Lagrangian çarpanı yöntemi. Lagrange çarpanı yöntemi. Lagrange çarpanlarının ekonomik anlamı

Çarpan yöntemiLagrange (İngiliz literatüründe "LaGrange" ın belirlenmemiş çarpanlar yöntemi "), optimizasyon problemlerini çözmek için sayısal bir yöntemdir ve bu, amaç fonksiyonunun" koşullu "uç noktasını (minimum veya maksimum değer) belirlemenize olanak tanır.

değişkenleri üzerinde eşitlikler şeklinde belirtilen kısıtlamaların varlığında (yani, kabul edilebilir değerlerin aralığı belirlenir)

˗ Bunlar, fonksiyon değerinin uç noktaya yöneldiği gerçek etki alanındaki fonksiyon bağımsız değişkeninin (kontrollü parametreler) değerleridir. "Koşullu" uç adının kullanımı, değişkenlere, bir işlevin uç noktasını ararken kabul edilebilir değerlerin aralığını sınırlayan ek bir koşulun getirilmesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

Lagrange çarpanı yöntemi, kabul edilebilir değerler kümesi üzerinde amaç fonksiyonunun koşullu uç noktasını bulma probleminin fonksiyonun kısıtlanmamış optimizasyonu problemine dönüştürülmesine izin verir.

İşlevler durumunda ve Kısmi türevleriyle birlikte süreklidirler, o zaman eşzamanlı olarak sıfır olmayan ve aşağıdaki koşulun sağlandığı değişkenler λ vardır:

Bu nedenle, Lagrange çarpanı yöntemine uygun olarak, kabul edilebilir değerler kümesi üzerinde amaç fonksiyonunun uç noktasını aramak için, daha da optimize edilmiş olan Lagrange fonksiyonu L (x, λ) 'yı oluşturuyorum:

λ, tanımlanmamış Lagrange çarpanları adı verilen ek değişkenlerin bir vektörüdür.

Böylece, f (x) fonksiyonunun koşullu uç noktasını bulma problemi, L (x, λ) fonksiyonunun koşulsuz uç noktasını bulma problemine indirgenmiştir.

ve

Lagrange fonksiyonunun ekstremumu için gerekli koşul, bir denklem sistemi tarafından verilir (sistem "n + m" denklemlerinden oluşur):

Bu denklem sisteminin çözümü, L (x, λ) fonksiyonunun değerinin ve f (x) amaç fonksiyonunun değerinin uç noktaya karşılık geldiği fonksiyon (X) argümanlarının belirlenmesine izin verir.

Lagrange çarpanlarının (λ) değeri, kısıtlamalar denklemin serbest bir terimiyle (sabit) formda sunuluyorsa pratik ilgi çekicidir. Bu durumda, denklem sistemindeki sabitin değerini değiştirerek amaç fonksiyonunun değerini daha fazla düşünebiliriz (artırabilir / azaltabilir). Bu nedenle, Lagrange çarpanı, sınırlayıcı sabit değiştiğinde amaç fonksiyonunun maksimumundaki değişim oranını karakterize eder.

Ortaya çıkan fonksiyonun ekstremumunun doğasını belirlemenin birkaç yolu vardır:

Birinci yol: Izin vermek uç noktanın koordinatları ve - amaç fonksiyonunun karşılık gelen değeri. Noktaya yakın bir nokta alınır ve amaç fonksiyonunun değeri hesaplanır:

Eğer , o zaman noktada bir maksimum var.

Eğer , o zaman noktada bir minimum var.

İkinci yol: Ekstremumun doğasını bulmak için yeterli bir koşul, Lagrange fonksiyonunun ikinci diferansiyelinin işaretidir. Lagrange fonksiyonunun ikinci diferansiyeli şu şekilde tanımlanır:

Belirli bir noktada ise minimum, Eğer , o zaman amaç fonksiyonu f (x) bir koşullu maksimum.

Üçüncü yol: Ayrıca, Lagrange fonksiyonunun Hessian'ı dikkate alınarak fonksiyonun ekstremumunun doğası bulunabilir. Hessian matrisi, matris elemanlarının ana köşegen etrafında simetrik olduğu noktada bir fonksiyonun ikinci kısmi türevlerinin simetrik bir kare matrisidir.

Ekstremum türünü belirlemek için (bir işlevin maksimum veya minimum), Sylvester kuralını kullanabilirsiniz:

1. Lagrange fonksiyonunun ikinci diferansiyelinin pozitif olması için fonksiyonun açısal küçüklerinin pozitif olması gereklidir. Bu koşullar altında, bu noktada işlevin minimum değeri vardır.

2. Lagrange fonksiyonunun ikinci farkının negatif olması için fonksiyonun açısal küçüklerinin değişmesi ve matrisin ilk elemanının negatif sv olması gerekir. Bu koşullar altında, bu noktada işlevin bir maksimumu vardır.

Açısal bir minör ile, orijinal matrisin ilk k satırlarında ve k sütunlarında yer alan bir minörü kastediyoruz.

Lagrange yönteminin temel pratik değeri, koşulludan koşulsuz optimizasyona geçmenize ve buna bağlı olarak sorunu çözmek için mevcut yöntemlerin cephaneliğini genişletmenize izin vermesidir. Bununla birlikte, bu yöntemin indirgendiği denklem sistemini çözme problemi, genel durumda, bir ekstremum bulmanın orijinal probleminden daha basit değildir. Bu tür yöntemlere dolaylı denir. Kullanımları, aşırı bir soruna analitik bir biçimde (örneğin, belirli teorik hesaplamalar için) bir çözüm elde etme ihtiyacı ile açıklanmaktadır. Spesifik pratik problemleri çözerken, doğrudan yöntemler genellikle optimize edilmiş fonksiyonların değerlerinin hesaplanması ve karşılaştırılması için yinelemeli süreçlere dayalı olarak kullanılır.

Hesaplama yöntemi

1 adım: Lagrange fonksiyonunu belirli bir amaç fonksiyonundan ve bir kısıtlama sisteminden belirleyin:

İleri

Yorumunuzu makaleye eklemek için lütfen siteye kayıt olun.

