2.3. Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého

2.3.1. Prevod celých čísel z jednej číselnej sústavy do druhej

Je možné sformulovať algoritmus na preklad celých čísel zo systému s radixom p do systému so základňou q :

1. Vyjadrite základ novej číselnej sústavy v číslach pôvodnej číselnej sústavy a všetky následné úkony vykonajte v pôvodnej číselnej sústave.

2. Postupne vykonajte delenie daného počtu výsledných celočíselných podielov na základe novej číselnej sústavy, až kým nedostaneme podiel, ktorý je menší ako deliteľ.

3. Výsledné zvyšky, ktorými sú číslice čísla v novom číselnom systéme, by sa mali zosúladiť s abecedou nového číselného systému.

4. Vymyslite číslo v novej číselnej sústave, zapíšte si ho, počnúc posledným zvyškom.

Príklad 2.12. Preveďte desiatkové číslo 173 10 na osmičkovú číselnú sústavu:

Dostaneme: 173 10 = 255 8

Príklad 2.13. Preveďte desiatkové číslo 173 10 na hexadecimálny zápis:

Dostaneme: 173 10 = AD 16.

Príklad 2.14. Preveďte desatinné číslo 11 10 na binárny zápis. Je vhodnejšie znázorniť postupnosť akcií zvažovaných vyššie (algoritmus prekladu) takto:

Dostaneme: 11 10 = 1011 2.

Príklad 2.15. Niekedy je vhodnejšie zapísať si prekladový algoritmus vo forme tabuľky. Prevod desatinných 363 10 na binárne.

Rozdeľovač

Dostaneme: 363 10 = 101101011 2

2.3.2. Prevod zlomkových čísel z jedného číselného systému do druhého

Je možné sformulovať algoritmus na preklad správneho robi s radixom p do frakcie so zásadou q:

1. Základ novej číselnej sústavy je vyjadrený v číslach pôvodnej číselnej sústavy a všetky následné úkony sa vykonávajú v pôvodnej číselnej sústave.

2. Postupne násobte daný počet výsledných zlomkových častí súčinu na základe nového systému, kým sa zlomková časť súčinu nerovná nule alebo kým sa nedosiahne požadovaná presnosť reprezentácie čísla.

3. Výsledné celé časti súčinu, ktorými sú číslice čísla v novom číselnom systéme, by sa mali zosúladiť s novým abecedným číselným systémom.

4. Vytvorte zlomkovú časť čísla v novej číselnej sústave, počnúc celou časťou prvého súčinu.

Príklad 2.17. Preveďte 0,65625 10 na hexadecimálny zápis.

Získame: 0,65625 10 = 0,52 8

Príklad 2.17. Preveďte 0,65625 10 na hexadecimálny zápis.

	X 16

Dostaneme: 0,65625 10 = 0, A8 1

Príklad 2.18. Preveďte desatinné číslo 0,5625 10 na binárny zápis.

	X 2
	X 2
	X 2
	X 2

Dostaneme: 0,5625 10 = 0,1001 2

Príklad 2.19. Previesť desatinný zlomok na binárny zápis 0,7 10.

Je zrejmé, že tento proces môže pokračovať donekonečna, čím sa čoraz viac prejavujú znaky binárneho ekvivalentu čísla 0,7 10. V štyroch krokoch teda dostaneme číslo 0,1011 2 a v siedmich krokoch číslo 0,1011001 2, čo je presnejšia reprezentácia čísla 0,7 10 v binárnej číselnej sústave atď. Takýto nekonečný proces sa v určitom kroku preruší, keď sa usúdi, že sa dosiahla požadovaná presnosť reprezentácie čísel.

2.3.3. Preklad ľubovoľných čísel

Preklad ľubovoľných čísel, t.j. čísla obsahujúce celé číslo a zlomkové časti sa vykonávajú v dvoch fázach: celá časť sa preloží oddelene a zlomková časť sa preloží oddelene. V konečnom zázname výsledného čísla je celá časť oddelená od zlomkovej čiarky (bodky).

Príklad 2.20... Previesť binárne číslo 17,25 10.

Získame: 17,25 10 = 1 001,01 2

Príklad 2.21. Preveďte 124,25 10 na osmičkovú sústavu.

