Nájdite optimálne riešenie graficky. Grafická metóda na riešenie problémov lineárneho programovania

f= –NS 1 + 5NS 2 ¾> min;

4NS 1+ 3NS 2 £ 24,

NS 1– 10NS 2 £ 0,

8NS 1– 3NS 2 ³ 0,

5NS 1+ 3NS 2 ³ 15,

NS 1³0, NS 2³ 0. (1)

Zbierka premenných xj splnenie podmienky (1) sa nazýva oblasť realizovateľných riešení. Uskutočniteľné riešenie prevádzajúce účelovú funkciu na min alebo max sa nazýva optimálna. Na jej definovanie je potrebné zostrojiť oblasť realizovateľných riešení (región definície). Keďže v probléme sú špecifikované dve premenné, oblasť realizovateľných riešení je v rovine NS 10NS 2. Každá nerovnosť (1) definuje polrovinu a každá rovnosť definuje priamku. Na zostrojenie polroviny je potrebné nájsť jej hranicu a určiť, na ktorej strane leží požadovaná polrovina. Prepíšme podmienky (1) do tvaru rovnosti (2) a vymenujme ich.

4NS 1+ 3NS 2	=	24 (ja),
NS 1– 10NS 2	=	0 (II),
8NS 1– 3NS 2	=	0 (III),
5NS 1+ 3NS 2	=	15 (IV).	(2)

Zavádzame súradnicový systém NS 10NS 2 a zostrojte postupne tieto priamky - hranice polrovín. Ak chcete nakresliť priamku na rovine, musíte definovať ľubovoľné dva body ležiace na tejto priamke. Ak priamka pretína osi 0 NS 1 a 0 NS 2, potom môžete nájsť súradnice bodov jeho priesečníka so súradnicovými osami. Definujeme súradnice priesečníka priamky ( ja) s osou 0 NS 1: NS 1 = 0; Þ 3 NS 2 = 24; Þ NS 2 = 8. Podľa toho definujeme súradnice druhého priesečníka prvej priamky s osou 0 NS 2: NS 2 = 0; Þ 4 NS 1 = 24; Þ NS 1 = 6. Preto priesečníky priamky ( ja) so súradnicovými osami rovnými (0,8) a (6,0). Zostrojme túto čiaru (obr. 1).

Definujme polrovinu. Na to dosadíme do prvej nerovnosti (1) súradnice ľubovoľného bodu, ktorý neleží na danej priamke, napríklad (0,0). Potom prvá podmienka znamená: 4 × 0 + 3 × 0 £ 24, čo znamená, že nerovnosť je pravdivá, z čoho vyplýva, že polrovina leží na strane priamky, kde je bod so súradnicami (0,0) je umiestnený.

Ostatné polroviny sú konštruované podobným spôsobom. Treba poznamenať, že priame čiary ( II) a ( III) prejsť cez pôvod, t.j. bod (0,0). Je vhodné vziať súradnice druhého bodu v pomere ku koeficientom v rovnici požadovanej priamky. Napríklad pre druhý riadok - body (0,0) a (10,1) a pre tretí - (0,0) a (3,8). Po zostrojení všetkých polrovín bude mať oblasť realizovateľných riešení nasledujúcu podobu (obr. 3):

Objektívna funkcia f definuje priamku na rovine, ktorá musí prechádzať bodom alebo stranou mnohouholníka a mať najmenšia hodnota... Zostrojme smerový vektor pre túto čiaru. Tento vektor je kolmý na hľadanú čiaru a jeho smer vždy určuje maximum objektívna funkcia... Opačný smer vektora definuje minimum. Tento vektor označujeme ako . Prechádza cez bod (0,0) a (–1,5). Súradnice druhého bodu sú prevzaté z koeficientov účelovej funkcie a pomocou nich určujú smer vektora. Zostrojte na ňu kolmú priamku - NS 1+ 5NS 2 = 0. Ako bolo uvedené vyššie, vektor vždy ukazuje smer nárastu hodnoty cieľovej funkcie ( max), opačným vektorom je smer poklesu hodnoty cieľovej funkcie ( min). Posuňte priamku - NS 1+5NS 2 = 0 nad doménou, rovnobežne so sebou v smere min... Objektívna funkcia f dosiahne svoje minimálna hodnota v bode S(obr. 4).

Optimálne riešenie úlohy (1) zodpovedá bodu S, ktorá leží na priesečníku priamych čiar ( ja) a ( II):

4NS 1+ 3NS 2= 24;

NS 1– 10NS 2= 0.

Ak chcete vyriešiť tento systém rovníc, vynásobte druhú rovnicu 4 a pridajte, v tomto poradí, po prvkoch s 1. rovnicou:

4NS 1+ 3NS 2 = 24;

4NS 1– 40NS 2 = 0.

Odčítaním druhého od prvej rovnice dostaneme: 43x2 = 24 Þ NS 2= 0,56.

Nahradením zistenej hodnoty NS 2 do druhej rovnice dostaneme:

NS 1= 10NS 2Þ NS 1 = 5,6. Nahradenie súradníc bodu S do účelovej funkcie dostaneme nasledujúci výsledok:

f min= - 5,6 + 5 x 0,56 = - 2,8.

Napíšme konečný výsledok úlohy v nasledujúcom tvare:

NS 1= 5,6, NS 2= 0,56;f min= – 2,8.

Riešenie tento príklad na PC sa vykonáva softvérový balík"Blok-3". S jeho pomocou, vstupom, rozhodovaním a výstupom efektívnych informácií na externé médiá... Jednoduchosť a dostupnosť komplexu vám umožní ľahko ho zvládnuť a uviesť do praxe.

Číslo úlohy 1.1.2.

f= 2NS 1+ 3NS 2 ¾> max;

2NS 1+ 3NS 2 £ 12,

2NS 1– 5NS 2 £ 0,

7NS 1 – 2 x 2³ 0,

NS 1, NS 2³ 0. (3)

Definície a konštrukcia regiónu realizovateľných riešení sú podobné úlohe 1.1.1. Konečný pohľad oblasť realizovateľných riešení je znázornená na obr. 5 mnohouholník ABC(bod A sa zhoduje s bodom 0).

