Doğrusal homojen olmayan denklemleri çözmek için Gauss Jordan yöntemi. Excel'de Jordan-Gauss Dönüşümü ve Simplex Yöntemi

4. Jordan-Gauss yöntemi.

Ana elemanın seçimine sahip şema, eleme sürecinde bölünmenin meydana geldiği akk köşegen elemanlarının sıfıra eşit olmaması şartının daha katı bir tane ile değiştirileceği gerçeğinden oluşur: hepsinden Kth sütununun elemanları, mutlak değerde en büyüğünü seçin ve denklemleri yeniden düzenleyin, böylece bu eleman acc. Ana öğenin seçimi ve onunla ilişkili satırların permütasyonu, bazı i'inci adımda acc = 0 veya acc'nin i'inci sütunun geri kalan öğeleri açısından çok küçük olduğu durumlarda gereklidir: böyle bölerken “küçük” bir acc, büyük olanlar, çözümün büyük ölçüde bozulabileceği büyük mutlak hatalara sahip sayılar elde edilecektir.

Bilinmeyenlerin tamamen ortadan kaldırılması için algoritma veya Jordan-Gauss yöntemi aşağıda açıklanmıştır. Yöntemin özü, ilk denklemi göz önünde bulundurarak, sıfırdan farklı bir katsayıya sahip bir bilinmeyeni (bundan böyle çözümleyici öğe olarak anılacaktır) içermesi ve ilk denklemi bu katsayıya bölerek, ilk denklemi kullanarak bu bilinmeyenin hariç tutulmasıdır. birincisi hariç tüm denklemlerden İkinci denklemde sıfır olmayan bir katsayı ile bir bilinmeyen seçip ikinci denklemi buna bölerek, ikinci denklem diğer bilinmeyenleri ikinci hariç tüm denklemlerden hariç tutmak için kullanılır, yani. bir denklemin yardımıyla, bir bilinmeyenin tamamen ortadan kaldırılması gerçekleştirilir. İşlem, tüm denklemler kullanılana kadar devam eder.

Bilindiği gibi lineer sistemler cebirsel denklemler tek bir çözümü olabilir, birçok çözümü olabilir veya sistemler tutarsızdır. Sistemin matris elemanlarının temel dönüşümleri ile bu durumlar aşağıdaki şekilde ortaya çıkar:

1. Eleme sürecinde Sol Taraf Sistemin I'inci denklemi yok olur ve sağ taraf sıfır olmayan bir sayıya eşittir. şunlar. 02+=bc0.

Bu, I'inci denklem bilinmeyenlerin herhangi bir değeriyle karşılanamayacağından, sistemin çözümü olmadığı anlamına gelir;

2. I'inci denklemin sol ve sağ kısımları yok olur. Bu, I - inci denklemin diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğu, sistemin bulunan herhangi bir çözümü tarafından karşılandığı, dolayısıyla atılabileceği anlamına gelir. Sistemdeki bilinmeyen sayısı daha fazla miktar denklemler ve bu nedenle böyle bir sistemin birçok çözümü vardır;

3. Bilinmeyenleri ortadan kaldırmak için tüm denklemler kullanıldıktan sonra sistemin çözümü elde edilir.

Böylece, Jordan-Gauss dönüşümlerinin nihai amacı, belirli bir doğrusal sistemden elde etmektir.

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,n+1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,n+1

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.n+1

Burada x1, x2, …, xn belirlenecek bilinmeyenlerdir. a11, a12, …, amn - sistemin katsayıları - ve b1, b2, ... bm - serbest terimler - bilindiği varsayılır. Sistemin katsayılarının (aij) indeksleri, sırasıyla denklemin (i) sayısını ve bu katsayının bulunduğu bilinmeyeni (j) gösterir.

Sistem (1), tüm serbest terimleri sıfıra eşitse (b1 = b2 = … = bm = 0) homojen, aksi halde homojen değildir.

Denklemlerin sayısı m, bilinmeyenlerin sayısına n eşitse, sistem (1) ikinci dereceden olarak adlandırılır.

(1) sisteminin çözümü c1, c2, …, cn n sayıdan oluşan bir kümedir, öyle ki xi yerine her ci'nin sistem (1)'e ikamesi tüm denklemlerini özdeşliğe dönüştürür.

Sistem (1) en az bir çözümü varsa tutarlı, çözümü yoksa tutarsız olarak adlandırılır.

eklem sistemi(1) formunun bir veya daha fazla çözümü olabilir.

(1) formundaki bir eklem sisteminin c1(1), c2(1), …, cn(1) ve c1(2), c2(2), …, cn(2) çözümleri, en azından farklı ise farklı olarak adlandırılır. eşitliklerden biri bozulur:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

(1) biçimindeki bir birleşik sistem, benzersiz bir çözümü varsa, buna kesin denir; en az iki tane varsa çeşitli çözümler, o zaman belirsiz denir. Bilinmeyenlerden daha fazla denklem varsa, buna üstbelirlenmiş denir.

Aşağıdaki denklem sistemini çözelim:

Son sütunun serbest üye olduğu 3×4 matris şeklinde yazıyoruz:

hadi harcayalım aşağıdaki eylemler:

2. satıra ekleyin: -4 * 1. satır.

3. satıra ekleyin: -9 * 1. satır.

3. satıra ekleyin: -3 * 2. satır.

Satır 2'yi -2'ye böl

1. satıra ekleyin: -1 * Satır 3.

Satır 2'ye ekleyin: -3/2 * Satır 3.

1. satıra ekleyin: -1 * 2. satır.

Sağ sütunda çözümü alıyoruz:

.

Newton yönteminde, yaklaşım sürecinin yakınsamasının hızlandığı gözlemlenir. 5. Teğet yöntemi (Newton yöntemi) I. Newton adıyla ilişkilendirilen teğet yöntemi, denklemleri çözmek için en etkili sayısal yöntemlerden biridir. Yöntemin fikri çok basit. Türetilmiş bir x0 noktasını alalım ve buraya f(x) fonksiyonunun grafiğine teğetin denklemini yazalım: y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Grafikler...

Sayısal hesaplama yöntemlerinden çözümler. Denklemin köklerini belirlemek için Abel, Galois, Lie grupları vb. n'inci dereceden bir cebirsel denklemi çözmek için yalnızca ikinci dereceden denklemleri çözme ve karmaşık bir sayıdan kökler çıkarma yeteneğine ihtiyacınız vardır. Kökler ile belirlenebilir ...

Trigonometrik ikame matematiği ve geliştirilen öğretim metodolojisinin etkinliğinin doğrulanması. Çalışma aşamaları: 1. Derinlemesine matematik çalışması olan sınıflarda öğrencilerle "Cebirsel problemleri çözmek için trigonometrik ikame uygulaması" konulu isteğe bağlı bir dersin geliştirilmesi. 2. Gelişmiş bir seçmeli ders yürütmek. 3. Teşhis kontrolünün gerçekleştirilmesi...

... yalnızca dönüşüm sürecinde "görünür". Yeni değişkenin kanıtını ve “örtülülüğünü” aşağıdaki bölümde ele alacağız. somut örnekler bu çalışmanın ikinci bölümünde. 2. Cebirsel denklemleri çözerken bilinmeyeni değiştirme yöntemini kullanma olasılıkları Bu bölümde, standart ve standart olmayan cebirsel denklemleri çözerken bilinmeyeni değiştirme yöntemini kullanma olasılıklarını belirleyeceğiz ...