Dostaneme: 124,25 10 = 174,2 8

2.3.4. Prevod čísel zo základu 2 na základ 2 n a späť

Preklad celých čísel. Ak je základom q-árnej číselnej sústavy mocnina 2, potom prevod čísel z q-árnej číselnej sústavy na 2-árnu a naopak možno vykonať podľa jednoduchších pravidiel. Aby ste mohli zapísať celé binárne číslo v základe q = 2 n, potrebujete:

1. Rozdeľte binárne číslo sprava doľava do skupín po n číslic.

2. Ak posledná ľavá skupina obsahuje menej ako n číslic, potom musí byť doplnená naľavo nulami na požadovaný počet číslic.

Príklad 2.22. Preveďme číslo 101100001000110010 2 do osmičkovej číselnej sústavy.

Číslo rozdelíme sprava doľava na triády a pod každú z nich zapíšeme príslušnú osmičkovú číslicu:

Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 541062 8.

Príklad 2.23.Číslo 1000000000111110000111 2 sa prevedie do hexadecimálnej číselnej sústavy.

Číslo rozdelíme sprava doľava na tetrády a pod každú zapíšeme príslušné hexadecimálne číslo:

Dostaneme hexadecimálnu reprezentáciu pôvodného čísla: 200F87 16.

Preklad zlomkových čísel. Ak chcete napísať zlomkové binárne číslo v základe q = 2 n, potrebujete:

1. Rozdeľte binárne číslo zľava doprava do skupín po n číslic.

2. Ak posledná pravá skupina obsahuje menej ako n číslic, potom ju treba doplniť nulami sprava až po požadovaný počet číslic.

3. Každú skupinu považujte za n-bitové binárne číslo a zapíšte ho so zodpovedajúcou číslicou v základe q = 2 n.

Príklad 2.24.Číslo 0,10110001 2 prevedieme do osmičkovej číselnej sústavy.

Číslo rozdelíme zľava doprava na triády a pod každú z nich zapíšeme príslušnú osmičkovú číslicu:

Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 0,542 8.

Príklad 2.25.Číslo 0,100000000011 2 preložíme do hexadecimálnej číselnej sústavy. Číslo rozdelíme zľava doprava na tetrády a pod každú z nich zapíšeme príslušné hexadecimálne číslo:

Dostaneme hexadecimálnu reprezentáciu pôvodného čísla: 0,803 16

Preklad ľubovoľných čísel. Aby ste mohli zapísať ľubovoľné binárne číslo v základe q = 2 n, potrebujete:

1. Rozdeľte celú časť daného binárneho čísla sprava doľava a zlomkovú časť zľava doprava na skupiny po n číslic.

2. Ak je v poslednej ľavej a/alebo pravej skupine menej ako n číslic, musia byť doplnené nulami vľavo a/alebo vpravo až do požadovaného počtu číslic;

3. Každú skupinu považujte za n-bitové binárne číslo a zapíšte ho so zodpovedajúcou číslicou v základe q = 2 n

Príklad 2.26. Preveďme číslo 111100101,0111 2 do osmičkovej číselnej sústavy.

Celú a zlomkovú časť čísla rozdelíme na triády a pod každú z nich zapíšeme príslušnú osmičkovú číslicu:

Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 745,34 8.

Príklad 2.27.Číslo 11101001000,11010010 2 sa prevedie do hexadecimálnej číselnej sústavy.

Celú a zlomkovú časť čísla rozdelíme do zošitov a pod každý si zapíšeme príslušnú šestnástkovú číslicu:

Dostaneme hexadecimálnu reprezentáciu pôvodného čísla: 748, D2 16.

Prevod čísel z číselných sústav so základom q = 2n na binárne. Aby sa ľubovoľné číslo zapísané v základnej q = 2 n sústave previedlo do dvojkovej číselnej sústavy, musí byť každá číslica tohto čísla nahradená jej n-ciferným ekvivalentom v dvojkovej číselnej sústave.

Príklad 2.28.Preložme šestnástkové číslo 4АС35 16 do dvojkovej číselnej sústavy.

Podľa algoritmu:

Získame: 1001010110000110101 2.

