İrrasyonel integral örneklerinin çözümü. Entegrasyon - MT1205: Ekonomistler için Matematiksel Analiz - İşletme Bilişimi

Hesaplayıcı, Rusça ve ücretsiz olarak DETAIL'deki eylemlerin bir açıklaması ile integralleri çözer!

Belirsiz integrallerin çözümü

Bu, çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

Belirli integrallerin çözümü

Bu, çevrimiçi bir hizmettir bir adım:

• İntegrand ifadesini girin (integrand işlevi)
• İntegral için alt limiti tanıtın
• İntegral için bir üst sınır getirin

Çift katlı integrallerin çözümü

• İntegrand ifadesini girin (integrand işlevi)

Uygun Olmayan İntegralleri Çözme

• İntegrand ifadesini girin (integrand işlevi)
• Entegrasyonun üst bölgesini (veya + sonsuz) girin
• Alt entegrasyon bölgesini (veya - sonsuz) tanıtın

Git: Çevrimiçi hizmet "Uygunsuz İntegral" →

Üç katlı integrallerin çözümü

• İntegrand ifadesini girin (integrand işlevi)
• İlk entegrasyon bölgesi için alt ve üst limitleri girin
• İkinci entegrasyon bölgesi için alt ve üst limitleri girin
• Üçüncü entegrasyon bölgesi için alt ve üst limitleri tanıtın

Git: Çevrimiçi hizmet "Üçlü İntegral" →

Bu servis kontrol etmenizi sağlar hesaplamalar doğruluk için

olasılıklar

• Mümkün olan her şey için destek matematiksel fonksiyonlar: sinüs, kosinüs, üstel, tanjant, kotanjant, karekök ve kübik, derece, üstel ve diğerleri.
• Hem belirsiz integraller hem de uygunsuz ve belirli olanlar için girdi örnekleri vardır.
• Girdiğiniz ifadelerdeki hataları düzeltir ve kendi giriş seçeneklerinizi sunar.
• Belirli ve uygun olmayan integrallerin sayısal çözümü (çift ve üçlü integraller dahil).
• Karmaşık sayılar için de destek çeşitli parametreler(integrada sadece entegrasyon değişkenini değil, aynı zamanda diğer değişken parametrelerini de belirtebilirsiniz)

