Multiplikačná metódaLagrange(v anglickej literatúre „LaGrangeova metóda neurčených multiplikátorov“) je numerická metóda na riešenie optimalizačných problémov, ktorá vám umožňuje určiť „podmienený“ extrém. objektívna funkcia(minimálna alebo maximálna hodnota)
za prítomnosti špecifikovaných obmedzení jeho premenných vo forme rovnosti (t. j. je určený rozsah prípustných hodnôt)
˗ sú to hodnoty argumentu funkcie (riadené parametre) na skutočnej doméne, v ktorej má hodnota funkcie tendenciu k extrému. Použitie názvu "podmienený" extrém je spôsobené tým, že premenné sú vnútené dodatočná podmienka, ktorý obmedzuje rozsah prijateľných hodnôt pri hľadaní extrému funkcie.
Metóda Lagrangeovho multiplikátora umožňuje problém vyhľadávania podmienený extrém cieľovú funkciu na množine prípustných hodnôt transformovať na problém bez podmienená optimalizácia funkcie.
V prípade funkcií 
a 
sú spojité spolu so svojimi parciálnymi deriváciami, potom existujú také premenné λ, ktoré sa zároveň nerovnajú nule, pre ktoré je splnená podmienka:
V súlade s metódou Lagrangeovho multiplikátora teda na hľadanie extrému účelovej funkcie na množine prípustných hodnôt zostavím Lagrangeovu funkciu L (x, λ), ktorá je ďalej optimalizovaná:
kde λ je vektor ďalších premenných, nazývaných neurčité Lagrangeove multiplikátory.
Problém nájdenia podmieneného extrému funkcie f (x) sa teda zredukoval na problém nájdenia nepodmieneného extrému funkcie L (x, λ).
a 
Nevyhnutná podmienka pre extrém Lagrangeovej funkcie je daná sústavou rovníc (systém pozostáva z rovníc "n + m"):
Riešenie tejto sústavy rovníc umožňuje určiť argumenty funkcie (X), pre ktoré hodnota funkcie L (x, λ), ako aj hodnota účelovej funkcie f (x) zodpovedajú extrém.
Hodnota Lagrangeových multiplikátorov (λ) je praktická, ak sú obmedzenia prezentované vo forme s voľným členom rovnice (konštanta). V tomto prípade je možné ďalej uvažovať (zvýšiť / znížiť) hodnotu účelovej funkcie zmenou hodnoty konštanty v sústave rovníc. Lagrangeov multiplikátor teda charakterizuje rýchlosť zmeny maxima cieľovej funkcie pri zmene limitujúcej konštanty.
Existuje niekoľko spôsobov, ako určiť povahu extrému výslednej funkcie:
Prvý spôsob: Nech sú súradnice extrémneho bodu a - zodpovedajúca hodnota účelovej funkcie. Zoberie sa bod blízko bodu a vypočíta sa hodnota účelovej funkcie:
Ak 
, potom sa v bode uskutoční maximum.
Ak 
, potom je v bode minimum.
Druhý spôsob: Postačujúcou podmienkou, z ktorej možno zistiť povahu extrému, je znak druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie. Je definovaný druhý diferenciál Lagrangeovej funkcie nasledujúcim spôsobom:
Ak v určiť si bod 
minimálne, ak 
, potom má účelová funkcia f (x) v tomto bode podmienku maximálne.
Tretí spôsob: Povahu extrému funkcie možno tiež zistiť uvažovaním Hessiánskej Lagrangeovej funkcie. Hessenská matica je symetrická štvorcovú maticu druhých parciálnych derivácií funkcie v bode, v ktorom sú prvky matice symetrické vzhľadom na hlavnú uhlopriečku.
Na určenie typu extrému (maximum alebo minimum funkcie) môžete použiť Sylvesterovo pravidlo:
1. Aby bol druhý diferenciál Lagrangeovej funkcie kladný 
je potrebné, aby uhlové minory funkcie boli kladné. Za takýchto podmienok má funkcia v tomto bode minimum.
2. Aby bol druhý diferenciál Lagrangeovej funkcie záporný 
, je potrebné, aby sa striedali uhlové minory funkcie a prvý prvok matice musí byť záporný sv. Za takýchto podmienok má funkcia v tomto bode maximum.
Uhlovou minoritou rozumieme minor umiestnenú v prvých k riadkoch a k stĺpcoch pôvodnej matice.
Hlavný praktický význam Lagrangeova metóda spočíva v tom, že vám umožňuje prejsť od podmienenej optimalizácie k bezpodmienečnej a podľa toho rozšíriť arzenál dostupné metódy riešenie problému. Avšak problém riešenia sústavy rovníc, ktorý redukuje túto metódu, v všeobecný prípad nie jednoduchšie pôvodný problém hľadať extrém. Takéto metódy sa nazývajú nepriame. Ich použitie sa vysvetľuje potrebou získať riešenie extrémneho problému v analytickej forme (napríklad pre určité teoretické výpočty). Pri oslovovaní konkrétne praktické úlohy zvyčajne sa používajú priame metódy založené na iteračných procesoch výpočtu a porovnávania hodnôt optimalizovaných funkcií.
