Pri nastavovaní siete rôznych mierok a každý deň sa stretávate s výpočtami - nie je potrebné začať s takým podvodom, všetko sa deje na nepodmienenom reflexe. Ale keď sa len zriedka hrabete v sieťach, nie vždy si spomeniete, aká je maska ​​v desiatkovom tvare pre predponu 21 alebo aká je sieťová adresa s rovnakou predponou. V tejto súvislosti som sa rozhodol napísať niekoľko malých článkov – cheatov na preklad čísel do rôznych číselných sústav, sieťové adresy, masky atď. V tejto časti bude reč o prekladaní čísel do rôznych číselných sústav.

1. Číselné sústavy

Keď robíte niečo súvisiace počítačové siete a IT, s týmto pojmom sa aj tak stretnete. A ako šikovný ITčkár tomu musíte aspoň trochu rozumieť, aj keď v praxi to využijete veľmi zriedka.
Uvažujme o preklade každej číslice z adresy IP 98.251.16.138 do nasledujúcich číselných sústav:

• binárne
• Osmičkový
• Desatinné
• Hexadecimálne

1.1 Desatinné

Keďže čísla sa píšu v desiatkovej sústave, vynecháme prevod z desiatkovej na desiatkovú 🙂

1.1.1 Desatinné → Binárne

Ako vieme, binárny číselný systém sa používa takmer vo všetkých moderné počítače a mnoho ďalších výpočtových zariadení. Systém je veľmi jednoduchý – máme len 0 a 1.
Ak chcete previesť desiatkové číslo na binárne, použite delenie modulo 2 (t.j. celočíselné delenie o 2), v dôsledku čoho budeme mať vo zvyšku vždy buď 1 alebo 0. V tomto prípade zapisujeme výsledok sprava doľava. Príklad uvedie všetko na svoje miesto:

Obrázok 1.1 - Prevod čísel z desiatkového na binárny systém

Obrázok 1.2 - Prevod čísel z desiatkovej do dvojkovej sústavy

Popíšem delenie 98. 98 vydelíme 2, výsledkom je 49 a zvyšok 0. Potom pokračujeme v delení a delíme 49 2, výsledkom je 24 so zvyškom 1. A v rovnakým spôsobom sa dostaneme k 1 alebo 0 v deliteľnom. Potom zapíšeme výsledok sprava doľava.

1.1.2 Desatinné → Osmičkové

Osmičková sústava je celočíselná sústava so základom 8. To znamená, všetky čísla v ňom sú reprezentované rozsahom 0 - 7 a pre preklad z desiatková sústava musíte použiť rozdelenie modulo 8.

Obrázok 1.3 - Prevod čísel z desiatkového na osmičkový systém

Rozdelenie je podobné ako pri 2-dielnom systéme.

1.1.3 Desatinné → Šestnástkové

Šestnástková sústava takmer úplne nahradila osmičkovú sústavu. Má základ 16, ale používa desatinné číslice od 0 do 9 + latinské písmená od A (číslo 10) po F (číslo 15). Narazíte naň pri každej kontrole nastavení. sieťový adaptér Je MAC adresa. To isté pri používaní IPv6.

Obrázok 1.4 - Prevod čísel z desiatkovej do šestnástkovej sústavy

1.2 Binárne

V predchádzajúcom príklade sme previedli všetky desatinné čísla do iných číselných sústav, z ktorých jedna je binárna. Teraz preložme každé číslo z binárneho tvaru.

1.2.1 Binárne → Desatinné

Ak chcete previesť čísla z binárnych na desiatkové, musíte poznať dve nuansy. Prvým je, že každá nula a jedna má faktor 2 palce n-tý stupeň v ktorom n narastá sprava doľava presne o jednu. Druhý - po vynásobení treba sčítať všetky čísla a dostaneme číslo v desiatkovom tvare. Celkovo budeme mať takýto vzorec:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Kde,
D je desatinné číslo, ktoré hľadáme;
n- počet znakov v binárnom čísle;
a - číslo v binárnom tvare na n-tá pozícia(t. j. prvý znak, druhý atď.);
p - koeficient rovný 2,8 alebo 16 k mocnine n(v závislosti od číselného systému)

Zoberme si napríklad číslo 110102. Pozrieme sa na vzorec a napíšeme:

• Číslo pozostáva z 5 znakov ( n=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (keďže prekladáme z dvojkovej do desiatkovej)

V dôsledku toho máme:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Pre tých, ktorí sú zvyknutí písať sprava doľava, bude formulár vyzerať takto:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Ale ako vieme, súčet sa nemení od permutácie pojmov. Poďme teraz previesť naše čísla na desatinné.