Bu bölümde rasyonel fonksiyonların integral alma yöntemi ele alınacaktır. 7.1. Kısa bilgi rasyonel fonksiyonlar üzerine En basit rasyonel fonksiyon, ti-inci dereceden bir polinomdur, yani, formun bir fonksiyonu burada gerçek sabitler ve a0 Φ 0. A0 = 1 "katsayının azaltılmış olarak adlandırıldığı Qn (x) polinomu. Qn (b) = 0 ise, b gerçek sayısına Qn (z) polinomunun kökü denir. Gerçek katsayılara sahip her bir Qn (x) polinomunun benzersiz bir şekilde p, q olduğu formun gerçek faktörlerine ayrıştırıldığı bilinmektedir. gerçek katsayılar ve ikinci dereceden faktörlerin gerçek kökleri yoktur ve bu nedenle gerçek doğrusal faktörlere ayrıştırılamazlar. Aynı çarpanları (varsa) birleştirerek ve basitlik için Qn (x) polinomunun indirgendiğini varsayarak, çarpanlarına ayırmasını doğal sayılar biçiminde yazabiliriz. Qn (x) polinomunun derecesi n'ye eşit olduğundan, tüm a, / 3, ..., A üslerinin toplamı, tüm ui, ..., q üslerinin iki katına eklenmiş toplamı eşittir n: Polinomun a kökü, a = 1 ise basit veya tek, a> 1 ise çoklu olarak adlandırılır; a sayısına a kökünün çokluğu denir. Aynısı polinomun diğer kökleri için de geçerlidir. Bir rasyonel fonksiyon f (x) veya rasyonel bir kesir, iki polinomun oranıdır ve Pm (x) ve Qn (x) polinomlarının sahip olmadığı varsayılır. Ortak faktörler... Paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçükse, rasyonel bir kesir doğru olarak adlandırılır, yani. mn ise, rasyonel kesire yanlış denir ve bu durumda, polinomları bölme kuralına göre payı paydaya bölmek, bazı polinomların olduğu ve ^^'nin düzenli bir rasyonel kesir olduğu biçimde temsil edilebilir. . Örnek 1. Bir rasyonel kesir, düzensiz bir kesirdir. "Köşe" ile bölerek, Sonuç olarak elde ederiz. Buraya. ve düzenli bir kesir. Tanım. En basit (veya temel) kesirler, aşağıdaki dört türün rasyonel kesirleridir: burada - gerçek sayılar, k, 2'den büyük veya ona eşit bir doğal sayıdır ve x2 + px + q kare üçlü terimin hiçbir reel kökü yoktur, dolayısıyla -2 _2 onun diskriminantıdır.Aşağıdaki teorem cebirde ispatlanmıştır. Teorem 3. Paydası Qn (x) şeklinde olan, gerçek katsayıları olan düzenli bir rasyonel kesir tek yol kuralına göre temel kesirlerin toplamı için Rasyonel fonksiyonların integrali Rasyonel fonksiyonlar hakkında kısa bilgi Elementer kesirlerin integrali Genel dava Entegrasyon irrasyonel fonksiyonlar Birinci Euler'in ikamesi İkinci Euler'in ikamesi Üçüncü Euler'in ikamesi Bu ayrıştırmada - bazıları sıfıra eşit olabilen bazı gerçek sabitler. Bu sabitleri bulmak için, eşitliğin (I) sağ tarafı ortak bir paydaya indirgenir ve daha sonra sol ve sağ tarafların paylarında x'in aynı kuvvetlerindeki katsayılar eşitlenir. Bu sistem verir lineer denklemler, aranan sabitlerin bulunduğu. ... Bu bilinmeyen sabitleri bulma yöntemine yöntem denir. tanımsız katsayılar... Bazen, bilinmeyen sabitleri bulmak için başka bir yöntem uygulamak daha uygundur; bu, payları eşitledikten sonra, x'e göre bazı değerlerin, örneğin, x argümanına atandığı, x'e göre bir kimliğin elde edilmesinden oluşur. köklerin değerleri, bunun sonucunda sabitleri bulmak için denklemler elde edilir. Payda Q „(x)'in yalnızca gerçek basit köklere sahip olması özellikle uygundur. Örnek 2. Rasyonel bir kesri basit kesirlere genişletin Bu kesir düzgündür. Paydayı çarpanlarına ayırırız: Paydanın kökleri gerçek ve farklı olduğundan, o zaman formül (1) temelinde kesrin en basitine ayrışması şu şekilde olacaktır: Bilinmeyenler katsayısı A. 2? , C iki şekilde bulunur. İlk yol. Katsayıları x'in aynı güçlerinde eşitlemek, yani. (serbest terim)'de ve kimliğin sol ve sağ taraflarında, lineer sistem bilinmeyen katsayıları bulmak için denklemler A, B, C: Bu sistemin benzersiz bir çözümü var C İkinci yol. Tek paydanın kökleri stv olarak i 0'da yırtıldığından 2 = 2A elde ederiz, buradan A * 1; r ben 1, -1 * -B alıyoruz, buradan 5 * 1; x ben 2, 2 = 2C elde ederiz. nereden С »1 ve gerekli ayrıştırma formu 3'tür. Basit olmayan kesirleri genişletin, rasyonel kesir 4 A'da duran polinomu faktörlere ayırırız:. Paydanın iki farklı çift kökü vardır: x \ = 0 çokluk 3. Bu nedenle, bu kesrin açılımı daha basit değildir forma sahiptir. Sağ Taraf ortak bir paydaya, bulacağız ya da ilk yolu. Son özdeşliğin sol ve sağ taraflarındaki katsayıları x'in aynı güçlerinde eşitlemek. lineer bir denklem sistemi elde ederiz. Bu sistemin benzersiz bir çözümü vardır ve gerekli genişleme İkinci yöntem olacaktır. Elde edilen özdeşlikte, x = 0 ayarında, 1 a A2 veya A2 = 1 elde ederiz; alan * gay x = -1, -3 i B elde ederiz) veya Bj i -3. A \ ve B) a katsayılarının bulunan değerlerini değiştirirken, kimlik veya x = 0 varsayarak x = -I şeklini alacaktır. = 0, B2 = 0 olduğunu buluruz. Bu nedenle, B \ = 0. Böylece, yine Örnek 4'ü elde ederiz. Rasyonel kesri temel kesirlere genişletin 4 Kesrin paydasının gerçek kökleri yoktur, çünkü x2 + 1 fonksiyonu hiçbir zaman kaybolmaz. gerçek değerler NS. Bu nedenle, en basit kesirlere genişleme, bundan veya elde ettiğimiz forma sahip olmalıdır. Son eşitliğin sol ve sağ taraflarında x'in Sshinak kuvvetlerindeki katsayıları eşitleyerek, bulduğumuz yerden alacağız ve bu nedenle, bazı durumlarda basit kesirlere açılımların hareket ederek daha hızlı ve daha kolay elde edilebileceği belirtilmelidir. başka bir şekilde, belirsiz katsayılar yöntemini kullanmadan. Örneğin, örnek 3'teki kesrin açılımını elde etmek için, Zx2 payında toplama ve çıkarma yapabilir ve aşağıda belirtildiği gibi bölme işlemi yapabilirsiniz. 