Metodika prekladania čísel do rôznych počítacích systémov

Prevod desiatkových celých čísel na osmičkové, hexadecimálne a binárne sa vykonáva postupným delením desatinného čísla základom systému, do ktorého sa prekladá, až kým podiel nie je menší ako tento základ. Číslo v novom systéme je zapísané vo forme delených zvyškov, počnúc posledným kvocientom.

a) Preveďte číslo 19 do dvojkovej číselnej sústavy.

Takže 19 = 10 011 2

b) Preložiť 181 10 -> číselný systém "8".

Výsledok. 181 10 -> 265 8

c) Preložte 622 10 - číselný systém "16".

Prevod čísel na desatinné sa vykonáva zostavením mocninového radu so základom systému, z ktorého je číslo preložené. Potom sa vypočíta hodnota súčtu.

a) Preveďte 10101101.1012 do desiatkovej číselnej sústavy

10101101.101 2 = 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 173.625 10

b) Preveďte 703,048 na desiatkový zápis

703.048 = 7 82+ 0 81+ 3 80+ 0 8-1+ 4 8-2 = 451,062510

c) Preveďte B2E.416 na desiatkový zápis

B2E. 4 16 = 11 16 2 + 2 16 1 + 14 16 0 + 4 16 -1 = 2 862,25 10

Pre previesť osmičkové alebo hexadecimálne číslo na binárne stačí nahradiť každú číslicu tohto čísla zodpovedajúcim trojciferným binárnym číslom (triáda) (tabuľka 1) alebo štvorciferným binárnym číslom (tetrade) (tabuľka 1), pričom zbytočné nuly vo vysokých a nízkych čísliciach zahodíme.

Pre prechod z dvojkovej do osmičkovej alebo šestnástkovej sústavy postupujte nasledovne: pohybom z bodu doľava a doprava rozdeľte binárne číslo do skupín po troch (štyroch) číslicách, pričom krajnú ľavú a pravú skupinu doplňte nulami, ak je to potrebné. Potom sa trojica (tetrada) nahradí zodpovedajúcou osmičkovou (šestnástkovou) číslicou.

Prevod z osmičkového na šestnástkové a naopak prebieha cez binárny systém pomocou triád a tetrád.

Aritmetické operácie

Doplnenie

Vykonáva sa rovnakým spôsobom ako v desiatkovej číselnej sústave.

Odčítanie

Odčítanie čísel v 2 a 8 SS sa vykonáva podľa rovnakých pravidiel ako v desiatkovej sústave. Ak je odčítané väčšie ako odčítané, určí sa rozdiel medzi väčším a menším číslom a pred neho sa umiestni znamienko mínus

Násobenie

Operácia násobenia sa vykonáva rovnakým spôsobom ako v desiatkovej číselnej sústave.

Priamy kód

Používa sa pri vykonávaní násobenia a delenia čísel a ostatných kódov na nahradenie odčítania sčítaním.

0,011 kladné číslo

1,011 je záporné číslo

Počas toho operácie násobenia alebo delenia dva binárne zlomky so znamienkom sa pridajú bez ohľadu na zlomkové časti

Obrátený kód

Používa sa na nahradenie operácie odčítania sčítaním

Pre kladné čísla: obraz pravidelného binárneho zlomku je rovnaký v spätnom a doprednom kóde

Ak chcete zapísať záporný pravidelný binárny zlomok v reverznom kóde, musíte nahradiť nuly jednotkami a naopak a naľavo od čiarky namiesto –0 vložiť 1

To znamená –0,0101 = 1,1010

Malo by sa brať do úvahy:

V prípade pretečenia, keď sa dve číslice objavia naľavo od desatinnej čiarky v dôsledku sčítania, číslica úplne vľavo sa prenesie a pridá s najmenej významným bitom zlomkovej časti a zostávajúca číslica naľavo od desatinnej čiarky bod určuje znamienko výsledku

