Amaç fonksiyonu gibi. Objektif fonksiyon ve formları. Doğrusal programlama sorunları

Amaç fonksiyonu, optimallik kriterinin aranan değişkenlere bağımlılığının matematiksel bir temsilidir.

2. Gradyan işlevi.

Bileşenleri kısmi türevlerin değerleri olan bir vektör, yani vektör

noktada hesaplanan fonksiyonun gradyanı denir.

3. Doğrusal programlamanın genel problemi.

Genel problemin standart matematiksel formülasyonu doğrusal programlamaşuna benziyor: performans göstergesinin aşırı değerini bulmak gerekiyor (amaç işlevi)

(çözüm öğelerinin doğrusal işlevi) çözüm öğelerine uygulanan doğrusal kısıtlama koşulları altında:

verilen numaralar nerede

4. Standart görev lp.

Standart biçiminde, bir doğrusal programlama problemi, bir doğrusal amaç fonksiyonunun maksimum (minimum) problemidir. Kısıtlama sistemi bir taneden oluşur. doğrusal eşitsizlikler sevmek "<= » или « >= ". Her şey değişken görevler negatif değildir.

Herhangi bir doğrusal programlama problemi şu şekilde formüle edilebilir: standart biçim... Minimum problemin maksimum probleme dönüştürülmesi ve değişkenlerin negatif olmamasının sağlanması eskisi gibi yapılır. Bir kısıtlama sistemindeki herhangi bir eşitlik, karşılıklı olarak zıt eşitsizlikler sistemine eşdeğerdir:

Bir eşitlikler sistemini bir eşitsizlikler sistemine dönüştürmenin başka yolları da vardır, yani. herhangi bir doğrusal programlama problemi standart bir biçimde formüle edilebilir.

2 cevap seçeneği:

Standart LP sorunu. veya matris gösteriminde, katsayıların matrisi nerede. Vektöre doğrusal bir formun katsayılarının vektörü, - bir kısıtlama vektörü denir.

5. lp'nin kanonik problemi.

V kanonik biçim problem, bazı lineer fonksiyonların maksimumu (minimumu) için bir problemdir. F , kısıtlama sistemi yalnızca eşitliklerden (denklemlerden) oluşur. Bu durumda, değişken görevler NS 1 , Kuzey Amerika 2 , ..., NS n negatif değiller:

İLE kanonik biçim herhangi bir doğrusal programlama problemini dönüştürebilirsiniz.

Kısa giriş kurallı görev LP:

X = (x1, x2, ..., xn), C = (c1, c2, ..., cn).

2 cevap seçeneği:

Kanonik LP sorunu. veya, matris notasyonunda,

6. Simetrik ve asimetrik ikili problemler.

Çift doğrusal programlama problemi. LP sorununu düşünün (1) veya matris gösteriminde, (2) (1)'e ikili bir problem (ikili problem), formun değişken bir LP problemidir. (3) veya matris gösteriminde, (4) nerede ... Problem (3)'ü yazma problemi (1) şeklinde oluşturma kuralları aşağıdaki gibidir: problem (3)'te

(1) numaralı problemin matrisinde satır sayısı kadar değişken vardır. (3)'teki kısıtlama matrisi, taşınan matristir. (3)'teki kısıtlamaların sağ tarafındaki vektör, (1)'deki maksimize edilmiş doğrusal formun katsayılarının vektörü olarak hizmet ederken, eşitsizliklerin işaretleri eşitliğe dönüşür. Tersine, (3)'teki amaç fonksiyonu, katsayıları problem (1)'in kısıtlarının sağ tarafındaki vektör tarafından belirtilen, maksimizasyon ise minimizasyona değişen doğrusal bir formdur. Negatif olmama koşulu ikili değişkenlere empoze edilir. Problem (1), aksine ikili görev(3) düz bir çizgi olarak adlandırılır. dualite teoremi. Karşılıklı ikili problemler (2), (4) kabul edilebilir ise, o zaman her ikisinin de bir çözümü ve aynı değeri vardır..

