Využíva optimálny počet funkcií, ktoré. Grafické riešenie úlohy lineárneho programovania. Úryvok opisujúci účelovú funkciu

Systém pozostávajúci z objektívnej funkcie a obmedzujúcich rovníc - problém ekonomického a matematického modelovania (EMM). V prípade, že cieľová funkcia a obmedzujúce rovnice sú lineárne a riadiace premenné sa neustále menia, problém EMM sa nazýva problém lineárneho programovania (LP)... Hlavnou vlastnosťou súboru realizovateľných návrhov (MDS) problému LP je, že ide o konvexný mnohosten. Konvexná množina je množina, do ktorej patria všetky segmenty spájajúce ľubovoľné dva body tejto množiny. Ak má problém LP riešenie, potom je na vrchole MDS. Plány umiestnené na vrcholoch TIR sa nazývajú základné. Problémy lineárneho programovania sa delia na problémy s obmedzeniami vo forme nerovností (všeobecný problém LP) a vo forme rovnosti (kanonický problém LP). Pri matematickej formalizácii ekonomických problémov pomocou lineárneho modelu sa získajú všeobecné úlohy LP - napríklad (4), (5). Akýkoľvek všeobecný problém zavedením ďalších premenných môže byť spojený s kanonickým problémom. Takže k problému (4) zavedením do každej nerovnosti typu „spotreba zdrojov £ zásoba zdrojov“ (riadok 2 v (4)) dodatočnú premennú x n + j (nevyčerpaný zostatok j -tý zdroj) sa zhoduje nasledujúci kanonický:

V tomto prípade sa rozmer problému (6) - počet návrhových premenných - v porovnaní s (4) zvýšil z n predtým n + m .

Pri riešení problému (4) sú dôležité koeficienty efektívnosti zdrojov, medzi ktorými sa tu budú používať diferenciálne a prírastkové. Diferenciálny koeficient efektívnosti zdrojov k ji zobrazuje náklady poskytnuté pri použití jednotky j - zdroj i služby. Tie typy služieb, pre ktoré každý k ji sú najmenej pre všetky typy služieb, sú najmenej ziskové. V optimálnom pláne nemusia byť prítomné. To umožňuje násilným vynulovaním objemu takýchto služieb zmenšiť rozmer problému a tým zjednodušiť jeho riešenie. Vypočítajú sa takto - k ji = c i / a ji .

prírastkový koeficient efektívnosti zdrojov K j Je koeficient úmernosti medzi prírastkom hodnoty cieľovej funkcie optimálneho plánu a zmenou zásob, ktorá tento prírastok spôsobila? j zdroj. To môžeme predpokladať TO j ukázať, o koľko sa zvýši hodnota objektívnej funkcie pôvodného problému v optimálnom pláne so zvýšením hodnoty zásoby j -tý zdroj na jednotku. Z matematického hľadiska je to úplný derivát optimálna hodnota objektívnej funkcie množstvom zásob j zdroj: TO j = dL opt/db j .

Strana 2

Z tabuľky je zrejmé, že pre relatívne blízke optimálne hodnoty cieľovej funkcie (f (z) (s odchýlkami rádovo 1 %) je počet výrobkov, ktoré sa majú vyrobiť podľa týchto optimálnych plánov pre jednotlivé položky. sa pohybuje v rozmedzí niekoľkých stoviek. Táto úloha je teda nestabilná...

V dôsledku riešenia problému lineárneho programovania sa nájde optimálna hodnota cieľovej funkcie (požadovaná kombinácia produktov - maximálny príjem), ako aj zodpovedajúce hodnoty premenných zodpovedajúcich tomuto optimálnemu riešeniu: hlavné x - druhy výrobkov; dodatočné zt - rezervy na obmedzené zdroje; duálny Yg – miera nedostatku zdrojov; dodatočné duálne Y - - aké produkty je vhodné zaradiť do optimálneho plánu.

Ak je množina riešení neprázdna, potom optimálna hodnota účelovej funkcie môže byť buď konečná, alebo nekonečne veľká. V prípade, že optimálna hodnota účelovej funkcie je konečná, zodpovedá krajnému bodu.

Keďže priestor riešenia môže byť neobmedzený, optimálna hodnota účelovej funkcie sa môže ukázať ako nekonečne veľká.

Všetky obmedzenia sú splnené vtedy a len vtedy, ak optimálna hodnota cieľovej funkcie konvexného problému je nula. V opačnom prípade je minimálna hodnota neobmedzená a musí sa nájsť extrémny lúč, pomocou ktorého sa zostrojí porušené obmedzenie.

Pri akejkoľvek iterácii t je známy dolný odhad x optimálnej hodnoty cieľovej funkcie. Rovnakým spôsobom je možné zvoliť hodnotu x. Okrem toho existuje hlavný zoznam úloh, v ktorom má každá úloha konkrétne čiastkové riešenie.

Teraz môžete nájsť riešenie, ktoré zodpovedá optimálnej hodnote účelovej funkcie.