Teorem 1. Kısıtlama denklemleri (3) sağlandığında nokta, fonksiyonun koşullu uç noktasının noktası olsun. Sonra, o noktada koşullar

Sonuç. Koyduk

teoremde belirtilen sayılar nerede. İşlev (8), Lagrange işlevi olarak adlandırılır. Bir nokta, bir fonksiyon için koşullu bir uç nokta ise, o zaman Lagrange fonksiyonu için bir durağan noktadır, yani. bu noktada

Teoremin kanıtı. Bir fonksiyon için koşullu bir uç nokta olalım ve kesinlik için bu noktada (4) koşulunun karşılanmasına izin verin. O halde nokta, işlev için olağan uç noktanın noktasıdır, dolayısıyla bu noktada

bu nedenle, sahip olduğumuz bir nokta için ilk diferansiyelin biçiminin değişmezliğini kullanarak

(5) 'i (3)' e ikame ederek ve ortaya çıkan kimliği noktanın bazı mahallelerinde farklılaştırarak ve dolayısıyla noktanın kendisinde,

Formül (11) ve formül (10) 'da, diferansiyeller bağımsız değişkenlerin diferansiyelleridir ve diferansiyeller, fonksiyonların farklılıklarıdır.

Sayılar ne olursa olsun, fonksiyon noktasında eşitliği (11) ile çarpıp bunları birbirine ve eşitlikle (10) toplayarak, şunu elde ederiz:

Eşitliklerin noktada tutulması için seçme

Bu her zaman mümkündür, çünkü (13) determinantlı bir doğrusal denklem sistemidir.

sıfıra eşit değil.

Bu seçimle bizde

Burada tüm diferansiyeller zaten bağımsız değişkenlerin farklılıklarıdır ve bu nedenle kendileri herhangi bir değeri alabilen bağımsız değişkenlerdir. Formül (14) 'te yer alan diğer tüm diferansiyelleri sıfıra eşit alarak elde ederiz

Böylece, koşulların (13) ve (15) karşılandığını, yani, varlığını kanıtladık. koşullar (7).

Teorem kanıtlandı.

Lagrange çarpanları yöntemi ile bir fonksiyonun ekstremumunu bulmak için algoritma

X 1, x 2,…, x n değişkenlerinin ilişkilerle (kısıtlar) ilişkili olması koşuluyla, n değişkenli f (x 1, x 2,…, x n) bir fonksiyonun uç noktasını bulmanın gerekmesine izin verin

aralarında eşitlik sınırlamalarının m sayısı, değişkenlerin sayısından n daha azdır ve eşitsizlik sınırlamalarının sayısı ve r'si keyfi olabilir.

F (X) fonksiyonunun ekstremasını vermesi gereken (x 1, x 2, ..., x n) \u003d X değerlerini bulmak için, tanımlanmamış Lagrange çarpanları yöntemini kullanabilirsiniz:

• 1. Eşitsizlik kısıtları g (X) 0, (X) 0 formuna indirgenir, burada (X) \u003d - g (X).
• 2. Elde edilen eşitsizlik kısıtlamaları

buna karşılık + r ek değişkenler eklenerek eşitlik kısıtlamalarına indirgenir

Sonuç olarak, koşullu bir ekstremum bulma sorunu kanonik biçimi alacaktır:

m ++ r oranı nerede< n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X).

3. Lagrange işlevi derlenmiştir:

Ф (x 1,…, xn, 1,…, m ++ r) \u003d f (x 1, x 2,…, xn) + 1 q 1 + 2 q 2 +… + m ++ rq m ++ r ,

ek değişkenlerin (1, ..., m ++ r) \u003d tanımsız Lagrange çarpanları olarak adlandırıldığı.

Derlenmiş Lagrange işlevi için, koşulsuz ekstremumu bulma sorununu ortaya koyabiliriz.

koşullu uç noktayı bulma konusundaki orijinal sorunun istenen çözümü ile örtüşecek olan çözmenin sonucu.

4. Ф (Х,) fonksiyonu için, bir ekstremumun varlığı için gerekli koşullar derlenmiştir:

5. Ortaya çıkan denklem sistemi Ф (Х,) \u003d 0 çözülür ve çözümün sonucu olarak değerler

bir ekstremumun varlığı için gerekli koşulları sağlamak.

6. Bulunan noktalarda maksimum veya minimum olup olmadığı sorusunu çözmek için, ekstremanın varlığı için yeterli koşullar kullanılmalıdır; bu, yumuşak fonksiyonlar için Ф () aşağıdaki gibi formüle edilir:

bir noktada ikinci türevlerin matrisi pozitif tanımlıysa, o zaman f (X) fonksiyonunun minimumu analiz edilen noktada bulunur;

Optimallik kriteri için analitik bir ifadeyle ve eşitlik türündeki bağımsız değişkenler üzerindeki kısıtlamaların varlığında problemleri çözmek için kullanılır. Analitik bir çözüm elde etmek için kısıtların analitik bir biçime sahip olması gerekir. Belirsiz Lagrange çarpanlarının kullanılması, optimizasyon problemini kısıtlamalarla, klasik analizin fonksiyonlarını inceleme yöntemleriyle çözülen bir probleme indirgemeyi mümkün kılar. Bu durumda, optimizasyon kriterinin uç noktasını bulmak için çözülen denklem sisteminin sırası, kısıtlamaların sayısı kadar arttırılır. Yöntem, değişken sayısı üç veya daha az olduğunda etkilidir. Yöntem, eğer süreç sonlu denklemlerle tanımlanıyorsa, üçten fazla değişkenle de kullanılır.

N değişkene bağlı olan ve sonra ilişkilerle ilişkili olan bir fonksiyonun uç noktasını bulmaya izin verin. Koşulların yerine getirilmesi dikkate alınarak işlevin ulaştığı uç noktaya göreceli veya koşullu denir. Değişkenlerin sayısı ilişki sayısına () eşitse, o zaman bilinmeyen bilinmeyenler, ilişkiler tarafından açıklanan denklem sistemi çözülerek bulunur. Optimizasyon probleminin çözümü, bu şekilde bulunan fonksiyonlar üzerindeki değişkenlerin değerlerinin kontrol edilmesine indirgenmiştir. Böylelikle, uç problem, koşulları karşılayan değişkenlerin basit bir şekilde sıralanmasıyla çözülebilir.