7.2. Elementer kesirlerin entegrasyonu.Yukarıda bahsedildiği gibi, herhangi bir düzensiz rasyonel kesir, belirli bir polinomun ve düzenli bir rasyonel kesrin (§7) toplamı olarak temsil edilebilir ve bu gösterim benzersizdir. Bir polinomun integrali zor değildir, bu nedenle düzenli rasyonel bir kesrin integralini alma konusunu ele alacağız. Herhangi bir düzenli rasyonel kesir, en basit kesirlerin toplamı olarak gösterilebildiğinden, integrali en basit kesirlerin entegrasyonuna indirgenir. Şimdi bunların entegrasyonu sorununu ele alalım. III. Üçüncü türün en basit kesrinin integralini bulmak için, kare üç terimliden binomun tam karesini seçelim: İkinci terimden beri, onu a2'ye eşitliyoruz, burada ve sonra bir ikame yapıyoruz. Ardından, integralin lineer özelliklerini dikkate alarak şunları buluruz: Örnek 5. İntegrali bulun 4 İntegran üçüncü türün en basit kesridir, çünkü x1 + Ax + 6 kare trinomunun gerçek kökleri yoktur (ayırt edicisi negatif: ve pay birinci dereceden bir polinom içeriyor. Aşağıdaki şekilde: 1) paydada tam bir kare seçiyoruz 2) (burada 3) * odim integrali ile bir ikame yapıyoruz Dördüncü türün en basit kesirinin integralini bulmak için yukarıdaki gibi koyduk. Sonra sağ taraftaki İntegrali elde ederiz, onu A ile gösteririz ve aşağıdaki gibi dönüştürürüz: Sağ taraftaki integrali parçalar halinde, nereden veya nerede ayarlayarak entegre ederiz. Rasyonel fonksiyonların integrali Rasyonel fonksiyonlar hakkında kısa bilgi Basitlerin integrali kesirler Genel durum İrrasyonel fonksiyonların integrali Birinci Euler ikamesi İkinci Euler ikamesi Üçüncü ikame Euler Herhangi bir k = 2, 3, ... için Jk integralini bulmamıza izin veren tekrarlayan formülü elde ettik. Gerçekten de, J \ integrali tablo halindedir: Tekrarlayan formülde ayarlama, A = 3 bilme ve ayarlamayı buluruz, Jj'yi kolayca bulabiliriz, vb. Nihai sonuçta, her yerde t ve a'nın x cinsinden ifadelerini ve p ve q katsayılarını değiştirerek, ilk integral için ifadesini x cinsinden elde ederiz ve verilen sayılar M, LG, s, q. Örnek 8. Neyti integrali “Entegrallenebilir fonksiyon en basit kesir dördüncü türden, kare üç terimlinin diskriminantı negatif olduğundan, yani. dolayısıyla paydanın gerçek kökleri yoktur ve pay 1. dereceden bir polinomdur. 1) Paydadaki tam kareyi seçiyoruz 2) Değiştirmeyi yapıyoruz: İntegral şu ​​şekilde olacak: Tekrarlayan formülde * = 2, a3 = 1. varsayarsak, elimizde olacak ve bu nedenle gerekli integral eşit olacaktır. x değişkenine dönersek, sonunda 7.3'ü elde ederiz. Genel durum Sec sonuçlarından. Bu bölümün 1 ve 2'sinden hemen önemli bir teorem gelir. Teorem! 4. Herhangi bir rasyonel fonksiyonun belirsiz bir integrali her zaman vardır (Kn (x) Φ 0 fraksiyonunun paydasının olduğu aralıklarda) ve sonlu sayıda temel fonksiyon cinsinden ifade edilir, yani, cebirsel bir toplamdır. üyeler yalnızca, rasyonel kesirler, doğal logaritmalar ve arktanjantlarla çarpılabilir. O halde bir kesirli-rasyonel fonksiyonun belirsiz integralini bulmak için şu şekilde hareket edilmelidir: 1) eğer rasyonel kesir yanlışsa, o zaman payı paydaya bölmek öne çıkar. tüm parça, yani bu işlev bir polinom ve bir düzenli rasyonel kesrin toplamı olarak temsil edilir; 2) daha sonra elde edilen doğru kesrin paydası, doğrusal ve ikinci dereceden faktörlerin ürününe ayrıştırılır; 3) bu düzenli kesir, en basit kesirlerin toplamına ayrıştırılır; 4) integralin doğrusallığı ve 2. maddedeki formüller kullanılarak her terimin integralleri ayrı ayrı bulunur. Örnek 7. М integralini bulun Payda üçüncü adımın bir polinomu olduğundan, integral düzensiz bir kesirdir. İçindeki tüm parçayı seçiyoruz: Bu nedenle, sahip olacağız. Düzenli bir kesrin paydası, farklı gerçek köklere sahip phi'ye sahiptir: ve bu nedenle, basit kesirlere genişlemesi, bundan bulduğumuz forma sahiptir. X argümanına paydanın köklerine eşit değerler vererek, bu özdeşlikten şunu buluruz: Bu nedenle, gerekli integral Örnek 8'e eşit olacaktır. iki farklı gerçek kök: x - О çokluğu 1 ve х = 1 çokluğu 3, Bu nedenle, integralin en basit kesirlere genişlemesi şu şekildedir: Bu eşitliğin sağ tarafını ortak bir paydaya getirmek ve her iki tarafı da iptal etmek Bu paydaya göre eşitlik ya da elde ederiz. Bu özdeşliğin sağ ve sol taraflarında x'in katsayılarını aynı güçlerde eşitleriz: Buradan buluruz. Açılımdaki katsayıların bulunan değerlerini değiştirerek, İntegral elde edeceğiz, şunu buluyoruz: Örnek 9. İntegrali bulun 4 Kesrin paydasının gerçek kökleri yoktur. Bu nedenle, integralin en basit kesirlerine açılım, Bu özdeşliğin sol ve sağ taraflarında x'in aynı güçlerinde katsayıları Eşitleme şeklindedir. Verilen örnekte, integral, en basit kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir. basit bir şekilde, yani, kesrin payında, paydadaki binom'u seçiyoruz ve ardından terim terim bölme yapıyoruz: §8. İrrasyonel Fonksiyonların İntegrali Pm ve U2'nin derece gerçek sabitlerin polinomları olduğu formun bir fonksiyonu ve Örnek 1, Fonksiyon z ve y değişkenlerinin rasyonel bir fonksiyonudur, çünkü hem üçüncü dereceden bir polinomun ilişkisini temsil eder ve beşinci dereceden bir polinom ve fonksiyon porsuk değil. Değişkenlerin sırayla x değişkeninin fonksiyonları olması durumunda: o zaman fonksiyon], Örnek fonksiyonların rasyonel fonksiyonu olarak adlandırılır. bir işlev var rasyonel fonksiyon r ve pvdikvlv Çizgisinden 3. Formun bir fonksiyonu x ve radikal y / r1 + 1'in rasyonel bir fonksiyonu değildir, ancak fonksiyonların rasyonel bir fonksiyonudur.