Lagrange fonksiyonunu kullanarak bir ekstremum nasıl bulunur. Koşullu optimizasyon. Lagrange çarpan yöntemi

bir (t) z (n) (t) + bir - 1 (t) z (n - 1) (t) + ... + a1 (t) z "(t) + a0 (t) z (t) = f(t)

genel çözümde keyfi sabitlerin değiştirilmesinden oluşur

z (t) = c1z1 (t) + c2z2 (t) + ...

cnzn (t)

karşılık gelen homojen denklem

bir (t) z (n) (t) + bir - 1 (t) z (n - 1) (t) + ... + a1 (t) z "(t) + a0 (t) z (t) = 0

türevleri lineer cebirsel sistemi sağlayan ck (t) yardımcı fonksiyonlarına

(1) sisteminin determinantı, z1, z2, ..., zn fonksiyonlarının Wronskian'ıdır ve buna göre benzersiz çözülebilirliğini sağlar.

İntegrasyon sabitlerinin sabit değerlerinde alınan antitürevler ise, fonksiyon

orijinal lineer homojen olmayan diferansiyel denklemin bir çözümüdür. Entegrasyon homojen olmayan denklem karşılık gelen homojen denklemin genel bir çözümünün varlığında, bu nedenle karelere indirgenir.

Lagrange yöntemi (keyfi sabitlerin varyasyon yöntemi)

Belirli bir çözüm bulmadan homojen bir denklemin genel çözümünü bilerek, homojen olmayan bir denklemin genel çözümünü elde etmek için bir yöntem.

n. mertebeden lineer homojen diferansiyel denklem için

y (n) + a1 (x) y (n-1) + ... + an-1 (x) y "+ bir (x) y = 0,

nerede y = y (x) - bilinmeyen fonksiyon, a1 (x), a2 (x), ..., an-1 (x), an (x) biliniyor, sürekli, doğru: 1) y1 (x), y2 denkleminin lineer bağımsız n tane çözümü var (x), ..., yn(x); 2) c1, c2, ..., cn sabitlerinin herhangi bir değeri için, y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) işlevi bir denklemin çözümü; 3) herhangi bir başlangıç ​​değeri x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 için c * 1, c * n, ..., c * n değerleri vardır, öyle ki çözüm y * (x) = c * 1 y1 (x) + c * 2 y2 (x) + ... + c * n yn (x), x = x0 y * (x0) = y0, (y) için başlangıç ​​koşullarını sağlar *) "(x0) = y0,1, ..., (y *) (n-1) (x0) = y0, n-1.

y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) ifadesine denir ortak karar n. mertebeden lineer homojen diferansiyel denklem.

n'inci dereceden y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) lineer homojen bir diferansiyel denklemin n lineer bağımsız çözüm kümesine denklemin temel çözüm sistemi denir.

Sabit katsayılı lineer homojen bir diferansiyel denklem için, temel bir çözüm sistemi oluşturmak için basit bir algoritma vardır. Denklemin çözümünü y (x) = exp (lx): exp (lx) (n) + a1exp (lx) (n-1) + ... + an-1exp (lx) " şeklinde arayacağız. + anexp (lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an) exp (lx) = 0, yani l sayısı, ln + a1ln-1 + karakteristik denkleminin köküdür. .. + an-1l + an = 0. Karakteristik denklemin sol tarafına lineer diferansiyel denklemin karakteristik polinomu denir: P (l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + a.Böylece, sabit katsayılarla n'inci mertebeden lineer homojen bir denklemi çözme problemi cebirsel bir denklemi çözmeye indirgenir.

Karakteristik denklemin n farklı gerçek kökü varsa l1№ l2 № ... № ln, o zaman temel çözümler sistemi y1 (x) = exp (l1x), y2 (x) = exp (l2x), . .., yn (x) = exp (lnx) ve homojen denklemin genel çözümü şudur: y (x) = c1 exp (l1x) + c2 exp (l2x) + ... + cn exp (lnx).

basit gerçek kökler için temel çözüm sistemi ve genel çözüm.

Karakteristik denklemin gerçek köklerinden herhangi biri r kez tekrarlanırsa (r-kat kökü), o zaman temel çözüm sisteminde bu, r fonksiyonlarına karşılık gelir; lk = lk + 1 = ... = lk + r-1 ise, denklemin temel çözüm sistemi r fonksiyonlarını içerir: yk (x) = exp (lkx), yk + 1 (x) = xexp (lkx ), yk +2 (x) = x2exp (lkx), ..., yk + r-1 (x) = xr-1 exp (lnx).

ÖRNEK 2. Temel çözüm sistemi ve çoklu gerçek kökler için genel çözüm.

Karakteristik denklemin karmaşık kökleri varsa, o zaman temel çözümler sisteminde lk, k + 1 = ak ± ibk basit (1 çokluğu olan) karmaşık köklerin her bir çifti bir çift fonksiyona karşılık gelir yk (x) = exp (akx) cos (bkx), yk + 1 (x) = exp (akx) sin (bkx).

ÖRNEK 4. Basit karmaşık kökler için temel çözüm sistemi ve genel çözüm. Hayali kökler.

Karmaşık kök çiftinin r çokluğu varsa, o zaman böyle bir çift lk = lk + 1 = ... = l2k + 2r-1 = ak ± ibk, temel çözüm sisteminde exp (akx) cos ( bkx), exp (akx ) günah (bkx), xexp (akx) cos (bkx), xexp (akx) günah (bkx), x2exp (akx) cos (bkx), x2exp (akx) günah (bkx), .. ...... ........ xr-1exp (akx) cos (bkx), xr-1exp (akx) günah (bkx).

ÖRNEK 5. Temel çözüm sistemi ve çoklu karmaşık kökler için genel çözüm.

