Mnoho platných čísel ako metrický priestor. Metrické priestory

Doteraz sme hovorili o vzdialenosti, vždy sme implikujú euklidovskú vzdialenosť. Takže vzdialenosť medzi vektormi, ktorú sme definovali ako dĺžka vektora, menovite:

Ale vzdialenosti sa môžu vypočítať odlišne s použitím rôznych dĺžok dĺžky. Napríklad zvážte zjednodušenú mapu mesta vo forme pravouhlej siete s obojstranným pohybom. Potom dostatočné miery dĺžky môže slúžiť najkratšiu vzdialenosť, ktorá musí byť prekonaná, aby sa dostala z jednej križovatky do druhého. Niekedy sa táto vzdialenosť nazýva Manhattan.

Namiesto toho, aby sme obišlite všetky druhy dĺžok, z ktorých väčšina nebudeme potrebovať, budeme teraz zvážiť požiadavky (axiómy), ktoré by mali spĺňať ľubovoľné miery dĺžky. Všetky následné teoremy vzdialenosti budú dokázané v rámci týchto axiómov, to znamená všeobecný. V matematike sa namiesto toho, aby vyjadrila "miera dĺžky" na použitie termín metriky.

Metriky.

Metricky na súpravu X je skutočná funkcia d (x, y), určená na výrobku X a spĺňanie nasledujúcich axiómov:

b) znamená

d) Pre všetky (nerovnosť trojuholníka).

Metrický priestor sa nazýva parná dôkaz, že euklidovská vzdialenosť spĺňa axiómy (A), (b) a (b), trivitálne. Trojuholníková nerovnováha:

ukázali sme sa v bode 3.1 (veta 3.1.2). Euklidovská vzdialenosť je teda metrická, ktorú budeme naďalej volať euklidovskej metrike.

Zvážiť jeden dôležitá trieda Metrické v priestore, menovite trieda -metrické. -Metrity je zovšeobecnenie euklidovskej metriky a zhoduje sa s ním. Pre stanovené P-metrické nasledujúcim spôsobom:

Odídeme bez dôkazov, že táto skutočnosť:

Dôkaz o tom, čo je naozaj metrika, t.j. Uspokojujeme axiómy, ktoré sme tiež vynechali. Čiastočne táto otázka je uvedená v cvičení.

Všimnite si, že pri určovaní metriky sme nevyžadovali, aby prvky X a Y patrili do vesmíru. To nám dáva možnosť určiť súbor x, ako aj jeho prvky x, y, atď. rôzne cesty. Našou úlohou je označiť za akých podmienok fraktálne konštrukcie konverguje. Ak to chcete urobiť, musíte byť schopní merať vzdialenosť medzi kompaktnými súbormi, to znamená, že je potrebné určiť zodpovedajúce metriku.

Teória sady v metrických priestoroch.

Musíme veľký krok A distribuovať teoretické definície doložky 3.1, implikované euklidovou metrikou, na ľubovoľnej metrike. Otvorená guľa v metrickom priestore (X, D) je definovaná nasledovne:

Vzhľadom na (3.4), môžeme ponechať údaje nezmenené nad definíciou týchto konceptov:

Napríklad sada je otvorená sada a len vtedy, ak môžete určiť otvorenú guľu (v zmysle definície (3.4)), ktorá je obsiahnutá v E. Zoznam obsahuje bez zmien, všetky definície okrem kompaktnosti. Prísne definícia kompaktného súboru v ľubovoľnom metrickom priestore je uvedený v reklame. Vzhľadom k tomu, že sa budeme zaujímať najmä o kompaktnosť podmnožiny priestoru, definícia uvedená vyššie (uzavretosť a obmedzenia) zostáva v platnosti.

Ak - metrika na súpravu X a je vzájomne jednoznačná skutočná funkcia, potom

k dispozícii je tiež metrika na X. Axioms (A) a (b) sú zjavne splnené. Uspôsobí Axiom (B), pretože - vzájomne jednoznačná funkcia. Axioma (D) bude zaznamenaná vo forme nerovnosti:

to znamená, že klasická nerovnosť trojuholníka pre reálne čísla. Príkladom metriky uvedeného týmto spôsobom:

Hovorí sa, že dve metriky definované na súbore X sú ekvivalentné, ak môžete špecifikovať tak, že:

Je možné preukázať, že akýkoľvek dvojstérsky tovar vo vesmíre je ekvivalentný (prípad je predložený ex. 3 na konci tohto odseku). Na druhej strane, metriky na súpravu R nie sú ekvivalentné (napr. 4 na konci tohto odseku).