Örneklerin gösterdiği gibi, irrasyonel fonksiyonların integralleri her zaman terimlerle ifade edilmez temel fonksiyonlardandır. Örneğin, uygulamalarda sıklıkla bulunan integraller, temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmez; bu integrallere sırasıyla birinci ve ikinci türden eliptik integraller denir. İrrasyonel fonksiyonların entegrasyonunun bazı ikamelerin yardımıyla rasyonel fonksiyonların entegrasyonuna indirgenebileceği durumları ele alalım. 1. R(x,y)'nin x ve y argümanlarının rasyonel bir fonksiyonu olduğu integrali bulmamız gerektiğini varsayalım; m £ 2 - doğal sayı; a, 6, c, d ad - bc> 0 koşulunu sağlayan gerçek sabitlerdir (ad - be = 0 için a ve b katsayıları c ve d katsayılarıyla orantılıdır ve bu nedenle oran x'e bağlı değildir; dolayısıyla , bu durumda integral, entegrasyonu daha önce düşünülen x değişkeninin rasyonel bir fonksiyonu olacaktır). Bu integralde değişkeni ayarlayarak değiştirelim Bu nedenle, x değişkenini yeni değişken cinsinden ifade ediyoruz, elimizde x = - t'nin rasyonel bir fonksiyonu var. Ayrıca, sadeleştirmeden sonra, Bu nedenle, A1 (t)'nin *'nin rasyonel bir işlevi olduğu yerde buluruz, çünkü rasyonel bir işlevin rasyonel işlevi ve rasyonel işlevlerin ürünü rasyonel işlevlerdir. Rasyonel fonksiyonların nasıl entegre edileceğini biliyoruz. O zaman gerekli integral At'a eşit olsun. IVIt integrali 4 integrali * fonksiyonu 'nin rasyonel bir fonksiyonudur. Bu nedenle, t = O zaman rasyonel fonksiyonların İntegrali Rasyonel fonksiyonlar hakkında kısa bilgi Elementer kesirlerin integrali Genel durum İrrasyonel fonksiyonların integrali Birinci Euler ikamesi İkinci Euler ikamesi Üçüncü Euler ikamesi Böylece, Primar 5'i elde ederiz. Fonksiyonun temsil edilebileceği integrali bulun. 1 _ 1_ şeklinde aşağıdakilerin rasyonel bir fonksiyonu olduğu görülebilir: Bunu dikkate alarak koyarız. Sonuç olarak, 2. İntefalik fonksiyonun, içindeki \ / ax2 + bx + c radikalini y ile değiştirecek şekilde olduğu formun intefps'sini düşünün, hem x hem de x argümanlarına göre rasyonel R (x) y) fonksiyonunu elde ederiz. y. Bu integral, Euler'in ikameleri ile başka bir değişkenin rasyonel fonksiyonunun bir integraline indirgenir. 8.1. Euler'in ilk ikamesi Katsayısı a> 0 olsun. Bu nedenle x'i rasyonel bir fonksiyon olarak buluruz ve bu nedenle, belirtilen ikame * aracılığıyla rasyonel olarak ifade edilir. Bu nedenle, Remark'ın bulunduğu yere sahip olacağız. İlk Euler ikamesi şu şekilde de alınabilir. Örnek 6. İntegrali bulun Bu nedenle dx Euler ikamesini elde edeceğiz, Y 8.2'yi gösterin. Euler'in ikinci ikamesi, ax2 + bx + c üç terimlisinin λ] ve x2'nin farklı reel köklerine sahip olmasına izin verin (katsayının herhangi bir işareti olabilir). Bu durumda, o zamandan beri elde ettiğimizi varsayıyoruz, x, dxn y / ax2 + be + c t cinsinden rasyonel olarak ifade edildiğinden, orijinal integral bir rasyonel fonksiyonun integraline indirgenir, yani burada Problem. İlk Euler ikamesini kullanarak, bunun t'nin rasyonel bir fonksiyonu olduğunu gösteriniz. Örnek 7. Neyti integrali dx M fonksiyonu] - x1'in farklı reel kökleri vardır. Bu nedenle, ikinci ikameyi Euler'e uygularız.Buradan, Bulunan kesikleri Given? 8.3 alırız. Euler'in üçüncü alt istasyonu Katsayının c> 0 olmasına izin verin. Değişkeni ayarlayarak değiştirin. Birinci ve ikinci Euler ikamelerinin, integrali rasyonel bir fonksiyonun integraline indirgemek için yeterli olduğuna dikkat edin. Gerçekten de, eğer b2 -4ac> 0 diskriminantı ise, ax + bx + c kare trinomunun kökleri gerçektir ve bu durumda ikinci Euler ikamesi uygulanabilir. Eğer ax2 + bx + c üç terimlinin işareti a katsayısının işaretiyle çakışıyorsa ve üç terim pozitif olması gerektiğinden a> 0. Bu durumda, ilk Euler ikamesi uygulanabilir. Yukarıda belirtilen türdeki integralleri bulmak için, Euler ikamelerinin kullanılması her zaman tavsiye edilmez, çünkü onlar için hedefe daha hızlı yol açan diğer entegrasyon yöntemlerini bulmak mümkündür. Bu integrallerden bazılarını ele alalım. 1. Formun integrallerini bulmak için, inci üç terimlinin karesinden uzun kareyi seçin: nerede Bundan sonra, bir ikame yapın ve a ve P katsayılarının nerede olduğunu bulun. farklı işaretler veya ikisi de pozitiftir. için ve ayrıca a> 0 için ve integral logaritmaya indirgenecektir, diğer yandan, eğer arksinüs ise. NS. imtegrel 4'ü bulun Yani bunun gibi bir şey. varsayarak, Prmmar 9 elde ederiz. Bul. x - ayarlıyoruz, 2'ye sahip olacağız. Formun bir integrali 1. maddeden у integraline aşağıdaki gibi indirgenir. Türevinin () "= 2 olduğunu dikkate alarak, payda seçiyoruz: 4 Payda radikal ifadenin türevini ortaya koyuyoruz. (x, Örnek 9'un sonucunu dikkate alarak, 3 P„ (x)'in polinom n -inci derece olduğu formun integralleri, aşağıdakilerden oluşan tanımsız katsayılar yöntemiyle bulunabilir: Eşitliğin Örnek 10'u tuttuğunu varsayalım. Qn-i ( s) tanımsız katsayılara sahip (n - 1) derecelik bir polinomdur: Bilinmeyen katsayıları bulmak için | (1)'in her iki tarafını da türevini alırız: Sonra eşitliğin sağ tarafı (2), paydaya eşit bir ortak paydaya indirgenir. sol taraf, yani her iki tarafı n dereceli polinomlardır (3)'ün sol ve sağ taraflarında x'in aynı güçlerinde katsayıları eşitleyerek, istenen j4 katsayılarını bulduğumuz n + 1 denklemleri elde ederiz. * (fc = 0,1,2, ..., n Değerlerini (1)'in sağ tarafında yerine koyarak ve + с integralini bularak cevabını elde ederiz. bu integral. Örnek 11. İntegrali Bul Her iki eşitliğin türevini alarak, sağ tarafı ortak bir paydaya getirip onunla her iki tarafı da iptal ederek, özdeşliğini elde ederiz. Katsayıları x'in aynı güçlerinde eşitleyerek, = bulduğumuz bir denklem sistemine ulaşırız.