Bu nedenle, sabit katsayılı lineer homojen diferansiyel denkleme genel bir çözüm bulmak için: karakteristik denklemi yazmalı; l1, l2, ..., ln karakteristik denkleminin tüm köklerini bulun; y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) çözümlerinin temel sistemini yazın; y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) genel çözümü için ifadeyi yazın. Cauchy problemini çözmek için, genel çözüm için ifadeyi başlangıç ​​​​koşullarına ikame etmek ve lineer sistemin çözümleri olan c1, ..., cn sabitlerinin değerlerini belirlemek gerekir. cebirsel denklemler c1 y1 (x0) + c2 y2 (x0) + ... + cn yn (x0) = y0, c1 y "1 (x0) + c2 y" 2 (x0) + ... + cn y "n (x0) ) = y0,1, ........., c1 y1 (n-1) (x0) + c2 y2 (n-1) (x0) + ... + cn yn (n-1) ( x0) = y0, n-1

n. mertebeden lineer homojen olmayan diferansiyel denklem için

y (n) + a1 (x) y (n-1) + ... + an-1 (x) y "+ bir (x) y = f (x),

burada y = y (x) bilinmeyen bir fonksiyondur, a1 (x), a2 (x), ..., an-1 (x), an (x), f (x) biliniyor, sürekli, geçerli: 1 ) y1 (x) ve y2 (x) homojen olmayan denklemin iki çözümüyse, o zaman y (x) = y1 (x) - y2 (x) işlevi karşılık gelen homojen denklemin çözümüdür; 2) y1 (x) homojen olmayan bir denklemin çözümüyse ve y2 (x) ilgili homojen denklemin bir çözümüyse, o zaman y (x) = y1 (x) + y2 (x) işlevi aşağıdakilerin bir çözümüdür homojen olmayan bir denklem; 3) y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) homojen denklemin n lineer bağımsız çözümleri ve yp (x) ise keyfi karar homojen olmayan bir denklemin, o zaman herhangi bir başlangıç ​​\u200b\u200bdeğeri için x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 değerleri vardır c * 1, c * n, ..., c * n gibi y * (x ) = c * 1 y1 (x) + c * 2 y2 (x) + ... + c * n yn (x) + yh (x) çözümünün x = x0 y için başlangıç ​​koşullarını sağladığı * (x0) = y0, ( y *) "(x0) = y0,1, ..., (y *) (n-1) (x0) = y0, n-1.

y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) + yp (x) ifadesine n. mertebeden lineer homojen olmayan diferansiyel denklemin genel çözümü denir.

Sabit katsayılı ve sabit katsayılı homojen olmayan diferansiyel denklemlerin belirli çözümlerini bulmak için: Pk (x) exp (ax) cos (bx) + Qm (x) exp (ax) sin (bx), burada Pk (x) ), Qm (x ) sırasıyla k ve m dereceli polinomlardır, belirli bir çözümü oluşturmak için seçim yöntemi adı verilen basit bir algoritma vardır.

Seçim yöntemi veya yöntemi tanımsız katsayılar, Şöyleki. Denklemin istenen çözümü şu şekilde yazılır: (Pr (x) exp (ax) cos (bx) + Qr (x) exp (ax) sin (bx)) xs, burada Pr (x), Qr (x) ) pr, pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 katsayıları bilinmeyen r = max (k, m) dereceli polinomlardır. xs faktörüne rezonans faktörü denir. Rezonans, karakteristik denklemin kökleri arasında bir kök l = a ± ib çokluğu s olduğu durumlarda gerçekleşir. Onlar. karşılık gelen homojen denklemin karakteristik denkleminin kökleri arasında, gerçek kısmı üsteki katsayı ile çakışacak ve sanal kısım argümandaki katsayı ile çakışacak şekilde varsa trigonometrik fonksiyon denklemin sağ tarafında ve bu kökün çokluğu s ise, aranan özel çözüm bir rezonans faktörü xs içerir. Böyle bir tesadüf (s = 0) yoksa, rezonans faktörü yoktur.

Özel çözüm için ifadenin değiştirilmesi Sol Taraf Denklemin sağ tarafında katsayıları bilinmeyen polinomla aynı formda genelleştirilmiş bir polinom elde ederiz.

İki genelleştirilmiş polinom, ancak ve ancak aynı t kuvvetlerine sahip xtexp (ax) sin (bx), xtexp (ax) cos (bx) biçimindeki faktörlerin katsayıları eşitse eşittir. Bu tür faktörlerin katsayılarını eşitleyerek, 2 (r + 1) bilinmeyene göre 2 (r + 1) lineer cebirsel denklem sistemi elde ederiz. Böyle bir sistemin uyumlu olduğu ve benzersiz bir çözümü olduğu gösterilebilir.

Lagrange çarpan yöntemi.

Lagrange çarpan yöntemi, problem çözmeye izin veren yöntemlerden biridir. doğrusal programlama.

Doğrusal olmayan programlama bir bölümdür matematiksel programlama, doğrusal olmayan bir amaç fonksiyonu ve doğrusal olmayan kısıtlamalar tarafından tanımlanan bir uygulanabilir çözümler bölgesi ile ekstrem problemleri çözmek için yöntemler üzerinde çalışmak. Ekonomide bu, sonuçların (verimlilik) kaynak kullanımı ölçeğindeki (veya aynı olan üretim ölçeğindeki) değişimle orantılı olarak artması veya azalması gerçeğine tekabül eder: örneğin, bölünme nedeniyle. işletmelerde üretim maliyetleri değişken ve koşullu olarak sabit; mal talebinin doygunluğu nedeniyle, sonraki her birimin satılması bir öncekinden daha zor olduğunda vb.

