Karmaşık değişken fonksiyonlar.
Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının türevi.

Bu makale, karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi ile ilgili tipik görevleri ele alacağım bir dizi ders açar. Örneklerde başarılı bir şekilde ustalaşmak için karmaşık sayılar hakkında temel bilgilere sahip olmanız gerekir. Malzemeyi pekiştirmek ve tekrarlamak için sayfayı ziyaret etmeniz yeterlidir. Bulmak için becerilere de ihtiyacınız olacak ikinci dereceden kısmi türevler... İşte bunlar, bu kısmi türevler ... şimdi bile ne sıklıkta ortaya çıktıklarına biraz şaşırdım ...

Analiz etmeye başladığımız konu özellikle zor değil ve karmaşık bir değişkenin işlevlerinde prensipte her şey açık ve erişilebilir. Ana şey, ampirik olarak türettiğim temel kurala bağlı kalmaktır. Okumaya devam etmek!

Karmaşık değişken fonksiyon konsepti

İlk olarak, bir değişkenin okul fonksiyonu hakkındaki bilgimizi tazeleyelim:

Tek değişkenli fonksiyon Bağımsız değişkenin (tanım alanından) her değerinin bir ve yalnızca bir fonksiyon değerine karşılık geldiği bir kuraldır. Doğal olarak, X ve Y gerçek sayılardır.

Karmaşık durumda, işlevsel bağımlılık aynı şekilde ayarlanır:

Karmaşık bir değişkenin tek değerli işlevi- herkesin göreceği kural budur Entegre bağımsız değişkenin değeri (alandan) bir ve sadece bire karşılık gelir. karmaşık fonksiyon değeri. Teoride, çok değerli ve diğer bazı işlev türleri de dikkate alınır, ancak basitlik için bir tanıma odaklanacağım.

Karmaşık değişken bir işlev arasındaki fark nedir?

Temel fark: sayılar karmaşıktır. ironi yapmıyorum. Bu tür sorulardan genellikle bir şaşkınlığa düşerler, makalenin sonunda size harika bir hikaye anlatacağım. Derste Aptallar için karmaşık sayılarşeklinde karmaşık bir sayı olarak kabul ettik. O zamandan beri "z" harfi değişken, o zaman bunu şu şekilde belirteceğiz: "x" ve "game" farklı alabilirken geçerli değerler. Kabaca söylemek gerekirse, karmaşık bir değişkenin işlevi, "sıradan" değerler alan değişkenlere bağlıdır. Bu olgudan mantıksal olarak şu nokta çıkar:

Karmaşık bir değişkenin işlevi şu şekilde yazılabilir:
, nerede ve iki fonksiyondur geçerli değişkenler.

fonksiyon denir gerçek kısım fonksiyonlar.
fonksiyon denir hayali kısım fonksiyonlar.

Yani, karmaşık bir değişkenin işlevi iki gerçek işleve bağlıdır ve. Sonunda her şeyi netleştirmek için pratik örnekleri düşünün:

örnek 1

Çözüm: Bağımsız değişken "z", hatırladığınız gibi, bu nedenle şöyle yazılmıştır:

(1) Orijinal işlev değiştirildi.

(2) Birinci terim için kısaltılmış çarpma formülü kullanılmıştır. Dönemde - parantezler açıldı.

(3) Dikkatle kare, şunu unutmadan

(4) Terimlerin yeniden düzenlenmesi: önce terimleri yeniden yazın hayali birimin olmadığı(birinci grup), ardından terimler, nerede oldukları (ikinci grup). Terimleri karıştırmanın gerekli olmadığı ve bu aşamanın atlanabileceği (aslında sözlü olarak gerçekleştirildiği) not edilmelidir.

(5) İkinci grup için parantez içinden çıkarıyoruz.

Sonuç olarak, fonksiyonumuzun formda temsil edildiği ortaya çıktı.

Cevap:
- fonksiyonun gerçek kısmı.
- fonksiyonun hayali kısmı.

Bu fonksiyonlar nelerdir? Bu kadar popüler bulabileceğiniz iki değişkenli en sıradan fonksiyonlar kısmi türevler... Merhamet olmadan - bulacağız. Ama biraz sonra.

