oof işlevini bulun. Ters trigonometrik fonksiyonların alanı. Kesirli üslü bir güç fonksiyonunun alanı

İşlev y = f (x), x değişkeninin her kabul edilebilir değeri, y değişkeninin tek bir değerine karşılık geldiğinde, y değişkeninin x değişkenine böyle bir bağımlılığıdır.

İşlevin kapsamı D (f), x değişkeninin tüm kabul edilebilir değerlerinin kümesidir.

fonksiyon aralığı E (f), y değişkeninin tüm kabul edilebilir değerlerinin kümesidir.

fonksiyon grafiği y = f (x), düzlem üzerinde verilen koordinatları sağlayan noktalar kümesidir. fonksiyonel bağımlılık, yani M (x; f (x)) biçimindeki noktalar. Bir fonksiyonun grafiği, bir düzlemde belirli bir çizgidir.

b = 0 ise, fonksiyon y = kx şeklini alacak ve çağrılacaktır. doğrudan orantılılık.

D (f): R'de x \; \ enspace E (f): R'de y \

Takvim doğrusal fonksiyon- Düz.

y = kx + b düz çizgisinin k eğimi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

k = tg \ alpha, burada \ alpha düz çizginin Ox ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısıdır.

1) Fonksiyon, k> 0 için monoton olarak artar.

Örneğin: y = x + 1

2) Fonksiyon k olarak monoton olarak azalır< 0 .

Örneğin: y = -x + 1

3) k = 0 ise, b keyfi değerler vererek, Ox eksenine paralel bir düz çizgi ailesi elde ederiz.

Örneğin: y = -1

ters orantı

ters orantı formun bir fonksiyonu denir y = \ frak (k) (x), burada k sıfırdan farklı bir gerçek sayıdır

D (f): x \ in \ sol \ (R / x \ neq 0 \ sağ \); \: E (f): y \ in \ sol \ (R / y \ neq 0 \ sağ \).

fonksiyon grafiği y = \ frak (k) (x) bir hiperboldür.

1) k> 0 ise, fonksiyonun grafiği koordinat düzleminin birinci ve üçüncü çeyreğinde yer alacaktır.

Örneğin: y = \ frak (1) (x)

2) Eğer k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Örneğin: y = - \ frak (1) (x)

Güç fonksiyonu

Güç fonksiyonu y = x ^ n biçiminde bir fonksiyondur, burada n sıfırdan farklı bir gerçek sayıdır

1) n = 2 ise y = x ^ 2. D (f): R'de x \; \: E (f): y \ içinde; T = 2 \ pi fonksiyonunun ana periyodu

var olduğunu öğrendik x- işlevin verildiği formülün anlamlı olduğu bir küme. Matematiksel analizde, bu küme genellikle şu şekilde gösterilir: NS (fonksiyon alanı ). Sırayla, birçok Y olarak belirtilir E (fonksiyon aralığı ) ve burada NS ve E denilen alt kümeler r(setler gerçek sayılar).

Bir fonksiyon bir formül tarafından verilirse, o zaman, özel çekincelerin yokluğunda, tanımının alanı, bu formülün anlamlı olduğu en büyük kümedir, yani gerçek sonuca götüren en büyük argüman değerleri kümesidir. fonksiyonun değerleri ... Başka bir deyişle, "fonksiyonun üzerinde çalıştığı" bağımsız değişken değerleri kümesi.

İçin Genel kanı henüz formülü olmayan örnek. İşlev, ilişki çiftleri olarak belirtilir:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Bu fonksiyonun tanım alanını bulun.

Cevap. Çiftlerin ilk elemanı bir değişkendir. x... Fonksiyon tanımında çiftlerin ikinci elemanları da verilir - değişkenin değerleri y, o zaman işlev yalnızca karşılık gelen x değerleri için anlamlıdır. kesin anlam oyun. Yani, bu çiftlerin tüm X'lerini artan sırada alıyoruz ve onlardan fonksiyonun tanım alanını alıyoruz:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Aynı mantık, işlev bir formülle belirtilirse çalışır. Formüle belirli x değerleri yerleştirilerek sadece çiftlerdeki ikinci elemanlar (yani oyunun değerleri) elde edilir. Ancak, fonksiyonun tanım kümesini bulmak için, tüm X'ler ve Oyunlar üzerinde yineleme yapmamıza gerek yoktur.