Eğer m< n o zaman kısıt denklemlerinden bağımlılığı bulabiliriz m değişkenler n - m diğer değişkenler, yani

Fonksiyon, elde edilen değişkenlerin fonksiyona ikame edilmesiyle elde edilebilir. Daha sonra, yalnızca ek koşullara bağlı olmayan değişkenlere bağlı olacaktır. Sonuç olarak, kısıtlamaları kaldırarak, orijinal optimizasyon probleminin boyutunu küçültmek mümkündür. Çoğu zaman sorun analitik olarak bu şekilde çözülemez. Bu nedenle, birçok değişkenli bir fonksiyonun uç noktasını bulma problemlerini çözmek için genellikle belirsiz Lagrange çarpanları yöntemi kullanılır.

Belirsiz Lagrange çarpanları adı verilen yeni değişkenlerin tanıtılmasıyla, yeni bir fonksiyon tanıtmak mümkün hale gelir.

şunlar. işlevi m + n fonksiyon sistemi tarafından getirilen kısıtlamaların ayrılmaz bir parça olarak dahil edildiği değişkenler.

İşlevin uç değeri, kısıtlama koşulu karşılanırsa işlevin uç değeriyle çakışır. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun uç noktası için gerekli bir koşul, bu fonksiyonun uç noktadaki diferansiyelinin sıfıra eşit olmasıdır, yani.

Bu ifadenin bağımsız diferansiyellerin herhangi bir değeri için geçerli olabilmesi için, bu diferansiyellerdeki katsayıların sıfır olması gerekir, bu da denklem sistemini verir

Bu durumda, yeni bağımsız olanlar durumdan belirlenir

Sistemleri (4.3.1) ve (4.3.2) birleştirerek elde edilebilir

Böylece, (4.3.3) formundaki problem, probleme indirgenir: bul

Ayrı ayrı not edilmelidir ki, genel durumda, Lagrange çarpanı yöntemi, bir kişinin yalnızca sürekli türevli sürekli fonksiyonlar için bir koşullu uç noktanın varlığı için gerekli koşulları bulmasına izin verir. Bununla birlikte, çözülen problemin fiziksel anlamından, genellikle bir fonksiyonun maksimum veya minimumundan bahsedip bahsetmediğimiz bilinir; Ek olarak, bir kural olarak, tasarım problemlerinde, söz konusu segment üzerindeki fonksiyon tek modludur. Bu nedenle, tasarım problemlerinde, yüksek mertebeden türevlerin analizini kullanarak bir uç nokta için dikkate alınan denklem sistemlerini çözerken bulunan değişkenlerin değerlerini kontrol etmeye gerek yoktur.

İlk olarak, iki değişkenli bir fonksiyonun durumunu düşünün. $ M_0 (x_0; y_0) $ noktasındaki $ z \u003d f (x, y) $ fonksiyonunun koşullu uç noktası, bu fonksiyonun uç noktasıdır ve bu noktanın çevresindeki $ x $ ve $ y $ değişkenlerinin $ \\ kısıt denklemini sağlaması koşuluyla elde edilir.

"Koşullu" extremum adı, değişkenlere $ \\ varphi (x, y) \u003d 0 $ ek koşulunun empoze edildiği gerçeğiyle bağlantılıdır. Bir değişken, kısıtlama denkleminden diğerine göre ifade edilebiliyorsa, koşullu uç noktayı belirleme sorunu, bir değişkenli bir fonksiyonun olağan uç noktası sorununa indirgenir. Örneğin, $ y \u003d \\ psi (x) $ kısıt denkleminden geliyorsa, $ y \u003d \\ psi (x) $ yerine $ z \u003d f (x, y) $ yerine, $ z \u003d f \\ left tek değişkenli bir fonksiyon elde ederiz (x, \\ psi (x) \\ sağ) $. Ancak genel durumda, böyle bir yöntem çok az kullanılır, bu nedenle yeni bir algoritma gereklidir.

İki değişkenli fonksiyonlar için Lagrange çarpanı yöntemi.

Lagrange çarpanları yöntemi, koşullu uç noktayı bulmak için Lagrange fonksiyonunun derlenmesinden oluşur: $ F (x, y) \u003d f (x, y) + \\ lambda \\ varphi (x, y) $ ($ \\ lambda $ parametresi Lagrange çarpanı olarak adlandırılır ). Bir ekstremum için gerekli koşullar, sabit noktaların belirlendiği bir denklem sistemi tarafından belirlenir:

$$ \\ left \\ (\\ begin (hizalı) & \\ frac (\\ kısmi F) (\\ kısmi x) \u003d 0; \\\\ & \\ frac (\\ kısmi F) (\\ kısmi y) \u003d 0; \\\\ & \\ varphi (x, y) \u003d 0. \\ end (hizalı) \\ right. $$

Ekstremumun doğasını bulmak için yeterli bir koşul, $ d ^ 2 F \u003d F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("" işaretidir. ) dy ^ 2 $. Sabit bir noktada $ d ^ 2F\u003e 0 $ ise, bu noktada $ z \u003d f (x, y) $ fonksiyonunun minimum şartı vardır, ancak $ d ^ 2F ise< 0$, то условный максимум.