Obrázok 1.5 - Prevod čísel z dvojkovej do desiatkovej sústavy

1.2.2 Binárne → Oktal

Pri preklade potrebujeme binárne číslo rozdelené do skupín po troch znakoch sprava doľava. Ak posledná skupina nepozostáva z troch znakov, potom chýbajúce bity jednoducho nahradíme nulami. Napríklad:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Každá skupina bitov je jednou z osmičkové čísla... Ak chcete zistiť, ktorý z nich, musíte použiť vzorec 1.2.1 napísaný vyššie pre každú skupinu bitov. V dôsledku toho dostaneme.

Obrázok 1.6 - Prevod čísel z dvojkovej do osmičkovej sústavy

1.2.3 Binárne → Hexadecimálne

Tu musíme rozdeliť binárne číslo do skupín po štyroch znakoch sprava doľava, po ktorých nasleduje doplnenie chýbajúcich bitov skupiny nulami, ako je napísané vyššie. Ak posledná skupina pozostáva z núl, mali by sa ignorovať.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Každá skupina bitov je jedným z hexadecimálnych čísel. Pre každú skupinu bitov používame vzorec 1.2.1.

Obrázok 1.7 - Prevod čísel z dvojkovej do hexadecimálnej sústavy

1.3 Osmičkový

V tomto systéme môžeme mať problémy len pri preklade do šestnástkovej sústavy, keďže zvyšok prekladu ide hladko.

1.3.1 Osmičková → Binárna

Každé číslo v osmičke je skupina troch bitov v binárnom systéme, ako je opísané vyššie. Na preklad musíme použiť cheat sheet:

Obrázok 1.8 - Ostroha na preklad čísel z osmičkovej sústavy

Pomocou tejto dosky preložíme naše čísla do dvojkovej sústavy.

Obrázok 1.9 - Prevod čísel z osmičkovej do dvojkovej sústavy

Trochu popíšem výstup. Prvé číslo, ktoré máme, je 142, čo znamená, že budú existovať tri skupiny po troch bitoch. Použijeme ostrohu a vidíme, že číslo 1 je 001, číslo 4 je 100 a číslo 2 je 010. Výsledkom je číslo 001100010.

1.3.2 Osmičková → Desatinná

Tu používame vzorec 1.2.1 len s faktorom 8 (t. j. p = 8). V dôsledku toho máme

Obrázok 1.10 - Prevod čísel z osmičkovej do desiatkovej sústavy

• Číslo sa skladá z 3 znakov ( n=3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (keďže prekladáme z osmičkového do desiatkového)

V dôsledku toho máme:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Osmičková → Hexadecimálna

Ako už bolo uvedené, na preklad musíme najprv previesť čísla do dvojkovej sústavy, potom z dvojkovej na šestnástkovú a rozdeliť ich do skupín po 4 bitoch. Môže sa použiť nasledujúca ostroha.

Obrázok 1.11 - Spur na preklad čísel z hexadecimálna sústava

Toto označenie vám pomôže pri prevode z binárnej do šestnástkovej sústavy. Teraz si preložme naše čísla.

Obrázok 1.12 - Prevod čísel z osmičkovej do šestnástkovej sústavy

1.4 Hexadecimálne

Tento systém má rovnaký problém pri preklade do osmičky. Ale o tom neskôr.

1.4.1 Hexadecimálne → Binárne

Každé hexadecimálne číslo je skupina štyroch bitov v binárnom formáte, ako je opísané vyššie. Na preklad môžeme použiť cheat sheet, ktorý sa nachádza vyššie. Ako výsledok:

Obrázok 1.13 - Prevod čísel z hexadecimálnej do dvojkovej sústavy

Zoberme si prvé číslo - 62. Pomocou tabuľky (obr. 1.11) vidíme, že 6 je 0110, 2 je 0010, výsledkom je číslo 01100010.

1.4.2 Hexadecimálne → Desatinné

Tu používame vzorec 1.2.1 len s faktorom 16 (t. j. p = 16). V dôsledku toho máme

Obrázok 1.14 - Prevod čísel zo šestnástkovej do desiatkovej sústavy

Zoberme si prvé číslo. Na základe vzorca 1.2.1:

• Číslo pozostáva z 2 znakov ( n=2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (keďže prevádzame zo šestnástkovej sústavy na desiatkovú)

V dôsledku toho máme.

