En uygun sayıda işlevi kullanır. Doğrusal bir programlama problemini grafiksel olarak çözme. Amaç işlevini karakterize eden bir alıntı

Nesnel bir fonksiyon ve kısıt denklemlerinden oluşan bir sistem - ekonomik ve matematiksel modelleme (EMM) problemi. Amaç fonksiyonunun ve kısıt denklemlerinin doğrusal olması ve kontrol değişkenlerinin sürekli olarak değişmesi durumunda, EMM problemi olarak adlandırılır. doğrusal programlama problemi (LP)... LP probleminin uygulanabilir tasarımları setinin (MDS) temel özelliği, dışbükey bir çokyüzlü olmasıdır. Dışbükey küme, bu kümenin herhangi iki noktasını birbirine bağlayan tüm parçaların ait olduğu bir kümedir. LP sorununun bir çözümü varsa, o zaman MDS'nin en üstündedir. TIR zirvelerinde bulunan planlara temel denir. Doğrusal programlama problemleri, eşitsizlikler (genel DP problemi) ve eşitlikler (kanonik DP problemi) şeklinde kısıtlı problemlere bölünmüştür. Doğrusal bir model kullanarak ekonomik problemlerin matematiksel olarak resmileştirilmesinde, genel DP problemleri elde edilir - örneğin, (4), (5). Ek değişkenler ekleyerek herhangi bir genel problem kanonik bir problemle ilişkilendirilebilir. Öyleyse, problem (4) 'e, "kaynak tüketimi £ kaynak stoğu" türündeki her eşitsizliğe ek bir değişken ekleyerek ((4) satır 2) x n + j (harcanmamış bakiye j kaynak) aşağıdaki kanonik eşleştirilir:

Bu durumda, problemin boyutu (6) - tasarım değişkenlerinin sayısı - (4) ile karşılaştırıldığında n önce n + m .

Problemi çözerken (4), kaynak verimliliği katsayıları önemlidir, bunların arasında diferansiyel ve artımlı olanlar burada kullanılacaktır. Kaynak verimliliğinin diferansiyel katsayısı k ji bir birim kullanılırken oluşturulan maliyeti gösterir j kaynak ben Hizmetler. Herkesin ihtiyaç duyduğu hizmet türleri k ji tüm hizmet türleri için en az, en az kârlı olanlardır. Optimal planda bulunmaları gerekmez. Bu, bu tür hizmetleri sunma hacimlerini zorla sıfırlayarak, sorunun boyutunu azaltmaya ve böylece çözümünü basitleştirmeye izin verir. Aşağıdaki gibi hesaplanırlar - k ji \u003d c i / bir ji .

artımlı kaynak verimlilik katsayısı K j Optimal planın amaç fonksiyonunun değerindeki artış ile bu artışa neden olan stoklardaki değişim arasındaki orantılılık katsayısı j inci kaynak. Varsayılabilir ki KİME j stoğun değerinde bir artış ile orijinal problemin amaç fonksiyonunun değerinin optimal planda ne kadar artacağını gösterin j birim başına kaynak. Matematiksel bir bakış açısına göre, stok miktarı açısından amaç fonksiyonunun optimal değerinin tam türevidir. j kaynak: KİME j \u003d dL seçeneği/db j .

Sayfa 2

Tablodan görülebileceği gibi, amaç fonksiyonunun (f (z) nispeten yakın optimal değerleri için (% 1'lik sapmalarla), münferit kalemler için bu optimal planlara göre üretilecek ürün sayısı birkaç yüz içinde değişir. Dolayısıyla bu görev istikrarsızdır ...

Doğrusal programlama problemini çözmenin bir sonucu olarak, amaç fonksiyonunun optimal değeri (istenen ürün kombinasyonu - maksimum gelir) ve bu optimal çözüme karşılık gelen değişkenlerin değerleri bulunur: ana x - ürün türleri; ek zt - sınırlı kaynaklar için rezervler; ikili Yg - kaynak kıtlığının bir ölçüsü; ek ikili Y - - hangi ürünlerin optimum plana dahil edilmesi tavsiye edilir.

Çözüm kümesi boş değilse, o zaman amaç fonksiyonunun optimal değeri sonlu veya sonsuz büyük olabilir. Amaç fonksiyonunun optimal değerinin sonlu olması durumunda, uç noktaya karşılık gelir.

Çözüm alanı sınırsız olabileceğinden, amaç fonksiyonunun optimal değeri de sonsuz büyük olabilir.

Tüm kısıtlamalar ancak ve ancak dışbükey problemin amaç fonksiyonunun optimal değeri sıfır ise sağlanır. Aksi takdirde, minimum değer sınırsızdır ve ihlal edilen kısıtlamanın yardımı ile aşırı bir ışın bulunmalıdır.

Herhangi bir yinelemede t, amaç fonksiyonunun optimal değerinin alt sınırı x bilinmektedir. X değeri aynı şekilde seçilebilir. Ek olarak, her görevin belirli bir kısmi çözüme sahip olduğu bir görevler ana listesi vardır.

Artık amaç fonksiyonunun optimal değerine karşılık gelen çözümü bulabilirsiniz.

Herhangi bir yinelemenin başlangıcında t, amaç fonksiyonunun optimal değerinin üst sınırı x bilinmektedir. X değeri geleneksel bir şekilde belirlenir. Ek olarak, kısmi bir döngüyü tanımlayan bazı Xij 1 alt kümesini ve oo'ya eşit revizyonun sonucu olarak kabul edilen c - - değerlerinin bir alt kümesini içeren ana görev listesi verilir. Kısmi bir döngünün tamamlayıcısı olan bir döngüye karşılık gelen amaç fonksiyonunun optimal değerinin alt sınırını hesaplamak için, yönlendirme algoritmasındakiyle aynı yöntem uygulanabilir. Öte yandan, kısmi döngüye dahil edilen xti 1 altkümesi ile ilgili olmayan satır ve sütunlara ait c - katsayılarını da bu probleme dahil ederek atama probleminin optimal çözümünü belirlemek mümkündür.

