Prevod čísel z hexadecimálneho na osmičkový

Ak chcete previesť číslo z hexadecimálneho na osmičkové, postupujte takto:

1. Je potrebné reprezentovať toto číslo v binárnej sústave.

2. Potom rozdeľte výsledné číslo v binárnej sústave na triády a preveďte ho na osmičkovú sústavu.

napríklad:

1.7 Algoritmus na prevod regulárnych zlomkov z ľubovoľnej číselnej sústavy na desatinnú sústavu

Prevod čísla na desatinnú sústavu ZO, Celé aj zlomkové, zapísané v systéme q-ary, sa vykonáva pomocou rozšírenia čísla v základe podľa vzorca 1 (pozri časť 1.2).

Na prevod bežných zlomkov však môžete použiť nasledujúcu metódu:

1. Číslica najmenej významnej číslice zlomku 0, A qdeliť základňou q... Do výsledného kvocientu pridajte číslicu nasledujúcej (staršej) číslice čísla 0, A q.

2. Prijatá suma by sa mala opäť vydeliť číslom q a znova pridajte ďalšiu číslicu čísla.

3. Robte to, kým sa nepridá najvýznamnejšia číslica zlomku.

4. Prijaté množstvo vydelte číslom q a k výsledku pridáme čiarku a celé číslo.

Napríklad:Preložme zlomok do sústavy desatinných čísel:

a).	0,1101 2	b).	0,356 8
	1/2 + 0 = 0,5		6/8+5 = 5,75
	0,5/2 + 1 = 1,25		5,75/8 + 3 = 3,71875
	1,25/2 + 1 = 1,625		3,71875/8 = 0,46484375
	1,625/2 = 0,8125
Odpoveď: 0,1101 2 = 0,8125 10	Odpoveď: 0,356 8 = 0,46484375 10

1.8 Algoritmus na prevod správnych desatinných zlomkov na akýkoľvek iný číselný systém

1. Vynásobte dané číslo novým základom r.

2. Celá časť výsledného produktu je najvýznamnejšia číslica požadovanej frakcie.

3. Frakčná časť výsledného produktu sa opäť vynásobí r a celá časť výsledku sa považuje za ďalšiu číslicu požadovaného zlomku.

4. Pokračujte v operáciách, kým sa zlomková časť nerovná nule alebo kým sa nedosiahne požadovaná presnosť.

5. Maximálna absolútna chyba prekladu čísla D sa rovná q - (k +1) / 2, kde k je počet desatinných miest.

Napríklad:Prevod desatinného 0,375 na binárny, ternárny a hexadecimálny notačný systém. Preklad by sa mal vykonať s presnosťou na tretie desatinné miesto.

Napríklad:Preložme číslo 0,36 10 do binárnych, osmičkových a hexadecimálnych systémov:

Na zápis je vhodné použiť nasledujúci formulár:

Preklad do Preklad do Preklad do

binárne s / n. osmičkový s / n. hexadecimálne

0,	x 36		0,	x 36		0,	x 36
	x 72		x 88		x 76
	x 44		x 04		x 16
	x 88		x 32		x 56
	x 76		x 46		x 96
	x 52		x 68		x 36

0,36 10 \u003d 0,010111 2 s limitujúcou absolútnou chybou (2 -7) / 2 \u003d 2 -8

0,36 10 \u003d 0,270235 8 s maximálnou absolútnou chybou
(8 -7)/2=2 -22

0,36 10 \u003d 0,5C28F5 16 s maximálnou absolútnou chybou
(16 -7)/2=2 -29

Pre čísla, ktoré majú celé aj zlomkové časti, sa prenos z desatinného číselného systému do druhého uskutočňuje osobitne pre celé a zlomkové časti podľa vyššie uvedených pravidiel.

1.9 Rozvoj číslic v pozičných číselných sústavách

V každej číselnej sústave sú čísla usporiadané podľa ich významu: 1 je väčšie ako 0, 2 je väčšie ako 1 atď.

Akýkoľvek systém pozičných čísel je založený na rovnakých princípoch konštrukcie a prechodu od najnižšej k najvyššej číslici.

Zvážte vývoj číslice v systéme pozičných čísel.

Posunom figúry sa nazýva nahradenie nasledujúcou najväčšou (pridaním jednej).