Metóda výpočtu
Krok 1: Určte Lagrangeovu funkciu z danej cieľovej funkcie a systému obmedzení:
Vpred
Ak chcete pridať svoj komentár k článku, zaregistrujte sa na stránke.
Veta 1. Nech je bod bodom podmieneného extrému funkcie, keď sú splnené obmedzujúce rovnice (3). Potom sú čísla také, že v bode podmienky
Dôsledok. Dali sme
kde sú čísla uvedené vo vete. Funkcia (8) sa nazýva Lagrangeova funkcia. Ak je bod podmieneným extrémom pre funkciu, potom ide o stacionárny bod pre Lagrangeovu funkciu, t.j. v tomto bode
Dôkaz vety. Nech je bodom podmieneného extrému funkcie a nech je podmienka (4) v tomto bode pre definitívnosť splnená. Potom je bod bodom obvyklého extrému funkcie, teda v bode
odkiaľ, pomocou invariantnosti tvaru prvého diferenciálu, pre bod máme
Dosadením (5) do (3) a diferenciáciou výslednej identity v niektorom okolí bodu, a teda v bode samotnom, dostaneme
Vo vzorci (11), ako aj vo vzorci (10), diferenciály sú diferenciály nezávislých premenných a diferenciály sú diferenciály funkcií.
Nech sú čísla akékoľvek, vynásobením rovnosti (11) v bode funkcie a ich sčítaním spolu s rovnosťou (10) dostaneme
Voľba tak, aby rovnosť platila v bode
Toto je vždy možné, keďže (13) je sústava lineárnych rovníc s determinantom
nerovná sa nule.
S touto voľbou máme
Tu sú všetky diferenciály už diferenciálmi nezávislých premenných, a preto sú samy osebe nezávislými premennými, ktoré môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Ak vezmeme a všetky ostatné diferenciály zahrnuté vo vzorci (14) budú rovné nule, dostaneme
Dokázali sme teda existenciu takých, že sú splnené podmienky (13) a (15), tj. podmienky (7).
Veta je dokázaná.
Algoritmus na nájdenie extrému funkcie metódou Lagrangeových multiplikátorov
Nech je potrebné nájsť extrém funkcie n premenných f (x 1, x 2,…, x n), za predpokladu, že premenné x 1, x 2,…, x n súvisia vzťahmi (obmedzeniami)
medzi ktorými je počet m obmedzení rovnosti menší ako počet n premenných a počet a r obmedzení nerovnosti môže byť ľubovoľný.
Na nájdenie hodnôt (x 1, x 2, ..., x n) = X, ktoré musia dodať extrémy funkcie f (X), môžete použiť metódu nedefinované faktory Lagrange:
- 1. Obmedzenia nerovností g (X) 0 sú redukované na tvar (X) 0, kde (X) = - g (X).
- 2. Získané obmedzenia nerovností
na druhej strane sú redukované na obmedzenia rovnosti zavedením + r dodatočných premenných
Výsledkom je, že problém nájdenia podmieneného extrému nadobudne kanonickú formu:
kde pomer m ++ r< n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X).
3. Lagrangeova funkcia je zostavená:
Ф (x 1,…, xn, 1,…, m ++ r) = f (x 1, x 2,…, xn) + 1 q 1 + 2 q 2 +… + m ++ rq m ++ r ,
v ktorých sa dodatočné premenné (1,…, m ++ r) = nazývajú nedefinované Lagrangeove multiplikátory.
Pre zostavenú Lagrangeovu funkciu môžeme predstavovať problém nájdenia bezpodmienečného extrému
výsledok riešenia, ktorý sa bude zhodovať s požadovaným riešením pôvodného problému hľadania podmieneného extrému.
4. Pre funkciu Ф (Х,) sú zostavené nevyhnutné podmienky pre existenciu extrému:
5. Výsledná sústava rovníc Ф (Х,) = 0 je vyriešená a výsledkom riešenia sú hodnoty
splnenie nevyhnutných podmienok pre existenciu extrému.
6. Na rozhodnutie, či v nájdených bodoch existujú maximá alebo minimá, by sa mali použiť dostatočné podmienky pre existenciu extrémov, ktoré sú pre hladké funkcie Ф () formulované takto:
ak je v určitom bode matica druhých derivácií kladne definitná, potom minimum funkcie f (X) leží v analyzovanom bode;
Používa sa na riešenie problémov s analytickým vyjadrením pre kritérium optimálnosti a za prítomnosti obmedzení nezávislých premenné ako rovnosti. Na získanie analytického riešenia sa vyžaduje, aby obmedzenia mali analytickú formu. Použitie neurčitých Lagrangeových multiplikátorov umožňuje zredukovať problém optimalizácie s obmedzeniami na problém riešený metódami štúdia funkcií klasickej analýzy. V tomto prípade sa poradie systému rovníc riešených na nájdenie extrému optimalizačného kritéria zvýši o počet obmedzení. Metóda je účinná, keď je počet premenných tri alebo menej. Metóda sa používa aj vtedy, keď je počet premenných väčší ako tri, ak je proces opísaný konečnými rovnicami.