Samoštúdium (odpovede)

2.38. Doplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké celé číslo v rôznych číselných sústavách.

binárne	Osmičkový	Desatinné	Hexadecimálne

2.39. Doplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké zlomkové číslo v rôznych číselných sústavách.

binárne	Osmičkový	Desatinné	Hexadecimálne

2.40. Vyplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké ľubovoľné číslo (číslo môže obsahovať celé aj zlomkové časti) v rôznych číselných sústavách.

binárne	Osmičkový	Desatinné	Hexadecimálne
			59, B

Ak chcete previesť čísla z desatinných s / s na akékoľvek iné, je potrebné rozdeliť desatinné číslo základom systému, do ktorého sa prenášajú, pri zachovaní zvyškov každého delenia. Výsledok sa tvorí sprava doľava. Delenie pokračuje, kým výsledok delenia nie je menší ako deliteľ.

Kalkulačka prevádza čísla z jednej číselnej sústavy do inej. Dokáže konvertovať čísla z binárnych na desiatkové alebo z desiatkových na šestnástkové, pričom ukazuje podrobný postup riešenia. Môžete jednoducho previesť číslo z trojnásobku na päťnásobok alebo dokonca zo sedemnásobku na sedemnásobok. Kalkulačka dokáže previesť čísla z ľubovoľnej číselnej sústavy na akúkoľvek inú.

Online kalkulačka: Prevádzajte čísla z jedného číselného systému do iného online

Vstupné Data

Zadajte číslo:

Jeho číselný systém binárne Ternárny Osmičkový Desatinné Hexadecimálne Binárne desiatkové číslo Iné Triádami Podľa zošitov ktoré? (číslo)

Preložiť do binárne Trojica Osmičkový Desatinné Hexadecimálne Binárne desiatkové číslo Ďalší ktoré? (číslo)

Metódy na preklad čísel z jedného číselného systému do druhého

Do programu Jednotná štátna skúška z informatiky zahŕňa niekoľko úloh súvisiacich s prenosom čísel z jedného systému do druhého. Typicky ide o konverziu medzi 8- a 16-člennými systémami a binárnymi systémami. Toto sú sekcie A1, O 11... Problémy sú ale aj s inými číselnými sústavami, ako napríklad v sekcii B7.

Na úvod si pripomeňme dve tabuľky, ktoré by bolo dobré vedieť naspamäť pre tých, ktorí si informatiku zvolia ako svoje budúce povolanie.

Výkonová tabuľka číslo 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Dá sa ľahko získať vynásobením predchádzajúceho čísla 2. Ak si teda nepamätáte všetky tieto čísla, zvyšok si ľahko zapamätáte z tých, ktoré si pamätáte.

Tabuľka binárnych čísel od 0 do 15 s hexadecimálnym zápisom:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Chýbajúce hodnoty sa tiež dajú ľahko vypočítať pridaním 1 k známym hodnotám.

Aritmetické operácie v dvojkovej číselnej sústave

Keď sa pridajú dve čísla rovné 1, v tomto bite sa získa 0 a 1 sa prenesie do najvýznamnejšieho bitu.

Preklad celého čísla

Začnime teda priamym prekladom do dvojkovej sústavy. Zoberme si rovnaké číslo 810 10. Toto číslo musíme rozšíriť na výrazy rovnajúce sa mocninám dvoch.

1. Hľadáme najbližšiu mocninu dvoch k 810, pričom ju neprekročíme. Toto je 2 9 = 512.
2. Odpočítaním 512 od 810 získate 298.
3. Opakujte kroky 1 a 2, kým nezostane 1 alebo 0.
4. Dostali sme to takto: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .

Potom existujú dva spôsoby, môžete použiť ktorýkoľvek z nich. Aké ľahké je vidieť, že v akejkoľvek číselnej sústave je jej základ vždy 10. Druhá mocnina základne bude vždy 100, kocka 1000. To znamená, že stupeň základu číselnej sústavy je 1 (jedna) a za ňou je toľko núl, koľko je stupňov.

Metóda 1: Usporiadajte 1 v tých kategóriách, ktoré sú indikátormi výrazov. V našom príklade sú to 9, 8, 5, 3 a 1. Na iných miestach budú použité nuly. Dostali sme teda binárne vyjadrenie čísla 810 10 = 1100101010 2. Jednotky sú na 9., 8., 5., 3. a 1. mieste, pričom sa počítajú sprava doľava od nuly.