Örnek 0.ψ eşittir fonksiyonunun tanım alanı nasıl bulunur kare kök x eksi beşten (radikal ifade x eksi beş) ()? Sadece eşitsizliği çözmeniz gerekiyor

x - 5 ≥ 0 ,

almamız için gerçek değer igameka, radikal ifade sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmalıdır. Çözümü elde ederiz: fonksiyonun alanı - tüm x değerleri beşten büyük veya beşe eşittir (veya x, beş dahil ila artı sonsuza kadar olan aralığa aittir).

Yukarıdaki çizimde sayısal eksenin bir parçası var. Üzerinde, dikkate alınan fonksiyonun tanım alanı gölgelenir, "artı" yönünde gölgelendirme, eksenin kendisi ile birlikte süresiz olarak devam eder.

kullanıyorsanız bilgisayar programları girilen verilere dayanarak, bir tür cevap veren, girilen verilerin bazı değerleri için programın bir hata mesajı oluşturduğunu, yani bu tür verilerle cevabın hesaplanamayacağını fark edebilirsiniz. Cevabı hesaplama ifadesi oldukça karmaşıksa veya bazı dar konularla ilgiliyse, böyle bir mesaj programın yazarları tarafından sağlanır. konu alanı, veya programlama dilinin yazarları tarafından sağlanır, örneğin genel olarak kabul edilen normlara gelirse, örneğin sıfıra bölünemez.

Ancak her iki durumda da, ifadenin bazı veri değerleri için anlamlı olmaması nedeniyle cevap (bazı ifadelerin değeri) hesaplanamaz.

Bir örnek (henüz matematiksel değil): Program ayın adını yıldaki ay sayısına göre gösteriyorsa, "15" girdiğinizde bir hata mesajı alırsınız.

Çoğu zaman, hesaplanmış bir ifade aslında bir fonksiyondur. Bu nedenle, bu tür geçersiz veri değerleri dahil değildir. fonksiyon alanı ... Ve serbest hesaplamalarda, fonksiyonun tanım kümesini temsil etmek de aynı derecede önemlidir. Örneğin, fonksiyon olan bir formül kullanarak bir ürünün bazı parametrelerini hesaplarsınız. Girdideki argümanın bazı değerleri için çıktıda hiçbir şey alamazsınız.

sabit etki alanı

Sabit (sabit) tanımlı herhangi bir gerçek değer için x r gerçek sayılar. Şu şekilde yazılabilir: bu fonksiyonun tanım kümesi tam sayı doğrusudur] - ∞; + ∞ [.

Örnek 1. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun y = 2 .

Çözüm. Fonksiyonun tanım alanı belirtilmemiştir, bu da yukarıdaki tanımdan dolayı doğal tanım alanını kastettiğimiz anlamına gelir. İfade F(x) = 2, herhangi bir gerçek değer için tanımlanır x, bu nedenle, bu fonksiyon tüm sette tanımlanır r gerçek sayılar.

Bu nedenle, yukarıdaki çizimde, sayı doğrusu eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar tüm uzunluk boyunca gölgelenmiştir.

Kök kapsamı n-inci derece

Fonksiyonun formül tarafından verildiği durumda ve n- doğal sayı:

Örnek 2. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. Tanımdan da anlaşılacağı gibi, kök eşit derece radikal ifade negatif değilse, yani - 1 ≤ ise anlamlıdır x≤ 1. Bu nedenle, bu fonksiyonun etki alanı [- 1; 1] .

Yukarıdaki çizimde sayı doğrusunda taralı alan bu fonksiyonun tanım alanıdır.

Güç fonksiyonu alanı

Tamsayı üslü bir güç fonksiyonunun etki alanı

Eğer a- pozitif, o zaman fonksiyonun tanım kümesi tüm gerçek sayıların kümesidir, yani] - ∞; + ∞ [;

Eğer a- negatif, o zaman fonksiyonun tanım kümesidir] - ∞; 0 [∪] 0; + ∞ [, yani sıfır hariç tüm sayı doğrusu.