Na začiatku každej iterácie t je známa horná hranica x optimálnej hodnoty cieľovej funkcie. Hodnota x sa určuje konvenčným spôsobom. Okrem toho je uvedený hlavný zoznam úloh, ktorý obsahuje podmnožinu Xij 1, ktorá definuje čiastočný cyklus, a podmnožinu hodnôt c - -, ktoré sa ako výsledok revízie rovnajú oo. Na výpočet dolnej hranice pre optimálnu hodnotu cieľovej funkcie zodpovedajúcej cyklu, ktorý je doplnkom čiastočného cyklu, je možné použiť rovnakú metódu ako v smerovacom algoritme. Na druhej strane je možné určiť optimálne riešenie priraďovacej úlohy tak, že do tejto úlohy zahrnieme koeficienty c - patriace do riadkov a stĺpcov, ktoré nie sú spojené s podmnožinou xti 1 a ktoré sú zahrnuté do čiastkového cyklu.

V takýchto prípadoch existuje nekonečne veľa návrhov, ktoré zodpovedajú optimálnej hodnote cieľovej funkcie. V multidimenzionálnom prípade sa hovorí, že nadrovina konštantného zisku je rovnobežná s nadrovinou - hranicou jedného zo zdrojov.

Veta 4.1. Postupnosť Q (Xh) konverguje k optimálnej hodnote účelovej funkcie deterministického problému, ktorý je ekvivalentom dvojstupňového stochastického problému lineárneho programovania. Postupnosť x / J obsahuje konvergujúcu podsekvenciu. Každá konvergujúca podsekvencia z Xh konverguje k optimálnemu predbežnému návrhu x dvojstupňového stochastického problému.

Treba poznamenať, že veľmi často sa kvôli obmedzeniam optimálna hodnota účelovej funkcie dosiahne nie tam, kde má jej povrch nulový gradient. Najlepšie riešenie často spadá do jednej z hraníc návrhu.

Na začiatku každej iterácie t je známa horná hranica x a optimálnej hodnoty cieľovej funkcie.

V záverečnej časti tejto časti rozoberáme problematiku približných metód na odhadovanie optimálnych hodnôt cieľovej funkcie pri rôznych predpokladoch týkajúcich sa štruktúry stochastického modelu. V ďalšej časti uvažujeme o ďalšej formulácii úlohy stochastického lineárneho programovania v dvoch krokoch, ktorá umožňuje prechod na štandardný model lineárneho programovania so zachovaním rozmeru.

Podľa (VI5) je totiž hodnota duálnej funkcie vždy menšia ako optimálna hodnota účelovej funkcie. Výpočet duálnej funkcie pre akékoľvek hodnoty Lagrangeových multiplikátorov teda poskytuje nižší odhad pre tento variant vetvenia.

Činnosť systému a jeho správanie sú charakterizované nielen zistením skutočnosti dosiahnutia cieľa, ale aj stupňom jeho dosiahnutia, určeným pomocou cieľovej funkcie.

Objektívna funkcia - existuje zovšeobecnený ukazovateľ systému, ktorý charakterizuje mieru, do akej systém dosiahol svoj cieľ. Kompilácia cieľovej funkcie je jednou z najdôležitejších úloh pri návrhu systému. Neexistuje však žiadna všeobecná teória na konštrukciu objektívnych funkcií, existujú len niektoré odporúčania.

Účelová funkcia je zostavená podľa pokynov TK na optimalizačné kritériá analýzou vonkajšie parametre systémy a obmedzenia na ne.

Účelová funkcia by mala podstatne závisieť od vonkajších parametrov alebo ich časti. V opačnom prípade nemá optimalizácia pre túto účelovú funkciu zmysel. Účelová funkcia predstavuje vektor in m-rozmerný priestor vonkajších parametrov systému

Typicky je účelová funkcia špecifikovaná v skalárnej forme.

Používajú sa nasledujúce štyri formy účelovej funkcie.

1. Najčastejšie používaná účelová funkcia jedného externého parametra

V tomto prípade sa účelová funkcia jednoducho rovná jednému z externých parametrov alebo jeho prevrátenej hodnote

Iné ( m- 1) vonkajšie parametre sa prenášajú do systému obmedzení.

Fyzikálny význam objektívnej funkcie daných typov je, že čím viac (alebo menej) parametra r i, tým lepšie, ceteris paribus, daný systém a rovnosť ostatných podmienok sa chápe v zmysle obmedzenia iných vonkajších parametrov. Typické úlohy s redukovanou formou účelovej funkcie: optimalizácia systému z hľadiska spoľahlivosti ( r = P(t)), odolnosť voči rušeniu, náklady a ďalšie externé parametre. Takáto objektívna funkcia má jasný fyzikálny (technický alebo ekonomický) význam, objektívne charakterizuje systém a preto sa často používa. To znamená, že v tomto prípade je cieľová funkcia vonkajším parametrom systému. Nazýva sa to cieľová funkcia systému. Môžu to byť: presnosť, rýchlosť, čas, náklady, spoľahlivosť, hmotnosť, rozmery, nejaký technologický ukazovateľ atď.

2. Druhá forma účelovej funkcie je súčet parametrov jednej dimenzie alebo súčet funkcií z týchto parametrov

Táto forma je typická pre optimalizáciu podľa ekonomických kritérií, kritérií zložitosti atď.