Zdá sa, že hlavným dôsledkom rovnocennosti metrík fraktálnej teórie je skutočnosť, že fraktálny rozmer (kapitola 5) sa udržiava, keď je metrika nahradená ekvivalentom. Okrem toho, ak je súbor otvorená (zatvorená) v jednej metrike, je otvorená (uzavretá) a v akejkoľvek ekvivalentnej metrike. Ďalej, ak je súbor obmedzený v jednej metrike, je obmedzená v akejkoľvek ekvivalentnej metrike. To isté platí pre dokonalé, spojené a úplne diskontinuálne sady.

Konvergencia.

Nech je metrika na set X. Sekvencia bodov metrického priestoru X sa konverguje na limit v metrike D, ak sekvencia čísel konverguje na nulu v obvyklom zmysle, to znamená, ak:

Tu je ekvivalencia metriky vyjadrená v nasledujúcom texte. Ak sú metriky ekvivalentné, potom v mixéri potom a len vtedy, keď sú v -Metrické, pretože.

Modul 2.

Prednáška 17. Funkcia niekoľkých premenných

Oddiel 17.1. N-dimenzionálny priestor

1. Multidimenzionálne priestory

2. Koncepcia vzdialenosti (metriky). Metrický priestor

3. Zásady analýzy klastrov

§ 17.2 Funkcia niekoľkých premenných

1. Funkcia viacnásobných premenných

2. Súkromné \u200b\u200bderiváty

3. dvojité integrálne

4. Polárne súradnice a integrál Euler Poisson

Softvér

Prednáška skúma otázky súvisiace s medzerami rozmerov viac ako dva: zavedenie koncepcie vzdialenosti, pomocou vzdialenosti v analýze klastra, funkcia niekoľkých (v našom prípade - dva) premenné, charakteristiku svojich súkromných derivátov, rovnako ako výpočet oblasti a objemu. Koncepcie funkcie dvoch premenných a dvojité integrálne budú potrebné pri štúdiu náhodných vektorov v teórii pravdepodobnosti. Materiál prednášky je doplnený výpočtom Euler-Poisson Integral - jeden z hlavných v teórii pravdepodobnosti ( neistý integrálny Funkcia GAUSS sa vzťahuje na neoprávnené a v prípade prítomnosti integračných limitov na výpočet takýchto integrálov vyžaduje použitie neremikvitných metód, z ktorých jeden je tu uvedený).

Pred učením prednášky, zopakujte funkciu, derivát, integrálnu funkciu.

Literatúra

B.p.demidovich, V.A. KYDRYAVTSEV " Krátky kurz Vyššia matematika »HEAD XX (§ 1, 2.3.10), kapitola XXIV (§ 1, 2,3,4,7)

Otázky pre sebaovládanie

1. Aký priestor sa nazýva n-dimenzionálny?

2. Aké podmienky by mala byť vzdialenosť uspokojiť?

3. Aký priestor sa nazýva metrický?

4. Aká je analýza klastra?

5. Čo je graf funkcie 2 premenných? Aká je riadok úrovne?

6. Čo je súkromný derivát?

7. Uveďte definíciu dvojitého integrálu. Ako s ním vypočítať oblasť a objem?

8. Nájdite vzdialenosť medzi bodmi A (1,2,3) av (5,1,0) (pomocou rôzne vzdialenosti)

9.NOSTATOČNÝCH RÝCHLOSTI FUNKCIE

z \u003d x + y.

10. Nájdite súkromné \u200b\u200bderiváty

11.NITE Square Obmedzené čiary

12. Vypočítajte

Oddiel 17.1. Koncepcia multidimenzionálneho priestoru

Definícia 17.1.1. N-dimenzionálny priestor.

Ak je v rovine upevnený pravouhlý súradnicový systém, potom existuje vzájomne jednoznačný súlad medzi bodmi roviny a všetkými druhmi párov čísel (x, y) (x a y súradnice). Ak je priestor nastavený podobný systém Súradnice, potom medzi miestami priestoru a ich súradniciach - všetky druhy troch (x, y, z) - existuje aj vzájomne jednoznačné dodržiavanie.