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Hexadecimálne → Osmičkové

Ak chcete preložiť do osmičkovej sústavy, musíte najskôr preložiť do binárnej sústavy, potom rozdeliť do skupín po 3 bitoch a použiť platňu (obr. 1.8). Ako výsledok:

Obrázok 1.15 - Prevod čísel zo šestnástkovej sústavy na osmičkovú

Budeme hovoriť o IP adresách, maskách a sieťach.

Pri prevode čísel z desiatkovej číselnej sústavy na akúkoľvek inú vždy samostatne (podľa iné pravidlá) sú preložené celé a zlomkové časti.

Preklad celej časti

Ak chcete previesť číslo z desiatkovej číselnej sústavy na akúkoľvek inú, musíte vykonať celočíselné delenie pôvodného čísla základom číselnej sústavy, do ktorej chcete číslo previesť. V tomto prípade je dôležitý zvyšok delenia a kvocient. Kvocient sa musí deliť základom, kým nezostane nula. Potom sa musia všetky zvyšky vypísať v opačnom poradí - to bude číslo v novej číselnej sústave.

Napríklad preklad - číslo 25 z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej bude vyzerať nasledujúcim spôsobom:

Zapísaním zvyškov v opačnom poradí dostaneme 25 10 = 11001 2.

Ak sa nad tým zamyslíte, môžete si ľahko všimnúť, že pri preklade absolútne akéhokoľvek čísla do binárnej číselnej sústavy sa úplne posledný zvyšok (to znamená úplne prvá číslica vo výsledku) bude vždy rovnať poslednému kvocientu, ktorý sa zmenil byť menší ako základ číselnej sústavy, do ktorej číslo prekladáme. Preto sa delenie často zastaví skôr, ako sa podiel rovná nule - v okamihu, keď sa podiel stane jednoducho menším ako základ. Napríklad:

Prevod z desiatkovej číselnej sústavy do akejkoľvek inej číselnej sústavy sa vykonáva presne podľa rovnakých pravidiel. Tu je príklad prevodu 393 10 na hexadecimálny zápis:

Zapísaním zvyškov v opačnom poradí dostaneme 393 10 = 189 16.

Musíte pochopiť, že zvyšky sa získajú v systéme desiatkových čísel. Pri delení 16 sa môžu objaviť zvyšky nielen od 0 do 9, ale aj zvyšky od 10 do 15. Každý zvyšok je vždy presne jedna číslica v číselnej sústave, do ktorej sa prevod uskutočňuje.

Napríklad, ak ste pri prevode do hexadecimálnej číselnej sústavy dostali nasledujúce rezíduá (zapísané v poradí, v akom by sa mali zapísať do čísla): 10, 3, 15, 7, potom v hexadecimálnom zápise táto postupnosť rezíduí bude zodpovedať číslu A3F7 16 (niektorí omylom zapíšu číslo ako 103157 16 - rozumie sa, že ide o úplne iné číslo, a že ak to urobíte, ukáže sa, že čísla od A do F budú sa neobjaví v žiadnom hexadecimálnom čísle).

Zlomkový preklad

Pri preklade zlomkovej časti na rozdiel od prekladu celej časti netreba deliť, ale násobiť základom číselnej sústavy, do ktorej prekladáme. V tomto prípade sa celé časti zakaždým vyhodia a zlomkové časti sa znova vynásobia. Zhromažďovanie častí celého čísla v poradí, v akom boli prijaté - získa sa zlomková časť čísla požadovaný systém zúčtovanie.

Jedna operácia násobenia dáva presne jeden dodatkový znak v číselnom systéme, do ktorého sa prevod uskutočňuje.

V tomto prípade existujú dve podmienky na dokončenie procesu:

1) v dôsledku ďalšieho násobenia ste dostali nulu v zlomkovej časti. Je jasné, že nech túto nulu vynásobíte akokoľvek, stále zostane nulou. To znamená, že číslo bolo prenesené zo sústavy desiatkových čísel do požadovaného presne.

2) nie všetky čísla sa dajú preložiť presne. V tomto prípade zvyčajne prekladajú s určitou presnosťou. V tomto prípade najskôr určia, koľko desatinných miest bude potrebných – presne toľkokrát bude potrebné vykonať operáciu násobenia.