Aşırılığın doğasını belirlemenin başka bir yolu var. Kısıtlama denkleminden şunu elde ederiz: $ \\ varphi_ (x) ^ (") dx + \\ varphi_ (y) ^ (") dy \u003d 0 $, $ dy \u003d - \\ frac (\\ varphi_ (x) ^ (")) (\\ varphi_ (y) ^ (")) dx $, dolayısıyla herhangi bir sabit noktada elimizde:

$$ d ^ 2 F \u003d F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 \u003d F_ (xx) ^ ( "") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dx \\ left (- \\ frac (\\ varphi_ (x) ^ (")) (\\ varphi_ (y) ^ (")) dx \\ sağ) + F_ (yy) ^ ("") \\ left (- \\ frac (\\ varphi_ (x) ^ (")) (\\ varphi_ (y) ^ (")) dx \\ sağ) ^ 2 \u003d \\\\ \u003d - \\ frac (dx ^ 2) (\\ left (\\ varphi_ (y) ^ (") \\ sağ) ^ 2) \\ cdot \\ left (- (\\ varphi_ (y) ^ (")) ^ 2 F_ (xx) ^ (" ") +2 \\ varphi_ (x) ^ (") \\ varphi_ (y) ^ (") F_ (xy) ^ (" ") - (\\ varphi_ (x) ^ (")) ^ 2 F_ (yy) ^ ("") \\ sağ) $$

İkinci faktör (parantez içinde yer alır) aşağıdaki gibi gösterilebilir:

Niteleyicinin unsurları $ \\ left | \\ begin (dizi) (cc) F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\\\ F_ (xy) ^ ("") & F_ (yy) ^ ("") \\ end Lagrange işlevinin Hessian'ı olan (dizi) \\ right | $. $ H\u003e 0 $ ise, $ d ^ 2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F > 0 $, yani $ z \u003d f (x, y) $ fonksiyonunun koşullu minimumuna sahibiz.

$ H $ niteleyicisinin gösterimi hakkında not. göster \\ gizle

$$ H \u003d - \\ sol | \\ begin (dizi) (ccc) 0 & \\ varphi_ (x) ^ (") & \\ varphi_ (y) ^ (") \\\\ \\ varphi_ (x) ^ (") & F_ * $$

Bu durumda, yukarıda formüle edilen kural şu \u200b\u200bşekilde değişecektir: eğer $ H\u003e 0 $ ise, bu durumda fonksiyonun bir koşullu minimum değeri vardır ve $ H için< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Koşullu bir uç nokta için iki değişkenli bir işlevi incelemek için algoritma

1. $ F (x, y) \u003d f (x, y) + \\ lambda \\ varphi (x, y) $ Lagrange fonksiyonunu yazın
2. $ \\ Left \\ (\\ begin (hizalı) & \\ frac (\\ kısmi F) (\\ kısmi x) \u003d 0; \\\\ & \\ frac (\\ kısmi F) (\\ kısmi y) \u003d 0; \\\\ & \\ sistemini çözün Bir önceki paragrafta bulunan sabit noktaların her birinde ekstremumun doğasını belirleyin. Bunu yapmak için yukarıdaki yöntemlerden herhangi birini uygulayın:
3. $ H $ determinantını oluşturun ve işaretini bulun
   • Kısıtlama denklemini dikkate alarak, $ d ^ 2F $ işaretini hesaplayın
   • N değişkenli fonksiyonlar için Lagrange çarpanı yöntemi

$ Z \u003d f (x_1, x_2, \\ ldots, x_n) $ ve $ m $ kısıt denklemleri ($ n\u003e m $) değişkenlerinden $ n $ fonksiyonumuz olduğunu varsayalım:

$$ \\ varphi_1 (x_1, x_2, \\ ldots, x_n) \u003d 0; \\; \\ varphi_2 (x_1, x_2, \\ ldots, x_n) \u003d 0, \\ ldots, \\ varphi_m (x_1, x_2, \\ ldots, x_n) \u003d 0. $$

Lagrange çarpanlarını $ \\ lambda_1, \\ lambda_2, \\ ldots, \\ lambda_m $ olarak ifade ederek Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz:

$$ F (x_1, x_2, \\ ldots, x_n, \\ lambda_1, \\ lambda_2, \\ ldots, \\ lambda_m) \u200b\u200b\u003d f + \\ lambda_1 \\ varphi_1 + \\ lambda_2 \\ varphi_2 + \\ ldots + \\ lambda_m \\ varphi_m $$

Koşullu bir uç noktanın varlığı için gerekli koşullar, sabit noktaların koordinatlarının ve Lagrange çarpanlarının değerlerinin bulunduğu bir denklem sistemi tarafından belirlenir:

$$ \\ left \\ (\\ begin (hizalı) & \\ frac (\\ kısmi F) (\\ kısmi x_i) \u003d 0; (i \u003d \\ overline (1, n)) \\\\ & \\ varphi_j \u003d 0; (j \u003d \\ Bulunan noktada koşullu minimum veya koşullu maksimumun bir işleve sahip olup olmadığını bulmak için, daha önce olduğu gibi $ d ^ 2F $ işareti aracılığıyla mümkündür. Bulunan $ d ^ 2F\u003e 0 $ noktasındaysa, fonksiyonun minimum koşullu olması gerekir, ancak $ d ^ 2F ise

{!LANG-d9466817c88c4e04c08b530ce9735467!}

{!LANG-f4443786e5644c5237f821ac08fb72e7!}< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

$ \\ Left | matrisinin determinantı \\ begin (dizi) (ccccc) \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (1) ^ (2)) & \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (1) \\ kısmi x_ (2) ) & \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (1) \\ kısmi x_ (3)) & \\ ldots & \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (1) \\ kısmi x_ (n)) \\\\ \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (2) \\ kısmi x_1) & \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (2) ^ (2)) & \\ frac (\\ kısmi ^ 2F ) (\\ kısmi x_ (2) \\ kısmi x_ (3)) & \\ ldots & \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (2) \\ kısmi x_ (n)) \\\\ \\ frac (\\ kısmi ^ 2F ) (\\ kısmi x_ (3) \\ kısmi x_ (1)) & \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (3) \\ kısmi x_ (2)) & \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (3) ^ (2)) & \\ ldots & \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (3) \\ kısmi x_ (n)) \\\\ \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ ldots & \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (n) \\ kısmi x_ (3)) & \\ ldots & \\ frac (\\ kısmi ^ 2F) (\\ kısmi x_ (n) ^ (2)) \\\\ \\ end ( array) \\ right | $, $ L $ matrisinde kırmızı ile vurgulanan, Lagrange fonksiyonunun Hessian'ıdır. Aşağıdaki kuralı kullanıyoruz:

• Köşe minörlerinin işaretleri $ H_ (2m + 1) ise \\; H_ (2m + 2), \\ ldots, H_ (m + n) $ matrices $ L $, $ (- 1) ^ m $ işaretiyle çakışır, o zaman incelenen sabit nokta, $ z \u003d f (x_1, x_2 fonksiyonunun koşullu minimum noktasıdır. , x_3, \\ ldots, x_n) $.
• Köşe minörlerinin işaretleri $ H_ (2m + 1) ise \\; H_ (2m + 2), \\ ldots, H_ (m + n) $ alternate ve $ H_ (2m + 1) $ küçük işareti $ (- 1) ^ (m + 1) $ sayısının işareti ile çakışır, ardından çalışılan sabit nokta, $ z \u003d f (x_1, x_2, x_3, \\ ldots, x_n) $ fonksiyonunun koşullu maksimum noktasıdır.