V desatinnej notácii je postup číslic nasledovný:

Opäť sme sa dostali na číslo 9, takže existuje prechod na vyššiu číslicu, ale v pozícii 1. číslice je už číslica 1, preto postupuje aj číslica 1 prvej číslice, t.j. 1 + 1 \u003d 2 (dva desiatky). Čísla teda posúvame vpred, až kým sa najvýznamnejšia číslica v číselnej sústave nezobrazí na prvej číslici (v našom príklade je to 9), teraz sa uskutoční prechod na ďalšiu číslicu.

Uvažujme teraz o postupe číslic v ternárnej číselnej sústave, t.j. q \u003d 3 (používajú sa číslice 0, 1, 2) a najvýznamnejšia číslica je 2.

	0+1	1+1
2+1	10+1	11+1
12+1	20+1	21+1
22+1	100+1	101+1
102+1	110+1	111+1
atď.

V živote používame systém desatinných čísel, pravdepodobne preto, že odpradávna sa počítali na prstoch a ako viete, na rukách a nohách je desať prstov. Aj keď v Číne dlho používali systém päťnásobného čísla.

Počítače používajú binárny systém, pretože sa na jeho implementáciu používajú technické zariadenia s dvoma stabilnými stavmi (žiadny prúd - 0; prúd je 1 alebo nemagnetizovaný - 0; magnetizovaný - 1 atď.). Používanie binárneho číselného systému vám tiež umožňuje používať aparát boolovskej algebry (pozri časť 2) na vykonávanie logických transformácií informácií. Binárna aritmetika je oveľa jednoduchšia ako desatinná, ale jej nevýhodou je rýchly nárast počtu číslic potrebných na zápis čísel.

Napríklad: Posuňme číslice v binárnej číselnej sústave, kde q \u003d 2, (používajú sa číslice 0, 1) najvýznamnejšia číslica 1:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 atď.

Ako vidíte na príklade, tretie číslo v rade sa už posunulo o jednu číslicu vyššie, t. sa uskutočnili (ak to bolo desatinné miesto) „desiatky“. Piate číslo je miestom „stotín“, deviate číslo je miestom „tisícov“ atď. V desiatkovej sústave je prechod na inú číslicu oveľa pomalší. Binárny systém je vhodný pre počítače, ale pre ľudí je nepohodlný pre svoju ťažkopádnosť a neobvyklé zaznamenávanie.

Prevod čísel z desatinného čísla na binárny a naopak sa vykonáva programami v počítači. Aby sme však mohli profesionálne pracovať a používať počítač, musí sa rozumieť slovu stroje. Za týmto účelom boli vyvinuté osmičkové a hexadecimálne systémy.

Aby bolo možné ľahko pracovať s týmito systémami, je potrebné naučiť sa prekladať čísla z jedného systému do druhého a naopak, ako aj vykonávať najjednoduchšie operácie s číslami - sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.

1.10 Vykonávanie aritmetických operácií v systémoch pozičných čísel

Pravidlá vykonávania základných aritmetických operácií v desatinnej sústave sú dobre známe - jedná sa o sčítanie, odčítanie, násobenie stĺpcov a delenie uhlov. Tieto pravidlá platia pre všetky ostatné systémy pozičných čísel. Iba tabuľky sčítania a násobenia pre každý systém sú odlišné.

Aritmetické operácie v systémoch pozičných čísel sa vykonávajú podľa všeobecných pravidiel. Je len potrebné pamätať na to, že prevod na ďalšiu číslicu počas sčítania a výpožička od najvýznamnejšej číslice počas odčítania sú určené hodnotou základne číselného systému.

Pri vykonávaní aritmetických operácií je potrebné najskôr znížiť počet zastúpených v rôznych číselných systémoch na rovnakú základňu.

Dodatok

Tabuľky sčítania sa dajú ľahko vytvoriť pomocou pravidla počítania. Pri sčítaní sa čísla sčítajú cez číslice a ak dôjde k prebytku, prevedie sa to doľava na ďalšiu číslicu.

Tabuľka 1.4

Binárny prírastok:

+

Tabuľka 1.5

Oktávový prírastok

+

Tabuľka 1.6

Hexadecimálne doplnenie

+

A

B

C.

D

E

F

A

B

C.

D

E

F

A

B

C.

D

E

F

A

B

C.

D

E

F

A

B

C.

D

E

F

A

B

C.

D

E

F

A

B

C.

D

E

F

A

B

C.

D

E

F

A

B

C.

D

E

F

A

B

C.

D

E

F

A

B

C.