Tu je príklad prevodu čísla 0,39 10 do binárnej číselnej sústavy. Presnosť - 8 číslic (in v tomto prípade presnosť prekladu sa volí ľubovoľne):

Ak vypíšete celé časti priama objednávka, potom dostaneme 0,39 10 = 0,01100011 2.

Úplne prvá nula (na obrázku je prečiarknutá modrou farbou) nie je potrebné vypisovať - ​​pretože sa netýka zlomkovej časti, ale celku. Niektorí ľudia pri vypisovaní výsledku omylom píšu túto nulu za desatinnú čiarku.

Takto bude vyzerať preklad čísla 0,39 10 do hexadecimálnej číselnej sústavy. Presnosť - v tomto prípade 8 číslic, presnosť je opäť ľubovoľne zvolená:

Ak vypíšeme celé časti v priamom poradí, dostaneme 0,39 10 = 0,63D700A3 16.

Zároveň ste si pravdepodobne všimli, že celé časti sa pri vynásobení získajú v desiatkovej číselnej sústave. Tieto celé časti získané pri preklade zlomkovej časti čísla by sa mali interpretovať rovnakým spôsobom ako zvyšky pri preklade celej časti čísla. To znamená, že ak sa po prevode na hexadecimálnu číselnú sústavu celé časti ukážu v tomto poradí: 3, 13, 7, 10, potom sa zodpovedajúce číslo bude rovnať 0,3D7A 16 (a nie 0,313710 16, ako niektorí niekedy omylom napísať).

Prevod čísla s celým číslom a zlomkovou časťou

Preložiť číslo z celého čísla a zlomková časť, musíte oddelene preložiť celú časť a oddelene - zlomkovú časť a básnik by mal tieto dve časti napísať spolu.

Napríklad 25,39 10 = 11001,01100011 2 (preklady celých a zlomkových častí – pozri vyššie).

Prevod malých celých čísel z desiatkového na binárne v mysli

Keďže pri práci s rôznych systémovčísla, najmä pri vývoji programov, je veľmi často potrebné prekladať malé celé čísla, potom, všeobecne povedané, má zmysel zapamätať si prvých 16 čísel (od 0 do 15).

Ale ak prídete na to, aké ľahké je vo vašej mysli previesť malé celé čísla od 0 do 15 z desiatkovej číselnej sústavy na binárne, potom si môžete jednoducho vypočítať významnú časť tabuľky v hlave zakaždým, keď to potrebujete. Opakujte túto operáciu mnohokrát a v určitom bode nebudete schopní pochopiť - už ste si zapamätali tabuľku alebo stále počítate.

Ak teda chcete previesť malé kladné celé číslo od 0 do 15 z desiatkového na binárne, v prvom rade je potrebné pochopiť, že každá pozícia v binárnom čísle zodpovedá mocnine dvoch. Zároveň sú mocniny dvoch pre pozície od 0 do 3 veľmi ľahko zapamätateľné - sú to čísla 1, 2, 4 a 8:

A číslo 10 je 2 plus 8:

No, číslo 0 je hriech nezapamätať si, pretože na jeho získanie nie je potrebné nič pridávať.

Účel služby... Služba je určená na preklad čísel z jedného číselného systému do druhého online režim... Ak to chcete urobiť, vyberte základňu systému, z ktorej chcete číslo preložiť. Môžete zadať celé čísla aj čísla s čiarkou.

číslo

Preklad z číselného systému 10 2 8 16. Preveďte na číselný systém 2 10 8 16.
Pre zlomkové čísla použite 2 3 4 5 6 7 8 desatinných miest.

Môžete zadať celé čísla, napríklad 34, aj zlomkové, napríklad 637,333. Pri zlomkových číslach je presnosť prekladu uvedená za desatinnou čiarkou.