Simetrik ikili problemler

Bir tür ikili doğrusal, programlama, hem orijinal hem de ikili problemler için kısıtlama sisteminin eşitsizliklerle belirlendiği ve negatif olmama koşulunun ikili değişkenlere dayatıldığı ikili simetrik problemlerdir.

Amaç fonksiyonu

Optimizasyon probleminde hedefi (optimize edilecek değişkeni) kontrollü değişkenlerle bağlayan bir fonksiyon.

Kriterin her zaman dışarıdan getirilmesi önemlidir ve ancak bundan sonra amaç fonksiyonunu minimize veya maksimize eden bir karar kuralı aranır.

Ayrıca bakınız

• Burak, Ya.I. ve Ogirko, I.V., Sıcaklığa bağlı malzeme özelliklerine sahip silindirik bir kabuğun optimum ısıtılması, Mat. yöntemler ve fiziksel kürk. alanlar. - 1977. - Sayı. 5. - S.26-30

Wikimedia Vakfı. 2010.

• Robotik ve Teknik Sibernetik Merkez Araştırma Enstitüsü
• 1885, tiyatroda

Diğer sözlüklerde "Amaç işlevi" nin ne olduğunu görün:

amaç fonksiyonu- - [Ya.N. Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Y.S.Kabirov. İngilizce Rusça Elektrik Mühendisliği ve Güç Mühendisliği Sözlüğü, Moskova, 1999] amaç fonksiyonu Aşırı problemlerde - minimum veya maksimumunu bulmak istediğiniz bir fonksiyon. Bilişim Teknoloji… …

Amaç fonksiyonu- aşırı problemlerde, minimum veya maksimumun bulunacağı fonksiyon. Bu anahtar kavramdır optimal programlama... Ts.f.'nin ekstremumunu bulduktan sonra. ve sonuç olarak, ona göre kontrol edilen değişkenlerin değerlerinin belirlenmesi ... ...

amaç fonksiyonu- 3.1.8 Bir faaliyetin belirli bir amacına ulaşan süreçlerin iş fonksiyon seti Kaynak: R 50.1.041 2002: Bilgi ... Normatif ve teknik dokümantasyon terimlerinin sözlük referans kitabı

amaç fonksiyonu- tikslo funkcija durumları T sritis automatika atitikmenys: angl. amaç fonksiyonu vok. Zielfunktion, f rus. hedef fonksiyon, f; amaç fonksiyonu, f prank. fonction de cible, f… Automatikos terminų žodynas

Amaç fonksiyonu- problemlerde kabul edilebilir bir dizide uç değeri aranan bir fonksiyon matematiksel programlama(Bkz. Matematiksel Programlama) ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

HEDEF FONKSİYON- hedef fonksiyon, matematiksel programlama problemlerinde optimize edilecek fonksiyonun adıdır... matematik ansiklopedisi

Amaç fonksiyonu- (geleneksel bir isim, sadece insanın belirli bir amaç için yarattığı sistemlere nispeten doğru bir şekilde uygulanabilir), nesnel dünyada yoktur, sistem oluşturan bir faktör vardır ... teorik yönler ve çevre sorununun temelleri: kelimelerin ve ideolojik ifadelerin yorumlayıcısı

Hedef tüketim fonksiyonu- 1. Bu terim, birkaç eşdeğer veya neredeyse eşdeğer (yaşam standardının bir işlevi, refah işlevi, sosyal fayda işlevi, tüketim işlevi vb.) ile birlikte ... .. . Ekonomi ve Matematik Sözlüğü

hedef tüketim fonksiyonu- 1. Bu terim, aynı zamanda birkaç eşdeğeri veya neredeyse eşdeğeri (yaşam standardı işlevi, refah işlevi, sosyal fayda işlevi, tüketim işlevi vb.) teorik araştırmalarda hedef işlevi belirtir ... ... Teknik çevirmen kılavuzu

otomatik bir tıbbi sistemin hedef işlevi- AMS'nin hedef işlevi Belirli bir tıbbi programın etkin bir şekilde uygulanmasını sağlayan otomatik bir tıbbi sistemin eylemleri dizisi. [GOST 27878 88] Sistem ve tıbbi komplekslerin temaları Sistemin genelleştirilmesi ve ... ... Teknik çevirmen kılavuzu

