İrrasyonel fonksiyonların integrallerinin hesaplayıcısı. İrrasyonel fonksiyonların integralleri

Kesirlerin ve köklerin integrallerini düşünmeye devam ediyoruz. Hepsi çok karmaşık değil, sadece bir nedenden ötürü, örnekler diğer makalelerde biraz “konu dışı” idi.

Örnek 9

belirsiz integrali bulun

Kökün altındaki paydada, kök "ek" dışında "x" şeklinde bir kare üç terimli artı vardır. Bu formun bir integrali standart bir ikame kullanılarak çözülür.

.

Değiştirme basittir:

Değiştirdikten sonra hayata bakmak:

(1) İkame işleminden sonra, kök altındaki terimleri ortak bir paydaya indirgeriz.

(2) Kökün altından çıkarırız.

(3) Pay ve paydayı azaltıyoruz. Aynı zamanda, kök altında terimleri yeniden düzenledik. uygun sipariş. Biraz deneyimle, (1), (2) adımları, yorumlanan eylemler sözlü olarak gerçekleştirilerek atlanabilir.

(4) Elde edilen integral, hatırladığınız gibi çözüldü tam kare seçim yöntemi. Tam bir kare seçin.

(5) Entegrasyon ile sıradan bir "uzun" logaritma elde ederiz.

(6) Ters değiştirme işlemini gerçekleştiririz. Başlangıçta , sonra geri: .

(7) Son eylem, sonucu birleştirmeye yöneliktir: kökün altında, terimleri tekrar ortak bir paydaya getirir ve onları kökün altından çıkarırız.

Örnek 10

belirsiz integrali bulun

.

Bu bir örnek bağımsız karar. Burada, yalnız x'e bir sabit eklenir ve değiştirme hemen hemen aynıdır:

.

Gerekli olan tek şey, gerçekleştirilen değiştirmeden "x" i ek olarak ifade etmektir:

.

Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.

Bazen böyle bir integralde kökün altında bir kare binom olabilir, bu çözümün çözülme şeklini değiştirmez, hatta daha da basit olacaktır. Farkı Hisset:

Örnek 11

belirsiz integrali bulun

Örnek 12

belirsiz integrali bulun

Kısa Çözümler ve dersin sonunda cevaplar. Örnek 11'in tam olarak binom integrali, çözümü derste düşünüldü gelen integraller irrasyonel fonksiyonlar .

Derecedeki paydada ayrıştırılamayan 2. dereceden bir polinomun integrali

Daha nadir, ancak yine de toplantı pratik örnekler integral türü.

Örnek 13

belirsiz integrali bulun

İntegrandın paydası, ayrıştırılamaz bir kare binom içerir. Faktörlere ayrıştırılamazlığın temel bir özellik olduğunu vurguluyoruz. Polinom çarpanlara ayrılırsa, her şey çok daha açıktır, örneğin:

13 numaralı uğurlu örneğe geri dönelim. Bu integral aynı zamanda nasıl çözüleceğini bilmiyorsanız çok zorlanabileceğiniz bir integraldir.

Çözüm yapay bir dönüşümle başlar:

Sanırım herkes payın payda terim terim terime nasıl bölüneceğini zaten anlamıştır.

Ortaya çıkan integral kısımlar halinde alınır:

Formun bir integrali için

nerede ( k≥ 2) türetilmiş bir doğal sayıdır tekrarlayan düşürme formülü:

; derecesi 1'den küçük olan bir integraldir.

Payda ek bir polinom varsa ne olur? Bu durumda, yöntem kullanılır belirsiz katsayılar, ve integral kesirlerin toplamına genişler. Böyle bir integral meydana gelirse, ders kitabına bakın - orada her şey basittir.

tanım 1

Tüm ilkellerin toplanması verilen fonksiyon Belirli bir aralıkta tanımlanan $y=f(x)$, verilen $y=f(x)$ fonksiyonunun belirsiz integrali olarak adlandırılır. Belirsiz integral $\int f(x)dx $ sembolü ile gösterilir.

Yorum

Tanım 2 aşağıdaki gibi yazılabilir:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Her irrasyonel fonksiyon, integrali temel fonksiyonlar cinsinden ifade edemez. Bununla birlikte, bu integrallerin çoğu, temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilen rasyonel fonksiyonların integrallerine ikame edilerek indirgenebilir.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \sağ)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \sağ)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \sağ)^(r/s) \sağ)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \sağ)dx $.

ben

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ formunun bir integralini bulurken, aşağıdaki ikame yapılmalıdır:

Bu ikame ile her kesirli derece$x$ değişkeni, $t$ değişkeninin tamsayı gücü cinsinden ifade edilir. Sonuç olarak, integral şuna dönüşür: rasyonel fonksiyon$t$ değişkeninden.