Napríklad pri minimalizácii ročných znížených nákladov systému je cieľovou funkciou súčet dvoch externých parametrov: ročných prevádzkových nákladov a kapitálových nákladov súvisiacich s dobou návratnosti systému. V tomto prípade je každý z týchto vonkajších parametrov systému komplexnou funkciou jeho vnútorných parametrov (ktoré treba nájsť).

Objektívne funkcie optimalizačných úloh podľa kritéria zložitosti majú aj druhú formu, od r sú prezentované ako súčet zložitostí jednotlivých subsystémov alebo systémových blokov.

3. Tretia forma účelovej funkcie - poradová forma - je usporiadaný súbor účelových funkcií prvej formy s prioritami

Prvá účelová funkcia je najdôležitejšia, posledná účelová funkcia je najmenej dôležitá.

V konkrétnom prípade je objektívna funkcia tohto typu napísaná takto:

Príkladom rankingu je (napríklad) taká postupnosť objektívnych funkcií: presnosť, spoľahlivosť, cena. Význam objektívnej funkcie tretieho tvaru je nasledovný. Najdôležitejší - prvý v poradí - je uznávaný ako niektorí i-tý parameter systému - r i(napríklad presnosť). Ak to nejaký systém má i-tý parameter je väčší ako u všetkých ostatných systémov, potom bez ohľadu na hodnoty ostatných parametrov (ak iba spĺňajú obmedzenia), tento systém sa považuje za najlepší. Potom na druhom parametri atď.

Postup optimalizácie je v tomto prípade spravidla viackrokový. Takáto optimalizácia sa často nevedomky aplikuje v technických systémoch. Najprv sa vyberie systém s najlepšou presnosťou, s rovnakou presnosťou niekoľkých systémov – spoľahlivejší a potom lacnejší. V každom kroku optimalizácie sa používa iba jedno kritérium, ktoré nie je v rozpore s koncepciou systémového prístupu (optimalizácia podľa jedného kritéria, pozri nižšie).

4. Štvrtá - najvšeobecnejšia - forma účelovej funkcie je ľubovoľná závislosť od všetkých alebo časti (ale nie menej ako dvoch) heterogénnych vonkajších parametrov.

V tomto prípade sa heterogénne parametre prevedú na bezrozmerné (alebo jednorozmerné) a cieľová funkcia sa vytvorí ako určité zloženie (napríklad aritmetický priemer) získaných bezrozmerných ukazovateľov.

Jediná účelová funkcia štvrtej formy sa dá získať z objektívnych funkcií tretej formy ich vynásobením váhovými koeficientmi a následným sčítaním:

kde F S (r i) - jeden z k cieľové funkcie tretej formy;

ω S Je jeho váhovým faktorom.

Ako je však uvedené, určenie váh jednotlivých objektívnych funkcií je veľmi náročné.

Za optimálnu sa bude považovať extrémna hodnota prijatej sumy.

Dá sa teda naznačiť, že vo väčšine prípadov (1. a 3. forma) sa ukazovatele kvality systému odhadujú pomocou číselných hodnôt komponentov vektorovej cieľovej funkcie, ktoré sa nazývajú funkcionality :

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Keďže systémy fungujú pod náhodnými vplyvmi, hodnoty funkcionalít sa často ukážu ako náhodné premenné. To je nepohodlné pri použití funkcionalít vo forme indikátorov kvality. Preto sa v takýchto prípadoch zvyčajne používajú priemerné hodnoty zodpovedajúcich funkcií. Napríklad: priemerný počet výrobkov vyrobených za zmenu; priemerné výrobné náklady atď.

V niektorých prípadoch metriky kvality predstavujú pravdepodobnosti nejakej náhodnej udalosti. V tomto prípade sa ako účelová funkcia zvolí pravdepodobnosť
splnenie stanoveného cieľa (úlohy) systémom

Napríklad pravdepodobnosť detekcie cieľa radarom atď.

Dizajnové parametre. Tento pojem označuje nezávisle premenné parametre, ktoré úplne a jednoznačne určujú konštrukčný problém, ktorý sa má riešiť. Parametre návrhu sú neznáme veličiny, ktorých hodnoty sa počítajú počas procesu optimalizácie. Akékoľvek základné alebo odvodené veličiny, ktoré kvantitatívne popisujú systém, môžu slúžiť ako parametre návrhu. Môžu to byť teda neznáme hodnoty dĺžky, hmotnosti, času, teploty. Množstvo konštrukčných parametrov charakterizuje stupeň zložitosti danej konštrukčnej úlohy. Zvyčajne sa počet konštrukčných parametrov označuje n a samotné konštrukčné parametre sa označujú x s príslušnými indexmi. Teda n návrhových parametrov tohto problému budeme označovať

X1, X2, X3, ... Xn.

Je potrebné poznamenať, že návrhové parametre v niektorých zdrojoch možno označovať ako interné kontrolované parametre.

Objektívna funkcia. Je to výraz, ktorý sa inžinier snaží maximalizovať alebo minimalizovať. Objektívna funkcia umožňuje kvantitatívne porovnať dve alternatívne riešenia. Z matematického hľadiska účelová funkcia opisuje nejaký (n + 1) -rozmerný povrch. Jeho hodnota je určená konštrukčnými parametrami.

M = M (xl, x2, ..., xn).

