Excel'de bir matris nasıl bulunur. Excel'de lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme

Yöntem 1

matrisi düşünün A boyut 3x4... Bu matrisi sayı ile çarpalım k... Bir matris bir sayı ile çarpıldığında, matrisin her bir elemanı ile orijinal ile aynı boyutta bir matris elde edilir. A bir sayı ile çarpılır k.

Matrisin öğelerini aralığa tanıtalım B3: E5 ve sayı k- hücreye H4... aralıkta K3:n5 matrisi hesapla V matris çarpılarak elde edilir A numaraya göre k: B = A *k... Bunu yapmak için formülü tanıtıyoruz = B3 * $ H $ 4 bir hücrede K3 , nerede 3'TE- eleman 11 matrisler A.

Not: hücre adresi H4 formülü kopyalarken bağlantının değişmemesi için mutlak bağlantı olarak giriyoruz.

Otomatik tamamlama işaretçisini kullanarak hücre formülünü kopyalayın K3 V.

Böylece matrisi çarpmış olduk. A Excel'de ve matrisi alın V.

Bir matrisi bölmek için A hücredeki k sayısıyla K3 formülü tanıtıyoruz = B3 / $ H $ 4 V.

Yöntem 2

Bu yöntem, bir matrisi bir sayı ile çarpmanın / bölmenin sonucunun kendisinin bir dizi olması bakımından farklılık gösterir. Bu durumda dizi öğesini silemezsiniz.

Matrisi bu şekilde bir sayıya bölmek için sonucun hesaplanacağı aralığı seçin, "=" işaretini girin, orijinal matris A'yı içeren aralığı seçin, klavyede çarpı işaretine (*) basın ve seçin numaralı hücre k Ctrl +Üst karakter +Girmek

Bu örnekte bölme yapmak için aralığa formül = B3: E5 / H4, yani. "*" işareti "/" olarak değiştirilir.

Excel'de matrislerin toplanması ve çıkarılması

Yöntem 1

Aynı boyuttaki matrislerin toplanıp çıkarılabileceğine dikkat edilmelidir (her matris için aynı sayıda satır ve sütun). Ayrıca, elde edilen matrisin her bir elemanı İLE BİRLİKTE matrislerin karşılık gelen elemanlarının toplamına eşit olacaktır. A ve V, yani ij ile =ve ij + Bij.

matrisleri düşünün A ve V boyut 3x4... Bu matrislerin toplamını hesaplayalım. Bunu yapmak için hücrede n3 formülü tanıtıyoruz = B3 + H3, nerede B3 ve H3- matrislerin ilk elemanları A ve V sırasıyla. Bu durumda, formül göreli referanslar içerir ( 3'TE ve H3 ) böylece bir formülü matrisin tüm aralığına kopyalarken İLE BİRLİKTE değişebilirler.

Otomatik tamamlama işaretçisini kullanarak formülü hücreden kopyalayın n3 matrisin tüm aralığı için aşağı ve sağa İLE BİRLİKTE.

Bir matrisi çıkarmak için V matristen A (C = A - B) hücre içine n3 formülü tanıtıyoruz = B3 - H3 ve matrisin tüm aralığına kopyalayın İLE BİRLİKTE.

Yöntem 2

Bu yöntem, matrislerin toplama/çıkarma işleminin sonucunun kendisinin bir dizi olması bakımından farklılık gösterir. Bu durumda dizi öğesini silemezsiniz.

Bir matrisi bu şekilde bir sayıya bölmek için sonucun hesaplanacağı aralığı seçin, "=" işaretini girin, ilk matrisi içeren aralığı seçin A, klavyedeki toplama işaretine (+) basın ve ikinci matrisi seçin V... Formülü girdikten sonra klavye kısayoluna basın Ctrl +Üst karakter +Girmek tüm aralığı değerlerle doldurmak için.

Excel'de matris çarpımı

Matrislerin ancak ilk matrisin sütun sayısı A ikinci matrisin satır sayısına eşittir V.

matrisleri düşünün A boyut 3x4 ve V boyut 4x2... Bu matrisleri çarptığınızda, matrisi elde edersiniz. İLE BİRLİKTE boyut 3x2.

