitia metódy. Predpokladajme, že existuje signál s(t), ktorý môže alebo nemusí obsahovať nejakú postupnosť x(t) konečnej dĺžky T, ktorej časová poloha nás zaujíma. Na vyhľadanie tejto sekvencie v časovom okne dĺžky T, ktoré sa posúva pozdĺž signálu s(t), sa vypočítajú skalárne produkty signálov s(t) a x(t). Požadovaný signál x(t) teda "aplikujeme" na signál s(t), posúvajúc sa po jeho argumente, a hodnotou skalárneho súčinu odhadneme mieru podobnosti signálov v porovnávacích bodoch.

Korelačná analýza umožňuje stanoviť v signáloch (alebo v sérii údajov digitálnych signálov) prítomnosť určitého vzťahu medzi zmenou hodnôt signálov z hľadiska nezávislej premennej, to znamená, keď sú veľké hodnoty jedného signálu (vo vzťahu k priemerným hodnotám signálu) sú spojené s veľkými hodnotami iného signálu (pozitívna korelácia), alebo naopak, malé hodnoty jedného signálu sú spojené s veľkými hodnotami druhého (negatívna korelácia), alebo údaje týchto dvoch signálov spolu nijako nesúvisia (nulová korelácia).

Vo funkčnom priestore signálov možno tento stupeň spojenia vyjadriť v normalizovaných jednotkách korelačného koeficientu, t.j. v kosíne uhla medzi signálovými vektormi, a preto bude nadobúdať hodnoty od 1 (úplná zhoda signálov) do -1 (úplný opak) a nezávisí od hodnoty (mierky) meracích jednotiek .

V autokorelačnom variante s použitím podobnej techniky sa skalárny súčin signálu s(t) určí s vlastnou kópiou posúvajúcou sa pozdĺž argumentu. Autokorelácia umožňuje vyhodnotiť priemernú štatistickú závislosť aktuálnych vzoriek signálu od ich predchádzajúcich a nasledujúcich hodnôt (tzv. korelačný polomer hodnôt signálu), ako aj identifikovať prítomnosť periodicky sa opakujúcich prvkov v signáli.

Korelačné metódy sú obzvlášť dôležité pri analýze náhodných procesov na identifikáciu nenáhodných komponentov a vyhodnotenie nenáhodných parametrov týchto procesov.

Všimnite si, že v pojmoch „korelácia“ a „kovariancia“ existuje určitý zmätok. V matematickej literatúre sa termín „kovariancia“ používa na centrované funkcie a „korelácia“ na ľubovoľné. V odbornej literatúre a najmä v literatúre o signáloch a metódach spracovania signálov sa často používa presne opačná terminológia. To nemá zásadný význam, ale pri oboznamovaní sa s literárnymi zdrojmi stojí za to venovať pozornosť akceptovanému účelu týchto termínov.

5 Spektrálna analýza periodických signálov. Dirichletove podmienky. Fourierov rad.

6 Spektrálna analýza neperiodických signálov. Fourierova transformácia. Parsevalova rovnosť.

7 Reprezentácia spojitých signálov vzorkami. Kotelnikovova veta. Vplyv vzorkovacej frekvencie na možnosť obnovy signálu pomocou filtra.

8 Nepretržitý proces interpolácie správ. Najjednoduchšie typy interpolácie algebraickými polynómami.

9 Korelačná analýza. Korelačná funkcia, jej vlastnosti. Výpočet korelačnej funkcie jednotlivého impulzu a periodického signálu

10 Vzájomná korelačná funkcia, jej vlastnosti. Výpočet vzájomnej korelačnej funkcie signálov

11 Náhodné procesy. Implementácia náhodného procesu. Zákony rozdelenia náhodných procesov

13 Kódovanie na korekciu hluku. Zlepšenie vernosti v jednosmerných a obojsmerných prenosových kanáloch

14 Blokové systematické kódy, vlastnosti a reprezentácie

15 Hammingove kódy, vlastnosti. Štrukturálna schéma kodéra a dekodéra, princíp činnosti

16 Všeobecné vlastnosti a spôsoby reprezentácie cyklických kódov.

18 Analógové typy modulácie. Amplitúdová modulácia. Amplitúdovo modulované kmitanie, časové a spektrálne charakteristiky

19 Analógové typy modulácie. amplitúdový modulátor.

20 Analógové typy modulácie. Demodulátor signálu Am.

21. Analógové typy modulácie. vyvážená modulácia. Rovnovážne modulované kmitanie, časové a spektrálne charakteristiky. Modulátor a demodulátor Bmk.