Ak je počet číslic zlomkovej časti negatívneho pravidelného binárneho zlomku menší ako počet číslic zlomkovej časti iného súčtu, potom pred prevodom záporného zlomku na inverzný kód je potrebné ho doplniť nulami doprava, kým sa číslice druhého sčítania rovnajú

Ak je v podpísanej číslici čísla a reverzný kód je 1, potom, aby ste prešli na zvyčajný zápis, musíte nahradiť jednotky nulami v zlomkovej časti a nuly jednotkami a naľavo od čiarky napísať –0

Dodatočný kód

Rovnako ako inverzné sa používa na nahradenie odčítania sčítaním.

V tomto prípade: obraz pozitívneho pravidelného binárneho zlomku je rovnaký v doprednom, spätnom a doplnkovom kóde.

Ak chcete previesť záporný zlomok: Je potrebné nahradiť nuly jednotkami a 1 nulami. Pridajte jednu k najmenej významnej číslici a potom vložte 1 naľavo od čiarky.

Pamätajte:

Všetky číslice dodatkov, vrátane číslic podpísaných číslic umiestnených naľavo od čiarky, sa zúčastňujú sčítania ako číslice jedného čísla

V prípade pretečenia, keď sa naľavo od čiarky v dôsledku sčítania objavia dve číslice, číslica úplne vľavo sa zahodí a zvyšná číslica naľavo od čiarky určí znamienko výsledku.

počet číslic zlomkovej časti iného sčítania, potom pred prevodom záporného zlomku na inverzný kód je potrebné doplniť ho nulami napravo, kým sa číslice druhého sčítania rovnajú

ak sa v dôsledku pridania vľavo od čiarky získa 1, potom je číslo záporné, ak 0, potom kladné (podľa toho nie je potrebné nič prekladať)

Prevod čísel zo šestnástkovej sústavy na osmičkovú

Ak chcete previesť číslo zo šestnástkovej sústavy na osmičkovú:

1. Toto číslo je potrebné reprezentovať v dvojkovej sústave.

2. Výsledné číslo v dvojkovej sústave potom rozdeľte na trojice a preveďte do osmičkovej sústavy.

Napríklad:

1.7 Algoritmus na prevod pravidelných zlomkov z ľubovoľnej číselnej sústavy do desiatkovej sústavy

Desatinný prevod S, celé číslo aj zlomok, zapísané v q-árnej číselnej sústave, sa vykonáva pomocou rozšírenia čísla v základe podľa vzorca 1 (pozri časť 1.2).

Na prevod bežných zlomkov však môžete použiť nasledujúcu metódu:

1. Číslica najmenej významnej číslice zlomku 0, Aq rozdeliť podľa základne q... K výslednému podielu pridajte číslicu nasledujúcej (nadradenejšej) číslice čísla 0, Aq.

2. Prijatú sumu treba opäť vydeliť q a znova pridajte ďalšiu číslicu čísla.

3. Robte to dovtedy, kým sa nepridá najvýznamnejšia číslica zlomku.

4. Prijatú čiastku vydeľte o q a k výsledku pridajte čiarku a nulu celých čísel.

Napríklad: Preložme zlomky do desatinného zápisu:

a).	0,1101 2	b).	0,356 8
	1/2 + 0 = 0,5		6/8+5 = 5,75
	0,5/2 + 1 = 1,25		5,75/8 + 3 = 3,71875
	1,25/2 + 1 = 1,625		3,71875/8 = 0,46484375
	1,625/2 = 0,8125
Odpoveď: 0,1101 2 = 0,8125 10	Odpoveď: 0,356 8 = 0,46484375 10

1.8 Algoritmus na prevod správnych desatinných zlomkov do akejkoľvek inej číselnej sústavy

1. Dané číslo vynásobte novým základom R.

2. Celá časť výsledného produktu je najvýznamnejšou číslicou požadovaného zlomku.

3. Zlomková časť výsledného produktu sa opäť vynásobí R a celá časť výsledku sa považuje za ďalšiu číslicu požadovaného zlomku.