Kısaca, çözülen problemin algoritması şu şekilde yazılabilir: orijinal fonksiyonda yerine koy, basitleştir ve tüm terimleri iki gruba ayır - hayali bir birim olmadan (gerçek kısım) ve hayali bir birimle (hayali kısım).

Örnek 2

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısmını bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Karmaşık bir uçakta pullarınızı savaşa sokmadan önce size konuyla ilgili en önemli tavsiyeyi vereyim:

DİKKAT OLMAK! Elbette her yerde dikkatli olmanız gerekiyor, ancak karmaşık sayılarda daha önce hiç olmadığı kadar dikkatli olmalısınız! Unutmayın, parantezleri dikkatlice açın, hiçbir şey kaybetmeyin. Gözlemlerime göre, en yaygın hata bir işaretin kaybolmasıdır. Acele etmeyin!

Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Şimdi küp. Azaltılmış çarpma formülünü kullanarak şunları elde ederiz:
.

Formüller, çözüm sürecini önemli ölçüde hızlandırdıkları için pratikte çok uygundur.

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının türevi.

İki haberim var: iyi ve kötü. İyi bir tane ile başlayacağım. Karmaşık değişkenli bir fonksiyon için, türev alma kuralları ve temel fonksiyonların türevleri tablosu geçerlidir. Böylece türev, gerçek bir değişken fonksiyon durumunda olduğu gibi alınır.

Kötü haber şu ki, karmaşık bir değişkenin birçok fonksiyonu için türev hiç mevcut değil ve bunu çözmeniz gerekiyor. türevlenebilir bu veya bu işlev. Ve kalbinizin nasıl hissettiğini "öğrenmek" ek sıkıntılarla ilişkilidir.

Karmaşık bir değişken işlevi düşünün. Bu fonksiyonun türevlenebilir olması için gerekli ve yeterlidir:

1) Birinci mertebeden kısmi türevlerin var olması için. Bu atamaları hemen unutun, çünkü karmaşık bir değişkenin fonksiyonu teorisinde geleneksel olarak farklı bir gösterim kullanılır: .

2) Sözde yürütmek için Cauchy-Riemann koşulları:

Sadece bu durumda türev var olacaktır!

Örnek 3

Çözüm ardışık üç aşamaya ayrışır:

1) Fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını bulunuz. Bu görev önceki örneklerde analiz edildi, bu yüzden yorum yapmadan yazacağım:

O zamandan beri:

Böylece:

- fonksiyonun hayali kısmı.

Bir teknik nokta üzerinde daha duracağım: hangi sırayla terimleri gerçek ve hayali kısımlarda yazmak için? Evet, prensipte fark yok. Örneğin, gerçek kısım şu şekilde yazılabilir: , ve hayali - bunun gibi:.

2) Cauchy-Riemann koşullarının sağlandığını kontrol edelim. İki tane var.

Durumu kontrol ederek başlayalım. Bulduk kısmi türevler:

Böylece koşul sağlanır.

Kuşkusuz, iyi haber, kısmi türevlerin neredeyse her zaman çok basit olmasıdır.

İkinci koşulun yerine getirildiğini kontrol ediyoruz:

Aynı şey ortaya çıktı, ancak zıt işaretlerle, yani koşul da karşılandı.

Cauchy-Riemann koşulları sağlandığı için fonksiyon türevlenebilirdir.

3) Fonksiyonun türevini bulun. Türev de çok basittir ve genel kurallara göre bulunur:

Türev alırken hayali birim sabit kabul edilir.

Cevap: - gerçek kısım, Hayali kısımdır.
Cauchy-Riemann koşulları sağlanır.

Türevi bulmanın iki yolu daha var, elbette daha az kullanılıyorlar, ancak bilgiler ikinci dersi anlamak için faydalı olacaktır - Karmaşık bir değişkenin işlevini nasıl bulabilirim?