22 Analógové typy modulácie. jednostranná modulácia. Metódy na vytvorenie jedného postranného pásma am-oscilačných frekvencií.

24 Spektrá fázovo modulovaných a frekvenčne modulovaných kmitov.

25 Analógovo-pulzné typy modulácie. Pulzno-amplitúdová modulácia: cieľ-1 a cieľ-2. Modulátory a demodulátory cieľových signálov.

26 Modulácia šírky impulzu: PWM-1 a PWM-2. Spektrálne znázornenie signálu vložky. Modulátory signálu PWM.

27 Fázovo-pulzná modulácia. Modulátory signálu PIM.

28 Frekvenčne pulzná modulácia. Detektory signálu Chim.

29 Digitálne typy modulácie. Modulácia pulzného kódu. Diskretizácia, kvantizácia a kódovanie.

30 Diferenciál ks. Štrukturálny diagram prediktívneho prenosového systému. Štrukturálny diagram lineárneho prediktora, princíp činnosti. Adaptívny diferenciál PCM.

31 Delta modulácia. Princíp generovania signálu delta modulácie. Adaptívna delta modulácia.

32 Diskrétne typy modulácie. Metódy dvojpolohovej (jednoduchej) modulácie. Pozičný signál, modulačný pomer.

33 Jednoduché kľúčovanie absolútneho fázového posunu. fázový manipulátor.

34 Detektor signálu FM.

35 Manipulátor jednoduchého relatívneho kľúčovania fázovým posunom.

35 Manipulátor jednoduchého relatívneho kľúčovania fázovým posunom.

36 Demodulátor signálov s jedným OFM.

38 Princípy konštrukcie viackanálových prenosových systémov. Teoretické pozadie kanálovej separácie. Frekvenčné rozdelenie kanálov.

39 Fázové oddelenie kanálov. Modulátor a demodulátor dofmn signálov.

40 Časové rozdelenie kanálov. Štrukturálny diagram viackanálového prenosového systému s časovým rozdelením kanálov.

41 Optimálny príjem signálu. Úlohy a kritériá optimálneho príjmu.

42 Konštrukčná schéma prijímača s plne známymi signálmi, princíp činnosti.

9 Korelačná analýza. Korelačná funkcia, jej vlastnosti. Výpočet korelačnej funkcie jednotlivého impulzu a periodického signálu

Spolu so spektrálnou analýzou hrá korelačná analýza dôležitú úlohu v teórii signálov. Jeho významom je meranie miery podobnosti (rozdielu) signálov. Na tento účel sa používa korelačná funkcia.

KF je integrál súčinu dvoch kópií signálu, vzájomne posunutých. kamarát na chvíľu.

Čím väčšia je hodnota CF, tým silnejšia je podobnosť. CF má nasledujúce vlastnosti:

1. Hodnota CF pri
rovná sa energii signálu (celku jeho druhej mocniny)

2. Je párna funkcia

3. Hodnota CF pri

4. S rastom abs. hodnoty CF signálu s konečnou energiou klesá

5. Ak je signál funkciou napätia v závislosti od času, potom rozmer jeho KF [
]

V prípade periodického signálu (s periódou T) sa CF vypočíta spriemerovaním súčinu posunutých kópií v rámci jednej periódy:

Mení sa súbor vlastností takéhoto CF:

1. Hodnota CF pri
rovná priemernej sile signálu

2. Paritná vlastnosť je zachovaná.

3. Hodnota CF pri
je maximálne možné.

4. CF je periodická funkcia (s rovnakou periódou ako signál)

5. Ak signál neobsahuje delta funkcie, potom je jeho CF spojitý.

6. Ak je signál závislosť U(t), potom rozmer KF [
]

CF harmonického signálu je harmonická funkcia, ktorá nezávisí od počiatočnej fázy signálu.