Nech je potrebné nájsť extrém funkcie, ktorá závisí od n premenných, ktoré sú zase spojené vzťahmi. Extrém, ktorý funkcia dosiahne, s prihliadnutím na splnenie podmienok, sa nazýva relatívny alebo podmienený. Ak sa počet premenných rovná počtu vzťahov (), neznáme neznáme sa nájdu riešením sústavy rovníc opísanej vzťahmi. Riešenie optimalizačného problému sa redukuje na kontrolu hodnôt premenných na takto nájdenej funkcii. Extrémny problém teda možno vyriešiť jednoduchým vymenovaním premenných, ktoré spĺňajú podmienky.
Ak m< n , potom je možné z obmedzujúcich rovníc nájsť závislosť m premenné z n - m iné premenné, t.j.
Funkciu možno získať dosadením získaných premenných do funkcie. Potom bude záležať len na premenných, ktoré nie sú viazané dodatočnými podmienkami. V dôsledku toho je odstránením obmedzení tiež možné zmenšiť rozmer pôvodného optimalizačného problému. Často nie je možné problém analyticky vyriešiť týmto spôsobom. Preto sa na riešenie problémov hľadania extrému funkcie mnohých premenných zvyčajne používa metóda neurčitých Lagrangeových multiplikátorov.
Zavedením nových premenných, nazývaných neurčité Lagrangeove multiplikátory, je možné zaviesť novú funkciu
tie. funkciu m + n premenných, do ktorých sú integrálnou súčasťou zahrnuté obmedzenia uložené systémom funkcií.
Krajná hodnota funkcie sa zhoduje s extrémnou hodnotou funkcie, ak je splnená obmedzujúca podmienka. Nevyhnutnou podmienkou pre extrém funkcie viacerých premenných je nulová rovnosť diferenciálu tejto funkcie v extrémnom bode, t.j.
Aby tento výraz platil pre akékoľvek hodnoty nezávislých diferenciálov, koeficienty týchto diferenciálov musia byť nulové, čo dáva sústavu rovníc
V tomto prípade sa z podmienky určujú nové nezávislé
Môžu sa získať kombinované systémy (4.3.1) a (4.3.2).
Úloha v tvare (4.3.3) je teda zredukovaná na problém: nájdi
Samostatne je potrebné poznamenať, že vo všeobecnom prípade metóda Lagrangeovho multiplikátora umožňuje nájsť iba nevyhnutné podmienky na existenciu podmieneného extrému pre spojité funkcie so spojitými deriváciami. Avšak od fyzický význam problému, ktorý sa má riešiť, je zvyčajne známe, či hovoríme o maxime alebo minime funkcie, okrem toho je spravidla pri konštrukčných problémoch funkcia na uvažovanom segmente unimodálna. Preto pri konštrukčných problémoch nie je potrebné kontrolovať hodnoty premenných zistených pri riešení uvažovaných systémov rovníc pre extrém pomocou analýzy derivátov vyššieho rádu.
Najprv zvážte prípad funkcie dvoch premenných. Podmienený extrém funkcie $ z = f (x, y) $ v bode $ M_0 (x_0; y_0) $ je extrém tejto funkcie dosiahnutý za podmienky, že premenné $ x $ a $ y $ v okolie tohto bodu spĺňa obmedzujúcu rovnicu $ \ varphi (x, y) = 0 $.
Názov "podmienený" extrém je spojený so skutočnosťou, že na premenné je kladená dodatočná podmienka $ \ varphi (x, y) = 0 $. Ak je možné jednu premennú vyjadriť pomocou druhej z rovnice obmedzenia, potom sa problém určenia podmieneného extrému redukuje na problém obvyklého extrému funkcie jednej premennej. Napríklad, ak $ y = \ psi (x) $ vyplýva z rovnice obmedzenia, potom dosadením $ y = \ psi (x) $ do $ z = f (x, y) $ dostaneme funkciu jednej premennej $ z = f \ vľavo (x, \ psi (x) \ vpravo) $. Vo všeobecnom prípade je však takáto metóda málo použiteľná, preto je potrebné zaviesť nový algoritmus.
Metóda Lagrangeovho multiplikátora pre funkcie dvoch premenných.