Bu gibi durumlarda, amaç fonksiyonunun optimal değerine karşılık gelen sonsuz sayıda tasarım vardır. Çok boyutlu durumda, sabit kârlı hiper düzlemin, kaynaklardan birinin sınırı olan hiper düzleme paralel olduğunu söylerler.

Teorem 4.1. Q (Xh) dizisi, deterministik bir problemin amaç fonksiyonunun optimal değerine yakınsar ve bu, iki aşamalı bir stokastik doğrusal programlama problemine eşdeğerdir. X / J dizisi yakınsak bir alt diziyi içerir. Xh'den gelen her bir yakınsayan alt dizi, iki aşamalı stokastik problemin optimal ön tasarımına x yakınsar.

Sınırlamalardan ötürü, çoğu zaman, hedef fonksiyonun optimal değerinin, yüzeyinin sıfır gradyana sahip olduğu yerde elde edilmediğine dikkat edilmelidir. Çoğu zaman, en iyi çözüm tasarım sınırlarından birine girer.

Herhangi bir yinelemenin başlangıcında t, amaç fonksiyonunun optimal değerinin üst sınırı xa bilinmektedir.

Bu bölümün son kısmında, stokastik modelin yapısına ilişkin çeşitli varsayımlar altında amaç fonksiyonunun optimal değerlerini tahmin etmek için yaklaşık yöntemler konusunu tartışıyoruz. Bir sonraki bölümde, boyutun korunmasıyla standart doğrusal programlama modeline geçişe izin veren iki aşamalı stokastik doğrusal programlama probleminin başka bir formülasyonunu ele alacağız.

Aslında, (VI5) 'e göre, ikili işlevin değeri her zaman amaç işlevinin optimal değerinden daha düşüktür. Bu nedenle, Lagrange çarpanlarının herhangi bir değeri için ikili fonksiyonun hesaplanması, bu dallanma varyantı için daha düşük bir sınır verir.

Sistemin eylemi, davranışı yalnızca hedefe ulaşma gerçeğinin oluşturulmasıyla değil, aynı zamanda amaç işlevi kullanılarak belirlenen başarı derecesiyle de karakterize edilir.

Amaç fonksiyonu - sistemin amacına ulaşma derecesini karakterize eden genelleştirilmiş bir sistem göstergesi vardır. Hedef işlevi derlemek, sistem tasarımındaki en önemli görevlerden biridir. Bununla birlikte, nesnel işlevler oluşturmanın genel bir teorisi yoktur, sadece bazı öneriler vardır.

Hedef fonksiyon, sistemin dış parametreleri ve bunlarla ilgili kısıtlamalar analiz edilerek optimizasyon kriterlerine ilişkin TK'nın talimatlarına göre derlenir.

Amaç işlevi büyük ölçüde harici parametrelere veya bunların bir kısmına bağlı olmalıdır. Aksi takdirde, bu amaç işlevi için optimizasyon anlamsızdır. Amaç fonksiyonu bir vektörü temsil eder msistemin dış parametrelerinin boyutsal uzayı

Tipik olarak, amaç işlevi skaler biçimde belirtilir.

Amaç işlevinin aşağıdaki dört biçimi kullanılır.

1. Bir harici parametrenin en yaygın kullanılan amaç işlevi

Bu durumda, amaç fonksiyonu basitçe harici parametrelerden birine veya onun tersine eşittir.

Diğer ( m - 1) harici parametreler kısıtlama sistemine aktarılır.

Verilen türlerin amaç işlevinin fiziksel anlamı, parametrenin ne kadar fazla (veya daha az) olduğudur. y ben daha iyi, diğer şeyler eşit olduğunda, verilen sistem ve diğer koşulların eşitliği, diğer dış parametreler üzerindeki kısıtlamalar anlamında anlaşılır. Hedef işlevin azaltılmış biçimine sahip tipik görevler: güvenilirlik açısından sistemin optimizasyonu ( y = P(t)), gürültü bağışıklığı, maliyet ve diğer dış parametreler. Böyle bir nesnel işlev, açık bir fiziksel (teknik veya ekonomik) anlama sahiptir, sistemi nesnel olarak karakterize eder ve bu nedenle sıklıkla kullanılır. Yani, bu durumda, hedef fonksiyon, sistemin harici parametresidir. Sistemin hedef işlevi olarak adlandırılır. Bunlar şunlar olabilir: doğruluk, hız, zaman, maliyet, güvenilirlik, ağırlık, boyutlar, bir tür teknolojik gösterge vb.

2. Amaç işlevinin ikinci biçimi, bir boyuttaki parametrelerin toplamı veya bu parametrelerden işlevlerin toplamıdır.

Bu form, ekonomik kriterlere, karmaşıklık kriterlerine vb. Dayalı optimizasyon için tipiktir.

Örneğin, sistemin yıllık indirgenmiş maliyetlerini en aza indirirken, amaç işlevi iki dış parametrenin toplamıdır: sistemin geri ödeme süresiyle ilgili yıllık işletim maliyetleri ve sermaye maliyetleri. Bu durumda, sistemin bu harici parametrelerinin her biri, dahili (bulunacak) parametrelerinin karmaşık bir işlevidir.