10 Vzájomná korelačná funkcia, jej vlastnosti. Výpočet vzájomnej korelačnej funkcie signálov

Funkcia vzájomnej korelácie (CCF) je funkcia zobrazujúca stupeň podobnosti pre 2 rôzne signály posunuté v čase.

Všeobecná forma:

Napríklad vypočítajme VCF 2 funkcií:

O

O

O

Kombináciou výsledkov môžeme napísať:

Vlastnosti VKF:

1)

2)

3)

4) Ak funkcie S 1 (t) a S 2 (t) neobsahujú delta funkcie, potom ich VCF nemôže mať diskontinuity.

5) Ak je signál funkciou U(t) , potom rozmer VKF

11 Náhodné procesy. Implementácia náhodného procesu. Zákony rozdelenia náhodných procesov

Niekedy sa v praxi musíme vysporiadať s javmi, ktorých priebeh v čase je nepredvídateľný a v každom časovom okamihu je opísaný náhodnou veličinou. Takéto javy sa nazývajú náhodné procesy. náhodný proces sa nazýva funkcia ζ( t) nenáhodný argument t (zvyčajne čas), čo je pre každú pevnú hodnotu argumentu náhodná premenná. Napríklad teplota počas dňa, zaznamenaná rekordérom. Hodnoty akceptované procesom ζ( t) v určitých časoch sú tzv štátov, a množina všetkých stavov je fázový priestor náhodný proces. V závislosti od počtu možných stavov náhodného procesu môže byť jeho fázový priestor diskrétne alebo nepretržitý. Ak náhodný proces môže zmeniť svoj stav iba v určitých časových bodoch, potom sa takýto proces nazýva náhodný proces s diskrétnym časom; a ak je to ľubovoľné, potom - nepretržitý časový proces .

Náhodný proces ζ( t) sa nazýva stacionárne, ak sa rozdelenie pravdepodobnosti jej možných stavov v čase nemení. Napríklad pri hode kockou každú sekundu sa pravdepodobnostné rozdelenie stavov príslušného náhodného procesu (obr. 44, b) nezávisí (nemení sa) od času (v tomto prípade všetky stavy ζ( t) sú rovnako možné). Naproti tomu náhodný proces, ktorý charakterizuje teplotu okolia, nie je stacionárny, pretože Leto sa vyznačuje vyššími teplotami ako zimy.

Rozdelenie pravdepodobnosti stavov stacionárneho náhodného procesu sa nazýva stacionárna distribúcia.

Medzi nimi sú rôzne distribučné zákony Uniform, Gaussian (normálne)

Uniforma: nech nejaká náhodná hodnota x môže nadobudnúť hodnoty x 1<=x<=x 2 тогда плотность вероятности

P(x)=systém(0 pre x x 2)

Distribučnú funkciu nájdeme integráciou

F(x)= system(0 pre x x2)

Gaussovo (normálne) rozdelenie. V teórii náhodných signálov má Gaussova hustota pravdepodobnosti zásadný význam

Podľa rovnice (13.5) možno korelačnú funkciu odozvy nelineárneho zariadenia vyjadriť pomocou prechodovej funkcie tohto zariadenia takto:

Dvojitý integrál nad je, ako je zrejmé z porovnania s rovnosťou (4.25), spoločnou charakteristickou funkciou veličín zapísaných ako funkcia komplexných premenných . v dôsledku toho

Výraz (13.40) je hlavným vzorcom pri analýze náhodných efektov na nelineárne zariadenia transformačnou metódou. Zvyšok tejto kapitoly je venovaný výpočtu tohto výrazu pre rôzne typy zariadení a rôzne typy akcií na nich.