Je zrejmé, že čiara definujúca účelovú funkciu sa zhoduje s čiarou, ktorá tvorí stranu mnohouholníka slnko... Z toho vyplýva, že riešením tejto EMM sú body ležiace na boku slnko veľa-

námestie ABC... Ak chcete zaznamenať riešenie EMM, musíte nájsť súradnicu X 1B- body V a X 1C- body S... Po ich určení nájdeme segment ležiaci na osi 0 X 1 (obr. 6).

Súradnice bodu V- x1 B sú určené ako výsledok priesečníka čiar 2 NS 1+ 3NS 2 = 12 a 7 NS 1– 2NS 2 = 0. Na to je potrebné vyriešiť sústavu rovníc:

2NS 1+ 3NS 2 = 12 ´ 2 Þ 4 NS 1+ 6NS 2= 24;

7NS 1– 2NS 2 = 0'3Þ 21 NS 1 – 6x2 = 0.

Sčítaním posledných dvoch rovníc dostaneme: 25 NS 1=24, NS 1 = 0,96. Z toho vyplýva X 1B= 0,96. Bodová súradnica S – X 1C je určený ako výsledok priesečníka čiar 2 NS 1+ 3NS 2 = 12 a 2 NS 1–5NS 2 = 0. Poďme vyriešiť sústavu rovníc:

2NS 1+ 3NS 2 = 12 ' 5 Þ 10 NS 1+ 15NS 2= 60;

2NS 1– 5NS 2 = 0'3Þ 6 NS 1 – 15NS 2= 0.

Sčítaním posledných dvoch rovníc dostaneme: 16 NS 1= 60, NS 1 = 3,75, z čoho vyplýva, že X 1C= 3,75.

Hodnota cieľovej funkcie pre túto EMM je 12 (pretože rovnica priamky, na ktorej je segment definovaný slnko – 2NS 1+3NS 2= 12).

Takže odpoveď na tento problém je:

X 1Î [ X 1B; X 1C] Þ X 1Î;

2NS 1+ 3NS 2 = 12 Þ 3 NS 2= 12 – 2NS 1Þ NS 2= (12 – 2NS 1)/3.

Úplná odpoveď na tento príklad bude napísaná takto:

X 1Î; X 2= (12 – 2NS 1)/3; f max= 12.

Číslo úlohy 1.1.3.

f= 2NS 1+ 3NS 2 ¾> max;

2NS 1+ 3NS 2³ 12,

2NS 1– 5NS 2 £ 0,

7NS 1– 2NS 2³ 0,

NS 1, NS 2 ³0. (4)

Pomocou schémy na zostrojenie oblasti realizovateľných riešení úloh 1.1.1–1.1.2 získame nasledujúci graf (obr. 7):

f= 2NS 1+ 3NS 2 ¾> max;

NS 1+ x 2 £ 2,

2NS 1+ 3NS 2³ 12,

2NS 1– 5NS 2 £ 0,

7NS 1– 2NS 2³ 0,

NS 1, NS 2³ 0. (5)

Pomocou grafu úlohy 1.1.3 a dokončením prvej polroviny NS 1 + x2 £ 2, získame doménu znázornenú na obr. osem.

Z grafu (obr. 8) je vidieť, že pre danú EMM oblasť prípustných riešení č. Odpoveď: neexistuje región vhodných riešení.

Číslo úlohy 1.1.5.

f= – NS 1+ 5NS 2 ¾> min;

10NS 1+ 3NS 2 £ 30,

10NS 1+ 5NS 2³ 50,

2NS 1– 6NS 2 £ 0,

NS 1, NS 2³ 0. (6)

Oblasť definície EMM (6) je znázornená na obr. 9. Z analýzy grafu vyplýva, že bodom bude oblasť prípustných riešení A so súradnicami (0,10) (10 NS 1+ 5NS 2= 50, NS 1= 0, 5NS 2= 50, NS 2 = 10). V prípade, že riešením EMM je jeden bod, možno cieľovú funkciu vynechať.

odpoveď: X 1= 0; X 2=10; fmin= 0 + 5 x 10 = 50.

Pri riešení problémov EMM LP sú teda možné nasledujúce situácie:

- úloha má jedno optimálne riešenie;

- úloha má nekonečné číslo optimálne riešenia;

- problém nemá optimálne riešenie;

- problém nemá žiadnu oblasť realizovateľných riešení.

V praxi EMM LP nemá žiadne riešenia iba vtedy, ak je zadanie problému nesprávne.

Ako ukazujú skúsenosti z vývoja EMM, hlavný problém spočíva v popise ekonomických a technologických procesov v modeli a vo výbere optimalizačného kritéria. Z toho vyplýva, že je potrebné presne určiť regulačné parametre. To si zase vyžaduje nastavené účtovníctvo a analýzy na skúmanom objekte. Úroveň odbornej prípravy špecialistu zároveň nadobúda osobitný význam pri zostavovaní modelu. Z jeho schopnosti identifikovať hlavné odkazy technologický postup, určiť etapy riešenia problému a formulovať ciele štúdie, bude závisieť aj kvalita riešenia tohto problému.

Číslo úlohy 1.1.6.

Podnik môže organizovať výrobu svojich produktov dvoma spôsobmi. V prvej metóde podnik vyrába za mesiac C 1 tisíc produktov, pričom druhý - C 2 tisíc produktov. Spotreba výroby, ľudské zdroje, odpisy zariadení a obmedzenia zdrojov sú uvedené v tabuľke nižšie.

Koľko mesiacov by mala firma pracovať, ako organizovať výrobu, aby bol zabezpečený maximálny výkon.

1) Vyriešiť graficky;

2) Rozhodnite sa na základe komplexu "Block-3";

3) Simplexná metóda.

V tejto lekcii sa zoznámime s grafickým spôsobom riešenia problémy lineárneho programovania, teda také úlohy, v ktorých je potrebné nájsť riešenie sústavy lineárnych rovníc a (alebo) nerovníc (systému obmedzení), v ktorých cieľová funkcia – lineárna funkcia – nadobúda optimálnu hodnotu.

Vzhľadom k tomu, že prehľadnosť grafické riešenie sa dosahuje len v rovine, s grafickým znázornením problému sa môžeme zoznámiť len v dvojrozmernom priestore. Toto znázornenie je vhodné pre systém obmedzení nerovností s dvoma premennými alebo pre systémy rovníc, v ktorých je počet premenných o 2 väčší ako počet rovníc, to znamená, že počet voľných premenných je dva.

Preto má grafická metóda taký úzky rozsah použitia, že o nej asi ako o špeciálna metóda riešenie problémov lineárne programovanie nevieš rozprávať.