Bu matrislerin çarpımını hesaplıyoruz C = A * B yerleşik işlevi kullanma = ÇOKLU ()... Bunu yapmak için aralığı seçin L3: m5 - matris elemanları içinde bulunacak İLE BİRLİKTEçarpımı sonucu elde edilir. sekmesinde formüller Seç Ekle işlevi.

iletişim kutusunda Sokmak fonksiyonlar Kategori seç Matematiksel- işlev MOMNOZH — Tamam.

iletişim kutusunda fonksiyon argümanları matrisleri içeren aralıkları seçin A ve V... Bunu yapmak için dizi1'in önünde kırmızı oka tıklayın.

A(aralığın adı argüman satırında görünecektir) ve kırmızı oka tıklayın.

Aynısını dizi2 için de yapalım. Dizinin karşısındaki oka tıklayın 2.

Matrisin öğelerini içeren aralığı seçin V ve kırmızı oka tıklayın.

İletişim kutusunda, matris aralıklarının giriş satırlarının yanında, matris öğeleri görünür ve altta - matris öğeleri İLE BİRLİKTE... Değerleri girdikten sonra klavyedeki tuş kombinasyonuna basın Vardiya+ Ctrl Tamam.

ÖNEMLİ. sadece basarsanız Tamam İLE BİRLİKTE.

Matris çarpımının sonucunu alıyoruz A ve V.

Matris hücrelerinin değerlerini değiştirebiliriz A ve V, matrisin değerleri İLE BİRLİKTE otomatik olarak değişecektir.

Excel'de bir matrisi transpoze etme

Matris devrik, sütunların karşılık gelen sayılarla satırlarla değiştirildiği bir matris üzerinde yapılan bir işlemdir. Transpoze edilmiş matrisi gösteriyoruz NS.

Verilen bir matris A boyut 3x4, işlevi kullanarak = TRANSPOZ () transpoze edilmiş matrisi hesapla NS, ve bu matrisin boyutu 4x3.

aralığı seçin H3:J6 , içine aktarılan matrisin değerlerinin girileceği.

sekmesinde formüller Seç Ekleme işlevi, bir kategori seç Referanslar ve Diziler- işlev TRANSPOZ — Tamam.

iletişim kutusunda fonksiyon argümanları dizinin aralığını belirtin B3: E5 A Vardiya+ Ctrl ve düğmeye sol tıklayın Tamam.

ÖNEMLİ. sadece basarsanız Tamam, program matris aralığının yalnızca ilk hücresinin değerini hesaplayacaktır. NS.

Büyütmek için tıklayın

Transpoze edilmiş bir matrisimiz var.

Excel'de bir matrisin tersini bulma

Matris bir -1 matrisin tersi denir A, Eğer Až A -1 = A -1ž A = E, nerede E kimlik matrisidir. Matrisin tersinin yalnızca bir kare matris (aynı sayıda satır ve sütun) için bulunabileceğine dikkat edilmelidir.

Verilen bir matris A boyut 3x3, fonksiyonu kullanarak bunun ters matrisini bulun = MOBR ().

Bunu yapmak için aralığı seçin G3: ben5 sekmesinde, ters matrisin öğelerini içerecek olan formüller Seç Ekle işlevi.

iletişim kutusunda Sokmak fonksiyonlar bir kategori seç Matematiksel- işlev MOBR — Tamam.

iletişim kutusunda fonksiyon argümanları dizinin aralığını belirtin 3'TE:NS5 matrisin elemanlarını içeren A... Klavye kısayoluna basın Vardiya+ Ctrl ve düğmeye sol tıklayın Tamam.

ÖNEMLİ. sadece basarsanız Tamam, program matris aralığının yalnızca ilk hücresinin değerini hesaplayacaktır. bir -1.

Büyütmek için tıklayın

Bir ters matrisimiz var.

Excel'de bir matrisin determinantını bulma

Bir matrisin determinantı, bir kare matrisin önemli bir özelliği olan bir sayıdır.

Excel'de tanımlanmış matrisler nasıl bulunur

Verilen bir matris A boyut 3x3, fonksiyonu kullanarak determinantı hesaplayın = MOPRED ().