V mnohých problémoch je vplyv aplikovaný na vstup systému súčtom užitočného signálu a šumu:

kde sú výberové funkcie štatisticky nezávislých pravdepodobnostných procesov. V takýchto prípadoch sa spoločná charakteristická funkcia akcie rovná súčinu charakteristických funkcií signálu a šumu a rovnosť (13.40)

kde - spoločná charakteristická funkcia veličín - spoločná charakteristická funkcia veličín a

Gaussov šum na vstupe. Ak je šum na vstupe zariadenia vzorovou funkciou skutočného Gaussovho pravdepodobnostného procesu s nulovým matematickým očakávaním, potom podľa rovnosti (8.23),

kde funkcia korelačnej odozvy má v tomto prípade tvar

Ak teraz môže byť reprezentovaný ako súčin funkcie funkciou alebo ako súčet takýchto súčinov, potom dvojitý integrál v poslednom výraze možno vypočítať ako súčin integrálov. Skutočnosť, že exponenciálnu funkciu možno znázorniť pomocou súčinov funkcií a vyplýva z jej rozšírenia do mocninného radu

Preto korelačnú funkciu odozvy nelineárneho zariadenia, keď je na vstup aplikovaný jeho Gaussov šum, možno zapísať ako

sínusové signály.

Predpokladajme teraz, že signál na vstupe zariadenia je modulovaná sínusoida, t.j

kde je vzorková funkcia nízkofrekvenčného pravdepodobnostného procesu (t. j. takého, ktorého spektrálna hustota je odlišná od nuly iba vo frekvenčnom rozsahu susediacom s nulovou frekvenciou a je úzky v porovnaní s a kde je náhodná premenná distribuovaná rovnomerne v intervale a nezávisí od modulačného signálu a od šumu.Charakteristická funkcia takéhoto signálu sa rovná

Rozšírením exponenciály na Jacobiho-Engerov vzorec [výraz (13.20)] dostaneme

Pretože

kde to dostaneme pre amplitúdovo modulovaný sínusový signál

Korelačnú funkciu odozvy nelineárneho zariadenia pri aplikácii na vstup jeho sínusového signálu a Gaussovho šumu možno teraz nájsť dosadením (13.47) do (13.45). Definujte funkciu

kde a korelačná funkcia

kde sa spriemerovanie vykonáva na modulačnom signáli; potom sa korelačná funkcia odozvy bude rovnať

Ak sú modulačný signál aj šum stacionárne, potom sa stane výraz (13.50).

Ak je vstupný signál nemodulovaná sínusoida

pretože v tomto prípade sú koeficienty konštantné a navzájom sa rovnajú.

Zložky signálu a šumu na výstupe.

Zvážte teraz prípad, keď má vstupný šum formu modulovanej sínusoidy. V tomto prípade je výstupná korelačná funkcia daná výrazom (13.52). Rozšírme tento výraz takto:

Poďme sa pozrieť na jeho jednotlivé zložky. Prvý člen zodpovedá konštantnej zložke na výstupe zariadenia. Ďalšia skupina pojmov zodpovedá periodickej časti odozvy a je spôsobená hlavne interakciou vstupného signálu so sebou samým. Zvyšné členy zodpovedajú náhodným výkyvom odozvy, t.j. šumu na výstupe. Tí z

tieto zostávajúce pojmy, pre ktoré sú spôsobené hlavne interakciou vstupného šumu so sebou samým, a tie, pre ktoré interakcia signálu a šumu na vstupe.

Odozvu nelineárneho zariadenia reprezentujeme ako súčet priemernej hodnoty, periodických zložiek a náhodnej zložky:

Potom funkciu korelačnej odozvy možno zapísať ako

kde Porovnaním rovnosti (13.53) a (13.55) vidíme, že priemerná hodnota odozvy a amplitúdy jej periodických zložiek môžu byť vyjadrené priamo pomocou koeficientov

Okrem toho možno korelačnú funkciu náhodnej časti odpovede zapísať ako

kde dáme podľa definície v súlade s (13.50)

Treba poznamenať, že prísne vzaté, všetky tieto pojmy sú funkciami procesu, ktorý moduluje vstupný signál.