Avšak pre vývoj vizuálnych reprezentácií riešení problémov lineárneho programovania je grafická metóda určitým záujmom. Okrem toho umožňuje geometricky potvrdiť platnosť teorémy lineárneho programovania .

Teoretické základy grafickej metódy

Takže problém lineárneho programovania. Je potrebné nájsť nezáporné hodnoty premenných a uspokojiť systém nerovností

pri ktorej lineárna forma nadobúda optimálnu hodnotu.

Príklad 3

Príklad 4 Graficky vyriešte problém lineárneho programovania, v ktorom je potrebné nájsť minimum funkcie pod obmedzeniami

Pokračujeme v grafickom riešení úloh spoločne

Doteraz boli zistenia založené na skutočnosti, že množina riešení problému lineárneho programovania je nakonfigurovaná tak, aby optimálne riešenie bolo konečné a jedinečné. Teraz sa pozrime na príklady, kedy je táto podmienka porušená. V týchto príkladoch je rozhodovací polygón skonštruovaný tak, ako je uvedené v predchádzajúcich príkladoch, ale zastavme sa pri znakoch, ktoré odlišujú tieto výnimočné príklady.

Príklad 5. Graficky vyriešte problém lineárneho programovania, v ktorom je potrebné nájsť maximum funkcie s obmedzeniami

Riešenie. Obrázok ukazuje: neobmedzenú mnohostrannú oblasť riešení tohto systému obmedzení, čiaru počiatočnej úrovne (čierna), vektor (bordová) označujúci smer pohybu čiary počiatočnej úrovne na nájdenie maxima cieľovej funkcie.

Je ľahké vidieť, že funkcia F sa môže neobmedzene zvyšovať pri daný systém obmedzenia, tak to môžeme podmienečne napísať.

Príklad 6. Graficky vyriešte problém lineárneho programovania, v ktorom je potrebné nájsť maximum funkcie s obmedzeniami

Grafická metóda je pomerne jednoduchá a intuitívna na riešenie úloh LP s dvoma premennými. Je založená na geometrický reprezentácia realizovateľných riešení a CF problému.

Každá z nerovností úlohy LP definuje na súradnicovej rovine (NS 1 ,NS 2 ) nejaká polrovina (obr. 1), a sústava nerovností ako celok je priesečníkom príslušných rovín. Množina priesečníkov týchto polrovín sa nazýva oblasť prípustnejrozhodnutia(RSO). SDT vždy predstavuje konvexné postava, t.j. ktorý má nasledujúcu vlastnosť: ak dva body A a B patria tomuto obrázku, potom mu patrí celý segment AB. ODR možno graficky znázorniť pomocou konvexného mnohouholníka, neohraničenej konvexnej mnohouholníkovej oblasti, segmentu, lúča, jedného bodu. V prípade nekonzistentnosti systému obmedzení je problémom SDT prázdna množina.

Poznámka № 1. Všetko uvedené platí aj pre prípad, keď systém obmedzení (1.1) zahŕňa rovnosť, pretože akákoľvek rovnosť

a il x 1 + a i 2 x 2 = b

možno znázorniť ako systém dvoch nerovností (obr. 1)

A i 2 x 2<Ь 1э +a i 2 x 2 >bj.

CF L (x) = c1x1 + c2x2 s pevnou hodnotou L (x) = L definuje priamku c1x1 v rovine + c2x2 = L. Zmenou hodnôt L dostaneme rodinu rovnobežných čiar, tzv úrovňové čiary.

Je to spôsobené skutočnosťou, že zmena hodnoty L bude mať za následok zmenu iba dĺžky segmentu odrezaného čiarou úrovne na osi x2 (počiatočná ordináta) a sklonu priamky tgа = - zostane konštantná (obr. 1).

Preto na jeho vyriešenie bude stačiť postaviť jednu z úrovňových línií a ľubovoľne zvoliť hodnotu L.

Vektor C = (c1; c2) so súradnicami z koeficientov CF na x1 a x2 je kolmý na každú z čiar úrovne (pozri obr. 1). Smervektor С sa zhoduje so smerom zvyšuje CF, čo je dôležitý bod pre riešenie problémov. Smer zmenšovanie CF opaksmer vektora C.

Podstata grafickej metódy je nasledovná. V smere (proti smeru) vektora C v ODR hľadanie optimálneho bodu X = (x1; x2 ). Optimálny bod je bod, ktorým prechádza úrovňová čiara L max (L min), zodpovedajúca najväčšej (najmenšej) hodnote funkcie L (x). Optimálne riešenie sa vždy nachádza na hranici ODR, napríklad pri poslednom vrchole polygónu ODR, ktorým prechádza cieľová čiara, alebo na celej jej strane.

Pri hľadaní optimálneho riešenia problémov LP sú možné nasledovné situácie: existuje jedinečné riešenie problému; existuje nekonečné množstvo riešení (alternatívne optium); CF nie je obmedzený; oblasť prípustných riešení je jediným bodom; úloha nemá riešenia.

Platná plocha - polrovina

Obrázok 1

1.2. Metodika riešenia úloh LP grafickou metódou

I. V obmedzeniach úlohy nahraďte znamienka nerovností znamienkami presných rovnosti a zostrojte zodpovedajúce čiary.

II. Nájdite a vytieňte polroviny vyriešené každým z obmedzení nerovnosti v probléme. Ak to chcete urobiť, dosaďte súradnice bodu [napríklad (0; 0)] do konkrétnej nerovnosti a skontrolujte pravdivosť výslednej nerovnosti.

Ak nerovnosť je pravdivá, potom je potrebné zatieniť polrovinu obsahujúcu daný bod; inak (nerovnosť je nepravdivá) je potrebné zatieniť polrovinu, ktorá neobsahuje daný bod.

Od x1 a x2 musia byť nezáporné, potom ich prípustné hodnoty budú vždy nad osou x 1 a napravo od osi x2, t.j. v 1. kvadrante.

Obmedzenia rovnosti povoľujú len tie body, ktoré ležia na zodpovedajúcej čiare, preto vyberte také čiary v grafe.

Definujte IDD ako časť roviny, ktorá patrí do všetkých povolených oblastí súčasne, a vyberte ju. V prípade absencie IDT úloha nie má riešenia, o ktorých urobia príslušný záver.