Kitabın

• Bilgi teknolojilerinin kullanımına dayalı uyarlanabilir bir öğrenme yönetim sistemi düzenleme yaklaşımı, A. V. Anastasin. kullanım sorusu Bilişim Teknolojileri v Eğitim süreci daha yüksek Eğitim Kurumlarıçeşitli düzeylerde uzun süredir ve sürekli olarak tartışılmaktadır. Bunun nedeni hızlı...

Doğrusal programlama.

Kısa bilgi teorik bilgi

Hedeflerin belirlenmesi

Doğrudan doğrusal programlama probleminin çözümü aşağıdaki soruya cevap verir:

hangi yoğunluklarda n kar etme süreçleri (çeşitli hizmetlerin sağlanması, üretim süreçleri), hangi kullanım m Bu kaynakların kullanımının marjinal yoğunlukları bilinen kaynak türleri (üretim faktörleri), her bir kaynağın tüketim yoğunluğunun ve her birinde kârın (gelirin) yoğunluğunun olması durumunda satışlardan (kar) elde edilen gelir maksimum olacaktır. süreçlerin yoğunluğu bu sürecin yoğunluğuna bağlıdır.

İkili problemin çözümü şu soruyu cevaplar:

neyin altında en düşük fiyatlar Kaynak birimi başına, ekonomik ajan, mevcut ekonomik faaliyet koşullarında kıt olan yeni kaynak hacimleri elde ederek kâr etme sürecini daha da genişletmeyi kârsız bulacaktır.

Doğrudan doğrusal programlama problemi aşağıdaki durumla ilişkilendirilebilir. Var n kar elde etmenin yolları (sağlamak n hizmet türleri) hacimlerle x ben (parça sayısı ben sunulan hizmetler). Bu kullanır m kaynak türleri, stok J hangisi bj ... Bu durumda, her kaynağın tüketimi J ve süreçlerin her birindeki kar miktarı ben doğrusal olarak sağlanan hizmetlerin sayısına bağlıdır ben katsayılı -th formu bir ji ve ben , sırasıyla. Matris A=(bir ji )m' n anlam, ilk bölümdeki ile benzerdir ve aynı zamanda teknolojik matris veya yapısal katsayılar olarak da adlandırılır. Daha sonra, maksimum kar kriteri ile optimal plan, aşağıdaki doğrudan doğrusal programlama probleminin çözümünden elde edilebilir:

Bu görev, aşağıdaki formun genişletilmiş bir matrisi ile ilişkilendirilebilir:

(4.1)

Problem (4)'ün ikili problemi aşağıdaki forma sahiptir ( z j - gerekli limit fiyatlar):

İkili problemin bu formülasyonu ile, (5.1) ve (5.3), fiyat minimizasyon koşulundan çıkar ve maliyetlerin satış hasılatlarına göre fazla veya eşit olması koşulu, doğrudan faaliyete devam etmenin kârsız olması koşulundan kaynaklanmaktadır.

Modelin temel kavramları

Çözüm (plan, program) - set, hepsinin belirli değerlerinin vektörü değişken parametreler model kontrolü - simülasyon nesnesinin yöneticisinin iradesiyle değiştirilebilen değerler. Kabul edilebilir (pratikte uygulanmış), kabul edilemez (modelde var olan sınırlamalar nedeniyle uygulanmamış) ve optimal (kabul edilebilir olanların en iyisi) çözümler vardır.