Yukarıdan ilgili çizimde, tüm sayı doğrusu gölgelenmiştir ve sıfıra karşılık gelen nokta delinmiştir (fonksiyon tanımının alanına dahil değildir).

Örnek 3. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. İlk terim, x'in 3'e eşit bir tamsayıdır ve ikinci terimdeki x'in derecesi bir olarak temsil edilebilir - ayrıca bir tamsayı. Bu nedenle, bu fonksiyonun tanım kümesi tam sayı doğrusudur, yani] - ∞; + ∞ [.

Kesirli üslü bir güç fonksiyonunun alanı

Fonksiyonun formülle verildiği durumda:

eğer - pozitif ise, fonksiyonun etki alanı 0 kümesidir; + ∞ [.

Örnek 4. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. Fonksiyon ifadesindeki her iki terim de pozitif kesirli üslü kuvvet fonksiyonlarıdır. Sonuç olarak, bu fonksiyonun tanım kümesi - ∞; + ∞ [.

Üstel ve logaritmik fonksiyonların alanı

Üstel fonksiyonun etki alanı

Bir fonksiyonun bir formülle verilmesi durumunda, fonksiyonun tanım kümesi tam sayı doğrusudur, yani] - ∞; + ∞ [.

Logaritmik fonksiyonun etki alanı

Logaritmik işlev, argümanının pozitif olması koşuluyla tanımlanır, yani tanımının etki alanı kümedir] 0; + ∞ [.

İşlevin kapsamını kendiniz bulun ve ardından çözümü görün

trigonometrik fonksiyonların alanı

fonksiyon kapsamı y= çünkü ( x) aynı zamanda kümedir r gerçek sayılar.

fonksiyon kapsamı y= tg ( x) - bir çok r sayılar dışındaki gerçek sayılar .

fonksiyon kapsamı y= ctg ( x) - bir çok r sayılar dışındaki gerçek sayılar.

Örnek 8. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. Harici fonksiyon- ondalık logaritma ve genel olarak logaritmik fonksiyonun tanım alanının koşulları, tanımının alanı için geçerlidir. Yani, argümanı olumlu olmalı. Buradaki argüman x sinüstür. Bir daire içinde hayali bir pusulayı çevirdiğimizde, koşulun günah olduğunu görüyoruz. x> 0, "x" sıfır, "pi", iki, "pi" ile çarpıldığında ve genellikle "pi" ve herhangi bir çift veya tek tam sayının çarpımına eşit olduğunda ihlal edilir.

Böylece, bu fonksiyonun tanım kümesi şu ifadeyle verilir:

,

nerede k- Bir tam sayı.

Ters trigonometrik fonksiyonların alanı

fonksiyon kapsamı y= arksin ( x) - set [-1; 1] .

fonksiyon kapsamı y= arccos ( x) - ayrıca [-1; 1] .

fonksiyon kapsamı y= arktg ( x) - bir çok r gerçek sayılar.

fonksiyon kapsamı y= arkctg ( x) aynı zamanda kümedir r gerçek sayılar.

Örnek 9. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. Eşitsizliği çözelim:

Böylece, bu fonksiyonun tanım alanını elde ederiz - segment [- 4; 4] .

Örnek 10. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. İki eşitsizliği çözelim:

Birinci eşitsizliğin çözümü:

İkinci eşitsizliğin çözümü:

Böylece, bu fonksiyonun tanım alanını elde ederiz - bir segment.

Kesir tanımlama alanı

Fonksiyon, değişkenin kesrin paydasında olduğu bir kesirli ifade ile verilmişse, fonksiyonun tanım kümesidir. r gerçek sayılar hariç x kesrin paydasının kaybolduğu yer.

Örnek 11. Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun .

Çözüm. Kesrin paydasının eşitliğini sıfıra çözerek, bu fonksiyonun tanım alanını buluruz - küme] - ∞; - 2 [∪] - 2; + ∞ [.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, tanımlama için kullanılabilecek veriler anlamına gelir. belirli bir kişi ya da onunla iletişim.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir istek bıraktığınızda, toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• tarafımızdan toplanmıştır kişisel bilgi sizinle iletişime geçmemizi ve rapor vermemizi sağlar benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer tanıtım etkinliğine katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara ifşa edilmesi

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, mahkeme kararına, mahkeme işlemlerinde ve / veya kamudan gelen talep veya taleplere dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz. önemli vakalar.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri uygun üçüncü tarafa - yasal halef - aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik kurallarını getiriyoruz ve gizlilik önlemlerinin uygulanmasını titizlikle izliyoruz.