örnek 1

Entegrasyon gerçekleştirin:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Çözüm:

$k=4$ $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $ kesirlerinin ortak paydasıdır.

\ \[\begin(dizi)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \sağ)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C) \end(dizi)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac) biçiminde bir integral bulurken (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ aşağıdaki değişimi yapmanız gerekir:

burada $k$ $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $ kesirlerinin ortak paydasıdır.

Bu ikamenin bir sonucu olarak, integral $t$ değişkeninin rasyonel bir fonksiyonuna dönüştürülür.

Örnek 2

Entegrasyon gerçekleştirin:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Çözüm:

Aşağıdaki ikameyi yapalım:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \sağ)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \sol |\frac(t-2)(t+2) \sağ|+C\]

Ters değiştirmeyi yaparak nihai sonucu elde ederiz:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \sağ|+C.\]

III

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ biçiminde bir integral bulunduğunda, Euler ikamesi gerçekleştirilir (üç olası ikameden biri kullanıldı).

Euler'in ilk oyuncu değişikliği

$a> durumu için

$\sqrt(a) $'dan önce bir "+" işareti alarak şunu elde ederiz:

Örnek 3

Entegrasyon gerçekleştirin:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Çözüm:

Aşağıdaki ikameyi yapalım (durum $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^) (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Ters değiştirmeyi yaparak nihai sonucu elde ederiz:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Euler'in ikinci oyuncu değişikliği

$c>0$ durumu için aşağıdaki ikameyi yapmak gereklidir:

$\sqrt(c) $'dan önce bir "+" işareti alarak şunu elde ederiz:

Örnek 4

Entegrasyon gerçekleştirin:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Çözüm:

Aşağıdaki ikameyi yapalım:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ finali elde ederiz sonuç:

\[\begin(dizi)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x) +x^(2) ) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1) +x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \sağ|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x) +x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\sağ|+C) \end (dizi)\]

Euler'in üçüncü oyuncu değişikliği

Bir değişkenin irrasyonel işlevi, sonlu sayıda toplama, çıkarma, çarpma (bir tamsayıya yükseltme), bölme ve kök çıkarma işlemlerini kullanarak değişken ve keyfi sabitlerden oluşturulan bir işlevdir. İrrasyonel bir fonksiyon, rasyonel olandan farklıdır, çünkü irrasyonel bir fonksiyon kök çıkarma işlemlerini içerir.

Üç ana irrasyonel fonksiyon türü vardır, belirsiz integraller rasyonel fonksiyonların integrallerine indirgenir. Bunlar, doğrusal kesirli bir işlevden (kökler farklı derecelerde olabilir, ancak aynı doğrusal kesirli işlevden olabilir) keyfi tamsayı güçlerinin köklerini içeren integrallerdir; diferansiyel binomun integralleri ve bir kare üç terimlinin karekökü olan integraller.

Önemli Not. Kökler anlamlıdır!

Kök içeren integralleri hesaplarken, genellikle, integral değişkeninin bir fonksiyonunun olduğu formun ifadeleriyle karşılaşılır. Bunu yaparken şuna dikkat edilmelidir. Yani, t > için 0 , |t| = t. saat< 0 , |t| = - t . Bu nedenle, bu tür integralleri hesaplarken, t > durumlarını ayrı ayrı ele almak gerekir. 0 ve t< 0 . Bu, işaretler yazarak veya gerektiğinde yapılabilir. Üstteki işaretin t durumuna işaret ettiğini varsayarsak > 0 , ve alt olanı - t durumuna< 0 . Daha fazla dönüşümle, bu işaretler kural olarak karşılıklı olarak azalır.

İntegrand ve entegrasyon sonucunun şu şekilde değerlendirilebileceği ikinci bir yaklaşım da mümkündür. karmaşık fonksiyonlar karmaşık değişkenlerden O zaman radikal ifadelerdeki işaretleri takip edemezsiniz. Bu yaklaşım, integralin analitik olması, yani karmaşık bir değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonu olması durumunda uygulanabilir. Bu durumda hem integral hem de integrali çok değerli fonksiyonlardır. Bu nedenle, entegrasyondan sonra, sayısal değerleri değiştirirken, integralin tek değerli bir dalını (Riemann yüzeyi) seçmek ve bunun için entegrasyon sonucunun karşılık gelen dalını seçmek gerekir.