Türev aşağıdaki formülle bulunabilir:

Bu durumda:

Böylece

Ters problemi çözmeliyiz - ortaya çıkan ifadede izole etmeniz gerekir. Bunu yapmak için, şartlarda ve parantezden çıkarılması gerekir:

Birçoğunun fark ettiği gibi, ters işlemin gerçekleştirilmesi biraz daha zordur, doğrulama için bir ifade almak ve bir taslakta veya parantezleri sözlü olarak açmak her zaman daha iyidir, tam olarak ortaya çıkacağından emin olarak

Türevi bulmak için ayna formülü:

Bu durumda: , Öyleyse:

Örnek 4

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme ... Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin. Cauchy-Riemann koşulları sağlanırsa, fonksiyonun türevini bulun.

Eğitimin sonunda kısa bir çözüm ve kaba bir bitirme örneği.

Cauchy-Riemann koşulları her zaman sağlanıyor mu? Teoride, olduklarından daha sık idam edilmezler. Ancak pratik örneklerde, çalışmadıkları bir durumu hatırlamıyorum =) Bu nedenle, kısmi türevleriniz “uygun olmadıysa”, o zaman çok yüksek bir olasılıkla bir yerde hata yaptığınızı söyleyebilirsiniz.

Fonksiyonlarımızı karmaşıklaştıralım:

Örnek 5

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme ... Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin. Hesaplamak

Çözüm:Çözüm algoritması tamamen korunur, ancak sonunda yeni bir heves eklenecektir: noktada türevi bulmak. Küp için gerekli formül zaten çıkarılmıştır:

Bu fonksiyonun reel ve imajiner kısımlarını tanımlayalım:

Dikkat ve tekrar dikkat!

O zamandan beri:


Böylece:
- fonksiyonun gerçek kısmı;
- fonksiyonun hayali kısmı.

İkinci koşulun kontrol edilmesi:

Aynı şey ortaya çıktı, ancak zıt işaretlerle, yani koşul da karşılandı.

Cauchy-Riemann koşulları sağlanır, bu nedenle fonksiyon türevlenebilir:

Gerekli noktadaki türevin değerini hesaplayalım:

Cevap:,, Cauchy-Riemann koşulları sağlanır,

Küplü işlevler yaygındır, bu nedenle tam olarak belirlemek için bir örnek:

Örnek 6

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme ... Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin. Hesaplamak.

Dersin sonunda çözüm ve örnek bitirme.

Karmaşık analiz teorisinde, karmaşık bir argümanın diğer işlevleri de tanımlanır: üs, sinüs, kosinüs, vb. Bu işlevlerin olağandışı ve hatta tuhaf özellikleri vardır - ve bu gerçekten ilginçtir! Size çok şey söylemek isterdim, ama burada, tam olarak böyle oldu, bir referans kitabı veya öğretici değil, bir çözücü, bu yüzden aynı sorunu bazı ortak işlevlerle ele alacağım.

İlk olarak, sözde hakkında Euler formülleri:

Herkes için gerçek sayı aşağıdaki formüller geçerlidir:

Ayrıca referans materyali olarak bir deftere yeniden yazabilirsiniz.

Açıkçası, yalnızca bir formül vardır, ancak genellikle kolaylık sağlamak için göstergede eksi olan özel bir durum da yazarlar. Parametrenin yalnız bir harf olması gerekmez, karmaşık bir ifade, işlev olabilir, yalnızca kabul etmeleri önemlidir sadece geçerli değerler. Aslında, şimdi göreceğiz:

Örnek 7

Türevini bulun.

Çözüm: Partinin genel çizgisi sarsılmaz kalır - işlevin gerçek ve hayali kısımlarını ayırmak gerekir. Ayrıntılı bir çözüm sunacağım ve aşağıda her adımı yorumlayacağım:

O zamandan beri:

(1) "z" yerine koyun.

(2) Değiştirme işleminden sonra gerçek ve hayali kısımları seçmeniz gerekir. göstergede ilk katılımcılar. Bunu yapmak için parantezleri açın.

(3) Parantezlerin sanal birimini alarak göstergenin sanal kısmını gruplandırıyoruz.

(4) Derecelerle okul eylemini kullanırız.

(5) Faktör için ise Euler formülünü kullanıyoruz.