D

E

F

A

A

B

C.

D

E

F

B

B

C.

D

E

F

1A

C.

C.

D

E

F

1A

1B

D

D

E

F

1A

1B

1C

E

E

F

1A

1B

1C

1D

F

F

1A

1B

1C

1D

1E

Napríklad:

a) Pridajte čísla 1111 2 a 110 2:

c) Pridajte čísla F 16 a 6 16:

b) Pridajte čísla 17 8 a 6 8:

d) Pridajte dve čísla: 17 8 a 17 16.

Pomocou binárneho systému znížte číslo 17 16 na základňu 8

17 16 \u003d 10111 2 \u003d 27 8. Urobme osmičkový prírastok:

d ) Pridajme 2 čísla. 10000111 2 + 89 10

Metóda 1: Preložme číslo 10000111 2 na desatinný zápis.

10000111 2 = 1*2 7 + 1*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 =128 + 4 + 2 + 1 = 135 10

135 10 + 89 10 = 224 10

Metóda 2: Číslo 89 10 preložíme do binárnej sústavy akýmkoľvek spôsobom.

89 10 = 1011001 2

Sčítajme tieto čísla.

Pre overenie preložme toto číslo do desatinnej notácie.

11100000 2 = 1*2 7 + 1*2 6 +1*2 5 = 128+64+32 = 224 10

Odčítanie

Nájdite rozdiel medzi číslami:

a) 655 8 a 367 8 b) F5 16 a 6 16

Násobenie

Tabuľka 1.7

Binárne násobenie:

*

Tabuľka 1.8

Osmičkové násobenie

*

Účel služby... Táto služba je určená na online preklad čísel z jedného číselného systému do druhého. Za týmto účelom vyberte základňu systému, z ktorého chcete číslo preložiť. Celé čísla aj čísla môžete zadať čiarkou.

Číslo

Preklad z číselného systému 10 2 8 16. Preveďte na číselný systém 2 10 8 16.
Pre zlomkové čísla použite 2 3 4 5 6 7 8 desatinných miest.

Môžete zadať celé čísla, napríklad 34, aj zlomkové čísla, napríklad 637.333. Pre zlomkové čísla je presnosť prekladu uvedená za desatinnou čiarkou.

S touto kalkulačkou sa tiež používa:

Spôsoby reprezentácie čísel

Binárne (binárne) čísla - každá číslica znamená hodnotu jedného bitu (0 alebo 1), najvýznamnejší bit je vždy napísaný vľavo, za číslom je písmeno „b“. Pre väčšie pohodlie môžu byť tetrády oddelené medzerami. Napríklad 1010 0101b.
Hexadecimálne (hexadecimálne) čísla - každá tetrada je reprezentovaná jedným znakom 0 ... 9, A, B, ..., F. Takéto znázornenie je možné označiť rôznymi spôsobmi, tu iba znak „h“ za poslednou hexadecimálnou číslicou sa používa. Napríklad A5h. V programových textoch možno rovnaké číslo označiť ako 0xA5 a ako 0A5h, v závislosti od syntaxe programovacieho jazyka. Na rozdiel od čísel a symbolických mien je naľavo od najvýznamnejšej šestnástkovej číslice predstavovanej písmenom pridaná malá nula (0).
Desatinné miesto (desatinné) čísla - každý bajt (slovo, dvojslovo) je reprezentovaný obyčajným číslom a desatinné vyjadrenie (písmeno „d“) je zvyčajne vynechané. Bajt z predchádzajúcich príkladov má desatinnú hodnotu 165. Na rozdiel od binárneho a hexadecimálneho zápisu je desatinné ťažké mentálne určiť význam každého bitu, čo niekedy musíte urobiť.
Osmičkový (osmičkové) čísla - každá trojica bitov (rozdelenie začína najmenej významnými) sa píše ako číslica 0–7, na koniec sa vloží znak „o“. Rovnaké číslo bude napísané ako 245 °. Osmičková sústava je nepohodlná, pretože bajt nemožno rozdeliť rovnakým spôsobom.