Riešenie otázky, ktorý z členov v (13.62) určuje užitočný výstupný signál, závisí samozrejme od účelu nelineárneho zariadenia. Ak sa zariadenie používa napríklad ako detektor, potom je užitočná nízkofrekvenčná časť výstupného signálu. V tomto prípade užitočný signál zodpovedá časti korelačnej funkcie definovanej rovnosťou

Na druhej strane, ak sa zariadenie používa ako nelineárny zosilňovač, potom

pretože v tomto prípade je užitočná zložka signálu sústredená okolo nosnej frekvencie vstupného signálu

2.6. Korelačno-spektrálna analýza deterministických signálov. Rádiotechnické obvody a signály. Časť I

2.6. Korelačno-spektrálna analýza deterministických signálov

V mnohých rádiotechnických problémoch je často potrebné porovnať signál a jeho kópiu posunutú o nejaký čas. Táto situácia nastáva najmä v radare, kde impulz odrazený od cieľa prichádza na vstup prijímača s časovým oneskorením. Porovnanie týchto signálov medzi sebou, t.j. stanovenie ich vzťahu počas spracovania umožňuje určiť parametre pohybu cieľa.

Na kvantifikáciu vzťahu medzi signálom a jeho časovo posunutou kópiou je zavedená charakteristika

, (2.57)

Ktorá sa volá autokorelačná funkcia(AKF).

Na vysvetlenie fyzikálneho významu ACF uvádzame príklad, kde obdĺžnikový impulz s trvaním a amplitúdou pôsobí ako signál. Na obr. 2.9 je znázornený impulz, jeho kópia, posunutá o časový interval a súčin . Je zrejmé, že integrácia produktu dáva hodnotu oblasti impulzu, ktorá je produktom . Táto hodnota, keď je pevná, môže byť reprezentovaná bodom v súradniciach . Pri zmene dostaneme graf autokorelačnej funkcie.

Poďme nájsť analytický výraz. Pretože

potom dosadením tohto výrazu do (2.57) dostaneme

. (2.58)

Ak je signál posunutý doľava, potom je to pomocou podobných výpočtov ľahké ukázať

. (2.59)

Potom spojením (2.58) a (2.59) dostaneme

. (2.60)

Z uvažovaného príkladu môžeme vyvodiť nasledujúce dôležité závery, ktoré platia pre ľubovoľné priebehy:

1. Autokorelačná funkcia neperiodického signálu klesá s rastom (nie nevyhnutne monotónne pre iné typy signálov). Je zrejmé, že na ACF má tiež tendenciu k nule.

2. ACF dosiahne svoju maximálnu hodnotu pri . V tomto prípade sa rovná energii signálu. Takže ACF je energie charakteristika signálu. Ako sa očakávalo, pri , signál a jeho kópia sú úplne korelované (prepojené).

3. Z porovnania (2,58) a (2,59) vyplýva, že ACF je dokonca funkciu argument , t.j.

.

Dôležitou charakteristikou signálu je korelačný interval. Korelačným intervalom sa rozumie časový interval, o ktorý sa pri posune signál a jeho kópia stanú nekorelovanými.

Matematicky je korelačný interval určený nasledujúcim výrazom

,

alebo od je párna funkcia

. (2.61)

Na obr. 2.10 ukazuje ACF signálu ľubovoľného tvaru vlny. Ak zostrojíme obdĺžnik, ktorého plocha sa rovná ploche pod krivkou s kladnými hodnotami (pravá vetva krivky), ktorej jedna strana sa rovná , tak druhá strana bude zodpovedať .

Nájdite korelačný interval pre obdĺžnikový impulz. Dosadením (2.58) do (2.60) po jednoduchých transformáciách dostaneme:

,

čo vyplýva z obr. 2.9.

Analogicky s funkciou autokorelácie sa odhaduje stupeň vzťahu medzi dvoma signálmi a krížovej korelačnej funkcie(VKF)

. (2.62)

Nájdite vzájomnú korelačnú funkciu dvoch signálov: pravouhlého impulzu s amplitúdou a trvaním

a trojuholníkový impulz rovnakej amplitúdy a trvania

Použitím (2.61) a výpočtom integrálov oddelene pre a dostaneme:

Grafické konštrukcie znázorňujúce výpočty VKF sú znázornené na obr. 2.11

Prerušované čiary tu znázorňujú počiatočnú (at) polohu trojuholníkového impulzu.