(6) Parantezleri genişleterek şunu elde edin:

- fonksiyonun gerçek kısmı;
- fonksiyonun hayali kısmı.

Diğer işlemler standarttır, Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin:

Örnek 9

Bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarını belirleme ... Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin. Türevi bulmayacağız, öyle olsun.

Çözüm:Çözüm algoritması önceki iki örneğe çok benziyor, ancak çok önemli noktalar var, bu yüzden ilk aşamayı adım adım tekrar yorumlayacağım:

O zamandan beri:

1) "z" yerine koyun.

(2) İlk önce gerçek ve hayali kısımları seçin sinüs içinde... Bunun için parantezleri açıyoruz.

(3) Formülü kullanıyoruz, .

(4) kullanırız hiperbolik kosinüs paritesi: ve tek hiperbolik sinüs:. Hiperbolikler, bu dünyaya ait olmasalar da, birçok yönden benzer trigonometrik fonksiyonlara benzerler.

Sonuçta:
- fonksiyonun gerçek kısmı;
- fonksiyonun hayali kısmı.

Dikkat! Eksi işareti hayali kısmı ifade eder ve onu hiçbir şekilde kaybetmeyiz! Açık bir örnek için, yukarıda elde edilen sonuç aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edelim:

Cauchy-Riemann koşulları sağlanır.

Cevap:,, Cauchy-Riemann koşulları sağlanır.

Bayanlar ve baylar, kosinüs ile kendi başımıza çözüyoruz:

Örnek 10

Fonksiyonun reel ve imajiner kısımlarını belirleyiniz. Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin.

Kasıtlı olarak daha karmaşık örnekleri seçtim, çünkü her şey soyulmuş fıstık gibi bir şeyle başa çıkabilir gibi görünüyor. Aynı zamanda dikkatinizi eğiteceksiniz! Dersin sonunda fındıkkıran.

Sonuç olarak, paydada karmaşık bir argüman olduğunda başka bir ilginç örneği ele alacağım. Pratikte birkaç kez karşılaştım, basit bir şey çözelim. Eee yaşlanıyorum...

Örnek 11

Fonksiyonun reel ve imajiner kısımlarını belirleyiniz. Cauchy-Riemann koşullarının karşılanıp karşılanmadığını kontrol edin.

Çözüm: Yine fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını ayırmak gerekir.
eğer, o zaman

Soru ortaya çıkıyor, paydada “z” olduğunda ne yapmalı?

Her şey ustaca - standart yardımcı olacaktır eşlenik ifade ile pay ve paydayı çarpma hilesi, ders örneklerinde zaten kullanılmış Aptallar için karmaşık sayılar... Okul formülünü hatırlıyoruz. Paydada zaten var, bu da eşlenik bir ifade olacağı anlamına geliyor. Bu nedenle, pay ve paydayı şu şekilde çarpmanız gerekir:

Federal Eğitim Ajansı

___________________________________

Petersburg Eyaleti

Elektroteknik Üniversitesi "LETI"

_______________________________________

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisi

Metodik talimatlar

pratik eğitime

yüksek matematikte

Petersburg

Yayınevi SPbGETU "LETI"

UDC 512.64 (07)

TFKP: Problemleri çözmek için metodolojik talimatlar / comp .: V.G.Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky St. Petersburg: ETU "LETI" yayınevi, 2010. 32 s.

Tarafından onaylandı

üniversitenin yayın ve yayın kurulu

kılavuz olarak

© SPbGETU "LETI", 2010

Genel durumda karmaşık bir değişkenin işlevleri, gerçek düzlemin eşlemelerinden farklıdır.
kendi içinde sadece kayıt şeklinde. Önemli ve son derece kullanışlı bir nesne, karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunun sınıfıdır.