Berezneva T. D.

Tema 7

«LINEER CEBİR DENKLEM SİSTEMLERİ.

GAUSS-JORDAN YÖNTEMİ.»

( Akademik disiplin “Doğrusal Cebir ve Analitik Geometriye Giriş”)

LINEER CEBİR DENKLEM SİSTEMLERİ.

GAUSS-JORDAN YÖNTEMİ.

Temel konseptler

n değişkenli bir denklem denir doğrusal, eğer tüm değişkenler ( x 1 , x 2 , … x n ) 1. dereceye dahildir. Genel form böyle bir denklem resmi olarak aşağıdaki gibi yazılır:

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … a j x j + … a n x n = b, (*)

= b.

Miktarları a j , j = 1,…, n, ve b bilinir (verilir). Miktarları a j aranan değişkenler için katsayılar(bilinmeyen için) ve b - Ücretsiz Üye.

Doğrusal denklemi çözerek (*),,…,) denklemde ikame edildiğinde (yani, x j ile değiştirildiğinde) değişkenlerin değerleri hepsi için j itibaren 1 ila n bir kimliğe dönüştürür. n değişkenli bir denklemin çözümünün her zaman n sayıdan oluşan bir küme olduğunu ve bu türden her n sayı kümesinin birçözüm. Açıkçası, değişkenlerin en az bir katsayısı 0'a eşit değilse, o zaman denklemin (*) bir çözümü vardır. Aksi takdirde, çözüm yalnızca b = 0 için mevcuttur ve bunların tümü keyfi n sayı kümesidir.

Aynı anda (*) biçimindeki m denklemi göz önünde bulundurun, yani. sistemmile lineer cebirsel denklemlerndeğişkenler. Her bir i denklemi, i = 1,2,…,m, a i 1 , a i 2 , …, a in değişkenlerinin katsayıları ve b i , yani serbest terim tarafından verilsin. forma sahip

a i1 x 1 +a i2 x 2 + … + bir ben x j + … + a içinde x n = b i .

O halde, genel olarak, n değişkenli m lineer cebirsel denklem sistemi şu şekilde yazılabilir:

a 11 x 1 +a 12 x 2 + … + bir 1j x j + … + bir 1n x n = b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 + … + bir 2j x j + … + bir 2n x n = b 2

………………………………………………………………………………

a i1 x 1 +a i2 x 2 + … + bir ben x j + … + bir içinde x n = b i (1)

…………………………………………………

a m1 x 1 +a m2 x 2 + … + bir mj x j + … + bir mn x n = b m

ya da aynı olan,

= b i , i = 1,…, m.

Tüm serbest terimler sıfıra eşitse, sistem (1) çağrılır. homojen, yani forma sahip

= 0, i = 1,…, m, (1 0 )

aksi halde - heterojen. sistem (1 0 ) genel sistemin özel bir durumudur (1) .

Denklem sistemini çözerek (1) sıralı küme denir ( ,,…,) sistem (1) denklemlerinde ikame edildiğinde (yani, x j ile değiştirildiğinde) değişkenlerin değerleri , j = 1,…,n) tüm bu denklemleri kimliklere dönüştürür, yani.
=b i tüm i = 1,…,m için.

Denklem sistemi (1) denir bağlantı, en az bir çözümü varsa. Aksi takdirde sistem çağrılır. uyumsuz.

Denklem sisteminin tüm çözümlerinin kümesi (1) diyeceğiz çözümlerinin çoğu ve X b'yi gösterir (sistem homojen ise X 0). Sistem tutarsızsa, o zaman X b = .

Doğrusal cebirsel denklem sistemleri teorisinin ana görevi, sistemin (1) tutarlı olup olmadığını bulmak ve eğer öyleyse, tüm çözümlerinin kümesini tanımlamaktır. Tutarlı sistemler durumunda tüm çözümlerin kümesini tanımlamayı veya aksi takdirde tutarsızlığı doğrulamayı mümkün kılan bu tür sistemleri analiz etmek için yöntemler vardır. Bu evrensel yöntemlerden biri bilinmeyenlerin art arda tamamen dışlanması yöntemi veya yöntemGauss - Ürdün ayrıntılı olarak inceleyeceğiz.

Gauss-Jordan yönteminin açıklamasına geçmeden önce, daha fazla tartışma için yararlı olan bir dizi tanım ve ifade sunuyoruz.

İki denklem sistemi denir eşdeğer eğer aynı çözüm kümesine sahiplerse. Başka bir deyişle, bir sistemdeki her çözüm, diğerinin çözümüdür ve bunun tersi de geçerlidir. Uyumsuz tüm sistemler birbirine eşdeğer kabul edilir.

Denklik tanımları ve (1) biçimindeki sistemler için çözüm kümesi, bir teorem olarak formüle ettiğimiz aşağıdaki iddiaların geçerliliğini hemen ima eder.

teorem 1. Eğer sistemde (1) numaralı bir denklem varsak, 1k m, öyle kia kj = 0 j, sonra

Teoremin ifadelerinin geçerliliği, k - inci denklemin şu şekle sahip olduğunu fark edersek aşikar hale gelir:

0 x 1 + 0 x 2 + … + 0 x j + … + 0 x n = b k .

Teorem 2. (1) sisteminin bir denklemine aynı sistemin herhangi bir sayı ile çarpılmış başka bir denklemini eklersek, orijinal sisteme eşdeğer bir denklem sistemi elde ederiz.

Kanıt.Örneğin, sistemin (1) ikinci denklemini bir sayı ile çarpalım. ve ilk denkleme ekleyin. Bu dönüşümün bir sonucu olarak, ikinciden başlayarak tüm denklemlerin değişmediği ve ilkinin aşağıdaki forma sahip olduğu (1') sistemini elde ederiz.

= b 1 + b 2 .

Açıkçası, herhangi bir set varsa ( ,,…,) değişkenlerin değerleri, sistemin (1) tüm denklemlerini özdeşliğe dönüştürür, ardından sistemin (1') tüm denklemlerini de özdeşliğe dönüştürür. Tersine, (1') sisteminin çözümü (x' 1 ,x' 2 ,…,x' j , … ,x' n) de sistem (1)'in bir çözümüdür, çünkü sistem (1) sistemden elde edilir. (1') benzer bir dönüşüm kullanılarak, sistemin ikinci denklemi (1') sistemin birinci denklemine (1') eklendiğinde, (-) sayısıyla çarpılır ).

Aşağıdaki iddia da aynı şekilde ispatlanmıştır.

Teorem 2'.Sistem (1)'in keyfi bir denkleminin sıfır dışında herhangi bir sayı ile çarpılması, sistem (1)'i eşdeğer bir denklem sistemine dönüştürür.

Teorem 2 ve 2' iki tür dönüşüm eşdeğer kalırken hangi sisteme (1) tabi tutulduğu:

a) sistemin (1) rastgele bir denkleminin sıfır dışında herhangi bir sayı ile çarpılması (veya bölünmesi);

b) bir sayı ile çarpılan bir denklemin bir denklemine toplama (veya çıkarma).