Metóda Lagrangeovho multiplikátora spočíva v tom, že na nájdenie podmieneného extrému sa zostaví Lagrangeova funkcia: $ F (x, y) = f (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) $ (parameter $ \ lambda $ sa nazýva Lagrangeov multiplikátor). Nevyhnutné podmienky extrémy sú dané sústavou rovníc, z ktorých sú určené stacionárne body:
$$ \ vľavo \ (\ begin (zarovnané) & \ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné x) = 0; \\ & \ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné y) = 0; \\ & \ varphi (x, y) = 0. \ koniec (zarovnaný) \ vpravo. $$
Postačujúcou podmienkou, z ktorej možno zistiť povahu extrému, je znamienko $ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy ) ^ ("" ) dy ^ 2 $. Ak je v stacionárnom bode $ d ^ 2F> 0 $, potom funkcia $ z = f (x, y) $ má v tomto bode podmienené minimum, ale ak $ d ^ 2F< 0$, то условный максимум.
Existuje ďalší spôsob, ako určiť povahu extrému. Z rovnice obmedzenia získame: $ \ varphi_ (x) ^ (") dx + \ varphi_ (y) ^ (") dy = 0 $, $ dy = - \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx $, preto v akomkoľvek stacionárnom bode máme:
$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = F_ (xx) ^ ( "") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dx \ vľavo (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ vpravo) + F_ (yy) ^ ("") \ vľavo (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ vpravo) ^ 2 = \\ = - \ frac (dx ^ 2) (\ vľavo (\ varphi_ (y) ^ (") \ vpravo) ^ 2) \ cdot \ vľavo (- (\ varphi_ (y) ^ (")) ^ 2 F_ (xx) ^ (" ") +2 \ varphi_ (x) ^ (") \ varphi_ (y) ^ (") F_ (xy) ^ (" ") - (\ varphi_ (x) ^ (")) ^ 2 F_ (yy) ^ ("") \ vpravo) $$
Druhý faktor (umiestnený v zátvorkách) možno znázorniť takto:
Prvky kvalifikátora $ \ left | \ begin (pole) (cc) F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ F_ (xy) ^ ("") & F_ (yy) ^ ("") \ koniec (pole) \ vpravo | $ čo je Hessián Lagrangeovej funkcie. Ak $ H> 0 $, potom $ d ^ 2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, t.j. máme podmienené minimum funkcie $ z = f (x, y) $.
Poznámka k zápisu kvalifikátora $ H $. ukázať skryť
$$ H = - \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ koniec (pole) \ vpravo | $$
V tejto situácii sa pravidlo formulované vyššie zmení takto: ak $ H> 0 $, potom má funkcia podmienené minimum a pre $ H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algoritmus na štúdium funkcie dvoch premenných pre podmienený extrém
- Napíšte Lagrangeovu funkciu $ F (x, y) = f (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) $
- Vyriešte systém $ \ left \ (\ begin (zarovnané) & \ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné x) = 0; \\ & \ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné y) = 0; \\ & \ varphi (x, y) = 0. \ koniec (zarovnaný) \ vpravo. $
- Určte povahu extrému v každom z nájdených v predchádzajúci odsek stacionárne body. Ak to chcete urobiť, použite niektorú z vyššie uvedených metód:
- Vytvorte determinant $ H $ a zistite jeho znamienko
- Berúc do úvahy rovnicu obmedzenia, vypočítajte znamienko $ d ^ 2F $
Metóda Lagrangeovho multiplikátora pre funkcie n premenných
Predpokladajme, že máme funkciu $ n $ premenných $ z = f (x_1, x_2, \ ldots, x_n) $ a $ m $ obmedzujúcich rovníc ($ n> m $):
$$ \ varphi_1 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0; \; \ varphi_2 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0, \ ldots, \ varphi_m (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0. $$
Označením Lagrangeových multiplikátorov ako $ \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_m $ vytvoríme Lagrangeovu funkciu:
$$ F (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_m) = f + \ lambda_1 \ varphi_1 + \ lambda_2 \ varphi_2 + \ ldots + \ lambda_$ \ var
Nevyhnutné podmienky pre prítomnosť podmieneného extrému sú stanovené systémom rovníc, z ktorých sa nachádzajú súradnice stacionárnych bodov a hodnoty Lagrangeových multiplikátorov:
$$ \ vľavo \ (\ začiatok (zarovnané) & \ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné x_i) = 0; (i = \ podčiarknuté (1, n)) \\ & \ varphi_j = 0; (j = \ overline (1, m)) \ koniec (zarovnaný) \ vpravo $$
Ak chcete zistiť, či má podmienené minimum alebo podmienené maximum v nájdenom bode funkciu, je možné, ako predtým, pomocou znaku $ d ^ 2F $. Ak v nájdenom bode $ d ^ 2F> 0 $, potom má funkcia podmienené minimum, ale ak $ d ^ 2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Determinant matice $ \ left | \ begin (pole) (ccccc) \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (1) ^ (2)) & \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (1) \ čiastočné x_ (2) ) & \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (1) \ čiastočné x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (1) \ čiastočné x_ (n)) \\ \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (2) \ čiastočné x_1) & \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (2) ^ (2)) & \ frac (\ čiastočné ^ 2F ) (\ čiastočné x_ (2) \ čiastočné x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (2) \ čiastočné x_ (n)) \\ \ frac (\ čiastočné ^ 2F ) (\ čiastočné x_ (3) \ čiastočné x_ (1)) & \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (3) \ čiastočné x_ (2)) & \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (3) ^ (2)) & \ ldots & \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (3) \ čiastočné x_ (n)) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (n) \ čiastočné x_ (1)) & \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (n) \ čiastočné x_ (2)) & \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (n) \ čiastočné x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ čiastočné ^ 2F) (\ čiastočné x_ (n) ^ (2)) \\ \ koniec ( pole) \ vpravo | $, zvýraznené v matici $ L $ červenou farbou, je Hessián Lagrangeovej funkcie. Používame nasledujúce pravidlo:
- Ak sú znaky uhlových maloletých $ H_ (2m + 1), \; H_ (2m + 2), \ ldots, H_ (m + n) $ matice $ L $ sa zhodujú so znamienkom $ (- 1) ^ m $, potom je študovaný stacionárny bod bodom podmieneného minima funkcie $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.