bir değişkenin fonksiyonu ile aynı türevine sahip olmak. Birkaç değişkenli fonksiyonların kısmi ve yönlü türevleri olabileceği bilinmektedir, ancak kural olarak farklı yönlerdeki türevler çakışmaz ve bir noktada türevden bahsetmek mümkün değildir. Bununla birlikte, karmaşık bir değişkenin fonksiyonları için, farklılaşmaya izin verdikleri koşulları tanımlamak mümkündür. Karmaşık bir değişkenin türevlenebilir fonksiyonlarının özelliklerinin incelenmesi, kılavuzların içeriğidir. Talimatlar, bu tür işlevlerin özelliklerinin çeşitli sorunları çözmek için nasıl kullanılabileceğini göstermeyi amaçlamaktadır. Sunulan materyale başarılı bir şekilde hakim olmak, karmaşık sayılarla temel hesaplama becerileri ve karmaşık bir sayının gerçek ve sanal kısımlarını birbirine bağlayan eşitsizlikler, modülü ve argümanı ile tanımlanan en basit geometrik nesnelere aşinalık olmadan imkansızdır. Bunun için gerekli tüm bilgilerin bir özeti kılavuzlarda bulunabilir.

Standart matematiksel analiz aygıtı: limitler, türevler, integraller, seriler kılavuz metinlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu kavramların bir değişkenin işlevleriyle karşılaştırıldığında kendi özgüllükleri olduğu durumlarda, karşılık gelen açıklamalar verilir, ancak çoğu durumda gerçek ve hayali parçaları ayırmak ve onlara standart gerçek analiz aygıtını uygulamak yeterlidir.

1. Karmaşık bir değişkenin temel işlevleri

Hangi temel fonksiyonların bu özelliğe sahip olduğunu açıklayarak karmaşık bir değişkenin fonksiyonları için türevlenebilirlik koşullarının tartışmasına başlamak doğaldır. Açık ilişkiden

Herhangi bir polinomun türevlenebilirliği aşağıdaki gibidir. Ve, kuvvet serileri yakınsaklık çemberi içinde terim terim farklılaştırılabildiğinden,

o zaman herhangi bir fonksiyon, bir Taylor serisinde genişletilebileceği komşuluktaki noktalarda türevlenebilir. Bu yeterli bir koşuldur, ancak yakında netleşeceği gibi aynı zamanda gereklidir. Fonksiyon grafiğinin davranışını kontrol ederek türevine göre tek değişkenli fonksiyonların çalışılmasını desteklemek uygundur. Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları için böyle bir olasılık yoktur. Grafiğin noktaları 4 boyutlu bir uzayda bulunur.

Bununla birlikte, karmaşık düzlemin oldukça basit kümelerinin görüntüleri dikkate alınarak fonksiyonun bazı grafik temsilleri elde edilebilir.
Belirli bir işlevin etkisi altında ortaya çıkan. Örneğin, bu bakış açısından birkaç basit işlevi düşünün.

Doğrusal fonksiyon

Bu basit işlev çok önemlidir, çünkü herhangi bir türevlenebilir işlev yerel olarak doğrusal bir işleve benzer. İşlevin eylemini mümkün olduğunca ayrıntılı olarak ele alalım.

Burada
- karmaşık sayı modülü ve onun argümanıdır. Böylece lineer fonksiyon esneme, dönme ve kesme işlemlerini gerçekleştirir. Sonuç olarak, doğrusal bir eşleme herhangi bir kümeyi benzer bir kümeye alır. Özellikle, doğrusal bir haritalamanın etkisi altında, düz çizgiler düz çizgilere ve daireler dairelere dönüşür.

İşlev

Bu işlev, karmaşıklıkta doğrusaldan sonra gelir. Herhangi bir düz çizgiyi düz bir çizgiye ve bir daireyi bir daireye dönüştürmesini beklemek zordur; basit örnekler bunun olmadığını gösterir, ancak bu fonksiyonun tüm çizgilerin ve dairelerin kümesini dönüştürdüğü gösterilebilir. kendi içine. Bunu doğrulamak için eşlemenin gerçek (koordinat) tanımına gitmek uygundur.

Kanıt için ters eşlemenin bir açıklamasına ihtiyacımız var.

Eğer denklemi düşünün
, sonra düz çizginin genel denklemini elde edersiniz. Eğer
, sonra

Bu nedenle,
keyfi bir dairenin denklemi elde edilir.