Bu tür dönüşümler a) ve b) denir temel dönüşümler denklem sistemleri (1).

Denklem sistemine (1) birkaç kez temel dönüşümler uygulanırsa, ortaya çıkan sistem de açıkça orijinaline eşdeğer olacaktır.

Denklem sistemi (1) tablo şeklinde yazılabilir:

a ij katsayılarından oluşan dikdörtgen sayılar tablosu bilinmeyen sistemler(1), denilen matris sistem (1) ve A ile gösterilir (m satır ve n sütun vardır), serbest terimler sütunu b ile gösterilir. Bilinmeyenler için a ij katsayılarından ve (1) sisteminin serbest terimleri b sütunundan oluşan dikdörtgen bir tabloya ne ad verilir? genişletilmiş matris sistem (1) ve gösterilir (m satırı ve (n+1) sütunu vardır), yani = (A, b). Matrisin i - inci satırında hepsini içerir tanınmış sistemin i-inci denklemini karakterize eden parametreler (1), i = 1,…, m. A matrisinin j'inci sütunu, sistem (1)'de meydana gelen bilinmeyen xj için tüm katsayıları içerir.

a ij olarak adlandırılan sayılar matris elemanları A. a ij elemanı, A matrisinin j -inci sütununda i -inci satırdadır. a ij elemanının kavşaktai- oh çizgi vejmatrisin -inci sütunu A. A matrisinin satırının (sütununun) tüm öğeleri (biri hariç) sıfıra eşitse ve sıfır olmayan bir öğe bire eşit, o zaman böyle bir satır (sütun) denir bekar(bekar).

Sistemin (1) temel dönüşümleri, tablonun (2) aşağıdaki temel dönüşümlerine karşılık gelir:

a) rastgele bir tablo satırının (2) tüm öğelerinin sıfır dışında herhangi bir sayı ile çarpılması (veya bölünmesi),

b) başka bir satırın bir satırına (öğe öğe) toplama (veya çıkarma), bir sayı ile çarpılır.

Herhangi bir temel dönüşüm, yeni masa , burada topladıkları (veya sıfırdan başka herhangi bir sayı ile çarptıkları) satır yerine yazılır.Yeni hat ve satırların geri kalanı (eklenen dahil) değiştirilmeden yazılır. Yeni tablo denklem sistemine karşılık gelir, orijinal sisteme eşdeğer.

Temel dönüşümleri uygulayarak, orijinal sistemi çözmeyi kolaylaştıracak şekilde tablo (2) ve buna bağlı olarak sistem (1) basitleştirilebilir. Önerilen yöntemin temeli budur.

Bilinmeyenlerin art arda tamamen dışlanması yöntemi

(Gauss-Jordan yöntemi)

Bilinmeyenlerin art arda tamamen dışlanması yöntemi veya Gauss-Jordan yöntemi, dır-dir evrensel yöntem doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin herhangi birinin (hangilerinin uyumlu veya uyumsuz olduğu önceden bilinmemektedir) analizi. Uyumlu sistemleri çözmeye veya uyumsuz sistemlerin uyumsuzluğunu doğrulamaya izin verir.

Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için önerilen yöntem ile örneğin standart bir ikinci dereceden denklemi çözmek için önerilen yöntem arasındaki temel farkı not ediyoruz. Bilinmeyenlerin denklemin katsayıları cinsinden ifade edildiği iyi bilinen formüller kullanılarak çözülür. Genel doğrusal cebirsel denklem sistemleri söz konusu olduğunda, bu tür formüllere sahip değiliz ve bir çözüm bulmak için kullanıyoruz. yineleme yöntemi, veya yinelemeli yöntem, veya yinelemeli yöntem. Bu tür yöntemler formülleri değil, bir dizi eylemi belirtir.

Gauss-Jordan yöntemi, serinin sıralı bir uygulamasıdır. benzer büyük adımlar (veyayinelemeler ). Bu özel yineleme yöntemi, önerilen birçok yineleme yönteminden biridir. için(1) şeklindeki lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümleri. Bu oluşmaktadır başlangıç ​​aşaması, ana aşama ve son aşama. Ana aşama tekrarlayan içerir yinelemeler, aynı türden eylem kümeleridir.

Belirli bir lineer cebirsel denklem sistemi (1) verilsin. Demek oluyor bilinenn , m , a ben , b i , i = 1,…, m ; j = 1,…, n . Bu sistemi çözmek için önerilen yöntemi açıklayalım.

İlk aşama formun (2) tablo I (0) yapımını ve içindeki seçimi içerir lider eleman - sıfır olmayan herhangi biri değişkenler için katsayı tablodan (2).Öncü elemanın bulunduğu kesişme noktasındaki sütun ve satıra denir. lider. (a i 0 j 0 elemanı seçili olsun. O zaman i 0 baştaki satır, j 0 baştaki sütun olsun.) Ana aşamaya geçiyoruz. Genellikle önde gelen öğenin çağrıldığına dikkat edin. müsamahakâr.

Ana sahne k = 1, 2,… sayılarıyla aynı türden yinelenen yinelemelerden oluşur. Gauss-Jordan yönteminin yinelemelerini ayrıntılı olarak açıklayalım.

Her yinelemenin başlangıcında, formun (2) bazı tablosu I bilinir, önde gelen (izin veren) öğe ve buna göre önde gelen sütun ve önde gelen satır seçilir. Ayrıca hangi satır ve sütunların olduğu bilgisi de bulunmaktadır. çoktan oldu lider. (Yani, örneğin, ilk aşamadan sonra, yani 1. yinelemede, I(0) bilinir, baştaki (izin veren) eleman a i 0 j 0 ve i 0 baştaki satırdır, j 0 baştaki sütundur.)

Yineleme (sayı ile k ) aşağıdaki adımlardan oluşur.

dönüşüm önde gelen sütun(yani baştaki öğeyi içeren sütun) içinde birim önde gelen öğenin yerine 1 ile tablonun geri kalan satırlarından bazı sayılarla çarpılarak baştaki satırın (yani baştaki elemanı içeren satırın) art arda eleman eleman çıkarılmasıyla. Kendini öncü çizgiöğe bazında lider öğeye bölerek dönüştürülür.

Yeni bir tablo I(k) yazılır, (k yineleme sayısıdır) burada şimdiye kadar önde gelen tüm sütunlar tektir.

I(k) tablosunda seçim yapmanın mümkün olup olmadığı kontrol edilir. yeni lider (izin veren) öğe. Tanım olarak, bu bir satır ve bir sütunun kesişme noktasındaki sıfır olmayan herhangi bir öğe lider değildi .

Böyle bir seçim mümkünse, kesişme noktasında önde gelen (izin veren) bir öğe bulunan sütun ve satır çağrılır. lider. Yineleme daha sonra yeni bir tablo I(k) ile tekrarlanır, yani. 1 - 3 arası adımlar yeni tablo I(k) ile tekrarlanır. Bu, yeni bir tablo oluşturur I (k +1) .

Eğer bir yasaktır yeni bir öncü unsur seçin, ardından son aşamaya geçin.