Algoritmus na preklad čísel z jedného číselného systému do druhého

Konverzia desatinných celých čísel na akýkoľvek iný číselný systém sa vykonáva vydelením čísla základom nového číselného systému, kým zvyšok neobsahuje číslo menšie ako základ nového číselného systému. Nové číslo sa napíše ako zvyšok divízie, počnúc posledným.
Preklad správneho desatinného zlomku do iného PSS sa vykonáva vynásobením iba zlomkovej časti čísla základom nového číselného systému, kým všetky nuly nezostanú vo zlomkovej časti alebo kým sa nedosiahne špecifikovaná presnosť prekladu. V dôsledku vykonania každej operácie násobenia sa vytvorí jedna číslica nového čísla, počnúc najstarším.
Preklad nesprávneho zlomku sa vykonáva podľa pravidiel 1 a 2. Celá a zlomková časť sú napísané spolu a sú oddelené čiarkou.

Príklad č.



Preklad z číselného systému 2 až 8 na 16.
Tieto systémy sú násobkom dvoch, preto sa preklad uskutočňuje pomocou korešpondenčnej tabuľky (pozri nižšie).

Ak chcete previesť číslo z binárneho číselného systému na osmičkové (hexadecimálne), je potrebné rozdeliť binárne číslo z čiarky vpravo a vľavo na skupiny troch (štyroch - pre hexadecimálne) číslice, ktoré doplnia krajné skupiny o v prípade potreby nuly. Každá skupina je nahradená zodpovedajúcou osmičkovou alebo hexadecimálnou číslicou.

Príklad č. 1010111010.1011 \u003d 1.010.111.010.101.1 \u003d 1272,51 8
tu 001 \u003d 1; 010 \u003d 2; 111 \u003d 7; 010 \u003d 2; 101 \u003d 5; 001 \u003d 1

Pri prevode na hexadecimálny systém je potrebné rozdeliť číslo na časti, každá so štyrmi číslicami, pri dodržaní rovnakých pravidiel.
Príklad č. 1010111010,1011 \u003d 10.1011.1010,1011 \u003d 2B12,13 HEX
tu 0010 \u003d 2; 1011 \u003d B; 1010 \u003d 12; 1011 \u003d 13

Prepočet čísel z 2, 8 a 16 na desatinnú číselnú sústavu sa vykonáva rozdelením čísla na samostatné a vynásobením základom systému (z ktorého sa číslo preloží) zvýšeným na mocninu zodpovedajúcu jeho radovému číslu v čísle, ktoré sa má preložiť. V tomto prípade sú čísla očíslované naľavo od desatinnej čiarky (prvé číslo je označené číslom 0) s rastúcimi číslami a napravo s klesajúcimi číslami (t.j. so záporným znamienkom). Výsledky sa spočítajú.

Príklad č.
Príklad prevodu z binárneho systému na systém s desatinnými číslami.

1010010.101 2 \u003d 1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 - 2 + 1 2 -3 \u003d
\u003d 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 \u003d 82,625 10 Príklad prepočtu z osmičkovej na desatinnú číselnú sústavu. 108,5 8 \u003d 1 * 8 2 + 0 8 1 + 8 8 0 + 5 8 -1 \u003d 64 + 0 + 8 + 0,625 \u003d 72,625 10 Príklad prepočtu zo šestnástkovej na desatinnú číselnú sústavu. 108,5 16 \u003d 1 16 2 + 0 16 1 + 8 16 0 + 5 16 -1 \u003d 256 + 0 + 8 + 0,3125 \u003d 264,3125 10

Opäť zopakujeme algoritmus na prevod čísel z jedného číselného systému na druhý PSS

1. Z desiatkového číselného systému:
   • vydeliť číslo základňou číselného systému, ktorý sa má preložiť;
   • nájdite zvyšok rozdelenia celočíselnej časti čísla;
   • zapíšte všetky zvyšky divízie v opačnom poradí;
2. Systém binárnych čísel
   • Ak chcete previesť na systém desatinných čísel, musíte nájsť súčet súčinov základu 2 o zodpovedajúci stupeň číslice;
   • Ak chcete previesť číslo na osmičkové, musíte ho rozdeliť na triády.
     Napríklad 1 000 110 \u003d 1 000 110 \u003d 106 8
   • Ak chcete previesť číslo z binárneho na hexadecimálne číslo, musíte ho rozdeliť do skupín so 4 číslicami.
     Napríklad 1000110 \u003d 100 0110 \u003d 46 16

Pozičný systém sa nazýva, pre ktoré význam alebo váha číslice závisí od jej umiestnenia v čísle. Vzťah medzi systémami je vyjadrený v tabuľke.
Tabuľka korešpondencie číselného systému:

Binárne SS	Hexadecimálna SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C.
1101	D
1110	E
1111	F

Osmičková prevodná tabuľka

Metodika prepočtu čísel do rôznych systémov výpočtu

Prevod celých čísel na desatinné čísla do osmičkovej, hexadecimálnej a binárnej sústavysa vykonáva postupným vydelením desatinného čísla základom systému, do ktorého sa preloží, až kým kvocient nebude menší ako tento základ. Číslo v novom systéme je zapísané vo forme rozdelenia zvyškov počnúc posledným kvocientom.

a) Konvertujte číslo 19 na binárny číselný systém.