Karmaşıklık kriterine göre optimizasyon problemlerinin amaç fonksiyonları da ikinci forma sahiptir, çünkü tek tek alt sistemlerin veya sistem bloklarının karmaşıklıklarının toplamı olarak temsil edilirler.

3. Amaç işlevinin üçüncü biçimi - sıralı biçim - öncelikleri olan birinci biçimin sıralı bir nesnel işlevler kümesidir.

İlk amaç işlevi en önemli, son amaç işlevi en az önemli olanıdır.

Belirli bir durumda, bu türden bir amaç işlevi aşağıdaki gibi yazılır:

Bir sıralama örneği (örneğin) böyle bir nesnel işlevler dizisidir: doğruluk, güvenilirlik, maliyet. Üçüncü formun amaç işlevinin anlamı aşağıdaki gibidir. En önemlisi - sıralamadaki ilk - bazı olarak kabul edilir ben-th sistem parametresi - y ben (örneğin, hassasiyet). Bazı sistemlerde buna sahipse ben-th parametresi diğer tüm sistemlerden daha büyüktür, bu durumda diğer parametrelerin değerlerine bakılmaksızın (sadece kısıtları karşılarlarsa), bu sistem en iyi olarak kabul edilir. Sonra ikinci parametrede vb.

Bu durumda optimizasyon prosedürü, kural olarak, çok adımlıdır. Bu tür bir optimizasyon genellikle teknik sistemlerde bilinçsizce kullanılır. İlk olarak, birkaç sistemin aynı doğruluğuna sahip en iyi doğruluğa sahip bir sistem seçilir - daha güvenilir olanı ve ardından daha ucuz olanı. Her optimizasyon adımında, sistem yaklaşımı kavramıyla çelişmeyen yalnızca bir kriter kullanılır (tek bir kriterle optimizasyon, aşağıya bakınız).

4. Amaç fonksiyonun dördüncü - en genel - şekli, heterojen harici parametrelerin tamamına veya bir kısmına (ancak ikiden az olmamak üzere) keyfi bir bağımlılıktır.

Bu durumda, heterojen parametreler boyutsuz (veya tek boyutlu) hale dönüştürülür ve amaç işlevi, elde edilen boyutsuz göstergelerin belirli bir bileşimi (örneğin, aritmetik ortalama) olarak oluşturulur.

Dördüncü formun birleşik amaç işlevi, üçüncü formun amaç işlevlerinden, ağırlık katsayıları ve sonraki toplamlarla çarpılarak elde edilebilir:

nerede F S (y ben) - biri k üçüncü formun hedef fonksiyonları;

ω S Ağırlıklandırma faktörüdür.

Bununla birlikte, orada belirtildiği gibi, bireysel amaç fonksiyonlarının ağırlıklarının belirlenmesi çok zordur.

Alınan miktarın aşırı değeri optimal kabul edilecektir.

Bu nedenle, çoğu durumda (1. ve 3. formlar) sistem kalite göstergelerinin, vektör amaç fonksiyonunun bileşenlerinin sayısal değerleri ile tahmin edildiği belirtilebilir. görevliler :

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sistemler rastgele etki koşulları altında çalıştığından, işlevsellerin değerleri genellikle rastgele değişkenler olarak ortaya çıkar. Fonksiyonelleri kalite göstergeleri şeklinde kullanırken bu sakıncalıdır. Bu nedenle, bu gibi durumlarda, genellikle karşılık gelen işlevlerin ortalama değerleri kullanılır. Örneğin: vardiya başına üretilen ortalama ürün sayısı; ortalama üretim maliyeti vb.

Bazı durumlarda, kalite ölçütleri bazı rastgele olayların olasılıklarını temsil eder. Bu durumda, olasılık amaç işlevi olarak seçilir
sistem belirlenen hedefi (görevi) yerine getirir

Örneğin, radar vb. İle hedef tespiti olasılığı.

Tasarım parametreleri. Bu terim, çözülecek tasarım problemini tamamen ve kesin olarak belirleyen bağımsız değişken parametrelerini ifade eder. Tasarım parametreleri, değerleri optimizasyon işlemi sırasında hesaplanan bilinmeyen miktarlardır. Sistemin nicel bir tanımını sağlayan herhangi bir temel veya türetilmiş miktar, tasarım parametreleri olarak kullanılabilir. Yani uzunluk, kütle, zaman, sıcaklık gibi bilinmeyen değerler olabilir. Tasarım parametrelerinin sayısı, belirli bir tasarım görevinin karmaşıklık derecesini karakterize eder. Genellikle, tasarım parametrelerinin sayısı n ile gösterilir ve tasarım parametrelerinin kendileri de karşılık gelen endekslerle x ile gösterilir. Böylece, bu problemin n tasarım parametresi ile gösterilecektir.

X1, X2, X3, ... Xn.

Bazı kaynaklardaki tasarım parametrelerinin dahili kontrollü parametreler olarak adlandırılabileceği unutulmamalıdır.

Amaç fonksiyonu. Mühendisin maksimize etmeye veya küçültmeye çalıştığı bir ifadedir. Amaç işlevi, iki alternatif çözümü nicel olarak karşılaştırmanıza olanak tanır. Matematiksel bir bakış açısından, amaç fonksiyonu bazı (n + 1) boyutlu yüzeyleri tanımlar. Değeri tasarım parametreleri ile belirlenir.

M \u003d M (x1, x2, ..., xn).