Son aşama. Yinelemeler yapılsın, A (r) değişkenleri için bir katsayılar matrisinden ve b (r) serbest üyelerinden oluşan bir sütundan oluşan bir tablo I (r) elde edilir ve içinde yasaktır yeni bir lider öğe seçin, örn. yöntem durduruldu. Yöntemin zorunlu oh dur sınırlı sayıda adım, çünkü r, min(m,n)'den büyük olamaz.

Bir yöntemi durdurmak için seçenekler nelerdir? "Yeni bir lider öğe seçemez" ne anlama geliyor? Bu, sistem (1)'e eşdeğer yeni bir sistemin A(r) matrisindeki r'inci yinelemesinden sonra, ya

a) tüm sıralar A (r) öndeydi, yani. her satırda, başka hiçbir satırda görülmeyen bir ve tam olarak bir birim vardır,

b) A(r)'de yalnızca sıfırlardan oluşan satırlar vardır.

Bu seçenekleri ele alalım.

a) Bu durumda r = m, m n. Satırları yeniden düzenleyerek ve değişkenleri yeniden numaralandırarak (yani, sütunları yeniden düzenleyerek), tablo I(r) şu şekilde temsil edilebilir:

Tablo (3)'te i sayısı r'yi geçmeyen her değişkenin yalnızca bir satırda yer aldığını vurguluyoruz. Tablo (3), formun doğrusal denklem sistemine karşılık gelir

x 1 +
= b (r) 1 ,

x 2 +
= b(r)2 ,

………………………, (4)

x r +
= b (r) r ,

i numaralı her değişkenin, aşırı değilr, x r +1 , … ,x n değişkenleri, a (r) ij , j = r+1,…,n matrisinin katsayıları ve tabloda sunulan serbest terim b (r) i cinsinden benzersiz şekilde ifade edilir (3). değişkenler için x r +1 , … , x n örtüşme kısıtlama yok, yani onlar herhangi bir değer alabilir . Bu nedenle, tablo (3) ile açıklanan sistemin keyfi bir çözümü veya aynı olan sistemin (4) keyfi bir çözümü veya aynı olan sistemin (1) keyfi bir çözümü şu şekildedir:

x ben \u003d b (r) ben - a (r) ij x j , ben = 1,…,r = m; x j – j = (r+1),…,n için herhangi biri. (5)

Daha sonra sistem (1) için çözümler kümesi şu şekilde yazılabilir:

X b \u003d (x \u003d (x 1, ..., x n) : x ben \u003d b (r) ben - a (r) ij x j for i = 1,…, r = m; x j - herhangi biri için j =(r+1),…,n.).

b) Bu durumda r< m, и существует хотя бы одна строка k, k >r, (satırların ve sütunların permütasyonunun a maddesindeki ile aynı olduğunu varsayıyoruz)) öyle ki tüm j için a (r) kj = 0. Ardından, karşılık gelen kesişim b (r) k ise eşit değil 0, o zaman k -inci denklemin çözümü yoktur ve sonuç olarak tüm sistemin çözümü yoktur, yani sistem 1) uyumsuz .

Karşılık gelen b (r) k, 0'a eşitse, o zaman k -inci denklem gereksizdir ve atılabilir. Tüm bu denklemleri atarak, sistemin (1)'in aşağıdaki sisteme eşdeğer olduğunu elde ederiz: r n değişkenli denklemler, r adımdan sonra tüm satırların önde olduğu form (3) tablosu kullanılarak yazılır. Böylece, yukarıda ele alınan a) durumuna ulaştık ve (5) formunun bir çözümünü yazabiliriz.

Gauss-Jordan yöntemi tam olarak açıklanmıştır. Başına sonlu sayıda yineleme doğrusal cebirsel denklemler sistemi çözülecek (eğer tutarlıysa) veya tutarsız olduğu açık olacak (eğer gerçekten tutarsızsa).

Baştaki (izin veren) öğelere karşılık gelen değişkenler veya önde gelen sütunlarda dururken, aramak gelenekseldir temel ve diğer değişkenler Bedava.

Aşağıdakilere dikkat edelim.

1) Gauss-Jordan yöntemini kullanarak bir sistemi çözmeye başladığımızda, bu sistemin tutarlı olup olmadığını bilemeyebiliriz. Sınırlı sayıda yineleme r için Gauss-Jordan yöntemi bu soruyu yanıtlayacaktır. Birleşik sistem olması durumunda, son tabloya göre orijinal sistemin genel çözümü yazılır. Bu durumda temel değişken sayısı zorunlu olarak son iterasyonun r sayısına eşittir, yani gerçekleştirilen yineleme sayısı. r sayısı asla min(m,n) değerini geçmez, burada m sayıdır sistem denklemleri ve n - sistem değişkenlerinin sayısı. eğer r< n, sonra ( n – r) serbest değişken sayısına eşittir.

2) Genel çözümü yazarken gerek yok Nihai Aşamayı açıklarken anlaşılmasını kolaylaştırmak için yapıldığı gibi değişkenleri yeniden numaralandırın. Bu daha net bir anlayış için yapılır.

3) Sistem (1)'i Gauss-Jordan yöntemiyle çözerken temel değişkenler, yalnızca bazı yinelemelerde işlev gören sütunlara karşılık gelen değişkenler olacaktır. lider ve bunun tersi, eğer bazı yinelemelerde sütun öncü olarak hareket ederse, karşılık gelen değişken zorunlu olarak temel değişkenler arasında olacaktır.

4) (1) sisteminin genel çözümü en az bir serbest değişken içeriyorsa, o zaman bu sistem sonsuz sayıdaözel çözümler, ancak serbest değişken yoksa, o zaman sistem genel çözümle örtüşen benzersiz bir çözüme sahiptir.

5) Her iterasyonda öncü elemanlar farklı bir şekilde seçilebilir. Önemli olan tek şey, bunların daha önce önde olmayan bir satır ve bir sütunun kesişme noktasında duran sıfır olmayan katsayılar olmasıdır. Çeşitli seçimönde gelen unsurlar verebilir çeşitli kayıtlar birçok çözüm. Yine de, çözüm kümesinin kendisi herhangi bir notasyon için aynıdır.

Yöntemin işleyişini örneklerle açıklayalım.

Örnek 1 Aşağıdaki doğrusal cebirsel denklem sistemini çözün

2 kere 1 – 3 kez 2 + 3 adet 3 +5 x 4 = -1,

3 kez 1 + 4 adet 2 - 2 kere 3 + 6 adet 4 = 2, (6)

5 x 1 – 4 x 2 + 6 x 3 + 10 x 4 = 2

bilinmeyenlerin art arda tamamen dışlanması yöntemiyle (Gauss-Jordan yöntemiyle).

İlk aşama.İlk olarak, denklem sistemini (6) daha uygun bir biçimde - bir tablo şeklinde yazıyoruz ben (0) .

Burada sistemi ücretsiz olarak çözebilirsiniz. lineer denklemler Çevrimiçi Gauss yöntemi büyük bedenlerçok ayrıntılı bir çözümle karmaşık sayılarda. Hesap makinemiz, sonsuz sayıda çözümü olan Gauss yöntemini kullanarak hem olağan belirli hem de belirsiz lineer denklem sistemlerini çevrimiçi olarak çözebilir. Bu durumda, cevapta, bazı değişkenlerin bağımlılığını diğerleri aracılığıyla ücretsiz olarak alacaksınız. Gauss çözümünü kullanarak denklem sistemini çevrimiçi uyumluluk açısından da kontrol edebilirsiniz.