O výraz (2.61) sa transformuje na (2.57). Z toho vyplýva, že ACF je špeciálny prípad CCF s úplne zhodnými signálmi.

Zaznamenávame hlavné vlastnosti VKF.

1. Rovnako ako autokorelačná funkcia, aj CCF je klesajúcou funkciou argumentu . Na VKF majú tendenciu k nule.

2. Hodnoty funkcie vzájomnej korelácie pre ľubovoľné sú hodnoty vzájomná energia(interakčná energia) signálov a .

3. Pri , krížová korelačná funkcia (na rozdiel od autokorelačnej funkcie) nedosahuje vždy svoje maximum.

4. Ak sú signály a sú opísané párnymi funkciami času, potom je CCF tiež párne. Ak je aspoň jeden zo signálov opísaný nepárnou funkciou, potom je CCF tiež nepárny. Prvé tvrdenie je ľahké dokázať, ak vypočítame CCF dvoch pravouhlých impulzov opačnej polarity

a

Vzájomná korelačná funkcia takýchto signálov

, (2.63)

je párna funkcia argumentu .

Pokiaľ ide o druhé tvrdenie, uvažovaný príklad výpočtu TCF pravouhlých a trojuholníkových impulzov to dokazuje.

V niektorých aplikovaných problémoch rádiového inžinierstva sa používa normalizovaný ACF

, (2.64)

a normalizované VKF

, (2.65)

kde a sú vlastné energie signálov a . Pre hodnotu normalizovanej VKF volal koeficient vzájomnej korelácie. Ak , potom koeficient vzájomnej korelácie

.

Hodnoty sú samozrejme medzi -1 a +1. Ak porovnáme (2,65) s (1,32), potom vidíme, že koeficient vzájomnej korelácie zodpovedá hodnote kosínusu uhla medzi vektormi a v geometrickom zobrazení signálov.

Vypočítajme koeficient vzájomnej korelácie pre vyššie uvedené príklady. Keďže energia signálu pravouhlého impulzu je

a trojuholníkový pulz

potom sa koeficient vzájomnej korelácie v súlade s (2.62) a (2.65) bude rovnať . Pokiaľ ide o druhý príklad, pre dva pravouhlé impulzy s rovnakou amplitúdou a trvaním, ale s opačnou polaritou, .

Experimentálne je možné ACF a VKF získať pomocou zariadenia, ktorého bloková schéma je znázornená na obr. 2.12

Keď je ACF odstránený, signál prichádza na jeden zo vstupov multiplikátora a rovnaký signál, ale s určitým oneskorením, prichádza na druhý. Signál úmerný produktu , prechádza integračnou operáciou. Na výstupe integrátora sa vytvorí napätie, ktoré je úmerné hodnote ACF pri pevnom . Zmenou doby oneskorenia je možné vytvoriť ACF signálu.

Pre experimentálnu konštrukciu VKF sa signál privádza na jeden zo vstupov multiplikátora a signál sa privádza do oneskorovacieho zariadenia (vstupné obvody sú znázornené bodkovanou čiarou). V opačnom prípade zariadenie funguje podobným spôsobom. Všimnite si, že popísané zariadenie je tzv korelátor a je široko používaný v rôznych rádiových systémoch na príjem a spracovanie signálov.

Doteraz sme robili korelačnú analýzu neperiodických signálov s konečnou energiou. Zároveň potreba takejto analýzy často vzniká pre periodické signály, ktoré majú teoreticky nekonečnú energiu, ale konečný priemerný výkon. V tomto prípade sa ACF a CCF vypočítajú spriemerovaním za obdobie a majú význam priemernej sily (vnútornej alebo vzájomnej). ACF periodického signálu teda:

, (2.66)

a funkcia vzájomnej korelácie dvoch periodických signálov s viacerými periódami:

, (2.67)

kde je najväčšia hodnota obdobia.

Nájdite autokorelačnú funkciu harmonického signálu

,

kde je kruhová frekvencia a je počiatočná fáza.

Dosadenie tohto výrazu do (2.66) a výpočet integrálu pomocou známeho goniometrického vzťahu:

.

Z uvažovaného príkladu môžeme vyvodiť nasledujúce závery, ktoré sú platné pre akýkoľvek periodický signál.