Príklady objektívnych funkcií, ktoré sú bežné v inžinierskej praxi, sú náklady, hmotnosť, pevnosť, veľkosť, účinnosť. Ak existuje len jeden parameter návrhu, potom môže byť účelová funkcia reprezentovaná krivkou v rovine (obr. 1). Ak existujú dva parametre návrhu, potom bude účelová funkcia znázornená plochou v priestore troch rozmerov (obr. 2). Pri troch alebo viacerých parametroch návrhu sa povrchy špecifikované účelovou funkciou nazývajú hyperplochy a nemožno ich zobraziť konvenčnými prostriedkami. Topologické vlastnosti povrchu cieľovej funkcie zohrávajú dôležitú úlohu v procese optimalizácie, pretože od nich závisí výber najefektívnejšieho algoritmu.

Obrázok 1. Jednorozmerná účelová funkcia.

Obrázok 2. Dvojrozmerná účelová funkcia.

V niektorých prípadoch môže mať objektívna funkcia najneočakávanejšie formy. Napríklad nie vždy je možné ju vyjadriť v uzavretej matematickej forme, v iných prípadoch to môže byť po častiach lineárna funkcia. Na nastavenie cieľovej funkcie môže byť niekedy potrebná tabuľka technických údajov (napríklad tabuľka stavu vodnej pary) alebo môže byť potrebný experiment. V niektorých prípadoch majú parametre návrhu iba celočíselné hodnoty. Príkladom môže byť počet zubov v ozubenom kolese alebo počet skrutiek v prírube. Niekedy majú konštrukčné parametre len dva významy – áno alebo nie. Kvalitatívne parametre, ako je spokojnosť zákazníka, spoľahlivosť, estetika, ktoré zákazník zakúpil, sa v procese optimalizácie ťažko berú do úvahy, pretože je takmer nemožné ich kvantitatívne charakterizovať. Avšak v akejkoľvek forme je prezentovaná účelová funkcia, musí byť jednoznačnou funkciou parametrov návrhu.

Množstvo optimalizačných problémov si vyžaduje zavedenie viac ako jednej cieľovej funkcie. Niekedy môže byť jeden z nich nekompatibilný s druhým. Príkladom je konštrukcia lietadiel, kde sa zároveň vyžaduje maximálna pevnosť, minimálna hmotnosť a minimálne náklady. V takýchto prípadoch musí projektant zaviesť systém priorít a priradiť každej cieľovej funkcii určitý bezrozmerný faktor. V dôsledku toho sa objaví „kompromisná funkcia“, ktorá umožňuje použiť jednu zloženú cieľovú funkciu v procese optimalizácie.

Nájdenie minima a maxima. Niektoré optimalizačné algoritmy sú prispôsobené na nájdenie maxima, iné na nájdenie minima. Bez ohľadu na typ riešeného extrémneho problému však možno použiť rovnaký algoritmus, pretože problém minimalizácie možno ľahko zmeniť na problém maximálneho vyhľadávania zmenou znamienka účelovej funkcie na opačný. Táto technika je znázornená na obrázku 3.

Obrázok 3. Keď sa v úlohe pre minimum zmení znamienko účelovej funkcie na opačný, zmení ju na problém pre maximum.

Dizajnový priestor. Toto je názov oblasti definovanej všetkými n, návrhovými parametrami. Dizajnový priestor nie je taký veľký, ako by sa mohlo zdať, keďže ho zvyčajne obmedzuje množstvo podmienok spojených s fyzikálnou podstatou problému. Obmedzenia môžu byť také silné, že problém nebude mať jediné uspokojivé riešenie. Obmedzenia sa delia do dvoch skupín: obmedzenia – rovnosť a obmedzenia – nerovnosť.

Obmedzenia rovnosti sú vzťahom medzi konštrukčnými parametrami, ktoré je potrebné zvážiť pri hľadaní riešenia. Odrážajú zákony prírody, ekonomiku, právo, prevládajúci vkus a dostupnosť potrebných materiálov. Počet obmedzení rovnosti môže byť ľubovoľný. Vyzerajú ako

C1 (X1, X2, X3,..., Xn) = 0,

C2 (X1, X2, X3,..., Xn) = 0,

..……………………………..

Cj (X1, X2, X3,..., Xn) = 0.

Obmedzenia nerovnosti sú špeciálnym druhom obmedzenia nerovnosti. V všeobecný prípad môže ich byť ľubovoľný počet a všetky majú tvar

z1 - r1 (X1, X2, X3,..., Xn) - Z1

z2 - r2 (X1, X2, X3,..., Xn) - Z2

………………………………………

zk? rk (X1, X2, X3,..., Xn)? Zk

Treba poznamenať, že veľmi často sa kvôli obmedzeniam optimálna hodnota účelovej funkcie dosiahne nie tam, kde má jej povrch nulový gradient. Najlepšie riešenie často spadá do jednej z hraníc návrhu.

Priame a funkčné obmedzenia. Priame obmedzenia sú

xni? xi? xbi pre mňa? ,

kde xнi, xvi - minimálne a maximálne prípustné hodnoty i-tého kontrolovaného parametra; n je rozmer priestoru riadených parametrov. Napríklad pre mnohé objekty nemôžu byť parametre prvkov záporné: xнi? 0 (geometrické rozmery, elektrické odpory, hmotnosti atď.).