4. Pokračujte v operáciách, kým sa zlomková časť nebude rovnať nule alebo kým sa nedosiahne požadovaná presnosť.

5. Maximálna absolútna chyba pri preklade čísla D sa rovná q - (k +1) / 2, kde k je počet desatinných miest.

Napríklad: Preveďte binárny, trojkový a hexadecimálny zápis na desatinné číslo 0,375. Preklad by sa mal vykonať s presnosťou na tretie desatinné miesto.

Napríklad: Preložme si číslo 0,36 10 v dvojkovej, osmičkovej a šestnástkovej sústave:

Na písanie je vhodné použiť nasledujúci formulár:

Preklad do Preklad do Preklad do

binárne s / n. osmičkové s / n. hexadecimálny

0,	x 36		0,	x 36		0,	x 36
	x 72		x 88		x 76
	x 44		x 04		x 16
	x 88		x 32		x 56
	x 76		x 46		x 96
	x 52		x 68		x 36

0,36 10 = 0,010111 2 s limitnou absolútnou chybou (2 -7) / 2 = 2 -8

0,36 10 = 0,270235 8 s maximálnou absolútnou chybou
(8 -7)/2=2 -22

0,36 10 = 0,5C28F5 16 s maximálnou absolútnou chybou
(16 -7)/2=2 -29

Pre čísla, ktoré majú celočíselné aj zlomkové časti, sa prevod z desiatkového číselného systému do iného uskutočňuje oddelene pre celé číslo a zlomkové časti podľa vyššie uvedených pravidiel.

1.9 Posun číslic v pozičných číselných sústavách

V každom číselnom systéme sú čísla zoradené podľa ich významu: 1 je väčšie ako 0, 2 je väčšie ako 1 atď.

Akýkoľvek pozičný číselný systém je založený na rovnakých princípoch konštrukcie a prechodu od najnižšej k najvyššej číslici.

Zvážte pokrok číslice v pozičnom číselnom systéme.

Posúvaním postavy sa nazýva nahradenie nasledujúcim najväčším (pridaním jedného).

V desiatkovom zápise je postup číslic nasledovný:

Opäť sme sa dostali k číslu 9, teda dochádza k prechodu na vyššiu číslicu, ale na pozícii 1. číslice je už číslica 1, preto postupuje aj číslica 1 prvej číslice, t.j. 1 + 1 = 2 (dve desiatky). Takže posúvame čísla dopredu, kým sa najvýznamnejšia číslica v číselnej sústave neobjaví v prvej číslici (v našom príklade je to 9), teraz sa vykoná prechod na ďalšiu číslicu.

Uvažujme teraz o postupe číslic v ternárnej číselnej sústave, t.j. q = 3 (používajú sa číslice 0, 1, 2) a najvýznamnejšia číslica je 2.

	0+1	1+1
2+1	10+1	11+1
12+1	20+1	21+1
22+1	100+1	101+1
102+1	110+1	111+1
atď.

V živote používame systém desatinných čísel, pravdepodobne preto, že od staroveku sa počítali na prstoch, a ako viete, na rukách a nohách je desať prstov. Hoci v Číne dlho používali päťnásobný číselný systém.

Počítače používajú binárnu sústavu, pretože na jej realizáciu sa používajú technické zariadenia s dvoma stabilnými stavmi (žiadny prúd - 0; prúd je - 1 alebo nie je magnetizovaný - 0; magnetizovaný - 1 atď.). Použitie binárneho číselného systému vám tiež umožňuje použiť aparát Booleovej algebry (pozri časť 2) na vykonávanie logických transformácií informácií. Binárna aritmetika je oveľa jednoduchšia ako desiatková, ale jej nevýhodou je rýchly nárast počtu číslic potrebných na zápis čísel.

Napríklad: Posuňme číslice v binárnom systéme zápisu, kde q = 2, (používajú sa číslice 0, 1) najvýznamnejšia číslica 1:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 atď.