Ak ODR nie je prázdna množina, tak zostavte cieľovú líniu, t.j. ktorákoľvek z čiar úrovne s 1 x 1 + s 2 x 2 = L, kde L - ľubovoľné číslo napríklad násobok 1 a s 2, t.j. vhodné na výpočty. Konštrukčná metóda je podobná konštrukcii priamych obmedzení.

V. Zostrojte vektor C = (c 1, c 2), ktorý začína v bode (0; 0), končí v bode (c 1, c 2). Ak sú cieľová čiara a vektor C skonštruované správne, tak budú kolmý.

Vi. Pri hľadaní maximálneho DF posuňte cieľovú čiaru v smere vektor C, pri hľadaní min CF - proti smeru vektor C. Posledný pozdĺž pohybu bude horná časť ODR maximálny alebo minimálny bod CF. Ak takýto bod (body) neexistuje, urobte záver o neohraničenosť CF na veľa plánov hore (pri vyhľadávaní kontroly) alebo pod (pri vyhľadávaní min).

Určte súradnice bodu max (min) DF X = (x1 *; x2 * ) a vypočítajte hodnotu CF l (x *). Na výpočet súradníc optimálneho bodu X * vyriešte sústavu rovníc priamok, na ktorých priesečníku sa X * nachádza.

Problém 1

Nájdime optimálne riešenie úlohy, ktorej matematický model má tvar

L (X) = 3x 1 + 2x 2 → max

x 1 + 2 x 2< 6, (1)

2x 1 + x 2< 8, (2)

X 1 + x 2<1, (3)

x 2< 2, (4)

x 1 > 0, x 2 > 0.

Zostrojme čiary väzieb, pre ktoré vypočítame súradnice priesečníkov týchto čiar so súradnicovými osami (obr. 2).

x 1 + 2 x 2 = 6, (1)

2x1+ x2 = 8, (2)

(1) x1 = 0, x1 = 6, x2 = 3, x2 = 0,

(2) x1 = 0, x1 = 4, x2 = 8, x2 = 0,

(3) x1 = 0, x1 = -1, x2 = 1, x2 = 0,

Priamka (4) prechádza bodom x 2 = 2 rovnobežne s osou L (X).

Ryža. 2. Grafické riešenie úlohy

Definujme ODR. Napríklad dosadením bodu (0; 0) do pôvodného obmedzenia (3) dostaneme 0< 1, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, obsahujúce bod (0; 0), t.j. umiestnené vpravo a pod priamkou (3). Podobne definujeme prípustné polroviny pre zostávajúce obmedzenia a označíme ich šípkami pri zodpovedajúcich priamych obmedzeniach (obr. 2). Spoločný priestor povolený všetkými obmedzeniami, t.j. ODR je polygón ABCDEF.

Cieľovú čiaru je možné vykresliť podľa rovnice

Vektor C postavíme z bodu (0; 0) do bodu (3; 2). Bod E je posledným vrcholom polygónu realizovateľných riešení ABCDEF, cez ktorý prechádza cieľová čiara a pohybuje sa smerom k vektor C. Preto E je maximálny bod CF. Určme súradnice bodu E zo sústavy rovníc priamych obmedzení (1) a (2)

X1 + 2x 2 = 6, (1) x1 = 10/3 = 3 1/3, x2 = 4/3 = 1 1/3

2 X1 + x 2 = 8, (2) E3 1/3; 1 1/3

Maximálna hodnota CF je L (E) = 3 * 10/3 + 2 * 4/3 = 12 2/3

Riešenie úlohy lineárneho programovania (LPP) grafickou metódou

Všeobecný výkaz zlp

Nájdite hodnoty n premenných x 1, x 2,…, x n, čím získate extrém (minimum alebo maximum) lineárna funkcia Z = C1 x 1, + C2 x 2 +… + Cn x n

a súčasne splnenie m obmedzení formulára

a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 +… + a 1, n x n£ = ≥b 1,

a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 +… + a 2, n x n£ = ≥b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

a m, 1 x 1 + a m, 2 x 2 +… + a m, n x n£ = ≥b m,

pre dané a i, j, b i, Cj (i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., n). Znak vzťahu môže mať ktorúkoľvek z troch zobrazených hodnôt.

Príklad úlohy lineárneho programovania

Zvážte nasledujúci problém. Manažér firmy, ktorá vyrába dva druhy farieb, opísal prevádzkovému výskumníkovi situáciu na trhu výroby a predaja farieb. Ukázalo sa, že továreň vyrába dva typy farieb: pre interiér a externé práce... Oba nátery idú do veľkoobchod... Na výrobu farieb sa používajú dva východiskové produkty - A a B. Maximálne možné denné zásoby týchto produktov sú 6, resp. 8 ton. Skúsenosti ukazujú, že denná potreba vonkajšej farby nikdy neprekročí potrebu vnútornej farby o viac ako 1 tonu. Okrem toho sa zistilo, že dopyt po vonkajších farbách nikdy nepresiahne 2 tony za deň. Veľkoobchodné ceny za jednu tonu farieb sa vyvinuli nasledujúcim spôsobom: 3 000 rubľov za vonkajší náter a 2 000 rubľov za interiér. Koľko z každej farby by mala továreň vyrobiť, aby maximalizovala príjmy z predaja?

Na vyriešenie problému, ktorý výskumník kladie, je najprv potrebné vypracovať matematický model opísanej situácie.

Pri konštrukcii matematického modelu si operačný výskumník kladie tri otázky.

• Pre aké množstvá by sa mal model postaviť? Inými slovami, musíte identifikovať premenné úlohy.
• Aké obmedzenia musia byť uložené premenným, aby sa splnili podmienky charakteristické pre modelovaný systém?
• Aký je cieľ, na dosiahnutie ktorých zo všetkých možných (prípustných) hodnôt premenných je potrebné vybrať tie, ktoré budú zodpovedať optimálnemu (najlepšiemu) riešeniu problému?

Predstavme si premenné:

x 1 - denná výroba vonkajšej farby (v tonách),

x 2 je denná výroba interiérových farieb (v tonách).

Berúc do úvahy Veľkoobchodné ceny na tonu každého druhu farby je denný príjem z predaja vyrobených výrobkov daný lineárnou účelovou funkciou Z = 3x 1 + 2x 2.

Cieľom výroby je maximalizovať zisk, čo znamená, že musíte nájsť hodnoty x 1 a x 2, ktoré maximalizujú cieľovú funkciu Z.