Vzdialenosť (metrická). Metrický priestor

Definícia 17.1.2

Metrický priestor ( M. ,d.) Existuje mnoho bodov m, na námestí, ktorého (to znamená pre ľubovoľný pár bodov m), je nastavená funkcia vzdialenosti (metrická). Je definovaný takto:

Pre všetky body x., y., z. z M. Táto funkcia musí spĺňať tieto podmienky:

Tieto axiómy odrážajú intuitívnu koncepciu vzdialenosti. Napríklad vzdialenosť musí byť nenegatívna a vzdialenosť od x. predtým y. Rovnaké ako od y. predtým x.. Nerovnosť trojuholníka znamená ísť z x. predtým z. môže byť kratší, alebo aspoň nie dlhšie ako spojiť x. predtým y.a potom z y. predtým z..

Najznámejšie nám je euklidovská vzdialenosť. Toto však nie je jediná cesta Jeho úlohy. Napríklad uspokojí vyššie uvedené axiómy takejto vzdialenosti: d (x, y) \u003d 1, Ak x ≠ Y. a d (x, y) \u003d 0, Ak x \u003d y.

V závislosti od špecifických potrieb alebo vlastností priestoru možno zvážiť rôzne metriky.

Zvážte niekoľko príkladov vzdialeností:

Definície 17.1.3.

Euklidovskej vzdialenosti.Zdá sa, že je to najviac všeobecný typ vzdialenosti. Jednoducho je geometrická vzdialenosť v multidimenzionálnom priestore a vypočíta sa takto:

d (x, y) \u003d (i (x i - y i) 2) 1/2

Všimnite si, že euklidovská vzdialenosť (a jej štvorcová) sa vypočíta na zdroji a nie podľa štandardizovaných údajov. na to konvenčný spôsob Jeho výpočty, ktoré majú určité výhody (napríklad vzdialenosť medzi týmito dvoma objektmi, sa nemenia, keď je nový objekt zavedený do analýzy, čo môže byť emisie). Vzdialenosti však môžu dôrazne ovplyvniť rozdiely medzi osami podľa súradníc, z ktorých sa tieto vzdialenosti vypočítajú. Napríklad, ak sa jedna z osí meria v centimetroch, a potom ju preložíte do milimetrov (násobenie hodnôt 10), potom konečnú euklidovskú vzdialenosť (alebo štvorcové euklidovskej vzdialenosti), vypočítané súradnicami, Veľmi sa zmení, a v dôsledku toho sa výsledky klastrovej analýzy môžu byť veľmi odlišné od predchádzajúcich.

Štvorcová euklidovská vzdialenosť. Štandardná euklidská vzdialenosť je zvýšená na námestí, aby sa veľké váhy poskytli viac vzdialených objektov. Táto vzdialenosť sa vypočíta takto (obsahuje aj poznámku o účinku merania jednotiek predchádzajúci odsek.):

d (x, y) \u003d i (x i - y i) 2

Vzdialenosť mestských štvrtí (vzdialenosť Manhattanu).Táto vzdialenosť je jednoducho strednými rozdielmi v súradniciach. Vo väčšine prípadov toto opatrenie vzdialenosti vedie k rovnakým výsledkom konvenčná vzdialenosť Euclidea. Všimnite si však, že pre toto opatrenie, vplyv jednotlivých veľkých rozdielov (emisií) sa znižuje (pretože nie sú zvýšené na námestí). Manhattan Vzdialenosť sa vypočíta podľa vzorca:

d (x, y) \u003d I | X I - Y I |

Vzdialenosť Chebyshev.Táto vzdialenosť môže byť užitočná, keď chcete identifikovať dva objekty ako "iné", ak sa líšia v ktorejkoľvek jednom súradnení (podľa ktoréhokoľvek z jedného rozmeru). Vzdialenosť Chebyshev sa vypočíta podľa vzorca:

d (x, y) \u003d max | x i - y i |

(Max znamená maximum - najväčšie hodnoty všetkých hodnôt rozdielu)

Vzdialenosť napájania.Niekedy sa chcú postupne zvyšovať alebo znížiť hmotnosť týkajúcu sa rozmeru, pre ktorú sú zodpovedajúce objekty veľmi odlišné. Toto je možné dosiahnuť pomocou vzdialenosť. Vzdialenosť napájania sa vypočíta podľa vzorca:

d (x, y) \u003d (i | x i - y i | p) 1 / r

kde r. a p -nastavenia používateľa. Niekoľko príkladov výpočtovej techniky môže ukázať, ako "beh" toto opatrenie. Parameter p. \\ t Zodpovedá za postupné váženie rozdielov na jednotlivých súradniciach, parametri r. zodpovedný za progresívne váženie veľké vzdialenosti Medzi objektmi. Ak sú oba parametre - r. a p. \\ t, Rovnaké ako dve, potom táto vzdialenosť sa zhoduje so vzdialenosťou euklidu.