Kesirli doğrusal mantıksızlık

Bunlar aynı lineer kesirli fonksiyonun köklerine sahip integrallerdir:
,
burada R bir rasyonel fonksiyondur, rasyonel sayılardır, m 1 , n 1 , ..., m s , n s tam sayılardır, α, β, γ, δ - gerçek sayılar.
Bu tür integraller rasyonelin integraline indirgenir. ikame fonksiyonları:
burada n, r 1 , ..., r s sayılarının ortak paydasıdır.

Kökler mutlaka lineer kesirli bir fonksiyondan olmayabilir, aynı zamanda lineer bir fonksiyondan da olabilir (γ = 0 , δ = 1) veya integrasyon değişkeninden x (α = 1 , β = 0 , γ = 0 , δ = 1).

İşte bu tür integrallere örnekler:
, .

Diferansiyel iki terimlilerden integraller

Diferansiyel binomlardan gelen integraller şu şekildedir:
,
burada m, n, p rasyonel sayılar, a, b gerçek sayılardır.
Bu tür integraller üç durumda rasyonel fonksiyonların integrallerine indirgenir.

1) p bir tam sayı ise. x = t N ikamesi, burada N, m ve n kesirlerinin ortak paydasıdır.
2) If bir tamsayıdır. a x n + b = t M ikamesi, burada M, p'nin paydasıdır.
3) If bir tamsayıdır. a + b x - n = t M ikamesi, burada M, p'nin paydasıdır.

Diğer durumlarda, bu tür integraller temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmez.

Bazen bu tür integraller, indirgeme formülleri kullanılarak basitleştirilebilir:
;
.

Bir Kare Trinomun Karekökünü İçeren İntegraller

Bu tür integraller şu şekildedir:
,
burada R rasyonel bir fonksiyondur. Bu tür her bir integral için, onu çözmek için birkaç yöntem vardır.
1) Dönüşümlerin yardımıyla daha basit integraller elde edilir.
2) Trigonometrik veya hiperbolik ikameler uygulayın.
3) Euler ikamelerini uygulayın.

Bu yöntemleri daha ayrıntılı olarak ele alalım.

1) İntegrandın dönüşümü

Formülü uygulayarak ve cebirsel dönüşümler gerçekleştirerek, integrali forma getiriyoruz:
,
burada φ(x), ω(x) rasyonel fonksiyonlardır.

yazarım

Formun integrali:
,
burada P n (x), n dereceli bir polinomdur.

Bu tür integraller, özdeşlik kullanılarak belirsiz katsayılar yöntemiyle bulunur:

.
Bu denklemi farklılaştırarak ve sol ve sağ tarafları eşitleyerek, A i katsayılarını buluruz.

II tipi

Formun integrali:
,
burada P m (x), m dereceli bir polinomdur.

ikame t = (x - α) -1 bu integral önceki türe indirgenir. m ≥ n ise, kesrin bir tamsayı kısmı olmalıdır.

III tipi

Burada bir ikame yapıyoruz:
.
O zaman integral şu ​​şekli alacaktır:
.
Ayrıca, α, β sabitleri, paydadaki t'deki katsayılar yok olacak şekilde seçilmelidir:
B = 0, B1 = 0 .
Daha sonra integral, iki tür integralin toplamına ayrışır:
,
,
ikamelerle entegre edilenler:
u 2 \u003d A 1 t 2 + C 1,
v 2 \u003d A 1 + C 1 t -2.

2) Trigonometrik ve hiperbolik ikameler

Formun integralleri için, > 0 ,
üç ana ikamemiz var:
;
;
;

integraller için, > 0 ,
aşağıdaki ikamelere sahibiz:
;
;
;

Ve son olarak, integraller için, > 0 ,
ikameler aşağıdaki gibidir:
;
;
;

3) Euler ikameleri

İntegraller ayrıca üç Euler ikamesinden birinin rasyonel fonksiyonlarının integrallerine de indirgenebilir:
, > 0 için;
, c > 0 için;
burada x 1, a x 2 + b x + c = 0 denkleminin köküdür. Bu denklemin gerçek kökleri varsa.

eliptik integraller

Son olarak, formun integrallerini düşünün:
,
burada R bir rasyonel fonksiyondur, . Bu tür integrallere eliptik denir. AT Genel görünüm temel işlevler cinsinden ifade edilmezler. Bununla birlikte, A, B, C, D, E katsayıları arasında, bu tür integrallerin temel fonksiyonlar cinsinden ifade edildiği ilişkiler olduğu durumlar vardır.