Funkčné obmedzenia spravidla predstavujú podmienky prevádzkyschopnosti výstupných parametrov, ktoré nie sú zahrnuté v cieľovej funkcii. Funkčné obmedzenia môžu byť:

• 1) druh rovnosti
• w (X) = 0; (2.1)
• 2) druh nerovností

q (X) > 0, (2,2)

kde w (X) a q (X) sú vektorové funkcie.

Priame a funkčné obmedzenia tvoria prípustnú oblasť vyhľadávania:

HD = (X | w (X) = 0, q (X) ›0, xi› xнi,

xi ‹xvi na i? ).

Ak sa obmedzenia (2.1) a (2.2) zhodujú s podmienkami prevádzkyschopnosti, potom sa prípustná oblasť nazýva aj oblasť prevádzkyschopnosti XP.

Ktorýkoľvek z bodov X patriacich CD je realizovateľným riešením problému. Parametrická syntéza sa často považuje za problém určenia ktoréhokoľvek z realizovateľných riešení. Oveľa dôležitejšie je však vyriešiť problém optimalizácie – nájsť optimálne riešenie medzi prípustnými.

Lokálne optimum. Toto je názov bodu v projekčnom priestore, v ktorom má cieľová funkcia najväčšiu hodnotu v porovnaní s jej hodnotami vo všetkých ostatných bodoch v jej bezprostrednej blízkosti. Obrázok 4 ukazuje jednorozmernú objektívnu funkciu s dvoma lokálnymi optimami. Dizajnový priestor často obsahuje mnoho lokálnych optim a je potrebné dbať na to, aby sme si nepomýlili prvé z nich ako optimálne riešenie problému.

Obrázok 4. Ľubovoľná účelová funkcia môže mať niekoľko lokálnych optím.

Global Optimum je optimálnym riešením pre celý dizajnový priestor. Je to lepšie ako všetky ostatné riešenia zodpovedajúce lokálnemu optimu a to je to, čo konštruktér hľadá. Je možný prípad niekoľkých rovnakých globálnych optím umiestnených v rôznych častiach dizajnového priestoru. To vám umožňuje vybrať si najlepšiu možnosť z rovnakých optimálnych možností pre cieľovú funkciu. V tomto prípade môže projektant zvoliť možnosť intuitívne alebo na základe porovnania získaných možností.

Výber kritérií. Hlavný problém pri formulácii extrémnych problémov je vo formulácii účelovej funkcie. Zložitosť výberu účelovej funkcie spočíva v tom, že každý technický objekt má na začiatku vektorový charakter kritérií optimality (multikritériá). Okrem toho zlepšenie jedného z výstupných parametrov spravidla vedie k zhoršeniu druhého, pretože všetky výstupné parametre sú funkciami rovnakých regulovaných parametrov a nemôžu sa meniť nezávisle od seba. Tieto výstupy sa nazývajú konfliktné parametre.

Mala by existovať jedna objektívna funkcia (princíp jednoznačnosti). Redukcia viackriteriálneho problému na jednokriteriálny problém sa nazýva konvolúcia vektorového kritéria. Problém hľadania jeho extrému sa redukuje na problém matematického programovania. Podľa toho, ako sa vyberajú a kombinujú výstupné parametre, sa vo funkcii skalárnej kvality rozlišujú súkromné, aditívne, multiplikatívne, minimax, štatistické kritériá a ďalšie kritériá. V referenčné podmienky pre návrh technického objektu sú uvedené požiadavky na hlavné výstupné parametre. Tieto požiadavky sú vyjadrené vo forme konkrétnych číselných údajov, ich variačného rozsahu, prevádzkových podmienok a prípustných minimálnych alebo maximálnych hodnôt. Požadované pomery medzi výstupnými parametrami a technickými požiadavkami (TT) sa nazývajú podmienky prevádzkyschopnosti a zapisujú sa v tvare:

yi< TTi , i О ; yi >TTj,j0;

rok = TTr ± > rok; r O.

kde yi, yj, yr je množina výstupných parametrov;

TTi, TTj, TTr - požadované kvantitatívne hodnoty zodpovedajúcich výstupných parametrov pre referenčné podmienky;

Yr je prípustná odchýlka r-tého výstupného parametra od hodnoty TTr špecifikovanej v referenčných podmienkach.

Obslužnosť je pri návrhu kritická technické zariadenia, keďže konštrukčnou úlohou je vybrať konštrukčné riešenie, v ktorom najlepšia cesta všetky pracovné podmienky sú splnené v celom rozsahu zmien vonkajších parametrov a pri splnení všetkých požiadaviek technickej úlohy.

Osobitné kritériá je možné aplikovať v prípadoch, keď je možné medzi výstupnými parametrami rozlíšiť jeden hlavný parameter yi (X), ktorý najviac odráža efektivitu navrhovaného objektu. Tento parameter sa berie ako objektívna funkcia. Príklady takýchto parametrov sú: pre energetický objekt - výkon, pre technologický stroj - produktivita, pre vozidlo- nosnosť. Pre mnohé technické objekty sú týmto parametrom náklady. Podmienky prevádzkyschopnosti všetkých ostatných výstupných parametrov objektu sa označujú ako funkčné obmedzenia. Optimalizácia založená na takomto nastavení sa nazýva optimalizácia čiastočného kritéria.