Doğrusal olmayan programlama problemi, belirli bir parametrenin optimumunu bulma problemi olarak ortaya çıkar. amaç fonksiyonu

F (x 1, ... x n), F (x) → maksimum

şartlar sağlandığında

g j (x 1, ... x n) ≥0, G (x) ≤ B , x ≥ 0

nerede x-gerekli değişkenlerin vektörü;

F (x) bir amaç fonksiyonudur;

G (x) - kısıtlamaların işlevi (sürekli türevlenebilir);

B - kısıtlama sabitlerinin vektörü.

Doğrusal olmayan bir programlama problemine (küresel maksimum veya minimum) bir çözüm, kabul edilebilir kümenin sınırına veya iç kısmına ait olabilir.

Doğrusal programlama probleminin aksine, doğrusal olmayan programlama probleminde optimum, mutlaka kısıtlamalar tarafından tanımlanan bölgenin sınırında bulunmaz. Başka bir deyişle, sorun, verilen fonksiyonun maksimum (veya minimum) değerine ulaşıldığı eşitsizlikler biçiminde bir kısıtlama sistemine tabi olan değişkenlerin bu tür negatif olmayan değerlerini seçmektir. Aynı zamanda, amaç fonksiyonunun veya eşitsizliklerin formları öngörülmemiştir. Belki farklı durumlar: amaç fonksiyonu doğrusal değildir ve kısıtlamalar doğrusaldır; amaç fonksiyonu doğrusaldır ve kısıtlamalar (en az biri) doğrusal değildir; hem amaç fonksiyonu hem de kısıtlamalar doğrusal değildir.

Doğrusal olmayan programlama sorunu oluşur Doğa Bilimleri, teknoloji, ekonomi, matematik, iş ilişkileri alanında ve hükümet biliminde.

Örneğin, doğrusal olmayan programlama, temel bir ekonomik sorunla ilişkilidir. Dolayısıyla, sınırlı kaynakların dağıtımı probleminde, ya verimlilik maksimize edilir ya da tüketici incelenirse, kaynak eksikliği koşullarını ifade eden kısıtlamaların varlığında tüketim. Böyle genel bir ortamda, problemin matematiksel formülasyonu imkansız hale gelebilir, ancak belirli uygulamalarda, tüm fonksiyonların nicel formu doğrudan belirlenebilir. Örneğin, sanayi kuruluşu plastik ürünler üretmektedir. Üretimin verimliliği burada kârla tahmin edilir ve kısıtlamalar mevcut işgücü, üretim alanı, ekipman verimliliği vb. olarak yorumlanır.

Maliyet etkinliği yöntemi aynı zamanda doğrusal olmayan programlama şemasına da uyar. Bu yöntem, devlet yönetiminde karar vermede kullanılmak üzere geliştirilmiştir. Ortak işlev verimlilik refahtır. Burada doğrusal olmayan programlamanın iki sorunu ortaya çıkar: birincisi sınırlı maliyetlerle etkiyi maksimize etmek, ikincisi ise etkinin belirli bir minimum seviyenin üzerinde olması şartıyla maliyetleri minimize etmektir. Bu görev genellikle doğrusal olmayan programlama kullanılarak iyi modellenmiştir.

Doğrusal olmayan programlama problemini çözmenin sonuçları, hükümet kararlarının alınmasında yardımcı olur. Elde edilen çözüm elbette tavsiye edilir; bu nedenle, nihai kararı vermeden önce doğrusal olmayan programlama probleminin formülasyonunun varsayımlarını ve doğruluğunu araştırmak gerekir.

Doğrusal olmayan problemler karmaşıktır ve genellikle doğrusal problemlere yol açarak basitleştirilir. Bunun için geleneksel olarak belirli bir alanda amaç fonksiyonunun bağımsız değişkenlerdeki değişimle orantılı olarak arttığı veya azaldığı varsayılır. Bu yaklaşıma parçalı doğrusal yaklaşımlar yöntemi denir, ancak yalnızca bazı doğrusal olmayan problem türlerine uygulanabilir.

Doğrusal olmayan görevler belirli koşullar Lagrange işlevi kullanılarak çözülür: onu bulmak Eyer noktası, böylece soruna bir çözüm bulmak. N. p.'nin hesaplama algoritmaları arasında. harika yer gradyan yöntemlerle işgal edilir. Doğrusal olmayan problemler için evrensel bir yöntem yoktur ve görünüşe göre çok çeşitli oldukları için olmayabilir. Çok uç sorunları çözmek özellikle zordur.

Doğrusal olmayan programlama problemini bir denklem sistemini çözmeye indirgememizi sağlayan yöntemlerden biri belirsiz Lagrange çarpanları yöntemidir.

Lagrange çarpan yöntemini kullanarak, özünde, gerekli koşullar eşitlik kısıtlamaları ile optimizasyon problemlerinde optimum noktaların belirlenmesine izin verir. Bu durumda, kısıtlamalarla ilgili problem, Lagrange çarpanları adı verilen bazı bilinmeyen parametrelerin göründüğü, eşdeğer bir kısıtlamasız optimizasyon problemine dönüştürülür.

Lagrange çarpan yöntemi, sorunları koşullu ekstremum koşulsuz ekstremum problemlerine yardımcı fonksiyon- Lafta. Lagrange fonksiyonları.

Fonksiyonun ekstremum problemi için F(x 1, x 2, ..., xn) koşullar altında (kısıt denklemleri) φ ben(x 1, x 2, ..., xn) = 0, ben= 1, 2,..., m, Lagrange işlevi şu şekildedir:

L (x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,… λm) = f (x 1, x 2… x n) + ∑ ben -1 m λ ben φ ben (x 1, x 2… x n)

çarpanlar λ 1, λ 2, ..., λm aranan Lagrange çarpanları.

miktarlar ise x 1, x 2, ..., xn, λ 1, λ 2, ..., λm Lagrange fonksiyonunun durağan noktalarını belirleyen denklemlerin çözümlerinin özü, yani türevlenebilir fonksiyonlar için denklem sisteminin çözümleridir.

o zaman oldukça genel varsayımlar altında x 1, x 2, ..., x n f fonksiyonunun ekstremumunu sağlar.