- Ak sú znaky uhlových maloletých $ H_ (2m + 1), \; H_ (2m + 2), \ ldots, H_ (m + n) $ sa striedajú a vedľajšie znamienko $ H_ (2m + 1) $ sa zhoduje so znamienkom čísla $ (- 1) ^ (m + 1) $ , potom študovaný stacionárny bod je bodom podmieneného maxima funkcie $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.
Príklad #1
Nájdite podmienený extrém funkcie $ z (x, y) = x + 3y $ pod podmienkou $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.
Geometrický výklad tohto problému je nasledovný: je potrebné nájsť najväčšie a najmenšia hodnota aplikuje rovinu $ z = x + 3y $ pre body jej priesečníka s valcom $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.
Vyjadrenie jednej premennej inou z rovnice obmedzenia a jej dosadenie do funkcie $ z (x, y) = x + 3y $ je trochu náročné, preto použijeme Lagrangeovu metódu.
Označením $ \ varphi (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2-10 $ vytvoríme Lagrangeovu funkciu:
$$ F (x, y) = z (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) = x + 3y + \ lambda (x ^ 2 + y ^ 2-10); \\ \ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné x) = 1 + 2 \ lambda x; \ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné y) = 3 + 2 \ lambda y. $$
Napíšme sústavu rovníc na určenie stacionárnych bodov Lagrangeovej funkcie:
$$ \ vľavo \ (\ začiatok (zarovnané) & 1 + 2 \ lambda x = 0; \\ & 3 + 2 \ lambda y = 0; \\ & x ^ 2 + y ^ 2-10 = 0. \ koniec (zarovnané) \ vpravo. $$
Ak predpokladáme $ \ lambda = 0 $, potom prvá rovnica bude: $ 1 = 0 $. Výsledný rozpor hovorí, že $ \ lambda \ neq 0 $. Za podmienky $ \ lambda \ neq 0 $ z prvej a druhej rovnice máme: $ x = - \ frac (1) (2 \ lambda) $, $ y = - \ frac (3) (2 \ lambda) $ . Nahradením získaných hodnôt do tretej rovnice dostaneme:
$$ \ vľavo (- \ frac (1) (2 \ lambda) \ vpravo) ^ 2 + \ vľavo (- \ frac (3) (2 \ lambda) \ vpravo) ^ 2-10 = 0; \\ \ frac (1) (4 \ lambda ^ 2) + \ frac (9) (4 \ lambda ^ 2) = 10; \ lambda ^ 2 = \ frac (1) (4); \ left [\ begin (zarovnané) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2); \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2). \ end (zarovnané) \ vpravo. \\ \ begin (zarovnané) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2); \; x_1 = - \ frac (1) (2 \ lambda_1) = 1; \; y_1 = - \ frac (3) (2 \ lambda_1) = 3; \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2); \; x_2 = - \ frac (1) (2 \ lambda_2) = - 1; \; y_2 = - \ frac (3) (2 \ lambda_2) = - 3. \ koniec (zarovnaný) $$
Systém má teda dve riešenia: $ x_1 = 1; \; y_1 = 3; \; \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $ a $ x_2 = -1; \; y_2 = -3; \; \ lambda_2 = \ frac (1) (2) $. Zistime povahu extrému v každom stacionárnom bode: $ M_1 (1; 3) $ a $ M_2 (-1; -3) $. Za týmto účelom vypočítajte determinant $ H $ v každom z bodov.
$$ \ varphi_ (x) ^ (") = 2x; \; \ varphi_ (y) ^ (") = 2y; \; F_ (xx) ^ ("") = 2 \ lambda; \; F_ (xy) ^ ("") = 0; \; F_ (yy) ^ ("") = 2 \ lambda. \\ H = \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ koniec (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) 0 & 2x & 2y \\ 2x & 2 \ lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2 \ lambda \ koniec (pole) \ vpravo | = 8 \ cdot \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (pole) \ vpravo | $$
V bode $ M_1 (1; 3) $ dostaneme: $ H = 8 \ cdot \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (pole) \ vpravo | = 8 \ cdot \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) 0 & 1 & 3 \\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \ koniec (pole) \ vpravo | = 40> 0 $, takže v bode $ M_1 (1; 3) $ funkcia $ z (x, y) = x + 3y $ má podmienené maximum, $ z _ (\ max) = z (1; 3) = 10 $.