Výhodou tohto prístupu je jeho jednoduchosť, výraznou nevýhodou je, že veľkú rezervu prevádzkyschopnosti možno získať len hlavným parametrom, ktorý je braný ako objektívna funkcia, a ostatné výstupné parametre nebudú mať vôbec žiadne rezervy.

Vážené aditívne kritérium sa používa vtedy, keď pracovné podmienky umožňujú rozlíšiť dve skupiny výstupných parametrov. Prvá skupina zahŕňa výstupné parametre, ktorých hodnoty by sa mali zvýšiť počas optimalizácie y + i (X) (výkon, odolnosť proti šumu, pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky atď.), druhá - výstupné parametre , ktorých hodnoty by sa mali znížiť yi (X) (spotreba paliva, trvanie proces prechodu, prekročenie, posun atď.). Kombinácia niekoľkých výstupných parametrov, ktoré majú vo všeobecnosti rôzne fyzické rozmery, v jednej skalárnej objektívnej funkcii vyžaduje predbežnú normalizáciu týchto parametrov. Metódy štandardizácie parametrov budú diskutované nižšie. Zatiaľ budeme predpokladať, že všetky y (X) sú bezrozmerné a nie sú medzi nimi také, ktoré zodpovedajú podmienkam pracovnej schopnosti typu rovnosti. Potom, pre prípad minimalizácie cieľovej funkcie, bude mať konvolúcia vektorového kritéria tvar

kde aj> 0 je váhový faktor, ktorý určuje stupeň dôležitosti j-tého výstupného parametra (zvyčajne aj sú zvolené projektantom a zostávajú konštantné počas procesu optimalizácie).

Objektívnu funkciu v tvare (2.1), vyjadrujúcu aditívne kritérium, možno zapísať aj v prípade, že všetky alebo základné podmienky plnenia majú formu rovnosti. Potom účelová funkcia

definuje aproximáciu yj (X) k danej špecifikácii TTj.

Multiplikatívne kritérium je možné použiť v prípadoch, keď neexistujú podmienky prevádzkyschopnosti, ako je rovnosť a výstupné parametre nemôžu nadobúdať nulové hodnoty. Potom má multiplikatívna účelová funkcia, ktorá sa má minimalizovať, tvar

Jeden z najviac významné nevýhody aditívnym aj multiplikačným kritériom je nezohľadnenie pri formulácii problému technických požiadaviek na výstupné parametre.

Kritérium tvaru funkcie sa používa vtedy, keď je položená úloha najlepšej zhody danej (referenčnej) charakteristiky yТТ (X, u) s príslušnou výstupnou charakteristikou y (X, u) navrhovaného objektu, kde u je nejaká premenná, napríklad frekvencia, čas, zvolená fázová premenná. Tieto úlohy zahŕňajú: návrh automatického riadiaceho systému, ktorý poskytuje požadovaný typ prechodného procesu pre kontrolovaný parameter; určenie parametrov modelu tranzistora s maximálnou zhodou jeho teoretickej charakteristiky prúdového napätia s experimentálnym; hľadajte parametre sekcií nosníka, ktorých hodnoty vedú k čo najlepšej zhode daného diagramu napätia s vypočítaným atď.

Použitie konkrétneho optimalizačného kritéria je v týchto prípadoch obmedzené na nahradenie spojitých charakteristík konečnou množinou uzlových bodov a výber jednej z nasledujúcich cieľových funkcií, ktoré sa majú minimalizovať:

kde p je počet uzlových bodov uj na osi premennej u; aj - váhové koeficienty, ktorých hodnoty sú čím väčšie, tým menšia je odchýlka y (X, uj) - yTT (X, ujj) je potrebné získať v bode j.

Kritériá maximin (minimax) umožňujú dosiahnuť jeden z cieľov optimálneho dizajnu - najlepšie uspokojenie pracovných podmienok.

Zaveďme kvantitatívny odhad miery splnenia j-tej podmienky prevádzkyschopnosti, označme ju zj a nazvime ju hranica prevádzkyschopnosti parametra yj. Výpočet zásoby pre j-tý výstupný parameter je možné vykonať rôznymi spôsobmi, napr.

kde aj je váhový faktor; yjnom - nominálna hodnota j-tého výstupného parametra; dj je hodnota charakterizujúca rozptyl j -tého výstupného parametra.

Tu sa predpokladá, že všetky vzťahy sú redukované do tvaru yi< TТj. Если yi >TTj, potom -yj< -TТj . Следует принимать аj >1 (odporúčané hodnoty 5? Аj? 20), ak je žiaduce dosiahnuť splnenie j-tej technickej požiadavky s danou toleranciou, t.j. yj = TТj ±? Yj; aj = l, ak je potrebné získať maximálny možný odhad zj.

Funkčná kvalita technický systém charakterizované vektorom výstupných parametrov a teda vektorom Z = (zm, zm,…, zm). Preto by účelová funkcia mala byť vytvorená ako nejaká funkcia q (Z) vektora odhadov. Napríklad, ak sa za objektívnu funkciu považuje iba zásoba výstupného parametra, ktorá je v danom bode X najhoršia z hľadiska plnenia požiadaviek TOR, potom

kde m je počet prevádzkových rezerv.