1. ACF periodického signálu je periodická funkcia s rovnakou periódou.

2. ACF periodického signálu je párnou funkciou argumentu.

3. Pri je hodnota priemerný výkon, ktorý sa uvoľní pri odpore 1 ohm a má rozmer.

4. ACF periodického signálu neobsahuje informáciu o počiatočnej fáze signálu.

Treba tiež poznamenať, že korelačný interval periodického signálu .

A teraz vypočítame vzájomnú korelačnú funkciu dvoch harmonických signálov rovnakej frekvencie, ale líšia sa amplitúdami a počiatočnými fázami

a .

Krížová korelačná funkcia (CCF) rôznych signálov (funkcia krížovej korelácie, CCF) opisuje tak stupeň podobnosti tvaru dvoch signálov, ako aj ich vzájomnú relatívnu polohu pozdĺž súradnice (nezávislá premenná). Zovšeobecnením vzorca (6.1.1) autokorelačnej funkcie na dva rôzne signály s(t) a u(t) dostaneme nasledujúci skalárny súčin signálov:

B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)

Vzájomná korelácia signálov charakterizuje určitú koreláciu javov a fyzikálnych procesov zobrazovaných týmito signálmi a môže slúžiť ako miera „stability“ tohto vzťahu, keď sú signály spracovávané oddelene v rôznych zariadeniach. Pre signály s konečnou energiou je CCF tiež konečný, zatiaľ čo:

|B su ()|  ||s(t)||||u(t)||,

čo vyplýva z Cauchyho-Bunyakovského nerovnosti a nezávislosti signálových noriem od posunu súradníc.

Pri zmene premennej t = t- vo vzorci (6.2.1) dostaneme:

B su () = s(t-) u(t) dt = u(t) s(t-) dt = B us (-).

Z toho vyplýva, že podmienka parity nie je splnená pre VKF, B su ()  B su (-) a nevyžaduje sa, aby hodnoty VKF mali maximum pri  = 0.

Ryža. 6.2.1. Signály a VKF.

To možno jasne vidieť na obr. 6.2.1, kde sú dané dva rovnaké signály so stredmi v bodoch 0.5 a 1.5. Výpočet podľa vzorca (6.2.1) s postupným zvyšovaním hodnôt  znamená postupné posuny signálu s2(t) doľava pozdĺž časovej osi (pre každú hodnotu s1(t) sú hodnoty z s2(t+) sa berú pre násobenie integrandov). Keď =0, signály sú ortogonálne a hodnota B 12 ()=0. Maximum B 12 () bude pozorované, keď sa signál s2(t) posunie doľava o hodnotu =1, pri ktorej sa signály s1(t) a s2(t+) úplne zhodujú.

Rovnaké hodnoty CCF podľa vzorcov (6.2.1) a (6.2.1") sú pozorované pri rovnakej vzájomnej polohe signálov: keď je signál u(t) posunutý o interval  voči s(t) vpravo pozdĺž osi y a signál s(t) vzhľadom na signál u(t) vľavo, t.j. B su () = B us (-

Ryža. 6.2.2. Vzájomné kovariančné funkcie signálov.

Na obr. 6.2.2 ukazuje príklady VKF pre pravouhlý signál s(t) a dva identické trojuholníkové signály u(t) a v(t). Všetky signály majú rovnakú dobu trvania T, pričom signál v(t) je posunutý dopredu o interval T/2.

Signály s(t) au(t) sú z hľadiska časovej polohy rovnaké a oblasť „prekrytia“ signálu je maximálna pri =0, čo je pevne dané funkciou B su . Funkcia B su je zároveň ostro asymetrická, keďže pri asymetrickom tvare signálu u(t) pre symetrický tvar s(t) (vzhľadom na stred signálov) sa oblasť „prekrývania“ signálu mení rôzne v závislosti na smere posunu (znamienko  s nárastom hodnoty  od nuly). Keď sa počiatočná poloha signálu u(t) posunie doľava pozdĺž osi y (pred signál s(t) - signál v(t)), tvar VKF zostane nezmenený a posunie sa doprava o rovnaký posun. hodnota - funkcia B sv na obr. 6.2.2. Ak sú výrazy funkcií v (6.2.1) zamenené, potom novou funkciou B vs bude funkcia B sv, ktorá je zrkadlová vzhľadom na =0.