Keďže výrobca farby nemôže s hodnotami premenných disponovať ľubovoľným spôsobom, je potrebné vyzdvihnúť množinu možných hodnôt týchto premenných, ktorá je určená špecifickými podmienkami výroby a marketingu. Táto množina sa nazýva rozsah platných hodnôt.

Prvý typ obmedzení je určený skladovými zásobami produktov A a B, z ktorých sa farby vyrábajú. Z technológie výroby je známe, že dve časti výrobku A sa použijú na výrobu tony vonkajšej farby a jedna časť na tonu vnútornej farby. Pre produkt B je pomer opačný. Títo technologických podmienok sú opísané nerovnosťami

2x 1 + x 2 £ 6 (na sklade 6 ton produktu A),

x 1 + 2x 2 £ 8 (na sklade 8 ton produktu B).

Posledné dve obmedzenia znamenajú zjavnú okolnosť: nemožno ich použiť na výrobu farieb viac produktov A a B, než sú v skutočnosti v sklade.

Situácia s predajom farieb na trhu vedie k nasledujúcim obmedzeniam: x 1 - x 2 £ 1 (vonkajšia farba sa predáva najviac o jednu tonu viac ako vnútorná), x 1 £ 2 (nie viac ako dve tony vonkajšieho náteru sa predávajú za deň).

Ak zhrnieme všetko, čo bolo povedané, je možné zostaviť matematický model popisujúci súčasnú situáciu vo výrobe v nasledujúcej forme:

Nájsť® max (Z = 2 × x 1 + 3 × x 2) s nasledujúcimi obmedzeniami hodnôt premenných x 1 a x 2

2 × x 1 + x 2 £ 6 obmedzenie (1),

X 1 + 2 × x 2 £ 8 obmedzenie (2),

X 1 – x 2 £ 1 obmedzenie (3),

X 1 £ 2 obmedzenie (4)

a požiadavka nezápornosti premenných x 1 ³ 0 (5), x 2 ³ 0 (6).

Prijaté matematický model je problém lineárneho programovania.

Grafická metóda rozhodnutia zlp

Grafickú metódu riešenia slp je možné implementovať iba v dvojrozmernom prípade.

Matematický model získaný pre formulovaný typický problém si vyžaduje výskum, pretože nie je vopred známe, či má (ako matematický problém) Riešenie. Výskum bude realizovaný pomocou grafických konštrukcií. Zároveň s takýmto výskumom nájdeme (ak nejaké) riešenie.

1. fáza Výstavba regiónu realizovateľných riešení

Cieľom je vybudovať oblasť, ktorej každý bod spĺňa všetky obmedzenia.

Každé zo šiestich obmedzení geometricky definuje polrovinu. Na jej vybudovanie potrebujete:

• · Nahraďte znamienko nerovnosti rovnosťou v obmedzení (dostaneme rovnicu priamky);

• · Zostavte priamku z dvoch bodov;

• · Určte, ktorá polrovina je daná znamienkom nerovnosti. Ak to chcete urobiť, nahraďte nejaký bod v nerovnosti (napríklad počiatok súradníc). Ak vyhovie nerovnosti, premaľte polrovinu, ktorá ju obsahuje.

Takéto akcie vykonávame pre všetky obmedzenia. Každá z priamych čiar bude označená číslami prijatými pri číslovaní obmedzení (pozri obr.).

Oblasť realizovateľných riešení (spĺňajúce všetky väzby) je množina bodov prvého kvadrantu súradnicovej roviny (x 1, x 2), ktorá je priesečníkom všetkých polrovín definovaných nerovnosťami obmedzení.

Množina bodov, ktoré spĺňajú všetkých šesť obmedzení problému, je polygón AFEDCB.

2. fáza Konštrukcia čiar cieľovej funkčnej úrovne a určenie maximálneho bodu

Cieľom je nájsť v zostrojenom polygóne AFEDCB je bod, v ktorom cieľová funkcia Z = 2x 1 + 3x 2 dosiahne svoju maximálnu hodnotu.

Nakreslíme priamku 2x 1 + 3x 2 = Const (úrovňová čiara) tak, aby pretínala polygón AFEDCB (napríklad Const = 10). Táto čiara úrovne je na obrázku znázornená prerušovanou čiarou.

Ak vezmeme do úvahy hodnoty lineárnej účelovej funkcie Z na množine bodov (x 1, x 2) patriacich do segmentu prerušovanej čiary umiestnenej vo vnútri šesťuholníka, potom sa všetky rovnajú rovnakej hodnote (Const = 10).

Určme smer nárastu funkcie. Ak to chcete urobiť, nakreslite čiaru úrovne s väčšou hodnotou. Bude to priamka, rovnobežná s vybudovanou, ale umiestnená vpravo. Preto v daný smer hodnota účelovej funkcie stúpa a je v našom záujme posunúť ju týmto smerom čo najďalej.

Posun môže pokračovať, pokiaľ posunutá čiara pretína polygón možného riešenia. Posledná pozícia priamky, keď má jednu spoločný bod s polygónom AFEDCB (bod C), zodpovedá maximálna hodnotaúčelová funkcia Z a je dosiahnutá v bode C so súradnicami x 1 = 4/3 ("1,333), x 2 = 10/3 (" 3,333). V tomto prípade Z = 38/3 (»12,667).

Úloha bola úplne vyriešená. Z vykonaných geometrických úvah je zrejmé, že riešenie je jedinečné. Urobme niekoľko zovšeobecnení, ktoré vyplývajú z geometrickej interpretácie problému.

najprv. Oblasť realizovateľných riešení je konvexný mnohouholník ( Prečo konvexné? Môže byť doménou realizovateľných riešení prázdna množina? bod? sekcia? Ray? Priamy? Ak áno, uveďte príklad systému obmedzení).

Po druhé. Maximum cieľovej funkcie sa dosiahne na vrchole polygónu realizovateľných riešení ( ale môže existovať viac ako jediné riešenie? Nemôže existovať žiadne riešenie?)