Matris boyutu: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 49 18 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 78 78 78 78 79 81 82 83 84 86 86 88 88 89 90 97 97 92 94 97 97 97 97 97 97 96 96 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2 2 24 24 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 4 5 4 4 50 51 52 53 54 55 56 56 57 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 68 69 70 71 72 7 9 7 7 7 7 75 82 83 84 85 86 88 88 89 90 91 92 94 95 96 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 100 101

Yöntem hakkında

Bir lineer denklem sistemini çözerken çevrimiçi yöntem Gauss aşağıdaki adımları gerçekleştirir.

1. Genişletilmiş matrisi yazıyoruz.
2. Aslında çözüm, Gauss yönteminin ileri ve geri adımlarına bölünmüştür. Gauss yönteminin doğrudan hareketi, matrisin basamaklı bir forma indirgenmesi olarak adlandırılır. Gauss yönteminin ters hareketi, bir matrisin özel basamaklı bir forma indirgenmesidir. Ancak pratikte, söz konusu öğenin hem üstünde hem de altında olanı hemen sıfırlamak daha uygundur. Hesap makinemiz tam olarak bu yaklaşımı kullanır.
3. Gauss yöntemiyle çözerken, matriste sıfır olmayan en az bir sıfır satırın varlığına dikkat etmek önemlidir. Sağ Taraf(ücretsiz üyeler sütunu) sistemin uyumsuzluğunu gösterir. Bu durumda lineer sistemin çözümü yoktur.

Gauss algoritmasının çevrimiçi nasıl çalıştığını daha iyi anlamak için herhangi bir örnek girin, "çok ayrıntılı çözüm ve çözümüne internetten bakın.

AT Genel dava lineer denklem şu forma sahiptir:

Denklemin bir çözümü vardır: bilinmeyenlerdeki katsayılardan en az biri sıfırdan farklıysa. Bu durumda, herhangi bir -boyutlu vektör, koordinatları değiştirildiğinde denklem bir özdeşlik haline geliyorsa, denklemin çözümü olarak adlandırılır.

İzin verilen denklem sisteminin genel özellikleri

Örnek 20.1

Denklem sistemini tanımlayın.

Çözüm:

1. Tutarsız bir denklem var mı?(Eğer katsayılar, bu durumda denklem şu şekle sahiptir: ve denir çekişmeli.)

• Bir sistem tutarsız bir sistem içeriyorsa, böyle bir sistem tutarsızdır ve çözümü yoktur.

2. İzin verilen tüm değişkenleri bul. (Bilinmeyen denirizin verilmiş bir denklem sistemi için, sistemin denklemlerinden birine +1 katsayısı ile girer ve denklemlerin geri kalanına girmezse (yani, sıfıra eşit bir katsayı ile girer).

3. Denklem sistemine izin veriliyor mu? (Denklem sistemine çözülmüş denir, sistemin her denklemi, aralarında çakışanların olmadığı çözülmüş bir bilinmeyen içeriyorsa)

Sistemin her denkleminden teker teker alınan izin verilen bilinmeyenler, tam set izin verilen bilinmeyenler sistemler. (bizim örneğimizde öyle)

Tam sette yer alan izin verilen bilinmeyenlere de denir. temel() ve sete dahil değildir - Bedava ().

Genel durumda, çözülmüş denklem sistemi şu şekildedir:

Üzerinde bu aşama ne olduğunu anlamak önemli bilinmeyen çözüldü(baza dahil ve ücretsiz).

Genel Kısmi Temel Çözüm

Genel çözüm izin verilen denklem sisteminin bir kısmı, izin verilen bilinmeyenlerin serbest terimler ve serbest bilinmeyenler cinsinden ifadelerinin kümesidir:

Özel karar serbest değişkenlerin ve bilinmeyenlerin özel değerleri için genelden elde edilen çözüme denir.

Temel çözüm serbest değişkenlerin sıfır değerlerinde genel olandan elde edilen özel bir çözümdür.

• Temel çözüm (vektör) denir dejenere, sıfır olmayan koordinatlarının sayısı izin verilen bilinmeyenlerin sayısından azsa.
• Temel çözüm denir dejenere olmayan, sıfır olmayan koordinatlarının sayısı, tam kümeye dahil edilen sistemin izin verilen bilinmeyenlerinin sayısına eşitse.

teorem (1)

İzin verilen denklem sistemi her zaman uyumludur(çünkü en az bir çözümü vardır); Ayrıca, sistemin serbest bilinmeyenleri yoksa,(yani, denklem sisteminde izin verilenlerin tümü tabana dahil edilir) o zaman tanımlanır(benzersiz bir çözümü vardır); en az bir serbest değişken varsa, sistem tanımlı değildir.(sonsuz sayıda çözümü vardır).

Örnek 1. Denklem sistemine genel, temel ve herhangi bir özel çözüm bulun:

Çözüm:

1. Sisteme izin verilip verilmediğini kontrol ediyor musunuz?

• Sisteme izin verilir (çünkü denklemlerin her biri izin verilen bir bilinmeyen içerir)

2. Sete izin verilen bilinmeyenleri dahil ediyoruz - her denklemden bir tane.

3. Kümeye hangi izin verilen bilinmeyenleri dahil ettiğimize bağlı olarak genel çözümü yazıyoruz..

4. Özel bir çözüm bulma. Bunu yapmak için, kümeye dahil etmediğimiz serbest değişkenleri keyfi sayılara eşitleyeceğiz.

Cevap: özel karar(seçeneklerden biri)

5. Temel çözümü bulmak. Bunun için kümeye dahil etmediğimiz serbest değişkenleri sıfıra eşitliyoruz.

Doğrusal denklemlerin temel dönüşümleri

Doğrusal denklem sistemleri, aşağıdakiler kullanılarak eşdeğer izin verilen sistemlere indirgenir: temel dönüşümler.

teorem (2)

Varsa sistemin denklemini sıfır olmayan bir sayı ile çarp ve denklemlerin geri kalanını değiştirmeden bırakın, sonra . (yani, solu çarparsanız ve Sağ Taraf aynı sayı için denklemler, o zaman verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz)

teorem (3)

Eğer bir sistemin herhangi bir denklemine bir tane daha ekleyin ve diğer tüm denklemleri değiştirmeden bırakın, sonra verilene eşdeğer bir sistem elde edin. (yani, iki denklemi toplarsanız (sol ve sağ kısımlarını ekleyerek), verilere eşdeğer bir denklem elde edersiniz)

Teoremlerden Sonuç (2 ve 3)

Eğer bir herhangi bir denkleme başka bir tane ekleyin, belirli bir sayı ile çarpın ve diğer tüm denklemleri değiştirmeden bırakın, o zaman verilene eşdeğer bir sistem elde ederiz.

Sistem katsayılarını yeniden hesaplamak için formüller

Bir denklem sistemimiz varsa ve onu izin verilen bir denklem sistemine dönüştürmek istiyorsak, Jordan-Gauss yöntemi bu konuda bize yardımcı olacaktır.