Mühendislik uygulamasında yaygın olan nesnel işlevlerin örnekleri maliyet, ağırlık, güç, boyut ve verimliliktir. Yalnızca bir tasarım parametresi varsa, o zaman amaç fonksiyonu bir düzlemdeki bir eğri ile temsil edilebilir (Şekil 1). İki tasarım parametresi varsa, amaç işlevi üç boyutlu bir uzayda bir yüzey tarafından gösterilecektir (Şekil 2). Üç veya daha fazla tasarım parametresinde, amaç işlevi tarafından belirtilen yüzeylere hiper yüzeyler denir ve geleneksel yollarla görüntülenemez. En verimli algoritmanın seçimi onlara bağlı olduğundan, amaç fonksiyonunun yüzeyinin topolojik özellikleri optimizasyon sürecinde önemli bir rol oynar.

Şekil 1. Tek boyutlu amaç işlevi.

Şekil 2. İki boyutlu amaç işlevi.

Bazı durumlarda, amaç işlevi en beklenmedik biçimleri alabilir. Örneğin, onu kapalı bir matematiksel biçimde ifade etmek her zaman mümkün değildir, diğer durumlarda parçalı doğrusal bir fonksiyon olabilir. Amaç işlevini tanımlamak için bazen bir teknik veri tablosu (örneğin, bir su buharı durum tablosu) gerekebilir veya bir deney gerekebilir. Bazı durumlarda, tasarım parametreleri yalnızca tamsayı değerleri alır. Bir örnek, bir dişli takımındaki diş sayısı veya bir flanştaki cıvata sayısı olabilir. Bazen tasarım parametrelerinin yalnızca iki anlamı vardır - evet veya hayır. Ürünü satın alan müşterinin yaşadığı müşteri memnuniyeti, güvenilirlik, estetik gibi niteliksel parametrelerin niceliksel olarak nitelendirilmesi neredeyse imkansız olduğu için optimizasyon sürecinde dikkate alınması zordur. Bununla birlikte, amaç işlevi hangi biçimde sunulursa sunulsun, tasarım parametrelerinin kesin bir işlevi olmalıdır.

Bir dizi optimizasyon problemi, birden fazla amaç fonksiyonunun kullanılmasını gerektirir. Bazen biri diğeriyle uyumsuz olabilir. Bir örnek, aynı anda maksimum güç, minimum ağırlık ve minimum maliyet gerektiren uçakların tasarımıdır. Bu gibi durumlarda, tasarımcı bir öncelikler sistemi getirmeli ve her bir amaç fonksiyonuna belirli bir boyutsuz faktör atamalıdır. Sonuç olarak, optimizasyon sürecinde tek bir bileşik hedef işlevinin kullanılmasına izin veren bir "uzlaşma işlevi" ortaya çıkar.

Minimum ve maksimumu bulmak. Bazı optimizasyon algoritmaları maksimumu, diğerleri minimumu bulmak için uyarlanmıştır. Bununla birlikte, çözülen uç sorunun türüne bakılmaksızın, aynı algoritma kullanılabilir, çünkü minimizasyon problemi, amaç fonksiyonunun işaretini tersine değiştirerek kolayca bir maksimum arama problemine dönüştürülebilir. Bu teknik, Şekil 3'te gösterilmektedir.

Şekil 3. Problemde amaç fonksiyonunun işareti minimum için tersine değiştiğinde, maksimum için probleme dönüştürür.

Tasarım alanı. Bu, tüm n, tasarım parametreleri tarafından tanımlanan alanın adıdır. Tasarım alanı göründüğü kadar büyük değildir, çünkü genellikle sorunun fiziksel doğasıyla ilişkili bir dizi koşulla sınırlıdır. Kısıtlamalar o kadar güçlü olabilir ki, sorunun tek bir tatmin edici çözümü olmayacaktır. Kısıtlamalar iki gruba ayrılır: kısıtlamalar - eşitlik ve kısıtlamalar - eşitsizlik.

Eşitlik kısıtlamaları, bir çözüm bulurken göz önünde bulundurulması gereken tasarım parametreleri arasındaki ilişkidir. Doğa yasalarını, ekonomiyi, hukuku, hakim zevkleri ve gerekli malzemelerin mevcudiyetini yansıtırlar. Eşitlik sınırlamalarının sayısı herhangi biri olabilir. Benziyorlar

C1 (X1, X2, X3, ..., Xn) \u003d 0,

C2 (X1, X2, X3, ..., Xn) \u003d 0,

..……………………………..

Cj (X1, X2, X 3, ..., Xn) \u003d 0.

Eşitsizlik kısıtlamaları, özel bir tür eşitsizlik kısıtlamasıdır. Genel durumda, istediğiniz kadar çok olabilir ve hepsinin formu vardır.

z1? r1 (X1, X2, X3, ..., Xn)? Z1

z2? r2 (X1, X2, X3, ..., Xn)? Z2

………………………………………

zk? rk (X1, X2, X3, ..., Xn)? Zk

Sınırlamalardan ötürü, çoğu zaman, hedef fonksiyonun optimal değerinin, yüzeyinin sıfır gradyana sahip olduğu yerde elde edilmediğine dikkat edilmelidir. Çoğu zaman, en iyi çözüm tasarım sınırlarından birine girer.

Doğrudan ve işlevsel sınırlamalar. Doğrudan kısıtlamalar

xнi? xi? xbi benim için? ,

nerede xнi, xvi - i-inci kontrollü parametrenin izin verilen minimum ve maksimum değerleri; n, kontrollü parametrelerin uzayının boyutudur. Örneğin, birçok nesne için elemanların parametreleri negatif olamaz: xнi? 0 (geometrik boyutlar, elektrik dirençleri, kütleler vb.).