Metóda 2: Pojmy napíšme ako mocniny dvoch pod seba, počnúc najväčšou.

810 =

Teraz spojme tieto kroky dohromady, keď sa vejár poskladá: 1100101010.

To je všetko. Po ceste sa jednoducho vyrieši aj problém „koľko jednotiek je v binárnom zápise čísla 810?“.

Odpoveď je toľko, koľko výrazov (mocniny dvoch) je v takomto znázornení. 810 ich má 5.

Teraz je príklad jednoduchší.

Preložme číslo 63 do 5-árnej číselnej sústavy. Najbližšia mocnina 5 až 63 je 25 (štvorec 5). Kocka (125) už bude veľa. To znamená, že 63 leží medzi štvorcom 5 a kockou. Potom vyberieme koeficient pre 5 2. Toto je 2.

Získame 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

A nakoniec veľmi jednoduché preklady medzi 8- a 16-člennými systémami. Keďže ich základom je mocnina dvojky, preklad sa vykoná automaticky, jednoducho nahradením číslic ich binárnym vyjadrením. V osmičkovej sústave je každá číslica nahradená tromi binárnymi číslicami a v šestnástkovej sústave štyrmi. V tomto prípade sú povinné všetky úvodné nuly, okrem najvýznamnejšej číslice.

Prevod čísla 547 8 do dvojkovej sústavy.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

Ďalší, napríklad 7D6A 16.

7D6A16=	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	A

Preložme si do šestnástkovej sústavy číslo 7368. Najprv čísla napíšte po troch a potom ich od konca rozdeľte na štyri: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Preložme číslo C25 16 do 8-člennej sústavy. Najprv čísla napíšeme po štyroch a potom ich rozdelíme na tri od konca: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Teraz sa pozrime na prevod späť na desatinné číslo. Nepredstavuje prácu, hlavnou vecou je nemýliť sa vo výpočtoch. Číslo rozložíme na polynóm so stupňami základne a koeficientmi na nich. Potom všetko rozmnožíme a pridáme. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 = 474.

Preklad záporných čísel

Tu musíte vziať do úvahy, že číslo bude zastúpené v doplnkovom kóde. Na preklad čísla do doplnkového kódu potrebujete poznať konečnú veľkosť čísla, teda do čoho ho chceme zapísať – do bajtu, do dvoch bajtov, do štyroch. Najvýznamnejší bit čísla znamená znamienko. Ak je 0, potom je číslo kladné, ak 1, potom záporné. Vľavo je číslo doplnené znakovou číslicou. Nepodpísané ( nepodpísané ) neberieme do úvahy čísla, sú vždy kladné a najvýznamnejší bit v nich je použitý ako informačný.

Ak chcete previesť záporné číslo na binárny doplnkový kód, musíte previesť kladné číslo do binárneho systému, potom zmeniť nuly na jednotky a jednotky na nuly. Potom pridajte 1 k výsledku.

Preveďme teda číslo -79 do dvojkovej sústavy. Číslo nám zaberie jeden bajt.

Preveďte 79 na binárne, 79 = 1001111. Pridajte nuly doľava na veľkosť bajtu, 8 bitov, dostaneme 01001111. Zmeňte 1 na 0 a 0 na 1. Dostaneme 10110000. K výsledku pripočítame 1, dostaneme odpoveď 10110001.

Cestou odpovedáme na otázku skúšky " koľko jednotiek je v binárnom vyjadrení čísla -79?».

Odpoveď je 4.

Pridaním 1 k prevrátenej hodnote čísla sa odstráni rozdiel medzi zobrazeniami +0 = 00000000 a -0 = 11111111. V kóde doplnku dvoch budú napísané rovnako 00000000.

Preklad zlomkových čísel

Zlomkové čísla sa prekladajú opačne ako pri delení celých čísel základom, o ktorom sme uvažovali na úplnom začiatku. Teda pomocou sekvenčného násobenia novou základňou, zbieraním celých častí. Zhromažďujú sa celé časti získané počas násobenia, ale nezúčastňujú sa nasledujúcich operácií. Násobia sa iba zlomky. Ak je pôvodné číslo väčšie ako 1, potom sa celá a zlomková časť preložia oddelene a potom sa zlepia.