Örnek 1

$ Z (x, y) \u003d x + 3y $ fonksiyonunun koşullu sınırını $ x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 10 $ koşulu altında bulun.

Bu problemin geometrik yorumu şu şekildedir: $ x ^ 2 + y ^ 2 \u003d 10 $ silindiri ile kesiştiği noktalar için $ z \u003d x + 3y $ düzleminin uygulamasının en büyük ve en küçük değerini bulmak gerekir.

Kısıt denkleminden bir değişkeni diğeriyle ifade etmek ve onu $ z (x, y) \u003d x + 3y $ fonksiyonuna koymak biraz zordur, bu nedenle Lagrange yöntemini kullanacağız.

$ \\ Varphi (x, y) \u003d x ^ 2 + y ^ 2-10 $ ile Lagrange fonksiyonunu oluşturuyoruz:

$$ F (x, y) \u003d z (x, y) + \\ lambda \\ varphi (x, y) \u003d x + 3y + \\ lambda (x ^ 2 + y ^ 2-10); \\\\ \\ frac (\\ kısmi F) (\\ kısmi x) \u003d 1 + 2 \\ lambda x; \\ frac (\\ kısmi F) (\\ kısmi y) \u003d 3 + 2 \\ lambda y. $$

Lagrange fonksiyonunun durağan noktalarını belirlemek için bir denklem sistemi yazalım:

$$ \\ left \\ (\\ begin (hizalı) & 1 + 2 \\ lambda x \u003d 0; \\\\ & 3 + 2 \\ lambda y \u003d 0; \\\\ & x ^ 2 + y ^ 2-10 \u003d 0. \\ end (hizalı) \\ sağ. $$

$ \\ Lambda \u003d 0 $ varsayarsak, ilk denklem şu olur: $ 1 \u003d 0 $. Ortaya çıkan çelişki $ \\ lambda \\ neq 0 $ olduğunu söylüyor. $ \\ Lambda \\ neq 0 $ koşulu altında, birinci ve ikinci denklemlerden: $ x \u003d - \\ frac (1) (2 \\ lambda) $, $ y \u003d - \\ frac (3) (2 \\ lambda) $. Elde edilen değerleri üçüncü denkleme koyarak şunu elde ederiz:

$$ \\ left (- \\ frac (1) (2 \\ lambda) \\ right) ^ 2 + \\ left (- \\ frac (3) (2 \\ lambda) \\ sağ) ^ 2-10 \u003d 0; \\\\ \\ frac (1) (4 \\ lambda ^ 2) + \\ frac (9) (4 \\ lambda ^ 2) \u003d 10; \\ lambda ^ 2 \u003d \\ frac (1) (4); \\ left [\\ begin (hizalı) & \\ lambda_1 \u003d - \\ frac (1) (2); \\\\ & \\ lambda_2 \u003d \\ frac (1) (2). \\ end (hizalı) \\ sağ. \\\\ \\ begin (hizalı) & \\ lambda_1 \u003d - \\ frac (1) (2); \\; x_1 \u003d - \\ frac (1) (2 \\ lambda_1) \u003d 1; \\; y_1 \u003d - \\ frac (3) (2 \\ lambda_1) \u003d 3; \\\\ & \\ lambda_2 \u003d \\ frac (1) (2); \\; x_2 \u003d - \\ frac (1) (2 \\ lambda_2) \u003d - 1; \\; y_2 \u003d - \\ frac (3) (2 \\ lambda_2) \u003d - 3. \\ end (hizalı) $$

Dolayısıyla, sistemin iki çözümü vardır: $ x_1 \u003d 1; \\; y_1 \u003d 3; \\; \\ lambda_1 \u003d - \\ frac (1) (2) $ ve $ x_2 \u003d -1; \\; y_2 \u003d -3; \\; \\ lambda_2 \u003d \\ frac (1) (2) $. Her sabit noktada ekstremumun doğasını bulalım: $ M_1 (1; 3) $ ve $ M_2 (-1; -3) $. Bunu yapmak için, her noktada $ H $ belirleyicisini hesaplayın.

$$ \\ varphi_ (x) ^ (") \u003d 2x; \\; \\ varphi_ (y) ^ (") \u003d 2y; \\; F_ (xx) ^ ("") \u003d 2 \\ lambda; \\; F_ (xy) ^ ("") \u003d 0; \\; F_ (yy) ^ ("") \u003d 2 \\ lambda. \\\\ H \u003d \\ sol | \\ begin (dizi) (ccc) 0 & \\ varphi_ (x) ^ (") & \\ varphi_ (y) ^ (") \\\\ \\ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\\\ \\ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \\ end (dizi) \\ sağ | \u003d \\ sol | \\ begin (array) (ccc) 0 & 2x & 2y \\\\ 2x & 2 \\ lambda & 0 \\\\ 2y & 0 & 2 \\ lambda \\ end (array) \\ right | \u003d 8 \\ cdot \\ left | \\ begin (dizi) (ccc) 0 & x & y \\\\ x & \\ lambda & 0 \\\\ y & 0 & \\ lambda \\ end (dizi) \\ sağ | $$

$ M_1 (1; 3) $ noktasında şunu elde ederiz: $ H \u003d 8 \\ cdot \\ left | \\ begin (array) (ccc) 0 & x & y \\\\ x & \\ lambda & 0 \\\\ y & 0 & \\ lambda \\ end (array) \\ right | \u003d 8 \\ cdot \\ left | \\ begin (array) (ccc) 0 & 1 & 3 \\\\ 1 & -1/2 & 0 \\\\ 3 & 0 & -1/2 \\ end (array) \\ right | \u003d 40\u003e 0 $, yani noktada $ M_1 (1; 3) $ işlevi $ z (x, y) \u003d x + 3y $ koşullu bir maksimuma sahiptir, $ z _ (\\ max) \u003d z (1; 3) \u003d 10 $.