Takže 19 \u003d 10011 2

b) Preložiť 181 10 -\u003e číselný systém „8“

Výsledok. 181 10 -\u003e 265 8

c) Preložiť číselný systém 622 10 - „16“

Prevod čísel na desatinné miesta sa vykonáva zostavením výkonovej série so základňou systému, z ktorého je číslo preložené. Potom sa vypočíta hodnota súčtu.

a) Preveďte 10101101,1012 na systém desatinných čísel

10101101.101 2 = 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 173.625 10

b) Prepočítajte 703 048 na desatinný zápis

703.048 = 7 82+ 0 81+ 3 80+ 0 8-1+ 4 8-2 = 451,062510

c) Preveďte B2E.416 na desatinné miesto

B2E.4 16 \u003d 11 16 2 + 2 16 1 + 14 16 0 + 4 16 -1 \u003d 2862,25 10

Pre previesť osmičkové alebo hexadecimálne číslo na binárnestačí nahradiť každú číslicu tohto čísla zodpovedajúcim trojciferným binárnym číslom (triáda) (tabuľka 1) alebo štvormiestnym binárnym číslom (tetrade) (tabuľka 1), pričom zbytočné nuly vyradíme z najvýznamnejších a najmenej významných číslice.

Pre prechod z binárneho systému na osmičkový alebo hexadecimálny systémpostupujte nasledovne: pohybom z bodu doľava a doprava rozdeľte binárne číslo na skupiny troch (štyroch) číslic, pričom podľa potreby doplňte krajnú ľavú a pravú skupinu nulami. Potom sa triáda (tetrad) nahradí zodpovedajúcou osmičkovou (hexadecimálnou) číslicou.

Prevod z osmičkového na hexadecimálny a naopakuskutočňované prostredníctvom binárneho systému pomocou triád a tetrad.

Aritmetické operácie

Dodatok

Vykonáva sa rovnakým spôsobom ako v sústave desatinných čísel.

Odčítanie

Odčítanie čísel v 2 a 8 SS sa vykonáva podľa rovnakých pravidiel ako v desatinnom čísle. Ak je odpočítané väčšie ako odpočítané, určí sa rozdiel medzi väčším a menším počtom a pred neho sa umiestni znamienko mínus

Násobenie

Operácia násobenia sa vykonáva rovnakým spôsobom ako v sústave desatinných čísel.

Priamy kód

Používa sa pri násobení a delení čísel a zvyšok kódov slúži na nahradenie odčítania sčítaním.

0,011 je kladné číslo

1,011 je záporné číslo

Vykonávaním operácie násobenia alebo deleniapridajú sa dve binárne zlomky so znamienkami bez ohľadu na zlomkové časti

Opačný kód

Používa sa na nahradenie operácie odčítania sčítaním

Pre kladné čísla: obraz pravidelného binárneho zlomku je rovnaký v obrátenom aj vpred

Ak chcete napísať záporný pravidelný binárny zlomok do reverzného kódu, musíte nahradiť nuly jednotkami a naopak a naľavo od čiarky namiesto –0 vložte 1

To znamená, –0,0101 \u003d 1,1010

Malo by sa brať do úvahy:

V prípade pretečenia, keď sa v dôsledku sčítania objavia dve číslice naľavo od desatinnej čiarky, sa prenesie číslica úplne zľava a pridá sa s najmenej významným bitom zlomkovej časti a zostávajúca číslica naľavo od desatinnej čiarky bod určuje znamienko výsledku

Ak je počet číslic zlomkovej časti záporného pravidelného binárneho zlomku menší ako počet číslic zlomkovej časti iného doplnku, potom je potrebné pred prevodom záporného zlomku na inverzný kód doplniť nuly na doprava, kým sa číslice druhého doplnku nerovnajú

Ak je v podpísanej číslici čísla a opačný kód je 1, potom aby ste prešli na normálny zápis, musíte jednotky nahradiť nulami vo zlomkovej časti a nuly jednotkami a naľavo od čiarky napísať –0

Dodatočný kód

Rovnako ako inverzná funkcia slúži na nahradenie odčítania sčítaním.