S touto kalkulačkou sa používajú aj nasledujúce položky:

Spôsoby reprezentácie čísel

binárne (binárne) čísla - každá číslica znamená hodnotu jedného bitu (0 alebo 1), najvýznamnejší bit sa píše vždy vľavo, za číslom je písmeno "b". Pre pohodlie môžu byť tetrády oddelené medzerami. Napríklad 1010 0101b.
Hexadecimálne (hexadecimálne) čísla - každá tetráda je reprezentovaná jedným znakom 0 ... 9, A, B, ..., F. Takéto znázornenie možno označiť rôznymi spôsobmi, tu len znak "h" za poslednou šestnástkovou číslicou sa používa. Napríklad A5h. V programových textoch môže byť rovnaké číslo označené ako 0xA5, tak aj ako 0A5h, v závislosti od syntaxe programovacieho jazyka. Malá nula (0) sa pridá naľavo od najvýznamnejšej šestnástkovej číslice reprezentovanej písmenom na rozlíšenie medzi číslami a symbolickými menami.
Desatinné (desatinné) čísla - každý bajt (slovo, dvojslovo) je reprezentované obyčajným číslom a znamienkom desiatkové zastúpenie(písmeno "d") sa zvyčajne vynecháva. Bajt z predchádzajúcich príkladov má desiatkovú hodnotu 165. Na rozdiel od binárneho a hexadecimálneho zápisu je v desiatkovej sústave ťažké mentálne určiť význam každého bitu, čo niekedy musíte urobiť.
Osmičkový (osmičkové) čísla - každá trojica bitov (delenie začína od najmenej významného) sa zapisuje ako číslica 0–7, na koniec sa dáva znamienko "o". Rovnaké číslo sa zapíše ako 245 °. Osmičková sústava je nepohodlná, pretože bajt nemožno rozdeliť rovnako.

Algoritmus na preklad čísel z jedného číselného systému do druhého

Prevod desiatkových celých čísel do akejkoľvek inej číselnej sústavy sa vykonáva vydelením čísla základom nový systémčísla, kým zvyšok čísla nebude menší ako základ novej číselnej sústavy. Nové číslo sa zapíše ako zvyšok delenia, počnúc posledným.
Preklad správneho desatinného zlomku do iného PSS sa vykonáva vynásobením iba zlomkovej časti čísla základom nového číselného systému, kým všetky nuly nezostanú v zlomkovej časti alebo kým sa nedosiahne špecifikovaná presnosť prekladu. V dôsledku vykonania každej operácie násobenia sa vytvorí jedna číslica nového čísla, počnúc najstarším.
Preklad nesprávneho zlomku sa vykonáva podľa pravidiel 1 a 2. Celé a zlomkové časti sa píšu spolu, oddelené čiarkou.

Príklad #1.



Preklad z 2 až 8 až 16 číselnej sústavy.
Tieto systémy sú násobky dvoch, preto sa preklad vykonáva pomocou tabuľky zhody (pozri nižšie).

Ak chcete previesť číslo z binárnej číselnej sústavy na osmičkovú (šestnástkovú), je potrebné rozdeliť binárne číslo z čiarky doprava a doľava do skupín po troch (štyri pre šestnástkové číslo) a v prípade potreby doplniť extrémne skupiny nulami. . Každá skupina je nahradená príslušnou osmičkovou alebo šestnástkovou číslicou.

Príklad č.2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
tu 001 = 1; 010 = 2; 111 = 7; 010 = 2; 101 = 5; 001 = 1

Pri prevode do šestnástkovej sústavy je potrebné rozdeliť číslo na časti, každé štyri číslice, pri dodržaní rovnakých pravidiel.
Príklad č.3. 1010111010,1011 = 10,1011,1010,1011 = 2B12,13 HEX
tu 0010 = 2; 1011 = B; 1010 = 12; 1011 = 13

Prevod čísel z 2, 8 a 16 do desiatkovej číselnej sústavy sa vykonáva tak, že sa číslo rozdelí na samostatné čísla a vynásobí sa základňou sústavy (z ktorej sa číslo prekladá) umocnenou na príslušnú mocninu. radové číslo v preloženom čísle. V tomto prípade sú čísla číslované naľavo od desatinnej čiarky (prvé číslo je číslované 0) so zvyšujúcim sa pravá strana zostupne (t.j. so záporným znamienkom). Výsledky sa sčítajú.

Príklad č.4.
Príklad prevodu z dvojkovej do desiatkovej číselnej sústavy.