Formálna definícia

Metrický priestor M. Existuje mnoho bodov z diaľky (tiež volal metrický) d: m časy M MathBB (R) (Kde MathBB (R) Označuje veľa). Pre všetky body x., y., z. z M. Táto funkcia musí spĺňať tieto podmienky:

1. d.(x., y.) ≥ 0
2. d.(x., x.) = 0
3. d.(x., y.) = 0 Leftrightarrow x. = y..
4. d.(x., y.) = d.(y., x.) (symetria)
5. d.(x., z.) ≤ d.(x., y.) + d.(y., z.) ().

Tieto axiómy odrážajú intuitívnu koncepciu vzdialenosti. Napríklad vzdialenosť musí byť pozitívna a vzdialenosť x. predtým y. Rovnaké ako od y. predtým x.. Nerovnosť trojuholníka znamená ísť z x. predtým z. môže byť kratší, alebo aspoň nie dlhšie ako spojiť x. predtým y.a potom z y. predtým z..

Príklady

• Diskrétne metrické: d.(x.,y.) \u003d 0 x.=y., I. d.(x.,y.) \u003d 1 vo všetkých ostatných prípadoch.
• S funkciou vzdialenosti d.(x., y.) = |y. - x.| a sú plné metrické priestory.
• Manhattan alebo mestská metrická: koordinačná rovina, na ktorej je vzdialenosť definovaná ako množstvo vzdialeností medzi súradnicami. Viac spoločný príklad: Každý môže byť zmenený na metriku, definujúcu funkciu vzdialenosti d.(x., y.) = ||y. - x.|| V prípade konečného rozmeru sa to nazýva priestor Minkowski (nenechajte sa zamieňať s iným).
• Akékoľvek pripojené M. Môžete sa zmeniť na metrický priestor definovaním vzdialenosti ako dĺžky chodníkov spájajúcich pár bodov.
• Mnoho vrcholov G. Môže byť premenený na metrický priestor, ktorý určuje vzdialenosť ako minimálny počet okrajov v dráhe spájajúcej vrcholy.
• Mnoho podskupín K.(M.) akýkoľvek metrický priestor M. Môže byť premenený na metrický priestor, určenie vzdialenosti pomocou tzv. V tejto metrike sú dve podmnity blízko seba, ak pre akýkoľvek bod jedného nastavenia nájdete zavrieť bod V inej podskupine. Tu je presná definícia:

D.(X., Y.) \u003d Inf ( r. : pre všetkých x. v X. existuje y. v Y. z d.(x., y.) < r. A pre každého y. v Y. existuje x. v X. také, že d.(x., y.) < r.)}.

• Sada všetkých kompaktných metrických priestorov (s presnosťou na) môže byť zmenená na metrický priestor, ktorý určuje vzdialenosť s pomocou tzv. Metrického Gromovu - Hausdorff.

Súvisiace definície

• Metrický priestor sa nazýva plnýAk niekto konvertuje na určitý prvok tohto priestoru.
• Metriky d. na M. Volané interné, ak sa akékoľvek dva body x. a y. v M. Krive môžete pripojiť s dĺžkou ľubovoľne blízke d.(x., y.).
• Akýkoľvek metrický priestor má prirodzenú, základňu, pre ktorú je súbor otvorené gule. Sady nasledujúceho typu:

B ( x.; r.) = {y. v M. : D ( x.,y.) < r.), kde x. Tam je bod B. M. a r. - pozitívne reálne číslo nazývané polomer lopty. Inými slovami, mnoho O. je otvorená, ak pre akýkoľvek bod x v o Existuje kladné číslo r. , také, že mnohé body na vzdialenosť menej r. z x. patrí O. .

• Dve metriky definujúce tú istú topológiu ekvivalent.
• Topový priestor, ktorý je možné získať týmto spôsobom, sa volá.
• Metrika vo vesmíre ultrametrickýAk splní silná nerovnosť trojuholníka:

Pre všetkých x., y. a z. v M., d.(x., z.) ≤ max ( d.(x., y.), d.(y., z.)).

• Vzdialenosť d.(x.,S.) z bodu x. na podmnožinu S. v M. Stanovený vzorcom:

d.(x.,S.) \u003d Inf ( d.(x.,s.) : s. ∈ S.) Potom d.(x., S.) \u003d 0, len ak x. patrí S..