V tomto prípade: obraz kladnej pravidelnej binárnej frakcie je rovnaký v kódoch dopredu, dozadu a komplementu.

Prevod záporného zlomku: Je potrebné nahradiť nuly jednotkami a 1 nulami. Pridajte jednu k najmenej významnej číslici a potom vložte 1 naľavo od čiarky.

Pamätajte:

Všetky číslice doplnkov, vrátane číslic podpísaných číslic umiestnených naľavo od čiarky, sa zúčastňujú na doplnení ako číslice jedného čísla

V prípade pretečenia, keď sa v dôsledku sčítania objavia dve číslice vľavo od čiarky, je číslica úplne vľavo zahodená a zvyšná číslica vľavo od čiarky určuje znak výsledku

počet číslic zlomkovej časti inej prílohy, potom je potrebné pred konverziou záporného zlomku na inverzný kód doplniť ju nulami napravo, kým sa číslice druhej prílohy nezhodujú

ak sa v dôsledku sčítania vľavo od čiarky získa 1, potom je číslo záporné, ak 0, potom kladné (podľa toho netreba nič preložiť)

Výsledok už bol prijatý!

Číselné systémy

Existujú pozičné a nepolohové číselné systémy. Arabský číselný systém, ktorý používame v každodennom živote, je pozičný, ale rímsky nie. V systémoch číslovania pozícií poloha čísla jednoznačne určuje veľkosť čísla. Pozrime sa na to pomocou príkladu s desatinným číslom 6372. Vymenujme toto číslo sprava doľava od nuly:

Potom možno číslo 6372 znázorniť takto:

6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.

Číslo 10 definuje číselný systém (v tomto prípade je to 10). Hodnoty polohy daného čísla sa berú ako stupne.

Zvážte skutočné desatinné číslo 1287,923. Počítajme to od nulovej polohy čísla od desatinnej čiarky doľava a doprava:

Potom možno číslo 1287,923 predstaviť ako:

1287,923 \u003d 1 000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.

Vzorec môže byť vo všeobecnosti znázornený takto:

C č s n + C n-l s n-1 + ... + C1 s 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

kde Ц n je celé číslo v polohe n, Д -k - zlomkové číslo v polohe (-k), s - číselný systém.

Niekoľko slov o číselných sústavách. Číslo v desatinnej číselnej sústave pozostáva z mnohých číslic (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), v osmičkovej číselnej sústave - z množiny čísla (0,1, 2,3,4,5,6,7), v binárnej číselnej sústave - z množiny číslic (0,1), v šestnástkovej číselnej sústave - z množiny čísel (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), kde A, B, C, D, E, F zodpovedajú číslam 10,11 Je prezentovaných 12,13,14,15 čísel v rôznych číselných systémoch.

stôl 1
Zápis
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C.
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Prevod čísel z jednej číselnej sústavy do druhej

Ak chcete previesť čísla z jednej číselnej sústavy na druhú, najjednoduchším spôsobom je najskôr previesť číslo na desatinnú číselnú sústavu a potom zo sústavy desatinných čísel na požadovanú číselnú sústavu.

Prevod čísel z ľubovoľného číselného systému na desiatkový číselný systém

Pomocou vzorca (1) môžete prevádzať čísla z ľubovoľného číselného systému na desiatkový číselný systém.

Príklad 1. Konvertujte číslo 1011101.001 z binárneho číselného systému (SS) na desatinné číslo SS. Rozhodnutie:

1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4+ 1 · 2 3+ 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93,125

Príklad2. Konvertujte 1011101,001 zo systému s osmičkovým číslom (SS) na desatinné číslo SS. Rozhodnutie:

Príklad 3 ... Konvertujte číslo AB572.CDF z hexadecimálneho základu na desatinné číslo SS. Rozhodnutie:

Tu A - nahradené 10, B - o 11, C.- o 12, F - do 15.

Prevod čísel z desatinného číselného systému na iný číselný systém

Ak chcete previesť čísla z desatinnej číselnej sústavy na inú číselnú sústavu, musíte samostatne preložiť celočíselnú časť čísla a zlomkovú časť čísla.