Tanım
İşlev y = f (x) yasaya (kural, eşleme) denir, buna göre, X kümesinin her bir x öğesi, Y kümesinin bir ve yalnızca bir y öğesiyle ilişkilidir.

X kümesi denir fonksiyon kapsamı.
y öğeleri kümesi ∈ Y X kümesinde ön görüntüleri olana denir fonksiyon değerleri seti(veya Aralık).

İhtisas fonksiyonlar bazen denir birçok tanım veya birçok görev fonksiyonlar.

eleman x ∈ X arandı fonksiyon argümanı veya bağımsız değişken.
y öğesi ∈ Y arandı fonksiyon değeri veya bağımlı değişken.

f eşlemesinin kendisine denir fonksiyon karakteristiği.

Bir f özelliği, tanım kümesinden iki eleman varsa, eşit değerler: , sonra .

Karakteristik sembolü, fonksiyon değeri elemanı sembolü ile aynı olabilir. Yani, şöyle yazabilirsiniz:. Unutulmamalıdır ki y, fonksiyonun değer kümesinden bir elemandır ve bu, y elemanının x elemanı ile ilişkilendirildiği kuraldır.

Bir fonksiyonun kendisini hesaplama süreci üç adımdan oluşur. İlk adımda X kümesinden bir x elemanı seçiyoruz. Ayrıca, kural kullanılarak, Y kümesinin bir elemanı x elemanına atanır. Üçüncü adımda, bu eleman y değişkenine atanır.

Fonksiyonun özel değeri bağımsız değişkeninin seçilen (özel) değerindeki işlevin değerini çağırın.

f fonksiyonunun grafiğiçiftler kümesi denir.

karmaşık fonksiyonlar

Tanım
Fonksiyonlar ve verilmiş olsun. Ayrıca, f fonksiyonunun tanım alanı, g fonksiyonunun bir dizi değerini içerir. O halde g fonksiyonunun tanım kümesindeki her t elemanı bir x elemanına ve bu x y'ye karşılık gelir. Bu yazışma denir karmaşık fonksiyon: .

Karmaşık bir fonksiyon da denir fonksiyonların bileşimi veya süperpozisyonu ve bazen şöyle gösterilir:.

Matematiksel analizde, bir fonksiyonun karakteristiği bir harf veya sembol ile gösteriliyorsa, aynı yazışmayı oluşturduğu genel olarak kabul edilir. Bununla birlikte, diğer disiplinlerde, bir özelliği olan, ancak farklı argümanları olan eşlemelerin farklı kabul edildiğine göre başka bir gösterim yolu vardır. Yani, eşlemeler ve farklı olarak kabul edilir. Fizikten bir örnek verelim. Momentumun koordinata bağımlılığını düşündüğümüzü varsayalım. Ve koordinatın zamana bağımlılığını alalım. O halde momentumun zamana bağımlılığı karmaşık bir fonksiyondur. Ancak kısa olması için aşağıdaki gibi belirlenmiştir: Bu yaklaşımla ve - bu çeşitli fonksiyonlar... NS aynı değerler verebilecekleri argümanlar Farklı anlamlar... Matematikte bu atama kabul edilmez. Bir azalma gerekiyorsa, girmelisiniz yeni karakteristik... Örneğin . O zaman açıkça görülüyor ve farklı işlevler.

Geçerli işlevler

Fonksiyonun alanı ve değerlerinin kümesi herhangi bir küme olabilir.
Örneğin, sayısal diziler, tanım alanı doğal sayılar kümesi olan ve değerler kümesi gerçek veya Karışık sayılar.
Çapraz çarpım da bir fonksiyondur, çünkü iki vektör için ve sadece bir vektör değeri vardır. Burada tanım alanı, tüm olası vektör çiftlerinin kümesidir. Bir değerler kümesi, tüm vektörlerin kümesidir.
Boole ifadesi bir fonksiyondur. Kapsamı, gerçek sayılar kümesidir (veya "0" öğesiyle karşılaştırma işleminin tanımlandığı herhangi bir küme). Değer kümesi iki öğeden oluşur - "doğru" ve "yanlış".