İşlevsel kısıtlamalar, kural olarak, amaç işlevine dahil edilmeyen çıktı parametrelerinin çalışabilirliği için koşulları temsil eder. İşlevsel sınırlamalar şunlar olabilir:

• 1) eşitlik türleri
• w (X) \u003d 0; (2.1)
• 2) eşitsizliklerin türü

q (X)\u003e 0, (2.2)

burada w (X) ve q (X) vektör fonksiyonlarıdır.

Doğrudan ve işlevsel kısıtlamalar, kabul edilebilir arama alanını oluşturur:

XD \u003d (X | w (X) \u003d 0, q (X) ›0, xi› xнi,

i? xvi? ).

Kısıtlamalar (2.1) ve (2.2) çalışabilirlik koşullarıyla çakışırsa, kabul edilebilir bölge aynı zamanda XP çalışabilirlik bölgesi olarak adlandırılır.

CD'ye ait X noktalarından herhangi biri, soruna uygulanabilir bir çözümdür. Parametrik sentez, genellikle uygulanabilir çözümlerden herhangi birini belirleme problemi olarak ortaya çıkar. Ancak, optimizasyon problemini çözmek - kabul edilebilir olanlar arasında en uygun çözümü bulmak çok daha önemlidir.

Yerel optimum. Bu, projeksiyon uzayındaki objektif fonksiyonun, yakın çevresindeki diğer tüm noktalardaki değerleriyle karşılaştırıldığında en büyük değere sahip olduğu noktanın adıdır. Şekil 4, iki yerel optima ile tek boyutlu bir amaç fonksiyonunu göstermektedir. Çoğunlukla tasarım alanı birçok yerel optimayı içerir ve ilkini soruna en uygun çözüm olarak görmemeye özen gösterilmelidir.

Şekil 4. Keyfi bir amaç fonksiyonunun birkaç yerel optiması olabilir.

Global Optimum, tüm tasarım alanı için en uygun çözümdür. Yerel optima'ya karşılık gelen diğer tüm çözümlerden daha iyidir ve kurucunun aradığı şey budur. Tasarım alanının farklı bölümlerinde bulunan birkaç eşit global optima durumu mümkündür. Bu, amaç işlevi için eşit optimum seçeneklerden en iyi seçeneği seçmenize olanak tanır. Bu durumda tasarımcı, sezgisel olarak veya elde edilen seçeneklerin karşılaştırmasına dayanarak bir seçeneği seçebilir.

Kriter seçimi. Ekstrem sorunların belirlenmesindeki temel sorun, amaç işlevini formüle etmektir. Bir objektif fonksiyon seçmenin zorluğu, herhangi bir teknik nesnenin başlangıçta bir vektör optimallik kriterine (çok kriterli) sahip olmasıdır. Ayrıca, çıktı parametrelerinden birinde bir gelişme, kural olarak, diğerinin bozulmasına yol açar, çünkü tüm çıktı parametreleri aynı kontrollü parametrelerin fonksiyonlarıdır ve birbirinden bağımsız olarak değiştirilemez. Bu çıktılara çakışan parametreler denir.

Amaç işlevi tek olmalıdır (kesin ilke). Çok kriterli bir problemin tek kriterli bir probleme indirgenmesi, bir vektör kriterinin evrişimi olarak adlandırılır. Uç noktasını bulma sorunu matematiksel programlama sorununa indirgenmiştir. Çıktı parametrelerinin nasıl seçildiğine ve birleştirildiğine bağlı olarak, skaler kalite fonksiyonunda, belirli, toplamsal, çarpımsal, minimum, istatistiksel kriterler ve diğer kriterler arasında ayrım yapılır. Teknik bir nesnenin tasarımına ilişkin referans şartları, ana çıktı parametreleri için gereksinimleri belirtir. Bu gereksinimler, belirli sayısal veriler, bunların varyasyon aralığı, çalışma koşulları ve izin verilen minimum veya maksimum değerler şeklinde ifade edilir. Çıkış parametreleri ile teknik gereksinimler (TT) arasındaki gerekli oranlara hizmet verilebilirlik koşulları denir ve şu şekilde yazılır:

yi< TTi , i О ; yi > TTj, j O;

yr \u003d TTr ± yr; r O.

yi, yj, yr bir dizi çıktı parametresidir;

TTi, TTj, TTr - referans şartları için karşılık gelen çıktı parametrelerinin gerekli kantitatif değerleri;

Yr, r'ninci çıkış parametresinin referans şartlarında belirtilen TTr değerinden kabul edilebilir sapmasıdır.

Teknik cihazların geliştirilmesinde çalışabilirlik koşulları belirleyici bir öneme sahiptir, çünkü tasarım görevi, tüm çalıştırılabilirlik koşullarının dış parametrelerdeki tüm değişikliklerde en iyi şekilde yerine getirildiği ve teknik özelliklerin tüm gereksinimlerinin ne zaman yerine getirildiği bir tasarım çözümünü seçmektir. karşılandı.

Bir ana parametrenin yi (X), tasarlanan nesnenin verimliliğini en iyi şekilde yansıtan çıktı parametreleri arasında ayırt edilebildiği durumlarda özel kriterler uygulanabilir. Bu parametre, amaç fonksiyonu olarak alınır. Bu tür parametrelerin örnekleri şunlardır: bir enerji nesnesi için - güç, otomatik bir makine için - verimlilik, bir araç için - taşıma kapasitesi. Birçok teknik nesne için bu parametre maliyettir. Nesnenin diğer tüm çıktı parametrelerinin çalışabilirliği için koşullar, işlevsel sınırlamalar olarak adlandırılır. Böyle bir ayara dayalı optimizasyona kısmi kriter optimizasyonu denir.

