Matris çarpma işlemi. Bir kare matrisi bir sütun matrisiyle çarpma

matrislerin eklenmesi:

Matrislerin çıkarılması ve eklenmesi elemanları üzerinde karşılık gelen işlemlere indirgenir. Matris toplama işlemi sadece için tanıtıldı matrisler aynı boyutta, yani matrisler, burada satır ve sütun sayısı sırasıyla eşittir. matrislerin toplamı A ve B denir matris Elemanları karşılık gelen elemanların toplamına eşit olan C. С = А + В c ij = bir ij + b ij matrislerin farkı.

Bir matrisi bir sayı ile çarpmak:

Matris çarpma (bölme) işlemi herhangi bir boyuttaki herhangi bir sayı, her öğeyi çarpmaya (bölmeye) indirgenir matrisler bu numaraya göre. matrisin ürünü Ve k sayısı denir matris B, öyle ki

b ij = k × bir ij. В = k × A b ij = k × bir ij. Matris- A = (-1) × A'ya tersi denir matris A.

Matris toplama ve matris çarpma özellikleri:

Matris toplama işlemleri ve matris çarpımı bir sayı üzerinde aşağıdaki özelliklere sahiptir: 1. A + B = B + A; 2.A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5.1 × A = A; 6. a x (A + B) = aA + aB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , burada А, В ve С matrisler, α ve β sayılardır.

Matris çarpımı (Matris ürünü):

İki matrisi çarpma işlemi yalnızca ilk sütunun sayısı olduğunda tanıtılır. matrisler ikinci satır sayısına eşittir matrisler. matrisin ürünü Ve m × n açık matris n × p'de denir matris m × p ile öyle ki ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk ile, yani, i - inci satırın elemanlarının çarpımlarının toplamını bulun matrisler Ve j-th sütununun karşılık gelen elemanlarında matrisler B. Eğer matrisler A ve B aynı büyüklükteki karelerdir, bu durumda AB ve BA ürünleri her zaman vardır. A × E = E × A = A'yı göstermek kolaydır, burada A karedir matris, E - birimi matris aynı beden.

Matris çarpma özellikleri:

matris çarpımı değişmeli değil, yani AB ≠ BA, her iki iş de tanımlı olsa bile. Ancak, eğer herhangi biri için matrisler AB = BA oranı sağlanır, o zaman böyle matrisler permütasyon denir. En tipik örnek, tek bir matris diğerleriyle geçirgen olan matris aynı beden. Permütasyon sadece kare olabilir matrisler aynı sipariş. A × E = E × A = A

matris çarpımı aşağıdaki özelliklere sahiptir: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. 2. ve 3. mertebelerin belirleyicileri. Belirleyici özellikler.

matrisin determinantı ikinci sıra veya belirleyici ikinci mertebe, aşağıdaki formülle hesaplanan bir sayı olarak adlandırılır:

matrisin determinantıüçüncü sıra veya belirleyiciüçüncü mertebeden, formülle hesaplanan bir sayı çağrılır:

Bu sayı altı terimin cebirsel toplamını temsil eder. Her terim, her satırdan ve her sütundan tam olarak bir öğe içerir. matrisler... Her terim üç faktörün bir ürününden oluşur.

Hangi üyelerle işaretler matrisin determinantı formüle dahil edilmiştir matrisin determinantını bulmaüçüncü sıra, üçgenler kuralı veya Sarrus kuralı olarak adlandırılan yukarıdaki şema kullanılarak belirlenebilir. İlk üç terim artı işaretiyle alınır ve soldaki şekilden, sonraki üç terim eksi işaretiyle alınır ve sağdaki şekilde belirlenir.

Bulunacak terimlerin sayısını belirleyin matrisin determinantı, cebirsel toplamda, faktöriyelini hesaplayabilirsiniz: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Matris belirleyicilerinin özellikleri

Matris belirleyici özellikleri:

Mülk # 1:

Bir matrisin determinantı satırları sütunlarla değiştirilirse, her satır aynı sayıda bir sütunla değiştirilirse ve bunun tersi de değişmez (Transpoze). |Bir | = |A | T

Sonuç:

Sütunlar ve Satırlar matrisin determinantı eşittir, bu nedenle satırlarda bulunan özellikler sütunlar için de sağlanır.

Mülk # 2:

2 satırı veya sütunu değiştirirken bir matrisin determinantı mutlak değeri korurken işareti tersine çevirir, yani:

Mülk # 3:

Bir matrisin determinantı iki özdeş satıra sahip olmak sıfıra eşittir.

Mülk # 4:

Herhangi bir satırın elemanlarının ortak çarpanı matrisin determinantı işaretten çıkarılabilir belirleyici.