Aşağıdaki özyinelemeli polinomlarla ilgili bir örnektir. Bu tür integrallerin hesaplanması, ikameler kullanılarak gerçekleştirilir:
.

Örnek

İntegrali hesapla:
.

Çözüm

Bir ikame yaparız.

.
Burada x > için 0 (u > 0 ) üstteki ′+ ′ işaretini alıyoruz. x için< 0 (sen< 0 ) - daha düşük '- '.

.

Cevap

Referanslar:
N.M. Günter, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, Lan, 2003.

İrrasyonel fonksiyonlar sınıfı çok geniştir, bu yüzden onları entegre etmenin evrensel bir yolu olamaz. Bu yazımızda irrasyonel integrallerin en karakteristik türlerini tespit etmeye ve bunları integrasyon yöntemiyle uyumlu hale getirmeye çalışacağız.

Diferansiyel işaret altında toplama yöntemini kullanmanın uygun olduğu durumlar vardır. Örneğin, formun belirsiz integrallerini bulurken, p rasyonel bir kesirdir.

Örnek.

belirsiz integrali bulun .

Çözüm.

Bunu görmek zor değil. Bu nedenle, diferansiyel işareti altında toplarız ve ters türev tablosunu kullanırız:

Cevap:

.

13. Kesirli doğrusal ikame

a, b, c, d'nin reel sayılar, a, b, ..., d, g'nin doğal sayılar olduğu türdeki integraller, K'nin en küçük ortak katı olduğu yerde yerine koyma yoluyla rasyonel bir fonksiyonun integrallerine indirgenir. kesirlerin paydaları

Gerçekten de, ikameden şu sonuç çıkar:

yani x ve dx, t'nin rasyonel fonksiyonları cinsinden ifade edilir. Ayrıca, kesrin her bir kuvveti, t'nin rasyonel bir fonksiyonu cinsinden ifade edilir.

Örnek 33.4. integrali bulun

Çözüm: 2/3 ve 1/2 paydalarının en küçük ortak katı 6'dır.

Bu nedenle, x + 2 \u003d t 6, x \u003d t 6 -2, dx \u003d 6t 5 dt olduğunu varsayıyoruz, Bu nedenle,

Örnek 33.5.İntegralleri bulmak için bir ikame belirtin:

Çözüm: I 1 ikamesi için x=t 2 , I 2 için ikame

14. Trigonometrik ikame

Tip integraller, aşağıdaki trigonometrik ikameler kullanılarak rasyonel olarak trigonometrik fonksiyonlara bağlı fonksiyonların integrallerine indirgenir: x=a sint birinci integral için; x=a tgt ikinci integral için, üçüncü integral için.

Örnek 33.6. integrali bulun

Çözüm: x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=yay x/2 olsun. O zamanlar

Burada integral, x'e göre rasyonel bir fonksiyondur ve Kökün altında bir tam kare seçme ve bir değiştirme yapma, integraller belirtilen tipönceden düşünülen türdeki integrallere, yani türün integrallerine indirgenir Bu integraller, uygun trigonometrik ikameler kullanılarak hesaplanabilir.

Örnek 33.7. integrali bulun

Çözüm: x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5 olduğundan, x+1=t, x=t-1, dx=dt. Bu yüzden koyalım

Not: İntegral tip x=1/t ikamesini kullanarak bulmak uygundur.

15. Belirli integral

Bir segment üzerinde bir fonksiyon verilsin ve üzerinde bir ters türev olsun. Fark denir kesin integral aralıktaki işlevler ve ifade eder. Yani,

Fark şu şekilde yazılır, o zaman . numaralar denir entegrasyon sınırları .

Örneğin, bir fonksiyonun ters türevlerinden biri. Bu yüzden

16 . ile ise - sabit sayı ve ƒ(х) fonksiyonu 'de integrallenebilir, o zaman

yani, c sabit faktörü belirli bir integralin işaretinden alınabilir.

▼F(x) ile fonksiyonun integral toplamını oluşturun. Sahibiz:

O halde bu, ƒ(x) fonksiyonunun [a; b] ve formül (38.1) tutar.▲

2. Eğer ƒ 1 (х) ve ƒ 2 (х) fonksiyonları [а;b] üzerinde integrallenebilir ise, o zaman [а; b] onların toplamı

yani, toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir.