Sayısal fonksiyonlar matematiksel analizde önemli bir rol oynar.

sayısal işlev değerleri gerçek veya karmaşık sayılar olan bir fonksiyondur.

Gerçek veya gerçek işlev değerleri reel sayı olan bir fonksiyondur.

maksimum ve minimum

Gerçek sayıların bir karşılaştırma operatörü vardır. Bu nedenle, gerçek fonksiyonun değer kümesi sınırlandırılabilir ve en büyük ve en büyük değere sahip olabilir. en küçük değer.

Gerçek fonksiyon denir yukarıda sınırlı (aşağıda) aşağıdaki eşitsizliğin tümü için geçerli olacak şekilde bir M sayısı varsa:
.

Sayısal işlev denir sınırlı herkes için öyle bir M sayısı varsa:
.

Maksimum M (minimum m) f fonksiyonu, bazı kümelerde X'e, argümanının bir değeri için fonksiyonun değeri denir;
.

Üst kenar veya kesin üst sınır Gerçek, üst sınırlanmış bir işlev, değerlerinin aralığını yukarıdan sınırlayan sayıların en küçüğüdür. Yani, böyle bir sayıdır s, herkes için ve herkes için böyle bir argüman vardır, işlevin değeri s ′:'yi aşar.
Bir fonksiyonun üst sınırı aşağıdaki gibi gösterilebilir:
.

Yukarıdan sınırsız fonksiyonun üst sınırı

Alt kenar veya tam alt sınır Gerçek, alt sınırlı bir işleve, değerlerinin aralığını aşağıdan sınırlayan sayıların en büyüğü denir. Yani, böyle bir i sayısıdır, bunun için, herkes için ve herkes için, işlev değeri i'den küçük olan böyle bir argüman vardır ′:.
Bir fonksiyonun alt sınırı aşağıdaki gibi gösterilebilir:
.

Aşağıdan sınırsız bir fonksiyonun alt sınırı sonsuzdaki noktadır.

Bu nedenle, boş olmayan bir X kümesindeki herhangi bir gerçek fonksiyonun üst ve alt sınırları vardır. Ancak her fonksiyonun bir maksimumu ve bir minimumu yoktur.

Örnek olarak, açık bir aralıkta ayarlanmış bir işlevi düşünün.
Bu aralıkta yukarıdan değerle sınırlıdır. 1 ve altında - değer 0 :
hepsi için .
Bu işlevin üst ve alt kenarları vardır:
.
Ama maksimumu ve minimumu yoktur.

Aynı fonksiyonu bir doğru parçası üzerinde düşünürsek, o zaman bu kümede alt ve üst sınırlanır, üst ve alt kenarları vardır ve maksimum ve minimum değerleri vardır:
hepsi için ;
;
.

monoton fonksiyonlar

Artan ve azalan fonksiyonların tanımları
Fonksiyonun bir X reel sayı kümesinde tanımlanmasına izin verin. fonksiyon denir kesinlikle artıyor (kesinlikle azalıyor)
.
fonksiyon denir azalmayan (artmayan) herkes için eşitsizlik geçerliyse:
.

Monoton bir fonksiyonun tanımı
fonksiyon denir monoton azalan veya artmayan ise.

çok değerli fonksiyonlar

Çok değerli bir fonksiyon örneği. Dalları farklı renklerle işaretlenmiştir. Her dal bir fonksiyondur.

Fonksiyonun tanımından aşağıdaki gibi, tanım alanından her bir x elemanı, değerler kümesinden yalnızca bir elemana atanır. Ancak, x öğesinin birden fazla veya sonsuz sayı Görüntüler.

Örnek olarak, işlevi düşünün ark sinüs:. fonksiyonun tersidir sinüs ve denklemden belirlenir:
(1) .
Aralığa ait bağımsız değişken x'in belirli bir değeri için, sonsuz sayıda y değeri bu denklemi sağlar (şekle bakın).