Podobne v bode $ M_2 (-1; -3) $ nájdeme: $ H = 8 \ cdot \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (pole) \ vpravo | = 8 \ cdot \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) 0 & -1 & -3 \\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \ koniec (pole) \ vpravo | = -40 $. Od $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Všimnite si, že namiesto výpočtu hodnoty determinantu $ H $ v každom bode je oveľa pohodlnejšie ho rozšíriť v všeobecný pohľad... Aby sa text nezahltil detailmi, skryjem tento spôsob pod poznámku.
Všeobecný zápis determinantu $ H $. ukázať skryť
$$ H = 8 \ cdot \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ koniec (pole) \ vpravo | = 8 \ cdot \ vľavo (- \ lambda (y ^ 2) - \ lambda (x ^ 2) \ vpravo) = -8 \ lambda \ cdot \ vľavo (y ^ 2 + x ^ 2 \ vpravo). $$
V zásade je už zrejmé, aké znamienko $ H $ má. Keďže žiadny z bodov $ M_1 $ alebo $ M_2 $ sa nezhoduje s pôvodom, potom $ y ^ 2 + x ^ 2> 0 $. Preto je znamienko $ H $ opakom znamienka $ \ lambda $. Môžete a doviesť výpočty až do konca:
$$ \ begin (zarovnané) & H (M_1) = - 8 \ cdot \ vľavo (- \ frac (1) (2) \ vpravo) \ cdot \ vľavo (3 ^ 2 + 1 ^ 2 \ vpravo) = 40; \ \ & H (M_2) = - 8 \ cdot \ frac (1) (2) \ cdot \ vľavo ((- 3) ^ 2 + (- 1) ^ 2 \ vpravo) = - 40. \ koniec (zarovnaný) $$
Otázku charakteru extrému v stacionárnych bodoch $ M_1 (1; 3) $ a $ M_2 (-1; -3) $ je možné vyriešiť bez použitia determinantu $ H $. Nájdite znamienko $ d ^ 2F $ v každom stacionárnom bode:
$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 2 \ lambda \ vľavo ( dx ^ 2 + dy ^ 2 \ vpravo) $$
Všimnite si, že zápis $ dx ^ 2 $ znamená presne $ dx $ umocnené na druhú mocninu, t.j. $ \ vľavo (dx \ vpravo) ^ 2 $. Máme teda: $ dx ^ 2 + dy ^ 2> 0 $, teda pre $ \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $ dostaneme $ d ^ 2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Odpoveď: v bode $ (- 1; -3) $ má funkcia podmienené minimum, $ z _ (\ min) = - 10 $. V bode $ (1; 3) $ má funkcia podmienené maximum, $ z _ (\ max) = 10 $
Príklad č.2
Nájdite podmienený extrém funkcie $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ pod podmienkou $ x + y = 0 $.
Prvý spôsob (Lagrangeova metóda multiplikátora)
Označením $ \ varphi (x, y) = x + y $ skladáme Lagrangeovu funkciu: $ F (x, y) = z (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2 -xy + \ lambda (x + y) $.
$$ \ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné x) = 8x-y + \ lambda; \; \ frac (\ čiastočné F) (\ čiastočné y) = 9 r ^ 2-x + \ lambda. \\ \ vľavo \ (\ začiatok (zarovnané) & 8x-y + \ lambda = 0; \\ & 9 r ^ 2- x + \ lambda = 0; \\ & x + y = 0. \ koniec (zarovnaný) \ vpravo. $$
Po vyriešení systému dostaneme: $ x_1 = 0 $, $ y_1 = 0 $, $ \ lambda_1 = 0 $ a $ x_2 = \ frac (10) (9) $, $ y_2 = - \ frac (10) ( 9) $ , $ \ lambda_2 = -10 $. Máme dva stacionárne body: $ M_1 (0; 0) $ a $ M_2 \ vľavo (\ frac (10) (9); - \ frac (10) (9) \ vpravo) $. Zistime povahu extrému v každom stacionárnom bode pomocou determinantu $ H $.
$$ H = \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ koniec (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18r \ koniec (pole) \ vpravo | = -10-18r $$
V bode $ M_1 (0; 0) $ $ H = -10-18 \ cdot 0 = -10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0 $, preto má funkcia v tomto bode podmienené maximum, $ z _ (\ max) = \ frac (500) (243) $.