Bunu yapmak için hücreyi seçin. H4, sekmesinde matrisin determinantını hesaplayacaktır. formüller Seç Ekle işlevi.

iletişim kutusunda Sokmak fonksiyonlar bir kategori seç Matematiksel- işlev MOPRED — Tamam.

iletişim kutusunda fonksiyon argümanları dizinin aralığını belirtin 3'TE:NS5 matrisin elemanlarını içeren A... İtmek Tamam.

Büyütmek için tıklayın

Matrisin determinantını hesapladık A.

Sonuç olarak, önemli bir noktaya dikkat edelim. Programda yerleşik işlevleri kullandığımız matrisler üzerindeki işlemlerle ilgilidir ve sonuç olarak yeni bir matris elde ettik (matris çarpımı, ters ve devrik matrisleri bulma). İşlemin sonucu olan matriste bazı öğeleri kaldıramazsınız. Onlar. örneğin matrisin bir öğesini seçersek ve tuşuna basarsak del, ardından program bir uyarı verecektir: Dizinin bir kısmı değiştirilemez.

Büyütmek için tıklayın

Sadece bu matrisin tüm elemanlarını kaldırabiliriz.

Video öğretici

Fizik, Bilişim ve BİT Öğretmeni, MCOU "SOSH", s. Savolenka, Yukhnovsky Bölgesi, Kaluga Bölgesi. Bilgisayar okuryazarlığının temelleri, ofis programları hakkında uzaktan kursların yazarı ve öğretmeni. Makalelerin, video eğitimlerinin ve gelişmelerin yazarı.

Lineer cebirsel denklem sistemlerinin Excel'de çözümü Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemleri "Computational Mathematics. BP Demidovich, IA Maron 1966" ders kitabında iyi açıklanmıştır. İndir - 11Mb

1. Ters matris yöntemi (Excel'de çözüm)

Denklem verilirse:
A * X = B, burada A bir kare matristir, X, B vektörlerdir;
burada B bilinen bir vektördür (yani bir sayı sütunu), X bilinmeyen bir vektördür,
o zaman X çözümü şu şekilde yazılabilir:
X = A -1 * B, burada A -1, A'nın tersidir.
MS Excel'de ters matris MOBR () işlevi ile hesaplanır ve matrisler (veya bir vektör ile bir matris) MULTIFUNCTION () işlevi ile çarpılır.

Bu matris eylemlerini Excel'de kullanmanın "incelikleri" vardır. Bu nedenle, A matrisinin tersini hesaplamak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. Fareyi kullanarak, ters matrisin yerleştirileceği kare bir hücre alanı seçin. 2. Formülü girmeye başlayın = MOBR (3. Matris A'yı seçin. Fare ile, parantezin sağına karşılık gelen hücre aralığı girilecektir. 4. Parantezi kapatın, tuş kombinasyonuna basın: Ctrl-Shift-Enter 5. Ters matris hesaplanmalı ve kendisine yönelik alanda doldurulmalıdır Bir matrisi bir vektörle çarpmak için: 1. Fare ile çarpma sonucunun yerleştirileceği hücre alanını seçin 2. formül = ÇOKLU (3. Matris seçin - fare ile ilk faktör. Bu durumda, karşılık gelen hücre aralığı parantezin sağına girilecektir. 4. Klavyeden ayırıcıyı girin; (noktalı virgül) 5. Fare ile vektör-ikinci faktörü seçin.Bu durumda, parantezin sağında, karşılık gelen hücre aralığı sığacaktır. 6. Parantezi kapatın, tuş kombinasyonuna basın: Ctrl-Shift-Enter 7. Ürün hesaplanmalı ve bunun için amaçlanan alanı doldurmalı ve Excel fonksiyon oluşturucu düğmesinin kullanıldığı başka bir şekilde.4. dereceden SLAE örneği

Bu örneğin çeşitli yöntemlerle çözüldüğü bir Excel belgesi indirin.