Ürdün dönüşümüçözme elemanı ile denklem sistemi için çözülmüş bilinmeyeni elde etmenizi sağlar. (örnek 2).

Jordan dönüşümü, iki türden temel dönüşümlerden oluşur:

Diyelim ki alt denklemdeki bilinmeyeni çözülmüş bir bilinmeyen yapmak istiyoruz. Bunu yapmak için, toplamı elde edecek şekilde bölmemiz gerekir.

Örnek 2 Sistemin katsayılarını yeniden hesaplayın

Bir sayı ile bir denklemi bölerken , katsayıları aşağıdaki formüllere göre yeniden hesaplanır:

Sayı ile denklemden çıkarmak için, sayı ile denklemi çarpmanız ve bu denkleme eklemeniz gerekir.

Teorem (4) Sistem denklemlerinin sayısının azaltılması üzerine.

Denklem sistemi önemsiz bir denklem içeriyorsa, sistemden çıkarılabilir ve orijinaline eşdeğer bir sistem elde edilir.

Teorem (5) Denklem sisteminin uyumsuzluğu üzerine.

Bir denklem sistemi tutarsız bir denklem içeriyorsa, o zaman tutarsızdır.

Jordan-Gauss yöntemi algoritması

Denklem sistemlerini Jordan-Gauss yöntemiyle çözme algoritması, her biri aşağıdaki sırayla eylemler gerçekleştiren aynı türden birkaç adımdan oluşur:

1. Sistemin tutarsız olup olmadığını kontrol eder. Bir sistem tutarsız bir denklem içeriyorsa, o zaman tutarsızdır.
2. Denklem sayısını azaltma olasılığı kontrol edilir. Sistem önemsiz bir denklem içeriyorsa üzeri çizilir.
3. Denklem sistemine izin veriliyorsa, sistemin genel çözümünü ve gerekirse özel çözümlerini yazın.
4. Sisteme izin verilmiyorsa, izin verilen bilinmeyeni içermeyen denklemde bir çözücü eleman seçilir ve bu eleman ile bir Jordan dönüşümü yapılır.
5. Ardından 1. noktaya geri dönün.

Örnek 3 Denklem sistemini Jordan-Gauss yöntemini kullanarak çözün.

Bulmak: iki genel ve karşılık gelen iki temel çözüm

Çözüm:

Hesaplamalar aşağıdaki tabloda gösterilmektedir:

Denklemlerle ilgili işlemler tablonun sağ tarafında gösterilir. Oklar, çözümleme elemanının uygun bir çarpanla çarpıldığı denklemin hangi denkleme eklendiğini gösterir.

Tablonun ilk üç satırı bilinmeyenlerin katsayılarını ve orijinal sistemin doğru kısımlarını içermektedir. Çözümleme öğesi içeren ilk Jordan dönüşümünün sonuçları bire eşit 4, 5, 6. satırlarda verilmiştir. Çözümleme elemanı (-1)'e eşit olan ikinci Jordan dönüşümünün sonuçları 7, 8, 9. satırlarda verilmiştir. Üçüncü denklem önemsiz olduğu için göz ardı edilebilir.

Gauss-Jordan yöntemi, doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE) çözmek için tasarlanmıştır. Gauss yönteminin bir modifikasyonudur. Gauss yöntemi iki aşamada (ileri ve geri) gerçekleştirilirse, Gauss-Jordan yöntemi sistemi tek aşamada çözmenizi sağlar. Ayrıntılar ve Gauss-Jordan yöntemini uygulamak için doğrudan bir şema örneklerde açıklanmıştır.

Tüm örneklerde $A$ sistem matrisini, $\widetilde(A)$ genişletilmiş sistem matrisini belirtir. SLAE gösteriminin matris formu hakkında bilgi edinebilirsiniz.

Örnek 1

SLAE'yi çözün $ \left\( \begin(aligned) & 4x_1-7x_2+8x_3=-23;\\ & 2x_1-4x_2+5x_3=-13;\\ & -3x_1+11x_2+x_3=16. \end(aligned ) \right.$ Gauss-Jordan yöntemiyle.

Son aldığımız matristen sisteme geçelim:

$$ \left\( \begin(hizalı) & 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3=1;\\ & 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=-2; \\ & 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=-1.\end(hizalı) \right.$$

Ortaya çıkan sistemi basitleştirerek, elimizde:

$$ \left\( \begin(hizalı) & x_2=1;\\ & x_1=-2;\\ & x_3=-1. \end(hizalı) \sağ.$$

Tam çözüm açıklama olmadan şöyle görünür:

Çözücü elemanları seçmenin bu yöntemi oldukça kabul edilebilir olsa da, sistem matrisinin köşegen elemanlarını çözümleyici elemanlar olarak seçmek tercih edilir. Aşağıda bu yönteme bakacağız.

Sistem matrisinin ana köşegenindeki elemanları çözme seçimi.

Bu çözüm yöntemi bir öncekine tamamen benzediği için (çözme elemanlarının seçimi dışında) ayrıntılı açıklamaları atlayacağız. İzin verilen öğeleri seçme ilkesi basittir: ilk sütunda birinci satırın öğesini seçeriz, ikinci sütunda ikinci satırın öğesini, üçüncü sütunda - üçüncü satırın öğesini vb. .

İlk adım

İlk sütunda, ilk satırın öğesini seçin, yani. Çözücü eleman olarak 4. elemana sahibiz.2 rakamının seçilmesinin daha çok tercih edildiğini anlıyorum, çünkü bu sayı hala 4'ten az. ve ikinci sıralar:

$$ \left(\begin(dizi) (ccc|c) 4 & -7 & 8 & -23\\ 2 & -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(dizi) \ right)\rightarrow \left(\begin(dizi) (ccc|c) 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(dizi ) \sağ) $$

Bu nedenle, çözümleyici öğe 2 sayısı ile temsil edilir. Daha önce olduğu gibi, ilk satırı 2'ye böleriz ve ardından ilk sütunun öğelerini sıfıra ayarlarız:

$$ \left(\begin(dizi) (ccc|c) 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(dizi) \ sağ) \begin(dizi) (l) I:2 \\\phantom(0) \\ \phantom(0) \end(dizi) \rightarrow \left(\begin(dizi) (ccc|c) 1 & - 2& 5/2 & -13/2 \\4 & -7 & 8 & -23\\ -3 & 11 & 1 & 16 \end(dizi) \right) \begin(dizi) (l) \phantom(0 ) \\ II-4\cdot I\\ III+3\cdot I \end(dizi) \rightarrow \left(\begin(dizi) (ccc|c) 1 & -2& 5/2 & -13/2\ \0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end(dizi) \sağ). $$

İkinci adım

İkinci adım, ikinci sütunun öğelerini sıfırlamaktır. Çözme elemanı olarak ikinci sıranın elemanını seçiyoruz, yani. 1. Çözme öğesi zaten bire eşittir, bu nedenle herhangi bir satırı değiştirmeyeceğiz. Bu arada, satırları değiştirmek isteseydik, ilk adımda zaten kullanıldığı için ilk satıra dokunulmazdı. Ancak ikinci ve üçüncü satırlar kolayca değiştirilebilir. Bununla birlikte, tekrar ediyorum, bu durumda satırları değiştirmek gerekli değildir, çünkü çözme öğesi zaten optimaldir - bire eşittir.

$$ \left(\begin(dizi) (ccc|c) 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/ 2 \end(array) \right) \begin(array) (l) I+2\cdot II \\ \phantom(0)\\ III-5\cdot II \end(array) \rightarrow \left(\begin (dizi) (ccc|c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end(dizi) \Sağ). $$

İkinci adım bitti. Üçüncü adıma geçelim.