Preskúmajme povahu extrému v každom z bodov inou metódou na základe znamienka $ d ^ 2F $:
$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dxdy + 18 rokov ^ 2 $$
Z rovnice obmedzenia $ x + y = 0 $ máme: $ d (x + y) = 0 $, $ dx + dy = 0 $, $ dy = -dx $.
$$ d ^ 2 F = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dx (-dx) + 18y (-dx) ^ 2 = (10 + 18r) dx ^ 2 $$
Pretože $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_1) = 10 dx ^ 2> 0 $, potom $ M_1 (0; 0) $ je bodom podmieneného minima funkcie $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $. Podobne $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_2) = - 10 dx ^ 2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Druhý spôsob
Z rovnice obmedzenia $ x + y = 0 $ dostaneme: $ y = -x $. Dosadením $ y = -x $ do funkcie $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ dostaneme nejakú funkciu premennej $ x $. Označme túto funkciu ako $ u (x) $:
$$ u (x) = z (x, -x) = 3 \ cdot (-x) ^ 3 + 4x ^ 2-x \ cdot (-x) = - 3x ^ 3 + 5x ^ 2. $$
Problém hľadania podmieneného extrému funkcie dvoch premenných sme teda zredukovali na problém určenia extrému funkcie jednej premennej.
$$ u_ (x) ^ (") = - 9x ^ 2 + 10x; \\ -9x ^ 2 + 10x = 0; \; x \ cdot (-9x + 10) = 0; \\ x_1 = 0; \ ; y_1 = -x_1 = 0; \\ x_2 = \ frac (10) (9); \; y_2 = -x_2 = - \ frac (10) (9). $$
Získali sme body $ M_1 (0; 0) $ a $ M_2 \ vľavo (\ frac (10) (9); - \ frac (10) (9) \ vpravo) $. Ďalší výskum je známy z kurzu diferenciálny počet funkcie jednej zmeny. Skúmaním znamienka $ u_ (xx) ^ ("") $ v každom stacionárnom bode alebo kontrolou zmeny znamienka $ u_ (x) ^ (") $ v nájdených bodoch dostaneme rovnaké závery ako pri riešení prvá metóda. Napríklad skontrolujte token $ u_ (xx) ^ ("") $:
$$ u_ (xx) ^ ("") = - 18x + 10; \\ u_ (xx) ^ ("") (M_1) = 10; \; u_ (xx) ^ ("") (M_2) = - 10. $$
Keďže $ u_ (xx) ^ ("") (M_1)> 0 $, potom $ M_1 $ je minimálny bod funkcie $ u (x) $, zatiaľ čo $ u _ (\ min) = u (0) = 0 $... Od $ u_ (xx) ^ ("") (M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Hodnoty funkcie $ u (x) $ za danej podmienky pripojenia sa zhodujú s hodnotami funkcie $ z (x, y) $, t.j. nájdené extrémy funkcie $ u (x) $ sú hľadané podmienené extrémy funkcie $ z (x, y) $.
Odpoveď: v bode $ (0; 0) $ má funkcia podmienené minimum, $ z _ (\ min) = 0 $. V bode $ \ vľavo (\ frac (10) (9); - \ frac (10) (9) \ vpravo) $ má funkcia podmienené maximum, $ z _ (\ max) = \ frac (500) ( 243) $.
Zoberme si ešte jeden príklad, v ktorom je povaha extrému objasnená určením znamienka $ d ^ 2F $.
Príklad č.3
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie $ z = 5xy-4 $, ak sú premenné $ x $ a $ y $ kladné a spĺňajú obmedzujúcu rovnicu $ \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac ( y ^ 2) (2) -1 = 0 $.
Zostavme Lagrangeovu funkciu: $ F = 5xy-4 + \ lambda \ vľavo (\ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 \ vpravo) $. Nájdite stacionárne body Lagrangeovej funkcie:
$$ F_ (x) ^ (") = 5y + \ frac (\ lambda x) (4); \; F_ (y) ^ (") = 5x + \ lambda y. \\ \ vľavo \ (\ begin ( zarovnané) & 5y + \ frac (\ lambda x) (4) = 0; \\ & 5x + \ lambda y = 0; \\ & \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) - 1 = 0; \\ & x> 0; \; y> 0. \ koniec (zarovnaný) \ vpravo. $$
Všetky ďalšie transformácie sa vykonajú s prihliadnutím na $ x> 0; \; y> 0 $ (toto je uvedené vo vyhlásení o probléme). Z druhej rovnice vyjadríme $ \ lambda = - \ frac (5x) (y) $ a nájdenú hodnotu dosadíme do prvej rovnice: $ 5y- \ frac (5x) (y) \ cdot \ frac (x) (4 ) = 0 $ , 4 $ r ^ 2-x ^ 2 = 0 $, $ x = 2 r. $. Dosadením $ x = 2y $ v tretej rovnici dostaneme: $ \ frac (4y ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, $ y ^ 2 = 1 $, $ y = $ 1.
Pretože $ y = 1 $, potom $ x = 2 $, $ \ lambda = -10 $. Charakter extrému v bode $ (2; 1) $ je určený na základe znamienka $ d ^ 2F $.