Eşitlik biçimindeki bir kısıtlamayı hesaba katarak, n değişkenli bir fonksiyonu en aza indirme problemini düşünün:

f'yi küçült (x 1, x 2 ... x n) (1)

kısıtlamalar altında h 1 (x 1, x 2 ... x n) = 0 (2)

Lagrange çarpan yöntemine göre bu problem aşağıdaki kısıtsız optimizasyon problemine dönüştürülür:

minimize L (x, λ) = f (x) -λ * h (x) (3)

burada L (x; λ) işlevine Lagrange işlevi denir,

λ, Lagrange çarpanı olarak adlandırılan bilinmeyen bir sabittir. λ işaretine herhangi bir gereklilik getirilmemiştir.

Verilen bir λ = λ 0 değeri için, L (x, λ) fonksiyonunun x'e göre koşulsuz minimumu x = x 0 noktasında elde edilsin ve x 0, h 1 (x 0) = 0 denklemini karşılar. Daha sonra, görülmesi kolay olduğu gibi, x 0, (2)'yi hesaba katarak (1) en aza indirir, çünkü x'in tüm değerleri (2) için, h 1 (x) = 0 ve L (x, λ) = min f(x).

Elbette, koşulsuz minimum х 0 noktasının koordinatının eşitliği (2) sağlaması için λ = λ 0 değerini seçmek gerekir. Bu, λ'yı bir değişken olarak kabul ederek, λ işlevi biçiminde (3) koşulsuz minimumunu bulur ve ardından eşitliğin (2) sağlandığı λ değerini seçerse yapılabilir. Bunu belirli bir örnekle açıklayalım.

f (x) = x 1 2 + x 2 2 = 0'ı simge durumuna küçültün

h kısıtlaması altında 1 (x) = 2x 1 + x 2 -2 = 0 = 0

Karşılık gelen kısıtsız optimizasyon problemi aşağıdaki gibi yazılır:

en aza indir (x, λ) = x 1 2 + x 2 2 -λ (2x 1 + x 2 -2)

Çözüm. L gradyanının iki bileşenini sıfıra eşitleyerek, şunu elde ederiz:

→ x 1 0 = λ

→ x 2 0 = λ / 2

Durağan nokta x °'nin minimuma karşılık gelip gelmediğini kontrol etmek için, x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilen L (x; u) fonksiyonunun Hessian matrisinin elemanlarını hesaplarız,

hangi pozitif tanımlı olduğu ortaya çıkıyor.

Bu, L (x, u)'nun x'in dışbükey bir fonksiyonu olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, x 1 0 = λ, x 2 0 = λ / 2 koordinatları global minimumun noktasını belirler. optimum değerλ, x 1 0 ve x 2 0 değerlerinin 2x 1 + x 2 = 2 denkleminde değiştirilmesiyle bulunur, bu nedenle 2λ + λ / 2 = 2 veya λ 0 = 4/5. Böylece, koşullu minimuma x 1 0 = 4/5 ve x 2 0 = 2/5'te ulaşılır ve min f (x) = 4/5'e eşittir.

Problemi örnekten çözerken, L (x; λ)'yı iki değişken x 1 ve x 2'nin bir fonksiyonu olarak düşündük ve ayrıca, λ parametresinin değerinin kısıtlamanın sağlanacağı şekilde seçildiğini varsaydık. Sistemin çözümü ise

J = 1,2,3, ..., n

açık fonksiyonlar λ şeklinde elde edilemez, daha sonra х ve λ değerleri, n + 1 bilinmeyenli n + 1 denklemlerden oluşan aşağıdaki sistem çözülerek bulunur:

J = 1,2,3, ..., n., H 1 (x) = 0

hepsini bulmak için olası çözümler Bu sistem, sayısal arama yöntemlerini kullanabilir (örneğin, Newton'un yöntemi). Çözümlerin her biri için (), x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilen L fonksiyonunun Hessian matrisinin elemanlarını hesaplamalı ve bu matrisin pozitif tanımlı (yerel minimum) veya negatif tanımlı (yerel maksimum) olup olmadığını bulmalısınız. ).

Lagrange çarpan yöntemi, problemin eşitlikler şeklinde birkaç kısıtlaması olduğu duruma genişletilebilir. gerektiren genel bir problem düşünün.

f (x)'i simge durumuna küçült

h k = 0, k = 1, 2, ..., K kısıtlamaları altında.

Lagrange işlevi aşağıdaki formu alır:

Buraya λ 1, λ 2, ..., λk-Lagrange çarpanları, yani değerlerinin belirlenmesi gereken bilinmeyen parametreler. L'nin kısmi türevlerini x'e göre sıfıra eşitleyerek, n ​​bilinmeyenli aşağıdaki n denklem sistemini elde ederiz:

Yukarıdaki sisteme λ vektörünün fonksiyonları şeklinde bir çözüm bulmak zorsa, denklemler şeklinde kısıtlamalar ekleyerek sistemi genişletmek mümkündür.

n + K bilinmeyenli n + K denklemlerinden oluşan genişletilmiş sistemin çözümü, L fonksiyonunun durağan noktasını belirler. Daha sonra, hesaplama temelinde gerçekleştirilen bir minimum veya maksimum kontrol prosedürü uygulanır. L fonksiyonunun Hessian matrisinin elemanları, x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilir, tek kısıtlamalı problem durumunda yapıldığına benzer şekilde. Bazı problemler için, n + K bilinmeyenli genişletilmiş n + K denklem sisteminin çözümleri olmayabilir ve Lagrange çarpan yönteminin uygulanamaz olduğu ortaya çıkar. Ancak, uygulamada bu tür görevlere nadiren rastlandığını belirtmek gerekir.