S prihliadnutím na tieto vlastnosti sa celkový CCF počíta spravidla oddelene pre kladné a záporné oneskorenia:

B su () = s(t) u(t+) dt. B us () = u(t) s(t+) dt. (6.2.1")

Krížová korelácia zašumených signálov . Pre dva zašumené signály u(t) = s1(t) + q1(t) a v(t) = s2(t) + q2(t), použitím metódy odvodenia vzorcov (6.1.13) s nahradením a kópiu signálu s(t) do signálu s2(t), je ľahké odvodiť vzorec krížovej korelácie v nasledujúcom tvare:

B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)

Posledné tri členy na pravej strane (6.2.2) klesajú na nulu, keď  rastie. Pre veľké intervaly nastavenia signálu možno výraz zapísať v nasledujúcom tvare:

B uv () = B s 1 s 2 () +
+
+
. (6.2.3)

Pri nulových priemerných hodnotách šumu a štatistickej nezávislosti od signálov prebieha nasledovné:

B uv () → B s 1 s 2 ().

VKF diskrétnych signálov. Všetky vlastnosti VKF analógových signálov sú platné aj pre VKF diskrétnych signálov, pričom vlastnosti diskrétnych signálov opísané vyššie pre diskrétne ACF sú platné aj pre ne (vzorce 6.1.9-6.1.12). Konkrétne pri t = const =1 pre signály x(k) a y(k) s počtom vzoriek K:

B xy (n) =
x k y k-n . (6.2.4)

Pri normalizácii v jednotkách výkonu:

B xy (n) = x k y k-n 
. (6.2.5)

Odhad periodických signálov v šume . Šumový signál môže byť vyhodnotený na krížovú koreláciu s "referenčným" signálom pokusom a omylom, pričom funkcia krížovej korelácie je nastavená na maximálnu hodnotu.

Pre signál u(k)=s(k)+q(k) so štatistickou nezávislosťou od šumu a → 0, funkcia krížovej korelácie (6.2.2) so šablónou signálu p(k) pre q2(k)=0 má tvar:

B up (k) = Bsp (k) + Bqp (k) = Bsp (k) + .

A odvtedy → 0, keď sa N zvyšuje, potom B hore (k) → B sp (k). Je zrejmé, že funkcia B up (k) bude mať maximum, keď p(k) = s(k). Zmenou tvaru šablóny p(k) a maximalizáciou funkcie B up (k) môžeme získať odhad s(k) v tvare optimálneho tvaru p(k).

Funkcia koeficientov vzájomnej korelácie (VKF) je kvantitatívny ukazovateľ miery podobnosti signálov s(t) a u(t). Podobne ako funkcia autokorelačných koeficientov sa počíta cez centrované hodnoty funkcií (na výpočet vzájomnej kovariancie stačí centrovať len jednu z funkcií) a normalizuje sa na súčin hodnôt štandardov funkcií s(t) a v(t):

 su () = C su ()/ s  v . (6.2.6)

Interval zmeny hodnôt korelačných koeficientov pri posunoch  sa môže meniť od –1 (úplná inverzná korelácia) do 1 (úplná podobnosť alebo stopercentná korelácia). Pri posunoch , pri ktorých sú pozorované nulové hodnoty  su (), sú signály navzájom nezávislé (nekorelované). Koeficient vzájomnej korelácie vám umožňuje zistiť prítomnosť spojenia medzi signálmi bez ohľadu na fyzikálne vlastnosti signálov a ich veľkosť.

Pri výpočte CCF zašumených diskrétnych signálov obmedzenej dĺžky pomocou vzorca (6.2.4) existuje pravdepodobnosť výskytu hodnôt ​​ su (n)| > 1.

Pre periodické signály sa koncept CCF zvyčajne nepoužíva, s výnimkou signálov s rovnakou periódou, napríklad vstupných a výstupných signálov pri štúdiu charakteristík systémov.