2. Gauss yöntemi

Gauss yöntemi ayrıntılı olarak (adım adım) sadece eğitim amaçlı, yapabileceğinizi göstermeniz gerektiğinde gerçekleştirilir. Ve gerçek bir SLAE'yi çözmek için, Excel'de ters matris yöntemini uygulamak veya özel programlar kullanmak daha iyidir, örneğin bu

Kısa Açıklama.

3. Jacobi yöntemi (basit yineleme yöntemi)

Jacobi yöntemini (ve Seidel yöntemini) uygulamak için, A matrisinin köşegen bileşenleri, aynı satırın diğer bileşenlerinin toplamından büyük olmalıdır. Verilen sistemde bu özellik olmadığı için ön dönüşümler yapıyorum.

(1) '= (1) + 0.43 * (2) - 0.18 * (3) - 0.96 * (4) (2)' = (2) + 0.28 * (1) - 1 , 73 * (3) + 0.12 * (4) (3) '= (3) - 0.27 * (1) - 0.75 * (2) + 0.08 * (4) (4)' = (4) + 0.04 * (1) - 6.50 * (2) + 8.04 * (3) Not: Katsayı seçimi "Analiz" sayfasında yapılır. Amacı köşegen dışı elemanları sıfır yapmak olan denklem sistemleri çözülür. Katsayılar, bu tür denklem sistemlerini çözmenin yuvarlatılmış sonuçlarıdır. Tabii ki, durum böyle değil. Sonuç olarak, bir denklem sistemi elde ederim:
Jacobi yöntemini uygulamak için denklem sistemi şu forma dönüştürülmelidir:
X = B2 + A2 * X Dönüştürme:

Ardından, her satırı sol sütunun faktörüne, yani sırasıyla 16, 7, 3, 70'e bölüyorum. Daha sonra A2 matrisi şu şekildedir:


Ve vektör B2:

Matrislerle çalışırken en sık yapılan işlemlerden biri de birinin diğeriyle çarpılmasıdır. Excel, matrislerle çalışmak üzere tasarlanmış güçlü bir elektronik tablo işlemcisidir. Bu nedenle, kendi aralarında çoğaltmanıza izin veren araçlara sahiptir. Bunun çeşitli şekillerde nasıl yapılabileceğini öğrenelim.

Hemen tüm matrislerin birbiriyle çarpılabileceğini, ancak yalnızca belirli bir koşulu karşılayanlarla çarpılabileceğini söylemek gerekir: bir matrisin sütun sayısı diğerinin satır sayısına eşit olmalıdır ve bunun tersi de geçerlidir. Ayrıca matriste boş elemanların varlığı hariç tutulur. Bu durumda gerekli işlem de başarısız olacaktır.

Excel'de matrisleri çarpmanın hala pek çok yolu yok - sadece iki. Ve her ikisi de yerleşik Excel işlevlerinin kullanımını içerir. Bu seçeneklerin her birine daha yakından bakalım.

Yöntem 1: ÇOKLU işlev

Kullanıcılar arasında en basit ve en popüler seçenek, işlevi kullanmaktır. MOMNOZH... Şebeke MOMNOZH matematiksel fonksiyon grubunu ifade eder. Acil görevi, iki matris dizisinin ürününü bulmaktır. Sözdizimi MOMNOZH buna benzer:

MOUNT (dizi1, dizi2)

Bu nedenle, bu operatörün, çarpılacak iki matrisin aralıklarına referanslar olan iki argümanı vardır.

Şimdi fonksiyonun nasıl kullanıldığını görelim MOMNOZH belirli bir örnekle. İki matris vardır, birindeki satır sayısı diğerindeki sütun sayısına karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir. Bu iki unsuru çarpmamız gerekiyor.

Yöntem 2: bir bileşik formül kullanarak

Ek olarak, iki matrisi çarpmanın başka bir yolu daha var. Bir öncekinden daha karmaşıktır, ancak bir alternatif olarak anılmayı da hak ediyor. Bu yöntem, işlevden oluşacak bir bileşik dizi formülünün kullanıldığını varsayar. SUMPRODUCT ve operatör bir argüman olarak içine yerleştirildi TRANSPOZ.

1. Bu sefer, sonucu görüntülemek için kullanmayı umduğumuz boş hücre dizisinin yalnızca sol üst öğesini sayfada seçin. simgesine tıklayın "Ekle işlevi".