Prevod čísla 0,6752 na binárnu sústavu.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

Proces môže pokračovať dlhú dobu, kým nedostaneme všetky nuly v zlomkovej časti alebo sa nedosiahne požadovaná presnosť. Zastavme sa zatiaľ pri 6. značke.

Ukazuje sa, že 0,6752 = 0,101011.

Ak bolo číslo 5,6752, potom v binárnom systéme to bude 101,101011.

Javascript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Ak chcete vykonávať výpočty, musíte povoliť ovládacie prvky ActiveX!

Metódy prevodu čísel z jedného číselného systému do druhého.

Preklad čísel z jedného pozičného číselného systému do druhého: preklad celých čísel.

Na prevod celého čísla z jednej číselnej sústavy so základom d1 na druhú so základom d2 je potrebné toto číslo a výsledné kvocienty postupne deliť základom d2 novej sústavy, až kým nebude podiel menší ako základ d2. Posledným kvocientom je najvýznamnejšia číslica čísla v novom systéme zápisu so základom d2 a nasledujúce číslice sú zvyšky delenia, zapísané v opačnom poradí ako pri ich prijatí. Vykonajte aritmetické operácie v číselnej sústave, v ktorej je zapísané preložené číslo.

Príklad 1. Preveďte číslo 11 (10) do binárnej číselnej sústavy.

Odpoveď: 11 (10) = 1011 (2).

Príklad 2. Preveďte číslo 122 (10) na osmičkovú číselnú sústavu.

Odpoveď: 122 (10) = 172 (8).

Príklad 3. Preveďte číslo 500 (10) do hexadecimálnej číselnej sústavy.

Odpoveď: 500 (10) = 1F4 (16).

Prevod čísel z jedného pozičného číselného systému do druhého: preklad pravidelných zlomkov.

Na prevod pravidelného zlomku z číselnej sústavy so základom d1 do sústavy so základom d2 je potrebné postupne vynásobiť pôvodný zlomok a zlomkové časti výsledných produktov základom novej číselnej sústavy d2. Správny zlomok čísla v novej číselnej sústave so základom d2 sa vytvorí vo forme celých častí výsledných súčinov, počnúc prvou.
Ak sa ukáže, že preklad je zlomkom vo forme nekonečnej alebo divergentnej série, proces môže byť dokončený, keď sa dosiahne požadovaná presnosť.

Pri preklade zmiešaných čísel je potrebné preložiť oddelene celé číslo a zlomkovú časť do novej sústavy podľa pravidiel pre preklad celých čísel a pravidelných zlomkov a následne oba výsledky spojiť do jedného zmiešaného čísla v novej číselnej sústave.

Príklad 1. Preveďte číslo 0,625 (10) do binárnej číselnej sústavy.

Odpoveď: 0,625 (10) = 0,101 (2).

Príklad 2. Preveďte číslo 0,6 (10) do osmičkovej číselnej sústavy.

Odpoveď: 0,6 (10) = 0,463 (8).

Príklad 2. Preveďte číslo 0,7 (10) do hexadecimálnej číselnej sústavy.

Odpoveď: 0,7 (10) = 0, B333 (16).

Prevádza binárne, osmičkové a hexadecimálne čísla na desiatkový zápis.

Ak chcete previesť číslo P-árnej sústavy na desatinné číslo, musíte použiť nasledujúci vzorec rozšírenia:
аnan-1 ... а1а0 = аnPn + аn-1Pn-1 + ... + а1P + a0.

Príklad 1. Preveďte číslo 101.11 (2) do desiatkovej číselnej sústavy.

Odpoveď: 101,11 (2) = 5,75 (10).

Príklad 2. Preveďte číslo 57,24 (8) do desiatkovej číselnej sústavy.

Odpoveď: 57,24 (8) = 47,3125 (10).

Príklad 3. Preveďte číslo 7A, 84 (16) do desiatkovej číselnej sústavy.

Odpoveď: 7A, 84 (16) = 122,515625 (10).