Teraz je prirodzené nastoliť problém výberu stratégie vyhľadávania X, ktorá by maximalizovala minimum zásob, t.j.

kde HD je oblasť povolená na vyhľadávanie.

Optimalizačné kritérium s cieľovou funkciou (2.6) sa nazýva kritérium maxima.

Štatistické kritériá. Optimalizácia podľa štatistických kritérií má za cieľ získať maximálnu pravdepodobnosť P výkonu. Táto pravdepodobnosť sa berie ako objektívna funkcia. Potom máme problém

Štandardizácia riadených a výstupných parametrov. Priestor riadených parametrov je metrický. Preto pri výbere smerov a hodnôt krokov vyhľadávania je potrebné zaviesť jednu alebo druhú normu, ktorá sa identifikuje so vzdialenosťou medzi dvoma bodmi. Ten predpokladá, že všetky kontrolované parametre majú rovnaký rozmer alebo sú bezrozmerné.

možné rôzne cesty prídelový. Ako príklad uveďme metódu logaritmickej normalizácie, ktorej výhodou je prechod od absolútnych prírastkov parametrov k relatívnym. V tomto prípade i-kontrolovaný parameter ui sa prevedie na bezrozmerné хi takto:

kde oi je koeficient, číselne rovný jednej parameter ui.

Normalizáciu výstupných parametrov je možné vykonať pomocou váhových koeficientov, ako v aditívnom kritériu, alebo prechodom z уj na operatívnosť zj podľa (2.5).

Ak chcete nájsť maximum cieľovej funkcie, použite funkciu maximalizácie, ktorej formát je maximalizovať (<функция>, <система ограничений>, <опции>);

V tomto prípade je vhodné špecifikovať podmienku nezápornosti premenných voľbou NENEGATÍVNE.

> optimum: = maximalizovať (f, syst_ogr, NENEGATÍVNE);

Na nahradenie hodnôt premenných použite príkaz subs X 1 a X 2 do funkcie f.

> fmax: = subs (x1 = 83/17, x2 = 19/17, f);

Na vyjadrenie odpovede vo formulári použite funkciu evalf Reálne číslo so 4 platnými číslicami.

> fmax: = evalf (fmax, 4);

S variantom riešenia úlohy LP bez vysvetlenia sa môžete zoznámiť v prílohe.

Riešenie optimalizačných problémov v špecializovanom balíku SimplexWin. Http://www.Simplexwin.Narod.Ru/

Tento program je určený na riešenie problémov lineárneho programovania pomocou simplexnej metódy.

Úloha... Nájdite hodnoty premenných X 1 a X 2 pre ktoré

s obmedzeniami

Zákazka:

Spustite program SimplexWin a výberom príkazu Nastavenia - Veľkosť matice z ponuky (obr. 13) nastavte požadovanú veľkosť matice obmedzení.

Ryža. 13... Určenie veľkosti matice.

Zadajte údaje (obr. 14). Ak úloha nie je zadaná kanonická forma, potom ďalšie premenné a umelé základy(ako aj zodpovedajúce koeficienty účelovej funkcie) sa pridávajú automaticky.

Obr. 14... Zadávanie údajov.

II. Nájdenie optimálneho plánu a optimálnej hodnoty cieľovej funkcie.

Ryža. 15... Výsledky formulára.

Vo formulári Výsledky kliknite na tlačidlo Výsledok, ktoré vám umožní vyriešiť problém v automatický režim a zobrazí posledné simplexný stôl a výsledok (obr. 16).

Ryža. 16... Riešenie problému.

Riešenie problémov s optimalizáciou vExcel

Uvažujme o príklade hľadania nasledujúceho problému lineárneho programovania.

Úloha... Nájdite hodnoty premenných X 1 a X 2 pre ktoré

s obmedzeniami

Zákazka:

I. Registrácia počiatočných údajov.

Vytvorte obrazovkový formulár na zadanie podmienok úlohy (premenné, účelová funkcia, obmedzenia) a zadajte do neho počiatočné údaje (koeficienty účelovej funkcie, koeficienty pre premenné v obmedzeniach, pravé strany obmedzení) (obr. 17 ).

Ryža. 17... Obrazovka úlohy (kurzor v bunke D6).

Komentujte: Vo forme obrazovky na obr. Každá premenná a každý koeficient problému má v Exceli priradenú špecifickú bunku. Takže napríklad bunky B3 ( ), C3 ( ), koeficienty účelovej funkcie zodpovedajú bunkám B6 (
), C6 (
), bunky F10 (
), F11 (
), F12 (
)atď.

Zadajte závislosti od matematický model do formulára obrazovky, t.j. zadajte vzorec na výpočet cieľovej funkcie a vzorec na výpočet hodnôt ľavých strán obmedzení.

Podľa podmienky problému je hodnota účelovej funkcie určená výrazom
... Pomocou označení zodpovedajúcich buniek v Exceli možno vzorec na výpočet účelovej funkcie zapísať ako súčet prác každá z buniek priradených k hodnotám problémových premenných (B3, C3) k zodpovedajúcim bunkám priradeným pre koeficienty cieľovej funkcie (B6, C6).