Celá časť čísla sa prevedie z desatinnej SS do inej číselnej sústavy - postupným vydelením celočíselnej časti čísla základňou číselnej sústavy (pre binárne SS - o 2, pre 8-ročné SS - o 8, pre 16-árov - o 16 atď.)), Kým sa nezíska celý zvyšok, menší ako bázický CC.

Príklad 4 ... Prepočítajme číslo 159 z desatinného SS na binárne SS:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Ako je zrejmé z obr. 1, číslo 159 po delení 2 dáva kvocient 79 a zvyšok 1. Ďalej číslo 79 po delení 2 dáva kvocient 39 a zvyšok 1 atď. Výsledkom je, že po zostavení čísla zo zvyšku divízie (sprava doľava) dostaneme číslo v binárnom SS: 10011111 ... Preto môžeme napísať:

159 10 =10011111 2 .

Príklad 5 ... Prepočítajme číslo 615 z desatinnej SS na osmičkovú SS.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Pri prevode čísla z desatinnej SS na osmičkovú SS musíte číslo postupne rozdeliť o 8, až kým celá zostava nebude menšia ako 8. Výsledkom bude zostavenie čísla zo zvyškov rozdelenia (sprava doľava), dostaneme číslo v osmičkovej SS: 1147 (pozri obr. 2). Preto môžeme napísať:

615 10 =1147 8 .

Príklad 6 ... Prevod čísla 19673 z desatinného na hexadecimálne SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Ako je zrejmé z obrázku 3, postupným delením roku 19673 číslom 16 sme dostali zvyšky 4, 12, 13, 9. V hexadecimálnom číselnom systéme 12 zodpovedá C a 13 zodpovedá D. Preto je naše hexadecimálne číslo 4CD9.

Ak chcete previesť správne desatinné zlomky (reálne číslo s nulovou celočíselnou časťou) na základné s, musí sa toto číslo postupne vynásobiť s, kým sa vo frakčnej časti nezíska čistá nula, alebo kým nezískame požadovaný počet číslic. Ak sa počas násobenia získa číslo s celočíselnou časťou, ktorá sa líši od nuly, potom sa táto celočíselná časť nezohľadní (postupne sa pridávajú k výsledku).

Zvážme vyššie uvedené s príkladmi.

Príklad 7 ... Prepočítajme číslo 0,214 z desatinného na binárne SS.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Ako je zrejmé z obrázku 4, číslo 0,214 sa postupne vynásobí číslom 2. Ak výsledkom násobenia bude nenulové číslo s celočíselnou časťou, celočíselná časť sa napíše osobitne (naľavo od čísla) a číslo je napísané s nulovou celočíselnou časťou. Ak sa pri vynásobení získa číslo s nulovou celočíselnou časťou, potom sa na jeho ľavú stranu napíše nula. Proces násobenia pokračuje, kým sa vo frakčnej časti nezíska čistá nula alebo kým sa nezíska požadovaný počet číslic. Zapísaním tučných čísel (obr. 4) zhora nadol získame požadované číslo v binárnej číselnej sústave: 0. 0011011 .

Preto môžeme napísať:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Príklad 8 ... Preveďme číslo 0,125 zo sústavy desatinných čísel na binárne SS.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Ak chcete previesť číslo 0,125 z desatinného SS na binárne, toto číslo sa postupne vynásobí číslom 2. V tretej etape sa ukázalo byť 0. Preto bol získaný nasledujúci výsledok:

0.125 10 =0.001 2 .

Príklad 9 ... Prepočítajme číslo 0,214 z desatinného na hexadecimálne SS.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Po príkladoch 4 a 5 dostaneme čísla 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale v hexadecimálnej SS čísla 12 a 11 zodpovedajú číslam C a B. Preto máme:

0,214 10 \u003d 0,36 C8B4 16.

Príklad 10 ... Prevod desatinných na osmičkové SS.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

Mám:

0.512 10 =0.406111 8 .

Príklad 11 ... Prevod čísla 159,125 z desatinného na binárne SS. Za týmto účelom osobitne preložíme celočíselnú časť čísla (príklad 4) a zlomkovú časť čísla (príklad 8). Ďalej kombináciou týchto výsledkov dostaneme:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Príklad 12 ... Prevod čísla 19673.214 z desatinného na hexadecimálne SS. Za týmto účelom osobitne preložíme celočíselnú časť čísla (príklad 6) a zlomkovú časť čísla (príklad 9). Ďalej kombináciou týchto výsledkov dostaneme.