Bu yaklaşımın avantajı basitliğidir, önemli bir dezavantajı, büyük bir çalışabilirlik marjının yalnızca amaç fonksiyonu olarak alınan ana parametre tarafından elde edilebilmesi ve diğer çıktı parametrelerinin hiç rezervi olmayacak olmasıdır.

Ağırlıklı katkı kriteri, çalışma koşulları iki grup çıktı parametresi ayırt etmemize izin verdiğinde kullanılır. İlk grup, optimizasyon sırasında değerleri artırılması gereken çıkış parametrelerini içerir y + i (X) (performans, gürültü bağışıklığı, arızasız çalışma olasılığı, vb.), İkincisi - çıkış parametreleri , değerleri azaltılması gereken yi (X) (yakıt tüketimi, geçiş süresi, aşma, deplasman vb.). Genellikle farklı fiziksel boyutlara sahip birkaç çıktı parametresini tek bir skaler amaç fonksiyonunda birleştirmek, bu parametrelerin ön normalizasyonunu gerektirir. Parametreleri standartlaştırma yöntemleri aşağıda tartışılacaktır. Şimdilik, y (X) 'in tamamının boyutsuz olduğunu ve aralarında eşitlik türünün çalışma kapasitesi koşullarına karşılık gelen hiçbir şeyin olmadığını varsayacağız. Daha sonra, amaç fonksiyonunun en aza indirilmesi durumunda, vektör kriterinin evrişimi formuna sahip olacaktır.

burada aj\u003e 0, j'inci çıkış parametresinin önem derecesini belirleyen bir ağırlıklandırma faktörüdür (genellikle aj tasarımcı tarafından seçilir ve optimizasyon işlemi sırasında sabit kalır).

Ek kriterini ifade eden (2.1) formundaki amaç işlevi, performansın tüm veya ana koşullarının eşitlik şeklinde olması durumunda da yazılabilir. Sonra amaç işlevi

verilen spesifikasyon TTj'ye kök ortalama kare yaklaşımı yj (X) 'i tanımlar.

Çarpım ölçütü, eşitlik türünün çalışabilirlik koşullarının olmadığı ve çıktı parametrelerinin sıfır değerleri alamadığı durumlarda uygulanabilir. Daha sonra küçültülecek çarpımsal amaç işlevi şu şekle sahiptir:

Hem toplamsal hem de çarpımsal kriterlerin en önemli dezavantajlarından biri, problem ifadesinde çıktı parametreleri için teknik gereksinimlerin hesaba katılmamasıdır.

Fonksiyon formu kriteri, verilen (referans) karakteristiği yТТ (X, u) ile tasarlanan nesnenin karşılık gelen çıktı karakteristiğinin y (X, u) en iyi eşleşmesiyle problem ortaya çıktığında kullanılır, burada u bir değişken, örneğin, frekans, zaman, seçilen faz değişkeni. Bu görevler şunları içerir: kontrollü bir parametre için gerekli geçici süreç sürecini sağlayan bir otomatik kontrol sisteminin tasarımı; transistör modelinin parametrelerinin belirlenmesi, teorik volt-amper özelliklerinin deneysel olanlarla maksimum çakışmasını sağlamak; Verilen gerilim diyagramının hesaplananla en iyi eşleşmesine yol açan kiriş bölümlerinin parametrelerini arayın, vb.

Bu durumlarda belirli bir optimizasyon kriterinin kullanımı, sürekli karakteristikleri sonlu bir düğüm noktası kümesiyle değiştirmeye ve en aza indirilecek aşağıdaki amaç işlevlerinden birini seçmeye indirgenmiştir:

nerede p - değişken u eksenindeki düğüm noktalarının sayısı uj; aj - ağırlık katsayıları, değerleri ne kadar büyükse, sapma o kadar küçük y (X, uj) - yTT (X, ujj) j noktasında elde edilmelidir.

Maximin (minimax) kriterleri, optimum tasarım hedeflerinden birine ulaşılmasına izin verir - çalışma koşullarının en iyi şekilde karşılanması.

J'inci çalışabilirlik koşulunun yerine getirilme derecesinin nicel bir tahminini sunuyoruz, bunu zj ile gösteriyoruz ve yj parametresinin işlerlik marjı olarak adlandırıyoruz. J'inci çıktı parametresi için stoğun hesaplanması çeşitli şekillerde gerçekleştirilebilir, örneğin,

aj bir ağırlıklandırma faktörüdür; yjnom, j'inci çıkış parametresinin nominal değeridir; dj, j-inci çıktı parametresinin yayılmasını karakterize eden bir değerdir.

Burada tüm ilişkilerin yi biçimine indirgendiği varsayılmaktadır.< TТj. Если yi > TTj, sonra -yj< -TТj . Следует принимать аj >1 (önerilen değerler 5 ?Aj? 20), j'inci teknik gerekliliğin belirli bir toleransla karşılanmasının sağlanması isteniyorsa, yani yj \u003d TТj ±? Yj; aj \u003d l, zj'nin maksimum olası tahminini elde etmek gerekirse.

Teknik sistem işleyişinin kalitesi, çıktı parametrelerinin vektörü ve dolayısıyla Z \u003d (zm, zm,…, zm) vektörü ile karakterize edilir. Bu nedenle, amaç fonksiyonu, tahmin vektörünün bir q (Z) fonksiyonu olarak oluşturulmalıdır. Örneğin, yalnızca bu çıktı parametresinin stoğu, belirli bir X noktasında TOR gereksinimlerini karşılama açısından en kötü olan amaç işlevi olarak kabul edilirse, o zaman

burada m, çalışabilirlik rezervlerinin sayısıdır.