Amaç fonksiyonu L (x) – matematiksel ifade modelin bağlantı faktörleri (parametreleri). ekonomik anlamı amaç fonksiyonu yansıtır optimallik kriteri- ekonomik içeriğe sahip olan ve belirli bir yönetim hedefini resmileştirmeye hizmet eden bir gösterge, örneğin: karı maksimize etmek (4. satırda 1. satır), ürün kalitesini maksimize etmek veya maliyetleri minimize etmek (5.1).

kısıtlama sistemi modeller - sınırlamayı sınırlar izin verilen aralık(kabul edilebilir, uygulanabilir) kararlar ana iç sabitleme ve dış özellikler Optimizasyonun amacı ile ilgili nesne. kuplaj denklemleri(sevmek fj(x) ) Kısıtlamalar sisteminin matematiksel bir resmileştirmesidir (4, (5.2, 5.3)'teki 2. ve 3. satırlar). Kısıtlamalar sistemi, kısıtlama denklemlerinin ekonomik anlamını yansıtır.

Bir amaç fonksiyonu ve kısıt denklemlerinden oluşan bir sistem - ekonomik ve matematiksel modelleme (EMM) problemi. Amaç fonksiyonu ve kısıt denklemlerinin doğrusal olması ve kontrol değişkenlerinin sürekli değişmesi durumunda EMM problemi denir. doğrusal programlama problemi (LP)... LP probleminin uygulanabilir tasarımlar (MDS) setinin ana özelliği, dışbükey bir çokyüzlü olmasıdır. Bir dışbükey küme, bu kümenin herhangi iki noktasını birleştiren tüm bölümlerin ait olduğu bir kümedir. LP sorununun bir çözümü varsa, MDS'nin en üstündedir. TIR tepelerinde bulunan planlara temel denir. Doğrusal programlama problemleri, eşitsizlikler (genel DP problemi) ve eşitlikler (kanonik LP problemi) şeklinde kısıtlamaları olan problemlere bölünür. Doğrusal bir model kullanılarak ekonomik problemlerin matematiksel olarak biçimlendirilmesinde, genel DP problemleri elde edilir - örneğin, (4), (5). Ek değişkenler ekleyerek herhangi bir genel problem, kanonik bir problemle ilişkilendirilebilir. Dolayısıyla, “kaynak tüketimi £ kaynak stoğu” türündeki her bir eşitsizliğe ((4'teki satır 2) ek bir değişken ekleyerek (4) problemine xn + j (harcanmamış bakiye J -th kaynağı) aşağıdaki kurallı eşleşir:

Bu durumda, problemin boyutu (6) - tasarım değişkenlerinin sayısı - (4) ile karşılaştırıldığında n önce n + m .

(4) problemini çözerken, burada diferansiyel ve artımlı olanlarının kullanılacağı kaynak verimliliği katsayıları önemlidir. Kaynak verimliliği diferansiyel katsayısı k ji bir birim kullanıldığında ortaya çıkan maliyeti gösterir J -inci kaynak ben Hizmetler. Herkesin ihtiyaç duyduğu bu tür hizmetler k ji tüm hizmet türleri için en az olanıdır, en az karlı olanıdır. Optimal planda bulunmaları gerekmez. Bu, bu tür hizmetlerin hacmini zorla sıfırlayarak, sorunun boyutunu küçültmeye ve böylece çözümünü basitleştirmeye olanak tanır. onlar hesaplanır Aşağıdaki şekilde - k ji = c ben / bir ji .

artan kaynak verimliliği katsayısı K J Optimal planın amaç fonksiyonunun değerindeki artış ile bu artışa neden olan stoklardaki değişim arasındaki orantı katsayısıdır. J kaynak. bunu varsayabiliriz İLE J Stok değerindeki bir artışla optimal planda orijinal problemin amaç fonksiyonunun değerinin ne kadar artacağını gösterir. J birim başına -th kaynak. Matematiksel bir bakış açısından, amaç fonksiyonunun optimal değerinin stok miktarı cinsinden tam türevidir. J kaynak: İLE j = dL seçeneği/db j .