# 3 ve # 4 özelliklerinden kaynaklanan sonuçlar:

Belirli bir satırın (satır veya sütun) tüm öğeleri, paralel bir satırın karşılık gelen öğeleriyle orantılıysa, o zaman böyle bir matrisin determinantı sıfır.

Mülk # 5:

matrisin determinantı sıfıra eşit, sonra kendisi bir matrisin determinantı sıfır.

Mülk # 6:

Herhangi bir satırın veya sütunun tüm öğeleri belirleyici 2 terimin toplamı olarak sunulur, daha sonra belirleyici matrisler 2 toplamı olarak temsil edilebilir belirleyiciler formüle göre:

Mülk # 7:

Herhangi bir satıra (veya sütuna) ise belirleyici başka bir satırın (veya sütunun) karşılık gelen öğelerini aynı sayı ile çarparak ekleyin, ardından bir matrisin determinantı boyutunu değiştirmeyecektir.

Hesaplama için özelliklerin uygulanmasına bir örnek matrisin determinantı:

Bilinmeyenleri sürekli olarak “hariç tutacağız”. Bunun için sistemin ilk denklemini değiştirmeden bırakacağız ve ikinci ve üçüncüyü dönüştüreceğiz:

1) ikinci denkleme birinciyi ekliyoruz, –2 ile çarpıyoruz ve –3 formuna getiriyoruz x 2 –2x 3 = –2;

2) üçüncü denkleme birinciyi ekliyoruz, - 4 ile çarpıyoruz ve -3 formuna getiriyoruz. x 2 – 4x 3 = 2.

Sonuç olarak, bilinmeyen ikinci ve üçüncü denklemlerden çıkarılacaktır. x 1 ve sistem formu alacak

Sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerini -1 ile çarparız

Birinci bilinmeyen için birinci denklemde katsayı 1 NS 1 denir lider eleman ilk adım eliminasyonu.

İkinci adımda, birinci ve ikinci denklemler değişmeden kalır ve değişkeni ortadan kaldırmak için aynı yöntemi üçüncü denkleme uygularız. x 2 . lider eleman ikinci adım katsayı 3'tür. Üçüncü denkleme ikinciyi ekliyoruz, -1 ile çarpıyoruz, sonra sistem forma dönüştürülür.

(1.2)

Sistemi (1.1) (1.2) formuna indirgeme işlemine doğrudan denir. yöntemin seyri Gauss.

(1.2) sistemini çözme prosedürü denir ters. Elde ettiğimiz son denklemden NS 3 = –2. Bu değeri ikinci denklemde yerine koyarsak, NS 2 = 2. Bundan sonra, ilk denklem verir NS 1 = 1. Böylece, (1.1) sisteminin bir çözümüdür.

matris kavramı

Sisteme (1.1) dahil edilen miktarları göz önünde bulundurun. Denklemlerdeki bilinmeyenlerin önünde bulunan dokuz sayısal katsayı kümesi, adı verilen bir sayı tablosu oluşturur. matris:

A= .

(1.3)

Tablodaki sayılar denir elementler matrisler. Öğeler formu satırlar ve sütunlar matrisler. Satır sayısı ve sütun sayısı formu boyut matrisler. Matris A 3´3 ("üçe üç") boyutuna sahiptir, ilk sayı satır sayısını ve ikinci sayı sütun sayısını gösterir. Genellikle bir matris, A boyutunu (3 ´ 3) belirterek gösterilir. Matristeki satır ve sütun sayısı A aynı, matris denir Meydan. Bir kare matristeki satır (ve sütun) sayısına, onun adı verilir. düzenli, Öyleyse A- matris üçüncü sıra.

Denklemlerin sağ tarafları da bir sayılar tablosu oluşturur, yani. matris:

Bu matrisin her satırı tek bir elemandan oluşur, bu nedenle B(3 ´ 1) denir sütun matrisi, boyutu 3´1'dir. Bilinmeyenler kümesi aynı zamanda bir sütun matrisi olarak da düşünülebilir:

Bir kare matrisi bir sütun matrisiyle çarpma

Daha sonra detaylı olarak tartışılacak olan matrisler ile çeşitli işlemler yapılabilir. Burada sadece bir kare matrisi bir sütun matrisiyle çarpma kuralını analiz edeceğiz. Tarafından tanım, matris çarpımının sonucu A(3 ´ 3) sütun başına V(3 ´ 1) sütundur NS(3 ´ 1), elemanları matrisin satırlarının elemanlarının çarpımlarının toplamına eşit olan A sütun elemanlarında V:

2)ikinci sütun elemanı NS elementlerin çarpımlarının toplamına eşittir ikinci matris satırları A sütun elemanlarında V:

Matrisin sütunla çarpıldığı yukarıdaki formüllerden görülebilir. V ancak matrisin sütun sayısı varsa mümkündür A sütundaki eleman sayısına eşittir V.