Şimdi, hisse senetlerinin minimumunu maksimize edecek böyle bir X arama stratejisi seçme problemini ortaya çıkarmak doğaldır, yani.

hD, arama için izin verilen alandır.

Amaç fonksiyonu (2.6) ile optimizasyon kriteri maksimin kriteri olarak adlandırılır.

İstatistiksel kriterler. İstatistiksel kriterler altında optimizasyon, maksimum performans olasılığı P'yi elde etmeyi amaçlamaktadır. Bu olasılık, nesnel bir fonksiyon olarak alınır. O zaman sorunumuz var

Kontrollü ve çıktı parametrelerinin standardizasyonu. Kontrollü parametre alanı metriktir. Bu nedenle, arama adımlarının yönlerini ve değerlerini seçerken, iki nokta arasındaki mesafeyle tanımlanan bir veya başka bir normu tanıtmak gerekir. İkincisi, tüm kontrol edilen parametrelerin aynı boyuta sahip olduğunu veya boyutsuz olduğunu varsayar.

Çeşitli standardizasyon yöntemleri mümkündür. Örnek olarak, avantajı mutlak parametre artışlarından göreceli olanlara geçiş olan logaritmik normalleştirme yöntemini düşünün. Bu durumda, i'inci kontrollü ui parametresi aşağıdaki gibi boyutsuz хi'ye dönüştürülür:

burada oi, ui parametresinden birine sayısal olarak eşit bir katsayıdır.

Çıktı parametrelerinin normalizasyonu toplam kriterde olduğu gibi ağırlık katsayıları kullanılarak veya (2.5) 'e göre уj'den çalışabilirlik marjları zj'ye geçilerek yapılabilir.

Amaç fonksiyonunun maksimumunu bulmak için, formatı maksimize olan maksimize fonksiyonunu kullanın (<функция>, <система ограничений>, <опции>);

Bu durumda, NONNEGATIVE seçeneği ile değişkenlerin negatif olmama koşulunun belirtilmesi uygundur.

> optimum: \u003d maksimize (f, syst_ogr, OLMAYAN);

Değişken değerlerini değiştirmek için subs komutunu kullanın x 1 ve x 2 işlevine f.

> fmax: \u003d alt (x1 \u003d 83/17, x2 \u003d 19/17, f);

Yanıtı 4 anlamlı basamaklı gerçek bir sayı olarak göstermek için evalf işlevini kullanın.

> fmax: \u003d evalf (fmax, 4);

Ekte açıklama yapmadan LP problemini çözmenin bir çeşidi hakkında bilgi edinebilirsiniz.

Özel bir SimplexWin paketinde optimizasyon sorunlarını çözme. Http://www.Simplexwin.Narod.Ru/

Bu program, simpleks yöntemini kullanarak doğrusal programlama problemlerini çözmek için tasarlanmıştır.

Bir görev... Değişken değerleri bulun x 1 ve x 2, hangi

kısıtlamalarla

İş emri:

SimplexWin programını çalıştırın ve menüden Ayarlar - Matris boyutu komutunu seçerek kısıtlama matrisinin gerekli boyutunu ayarlayın (Şekil 13).

Şekil: onüç... Matrisin boyutunu belirleme.

Verileri girin (şek. 14). Sorun kanonik bir biçimde tanıtılmazsa, ek değişkenler ve yapay temeller (ve bunlara karşılık gelen amaç işlevi katsayıları) otomatik olarak eklenir.

Şekil 14... Veri girişi.

II. Optimal planı ve amaç fonksiyonunun optimal değerini bulmak.

Şekil: 15... Form Sonuçları.

Sonuçlar formunda, sorunu otomatik modda çözmenize ve ekranda son tek yönlü tabloyu ve sonucu görüntülemenize olanak tanıyan Sonuç düğmesine tıklayın (Şekil 16).

Şekil: 16... Sorunun çözümü.

Optimizasyon sorunlarını çözmeExcel

Aşağıdaki doğrusal programlama problemi için bir bulma örneğini ele alalım.

Bir görev... Değişken değerleri bulun x 1 ve x 2, hangi

kısıtlamalarla

İş emri:

I. İlk verilerin kaydı.

Problemin koşullarını (değişkenler, amaç fonksiyonu, kısıtlamalar) girmek için bir ekran formu oluşturun ve ilk verileri (amaç fonksiyonunun katsayıları, kısıtlardaki değişkenler için katsayılar, kısıtların sağ tarafı) girin (Şekil 17 ).

Şekil: 17... Görevin ekran formu (D6 hücresindeki imleç).

Yorum Yap: Şek. Excel'de her değişken ve sorunun her katsayısına belirli bir hücre atanır. Yani, örneğin, B3 hücreleri ( ), C3 ( ), amaç fonksiyon katsayıları B6 hücrelerine karşılık gelir (
), C6 (
), hücreler F10 (
), F11 (
), F12 (
)vb.

Matematiksel modeldeki kısıtlamaları ekrana girin, örn. Amaç fonksiyonunu hesaplamak için formül ve kısıtlamaların sol taraflarının değerlerini hesaplamak için formülü girin.

Problemin durumuna göre amaç fonksiyonunun değeri ifade ile belirlenir.
... Excel'deki ilgili hücrelerin atamalarını kullanarak, amaç işlevini hesaplama formülü şu şekilde yazılabilir: eserlerin toplamı problem değişkenlerinin (B3, C3) değerleri için amaç fonksiyonunun (B6, C6) katsayıları için tahsis edilen ilgili hücrelere tahsis edilen hücrelerin her biri.