Değişken görevler

Problemin bir modelini oluşturalım.

Çözüm

Problemin matematiksel bir modelini oluşturmadan önce, ᴛ.ᴇ. matematiksel sembolleri kullanarak yazın, durumda açıklanan ekonomik durumu net bir şekilde anlamak son derece önemlidir. Bunun için matematik değil, ekonomi açısından son derece önemlidir. aşağıdaki soruları cevaplayın:

1) Problemin gerekli değerleri nelerdir?

2) Çözümün amacı nedir? Görevin hangi parametresi, örneğin kar, maliyet, zaman vb. En iyi sonuçlar için bu parametrenin değeri hangi yönde (maks'a veya min'e doğru) değişmelidir?

3) Görevin gerekli değerleri ve kaynakları ile ilgili hangi koşullar yerine getirilmelidir?

Bu koşullar, görevin çeşitli parametrelerinin, örneğin üretimde harcanan kaynağın miktarı ve depodaki stoğu gibi, birbiriyle nasıl ilişkilendirilmesi gerektiğini belirler; üretilen ürün sayısı ve bunların depolanacağı depolama kapasitesi; ürün miktarı ve bu ürünler için pazar talebi vb.

Ancak tüm bu soruların ekonomik yanıtından sonra, bu yanıtları matematiksel biçimde yazmaya başlayabilirsiniz, ᴛ.ᴇ. Matematiksel bir model kaydetmek için.

Görev, her türden ne kadar boya üretilmesi gerektiğini belirlemeyi gerektirir. Bu nedenle gerekli miktarlar ve dolayısıyla görevin değişkenleri, her bir boya türünün günlük üretim hacimleridir:

x1 - 1. tip boyanın günlük üretim hacmi, [ton boya / gün];

x2 - 2. tip boyanın günlük üretim hacmi, [ton boya / gün].

Sorunun ifadesinde amaç formüle edilmiştir - ürünlerin satışından maksimum gelir elde etmek. Onlar. verimlilik kriteri, maksimum için çaba göstermesi gereken günlük gelir parametresidir. Her iki boya türünün satışından elde edilen günlük geliri hesaplamak için boya üretim hacmini bilmek son derece önemlidir, ᴛ.ᴇ. Günde x1 ve x2 ton boya ve ayrıca 1. ve 2. tip boyaların toptan fiyatları - duruma göre sırasıyla 3 ve 2 bin ruble. 1 ton boya için. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, 1. tip boya üretiminin günlük hacminin satışından elde edilen gelir 3 x 1 bin ruble'ye eşittir. günde ve 2. tip boya satışından - 2x 2 bin ruble. günde. Bu nedenle, 1. ve 2. tip boyaların satışından elde edilen gelirlerin toplamı olarak amaç fonksiyonunu yazalım (her bir boyanın satış hacimlerinin bağımsızlığını varsayarak)

Amaç işlevi - kavram ve türleri. "Amaç işlevi" kategorisinin sınıflandırılması ve özellikleri 2017, 2018.

- Temel konseptler. Performans kriteri. Amaç fonksiyonu

BÖLÜM 16. YÖNETİM ETKİNLİĞİ KONTROL SORULARI 1. İşletmenin dış ekonomik faaliyet ihtiyacına ne sebep oldu? 2. İşletmenin dış ekonomik faaliyetini destekleyen nedir? 3. .... engel nedir?

- Örneğimizde amaç fonksiyonu şu şekildedir:

F (X) = 75X1 + 800 / X1 + 78X2 + 1600 / X2. Herhangi bir x için F "(x)> 0 ise bir fonksiyon dışbükeydir. Şunu kontrol edelim:;;;. Dolayısıyla," x> 0 olduğundan fonksiyon dışbükeydir. Bu nedenle, iki bölümdeki en uygun tren sayısının seçimi bir problem olarak ortaya çıkıyor. dışbükey programlama bu çözülebilir ....