2. İşlev sihirbazı başlar. Operatör bloğuna geçiş "Matematiksel", ama bu sefer adını seçiyoruz SUMPRODUCT... düğmesine tıklayın "TAMAM".



3. Yukarıdaki fonksiyon için argüman penceresi açılır. Bu operatör, farklı dizileri birbiriyle çarpmak için tasarlanmıştır. Sözdizimi aşağıdaki gibidir:

   SUMPRODUCT (dizi1; dizi2; ...)

   Gruptan gelen argümanlar olarak "Dizi"çarpmak istediğiniz belirli bir aralığa referans kullanılır. Toplamda iki ila 255 bu tür argüman kullanılabilir. Ama bizim durumumuzda, iki matrisle uğraştığımız için sadece iki argümana ihtiyacımız var.

   İmleci alana koyduk "Dizi1"... Burada ilk matrisin ilk satırının adresini girmemiz gerekecek. Bunu yapmak için, farenin sol düğmesini basılı tutarak, imleçle sayfada seçmeniz yeterlidir. Bu aralığın koordinatları, argümanlar penceresinin ilgili alanında görüntülenecektir. Bundan sonra ortaya çıkan bağlantının koordinatları sütunlar halinde sabitlenmeli yani bu koordinatlar mutlak hale getirilmelidir. Bunu yapmak için, alana yazılan ifadedeki harflerin önüne dolar işaretini ayarlayın ( $ ). Bu, sayılar (satırlar) olarak gösterilen koordinatlardan önce yapılmamalıdır. Alternatif olarak, alandaki ifadenin tamamını seçip işlev tuşuna üç kez basabilirsiniz. F4... Bu durumda sadece kolonların koordinatları da mutlak olacaktır.



4. Bundan sonra, imleci alana yerleştiriyoruz "Dizi2"... Bu argümanla daha zor olacaktır, çünkü matris çarpım kurallarına göre ikinci matrisin "ters çevrilmesi" gerekir. Bunu yapmak için iç içe işlevi kullanın TRANSPOZ.

   Ona gitmek için, formül çubuğunun solunda bulunan, aşağı doğru dar açılı bir üçgen şeklindeki simgeye tıklayın. Son kullanılan formüllerin bir listesi açılır. adını bulursan "TAŞIMA", ardından üzerine tıklayın. Bu operatörü uzun süredir kullandıysanız veya hiç kullanmadıysanız, belirtilen adı bu listede bulamazsınız. Bu durumda, öğeye tıklamanız gerekir. "Diğer fonksiyonlar ...".



5. Bizim için zaten iyi bilinen bir pencere açılır İşlev Sihirbazları... Bu sefer kategoriye geçiyoruz. Referanslar ve Diziler ve bir isim seçin "TAŞIMA"... düğmesine tıklayın "TAMAM".



6. İşlev argümanları penceresi başlatılır TRANSPOZ... Bu operatör tabloların aktarılması için tasarlanmıştır. Yani, basit bir ifadeyle, sütunları ve satırları değiştirir. Operatörün ikinci argümanı için yapmamız gereken şey bu. SUMPRODUCT... İşlev sözdizimi TRANSPOZ son derece basit:

   TRANSPOSE (dizi)

   Yani, bu operatörün tek argümanı, "çevrilmesi" gereken diziye yapılan bir başvurudur. Aksine, bizim durumumuzda, dizinin tamamı için bile değil, yalnızca ilk sütunu için.

   Böylece, imleci alana yerleştiriyoruz "Dizi" ve sol fare tuşu basılıyken sayfadaki ikinci matrisin ilk sütununu seçin. Adres alanında görüntülenecektir. Önceki durumda olduğu gibi, burada da belirli koordinatları mutlak yapmanız gerekir, ancak bu sefer sütunların koordinatları değil, satırların adresleri. Bu nedenle alanda görüntülenen linkteki sayıların önüne dolar işareti koyuyoruz. Ayrıca tüm ifadeyi seçebilir ve tuşa çift tıklayabilirsiniz. F4... Gerekli elemanlar mutlak özellikler haline geldikten sonra butona tıklamayın. "TAMAM", önceki yöntemde olduğu gibi, tuş kombinasyonuna basarak kullanıyoruz Ctrl + Üst Karakter + Enter.