Úloha 1 (dokončite v triede, ukážte učiteľovi)

Riešiť grafickou metódou

A) F = 2 x 1 + 3 x 2 a max S obmedzeniami x 1 + 3 x 2 ≤ 18 2 x 1 + x 2 ≤ 16 x 2 ≤ 5 3 x 1 ≤ 21 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0	B) F = 4 x 1 + 6 x 2 a min S obmedzeniami 3 x 1 + x 2 ≥ 9 x 1 + 2 x 2 ≥ 8 x 1 + 6 x 2 ≥ 12 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0
C) F = 3 x 1 +3 x 2 è max S obmedzeniami x 1 + x 2 ≤ 8 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 - 2 x 2 ≤ 2 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0	D) F = 2 x 1 -3 x 2 a min S obmedzeniami x 1 + x 2 ≥ 4 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 - 2 x 2 ≤ 1 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0

A) x1 = 6 x2 = 4 F = 24

B) x1 = 2 x 2 = 3 F = 26

C) x1Î x2 = 8-x1 F = 24

Úloha 2 (dokončite v triede, ukážte učiteľovi)

Odpovedzte na otázky kurzívou.

3. úloha (domáca úloha)

Napíšte program.

Dan textový súbor druhu

2 3 (koeficienty účelovej funkcie)

4 (počet obmedzení)

2 2 12 (obmedzenia)

1 2 8

4 0 16

0 4 12

Zostrojte rovné čiary tak, aby mnohouholník realizovateľných riešení bol celý na obrazovke (definíciu mierky nájdete v knihe. Onegov). Priame čiary môžu byť rovnobežné s osami!

Zostrojte niekoľko riadkov úrovne cieľovej funkcie (stlačte kláves - riadok sa posunie, zobrazí sa hodnota cieľovej funkcie). Zobraziť mierku.

Grafické obrázky sú dôležitou metódou vedeckej analýzy štatistického materiálu. Prvé pokusy o využitie grafických metód v ekonomickom výskume sa začali v 80. rokoch 18. storočia. Širšie uplatnenie sa však grafická metóda dočkala až neskôr - v polovici 18. storočia, najmä potom, čo po prvý raz v histórii štatistiky urobila správa predstaviteľa berlínskeho štatistického úradu Schwabeho „Teória grafické obrázky"na 8. medzinárodnom štatistickom kongrese (Petersburg, 1872). Podľa známeho vyjadrenia nemeckého fyzika F. Auerbacha sa 20. storočie nieslo v znamení" víťazného tempa grafickej metódy vo vede."

čo je to graf? Graf je formou vizuálnej prezentácie štatistických údajov o sociálno-ekonomických javoch a procesoch prostredníctvom geometrické obrázky, výkresy alebo schémy geografické mapy a vysvetlenia k nim.

Graf má päť hlavných prvkov celkový dizajn: lúka, súradnicová mriežka, grafické značky a ich umiestnenie v grafovom poli, mierka a vysvetlenie (obr. 10.3).

Ryža. 10.3. Hlavné prvky grafu

Každý z týchto prvkov má svoj vlastný účel a zohráva zodpovedajúcu úlohu pri konštrukcii a interpretácii. Pole grafu je priestor, v ktorom sú umiestnené geometrické a iné znaky, ktoré tvoria grafický obraz.

Grafický obrázok je súbor rôznych symbolických znakov, pomocou ktorých sa odrážajú štatistické údaje. Tieto znaky môžu byť zobrazené vo formách: čiary, body, geometrické, grafické a niekedy aj negeometrické tvary.

Súradnicová mriežka je pravouhlý súradnicový systém, v ktorom je čas vynesený na vodorovnej osi a indikátory mierky na zvislej osi.

Mierka je podmienená miera prevodu číselnej hodnoty štatistického javu na grafickú a naopak. Slúži na inštaláciu číselné hodnoty javy vyjadrené v grafe.

Vysvetlenie grafu je slovné vysvetlenie jeho špecifického obsahu, ktoré zvyčajne zahŕňa:

1) nadpis s potrebnými dodatočnými vysvetleniami;

2) presné vysvetlenie podstaty, podmienečne poskytnuté v tento graf jeho grafické znaky (geometrické, grafické, pozadie, čisto konvenčné)

3) ďalšie vysvetlenia, poznámky atď.

Okrem toho niektoré Ďalšie informácie, napríklad číselné údaje, ktoré ovplyvňujú niektoré grafické znaky a opakujú sa v digitálna forma ich presné hodnoty vyjadrené graficky.

Hrajú najmä grafy dôležitá úloha pri štúdiu komplexných vzájomných súvislostí sociálno-ekonomických javov a procesov, zisťovaní trendov, zákonitostí a zmien ukazovateľov dynamiky, ako aj v r. prebiehajúca analýza... Hlavné rozdiely a výhody grafickej metódy v porovnaní s ostatnými sú: lepšia prehľadnosť; schopnosť všeobecne pokryť údaje študovaných; schopnosť vyjadriť niektoré analytické závislosti, ktoré nie sú veľmi jasné a ťažko identifikovateľné inými spôsobmi prezentácie údajov.

Pomocou harmonogramov môžete vykonávať operatívnu kontrolu výroby, predaja výrobkov, plnenia zmluvných záväzkov a zadaných úloh. Rozvrhy sú teda priradené:

Zhrnúť a analyzovať údaje;

Obraz distribúcie údajov;

Odhalenie zákonitostí vývoja skúmaných javov a procesov v dynamike;

Reflexia vzťahu ukazovateľov;

Kontrola nad výrobou, realizácia zmlúv o predaji produktov a podobne.

existuje rôzne klasifikácie grafy - vo forme grafických obrázkov, v obsahu, povahe úloh.

Podľa tvaru grafických obrázkov sa rozlišujú tieto typy grafov:

1) bod;

2) lineárne;

3) rovinný;

4) objemové;

5) umelecké (obrazové, konvenčné).

V bodových grafoch je objem populácie vyjadrený buď ako jeden bod, alebo ako akumulácia bodov. Jedna bodka môže predstavovať jednu alebo viacero udalostí (napr. jeden závod, 500 pracovníkov).

Čiarové grafy pozostávajú z niekoľkých čiar: priamych čiarových segmentov, prerušovaných čiar, stupňovitých, hladkých kriviek (hlavne na vyjadrenie dynamiky populácie). Úseky priamych čiar sú často nahradené pásmi rovnakej šírky, ktoré tiež fungujú ako grafické znaky, ale v jednom rozmere (dĺžke). V takýchto prípadoch sa grafy nazývajú stĺpcové grafy, ak sú pruhy umiestnené vertikálne, alebo pásové grafy, ak sú pruhy horizontálne.