1010010.101 2 = 1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 82,625 10 Príklad prevodu z osmičkovej na desiatkovú číselnú sústavu. 108,5 8 = 1 * 8 2 + 0 8 1 + 8 8 0 + 5 8 -1 = 64 + 0 + 8 + 0,625 = 72,625 10 Príklad prevodu zo šestnástkovej sústavy na desiatkovú. 108,5 16 = 1 16 2 + 0 16 1 + 8 16 0 + 5 16 -1 = 256 + 0 + 8 + 0,3125 = 264,3125 10

Ešte raz zopakujeme algoritmus na prevod čísel z jednej číselnej sústavy do inej PSS

1. Zo sústavy desiatkových čísel:
   • vydeľte číslo základom číselnej sústavy, ktorá sa má preložiť;
   • nájdite zvyšok delenia celej časti čísla;
   • zapíšte všetky zvyšky delenia v opačnom poradí;
2. Binárny číselný systém
   • Ak chcete previesť na systém desiatkových čísel, musíte nájsť súčet súčinov základu 2 podľa zodpovedajúceho stupňa číslice;
   • Ak chcete previesť číslo na osmičkovú, musíte číslo rozdeliť na triády.
     Napríklad 1 000 110 = 1 000 110 = 106 8
   • Ak chcete previesť číslo z binárneho na hexadecimálne, musíte číslo rozdeliť do skupín po 4 číslice.
     Napríklad 1000110 = 100 0110 = 46 16

Pozičný systém je tzv, u ktorých význam alebo váha číslice závisí od jej umiestnenia v čísle. Vzťah medzi systémami je vyjadrený v tabuľke.
Tabuľka zhody číselného systému:

Binárne SS	Hexadecimálne SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Oktálna prevodná tabuľka

Značky: Číselná sústava, preklad číselnej sústavy, súvisiace číselné sústavy

Zmena radixu pre pozičné číselné sústavy

V polohový systém základ q číslo možno znázorniť ako polynóm

… + A 2 ∙ q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙ q 0 + a -1 ∙ q -1 + a -2 ∙ q -2 + ...

kde koeficienty a i sú číslice so základom q.

Napríklad v desiatkovom zápise

124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3

Počet číslic v základnej q sústave je q, pričom maximálna číslica je q - 1. Číslica sa nemôže rovnať q, pretože v tomto prípade sa jednotka prenesie na novú číslicu.

Napríklad musíte nájsť minimálny základ, v ktorom je zapísané číslo 7832. Keďže maximálna číslica je 8, potom minimálna hodnota q = 8 + 1 = 9.

Základom číselnej sústavy môže byť v zásade akékoľvek číslo: celé, záporné, racionálne, iracionálne, komplexné atď. Budeme uvažovať iba o kladných celých základoch.

Obzvlášť nás bude zaujímať základ 2 a základne, ktoré sú mocninami dvoch - 8 a 16.

V prípade, že základňa s. s viac ako desať, potom sa nové čísla preberú v poradí z abecedy. Napríklad pre šestnástkovú sústavu to budú čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Preklad celočíselnej časti desiatkovej číselnej sústavy

Prvým spôsobom prevodu z desiatkového na n-árne je postupné delenie čísla novým základom.

123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10 = A)

Najprv to daj dokopy posledná hodnota(toto je 0), potom zhora nadol všetky zvyšky. Dostaneme 0A3 = A3

4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)

Keď to dáme znova dokopy, dostaneme 10723

3349 10 → 16 X

3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)

Skladanie: 0D15 = D15

545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)

Zhromažďujeme 01000100001 = 1000100001

Preklad na papier sa zvyčajne robí dlhým delením. Kým delenie nevedie k nule, každá ďalšia odpoveď sa delí základom s. s Na konci je odpoveď zostavená zo zvyškov delenia.

Často môžete tiež previesť číslo na iné s. s , ak si ho v mysli predstavíme ako súčet stupňov zodpovedajúceho základu, do ktorého chceme číslo preložiť.

Napríklad 129 je zrejmé 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2

80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3

Prevod celej časti na desiatkový zápis

Preklad sa vykonáva pomocou znázornenia čísla v pozičnej číselnej sústave. Nech je potrebné preložiť A3 12 → X 10 Je známe, že A3 je 3 ∙ q 0 + A ∙ q 1, teda 3 * 1 + A * 12 = 3 + 120 = 123

10723 8 → X 10

1 ∙ q 4 + 0 ∙ q 3 + 7 ∙ q 2 + 2 ∙ q 1 + 3 ∙ q 0 = 1 ∙ 8 4 + 0 + 7 ∙ 8 2 + 2 2 ∙ 8 + 3 = 6 409 + 1 ∙ + 2 ∙ 8 + 3 = 4563

D ∙ 16 2 + 1 ∙ 16 1 + 5 ∙ 16 0 = 13 ∙ 256 + 16 + 5 = 3349

1000100001 2 → X 10

2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.