Amaç işlevi için bağımlılık formülünü ayarlamak için aşağıdakileri yapın :

- imleci hücreye getirin D6;

- pencereyi ara Özellik Sihirbazı - Adım 1/2düğmeye basarak standart araç çubuğunda;

- pencerede Fonksiyonişlev seçin SUMPRODUCT;

- görünen pencerede SUMPRODUCT Çizgide Dizi 1 ifade girin B $ 3: C $ 3ve hatta Dizi 2 - ifade B6: C6;

- düğmesine basın TAMAM MI.

Şekil: onsekiz... İşlev Sihirbazı penceresinde CF'yi hesaplamak için formül girme.

Hücreleri satırlara girdikten sonra Dizi 1 ve Dizi 2pencerede SUMPRODUCT girilen dizilerin sayısal değerleri görünecek (Şekil 18) ve girilen formüle göre hesaplanan mevcut değer ekran formunda, yani 0 görünecektir (çünkü formüle girildiği anda değerler Problem değişkenlerinin oranı sıfırdır) (Şekil 19).

Yorum Yap: Satır numarasının önündeki $ karakteri, bu formülü Excel çalışma sayfasındaki başka yerlere kopyalarsanız, 3 numaralı satırın değişmeyeceği anlamına gelir. Sembol : formülün, kolonun solunda ve sağında belirtilen hücreler arasında bulunan tüm hücreleri kullandığı anlamına gelir.

Sorun kısıtlamalarının sol tarafları eserlerin toplamı problem değişkenlerinin (B3, C3) değerleri için tahsis edilen hücrelerin her biri, belirli bir kısıtlamanın katsayıları için tahsis edilen karşılık gelen hücreye (B10, C10 - 1 kısıt; B11, C11 - 2 kısıt; B12, C12 - 3 kısıt).

Problem kısıtlamalarının sol taraflarını tanımlayan formüller, birbirinden ve hedef hücredeki formülden farklıdır. D6yalnızca ikinci dizideki satır numarası. Bu numara, ekran formunda kısıtlamanın yazıldığı satıra göre belirlenir. Bu nedenle, kısıtlamanın sol kısımları için bağımlılıklar ayarlamak için, formülün hedef hücreden kısıtların sol kısımlarındaki hücrelere kopyalanması yeterlidir.

Kısıtlamaların sol taraflarının değerlerini hesaplamak için aşağıdakileri yapın:

- imleci hücreye getirin D6 ve hücrenin içeriğini panoya kopyalayın (Ctrl + C tuşlarını kullanarak);

- imleci sınırlamaların her birinin sol tarafındaki alanlara birer birer yerleştirin, yani D10 ,D11 , D12 ve tamponun içeriğini bu alanlara yapıştırın (Ctrl + V tuşlarını kullanarak) (bu durumda, formülün ikinci dizisindeki hücre sayısı, yapıştırmanın eklendiği satırın numarasına değişecektir. tampon).

Alanlara ekrana girdikten sonra D10 ,D11 , D12 0 (sıfır değeri) belirir (şek. 19).

Şekil: 19... Su sonrası görevin ekran formu

gerekli tüm formüller.

Formüllerin doğru girilip girilmediğini kontrol edin.

Bunun için:

- sırayla, formüllerin bulunduğu hücreler üzerinde farenin sol düğmesine çift tıklayın ve formülde kullanılan hücreler ekranda vurgulanacaktır (Şekil 20 ve Şekil 21).

Şekil: 20

formülleri hedef hücre D6'ya.

Şekil: 20... Doğru yerleştirmeyi kontrol etme

kısıtlamaların sol tarafı için D10 hücresindeki formüller.

Amaç işlevini ayarlayın ve pencereye kısıtlamaları girin Bir çözüm bulmak(şek. 21).

Bunun için:

- imleci hücreye getirin D6;

- pencereyi ara Bir çözüm bulmakaraç çubuğundan seçerek Veri - Bir çözüm bulmak;

- imleci alana getirin Hedef hücreyi ayarlayın;

- hedef hücrenin adresini girin $ D $ 6veya klavyeden bir adres girmeye eşdeğer olan ekran formundaki hedef hücreye bir sol tıklama yapın;

- seçici düğmedeki farenin sol düğmesi ile bir kez tıklayarak amaç işlevinin optimizasyon yönünü belirtin maksimum değer;

- pencerede Kararların araştırılmasıtarlada Hücreleri değiştirmedeğişken değerlere sahip hücrelere girin $ B $ 3: $ C $ 3bunları ekran biçiminde seçerek, farenin sol düğmesini basılı tutarak;

Şekil: 21... Çözüm ara penceresi.

- düğmesine basın a ekle;

- sorunun durumuna göre, işaret alanında gerekli işareti seçin, örneğin, 1 kısıtlama için bu işarettir ;

- tarlada Sınırlamasöz konusu kısıtlamanın sağ tarafındaki hücre adresini girin, örneğin 10 F $;

- aynı şekilde, diğer kısıtlamaların sağ ve sol tarafları arasındaki ilişkiyi kurun ( $ D $111 F $1 , $ D $121 F $2) ;

- listelenen tüm koşulların girişini düğmeye basarak onaylayın TAMAM MI(şek. 22 ve şek. 23).

Şekil: 22... Bir koşul ekleniyor.

Yorum Yap: Bir sorun durumuna girerken, getirilen kısıtlamaların değiştirilmesi veya kaldırılması gerekirse, bu, düğmelere basılarak yapılabilir. Düzenleveya Sil.