Düşünmek özel durum Doğrusal olmayan programlamanın genel problemi, kısıtlar sisteminin sadece denklemleri içerdiğini varsayarsak, değişkenlerin negatif olmaması için hiçbir koşul yoktur ve ve - fonksiyonları kısmi türevleriyle birlikte süreklidir. Bu nedenle, (7) denklem sistemini çözdükten sonra, (6) fonksiyonunun uç değerlere sahip olabileceği tüm noktalar elde edilir.

Lagrange çarpan yöntemi algoritması

1. Lagrange fonksiyonunu oluşturun.

2. Lagrange fonksiyonunun x J, λ i değişkenlerine göre kısmi türevlerini bulun ve sıfıra eşitleyin.

3. Denklem sistemini (7) çözeriz, problemin amaç fonksiyonunun bir ekstremum değerine sahip olabileceği noktaları buluruz.

4. Bir ekstremumdan şüphelenilen noktalar arasında, ekstremuma ulaşılanları bulur ve bu noktalarda (6) fonksiyonunun değerlerini hesaplarız.

Örnek.

İlk veri:Üretim planına göre işletmenin 180 ürün üretmesi gerekiyor. Bu ürünler iki teknolojik yolla üretilebilir. Yöntem 1'e göre x 1 ürünün üretiminde maliyetler 4x 1 + x 1 2 ruble ve yöntem 2'ye göre x 2 ürünün imalatında ise 8x 2 + x 2 2 ruble. Üretim ürünlerinin maliyetinin minimum olması için yöntemlerin her birinin kaç ürün yapılması gerektiğini belirleyin.

Eldeki görev için amaç fonksiyonu şu şekildedir:
® dk x 1 + x 2 = 180, x 2 ≥0 koşulları altında.
1. Lagrange işlevini oluşturun
.
2. Kısmi türevleri x 1, x 2, λ'ya göre hesaplıyoruz ve bunları sıfıra eşitliyoruz:

3. Ortaya çıkan denklem sistemini çözerek, x 1 = 91, x 2 = 89 buluruz.

4. x 2 = 180-x 1 amaç fonksiyonunda bir ikame yaparak, tek değişkenli bir fonksiyon elde ederiz, yani f 1 = 4x 1 + x 1 2 +8 (180-x 1) + (180-x 1) 2

Hesapla veya 4x 1 -364 = 0,

buradan x 1 * = 91, x 2 * = 89'a sahibiz.

Cevap: Birinci yöntemle üretilen ürün sayısı x 1 = 91, ikinci yöntemle x 2 = 89, amaç fonksiyonunun değeri ise 17278 ruble.

Joseph Louis Lagrange, Torino'da (İtalya) bir İtalyan-Fransız ailesinde doğdu. O okudu ve ardından Topçu Okulu'nda öğretmenlik yaptı. 1759'da Euler'in tavsiyesi üzerine 23 yaşındaki Lagrange, Berlin Bilimler Akademisi üyeliğine seçildi. 1766'da zaten başkanı oldu. Frederick II, Lagrange'ı Berlin'e davet etti. 1786'da II. Frederick'in ölümünden sonra Lagrange Paris'e taşındı. 1722'den itibaren Paris Bilimler Akademisi'nin bir üyesiydi, 1795'te Boylamlar Bürosu'na üye olarak atandı ve metrik ölçü sisteminin oluşturulmasında aktif rol aldı. Daire bilimsel araştırma Lagrange alışılmadık derecede genişti. Onlar mekanik, geometri, matematiksel analiz, cebir, sayılar teorisi ve teorik astronomi. Lagrange'ın araştırmasının ana yönü, mekanikteki çeşitli fenomenlerin tek bir bakış açısıyla sunulmasıydı. Kuvvetlerin etkisi altındaki herhangi bir sistemin davranışını tanımlayan bir denklem türetti. Astronomi alanında, Lagrange kararlılık sorununu çözmek için çok şey yaptı. Güneş Sistemi; özellikle üçgensel serbest bırakma noktalarında bulunan küçük cisimler için bazı özel kararlı hareket durumlarını kanıtladı.

Lagrange yöntemi─ örtük fonksiyonlar olarak yazılan kısıtlamaların yeni bir denklem şeklinde bir amaç fonksiyonu ile birleştirildiği bir koşullu optimizasyon problemini çözmek için bir yöntemdir. Lagrange.

Genel bir doğrusal olmayan programlama probleminin belirli bir durumunu düşünün:

sistem verilmiyor lineer denklemler (1):

(1) gi (x1, x2,…, xn) = bi (i = 1..m),

(2) fonksiyonunun en küçük (veya en büyük) değerini bulun

(2) f (x1, x2, ..., xn),

değişkenler için negatif olmama koşulu yoksa f (x1, x2,…, xn) ve gi (x1, x2,…, xn) kısmi türevleri ile birlikte sürekli olan fonksiyonlardır.

Bu soruna bir çözüm bulmak için aşağıdaki yöntem uygulanabilir: 1. Lagrange çarpanları adı verilen bir λ1, λ2,…, λm değişkenleri kümesini tanıtın, Lagrange fonksiyonunu oluşturun (3)

(3) F (x1, x2,…, xn, λ1, λ2,…, λm) = f (x1, x2,…, xn) + λi.

2. Lagrange fonksiyonunun xi ve λi değişkenlerine göre kısmi türevlerini bulun ve sıfıra eşitleyin.

3. Denklem sistemini çözerek, problemin amaç fonksiyonunun bir ekstremum değerine sahip olabileceği noktalar bulunur.

4. Aşırı olmayandan şüphelenilen noktalar arasında, uç noktaya ulaşılanları bulun ve bu noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın. .

4. f fonksiyonunun elde edilen değerlerini karşılaştırın ve en iyisini seçin.