Denklem (1)'in çözümlerine bir kısıtlama getirelim. İzin vermek
(2) .
Bu koşul altında, denklem (1)'in yalnızca bir çözümü verilen bir değere karşılık gelir. Yani, (2) koşuluna bağlı olarak (1) denklemi ile tanımlanan yazışma bir fonksiyondur.

Koşul (2) yerine, formun başka herhangi bir koşulunu uygulayabilirsiniz:
(2.n) ,
burada n bir tamsayıdır. Sonuç olarak, n'nin her değeri için diğerlerinden farklı olan kendi fonksiyonumuzu elde ederiz. Birçok benzer işlev çok değerli fonksiyon... Ve (2.n) koşulunda (1)'den belirlenen fonksiyon şudur: dal çok değerli fonksiyon.

Bu, belirli bir kümede tanımlanmış bir işlevler topluluğudur.

Çok değerli işlev dalıçok değerli işleve dahil edilen işlevlerden biridir.

benzersiz işlev bir fonksiyondur.

Referanslar:
O.I. iblisler. Matematiksel analiz üzerine dersler. Bölüm 1. Moskova, 2004.
L.D. Kudryavtsev. İyi matematiksel analiz... Cilt 1.Moskova, 2003.
SANTİMETRE. Nikolski. Matematiksel analiz kursu. Cilt 1.Moskova, 1983.

Önce bulmayı öğrenelim fonksiyonların toplamının tanım alanı... Böyle bir işlevin, toplamı oluşturan tüm işlevlerin anlamlı olduğu değişkenin tüm bu değerleri için anlamlı olduğu açıktır. Bu nedenle, aşağıdaki ifadenin geçerliliği konusunda hiçbir şüphe yoktur:

f fonksiyonu f 1, f 2,…, fn n fonksiyonunun toplamı ise, yani f fonksiyonu y = f 1 (x) + f 2 (x) +… + fn (x) formülüyle verilir. ), o zaman f fonksiyonunun alanı, f 1, f 2,…, fn fonksiyonlarının tanım alanlarının kesişimidir. olarak yazalım.

Sonuncusu gibi, içinde yazılı demek istediğimiz kayıtları kullanmaya devam etmeyi kabul edelim. küme parantezi veya herhangi bir koşulun aynı anda yerine getirilmesi. Kullanışlı ve sistemlerin anlamını oldukça doğal bir şekilde yansıtıyor.

Örnek.

Size bir y = x 7 + x + 5 + tgx işlevi verildi ve onun tanım alanını bulmanız gerekiyor.

Çözüm.

f işlevi, dört işlevin toplamı ile temsil edilir: f 1 - üs 7'ye sahip bir güç işlevi, f 2 - üs 1'e sahip bir güç işlevi, f 3 - kalıcı işlev ve f 4 teğet fonksiyonlardır.

Temel temel işlevlerin tanım alanları tablosuna baktığımızda, D (f 1) = (- ∞, + ∞), D (f 2) = (- ∞, + ∞), D (f 3) = olduğunu görüyoruz. (- ∞, + ∞) ve teğetin tanım alanı, sayılar hariç tüm gerçek sayıların kümesidir. .

f fonksiyonunun tanım kümesi, f 1, f 2, f 3 ve f 4 fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişimidir. Bunun sayılar hariç tüm gerçek sayıların kümesi olduğu oldukça açıktır. .

Cevap:

dışındaki tüm gerçek sayıların kümesi .

Bulmaya devam etmek fonksiyonların çarpımının tanım alanları... Bu durumda, benzer bir kural geçerlidir:

f fonksiyonu f 1, f 2, ..., f n fonksiyonlarının çarpımı ise, yani f fonksiyonu formülle verilir. y = f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), o zaman f fonksiyonunun tanım kümesi, f 1, f 2,…, f n fonksiyonlarının tanım alanlarının kesişimidir. Yani, .

Anlaşılabilir, belirtilen alanda ürünün tüm fonksiyonları ve dolayısıyla f fonksiyonunun kendisi tanımlanır.

Örnek.

Y = 3 arktgx lnx.

Çözüm.

Fonksiyonu tanımlayan formülün sağ tarafının yapısı f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) olarak düşünülebilir, burada f 1 sabit bir fonksiyondur, f 2 arktanjant fonksiyondur ve f 3, tabanı e olan bir logaritmik fonksiyondur.