Matris çarpımının iki sayısal örneğini daha düşünün sütun başına (3 ´3) (3 ´1):

Örnek 1.1

AB =
.

Örnek 1.2

AB= .

Matrislerin ana uygulamaları işlemle ilgilidir. çarpma işlemi.

İki matris verilir:

A-boyutu mn

B - beden n k

Çünkü A matrisindeki satırın uzunluğu, B matrisindeki sütunun yüksekliği ile çakışıyorsa, m boyutlarına sahip olacak C = AB matrisini tanımlayabilirsiniz. k. eleman keyfi bir i-inci satırda (i = 1, ..., m) ve keyfi bir j-inci sütunda (j = 1, ..., k) bulunan matris С, tanımı gereği skaler ürüne eşittir iki vektör
: Maritsa A'nın i-inci satırları ve B matrisinin j-inci sütunu:

Özellikler:

A matrisinin λ sayısı ile çarpılması işlemi nasıl belirlenir?

λ sayısına göre A ürünü, her bir elemanı karşılık gelen A elemanının λ ile çarpımına eşit olan bir matristir. Sonuç: Tüm matris elemanlarının ortak çarpanı matris işaretinden çıkarılabilir.

13. Ters matrisin tanımı ve özellikleri.

Tanım. Aynı mertebeden X ve A kare matrisleri varsa, koşulu sağlayan:

E matrisi A matrisi ile aynı dereceden kimlik matrisi olduğunda, X matrisi denir. ters A matrisine bağlanır ve A -1 ile gösterilir.

Ters matrislerin özellikleri

Ters matrislerin aşağıdaki özelliklerini belirtiyoruz:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (AT) -1 = (A -1) T.

1. Ters matris varsa, benzersizdir.

2. Her sıfırdan farklı kare matrisin tersi yoktur.

14. Determinantların temel özelliklerini veriniz.Özelliğin geçerliliğini kontrol edin | AB | = | A | * | B | matrisler için

bir = ve B =

Belirleyici özellikler:

1. Determinantın herhangi bir satırı sıfırlardan oluşuyorsa, determinantın kendisi sıfıra eşittir.

2. İki satırı değiştirirken, determinant -1 ile çarpılır.

3. İki özdeş diziye sahip determinant sıfıra eşittir.

4. Herhangi bir doğrunun elemanlarının ortak çarpanı, niteleyici işaretinin ötesine alınabilir.

5. A determinantının belirli bir satırının elemanları iki terimin toplamı olarak gösteriliyorsa, determinantın kendisi iki determinant B ve D'nin toplamına eşittir. B determinantında belirtilen satır ilk terimlerden oluşur, D - ikinci terimlerin. B ve D determinantlarının geri kalanı A'daki ile aynıdır.

6. Satırlardan birine herhangi bir sayı ile çarpılarak başka bir satır eklenirse determinantın değeri değişmez.

7. Herhangi bir satırın elemanlarının, başka bir satırın karşılık gelen elemanlarına cebirsel tümleyenlerle çarpımlarının toplamı 0'a eşittir.

8. А matrisinin determinantı, aktarılan А т matrisinin determinantına eşittir, yani determinant aktarıldığında değişmez.

15. Karmaşık bir sayının modülünün ve argümanının tanımını verin. √3 + sayılarını trigonometrik biçimde yazınben, -1+ ben.

Her karmaşık sayı z = a + ib bir (a, b) € R 2 vektörü ile ilişkilendirilebilir. Bu vektörün uzunluğu √a 2 + b 2'ye eşittir. karmaşık sayının modülü z ve |z | ile gösterilir. Verilen bir vektör ile Ox ekseninin pozitif yönü arasındaki φ açısına denir. karmaşık sayı argümanı z ve arg z ile gösterilir.

Herhangi bir karmaşık sayı z ≠ 0, z = | z | (cosφ + isinφ) olarak temsil edilebilir.

Karmaşık bir sayı için bu gösterim biçimine trigonometrik denir.

√3 + i = 2 (√3 / 2 + 1 / 2i) = 2 (cosπ / 6 + isinπ / 6);

1 + i = 2 (-√2 / 2 + i√2 / 2) = 2 (cosπ / 4 + isinπ / 4).

Her karmaşık Z = a + ib sayısına, R ^ 2'ye ait bir vektör (a; b) atanabilir. a ^ 2 + b ^ 2'den KB'ye eşit olan bu vektörün uzunluğuna karmaşık sayının modülü denir ve modül Z ile gösterilir. Bu vektör ile Ox ekseninin pozitif yönü arasındaki açıya denir. karmaşık sayının bağımsız değişkeni (arg Z ile gösterilir).