Üretim planına göre işletmenin 180 ürün üretmesi gerekiyor. Bu ürünler iki teknolojik yolla üretilebilir. Yöntem I'e göre x1 ürünlerinin üretiminde maliyetler 4 * x1 + x1 ^ 2 ruble ve x2 ürünlerinin yöntem II'ye göre imalatında 8 * x2 + x2 ^ 2 ruble'dir. Her bir yöntemle kaç tane ürün yapılması gerektiğini belirleyin, böylece toplam tutarüretim maliyetleri minimum düzeydeydi.

Çözüm: Problemin matematiksel formülasyonu, en küçük değer iki değişkenli fonksiyonlar:

f = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2, sağlanan x1 + x2 = 180.

Lagrange fonksiyonunu oluşturalım:

F (x1, x2, λ) = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2 + λ * (180-x1-x2).

Kısmi türevlerini x1, x2, λ'ya göre hesaplayalım ve 0'a eşitleyelim:

λ'yı ilk iki denklemin sağ taraflarına taşıyın ve sol taraflarını eşitleyin, 4 + 2 * x1 = 8 + 2 * x2 veya x1 - x2 = 2 elde ederiz.

Son denklemi x1 + x2 = 180 denklemi ile birlikte çözerek, x1 = 91, x2 = 89 buluyoruz, yani koşulları sağlayan bir çözüm bulduk:

Değişkenlerin bu değerleri için f amaç fonksiyonunun değerini bulalım:

F (x1, x2) = 17278

Bu nokta bir ekstremum için şüphelidir. İkinci kısmi türevler kullanılarak, (91.89) noktasında f fonksiyonunun bir minimumunun olduğu gösterilebilir.

çarpan yöntemiLagrange(İngiliz literatüründe "LaGrange" nin belirsiz çarpanlar yöntemi "), optimizasyon problemlerini çözmek için sayısal bir yöntemdir, bu, amaç fonksiyonunun "koşullu" aşırı değerini (minimum veya maksimum değer) belirlemenizi sağlar.

değişkenleri üzerinde eşitlikler şeklinde belirtilen kısıtlamaların varlığında (yani, kabul edilebilir değerler aralığı belirlenir)

˗ bunlar, fonksiyonun değerinin bir ekstremum eğiliminde olduğu gerçek etki alanındaki fonksiyon argümanının (kontrol edilen parametreler) değerleridir. "Koşullu" ekstremum adının kullanılması, değişkenlerin empoze edilmesinden kaynaklanmaktadır. ek koşul işlevin ekstremumunu ararken kabul edilebilir değer aralığını sınırlayan .

Lagrange çarpanı yöntemi, işlevin kısıtlanmamış optimizasyonu sorununa dönüştürülecek kabul edilebilir değerler kümesinde amaç fonksiyonunun koşullu ekstremumunu bulma problemine izin verir.

fonksiyonlar olması durumunda ve Kısmi türevleriyle birlikte sürekli ise, aynı anda sıfıra eşit olmayan λ değişkenleri vardır ve bunlar için aşağıdaki koşul sağlanır:

Bu nedenle, Lagrange çarpan yöntemine göre, kabul edilebilir değerler kümesinde amaç fonksiyonunun ekstremumunu aramak için, daha da optimize edilen Lagrange fonksiyonu L (x, λ) oluştururum:

burada λ, adı verilen ek değişkenlerin bir vektörüdür. tanımsız faktörler Lagrange.

Böylece f(x) fonksiyonunun koşullu ekstremumunu bulma problemi L(x, λ) fonksiyonunun şartsız ekstremumunu bulma problemine indirgenmiştir.

ve

Lagrange fonksiyonunun ekstremumu için gerekli koşul bir denklem sistemi tarafından verilir (sistem "n + m" denklemlerinden oluşur):

Bu denklem sisteminin çözümü, L (x, λ) fonksiyonunun değerinin yanı sıra f (x) amaç fonksiyonunun değerinin ekstremum değerine karşılık geldiği (X) fonksiyonunun argümanlarını belirlemeye izin verir. .

Lagrange çarpanlarının (λ) değeri, eğer kısıtlamalar, denklemin serbest terimi (sabit) ile formda sunulursa, pratik açıdan ilgi çekicidir. Bu durumda, denklem sistemindeki sabitin değerini değiştirerek amaç fonksiyonunun değerini daha fazla (arttırmak/azaltmak) düşünmek mümkündür. Böylece, Lagrange çarpanı, sınırlayıcı sabit değiştiğinde amaç fonksiyonunun maksimumundaki değişim oranını karakterize eder.

Ortaya çıkan fonksiyonun ekstremumunun doğasını belirlemenin birkaç yolu vardır:

Birinci yol: Uç noktanın koordinatları ve - amaç fonksiyonunun karşılık gelen değeri olsun. Noktaya yakın bir nokta alınır ve amaç fonksiyonunun değeri hesaplanır:

Eğer , daha sonra noktada bir maksimum yer alır.

Eğer , o zaman noktada bir minimum vardır.

İkinci yol: Ekstremin doğasının öğrenilebileceği yeterli bir koşul, Lagrange fonksiyonunun ikinci diferansiyelinin işaretidir. Lagrange fonksiyonunun ikinci diferansiyeli şu şekilde tanımlanır:

eğer ayar noktası asgari, Eğer , o zaman bu noktada amaç fonksiyonu f (x) koşullu maksimum.

Üçüncü yol: Ayrıca, fonksiyonun ekstremumunun doğası, Lagrange fonksiyonunun Hessian'ı dikkate alınarak bulunabilir. Hesse matrisi simetriktir Kare matris matris elemanlarının ana köşegene göre simetrik olduğu noktada fonksiyonun ikinci kısmi türevlerinin sayısı.