Benzer şekilde, $ M_2 (-1; -3) $ noktasında şunu buluruz: $ H \u003d 8 \\ cdot \\ left | \\ begin (array) (ccc) 0 & x & y \\\\ x & \\ lambda & 0 \\\\ y & 0 & \\ lambda \\ end (array) \\ right | \u003d 8 \\ cdot \\ left | \\ begin (array) (ccc) 0 & -1 & -3 \\\\ -1 & 1/2 & 0 \\\\ -3 & 0 & 1/2 \\ end (array) \\ right | \u003d -40 $. $ H'den beri< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Her noktada $ H $ belirleyicisinin değerini hesaplamak yerine, genel anlamda genişletmenin çok daha uygun olduğunu unutmayın. Metni ayrıntılarla karıştırmamak için, bu yöntemi bir notun altına gizleyeceğim.

$ H $ belirleyicisinin genel gösterimi. göster \\ gizle

$$ H \u003d 8 \\ cdot \\ left | \\ begin (array) (ccc) 0 & x & y \\\\ x & \\ lambda & 0 \\\\ y & 0 & \\ lambda \\ end (array) \\ right | \u003d 8 \\ cdot \\ left (- \\ lambda (y ^ 2) - \\ lambda (x ^ 2) \\ right) \u003d -8 \\ lambda \\ cdot \\ left (y ^ 2 + x ^ 2 \\ sağ). $$

Prensip olarak, $ H $ 'ın neye sahip olduğu zaten açıktır. $ M_1 $ veya $ M_2 $ noktalarının hiçbiri başlangıç \u200b\u200bnoktasıyla çakışmadığından, $ y ^ 2 + x ^ 2\u003e 0 $. Bu nedenle, $ H $ işareti, $ \\ lambda $ değerinin tam tersidir. Hesaplamaları sona erdirebilirsin:

$$ \\ begin (hizalanmış) & H (M_1) \u003d - 8 \\ cdot \\ left (- \\ frac (1) (2) \\ right) \\ cdot \\ left (3 ^ 2 + 1 ^ 2 \\ right) \u003d 40; \\ \\ end (hizalı) $$

$ M_1 (1; 3) $ ve $ M_2 (-1; -3) $ sabit noktalarındaki ekstremumun doğası sorusu, $ H $ belirleyicisi kullanılmadan çözülebilir. Her sabit noktada $ d ^ 2F $ işaretini bulalım:

$$ d ^ 2 F \u003d F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 \u003d 2 \\ lambda \\ left ( dx ^ 2 + dy ^ 2 \\ right) $$

$ Dx ^ 2 $ gösteriminin tam olarak $ dx $ anlamına geldiğine dikkat edin, ikinci kuvvete yükseltilir, yani $ \\ left (dx \\ right) ^ 2 $. Buradan: $ dx ^ 2 + dy ^ 2\u003e 0 $ elde ederiz, bu nedenle $ \\ lambda_1 \u003d - \\ frac (1) (2) $ için $ d ^ 2F elde ederiz< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Cevap: $ (- 1; -3) $ noktasında işlevin minimum koşullu, $ z _ (\\ min) \u003d - 10 $ vardır. $ (1; 3) $ noktasında, işlevin bir koşullu maksimum değeri vardır, $ z _ (\\ max) \u003d 10 $

Örnek No. 2

$ Z (x, y) \u003d 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ fonksiyonunun koşullu sınırını $ x + y \u003d 0 $ koşulu altında bulun.

İlk yol (Lagrange çarpanı yöntemi)

$ \\ Varphi (x, y) \u003d x + y $ ile, Lagrange fonksiyonunu oluşturun: $ F (x, y) \u003d z (x, y) + \\ lambda \\ varphi (x, y) \u003d 3y ^ 3 + 4x ^ 2 -xy + \\ lambda (x + y) $.

$$ \\ frac (\\ kısmi F) (\\ kısmi x) \u003d 8x-y + \\ lambda; \\; \\ frac (\\ kısmi F) (\\ kısmi y) \u003d 9y ^ 2-x + \\ lambda. \\\\ \\ left \\ (\\ begin (hizalı) & 8x-y + \\ lambda \u003d 0; \\\\ & 9y ^ 2-x + \\ Sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: $ x_1 \u003d 0 $, $ y_1 \u003d 0 $, $ \\ lambda_1 \u003d 0 $ ve $ x_2 \u003d \\ frac (10) (9) $, $ y_2 \u003d - \\ frac (10) (9) $ $ \\ lambda_2 \u003d -10 $. İki sabit noktamız var: $ M_1 (0; 0) $ ve $ M_2 \\ left (\\ frac (10) (9); - \\ frac (10) (9) \\ right) $. $ H $ belirleyicisini kullanarak her sabit noktada ekstremumun doğasını bulalım.

$$ H \u003d \\ sol | \\ begin (dizi) (ccc) 0 & \\ varphi_ (x) ^ (") & \\ varphi_ (y) ^ (") \\\\ \\ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\\\ \\ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \\ end (dizi) \\ sağ | \u003d \\ sol | \\ begin (dizi) (ccc) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 8 & -1 \\\\ 1 & -1 & 18y \\ end (array) \\ right | \u003d -10-18y $$

$ M_1 (0; 0) $ $ H \u003d -10-18 \\ cdot 0 \u003d -10 noktasında

0 $, dolayısıyla bu noktada işlevin bir koşullu maksimum değeri vardır, $ z _ (\\ max) \u003d \\ frac (500) (243) $.< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 > $ D ^ 2F $ işaretine dayalı olarak, her bir noktada ekstremumun doğasını farklı bir yöntemle inceleyelim:

{!LANG-48aec873634c9a8a9995f3ca0ad5674a!}

$$ d ^ 2 F \u003d F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 \u003d 8dx ^ 2-2dxdy + 18yde ^ 2 $$