1. yıl, yüksek matematik, çalışıyoruz matrisler ve bunlarla ilgili temel eylemler. Burada matrislerle yapılabilecek temel işlemleri sistematize ediyoruz. Matrislerle tanışmaya nereden başlamalı? Tabii ki, en basit şeyden - tanımlar, temel kavramlar ve en basit işlemler. Matrislerin, onlara en azından biraz zaman ayıran herkesin anlayacağından emin olabilirsiniz!

Bir matrisin tanımı

Matris Dikdörtgen bir element tablosudur. Eh, eğer basit terimlerle - bir sayı tablosu.

Tipik olarak, matrisler büyük Latin harfleriyle gösterilir. Örneğin, matris A , matris B vesaire. Matrisler farklı boyutlarda olabilir: dikdörtgen, kare, ayrıca vektör adı verilen satır matrisleri ve sütun matrisleri de vardır. Matrisin boyutu, satır ve sütun sayısı ile belirlenir. Örneğin, boyutunda dikdörtgen bir matris yazalım m üzerinde n , nerede m - satır sayısı ve n - sütun sayısı.

için elemanlar ben = j (a11, a22, .. ) matrisin ana köşegenini oluşturur ve köşegen olarak adlandırılır.

Matrislerle neler yapabilirsiniz? Ekle / çıkar, bir sayı ile çarpmak, kendi aralarında çoğalmak, devrik... Şimdi sırayla matrislerdeki tüm bu temel işlemler hakkında.

Matris toplama ve çıkarma işlemleri

Yalnızca aynı boyuttaki matrisleri ekleyebileceğiniz konusunda sizi hemen uyarıyoruz. Sonuç, aynı boyutta bir matristir. Matrisleri eklemek (veya çıkarmak) basittir - sadece ilgili öğelerini ekleyin ... Bir örnek verelim. A ve B boyutlu iki matrisi ikişer ikişer ekleyelim.

Çıkarma, yalnızca zıt işaretle analoji ile gerçekleştirilir.

Herhangi bir matris keyfi bir sayı ile çarpılabilir. Bunu yapmak için, öğelerinin her birini bu sayı ile çarpmanız gerekir. Örneğin, ilk örnekteki A matrisini 5 sayısı ile çarpalım:

Matris çarpma işlemi

Tüm matrisler kendi aralarında çarpılamaz. Örneğin, iki matrisimiz var - A ve B. Sadece A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısına eşitse birbirleriyle çarpılabilirler. Bu durumda i-inci satır ve j-inci sütunda duran sonuçtaki matrisin her bir elemanı, birinci faktörün i-inci satırındaki karşılık gelen elemanların ve ikinci... Bu algoritmayı anlamak için iki kare matrisin nasıl çarpıldığını yazalım:

Ve gerçek sayılarla bir örnek. Matrisleri çarpalım:

Matris devrik işlemi

Matris devrik, karşılık gelen satır ve sütunların değiştirildiği bir işlemdir. Örneğin, ilk örnekteki A matrisini transpoze edelim:

Bir matrisin determinantı

Determinant, ancak determinant lineer cebirin temel kavramlarından biridir. Bir zamanlar insanlar lineer denklemleri icat ettiler ve onların arkasında bir determinant icat etmek zorunda kaldılar. Sonuç olarak, tüm bunlarla uğraşmak zorundasın, yani son hamle!

Determinant, birçok problemi çözmek için gerekli olan bir kare matrisin sayısal bir özelliğidir.
En basit kare matrisin determinantını hesaplamak için, ana ve ikincil köşegenlerin elemanlarının ürünleri arasındaki farkı hesaplamanız gerekir.

Birinci dereceden, yani bir elemandan oluşan bir matrisin determinantı bu elemana eşittir.

Ya matris üçe üç ise? Bu daha karmaşık, ancak başa çıkabilirsiniz.

Böyle bir matris için, determinantın değeri, ana köşegenin elemanlarının çarpımlarının toplamına ve ana köşegene paralel bir kenarı olan üçgenler üzerinde bulunan elemanların çarpımlarının toplamına eşittir. ikincil köşegen ve paralel ikincil köşegenin bir kenarı ile üçgenler üzerinde yatan elemanların ürünü çıkarılır.

Neyse ki, pratikte büyük matrislerin belirleyicilerini hesaplamak nadiren gereklidir.

Burada matrislerle ilgili temel işlemleri ele aldık. Tabii ki, gerçek hayatta, bir matris denklem sisteminin bir ipucuna bile rastlayamazsınız veya tam tersi - gerçekten kafanızı kırmanız gerektiğinde çok daha zor durumlarla yüzleşmek için. Bu gibi durumlar için profesyonel bir öğrenci servisi vardır. Yardım isteyin, kaliteli ve detaylı bir çözüm bulun, akademik başarınızın ve boş zamanınızın tadını çıkarın.