7. Ama bu sefer bir dizi doldurmadık, sadece bir hücre doldurduk, daha önce çağırırken seçtiğimiz İşlev Sihirbazları.



8. İlk yöntemde olduğu gibi aynı boyutta bir diziyi verilerle doldurmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, hücrede elde edilen formülü, birinci matrisin satır sayısına ve ikincinin sütun sayısına eşit olacak eşdeğer bir aralığa kopyalayın. Bizim özel durumumuzda, üç satır ve üç sütun elde ederiz.

   Kopyalama için bir dolgu işaretçisi kullanmaya başvuracağız. İmleci, formülün bulunduğu hücrenin sağ alt köşesine getirin. İmleç siyah bir çarpıya dönüşür. Bu, doldurma işaretçisidir. Sol fare düğmesini basılı tutun ve imleci yukarıdaki aralığın tamamı üzerinde sürükleyin. Formülü içeren en baştaki hücre, bu dizinin sol üst öğesi olmalıdır.



9. Gördüğünüz gibi, seçilen aralık verilerle doldurulur. Bunları operatörün kullanımı sayesinde elde ettiğimiz sonuçla karşılaştırırsak MOMNOZH, değerlerin tamamen aynı olduğunu göreceğiz. Bu, iki matrisin çarpımının doğru olduğu anlamına gelir.

Gördüğünüz gibi, eşdeğer bir sonuç elde edilmesine rağmen, matris çarpımı için işlevi kullanın. MOMNOZH aynı amaçlar için bir bileşik operatör formülü kullanmaktan çok daha kolay SUMPRODUCT ve TRANSPOZ... Ancak yine de, bu alternatif seçenek, Microsoft Excel'de matris çarpımının tüm olasılıklarını incelerken de göz ardı edilemez.

Excel'de matris nasıl oluşturulur sorusuyla ilgili bölümde ???? yazar tarafından verilen Maşa Kalganova en iyi cevap Tam olarak ne yapılması gerekiyor?
Excel belgesi, her öğesi bir sayı, metin veya başka herhangi bir değer olabilen boyutsuz (tamamen boyutlu) bir matristir. Evet, hatta bir formül.
Arka arkaya 3 sayı yazdırırsak, altlarında 3 satır daha var, altlarında 3 satır daha var, 3x3 kare matris elde ediyoruz.
Soru ne?
Excel'de bir sayı ile bir matrisi çarpma
Formülleri yazar mısınız?
Yeni matrisin sol üst hücresinde
= eski matrisin sol üst hücresi * bir sayı içeren hücre (fareyle dürterek), $ x $ y olması için F4'e basın, burada x, y hücrenin koordinatlarıdır. Bu, kopyalama sırasında hücreyi düzeltecektir. Ardından Enter tuşuna basın ve hücrenin içeriğini arka arkaya 2 bitişik hücreye kopyalayın. Ardından, bu 3 hücreyi sonraki 3 satıra kopyalayın ve resmimdekiyle aynı sonucu alın. Yani, bir matrisin bir sayı ile çarpılması.
Kahretsin, matematik bilmiyorlar ama internete giriyorlar!

MOPRED () veya English fonksiyonunu kullanarak matrisin determinantını (determinantını) hesaplayalım. MDETERM, satır/sütun ayrıştırması (3 x 3 için) ve tanım gereği (6. sıraya kadar).

Matrisin determinantı (det) sadece kare matrisler için hesaplanabilir, yani. burada satır sayısı sütun sayısına eşittir.

MS EXCEL'de determinantı hesaplamak için özel bir MOPRED () işlevi vardır. İşlev bağımsız değişkeninde, matrisin öğelerini içeren hücre aralığına (dizi) bir başvuru belirtmelisiniz (örnek dosyaya bakın).