tanım 1

Tüm ters türevlerin toplanması belirli bir işlev$ y = f (x) $ belirli bir aralıkta tanımlanmış $ y = f (x) $ fonksiyonunun belirsiz integrali olarak adlandırılır. Belirsiz integral $ \ int f (x) dx $ sembolü ile gösterilir.

Yorum Yap

Tanım 2 aşağıdaki gibi yazılabilir:

\ [\ int f (x) dx = F (x) + C. \]

Her irrasyonel fonksiyon, integrali temel fonksiyonlar cinsinden ifade edemez. Bununla birlikte, bu tür integrallerin çoğu, temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilen rasyonel fonksiyonların integrallerine ikame edilerek indirgenebilir.

$ \ int R \ sol (x, x ^ (m / n), ..., x ^ (r / s) \ sağ) dx $;

$ \ int R \ sol (x, \ sol (\ frac (ax + b) (cx + d) \ sağ) ^ (m / n), ..., \ sol (\ frac (ax + b) (cx + d) \ sağ) ^ (r / s) \ sağ) dx $;

$ \ int R \ sol (x, \ sqrt (ax ^ (2) + bx + c) \ sağ) dx $.

ben

$ \ int R \ left (x, x ^ (m / n), ..., x ^ (r / s) \ right) dx $ formunun bir integralini bulurken, aşağıdaki ikameyi yapmanız gerekir:

Bu ikame ile her kesirli derece$ x $ değişkeni, $ t $ değişkeninin tamsayı gücü cinsinden ifade edilir. Sonuç olarak, integral $ t $ değişkeninin rasyonel bir fonksiyonuna dönüştürülür.

örnek 1

Entegrasyon:

\ [\ int \ frak (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1). \]

Çözüm:

$ k = 4 $ $ \ frac (1) (2), \, \, \ frac (3) (4) $ kesirlerinin ortak paydasıdır.

\ \ [\ başlangıç ​​(dizi) (l) (\ int \ frac (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1) = 4 \ int \ frac (t ^ (2)) (t ^ (3) +1) \ cdot t ^ (3) dt = 4 \ int \ frac (t ^ (5)) (t ^ (3) +1) dt = 4 \ int \ sol (t ^ ( 2) - \ frac (t ^ (2)) (t ^ (3) +1) \ sağ) dt = 4 \ int t ^ (2) dt -4 \ int \ frac (t ^ (2)) (t ^ (3) +1) dt = \ frac (4) (3) \ cdot t ^ (3) -) \\ (- \ frac (4) (3) \ cdot \ ln | t ^ (3) +1 | + C) \ bitiş (dizi) \]

\ [\ int \ frac (x ^ (1/2) dx) (x ^ (3/4) +1) = \ frac (4) (3) \ cdot \ sol + C \]

II

$ \ int R \ left (x, \ left (\ frac (ax + b) (cx + d) \ right) ^ (m / n), ..., \ left (\ frac) biçiminde bir integral bulurken (ax + b) (cx + d) \ sağ) ^ (r / s) \ sağ) dx $ aşağıdaki ikame yapılmalıdır:

burada $ k $, $ \ frac (m) (n), ..., \ frac (r) (s) $ kesirlerinin ortak paydasıdır.

Bu ikamenin bir sonucu olarak, integral, $ t $ değişkeninin rasyonel bir fonksiyonuna dönüştürülür.