$ X + y \u003d 0 $ kısıt denkleminden: $ d (x + y) \u003d 0 $, $ dx + dy \u003d 0 $, $ dy \u003d -dx $ var.

$$ d ^ 2 F \u003d 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 \u003d 8dx ^ 2-2dx (-dx) + 18y (-dx) ^ 2 \u003d (10 + 18y) dx ^ 2 $$

$ D ^ 2F \\ Bigr | _ (M_1) \u003d 10 dx ^ 2\u003e 0 $ olduğundan, $ M_1 (0; 0) $, $ z (x, y) \u003d 3y ^ 3 + 4x ^ fonksiyonunun koşullu minimum noktasıdır 2-xy $. Benzer şekilde, $ d ^ 2F \\ Bigr | _ (M_2) \u003d - 10 dx ^ 2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

İkinci yol

$ X + y \u003d 0 $ kısıt denkleminden şunu elde ederiz: $ y \u003d -x $. $ Y \u003d -x $ yerine $ z (x, y) \u003d 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ işlevini koyarsak, $ x $ değişkeninin bir fonksiyonunu elde ederiz. Bu işlevi $ u (x) $ olarak gösterelim:

$$ u (x) \u003d z (x, -x) \u003d 3 \\ cdot (-x) ^ 3 + 4x ^ 2-x \\ cdot (-x) \u003d - 3x ^ 3 + 5x ^ 2. $$

Böylece, iki değişkenli bir fonksiyonun koşullu uç noktasını bulma problemini, tek değişkenli bir fonksiyonun uç noktasını belirleme problemine indirgedik.

$$ u_ (x) ^ (") \u003d - 9x ^ 2 + 10x; \\\\ -9x ^ 2 + 10x \u003d 0; \\; x \\ cdot (-9x + 10) \u003d 0; \\\\ x_1 \u003d 0; \\ $ M_1 (0; 0) $ ve $ M_2 \\ left (\\ frac (10) (9); - \\ frac (10) (9) \\ right) $ puanlarını aldık. Daha fazla araştırma, bir değişikliğin fonksiyonlarının diferansiyel hesabı sürecinden bilinmektedir. Her sabit noktada $ u_ (xx) ^ ("") $ işaretini araştırarak veya bulunan noktalarda $ u_ (x) ^ (") $ işaretinin değişimini kontrol ederek, ilk yöntemi çözerken olduğu gibi aynı sonuçları elde ederiz. Örneğin, kontrol edin $ u_ (xx) ^ ("") $ işareti:

$$ u_ (xx) ^ ("") \u003d - 18x + 10; \\\\ u_ (xx) ^ ("") (M_1) \u003d 10; \\; u_ (xx) ^ ("") (M_2) \u003d - 10. $$

$ U_ (xx) ^ ("") (M_1)\u003e 0 $ olduğundan, $ u (x) $ fonksiyonunun minimum noktası $ M_1 $ iken, $ u _ (\\ min) \u003d u (0) \u003d 0 $ ... $ U_ (xx) ^ ("") (M_2) 'den beri

Verilen bağlantı koşulundaki $ u (x) $ fonksiyonunun değerleri, $ z (x, y) $ fonksiyonunun değerleriyle örtüşür, yani $ u (x) $ fonksiyonunun bulunan ekstreması, $ z (x, y) $ fonksiyonunun aranan koşullu ekstremasıdır.<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

: $ (0; 0) $ noktasında işlevin minimum koşullu, $ z _ (\\ min) \u003d 0 $. $ \\ Left (\\ frac (10) (9); - \\ frac (10) (9) \\ right) $ konumunda işlevin bir koşullu maksimum değeri vardır, $ z _ (\\ max) \u003d \\ frac (500) (243) $.

CevapEkstremumun doğasının $ d ^ 2F $ işaretini belirleyerek netleştirildiği bir örnek daha ele alalım.

Örnek No. 3

$ X $ ve $ y $ değişkenleri pozitifse ve $ \\ frac (x ^ 2) (8) + \\ frac (y ^ 2) (2) kısıt denklemini karşılıyorsa, $ z \u003d 5xy-4 $ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun -1 \u003d 0 $.

Lagrange fonksiyonunu oluşturalım: $ F \u003d 5xy-4 + \\ lambda \\ left (\\ frac (x ^ 2) (8) + \\ frac (y ^ 2) (2) -1 \\ right) $. Lagrange fonksiyonunun durağan noktalarını bulalım:

$$ F_ (x) ^ (") \u003d 5y + \\ frac (\\ lambda x) (4); \\; F_ (y) ^ (") \u003d 5x + \\ lambda y. \\\\ \\ left \\ (\\ begin (hizalı) & 5y + \\ frac (\\ lambda x) (4) \u003d 0; \\\\ & 5x + \\ lambda y \u003d 0; \\\\ & \\ frac (x ^ 2) (8) + \\ frac (y ^ 2) (2) - 1 \u003d 0; \\\\ & x\u003e 0; \\; y\u003e 0. \\ end (hizalı) \\ right. $$

{!LANG-067a1abe01294e1272e84a190d2da987!}

Diğer tüm dönüşümler, $ x\u003e 0; \\; y\u003e 0 $ (bu, problem ifadesinde belirtilmiştir). İkinci denklemden $ \\ lambda \u003d - \\ frac (5x) (y) $ 'ı ifade ederiz ve bulunan değeri ilk denklemin yerine koyarız: $ 5y- \\ frac (5x) (y) \\ cdot \\ frac (x) (4) \u003d 0 $ 4y $ 2-x ^ 2 \u003d 0 $, $ x \u003d 2y $. Üçüncü denklemde $ x \u003d 2y $ yerine şunu elde ederiz: $ \\ frac (4y ^ 2) (8) + \\ frac (y ^ 2) (2) -1 \u003d 0 $, $ y ^ 2 \u003d 1 $, $ y \u003d 1 $.