- Hedef tüketim fonksiyonu ve tüketici davranışının modellenmesi

İşletmelerin ve firmaların üretim ve pazarlama faaliyetlerini yönetmek için bir piyasa sistemi koşullarında, ekonomik kararların temeli piyasa bilgisidir ve kararların geçerliliği mal ve hizmetlerin satışı sırasında piyasa tarafından test edilir. Bu yaklaşımla...

Tanım... Kısıtlar sisteminin herhangi bir çözümüne LPP'nin kabul edilebilir bir çözümü denir.
Tanım... Amaç fonksiyonunun maksimuma ulaştığı uygun bir çözüm veya en az değer optimal çözüm denir.

Bu tanımlar sayesinde, LP problemi şu şekilde formüle edilebilir: kısıtlar sistemine bir çözüm olan bir dışbükey bölgenin tüm noktaları arasından, koordinatları minimize edilmiş (maksimumlaştırılmış) olanı seçin. doğrusal fonksiyon F = ile birlikte 1 x + ile birlikte 2 y.
değişkenler olduğunu unutmayın x, y LPP'de kural olarak negatif olmayan değerler alınır ( x≥ 0, y≥ 0), bu nedenle bölge koordinat düzleminin I çeyreğinde yer alır.

Doğrusal bir fonksiyon düşünün F = ile birlikte 1 x + ile birlikte 2 y ve bazı değerlerini düzeltin F... Örneğin, F= 0, yani ile birlikte 1 x + ile birlikte 2 y= 0. Bu denklemin grafiği, koordinatların (0; 0) başlangıç ​​noktasından geçen düz bir çizgi olacaktır (Şek.).
Resim çizme
Bu sabit değeri değiştirirken F = NS, Düz ile birlikte 1 x+ ile birlikte 2 y = d paralel hareket edecek ve tüm düzlemi "izleyecektir". İzin vermek NS- çokgen - kısıtlamalar sistemini çözme alanı. Değiştiğinde NS Düz ile birlikte 1 x + ile birlikte 2 y = NS, bir değerde NS = NS 1 poligona ulaşacak NS, bu noktaya diyelim A"Giriş noktası" ve ardından poligonu bir değerde geçerek NS = NS 2 onunla sonuncusunu yaşayacağız ortak nokta V, Hadi arayalım V"Çıkış noktası".
Açıkçası, en küçük ve en büyük değer amaç fonksiyonu F=ile birlikte 1 x + ile birlikte 2 y giriş noktalarında ulaşacak A ve "çıkış" V.
Hesaba katıldığında optimal değer uygulanabilir çözümler kümesinde, amaç fonksiyonu etki alanının köşelerinde NS, LPP'yi çözmek için aşağıdaki plan önerilebilir:

1. kısıtlamalar sisteminin çözüm alanını oluşturmak;
2. amaç fonksiyonuna karşılık gelen bir düz çizgi oluşturun ve bu düz çizginin paralel transferi ile "giriş" veya "çıkış" noktasını bulun (amaç fonksiyonunu en aza indirme veya en üst düzeye çıkarma gereksinimine bağlı olarak);
3. bu noktanın koordinatlarını belirleyin, içindeki amaç fonksiyonunun değerini hesaplayın.

vektörünün ( ile birlikte 1 , ile birlikte 2) düz çizgiye dik, amaç fonksiyonunun büyüme yönünü gösterir.

grafik ile LPP'nin kararıözel tartışma gerektiren iki olası durum vardır.

Dava 1
Şekil 6
Düz hareket ederken ile birlikte 1 x + ile birlikte 2 y= NS Poligonun yan tarafında "giriş" veya "çıkış" (resimdeki gibi) oluşacaktır. Bu, çokgenin düz bir çizgiye paralel kenarları varsa gerçekleşir. ile birlikte 1 NS+ ile birlikte 2 NS = NS .
Bu durumda, "çıkış" ("giriş") noktaları, yani segmentin herhangi bir noktası sayısızdır. AB... Bu, amaç fonksiyonunun bir noktada değil, çokgenin ilgili tarafında bulunan tüm noktalarda maksimum (minimum) değeri aldığı anlamına gelir. NS.