Üçüncü adım

Üçüncü adım, üçüncü sütunun öğelerini sıfırlamaktır. Çözme elemanı olarak üçüncü sıranın elemanını seçiyoruz, yani. 37/2. Üçüncü satırın öğelerini 37/2'ye bölün (böylece çözümleme öğesi 1'e eşit olur) ve ardından üçüncü sütunun karşılık gelen öğelerini sıfıra ayarlayın:

$$ \left(\begin(dizi) (ccc|c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37 /2 \end(dizi) \sağ) \begin(dizi) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ III:\frac(37)(2) \end(dizi) \rightarrow \ left(\begin(dizi) (ccc|c) 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end(dizi) \right) \begin(dizi) (l) I+2\cdot III\\II+3/2\cdot III\\ \phantom(0) \end(array) \rightarrow \left(\begin(dizi) ( ccc|c) 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end(dizi) \sağ). $$

Alınan yanıt: $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$. Açıklama olmadan tam çözüm şöyle görünür:

Bu sayfadaki diğer tüm örnekler ikinci şekilde çözülecektir: sistem matrisinin köşegen elemanlarını çözen elemanlar olarak seçeceğiz.

Cevap: $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

Örnek 2

SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-6;\\ & 3x_1+x_2+2x_4=-10;\\ & 6x_1+4x_2+11x_3+11x_4=-27; \\ & -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4=1.\end(aligned) \right.$ Gauss-Jordan yöntemiyle.

Bu sistemin artırılmış matrisini yazalım: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1& 0 & 2 & -10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27 \\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1 \end(dizi) \sağ)$.

Sistem matrisinin köşegen elemanlarını çözümleyici elemanlar olarak seçeceğiz: ilk adımda birinci satırın elemanını, ikinci adımda ikinci satırın elemanını alıyoruz, vb.

İlk adım

İlk sütunun karşılık gelen öğelerini sıfırlamamız gerekiyor. Çözme elemanı olarak ilk satırın elemanını alalım, yani 3. Buna göre birinci satırın 3'e bölünmesi gerekecek ki çözümleme elemanı bire eşit olsun. Ardından, çözümleyen hariç, ilk sütunun tüm öğelerini sıfırlayın:

$$ \left(\begin(dizi)(cccc|c) 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\ \ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end(dizi)\sağ) \begin(dizi) (l) I:3\\ \phantom(0)\\\phantom(0)\\\ phantom(0)\end(dizi) \rightarrow \left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end(dizi)\sağ) \begin(dizi) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\III-6\cdot I\\IV+3\cdot I\end(dizi) \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & - 5 & ​​​​-5\end(dizi)\sağ). $$

İkinci adım

İkinci sütunun karşılık gelen öğelerini sıfırlamaya devam ediyoruz. Çözümleyici bir unsur olarak, ikinci çizginin unsurunu almayı kabul ettik, ancak bunu yapamayız çünkü istenilen eleman sıfıra eşittir. Sonuç: Satırları değiştireceğiz. İlk satıra zaten ilk adımda kullanıldığı için dokunulamaz. Seçim zengin değil: ya ikinci ve üçüncü satırları değiştirin ya da dördüncü ve ikinci satırları değiştirin. Dördüncü satırda (-1) olduğuna göre dördüncü satır "değişim"de yer alsın. Öyleyse, ikinci ve dördüncü satırları değiştirin:

$$ \left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end(dizi)\sağ)\rightarrow \left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \end(dizi)\sağ) $$

Şimdi her şey normal: çözme elemanı (-1)'e eşittir. Bu arada, çizgilerin yerlerini değiştirmek imkansızdır, ancak bunu bir sonraki 3 numaralı örnekte tartışacağız. Bu arada ikinci satırı (-1)'e bölüyoruz ve ardından ikinci sütunun elemanlarını sıfırlıyoruz. Lütfen ikinci sütunda, dördüncü satırda bulunan öğenin zaten sıfıra eşit olduğuna dikkat edin, bu nedenle dördüncü satıra dokunmayacağız.

$$ \left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end(dizi)\sağ) \begin(dizi) (l) \phantom(0)\\II:(-1) \\\phantom(0)\\\phantom(0)\end(dizi) \rightarrow \left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end(dizi)\sağ) \begin(dizi) (l) I-1/3\cdot II\\ \phantom(0) \\III-2\cdot II\\\phantom(0)\end(dizi) \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin( dizi)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end(dizi)\sağ). $$

Üçüncü adım

Üçüncü sütuna geçelim. Çözümleyici bir öğe olarak, sistem matrisinin köşegen öğelerini almayı kabul ettik. Üçüncü adım için bu, üçüncü sıradaki elemanın seçilmesi anlamına gelir. Ancak, sadece 7. öğeyi çözümleyici öğe olarak alırsak, o zaman üçüncü satırın tamamının 7'ye bölünmesi gerekecektir. Bana öyle geliyor ki (-2) ile bölmek daha basit. Bu nedenle, üçüncü ve dördüncü satırları değiştiririz ve ardından çözümleyici öğe (-2) olur:

$$ \left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end(dizi)\sağ) \rightarrow \left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end(dizi)\sağ) $$

İzin veren öğe - (-2). Üçüncü satırı (-2) ile bölün ve üçüncü sütunun karşılık gelen öğelerini sıfıra ayarlayın:

$$ \left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & - 3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end(dizi)\right) \begin(dizi) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0) \\III:( -2)\\\phantom(0)\end(dizi)\rightarrow \left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end(dizi)\sağ) \begin(dizi) (l) I-2 /3\cdot III\\ \phantom(0) \\ \phantom(0)\\IV-7\cdot III\end(dizi)\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin(dizi)(cccc|c) ) 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & - 39\end(dizi)\sağ). $$

Dördüncü adım

Dördüncü sütunu sıfırlamaya geçelim. Çözücü eleman dördüncü satırda bulunur ve $-\frac(39)(2)$ sayısına eşittir.

$$ \left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end(dizi)\right) \begin(dizi) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \\IV:\left(-\frac(39)(2)\right) \end(dizi)\rightarrow \left(\begin(dizi)(cccc|c) 1 & 0 & 0 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end(dizi)\sağ) \begin(dizi) (l ) I+IV\\ II-5\cdot IV \\ III-3/2\cdot IV \\ \phantom(0) \end(dizi)\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin(dizi)(cccc) |c) 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end (dizi)\sağ). $$

Çözüm tamamlandı. Cevap: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$. Açıklama olmadan tam çözüm:

Cevap: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$.