Preklad na papier sa zvyčajne vykonáva nasledovne. Nad každú číslicu v poradí napíšte číslo stupňa. Potom sú vypísané všetky podmienky.

Prevod zlomkovej časti z desiatkovej sústavy

Pri preklade zlomkovej časti často nastáva situácia, keď sa konečný desatinný zlomok zmení na nekonečný. Preto sa zvyčajne pri preklade uvádza presnosť, s akou je potrebné prekladať. Preklad sa vykonáva postupným násobením zlomkovej časti základom číselnej sústavy. Celá časť zároveň sa nakláňa dozadu a je súčasťou zlomku.

0,625 10 → X 2

0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)

0 - ďalšie násobenie dá len nuly
Keď to dáme zhora nadol, dostaneme 0,101

0,310 → X2 0,3 * 2 = 0,6 (0) 0,6 * 2 = 1,2 (1) 0,2 * 2 = 0,4 (0) 0,4 * 2 = 0,8 (0) 0,8 * 2 = 1,6 (1) 0,6 * 2 = 1,2 )

0,2 ... dostaneme periodický zlomok
Keď to dáme dokopy, dostaneme 0,0100110011001 ... = 0,0 (1001)

0,64510 → X5 0,645 * 5 = 3,225 (3) 0,255 * 5 = 1,275 (1) 0,275 * 5 = 1,375 (1) 0,375 * 5 = 1,875 (1) 0,875 * 5 5 = 845 * 5 5 = 845 * 5 5 )...

0.3111414… = 0.311(14)

Prevod zlomkovej časti na desiatkovú sústavu

Uskutočňuje sa podobne ako pri preklade celej časti, a to vynásobením číslice číslice základom na stupeň rovný pozícii číslice v čísle.

0,101 2 → X 10

1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625

0,134 5 → X 10

1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352

Prevod z ľubovoľnej číselnej sústavy do ľubovoľnej číselnej sústavy

Preklad z svojvoľný systém mŕtve rátanie s. s vykonávané pomocou desatinných s. s

X N → X M ≡ X N → X 10 → X M

Napríklad

1221201 3 → X 7

1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10

1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)

1221201 3 → 4060 7

Súvisiace číselné sústavy

Číselné sústavy sa nazývajú príbuzné, keď ich základňami sú mocniny rovnakého čísla. Napríklad 2, 4, 8, 16. Preklad medzi súvisiacimi číselnými sústavami je možné vykonať pomocou tabuľky

Tabuľka na preklad medzi súvisiacimi číselnými sústavami so základom 2

10	2	4	8	16
0	0000	000	00	0
1	0001	001	01	1
2	0010	002	02	2
3	0011	003	03	3
4	0100	010	04	4
5	0101	011	05	5
6	0110	012	06	6
7	0111	013	07	7
8	1000	020	10	8
9	1001	021	11	9
10	1010	022	12	A
11	1011	023	13	B
12	1100	030	14	C
13	1101	031	15	D
14	1110	032	16	E
15	1111	033	17	F

Ak chcete preložiť z jedného súvisiaceho číselného systému do druhého, musíte najprv previesť číslo do binárneho systému. Na prevod do dvojkovej sústavy je každá číslica čísla nahradená zodpovedajúcimi dvoma (pre štvornásobok), tromi (pre osmičkovú sústavu) alebo štyrmi (pre šestnástkovú sústavu).

Pre 123 4 sa jedna nahradí 01, dve 10, tri 11, dostaneme 11011 2

Pre 5721 8, respektíve 101, 111, 010, 001, spolu 101111010001 2

Pre E12 16 dostaneme 111000010010 2

Ak chcete preložiť z dvojkovej sústavy, musíte rozdeliť číslo na dve (4.), trojice (8.) alebo štvorky čísel (16.) a potom ich nahradiť zodpovedajúcimi hodnotami.

Inštrukcie

Podobné videá

Systém počítania, ktorý používame každý deň, má desať číslic – od nuly po deväť. Preto sa nazýva desiatkový. Avšak v technických výpočtoch, najmä v súvislosti s počítačmi, iné systémov najmä binárne a hexadecimálne. Preto musíte vedieť prekladať čísla z jedného systémov mŕtve zúčtovanie.

Budete potrebovať

• - kúsok papiera;
• - ceruzka alebo pero;
• - kalkulačka.