2. durum
Kabul edilebilir değerler aralığının sınırsız olduğu durumu düşünün.
Sınırsız bir alan olması durumunda, amaç fonksiyonu, karşılık gelen düz çizginin bir “çıkış” (veya “giriş”) noktası olmayacak şekilde belirlenebilir. O zaman fonksiyonun maksimum değerine (minimum) asla ulaşılmaz - fonksiyonun sınırlı olmadığını söylerler.
Resim çizme
Amaç fonksiyonunun maksimum değerini bulmak gerekir. F = 4x + 6y→ maks, bir kısıtlama sistemi ile
Uygun çözümlerin bölgesini oluşturalım, yani. eşitsizlikler sistemini grafiksel olarak çözeceğiz. Bunu yapmak için, her bir çizgiyi oluşturuyoruz ve eşitsizliklerin verdiği yarım düzlemleri tanımlıyoruz.
x + y = 18

x	12	9
y	6	9

0,5x + y = 12

x	12	18
y	6	3

x= 12 - eksene paralel OY ;
y= 9 - eksene paralel ÖKÜZ ;
x= 0 - eksen OY ;
y = 0 - eksen ÖKÜZ;
x≥ 0 - eksenin sağındaki yarım düzlem OY;
y≥ 0 - eksenin üzerinde yarım düzlem ÖKÜZ;
y≤ 9 - aşağıda yarım düzlem y = 9;
x ≤ 12 - sola yarım düzlem x = 12;
0,5x + y≤ 12 - düz bir çizginin altındaki yarım düzlem 0,5 x + y = 12;
x + y≤ 18 - düz çizginin altında yarım düzlem x + y = 18.
Resim çizme
Tüm bu yarım düzlemlerin kesişimi açıkça beşgendir. OAVSD, noktalarda köşeleri olan Ö(0; 0), A(0; 9), V(6; 9), İLE BİRLİKTE(12; 6), NS(12; 0) Bu beşgen, soruna uygun çözümlerin bölgesini oluşturur.

Problemin amaç fonksiyonunu düşünün F = 4x + 6y→ maks.

x	3	0
y	–2	0

Fonksiyonun değerine karşılık gelen düz bir çizgi oluşturuyoruz F = 0: 4x + 6y= 0. Bu çizgiyi paralel olarak hareket ettireceğiz. Tüm hat ailesinden 4 x+ 6y= const çokgenin sınırlarının ötesine geçerken düz çizginin geçtiği son tepe noktası tepe noktası olacaktır İLE BİRLİKTE(12; 6). onun içinde F = 4x + 6y ulaşacak maksimum değer.
Bu nedenle, x = 12, y= 6 fonksiyon F maksimum değerine ulaşır F= 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, eşittir 84. Koordinatları (12; 6) olan nokta, kısıtlamalar sisteminin tüm eşitsizliklerini karşılar ve içindeki amaç fonksiyonunun değeri optimaldir. F* = 84 (optimum değer "*" ile gösterilecektir).
Problem çözüldü. Bu nedenle, 12 tip I ve 6 tip II ürün üretmek gerekirken, kâr 84 bin ruble olacak.

Grafiksel yöntem, kısıtlama sisteminde sadece iki değişkeni olan problemleri çözmek için kullanılır. Bu yöntem, üç değişkenli eşitsizlik sistemlerine de uygulanabilir. Geometrik olarak durum farklı olacak, düz çizgilerin rolü üç boyutlu uzayda düzlemler tarafından oynanacak ve üç değişkenli eşitsizliğin çözümü düzlemin bir tarafında yer alan yarım uzay olacaktır. Bölgelerin rolü, yarım boşlukların kesişimi olan çokyüzlüler tarafından oynanacaktır.