Dizi yalnızca bir hücre aralığı olarak belirtilemez, örneğin A7: B8 , aynı zamanda örneğin = MOPRED ((5; 4: 3; 2)). Bir dizi sabit kullanarak yazmak, öğeleri ayrı hücrelerde belirtmenize değil, bunları işlevle birlikte hücreye yerleştirmenize olanak tanır. Bu durumda dizi satır satır gösterilir: örneğin, önce ilk satır 5; 4, ardından sonraki satır 3; 2, iki nokta üst üste ile ayrılmış olarak yazılır. Öğeler noktalı virgülle ayrılır.

2. dereceden matrisler için, determinant MOPRED () işlevi kullanılmadan hesaplanabilir. Örneğin, yukarıdaki matris için = A7 * B8-B7 * A8 ifadesi aynı sonucu verecektir.

Örneğin, aralıkta bulunan 3. dereceden bir matris için A16: C18 , ifade daha karmaşık hale gelir = A16 * (B17 * C18-C17 * B18) -B16 * (A17 * C18-C17 * A18) + C16 * (A17 * B18-B17 * A18)(dize ayrıştırma).

3 x 3'lük bir matris için örnek dosyada, determinant ayrıca sütun ayrıştırması ve Sarrus kuralı aracılığıyla da hesaplanır.

determinant özellikleri

Şimdi determinantın bazı özellikleri hakkında (örnek dosyaya bakın):

• Determinant, orijinal matrisin determinantına eşittir
• Bir matriste satırlardan (veya sütunlardan) en az birinin tüm öğeleri sıfırsa, böyle bir matrisin determinantı sıfırdır.
• Herhangi iki satırı (sütunları) yeniden düzenlersek, ortaya çıkan matrisin determinantı orijinalin tersi olacaktır (yani işaret değişecektir)
• Satırlardan (sütun) birinin tüm elemanları aynı k sayısıyla çarpılırsa, sonuçtaki matrisin determinantı olacaktır. ile çarpılan orijinal matrisin determinantına eşittir k
  
• Matris, diğer satırların (sütunların) doğrusal bir kombinasyonu olan satırlar (sütunlar) içeriyorsa, determinant = 0
• det (A) = 1 / det (A -1), burada A -1, A matrisidir (A kare dejenere olmayan bir matristir).

Tanıma göre bir matrisin determinantının hesaplanması (6. sıraya kadar dahil)

TAVSİYE: Bu bölüm yalnızca ileri düzey MS EXCEL kullanıcıları tarafından okunmalıdır. Ek olarak, materyal yalnızca akademik ilgi alanına sahiptir, çünkü MOPRED () işlevi var.

Yukarıda gösterildiği gibi, 2. ve 3. dereceden matrisleri hesaplamak için oldukça basit formüller ve kurallar vardır. Daha yüksek dereceli matrislerin determinantını hesaplamak için (MOPRED () işlevini kullanmadan), tanımı hatırlamanız gerekir:

n x n dereceli bir kare matrisin determinantı, n'yi içeren toplamdır! terimler (= FACTR (n)). Her terim, matrisin n elemanının bir ürünüdür ve her ürün, A matrisinin her satırından ve her sütunundan bir eleman içerir. Çarpımdaki A matrisinin elemanları satır numarasına göre sıralanmışsa ve sütun numaraları kümesinin k. permütasyonundaki ters çevirme sayısı tek ise, katsayı (-1) k. terimden önce görünür.

burada (α 1, α 2, ..., α n) 1'den n'ye kadar olan sayıların bir permütasyonudur, N (α 1, α 2, ..., α n) bir sayıdır, toplama mümkün olan her şeyin üzerindedir sıralı permütasyonlar

3x3'lük bir matris örneğini kullanarak bu zor tanımı anlamaya çalışalım.

3 x 3'lük bir matris için, tanıma göre terim sayısı 3! = 6'dır ve her terim 3 matris elemanının çarpımından oluşur. Aşağıda 3x3'lük bir matrisin determinantını hesaplamak için gereken 6 terimin tümü verilmiştir:

• a21 * a12 * a33
• a21 * a32 * a13
• a11 * a32 * a23
• a11 * a22 * a33
• a31 * a22 * a13
• a31 * a12 * a23

a21, a12, vb. matrisin elemanlarıdır. Şimdi elementlerin indislerinin nasıl oluştuğunu açıklayalım, yani. örneğin, neden a11 * a22 * a33 terimi var, ancak a11 * a22 * a13 değil.