Örnek 2

Entegrasyon:

\ [\ int \ frac (\ sqrt (x + 4)) (x) dx. \]

Çözüm:

Aşağıdaki ikameyi yapalım:

\ \ [\ int \ frac (\ sqrt (x + 4)) (x) dx = \ int \ frac (t ^ (2)) (t ^ (2) -4) dt = 2 \ int \ sol (1 + \ frac (4) (t ^ (2) -4) \ sağ) dt = 2 \ int dt +8 \ int \ frac (dt) (t ^ (2) -4) = 2t + 2 \ ln \ sol | \ frak (t-2) (t + 2) \ sağ | + C \]

Ters değiştirmeyi yaptıktan sonra nihai sonucu elde ederiz:

\ [\ int \ frac (\ sqrt (x + 4)) (x) dx = 2 \ sqrt (x + 4) +2 \ ln \ sol | \ frac (\ sqrt (x + 4) -2) (\ sqrt (x + 4) +2) \ sağ | + C. \]

III

$ \ int R \ left (x, \ sqrt (ax ^ (2) + bx + c) \ right) dx $ biçiminde bir integral bulunduğunda, Euler ikamesi gerçekleştirilir (üç olası ikameden biri kullanıldı).

Euler'in ilk oyuncu değişikliği

Durum için $ a>

$ \ sqrt (a) $ önüne "+" işaretini alarak şunu elde ederiz:

Örnek 3

Entegrasyon:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) + c)). \]

Çözüm:

Aşağıdaki ikameyi yapalım (durum $ a = 1> 0 $):

\ [\ sqrt (x ^ (2) + c) = -x + t, \, \, x = \ frak (t ^ (2) -c) (2t), \, \, dx = \ frak (t ^ (2) + c) (2t ^ (2)) dt, \, \, \ sqrt (x ^ (2) + c) = - \ frac (t ^ (2) -c) (2t) + t = \ frac (t ^ (2) + c) (2t). \] \ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) + c)) = \ int \ frac (\ frac (t ^) (2) + c) (2t ^ (2)) dt) (\ frac (t ^ (2) + c) (2t)) = \ int \ frac (dt) (t) = \ ln | t | + C \]

Ters değiştirmeyi yaptıktan sonra nihai sonucu elde ederiz:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) + c)) = \ ln | \ sqrt (x ^ (2) + c) + x | + C. \]

Euler'in ikinci oyuncu değişikliği

$ c> 0 $ durumunda, aşağıdaki değişikliği yapmanız gerekir:

$ \ sqrt (c) $ önüne "+" işaretini alarak şunu elde ederiz:

Örnek 4

Entegrasyon:

\ [\ int \ frac ((1- \ sqrt (1 + x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \ sqrt (1 + x + x ^ (2))) dx . \]

Çözüm:

Aşağıdaki ikameyi yapalım:

\ [\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) = xt + 1. \]

\ \ [\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) = xt + 1 = \ frac (t ^ (2) -t + 1) (1-t ^ (2)) \] \

$ \ int \ frac ((1- \ sqrt (1 + x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \ sqrt (1 + x + x ^ (2))) dx = \ int \ frac ((- 2t ^ (2) + t) ^ (2) (1-t) ^ (2) (1-t ^ (2)) (2t ^ (2) -2t + 2)) ( (1-t ^ (2)) ^ (2) (2t-1) ^ (2) (t ^ (2) -t + 1) (1-t ^ (2)) ^ (2)) dt = \ int \ frac (t ^ (2)) (1-t ^ (2)) dt = -2t + \ ln \ left | \ frac (1 + t) (1-t) \ right | + C $ son sonuç:

\ [\ başlangıç ​​(dizi) (l) (\ int \ frac ((1- \ sqrt (1 + x + x ^ (2))) ^ (2)) (x ^ (2) \ sqrt (1 + x) + x ^ (2))) dx = -2 \ cdot \ frak (\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) -1) (x) + \ ln \ sol | \ frak (x + \ sqrt ( 1 + x + x ^ (2)) -1) (x- \ sqrt (1 + x + x ^ (2)) +1) \ sağ | + C = -2 \ cdot \ frac (\ sqrt (1 + x + x ^ (2)) -1) (x) +) \\ (+ \ ln \ sol | 2x + 2 \ sqrt (1 + x + x ^ (2)) +1 \ sağ | + C) \ bitiş (dizi) \]

Euler'in üçüncü oyuncu değişikliği

Mutluluğu hatırla okul yılları... Matematik derslerinin öncüleri, kökleri incelemeye başlayarak, öncelikle karekök ile tanışmışlardır. Biz hadi bunları gidelim aynı yol.

örnek 1

belirsiz integrali bulun

İntegrayı analiz ederek, tablo integrallerine hiç benzemediği üzücü bir sonuca varırsınız. Şimdi, tüm bu iyilik payda olsaydı, basit olurdu. Yoksa altta kök olmazdı. Veya bir polinom. Hiçbiri kesirleri integral alma yöntemleri sen de yardım etme. Ne yapalım?

Temel karar verme irrasyonel integrallerİntegranttaki TÜM köklerden bizi kurtaracak değişken bir değişikliktir.

Bu değiştirmenin biraz tuhaf olduğunu, teknik uygulamasının derste tartışılan "klasik" değiştirme yönteminden farklı olduğunu unutmayın. Belirsiz integralde yer değiştirme yöntemi.

V bu örnek değiştirmek gerekiyor x = T 2, yani kökün altındaki "x" yerine T 2. Değiştirme neden tam olarak böyle? Çünkü ve değiştirme sonucunda kök ortadan kalkacaktır.

Sahip olduğumuz karekök yerine integralde olsaydı, değiştirme işlemini gerçekleştirirdik. Ben orada olsaydım, onlar yaparlardı vb.