$ Y \u003d 1 $ olduğundan, $ x \u003d 2 $, $ \\ lambda \u003d -10 $ olur. $ (2; 1) $ noktasındaki ekstremumun karakteri, $ d ^ 2F $ işaretine göre belirlenir.

$$ F_ (xx) ^ ("") \u003d \\ frac (\\ lambda) (4); \\; F_ (xy) ^ ("") \u003d 5; \\; F_ (yy) ^ ("") \u003d \\ lambda. $$

$ \\ Frac (x ^ 2) (8) + \\ frac (y ^ 2) (2) -1 \u003d 0 $ olduğundan, o zaman:

$$ d \\ left (\\ frac (x ^ 2) (8) + \\ frac (y ^ 2) (2) -1 \\ sağ) \u003d 0; \\; d \\ left (\\ frac (x ^ 2) (8) \\ sağ) + d \\ left (\\ frac (y ^ 2) (2) \\ sağ) \u003d 0; \\; \\ frac (x) (4) dx + ydy \u003d 0; \\; dy \u003d - \\ frac (xdx) (4y). $$

Prensip olarak, burada sabit nokta $ x \u003d 2 $, $ y \u003d 1 $ ve $ \\ lambda \u003d -10 $ parametresinin koordinatlarını hemen ikame edebilirsiniz, böylece şunu elde edebilirsiniz:

$$ F_ (xx) ^ ("") \u003d \\ frac (-5) (2); \\; F_ (xy) ^ ("") \u003d - 10; \\; dy \u003d - \\ frac (dx) (2). \\\\ d ^ 2 F \u003d F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ (" ") dy ^ 2 \u003d - \\ frac (5) (2) dx ^ 2 + 10dx \\ cdot \\ left (- \\ frac (dx) (2) \\ sağ) -10 \\ cdot \\ left (- \\ frac (dx) (2) \\ sağ) ^ 2 \u003d \\\\ \u003d - \\ frac (5) (2) dx ^ 2-5dx ^ 2- \\ frac (5) (2) dx ^ 2 \u003d -10dx ^ 2. $$

Bununla birlikte, durağan noktaların koşullu aşırısı için diğer problemlerde birkaç tane olabilir. Bu gibi durumlarda, genel formda $ d ^ 2F $ 'ı temsil etmek ve sonra bulunan sabit noktaların her birinin koordinatlarını sonuçta ortaya çıkan ifadeyle değiştirmek daha iyidir:

$$ d ^ 2 F \u003d F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 \u003d \\ frac (\\ lambda) (4) dx ^ 2 + 10 \\ cdot dx \\ cdot \\ frac (-xdx) (4y) + \\ lambda \\ cdot \\ left (- \\ frac (xdx) (4y) \\ right) ^ 2 \u003d \\\\ \u003d \\ frac (\\ lambda) (4) dx ^ 2- \\ frac (5x) (2y) dx ^ 2 + \\ lambda \\ cdot \\ frac (x ^ 2dx ^ 2) (16y ^ 2) \u003d \\ left (\\ frac (\\ lambda ) (4) - \\ frac (5x) (2y) + \\ frac (\\ lambda \\ cdot x ^ 2) (16y ^ 2) \\ sağ) \\ cdot dx ^ 2 $$

$ X \u003d 2 $, $ y \u003d 1 $, $ \\ lambda \u003d -10 $ yerine, şunu elde ederiz:

$$ d ^ 2 F \u003d \\ left (\\ frac (-10) (4) - \\ frac (10) (2) - \\ frac (10 \\ cdot 4) (16) \\ sağ) \\ cdot dx ^ 2 \u003d - 10dx ^ 2. $$

$ D ^ 2F \u003d -10 \\ cdot dx ^ 2 olduğundan< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Cevap: $ (2; 1) $ noktasında fonksiyonun maksimum şartı vardır, $ z _ (\\ max) \u003d 6 $.

Sonraki bölümde, daha fazla değişkenli fonksiyonlar için Lagrange yönteminin uygulanmasını ele alacağız.

Olası bir koşullu ekstremumun noktalarını bulmanın yukarıdaki yöntemiyle, simetriyi ym değişkenlerine göre kırdık. Bu değişkenlerin bazılarını bağımsız, diğerlerini bu değişkenlerin fonksiyonları olarak değerlendirdik. Bazı durumlarda, bu daha karmaşık bir hesaplamaya yol açar. Lagrange, değişkenlerin rolünü simetrik hale getiren bir yöntem önerdi. Bu bölüm, bu yöntemin sunumuna ayrılmıştır. Eşitlikleri (13.47) sırasıyla keyfi (ve hala tanımlanmamış) sabit faktörlerle çarpıyoruz.Çarpma teriminden sonra elde edilen eşitlikleri eşitlik terimiyle (13.46) ekliyoruz. Sonuç olarak, aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

sembol aşağıdaki işlevi gösterir:

Bundan sonra, bu işlev Lagrange işlevi olarak adlandırılacaktır. İşlevlerin (13.41) koşulları sağladığını varsayarsak

önceki alt bölümde formüle edilmiş ve bu fonksiyon (13.40) farklılaştırılabilir, faktörleri seçeriz, böylece eşitlikler

Bu kesinlikle yapılabilir, çünkü eşitlikler (13.52) doğrusal sisteme yol açar

determinantı (Jacobian sıfırdan farklıdır. Eşitlik sayesinde (13.52), eşitlik (13.50) biçimini alır

Yukarıdaki varsayımlar altında değişkenler bağımsız olduğundan, eşitlikten (13.53) şu sonuca varıyoruz:

Kısıtlama koşullarını (13.41) denklemlere (13.52) ve (13.54) ekleyerek denklem sistemini elde ederiz

olası bir koşullu uç noktanın ve çarpanların Xm noktalarının koordinatlarını belirlemek. Uygulamada, bu yöntemi uygularken aşağıdaki işlemleri yapın. Lagrange fonksiyonu (13.51) derlenir ve bu fonksiyon için olası koşulsuz uç noktaları bulunur. Çarpanları ortadan kaldırmak için bağlantı koşullarını (13.41) kullanın. Olası bir koşullu uç noktayı bulmanın bu yolu yasaldır, çünkü bizi sadece denklemler sistemine götürür (13.55). Lagrange çarpanı yöntemini kullanmanın bir örneği Bölüm 4'te ele alınacaktır.