Ako vidíte na príklade, tretie číslo v rade sa už posunulo o jednu číslicu vyššie, t.j. zaujal miesto (ak by to bolo desatinné číslo) „desiatky“. Piate číslo je miesto „stovky“, deviate číslo je miesto „tisícky“ atď. V desiatkovej sústave je prechod na inú číslicu oveľa pomalší. Binárna sústava je vhodná pre počítače, no pre ľudí nepohodlná pre svoju ťažkopádnosť a nezvyčajný záznam.

Prevod čísel z desiatkových na binárne a naopak vykonávajú programy v počítači. Aby ste však mohli profesionálne pracovať a používať počítač, treba rozumieť slovu stroje. Na tento účel boli vyvinuté osmičkové a hexadecimálne systémy.

Aby ste s týmito systémami mohli jednoducho pracovať, je potrebné naučiť sa prekladať čísla z jedného systému do druhého a naopak, ako aj vykonávať najjednoduchšie operácie s číslami - sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.

1.10 Vykonávanie aritmetických operácií v pozičných číselných sústavách

Pravidlá na vykonávanie základných počtových operácií v desiatkovej sústave sú dobre známe - sú to sčítanie, odčítanie, násobenie stĺpcov a delenie uhla. Tieto pravidlá platia pre všetky ostatné pozičné číselné sústavy. Len tabuľky sčítania a násobenia pre každý systém sú odlišné.

Aritmetické operácie v pozičných číselných sústavách sa vykonávajú podľa všeobecných pravidiel. Treba si len uvedomiť, že prevod na ďalšiu číslicu pri sčítaní a výpožička od najvýznamnejšej číslice pri odčítaní sú určené hodnotou základu číselnej sústavy.

Pri vykonávaní aritmetických operácií musia byť čísla zastúpené v rôznych číselných sústavách najprv zredukované na rovnaký základ.

Doplnenie

Sčítacie tabuľky sa dajú ľahko zostaviť pomocou pravidla počítania. Pri sčítaní sa čísla sčítajú cez číslice a ak dôjde k prebytku, prenesú sa doľava na ďalšiu číslicu.

Tabuľka 1.4

Binárne sčítanie:

+

Tabuľka 1.5

Osmičkový prídavok

+

Tabuľka 1.6

Hexadecimálne sčítanie

+

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

A

B

C

D

E

F

B

B

C

D

E

F

1A

C

C

D

E

F

1A

1B

D

D

E

F

1A

1B

1C

E

E

F

1A

1B

1C

1D

F

F

1A

1B

1C

1D

1E

Napríklad:

a) Pridajte čísla 1111 2 a 110 2:

c) Pridajte čísla F 16 a 6 16:

b) Pridajte čísla 17 8 a 6 8:

d) Pridajte dve čísla: 17 8 a 17 16.

Znížte číslo 17 16 na základ 8 pomocou binárnej sústavy

17 16 = 10 111 2 = 27 8. Urobme osmičkový sčítanie:

d ) Pridajme 2 čísla. 10000111 2 + 89 10

Metóda 1: Preložme číslo 10000111 2 do desiatkového zápisu.

10000111 2 = 1*2 7 + 1*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 =128 + 4 + 2 + 1 = 135 10

135 10 + 89 10 = 224 10

Spôsob 2: Číslo 89 10 preložíme do dvojkovej sústavy ľubovoľným spôsobom.

89 10 = 1011001 2

Pridajme tieto čísla.

Pre overenie si toto číslo preložme do desiatkovej sústavy.

11100000 2 = 1*2 7 + 1*2 6 +1*2 5 = 128+64+32 = 224 10

Odčítanie

Poďme nájsť rozdiel medzi číslami:

a) 655 8 a 367 8 b) F5 16 a 6 16

Násobenie

Tabuľka 1.7

Binárne násobenie:

*

Tabuľka 1.8

Osmičkové násobenie

*