Prevod osmičkových a hexadecimálnych čísel na binárne a naopak.

Ak chcete previesť číslo z osmičkovej číselnej sústavy na binárne, každá číslica tohto čísla musí byť zapísaná trojciferným binárnym číslom (triáda).

Príklad: napíšte číslo 16,24 (8) v binárnom zápise.

Odpoveď: 16,24 (8) = 1110,0101 (2).

Pre spätný preklad binárneho čísla do osmičkovej číselnej sústavy je potrebné rozdeliť pôvodné číslo na trojice naľavo a napravo od čiarky a reprezentovať každú skupinu ako číslicu v osmičkovej číselnej sústave. Extrémne neúplné triády sú vyplnené nulami.

Príklad: Zapíšte si číslo 1110,0101 (2) v osmičkovom zápise.

Odpoveď: 1110,0101 (2) = 16,24 (8).

Ak chcete previesť číslo zo hexadecimálnej číselnej sústavy na binárne, každá číslica tohto čísla musí byť zapísaná štvorciferným binárnym číslom (tetradou).

Príklad: zapíšte číslo 7A, 7E (16) v binárnom zápise.


Odpoveď: 7A, 7E (16) = 1111010,0111111 (2).

Poznámka: Úvodné nuly vľavo pre celé čísla a vpravo pre zlomky sa nepíšu.

Pre spätný preklad binárneho čísla do hexadecimálnej číselnej sústavy je potrebné rozdeliť pôvodné číslo na tetrády naľavo a napravo od čiarky a reprezentovať každú skupinu ako číslicu v hexadecimálnej číselnej sústave. Extrémne neúplné triády sú vyplnené nulami.

Príklad: zapíšte si číslo 1111010,0111111 (2) v šestnástkovej sústave.

Pozrime sa na jednu z najdôležitejších tém v informatike -. V školských osnovách sa odhaľuje skôr „skromne“, s najväčšou pravdepodobnosťou pre nedostatok hodín na to určených. Vedomosti o tejto téme, najmä o preklad číselných sústav, sú predpokladom úspešného vykonania Jednotnej štátnej skúšky a prijatia na vysoké školy príslušných fakúlt. Nižšie sú podrobne diskutované také pojmy ako pozičné a nepozičné číselné sústavy, sú uvedené príklady týchto číselných sústav, pravidlá prevodu celých desatinných čísel, pravidelných desatinných zlomkov a zmiešaných desatinných čísel na akúkoľvek inú číselnú sústavu, prevod čísel z ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú, prevod z osmičkových a šestnástkových číselných sústav na dvojkové číslo sú prezentované. Na skúškach je na túto tému veľké množstvo problémov. Schopnosť ich riešenia je jednou z požiadaviek na uchádzačov. Už čoskoro: Ku každej téme sekcie budú okrem podrobného teoretického materiálu prezentované takmer všetky možné možnosti úlohy pre samoukov. Okrem toho budete mať možnosť bezplatne stiahnuť kompletne hotové podrobné riešenia týchto problémov zo služby hostenia súborov, ktoré ilustrujú rôzne spôsoby, ako získať správnu odpoveď.

pozičné číselné sústavy.

Nepozičné číselné sústavy- číselné sústavy, v ktorých kvantitatívna hodnota číslice nezávisí od jej umiestnenia v čísle.

Medzi nepozičné číselné sústavy patrí napríklad rímska, kde sú namiesto číslic latinské písmená.

ja	1 (jeden)
V	5 (päť)
X	10 (desať)
L	50 (päťdesiat)
C	100 (sto)
D	500 (päťsto)
M	1000 (tisíc)

Tu písmeno V znamená 5 bez ohľadu na jeho umiestnenie. Za zmienku však stojí, že hoci je rímska číselná sústava klasickým príkladom nepozičnej číselnej sústavy, nie je úplne nepozičná, pretože menšie číslo pred väčším sa od neho odpočíta:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

Pozičné číselné sústavy.

Pozičné číselné sústavy- číselné sústavy, v ktorých kvantitatívna hodnota číslice závisí od jej umiestnenia v čísle.