▼
▲

Özellik 2, herhangi bir sonlu sayıda terimin toplamına kadar uzanır.

3.

Bu özellik tanım gereği kabul edilebilir. Bu özellik Newton-Leibniz formülü ile de doğrulanır.

4. Eğer ƒ(x) fonksiyonu [a; b] ve bir< с < b, то

yani, tüm segment üzerindeki integral, bu segmentin parçaları üzerindeki integrallerin toplamına eşittir. Bu özelliğe belirli bir integralin toplamsallığı (veya toplamsallık özelliği) denir.

[a;b] segmentini parçalara ayırırken, c noktasını bölme noktalarının sayısına dahil ederiz (bu, integral toplamının limiti [a; b] segmentini bölme yönteminden bağımsız olduğu için yapılabilir. parçalar). c \u003d x m ise, integral toplamı iki toplama bölünebilir:

Yazılı toplamların her biri, sırasıyla [a; b], [a; s] ve [s; b]. Son eşitlikte n → ∞ (λ → 0) olarak limite geçerek eşitlik (38.3) elde ederiz.

Özellik 4, a, b, c noktalarının herhangi bir düzenlemesi için geçerlidir (f (x) fonksiyonunun elde edilen segmentlerin en büyüğü üzerinde integrallenebilir olduğunu varsayıyoruz).

Yani, örneğin, eğer bir< b < с, то

(özellikler 4 ve 3 kullanılır).

5. "Ortalama değer teoremi". ƒ(x) fonksiyonu [a; b], o zaman є [a; b] öyle ki

▼Newton-Leibniz formülüne göre,

nerede F "(x) \u003d ƒ (x). Lagrange teoremini (bir fonksiyonun sonlu artışı üzerindeki teorem) F (b) - F (a) farkına uygulayarak, elde ederiz

F (b) -F (a) \u003d F "(c) (b-a) \u003d ƒ (c) (b-a). ▲

ƒ (x) ≥ 0 için Özellik 5 (“ortalama teoremi”) basit bir geometrik anlama sahiptir: belirli bir integralin değeri, bazı c є (a; b) için, yüksekliği ƒ olan bir dikdörtgenin alanıdır ( c) ve baz b- a (bkz. Şekil 170). Sayı

ƒ(x) fonksiyonunun [a; b].

6. Eğer ƒ (x) fonksiyonu [a; b], nerede bir< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼"Ortalama teoremine" göre (özellik 5)

nerede c є [a; b]. Ve tüm x О [а; için ƒ(х) ≥ 0 olduğundan; b], sonra

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Bu nedenle, ƒ(c) (b-a) ≥ 0, yani. ▲

7. [a; b], (bir

▼ ƒ 2 (х)-ƒ 1 (x)≥0 olduğundan, o zaman bir< b, согласно свойству 6, имеем

Veya, özellik 2'ye göre,

Eşitsizlikleri ayırt etmenin imkansız olduğunu unutmayın.

8. İntegralin tahmini. M ve M sırasıyla segment [a; b], (bir< b), то

▼Herhangi bir x є [а;b] için m≤ƒ(х)≤М olduğundan, o zaman, özellik 7'ye göre,

Özellik 5'i ekstrem integrallere uygulayarak elde ederiz.

▲

ƒ(x)≥0 ise, özellik 8 geometrik olarak gösterilir: eğrisel bir yamuğun alanı, tabanı m ve M'ye eşit olan dikdörtgenlerin alanları arasına alınır (bkz. Şekil 171).

9. Belirli bir integralin modülü, integralin modülünün integralini aşmaz:

▼Özellik 7'yi bariz eşitsizliklere uygulayarak -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, elde ederiz

Bu nedenle şu şekildedir:

▲

10. Belirli bir integralin değişken üst limitine göre türevi, integral değişkeninin bu limitle değiştirildiği integrale eşittir, yani.

Bir şeklin alanını hesaplamak, alan teorisindeki en zorlu problemlerden biridir. Okul geometri dersinde daire, üçgen, eşkenar dörtgen gibi temel geometrik şekillerin alanlarını bulmayı öğrendik. Bununla birlikte, çok daha sık olarak, daha karmaşık rakamların alanlarının hesaplanmasıyla uğraşmanız gerekir. Bu tür problemleri çözerken, integral kalkülüse başvurmak gerekir.

Bu yazıda eğrisel bir yamuğun alanını hesaplama problemini ele alacağız ve ona geometrik anlamda yaklaşacağız. Bu, belirli integral ile eğrisel bir yamuğun alanı arasındaki doğrudan ilişkiyi bulmamızı sağlayacaktır.