Ak chcete nastaviť vzorec závislosti pre účelovú funkciu, postupujte takto :

- umiestnite kurzor do bunky D6;

- zavolaj do okna Sprievodca funkciami – Krok 1 z 2 stlačením tlačidla na štandardný panel nástroje;

- v okne Funkcia vyberte funkciu SUMPRODUCT;

- v zobrazenom okne SUMPRODUCT v rade Pole 1 zadajte výraz B $ 3: C $ 3 a v rade Pole 2- výraz B6: C6;

- stlač tlačidlo OK.

Ryža. osemnásť... Zadanie vzorca na výpočet CF v okne Sprievodca funkciou.

Po zadaní buniek do riadkov Pole 1 a Pole 2 v okne SUMPRODUCT objaví sa číselné hodnoty na obrazovke sa objavia zadané polia (obr. 18) a aktuálna hodnota vypočítaná podľa zadaného vzorca, teda 0 (keďže v momente zadania vzorca sú hodnoty problémových premenných nula) forme (obr. 19).

Komentujte: Znak $ pred číslom riadku znamená, že ak skopírujete tento vzorec na iné miesta v excelovom hárku, riadok číslo 3 sa nezmení. Symbol : znamená, že vzorec používa všetky bunky umiestnené medzi bunkami určenými naľavo a napravo od dvojbodky.

Predstavujú ľavé strany problémových obmedzení súčet prác každá z buniek vyhradených pre hodnoty problémových premenných (B3, C3) do zodpovedajúcej bunky vyhradenej pre koeficienty konkrétneho obmedzenia (obmedzenie B10, C10 - 1; obmedzenie B11, C11 - 2; B12, C12 - 3 obmedzenie).

Vzorce, ktoré definujú ľavé strany problémových obmedzení, sa navzájom líšia a líšia sa od vzorca v cieľovej bunke D6 iba číslo riadku v druhom poli. Toto číslo je určené riadkom, v ktorom je obmedzenie napísané vo formulári obrazovky. Preto na nastavenie závislostí pre ľavé časti obmedzenia stačí skopírovať vzorec z cieľovej bunky do buniek na ľavých častiach obmedzení.

Ak chcete vypočítať hodnoty ľavých strán obmedzení, postupujte takto:

- umiestnite kurzor do bunky D6 a skopírujte obsah bunky do schránky (stlačením Ctrl + C);

- umiestnite kurzor jeden po druhom do polí na ľavej strane každého z obmedzení, tj D10 ,D11 , D12 a vložte obsah vyrovnávacej pamäte do týchto polí (pomocou kláves Ctrl + V) (v tomto prípade sa počet buniek v druhom poli vzorca zmení na číslo riadku, do ktorého bolo prilepenie vložené z nárazník).

Po zadaní na obrazovke do polí D10 ,D11 , D12 Zobrazí sa 0 (nulová hodnota) (obr. 19).

Ryža. 19... Obrazovka úlohy po vode

všetky potrebné vzorce.

Skontrolujte, či sú vzorce zadané správne.

Pre to:

- vykonávať jeden po druhom dvojité poklepanieľavým tlačidlom myši na bunky so vzorcami sa na obrazovke zvýraznia bunky použité vo vzorci (obr. 20 a obr. 21).

Ryža. dvadsať

vzorce do cieľovej bunky D6.

Ryža. dvadsať... Kontrola správnosti úvodu

vzorce v bunke D10 pre ľavú stranu obmedzení.

Nastavte funkciu cieľa a zadajte obmedzenia v okne Hľadanie riešenia(obr. 21).

Pre to:

- umiestnite kurzor do bunky D6;

- zavolaj do okna Hľadanie riešenia výberom na paneli nástrojov Dáta – Hľadanie riešenia;

- umiestnite kurzor do poľa Nastaviť cieľovú bunku;

- zadajte adresu cieľovej bunky D $ 6 alebo urobte jedno kliknutie ľavým tlačidlom myši na cieľovú bunku vo formulári obrazovky, čo bude ekvivalentné zadávaniu adresy z klávesnice;

- označte smer optimalizácie funkcie cieľa jedným kliknutím ľavým tlačidlom myši na tlačidlo výberu maximálna hodnota;

- v okne Hľadanie rozhodnutí v teréne Výmena buniek zadajte bunky s premennými hodnotami $ B $ 3: $ C $ 3 ich výberom vo formulári obrazovky podržaním ľavého tlačidla myši;

Ryža. 21... Okno Hľadať riešenie.

- stlač tlačidlo Pridať;

- v súlade so stavom problému vyberte požadovaný znak v poli znaku, napríklad pre 1 obmedzenie je to znak ;

- v teréne Obmedzenie zadajte napríklad adresu bunky pravej strany príslušného obmedzenia $ F $ 10;

- rovnakým spôsobom stanoviť vzťah medzi pravou a ľavou stranou iných obmedzení ( $ D $11$ F $ 11 , $ D $12$ F $ 12) ;

- potvrďte zadanie všetkých uvedených podmienok stlačením tlačidla OK(obr. 22 a obr. 23).

Ryža. 22... Pridanie podmienky.

Komentujte: Ak pri zadávaní problémového stavu bude potrebné zmeniť alebo odstrániť zavedené obmedzenia, môžete to urobiť stlačením tlačidiel Zmeniť alebo Odstrániť.