Napríklad, ak hovoríme o desiatkovej sústave, potom v čísle 700 číslo 7 znamená "sedemsto", ale rovnaké číslo v čísle 71 znamená "sedem desiatok" a v čísle 7020 - "sedem tisíc".

Každý pozičný číselný systém má svoje základňu... Ako základ sa vyberie prirodzené číslo väčšie alebo rovné dvom. Rovná sa počtu číslic použitých v tejto číselnej sústave.

Napríklad:
• binárne- pozičný číselný systém so základom 2.
• kvartér- pozičný číselný systém so základom 4.
• Päťnásobný- pozičný číselný systém so základom 5.
• Osmičkový- pozičný číselný systém so základom 8.
• Hexadecimálne- pozičný číselný systém so základom 16.

Na úspešné vyriešenie úloh na tému „Číselné sústavy“ musí študent vedieť naspamäť korešpondenciu dvojkových, desiatkových, osmičkových a šestnástkových čísel do 16 10:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Je užitočné vedieť, ako sa v týchto číselných sústavách získavajú čísla. Môžete hádať, že v osmičke, šestnástkovej sústave, trojke a iných pozičné číselné sústavy všetko sa deje podobne ako v desiatkovej sústave, na ktorú sme zvyknutí:

K číslu sa pridá jedna a získa sa nové číslo. Ak sa miesto jednotiek rovná základu číselnej sústavy, zväčšíme počet desiatok o 1 atď.

Tento „jeden prechod“ je to, čo väčšinu študentov desí. V skutočnosti je všetko celkom jednoduché. Prechod nastane, ak sa bit jedničky rovná základ číselnej sústavy, zvýšime počet desiatok o 1. Mnohí, pamätajúc na starú dobrú desiatkovú sústavu, sa odrazu zamotajú v číslici a v tomto prechode, pretože desiatkové a napríklad dvojkové desiatky sú rozdielne veci.

Vynaliezaví študenti teda majú „svoje vlastné techniky“ (prekvapivo ... fungujúce), keď vyplňujú napríklad pravdivostné tabuľky, ktorých prvé stĺpce (hodnoty premenných) sú v skutočnosti vyplnené binárnymi číslami vo vzostupnom poradí. .

Pozrime sa napríklad na zadávanie čísel osmičkový systém: K prvému číslu (0) pripočítame 1, dostaneme 1. Potom pripočítame 1 k 1, dostaneme 2 atď. do 7. Ak k 7 pripočítame jednotku, dostaneme číslo, ktoré sa rovná základu číselnej sústavy, tzn. 8. Potom je potrebné zväčšiť miesto desiatok o jeden (dostaneme osmičkovú desiatku - 10). Ďalej sú tu samozrejme čísla 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...

Pravidlo prekladu z jedného číselného systému do druhého.

1 Prevod desiatkových celých čísel do akejkoľvek inej číselnej sústavy.

Číslo je potrebné vydeliť nový radix... Prvý zvyšok delenia je prvá najmenšia platná číslica nového čísla. Ak je podiel delenia menší alebo rovný novej základni, potom sa musí (podiel) znova rozdeliť na novú základňu. V delení treba pokračovať, kým nezískame kvocient menší ako nový základ. Toto je najvýznamnejšia číslica nového čísla (treba si uvedomiť, že napríklad v šestnástkovej sústave sú po 9 písmená, t. j. ak vám zostane 11, musíte to napísať ako B).

Príklad („delenie s rohom“): Preložme číslo 173 10 do osmičkovej číselnej sústavy.

Takže 173 10 = 255 8

2 Prevod správnych desatinných zlomkov do akejkoľvek inej číselnej sústavy.

Číslo je potrebné vynásobiť novým základom číselnej sústavy. Číslica, ktorá prešla do celej časti, je najvýznamnejšou číslicou zlomkovej časti nového čísla. na získanie ďalšej číslice sa musí zlomková časť výsledného súčinu opäť vynásobiť novým základom číselnej sústavy, kým nedôjde k prechodu na celú časť. Pokračujeme v násobení, kým sa zlomková časť nerovná nule alebo kým nedosiahneme presnosť špecifikovanú v úlohe („...počítajte s presnosťou, napríklad na dve desatinné miesta“).

Príklad: Preložme číslo 0,65625 10 do osmičkovej číselnej sústavy.