Ekstremum türünü (bir fonksiyonun maksimum veya minimum) belirlemek için Sylvester kuralını kullanabilirsiniz:

1. Lagrange fonksiyonunun ikinci diferansiyelinin pozitif olması için fonksiyonun açısal minörlerinin pozitif olması gerekir. Bu koşullar altında, bu noktadaki fonksiyonun bir minimumu vardır.

2. Lagrange fonksiyonunun ikinci diferansiyelinin negatif olması için , işlevin açısal küçüklerinin dönüşümlü olması ve matrisin ilk öğesinin negatif sv olması gerekir. Bu koşullar altında, bu noktadaki fonksiyonun bir maksimumu vardır.

Açısal minör ile orijinal matrisin ilk k satırında ve k sütununda bulunan bir minörü kastediyoruz.

Ana pratik önem Lagrange'ın yöntemi, koşullu optimizasyondan koşulsuz duruma geçmenize ve buna göre cephaneliği genişletmenize izin vermesidir. mevcut yöntemler Sorunu çözmek. Bununla birlikte, bir denklem sistemini çözme problemi, Bu method, v Genel dava daha kolay değil asıl sorun bir ekstremum arayın. Bu tür yöntemlere dolaylı denir. Kullanımları, aşırı bir soruna analitik bir biçimde (örneğin, belirli teorik hesaplamalar için) bir çözüm elde etme ihtiyacı ile açıklanmaktadır. Spesifik hitap ederken pratik görevler genellikle doğrudan yöntemler, optimize edilmiş fonksiyonların değerlerini hesaplama ve karşılaştırmanın yinelemeli süreçlerine dayalı olarak kullanılır.

Hesaplama yöntemi

Aşama 1: Verilen bir amaç fonksiyonundan ve bir kısıtlama sisteminden Lagrange fonksiyonunu belirleyin:

İleri

Makaleye yorumunuzu eklemek için lütfen siteye kayıt olun.

Matematiksel programlama problemlerinin sınıflandırılması

PROGRAMLAMA

DOĞRUSAL OLMAYAN SORUNLARI ÇÖZME YÖNTEMLERİ

Kontrol soruları 4. bölüme

Çözüm şeması ulaşım sorunu

Taşıma problemini çözmenin ana aşamalarını listeleyelim.

1. Kapalı durumu kontrol edin. Görev açıksa, taşıma tablosuna hayali bir tüketim noktası sütunu veya hayali bir tedarikçi satırı eklenir.

2. Bir referans planı oluşturun.

3. Dejenere olmama için referans planını kontrol edin. Dejenere olmama koşulunu yerine getirmek için yeterli dolu hücre yoksa, taşıma tablosunun hücrelerinden biri sıfıra eşit bir teslimat ile doldurulur. Gerekirse, birkaç hücrede sıfır teslimat kaydedilmesine izin verilir.

4. Plan optimallik açısından kontrol edilir.

5. Optimallik koşulları karşılanmazsa, malzemeleri yeniden dağıtarak bir sonraki plana geçin. bilgi işlem süreci optimal plan elde edilene kadar tekrarlanır.

1. Taşıma probleminin matematiksel modelinde amaç fonksiyonunun anlamı nedir?

2. Taşıma probleminin matematiksel modelindeki kısıtlamaların anlamı nedir?

3. Açık (kapalı olmayan) bir taşıma problemini çözmek için potansiyeller yöntemini uygulamak mümkün müdür?

4. Problemin potansiyel yöntemle çözülebilmesi için orijinal taşıma tablosunda ne gibi değişiklikler yapılmalıdır?

5. Yöntemin özü nedir minimum eleman? Bu yöntemin uygulanması sonucunda ulaşım sorununun çözümünün hangi aşaması tamamlanmış olur?

6. Ulaşım planının optimal olup olmadığını nasıl anlarsınız?

7. Ulaşım açısından malzemeleri yeniden dağıtmak ne zaman ve nasıl gereklidir?

8. İnşa edilen ulaşım planının dejenere olduğunu varsayalım. Problemi potansiyeller yöntemiyle çözmeye devam etmek mümkün müdür ve bunun için ne yapılması gerekiyor?

Genel görev matematiksel programlama bölüm 1.1'de formüle edilmiştir. (1.1) - (1.3) modelinde yer alan fonksiyonların tipine bağlı olarak, problem bir veya başka bir matematiksel programlama tipine atıfta bulunur. Doğrusal programlama (tüm işlevler doğrusaldır), tamsayı (çözüm tamsayılarla temsil edilir), ikinci dereceden (amaç işlevi ikinci dereceden bir biçimdir), doğrusal olmayan (sorunun işlevlerinden en az biri doğrusal değildir) ve stokastik programlama ( olasılıksal nitelikteki parametreler dahil edilmiştir).

Doğrusal olmayan programlama problemlerinin sınıfı, sınıftan daha geniştir. doğrusal modeller... Örneğin, çoğu durumda üretim maliyetleri, çıktı hacmiyle orantılı değildir, ancak ona doğrusal olmayan bir şekilde bağlıdır, üretim ürünlerinin satışından elde edilen gelir, fiyatların doğrusal olmayan bir işlevi olur, vb. Optimal planlama problemleri için kriterler genellikle maksimum kar, minimum maliyet ve minimum sermaye harcamalarıdır. Üretim hacimleri değişken olarak kullanılır. farklı şekillerÜrün:% s. Kısıtlamaların sayısı, ürün çıktısı ile hacmi sınırlı olan emek ve malzeme kaynaklarının maliyeti arasındaki ilişkiyi karakterize eden üretim fonksiyonlarını içerir.

kullanan doğrusal programlamadan farklı olarak evrensel yöntemçözümler (simpleks yöntem), doğrusal olmayan problemleri çözmek için modele dahil edilen fonksiyonların biçimine bağlı olarak çok çeşitli yöntemler vardır. Tüm yöntemlerden sadece ikisini ele alacağız: Lagrange yöntemi ve dinamik programlama yöntemi.