$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (\ lambda) (4); \; F_ (xy) ^ ("") = 5; \; F_ (yy) ^ ("") = \ lambda. $$
Pretože $ \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, potom:
$$ d \ vľavo (\ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 \ vpravo) = 0; \; d \ vľavo (\ frac (x ^ 2) (8) \ vpravo) + d \ vľavo (\ frac (y ^ 2) (2) \ vpravo) = 0; \; \ frac (x) (4) dx + ydy = 0; \; dy = - \ frac (xdx) (4y). $$
V zásade tu môžete okamžite nahradiť súradnice stacionárneho bodu $ x = 2 $, $ y = 1 $ a parameter $ \ lambda = -10 $, čím získate:
$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (-5) (2); \; F_ (xy) ^ ("") = - 10; \; dy = - \ frac (dx) (2). \\ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ (" ") dy ^ 2 = - \ frac (5) (2) dx ^ 2 + 10dx \ cdot \ vľavo (- \ frac (dx) (2) \ vpravo) -10 \ cdot \ vľavo (- \ frac (dx) (2) \ vpravo) ^ 2 = \\ = - \ frac (5) (2) dx ^ 2-5dx ^ 2- \ frac (5) (2) dx ^ 2 = -10dx ^ 2. $$
V iných problémoch na podmienenom extréme stacionárnych bodov však môže byť niekoľko. V takýchto prípadoch je lepšie reprezentovať $ d ^ 2F $ vo všeobecnej forme a potom nahradiť súradnice každého z nájdených stacionárnych bodov do výsledného výrazu:
$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2 + 10 \ cdot dx \ cdot \ frac (-xdx) (4y) + \ lambda \ cdot \ vľavo (- \ frac (xdx) (4y) \ vpravo) ^ 2 = \\ = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2- \ frac (5x) (2y) dx ^ 2 + \ lambda \ cdot \ frac (x ^ 2dx ^ 2) (16 rokov ^ 2) = \ vľavo (\ frac (\ lambda ) (4) - \ frac (5x) (2y) + \ frac (\ lambda \ cdot x ^ 2) (16 r ^ 2) \ vpravo) \ cdot dx ^ 2 $$
Nahradením $ x = 2 $, $ y = 1 $, $ \ lambda = -10 $ dostaneme:
$$ d ^ 2 F = \ vľavo (\ frac (-10) (4) - \ frac (10) (2) - \ frac (10 \ cdot 4) (16) \ vpravo) \ cdot dx ^ 2 = - 10dx ^ 2. $$
Pretože $ d ^ 2F = -10 \ cdot dx ^ 2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Odpoveď: v bode $ (2; 1) $ má funkcia podmienené maximum, $ z _ (\ max) = 6 $.
V ďalšej časti sa budeme zaoberať aplikáciou Lagrangeovej metódy na funkcie viac premenné.
Uvedenou metódou hľadania bodov možného podmieneného extrému sme porušili symetriu vzhľadom na premenné ym. Niektoré z týchto premenných sme považovali za nezávislé, zvyšok za funkcie týchto premenných. V niektorých prípadoch to vedie ku komplikáciám výpočtov. Lagrange navrhol metódu, ktorá symetrizuje úlohu premenných. Táto časť je venovaná predstaveniu tejto metódy. Rovnosti (13.47) vynásobíme ľubovoľnými (a zatiaľ neurčenými) konštantnými faktormi, pričom rovnosti získané po vynásobení pripočítame člen po člene s rovnosťou (13,46). V dôsledku toho dostaneme nasledujúcu rovnosť:
kde symbol označuje nasledujúcu funkciu:
Ďalej sa táto funkcia bude nazývať Lagrangeova funkcia. Za predpokladu, že funkcie (13.41) spĺňajú podmienky
formulované v predchádzajúcej časti, a že funkcia (13.40) je diferencovateľná, volíme faktory tak, aby rovnosti
To sa určite dá urobiť, pretože rovnosti (13.52) vedú k lineárnemu systému
ktorého determinant (jakobián je nenulový. Na základe rovnosti (13,52) má rovnosť (13,50) tvar
Keďže za vyššie uvedených predpokladov sú premenné nezávislé, z rovnosti (13.53) usudzujeme, že
Pridaním obmedzujúcich podmienok (13.41) do rovníc (13.52) a (13.54) dostaneme sústavu rovníc
na určenie súradníc bodov možného podmieneného extrému a multiplikátorov Xm. V praxi pri implementácii tejto metódy postupujte nasledovne. Lagrangeova funkcia (13.51) je zostavená a pre túto funkciu sú nájdené body možného nepodmieneného extrému. Na odstránenie násobiteľov použite podmienky pripojenia (13.41). Tento spôsob hľadania bodov možného podmieneného extrému je legálny, pretože nás vedie práve k sústave rovníc (13.55). Príklad použitia metódy Lagrangeovho multiplikátora bude zvážený v časti 4.
Hodnota avatarov v psychológii
Hodnota avatarov v psychológii
Ako zdôrazniť písmeno v MS Word
Čo to znamená, ak je avatar osoby
Ako si vytvoriť svoj vlastný Twitter moment