D (f 1) = (- ∞, + ∞), D (f 2) = (- ∞, + ∞) ve D (f 3) = (0, + ∞) olduğunu biliyoruz. Sonra .

Cevap:

y = 3 fonksiyonunun tanım kümesi · arctgx · lnx tüm gerçek pozitif sayıların kümesidir.

C'nin bir gerçek sayı olduğu y = C · f (x) formülüyle verilen fonksiyonun tanım alanını bulmak üzerinde ayrı ayrı duralım. Bu fonksiyonun tanım kümesi ile f fonksiyonunun tanım kümesinin çakıştığını göstermek kolaydır. Gerçekten de, y = C f (x) fonksiyonu, sabit bir fonksiyon ile bir f fonksiyonunun çarpımıdır. Sabit bir fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayıların kümesidir ve f fonksiyonunun tanım kümesi D(f)'dir. O halde y = C f(x) fonksiyonunun tanım kümesi , gösterilmesi gerekiyordu.

Dolayısıyla, y = f (x) ve y = C · f (x) işlevlerinin tanım alanları, burada C bir gerçek sayıdır, çakışır. Örneğin, kökün tanım alanı şudur, D (f)'nin f 2 fonksiyonunun alanından tüm x'lerin kümesi olduğu ve bunun için f 2 (x)'in fonksiyonun alanına dahil edildiği anlaşılır. f 1.

Böylece, karmaşık fonksiyon alanı y = f 1 (f 2 (x)) iki kümenin kesişimidir: x∈D (f 2) olacak şekilde tüm x'lerin kümesi ve f 2 (x) ∈D ( f1) ... Yani, gösterimimizde (bu aslında bir eşitsizlikler sistemidir).

Birkaç örnekle çözümlere bir göz atalım. Bu süreçte, bu makalenin kapsamı dışında olduğu için ayrıntılı olarak açıklamayacağız.

Örnek.

y = lnx 2 fonksiyonunun tanım kümesini bulun.

Çözüm.

orijinal işlev y = f 1 (f 2 (x)) olarak temsil edilebilir, burada f 1 e tabanlı logaritmadır ve f 2 üs 2 ile bir güç fonksiyonudur.

Temel temel fonksiyonların iyi bilinen tanım alanlarına dönersek, D (f 1) = (0, + ∞) ve D (f 2) = (- ∞, + ∞) var.

Sonra

Böylece ihtiyacımız olan fonksiyonun tanım alanını bulduk, sıfır hariç tüm reel sayıların kümesidir.

Cevap:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Örnek.

işlevin kapsamı nedir ?

Çözüm.

bu fonksiyon karmaşık, y = f 1 (f 2 (x)) olarak görülebilir, burada f 1 üslü bir güç fonksiyonudur ve f 2 bir arksinüs fonksiyonudur ve tanım alanını bulmamız gerekir.

Bakalım neler biliyoruz: D (f 1) = (0, + ∞) ve D (f 2) = [- 1, 1]. x∈D (f 2) ve f 2 (x) ∈D (f 1) olacak şekilde x değer kümelerinin kesişimini bulmak için kalır:

arcsinx> 0 için arksinüs fonksiyonunun özelliklerini geri çağırın. Yay sinüsü tüm [-1, 1] alanı üzerinde artar ve x = 0'da kaybolur, bu nedenle (0, 1] aralığındaki herhangi bir x için arcsinx> 0 olur.

Sisteme geri dönelim:

Bu nedenle, fonksiyonun gerekli tanım alanı bir yarım aralıktır (0, 1].

Cevap:

(0, 1] .

Şimdi karmaşık fonksiyonlara geçelim Genel görünüm y = f 1 (f 2 (… f n (x)))). Bu durumda f fonksiyonunun tanım kümesi şu şekilde bulunur: .

Örnek.

Bir fonksiyonun etki alanını bulun .

Çözüm.

verilen karmaşık fonksiyon y = f 1 (f 2 (f 3 (x))), burada f 1 - sin, f 2 - dördüncü kökün işlevi, f 3 - lg olarak yazılabilir.

D (f 1) = (- ∞, + ∞), D (f 2) =) olduğunu biliyoruz.