Stĺpcové grafy sú zase rozdelené do stĺpcových grafov: jednoduché a plné, zo skupín stĺpcov atď. a pásové grafy sú rozdelené do pásových grafov: jednoduché a krokové grafy, zložkové grafy, posuvné, obojstranne orientované (napr. "veková pyramída" zloženia obyvateľstva) ...

TO špeciálne typy medzi čiarové grafy patria špirálové (pre javy, ktoré sa vyvíjajú neobmedzene v čase a so zvyšujúcou sa veľkosťou), radiálne diagramy (na zobrazenie vzorcov periodicky sa opakujúcich javov, ich rytmu, sezónnosti).

Rovinné parcely sú parcely dvoch rozmerov vo forme rovín rôznych geometrických tvarov. V závislosti od toho môžu byť štvorcové, kruhové, sektorové. Tieto grafy je vhodné použiť na porovnanie javov reprezentovaných absolútnymi a relatívnymi hodnotami.

Dôležitými vlastnosťami planárnych grafov sú dvojrozmerné „Varzarovo znamenie“, pásový alebo prúdový graf a vyvážený graf.

Dvojrozmerný „Varzarov znak“ (pomenovaný po svojom vynálezcovi, ruskom štatistikovi VE Varzarovi) je obdĺžnik so základňou a, výškou b a plochou Sab, ktorý je užitočný na grafické vyjadrenie pomerne častých podobných pomerov troch veličín a, podľa S. .

Pásový alebo prúdový diagram sa používa na schematické vyjadrenie objemu a zloženia nákladnej dopravy medzi dvoma bodmi v jednom a druhom smere.

Rovnovážny graf je obojstranný pásový graf s pásmi, ktoré sa rozvetvujú v dvoch smeroch, aby získali viac úzke pruhy svojou šírkou vyjadrujú zodpovedajúce hodnoty položiek príjmov a výdavkov, položiek majetku a záväzkov a podobne.

objemová - 3D grafika, ktoré sa používajú zriedkavo, keďže sú menej výrazné ako lineárne a plošné.

Umelecké (obrazové, konvenčné) - grafy s konvenčnými grafickými znakmi, ktoré odrážajú celok alebo jeho jednotlivé významy vo forme ľudských postáv, obrysov zvierat, schematické výkresy položky atď.

Veľký význam má klasifikácia grafov podľa ich obsahu. S ohľadom na túto skutočnosť sú grafy rozdelené do dvoch tried – grafy a štatistické mapy.

Diagram je grafické vyjadrenie objemov a charakteristík jedného alebo viacerých agregátov pomocou kvantitatívnych grafických znakov (geometrické, umelecké, pozadie, čisto konvenčné).

Diagram však nedáva grafická prezentácia o územné rozloženie zobrazených agregátov alebo územná zmena ich znakov. Na tento účel sa používajú štatistické mapy na zobrazenie územného rozloženia populácie alebo územnej zmeny ich vlastností. Delia sa do dvoch tried – kartogramy a kartodiagramy.

Kartogramy sú vrstevnicové geografické mapy, na ktorých sú pomocou grafických značiek prezentované kvantitatívne územné charakteristiky obyvateľstva.

Kartografické diagramy sú vrstevnicové geografické mapy, kde sú oddelené oblasti (regióny, body) územia zakreslené rovnakým typom diagramu (jedným alebo viacerými), zobrazujúcimi objemové a územné znaky rovnakého typu agregátov v týchto oblastiach. Takže sú zobrazené napríklad toky tovaru prepravované cestujúcimi, obyvateľstvom, migráciou a podobne.

Grafy a štatistické mapy plnia také dôležité úlohy pri prieskume populácie:

Všeobecné porovnanie medzi nimi;

Štúdium štruktúry;

Štúdium dynamiky;

Štúdium vzťahu ich znakov;

Meranie miery plnenia ekonomických plánov, zmluvných záväzkov v plánovaní a hospodárskej praxi.

Diagramy aj kartogramy sa zase v závislosti od účelu delia na podtriedy, skupiny a formy (tabuľka 10.27).

Pri vytváraní grafov by sa mali dodržiavať tieto požiadavky:

1) spoliehať sa na spoľahlivé číselné údaje;

2) grafika by mala byť zmysluplná v dizajne a zaujímavá z hľadiska obsahu;

3) musia byť postavené v súlade s pridelenými úlohami a ich praktickým účelom;

4) byť mimoriadne hospodárny – obsahovať maximum informácií, myšlienok s minimom prostriedkov ich grafického vyjadrenia, jednoduché, jasné, zrozumiteľné;

5) technicky dobre spracované.

Pozrime sa podrobnejšie na hlavné typy a formy diagramov a štatistických máp, ktoré sa najčastejšie používajú v praxi analytickej práce.

Čiarový graf je jedným z najbežnejších typov grafov, ktorý slúži na zobrazenie dynamiky skúmaných javov. Na jeho konštrukciu sa používa pravouhlý súradnicový systém. Na úsečke sú vynesené rovnaké intervaly - časové obdobia (dni, mesiace, roky atď.) A na zvislej osi - je prijatá stupnica charakterizujúca jednotky merania. Body sa aplikujú na súradnicové pole, ktoré sa rovná hodnote zapnutého ukazovateľa určité obdobie... Potom sú všetky body spojené priamymi čiarami, čo má za následok prerušovaná čiara, ktorá charakterizuje zmenu skúmaného javu za určité časové obdobie (tab. 10.28, obr. 10.4).