Inštrukcie

Binárny systém je najjednoduchší. Má len dve číslice – nulu a jednotku. Každá číslica v binárnom systéme čísla, začínajúc od konca, zodpovedá mocnine dvoch. Dva sa rovná jednej, prvé sa rovná dvom, druhé sa rovná štyrom, tretie sa rovná osem atď.

Predpokladajme, že máte binárne číslo 1010110. Tie v ňom sú na druhom, treťom, piatom a siedmom mieste od konca. Preto v desiatkovej sústave je toto číslo 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 4 + 2 ^ 6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Inverzný problém – desatinné číslo čísla systém. Predpokladajme, že máte číslo 57. Ak chcete získať jeho záznam, musíte toto číslo postupne vydeliť dvoma a napísať zvyšok delenia. Binárne číslo bude zostavené od konca po začiatok.
V prvom kroku získate poslednú číslicu: 57/2 = 28 (zvyšok 1).
Potom dostanete druhý od konca: 28/2 = 14 (zvyšok 0).
Ďalšie kroky: 14/2 = 7 (zvyšok 0);
7/2 = 3 (zvyšok 1);
3/2 = 1 (zvyšok 1);
1/2 = 0 (zvyšok 1).
to posledný krok pretože výsledok delenia je nula. Výsledkom je binárne číslo 111001.
Skontrolujte správnosť svojej odpovede: 111001 = 2 ^ 0 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Druhý použitý v problémy s počítačom- hexadecimálny. Nemá desať, ale šestnásť čísel. Nebyť nového legenda, prvých desať číslic šestnástkovej sústavy systémov sú označené obyčajnými číslami a zvyšných šesť - s latinskými písmenami: A, B, C, D, E, F. Desatinný zápis, ktorému zodpovedajú čísla m od 10 do 15. Aby nedošlo k zámene, pred číslom napísaným v šestnástkovej sústave je znak # alebo symboly 0x.

Obrátený preklad z desatinného čísla systémov v hexadecimálnej sústave sa vykonáva rovnakou reziduálnou metódou ako v binárnej sústave. Vezmite napríklad číslo 10 000. Postupným delením číslom 16 a zapísaním zvyškov dostanete:
10 000/16 = 625 (zvyšok 0).
625/16 = 39 (zvyšok 1).
39/16 = 2 (zvyšok 7).
2/16 = 0 (zvyšok 2).
Výsledkom výpočtov bude hexadecimálne číslo #2710.
Skontrolujte, či je vaša odpoveď správna: # 2710 = 1 * (16 ^ 1) + 7 * (16 ^ 2) + 2 * (16 ^ 3) = 16 + 1792 + 8192 = 10 000.

Prestup čísla zo šestnástkovej sústavy systémov binárne je oveľa jednoduchšie. Číslo 16 je dva: 16 = 2 ^ 4. Preto každý hexadecimálna číslica možno zapísať ako štvormiestne binárne číslo. Ak máte v binárnom kóde menej ako štyri číslice, pridajte úvodné nuly.
Napríklad # 1F7E = (0001) (1111) (0111) (1110) = 1111101111110.
Skontrolujte, či je odpoveď správna: obe čísla v desiatkovom zápise rovnajúcom sa 8062.

Ak chcete preložiť, musíte rozdeliť binárne číslo na skupiny štyroch číslic, počnúc od konca, a nahradiť každú takúto skupinu šestnástkovou číslicou.
Napríklad 11000110101001 sa zmení na (0011) (0001) (1010) (1001), čo dáva # 31A9 v hex. Správnosť odpovede sa potvrdí prekladom do desatinného zápisu: oboje čísla rovná 12713.

Tip 5: Ako previesť číslo na binárne

Vzhľadom na obmedzené použitie symbolov je binárny systém najvhodnejší na použitie v počítačoch a iných digitálnych zariadení... Existujú iba dva symboly: 1 a 0, takže toto systém používané pri práci registrov.

Inštrukcie

Binárne je polohové, t.j. pozícia každej číslice v čísle zodpovedá určitej číslici, ktorá sa rovná dvom zodpovedajúcej mocnine. Stupeň začína na nule a zvyšuje sa pri pohybe sprava doľava. Napríklad, číslo 101 sa rovná 1 * 2 ^ 0 + 0 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 2 = 5.

Zvážte desiatkové až binárne systém delením 2. číslo 25 do kódu musíte deliť 2, kým nezostane nula Zvyšky získané v každom kroku delenia sa zapisujú do reťazca sprava doľava, po zapísaní poslednej zvyškovej číslice to bude konečná