• Niekedy považujeme metriky s hodnotami. Pre akúkoľvek takúto metriku môžete zvážiť poslednú metriku d."(x., y.) = d.(x., y.) / (1 + d.(x., y.) alebo d.""(x., y.) \u003d min (1, d.(x., y.))))). Tieto metrické priestory majú rovnakú topológiu.

Vlastnosť

• Metrický priestor, ak a len vtedy, ak z akéhokoľvek sekvencie bodov si môžete vybrať konvergenciu následkov.
• Metrický priestor nemusí mať počítateľné, ale vždy uspokojí - má počítaciu základňu v každom bode.
  • Okrem toho každá kompaktná v metrickom priestore má spočítateľnú základňu okolia.
  • Okrem toho, v každom metrickom priestore existuje taká základňa, že každý bod priestoru patrí len do počítanej sady jej prvkov - bodka (Ale táto nehnuteľnosť je slabšia

Jednou z najdôležitejších analytických operácií je limit. Táto operácia je založená na tom, že počet jedného bodu na druhý je určený na numerickej priamej. Mnohé základné fakty pre analýzu nie sú spojené s algebraickou povahou reálnych čísel (t.j., takže tvoriť pole), a sú založené len na koncepte vzdialenosti. Zhrnutie myšlienky reálnych čísel ako súprava, v ktorej sa zavádza vzdialenosť medzi prvkami, dospejeme k konceptu metrického priestoru - jeden z najdôležitejšie koncepty Moderná matematika.

Metrický priestor nazývaný para (X, r), pozostáva z niektorých nasadiť sa (priestor) X prvky (Body) a vzdialenosť I.E. Negatívna platná funkcia r (x, y), pre všetky h. a w. z H. a podriadený nasledujúcim tromi axiómom:

1) r (x, y) \u003d 0 Ak a len vtedy h. = y,

2) r (x, y) \u003d r (y, x) (Symmetry Axiom),

3) r (x, d)≤ r (x, y)+ r (y, d) (trojuholník Axiom).

Samotný metrický priestor, t.j. pár (X, ρ), Určite spravidla jedným listom:

R \u003d (x, ρ).

V prípadoch, keď sú nedorozumenia vylúčené, často označujeme metrický priestor rovnakého symbolu ako "zásoby bodov" X.

Uvádzame príklady metrických priestorov. Niektoré priestory sa hrajú v analýze dôležitá úloha.

1. Uvedenie prvkov ľubovoľného súboru

dostaneme, samozrejme, metrický priestor. To môže byť nazývaný priestor izolovaných bodov.

2. Mnoho platných čísel so vzdialenosťou

ρ (x, y) = | x - W. |

tvorí metrický priestor R. 1 .

3. Mnoho objednaných súborov strhnúť Platné čísla so vzdialenosťou

zavolaný strhnúť- dimenzionálny aritmetický euklidský priestor R. N..

4. Zvážte rovnaký súbor súborov strhnúť Platné čísla, ale vzdialenosť bude určiť vzorec v ňom

Spravodlivosť Axiom 1) -3) je tu zrejmá. Označujú tento symbol metrického priestoru R. N. 1 .

5. Užívajte rovnaký súbor znova ako v príkladoch 3 a 4 a definujeme vzdialenosť medzi jeho prvkami vzorca

JUPUKT AXIOM 1) -3) je zrejmé. Toto je priestor, ktorý označujeme R. N. ¥ Mnohé otázky analýzy nie sú menej vhodné ako euklidovský priestor R. n.

Posledné tri príklady ukazujú, že niekedy je skutočne dôležité mať rôzne označenia pre väčšinu metrického priestoru a na množstvo svojich bodov, pretože rovnaké zásoby bodov sa môžu líšiť rôznymi spôsobmi.

6. najviac Z Všetky nepretržité platné funkcie definované v segmente So vzdialenosťou

tvorí tiež metrický priestor. Axioms1) -3) sa kontrolujú priamo. Tento priestor zohráva veľmi dôležitú úlohu v analýze. Budeme to označiť rovnakým symbolom. Z Ako mnohé body tohto priestoru.

7. Zvážte ako v príklade 6, súhrn všetkých funkcií nepretržitých v segmente Z,ale ja budem definovať vzdialenosť inak, menovite

Takýto metrický priestor budeme označiť Z 2 a volanie priestor pre kontinuálne funkcie s kvadratickou metrikou.