	Podtrieda		Odrody a grafickej podobe, najčastejšie sa vyskytuje
Diagramy	I. Diagramy všeobecné porovnanie agregátov	1.homogénne agregáty	Stĺpové, páskové, umelecké
		2. Nepodobné populácie	Stĺpové, páskové, rovinné
	II. Štruktúrne diagramy	1. Diagramy rozloženia obyvateľstva	Polygón, histogram, kumulatívny, ogive, distribučná krivka, Lorentzov graf, korelačné pole
		2. Diagramy pre skupiny	Grafy z pruhov, pásiem, rozdelené na absolútne alebo percentuálne časti, koláčové grafy, bilancie, „veková pyramída“ atď.
	III. Dynamické diagramy	1. Diagramy dynamiky objemov	Stĺpcové, lineárne, kumulatívne, špirálové, umelecké grafy
		2. Diagramy dynamiky štruktúry	Stĺpcové grafy s percentuálnym delením, v kruhoch s delením na sektory atď.
		3. Sezónne tabuľky	Lineárne, stĺpcové, radiálne grafy
	IV. Diagramy prepojenia znamenia	1. Konštelačné konfiguračné diagramy	Miesto, pozadie
		2. Diagramy komunikačných foriem	Zlomené alebo hladké krivky
		3. Diagramy stupňa tesnosti komunikácie	Uzavreté obrysy korelačného poľa vo forme stupňovitých prerušovaných čiar alebo eliptických kriviek atď.
	V. Schémy realizácie plánov	1. Diagramy aktuálneho vykonávania	Čiarové diagramy, Ganttov diagram
		2. Grafy pokroku od začiatku obdobia	Kumuluje, kumulatívne Ganttove diagramy, Lorentzove diagramy
Štatistické mapy	Vi. Kartogramy	1. Kartogramy rozmiestnenia jednotiek obyvateľstva	Bodové kartogramy
		2. Kartogramy umiestnenia súhrnného objemu značiek	Bodové kartogramy
		3. Kartogramy zmien súhrnných charakteristík	Bod, kartogramy na pozadí
		4. Izoliárne kartogramy	Lineárne kartogramy
		5. Centrogramy	Bodové kartogramy

Tabuľka 10.28. Investície do fixných aktív v bytovej výstavbe na Ukrajine v rokoch 2000-2005 p.b., v skutočných cenách, mil. UAH

Údaje z grafu naznačujú, že objem investícií do investičného majetku v bytovej výstavbe na Ukrajine v skutočných cenách od roku 2000 do roku 2005 rástol.

Ryža. 10.4. Dynamika objemu investícií do investičného majetku v bytovej výstavbe na Ukrajine v rokoch 2000-2005, V skutočných cenách, mil. UAH

Lineárne grafy sú postavené na špeciálne navrhnutej mriežke, kde sú časové jednotky položené horizontálne a výskumné objekty sú umiestnené vertikálne. Navyše každý horizontálny segment zodpovedá 100% plneniu plánovaného cieľa. Tieto segmenty sú deliteľné 5 rovnakými dielmi, z ktorých každá zodpovedá 20 % plánovaného cieľa.

Stupeň implementácie plánu na grafe je znázornený dvoma čiarami: tenkou prerušovanou čiarou - za jednotku času (deň, desaťročie) a plnou hrubou čiarou - za vykazované obdobie ako celok.

Uvažujme na príklade o postupe pri zostavovaní harmonogramu plánovanej trate.

Príklad. Stavať čiarový graf splnenie plánovanej úlohy brigádou robotníkov zo stavebných a montážnych prác s využitím údajov v tabuľke. 10.29.

Tabuľka 10.29. Realizácia plánovanej úlohy tímom pracovníkov zo stavebných a montážnych prác

Harmonogram realizácie plánovanej úlohy tímom staviteľov pre stavebné a inštalačné práce je znázornený na obr. 10.5.

Tenká súvislá čiara prvého dňa zodpovedá 90% plánu a zaberá štyri a pol buniek a čiara druhého dňa - 80% a zaberá štyri bunky, tretia denná čiara sa tiahne presne päť a štvrtá - päť buniek (100%) plus ďalší segment nižšie, ktorý zaberá 20% atď.

Kumulatívne zobrazenie úrovne vykonávania plánu vyžaduje niektoré dodatočné výpočty. Takže v prvý deň bude plná tučná čiara dlhá ako tenká súvislá čiara - 90% a zaberie štyri a pol bunky. Ďalej je potrebné urobiť nasledujúce výpočty: za dva dni bolo skutočne dokončených 513 m2 (225 + 288). Z tohto množstva je 250 m 2 započítaných na plnenie plánu za prvý deň. Potom na účet druhého dňa bude 263 m 2 , čo je podľa plánu na tento deň 91 % (263 288).

Podľa tučného písma zaberá prvý deň päť buniek a druhý deň 91 %. Za tri dni bolo reálne dokončených 923 m2 (225 + 288 + 410). Na plnenie plánu je za prvé dva dni evidovaných 610 m 2 a na tretí deň 313 m 2, čo je podľa plánu na tento deň 76 % (313 : 410). Hrubá čiara zaberie 5 buniek v prvý a druhý deň a 76 % v treťom dni. Všetky ďalšie výpočty sa vykonávajú rovnakým spôsobom. Miera plnenia plánu na každý deň na tučnej čiare je vyznačená bodkami.

Stĺpcový graf- veľmi bežný typ grafov v jednej dimenzii kvôli ich prehľadnosti a jednoduchosti. Štatistické údaje v nich sú znázornené vo forme obdĺžnikov rovnakej šírky umiestnených vertikálne pozdĺž vodorovnej čiary (obr. 10.6).

Výška pruhov by mala zodpovedať veľkosti zobrazených javov. Ak sú pruhy umiestnené vodorovne, potom sa takýto graf nazýva pásový graf (obrázok 10.7).

Stĺpcové a pásové grafy umožňujú porovnávať množstvá rôzne významy, charakterizovať rovnaký jav v dynamike; charakterizovať totalitu.

Koláčové grafy (alebo koláčové) - diagramy určené na zobrazenie štruktúry študovaných javov a procesov. Sú znázornené vo forme kruhu rozdeleného na sektory, ktorých hodnoty zodpovedajú veľkostiam zobrazených javov (obr. 10.8).

Ako dokazujú údaje z grafu (obr.10.8), hlavným zdrojom financovania lízingových operácií na Ukrajine sú bankové úvery (80,9%), potom - vlastné prostriedky(16,1 %). Vypožičané prostriedky právnických osôb tvoria len 3,6 %.

Ryža. 10.6. Dynamika objemu investícií do investičného majetku v bytovej výstavbe na Ukrajine v rokoch 2000-2005 p.b., v skutočných cenách, mil. UAH

Ryža. 10.7. Dynamika objemu investícií do investičného majetku v bytovej výstavbe na Ukrajine v rokoch 2000-2005 p.b., v skutočných cenách, mil. UAH

V moderné podmienky rozvoj informačných a počítačových systémov, bolo možné vytvárať grafy pomocou balíkov počítačové programy, počítajúc do toho tabuľky EXCEL, "Statistica-6" atď. Ľahko sa používajú a výrazne zjednodušujú túto prácu.

Ryža. 10.8. Štruktúra zdrojov financovania lízingových operácií na Ukrajine začiatkom roka 2005 p.,%