İLE BİRLİKTE Lagrange yönteminin özü, koşullu bir ekstremum problemini koşulsuz bir ekstremum problemini çözmeye indirgemektir. Doğrusal olmayan bir programlama modeli düşünün:

(5.2)

nerede - bilinen fonksiyonlar,

a - verilen katsayılar.

Problemin bu formülasyonunda kısıtlamaların eşitliklerle verildiğine dikkat edin; değişkenlerin negatif olmaması için bir koşul yoktur. Ayrıca, fonksiyonların olduğunu varsayıyoruz. birinci kısmi türevleri ile süreklidir.

Koşulları (5.2), eşitliklerin sol veya sağ taraflarında olacak şekilde dönüştürüyoruz. sıfır:

(5.3)

Lagrange fonksiyonunu oluşturalım. Katsayılarla sırasıyla alınan amaç fonksiyonunu (5.1) ve kısıtlamaların (5.3) sağ taraflarını içerir. ... Problemde ne kadar kısıt varsa o kadar Lagrange katsayısı olacaktır.

(5.4) fonksiyonunun uç noktaları orijinal problemin uç noktalarıdır ve bunun tersi de geçerlidir: problemin optimal planı (5.1) - (5.2) Lagrange fonksiyonunun global uç noktasıdır.

Aslında çözüm bulunsun problem (5.1) - (5.2), o zaman şartlar (5.3) karşılanır. Planı değiştir (5.4) fonksiyonuna getirin ve eşitliğin (5.5) geçerliliğini doğrulayın.

Bu nedenle, orijinal problemin optimal planını bulmak için, ekstremum için Lagrange fonksiyonunu araştırmak gerekir. Fonksiyon, kısmi türevlerinin eşit olduğu noktalarda uç değerlere sahiptir. sıfır... Bu tür noktalara denir sabit.

(5.4) fonksiyonunun kısmi türevlerini tanımlayalım.

,

.

eşitlendikten sonra sıfır türevler, sistemi elde ederiz m + n ile denklemler m + n Bilinmeyen

, (5.6)

Genel durumda, sistem (5.6) - (5.7) Lagrange fonksiyonunun tüm maksimum ve minimumlarını içerecek birkaç çözüme sahip olacaktır. Global maksimum veya minimumu vurgulamak için, bulunan tüm noktalarda amaç fonksiyonunun değerleri hesaplanır. Bu değerlerin en büyüğü global maksimum, en küçüğü ise global minimum olacaktır. Bazı durumlarda ortaya çıkıyor olası kullanım katı bir ekstremum için yeterli koşullar sürekli fonksiyonlar (aşağıdaki problem 5.2'ye bakın):

fonksiyonun sürekli olmasına ve durağan noktasının bazı komşuluklarında (yani) iki kez türevlenebilir olmasına izin verin). Sonra:

a) Eğer ,(5.8)

o zaman fonksiyonun katı maksimum noktasıdır;

B) Eğer ,(5.9)

o zaman fonksiyonun katı minimum noktasıdır;

G ) Eğer ,

o zaman bir ekstremumun varlığı sorusu açık kalır.

Ayrıca (5.6) - (5.7) sisteminin bazı çözümleri negatif olabilir. Hangi değişkenlerin ekonomik anlamı ile tutarsız. Bu durumda, negatif değerleri sıfır olanlarla değiştirme olasılığını göz önünde bulundurmalısınız.

ekonomik anlamı Lagrange çarpanları. Optimum çarpan değeri kriter değerinin ne kadar değişeceğini gösterir Z kaynağı arttırırken veya azaltırken J beri, bir birim tarafından

Lagrange yöntemi, kısıtlamalar eşitsizlik olduğunda da uygulanabilir. Böylece, fonksiyonun ekstremumunu bulmak koşullar altında

,

birkaç aşamada gerçekleştirin:

1. Denklem sistemini çözdükleri amaç fonksiyonunun durağan noktalarını belirleyin

.

2. Durağan noktalardan, koordinatları koşulları karşılayanları seçin.

3. Eşitlik kısıtları (5.1) - (5.2) olan problemi çözmek için Lagrange yöntemi kullanılır.

4. Global maksimum için ikinci ve üçüncü aşamalarda bulunan noktaları keşfedin: Bu noktalarda amaç fonksiyonunun değerlerini karşılaştırın - en büyük değer optimal plana karşılık gelir.

Görev 5.1 Birinci bölümde ele alınan Problem 1.3'ü Lagrange yöntemiyle çözelim. optimum dağıtım su kaynakları anlatılıyor matematiksel model

.

Lagrange fonksiyonunu oluşturalım

Bu fonksiyonun koşulsuz maksimumunu bulalım. Bunu yapmak için kısmi türevleri hesaplıyoruz ve onları sıfıra eşitliyoruz.

,

Böylece, formun bir lineer denklem sistemi elde ettik.

Denklem sisteminin çözümü, su kaynaklarının sulanan alanlar üzerindeki dağılımı için en uygun planı temsil eder.

Değerler yüzbinlerle ölçülür metreküp... - yüz bin metreküp sulama suyu başına net gelir miktarı. Bu nedenle, 1 m3 sulama suyunun marjinal fiyatı, den. birimler

Sulamadan elde edilecek maksimum ek net gelir

160 12,26 2 + 7600 12,26-130 8,55 2 + 5900 8,55-10 16,19 2 + 4000 16,19 =

172391.02 (para birimi)

Görev 5.2 Doğrusal olmayan bir programlama problemini çözün

Kısıtlamayı şu şekilde temsil ediyoruz:

.

Lagrange fonksiyonunu oluşturalım ve kısmi türevlerini tanımlayalım.

.

Lagrange fonksiyonunun durağan noktalarını belirlemek için kısmi türevleri sıfıra eşitlenmelidir. Sonuç olarak, denklem sistemini elde ederiz.