Tamam, bizimki dönüşecek. Polinom ne olur? Zorluk yok: eğer öyleyse .

Diferansiyelin neye dönüşeceği görülmeye devam ediyor. Bu şu şekilde yapılır:

Yerimizi alıyoruz ve her iki parçaya da diferansiyeller asıyoruz:

(mümkün olduğunca ayrıntılı yazacağız).

Çözüm şöyle görünmelidir:

.

Değiştirelim: .

.

(1) Değiştirmeyi, değişiklikten sonra yaparız (nasıl, ne ve nerede, zaten düşünülmüştür).

(2) Sabiti integralden çıkarın. Pay ve paydayı azaltın T.

(3) Elde edilen integral tablo şeklindedir, bir kare seçerek integrale hazırlıyoruz.

(4) Formülü kullanarak tablo üzerinde entegre ediyoruz

.

(5) Ters değiştirme işlemini gerçekleştiririz. Nasıl yapılır? Neden dans ettiğimizi hatırlıyoruz: eğer öyleyse.

Örnek 2

belirsiz integrali bulun

Bu bir örnek bağımsız karar. Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.

Her nasılsa, Örnek 1, 2'de tek diferansiyelli "çıplak" bir pay var. Durumu düzeltelim.

Örnek 3

belirsiz integrali bulun

İntegrandın ön analizi yine kolay bir yol olmadığını gösteriyor. Bu nedenle, kökten kurtulmanız gerekir.

Değiştirelim:.

Başına kök altındaki TÜM ifadeyi belirtin... Önceki örneklerden değiştirme burada uygun değildir (daha doğrusu yapılabilir, ancak bizi kökten kurtarmaz).

Her iki parçaya da diferansiyeller ekliyoruz:

Pay ile sıralanır. Payda ile ne yapmalı?

Değiştirmemizi alıyoruz ve ondan ifade ediyoruz:.

Eğer öyleyse.

(1) Oyuncu değişikliğini, yapılan oyuncu değişikliğine göre gerçekleştiririz.

(2) Payın taranması. Sabiti integral işaretinin dışına koymamayı tercih ettim (bunu bu şekilde yapabilirsiniz, bu bir hata olmayacaktır)

(3) Payı miktara genişletiriz. Bir kez daha, dersin ilk paragrafını okumanızı şiddetle tavsiye ediyoruz. Bazı kesirlerin integrali... İrrasyonel integrallerde payın bir toplama genişletilmesiyle ilgili pek çok hile olacaktır, bu tekniği çalışmak çok önemlidir.

(4) Pay terimini paydaya bölün.

(5) Belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz. İkinci integralde, tablo üzerinden sonraki entegrasyon için bir kare seçiyoruz.

(6) Masa üzerinden entegre ediyoruz. İlk integral oldukça basittir, ikincisinde yüksek logaritmanın tablo formülünü kullanıyoruz. .

(7) Ters değiştirme işlemini gerçekleştiririz. Bir değiştirme yaptıysak, o zaman geri:.

Örnek 4

belirsiz integrali bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir, önceki örnekler üzerinde dikkatli bir şekilde çalışmadıysanız, bir hata yapın! Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Birkaç ile integraller aynısı gibi kökler

Vesaire. Ve eğer integralde kökler varsa ne yapmalı çeşitli?

Örnek 5

belirsiz integrali bulun

İşte çıplak pay sahipleri için geri ödeme geliyor. Böyle bir integralle karşılaşıldığında, genellikle korkutucu hale gelir. Ancak korkular boşuna, uygun bir değiştirme yaptıktan sonra integrand daha basit hale geliyor. Buradaki zorluk, TÜM köklerden bir kerede kurtulmak için başarılı bir değiştirme yapmaktır.

Farklı kökler verildiğinde, belirli bir çözüm şemasına bağlı kalmak uygundur.

İlk önce, integrantı bir taslağa yazıyoruz ve tüm kökleri şu şekilde temsil ediyoruz:

ilgileneceğiz paydalar derece:

Bir değişkenin irrasyonel işlevi, sonlu sayıda toplama, çıkarma, çarpma (bir tamsayıya yükseltme), bölme ve kök çıkarma işlemlerini kullanarak değişken ve keyfi sabitlerden oluşturulan bir işlevdir. Bir irrasyonel fonksiyon, rasyonel bir fonksiyondan farklıdır, çünkü irrasyonel fonksiyon kök çıkarma işlemlerini içerir.

Üç ana irrasyonel fonksiyon türü vardır, belirsiz integraller rasyonel fonksiyonların integrallerine indirgenirler. Bunlar, lineer kesirli bir fonksiyondan keyfi tamsayı derecelerinin köklerini içeren integrallerdir (kökler farklı derecelerde olabilir, ancak aynı lineer-fraksiyonel fonksiyondan); diferansiyel binomun integralleri ve kare üç terimlinin karekökü olan integraller.

Önemli Not. Kökler belirsiz!

Kök içeren integralleri hesaplarken, integral değişkeninin bazı fonksiyonlarının olduğu formun ifadeleriyle sıklıkla karşılaşılır. Şu akılda tutulmalıdır. Yani, t> için 0, |t | = t... saat< 0, |t | = - t. Bu nedenle, bu tür integralleri hesaplarken, t> durumlarını ayrı ayrı dikkate almak gerekir. 0 ve t< 0 ... Bu, işaretler yazarak veya gerektiğinde yapılabilir. Üstteki işaretin t> durumuna işaret ettiğini varsayarsak 0 , ve alt olanı - t durumuna< 0 ... Daha fazla dönüşüm üzerine, bu işaretler kural olarak birbirini iptal eder.