Doğrusal kesirli bir fonksiyonun kökü olan integralleri düşünün:
(1) ,
burada R, argümanlarının rasyonel bir işlevidir. Yani, sonlu sayıda toplama (çıkarma), çarpma ve bölme (tamsayı kuvvetine yükseltme) işlemlerini kullanan argümanlarından ve keyfi sabitlerinden oluşan bir fonksiyon.

Doğrusal-kesirli irrasyonaliteye sahip kabul edilen integral örnekleri

Formun kökleri olan integrallere örnekler verelim (1) .

örnek 1

Burada integralin işareti altında çeşitli derecelerde kökler olmasına rağmen, integral aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:
;
;
.

Böylece, integral, x integrasyon değişkeni ve sonlu sayıda çıkarma, bölme ve çarpma işlemi kullanan lineer fonksiyonun kökünden oluşur. Bu nedenle, x'in rasyonel bir işlevidir ve dikkate alınan türe aittir. (1) sabit değerleri ile n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

Örnek 2

Burada dönüşümü yapıyoruz:
.
Bu, integralin x ve 'nin rasyonel bir fonksiyonu olduğunu gösterir. Bu nedenle, söz konusu türe aittir.

Doğrusal-kesirli mantıksızlığın genel örneği

Daha genel bir durumda, integral, aynı lineer-fraksiyonel fonksiyondan herhangi bir sonlu sayıda kök içerebilir:
(2) ,
burada R, argümanlarının rasyonel bir fonksiyonudur,
- rasyonel sayılar,
m 1 , n 1 , ..., m s , n s- tüm sayılar.
Gerçekten de, r 1 , ..., r s sayılarının ortak paydası n olsun. O zaman şu şekilde temsil edilebilirler:
,
nerede 1 , k 2 , ..., k s- tüm sayılar. Sonra hepsi dahil (2) kökler aşağıdakilerin güçleridir:
,
,
. . . . .
.

Yani, tüm integral (2) x'ten ve sonlu sayıda toplama, çarpma ve bölme işlemi kullanan kökten oluşur. Bu nedenle, x'in rasyonel bir fonksiyonudur ve :
.

Kök entegrasyon yöntemi

Doğrusal-kesirli irrasyonalite ile integral
(1)
yerine koyarak rasyonel bir fonksiyonun integraline indirgenir.
(3) .

Kanıt

Her iki tarafın n'inci kökünü çıkarma (3) :
.

hadi dönüştürelim (3) :
;
;
.

Türevini buluyoruz:

;
;
.
Diferansiyel:
.

değiştir (1) :
.

Bu, integralin sabitlerden ve sonlu sayıda toplama (çıkarma), çarpma (tamsayı kuvvetine yükseltme) ve bölme işlemleri kullanan entegrasyon değişkeninden oluştuğunu gösterir. Bu nedenle, integral, integral değişkeninin rasyonel bir fonksiyonudur. Böylece integralin hesaplanması rasyonel bir fonksiyonun integraline indirgenmiştir. Q.E.D.

Doğrusal mantıksızlık entegrasyonu örneği

İntegrali bulun:

Çözüm

İntegral aynı (kesirli) doğrusal fonksiyonun köklerini içerdiğinden x + 1 , ve integral, çıkarma ve bölme işlemleri kullanılarak oluşturulur, daha sonra bu integral, söz konusu türe aittir.

İntegrantı, aynı derecede kökleri içerecek şekilde dönüştürüyoruz:
;
;
.

bir değişiklik yapmak
x + 1 = t6.
Diferansiyeli alıyoruz:
d (x+1)=dx= ( t6 )′ dt = 6t5dt.
yerine koyuyoruz:
x = t 6 - 1 ;
;
;
.
Kesrin tamsayı kısmını seçiyoruz, şunu fark ediyoruz:
t 6 - 1 = (t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
O zamanlar

.

Cevap

,
nerede .

Doğrusal-kesirli irrasyonelliğin entegre edilmesine bir örnek

integrali bulun

Çözüm

Doğrusal kesirli fonksiyonun kökünü seçiyoruz:
.
O zamanlar
.
bir değişiklik yapmak
.
diferansiyeli alıyoruz
.
türevi bulma
.
O zamanlar
.
Daha sonra fark ederiz ki
.
İntegranddaki ikame


.

Cevap

Referanslar:
N.M. Günter, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, Lan, 2003.