Yukarıdaki formüle bakalım (tanıma bakın). Matrisin her bir elemanının ikinci indeksinin (1'den n'ye kadar) matrisin sütun numarasına karşılık geldiğini varsayalım (satır numarası olsa da (matrisin determinantları ve matrisinin determinantları olduğu için bu önemli değildir). Bu nedenle, üründeki ilk elemanın ikinci indeksi her zaman 1, ikincisi 2, üçüncüsü 3'tür. O zaman elemanların ilk indeksleri satır numarasına karşılık gelir ve tanıma göre, 1'den 3'e kadar olan sayıların permütasyonlarından, yani (1, 2, 3) kümesinin permütasyonlarından belirlenebilir.

Şimdi terimler arasında neden a11 * a22 * a13 olmadığı açık, çünkü tanımına göre ( her ürün, A matrisinin her satırından ve her sütunundan bir eleman içerir.), ve ekimizde 3. satırdan hiçbir öğe yok.

Not: Bir kümedeki (tekrarsız) n sayının bir permütasyonu, belirli bir kümenin yalnızca içerdiği öğelerin sırasına göre farklılık gösteren herhangi bir sıralamasıdır. Örneğin, 3 sayı kümesi verildi: 1, 2, 3. Bu sayılardan 6 farklı permütasyon yapılabilir: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). makaleye bakın

3 sayı kümesinin permütasyon sayısı = 3! = 6 (her terimin kendi permütasyonu olduğundan, elbette, determinantın hesaplanması için ifadedeki terimlerin sayısına eşittir). 3x3'lük bir matris için tüm permütasyonlar yukarıdaki notta verilmiştir. Her terimde, elemanların ilk indekslerinin permütasyondaki karşılık gelen sayılara eşit olduğundan emin olabilirsiniz. Örneğin, a21 * a12 * a33 terimi için permütasyon (2, 1, 3) kullanılır.

TAVSİYE: 4. dereceden bir matris için 4 tane var! permütasyonlar, yani 26, her biri farklı 4 matris elemanının ürünü olan 26 terime karşılık gelir. 26 permütasyonun tamamı makalede bulunabilir.

Artık terimleri ele aldığımıza göre, her terimin önündeki faktörü tanımlıyoruz (+1 veya -1 olabilir). Faktör, karşılık gelen permütasyonun inversiyon sayısının düzgünlüğü ile belirlenir.

Not: Örneğin, makalede permütasyonların tersine çevrilmesi (ve tersine çevirme sayısının paritesi) hakkında bilgi edinebilirsiniz.

Örneğin, ilk terim, 1 inversiyonunun (tek sayı) ve buna göre -1 üzeri 1'in kuvvetinin -1 olduğu permütasyona (2, 1, 3) karşılık gelir. İkinci terim, 2 inversiyonun (çift sayı) ve buna göre -1'in 2'nin kuvvetinin 1'e eşit olduğu vb. permütasyona (2, 3, 1) karşılık gelir.

Tüm terimlerin eklenmesi: (-1) * (a21 * a12 * a33) + (+ 1) * (a21 * a32 * a13) + (- 1) * (a11 * a32 * a23) + (+ 1) * ( a11 * a22 * a33) + (- 1) * (a31 * a22 * a13) + (+ 1) * (a31 * a12 * a23) determinantın değerini alırız.

V 4+ sayfasındaki örnek dosya, ve Kullanarak matrisin sırasını değiştirerek, matrisin determinantını 6. sıra dahil olmak üzere hesaplayabilirsiniz.

6. mertebeden bir matris hesaplanırken (6!) ifadesinde zaten 720 terimin kullanıldığı akılda tutulmalıdır. 7. sıra için 5040 permütasyon için bir tablo yapmak ve buna göre 5040 terim hesaplamak gerekir! Onlar. MOPRED () kullanmadan yapamazsınız (iyi veya Gauss yöntemini kullanarak determinantı manuel olarak hesaplayabilirsiniz).