İntegrant ve entegrasyon sonucunun şu şekilde değerlendirilebileceği ikinci yaklaşım da mümkündür. karmaşık fonksiyonlar karmaşık değişkenler üzerinde O zaman radikal ifadelerde işaretleri takip edemezsiniz. Bu yaklaşım, integralin analitik olması, yani karmaşık bir değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonu olması durumunda uygulanabilir. Bu durumda hem integrali hem de integrali çok değerli fonksiyonlardır. Bu nedenle, entegrasyondan sonra, sayısal değerleri değiştirirken, integralin tek değerli bir dalını (Riemann yüzeyi) seçmek ve bunun için entegrasyon sonucunun karşılık gelen dalını seçmek gerekir.

Kesirli Doğrusal Mantıksızlık

Bunlar aynı lineer kesirli fonksiyonun köklerine sahip integrallerdir:
,
burada R bir rasyonel fonksiyondur, rasyonel sayılardır, m 1, n 1, ..., m s, n s tam sayılardır, α, β, γ, δ gerçek sayılardır.
Bu tür integraller rasyonelin integraline indirgenir. fonksiyon ikamesi:
, burada n, r 1, ..., r s sayılarının ortak paydasıdır.

Kökler mutlaka lineer bir kesirli fonksiyondan olmayabilir, aynı zamanda lineer bir fonksiyondan da olabilir (γ = 0, δ = 1) veya integrasyon değişkeni x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

İşte bu tür integrallere örnekler:
, .

Diferansiyel binomların integralleri

Diferansiyel binomların integralleri:
,
burada m, n, p rasyonel sayılar, a, b gerçek sayılardır.
Bu tür integraller üç durumda rasyonel fonksiyonların integrallerine indirgenir.

1) p bir tam sayı ise. x = t N ikamesi, burada N, m ve n kesirlerinin ortak paydasıdır.
2) Eğer - bütün. a x n + b = t M ikamesi, burada M, p'nin paydasıdır.
3) Eğer - bütün. a + b x - n = t M ikamesi, burada M, p'nin paydasıdır.

Diğer durumlarda, bu tür integraller temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmez.

Bazen bu tür integraller, indirgeme formülleri kullanılarak basitleştirilebilir:
;
.

Bir kare üç terimlinin karekökünü içeren integraller

Bu tür integraller şu şekildedir:
,
burada R rasyonel bir fonksiyondur. Bu tür integrallerin her biri için birkaç çözüm yöntemi vardır.
1) Dönüşümlerin yardımıyla daha basit integrallere yol açar.
2) Trigonometrik veya hiperbolik ikameler uygulayın.
3) Euler ikamelerini uygulayın.

Bu yöntemlere daha yakından bakalım.

1) İntegrandın dönüşümü

Formülü uygulayarak ve cebirsel dönüşümler gerçekleştirerek, integrali forma getiriyoruz:
,
burada φ (x), ω (x) rasyonel fonksiyonlardır.

İ harfini yaz

Formun integrali:
,
burada P n (x), n dereceli bir polinomdur.

Bu tür integraller, özdeşliği kullanan tanımsız katsayılar yöntemiyle bulunur:

.
Bu denklemi farklılaştırarak ve sol ve sağ tarafları eşitleyerek, A i katsayılarını buluruz.

II tipi

Formun integrali:
,
burada P m (x), m dereceli bir polinomdur.

ikame t = (x - α) -1 bu integral önceki türe indirgenir. m ≥ n ise, kesrin tamamı seçilmelidir.

III tipi

Burada ikameyi yapıyoruz:
.
O zaman integral şu ​​şekli alacaktır:
.
Ayrıca, α, β sabitleri, paydadaki t'deki katsayılar yok olacak şekilde seçilmelidir:
B = 0, B1 = 0.
Daha sonra integral, iki tür integralin toplamına ayrışır:
,
,
ikamelerle entegre edilenler:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Trigonometrik ve hiperbolik ikameler

Formun integralleri için, > 0 ,
üç ana ikamemiz var:
;
;
;

integraller için, > 0 ,
aşağıdaki ikamelere sahibiz:
;
;
;

Ve son olarak, integraller için, > 0 ,
ikameler aşağıdaki gibidir:
;
;
;

3) Euler ikameleri

Ayrıca integraller, üç Euler ikamesinden birinin rasyonel fonksiyonlarının integrallerine indirgenebilir:
, a> 0 için;
, c> 0 için;
burada x 1, a x 2 + b x + c = 0 denkleminin köküdür. Bu denklemin gerçek kökleri varsa.

eliptik integraller

Sonuç olarak, formun integrallerini düşünün:
,
burada R rasyonel bir fonksiyondur. Bu tür integrallere eliptik denir. V Genel görünüm temel işlevler cinsinden ifade edilmezler. Ancak, A, B, C, D, E katsayıları arasında, bu tür integrallerin temel fonksiyonlar cinsinden ifade edildiği ilişkiler olduğu durumlar vardır.

Aşağıda dönüş polinomları ile ilgili bir örnek verilmiştir. Bu tür integrallerin hesaplanması, ikameler kullanılarak gerçekleştirilir:
.

Örnek

İntegrali hesaplayın:
.

Çözüm

Bir ikame yaparız.

.
Burada, x> için 0 (u> 0 ) üstteki ′ + ′ işaretini alıyoruz. x için< 0 (sen< 0 ) - daha düşük ' - '.

.

Cevap

Referanslar:
N.M. Günter, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, "Lan", 2003.