Örnek 3

SLAE'yi çözün $\left\(\begin(aligned) & x_1-2x_2+3x_3+4x_5=-5;\\ & 2x_1+x_2+5x_3+2x_4+9x_5=-3;\\ & 3x_1+4x_2+7x_3+4x_4 +14x_5=-1;\\ & 2x_1-4x_2+6x_3+11x_5=2;\\ & -2x_1+14x_2-8x_3+4x_4-7x_5=20;\\ & -4x_1-7x_2-9x_3-6x_4-21x_5=- 9. Gauss-Jordan yöntemiyle \end(aligned)\right.$ Sistem belirsiz ise temel çözümü belirtiniz.

Benzer örnekler "SLAE'nin genel ve temel çözümleri" başlığı altında ele alınmıştır. Bahsi geçen konunun ikinci bölümünde verilen örnek Gauss yöntemi kullanılarak çözüldü. Gauss-Jordan yöntemini kullanarak çözeceğiz. Önceki örneklerde bu zaten yapıldığı için çözümü adım adım kırmayacağız.

$$ \left(\begin(dizi)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 2 & 1 & 5 & 2 & 9 & -3\\ 3 & 4 & 7 & 4 & 14 & -1\\ 2 & -4 & 6 & 0 & 11 & 2\\ -2 & 14 & -8 & 4 & -7 & 20\\ -4 & -7 & -9 & -6 & -21 & -9 \end(dizi)\sağ) \begin(dizi) (l) \phantom(0) \\ II-2\cdot I\\ III-3\cdot I\\ IV-2\cdot I \\ V+2\cdot I\\VI+4\cdot I \end(dizi) \rightarrow \left(\begin(dizi)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\ \ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end(dizi)\sağ) \begin(dizi) (l) \phantom(0) \\ II:5 \\ \ phantom(0)\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom(0)\end(dizi) \rightarrow \\ \left(\begin(dizi)(ccccc|c) 1 & - 2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end(dizi)\sağ) \begin (dizi) (l) I+2\cdot II \\ \phantom(0)\\ III-10\cdot II\\ IV:3\\ V-10\cdot II\\VI+15\cdot II \end (dizi) \left(\begin(dizi)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/ 5 & ​​​​7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end(dizi)\sağ). $$

Yapılan dönüşümlerden birinin hâlâ açıklama gerektirdiğine inanıyorum: $IV:3$. Dördüncü satırın tüm öğeleri tamamen üçe bölünebilirdi, bu nedenle, yalnızca basitleştirme nedenleriyle, bu satırın tüm öğelerini üçe ayırdık. Dönüştürülmüş matristeki üçüncü satır sıfır olmuştur. Sıfır çizgisini silin:

$$ \left(\begin(dizi)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end(dizi)\sağ) $$

Üçüncü sütunun öğelerinin sıfıra ayarlanması gereken üçüncü adıma geçmemizin zamanı geldi. Ancak köşegen eleman (üçüncü sıra) sıfırdır. Ve çizgilerin yerlerini değiştirmek hiçbir şey vermeyecektir. Birinci ve ikinci satırları zaten kullandık, bu yüzden onlara dokunamıyoruz. Ve dördüncü ve beşinci satırlara dokunmanın bir anlamı yok çünkü çözme öğesinin sıfıra eşit olması sorunu hiçbir yere varmayacak.

Bu durumda, sorun son derece basit bir şekilde çözülür. Üçüncü sütunu işleyemez miyiz? Tamam, dört numaraya geçelim. Belki dördüncü sütunda, üçüncü satırın elemanı sıfıra eşit olmayacaktır. Ancak dördüncü sütun, üçüncü sütunla aynı sorundan muzdariptir. Dördüncü sütundaki üçüncü sıra elemanı sıfırdır. Ve çizgilerin yerlerini tekrar değiştirmek hiçbir şey vermeyecektir. Dördüncü sütunu da işleyemiyor musunuz? Tamam, beş numaraya geçelim. Ama beşinci sütunda üçüncü satırın elemanı sıfır bile değil. Bire eşit, ki bu oldukça iyi. Böylece, beşinci sütundaki çözme elemanı 1'e eşittir. Çözme elemanı seçilir, bu nedenle Gauss-Jordan yönteminin başka dönüşümlerini gerçekleştireceğiz:

$$ \left(\begin(dizi)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end(dizi)\sağ) \begin(dizi) (l) I-22/5\cdot III \\ II-1/5\cdot III \\ \phantom(0)\\ IV+III\\ V+ 2 \cdot III \end(dizi) \rightarrow \left(\begin(dizi)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1 / 5 & ​​2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(dizi)\right) \rightarrow \\ \rightarrow\left|\text(Boş satırları kaldır)\right|\rightarrow \left(\begin(dizi)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end(dizi)\ sağ )$$

Sistem matrisini ve artırılmış sistem matrisini kademeli bir forma indirdik. Her iki matrisin sıraları $r=3$'a eşittir, yani 3 temel değişken seçilmelidir. Bilinmeyenlerin sayısı $n=5$, dolayısıyla $n-r=2$ serbest değişkenleri seçmeniz gerekiyor. $r'den beri< n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли bu sistem belirsizdir (yani sonsuz sayıda çözümü vardır). Sisteme çözüm bulmak için "adımlar" oluşturuyoruz:

"Adımlarda" 1, 2, 5 numaralı sütunlardan öğeler vardır. Bu nedenle, $x_1$, $x_2$, $x_5$ değişkenleri temel olacaktır. Serbest değişkenler sırasıyla $x_3$, $x_4$ olacaktır. Serbest değişkenlere karşılık gelen 3 ve 4 numaralı sütunlar, elbette işaretlerini değiştirmeyi unutmadan çizginin ötesine taşınacaktır.

$$ \left(\begin(dizi)(ccccc|c) 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end(dizi)\right)\rightarrow \left(\begin(dizi)(ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & -99/5 & -13/5 & -4/5\\ 0 & 1 & 0 & 3/5 & 1/5 & -2/5\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end(dizi)\sağ) . $$

Son matristen genel çözümü elde ederiz: $\left\(\begin(aligned) & x_1=-\frac(99)(5)-\frac(13)(5)x_3-\frac(4)(5) )x_4; \\ & x_2=\frac(3)(5)+\frac(1)(5)x_3-\frac(2)(5)x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\ R; \\ & x_5=4.\end(aligned)\right.$ Serbest değişkenleri sıfıra eşit alarak temel çözümü buluyoruz, yani $x_3=0$, $x_4=0$:

$$ \left\(\begin(hizalı) & x_1=-\frac(99)(5);\\ & x_2=\frac(3)(5);\\ & x_3=0;\\ & x_4= 0;\\ & x_5=4.\end(hizalı)\sağ.$$

Sorun çözüldü, geriye sadece cevabı yazmak kalıyor.

Cevap: Ortak karar: $\left\(\begin(hizalı) & x_1=-\frac(99)(5)-\frac(13)(5)x_3-\frac(4)(5)x_4;\\ & x_2=\ frac(3)(5)+\frac(1)(5)x_3-\frac(2)(5)x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4 .\end(aligned)\right.$, temel çözüm: $\left\(\begin(aligned) & x_1=-\frac(99)(5);\\ & x_2=\frac(3)(5) ;\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4.\end(hizalı)\right.$.