Dikkat edin, eğer
ve
, sonra daire orijinden geçer. Eğer
ve
, sonra orijinden geçen düz bir çizgi elde edersiniz.

Tersine çevirme eylemi altında, dikkate alınan denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

, (
)

veya . Bunun da daireleri veya düz çizgileri tanımlayan bir denklem olduğu görülebilir. Denklemde katsayıların olduğu gerçeği ve
takas, ters çevirme altında, 0'dan geçen doğruların dairelere gideceği ve 0'dan geçen dairelerin düz doğrulara gideceği anlamına gelir.

Güç fonksiyonları

Bu işlevler ile daha önce ele alınan işlevler arasındaki temel fark, bire bir olmamalarıdır (
). fonksiyon olduğunu söyleyebiliriz
karmaşık bir düzlemi aynı düzlemin iki örneğine çevirir. Bu konunun dikkatli bir şekilde ele alınması, Riemann yüzeylerinin hantal aparatlarının kullanılmasını gerektirir ve burada ele alınan konuların kapsamının ötesine geçer. Karmaşık düzlemin, her biri karmaşık düzlemde bire bir eşlenen sektörlere bölünebileceğini anlamak önemlidir. Bu işlev için bölünmüş
şuna benzer, Örneğin, üst yarı düzlem, fonksiyon tarafından karmaşık düzleme bire bir eşlenir.
... Bu tür görüntüler için geometri bozulmalarını tanımlamak, tersine çevirme durumundan daha zordur. Bir alıştırma olarak, görüntüleme sırasında üst yarı düzlemin dikdörtgen koordinatlarının ızgarasının nereye gittiğini takip edebilirsiniz.

Dikdörtgen koordinatların ızgarasının, düzlemde eğrisel koordinatlar sistemi oluşturan bir parabol ailesine dönüştüğü görülebilir.
... Yukarıda açıklanan düzlemin bölünmesi, fonksiyonun
her birini görüntüler tüm düzlemde sektörler. İleri ve geri eşlemenin açıklaması şöyle görünür

Yani fonksiyon
sahip çeşitli ters fonksiyonlar,

uçağın farklı sektörlerinde verilen

Bu gibi durumlarda, eşlemenin çok değerli olduğu söylenir.

Zhukovski işlevi

Zhukovski'nin bir uçağın kanadı teorisinin temelini oluşturduğu için işlevin kendi adı vardır (bu tasarımın bir açıklaması kitapta bulunabilir). İşlevin bir dizi ilginç özelliği vardır, bunlardan biri üzerinde duralım - bu işlevin hangi kümelerde bire bir şekilde çalıştığını öğrenin. eşitliği düşünün

, nerede
.

Sonuç olarak, Zhukovsky işlevi, herhangi bir bölgede herhangi bir bölgede bire birdir. ve onların ürünü bire eşit değil. Bunlar, örneğin, açık birim çemberdir.
ve kapalı birim çemberin tümleyeni
.

Zhukovsky fonksiyonunun bir daire üzerindeki etkisini düşünün, o zaman

Gerçek ve sanal kısımları ayırarak, elipsin parametrik denklemini elde ederiz.

,
.

Eğer
, sonra bu elipsler tüm düzlemi doldurur. Benzer şekilde, segmentlerin görüntülerinin hiperboller olduğu doğrulanmıştır.

.

üstel fonksiyon

Fonksiyon, tüm karmaşık düzlemde kesinlikle yakınsak olan bir kuvvet serisinde bir genişlemeye izin verir, bu nedenle her yerde türevlenebilir. Fonksiyonun bire bir olduğu kümeleri tanımlayalım. bariz eşitlik
düzlemin, her biri fonksiyonun tüm karmaşık düzlemde bire bir eşlendiği bir şerit ailesine bölünebileceğini gösterir. Bu bölümleme, ters fonksiyonun, daha doğrusu ters fonksiyonların nasıl yapılandırıldığını anlamak için gereklidir. Şeritlerin her birinde, ters eşleme doğal olarak tanımlanır

Bu durumda, ters fonksiyon da çok değerlidir ve ters fonksiyonların sayısı sonsuzdur.

Eşlemenin geometrik açıklaması oldukça basittir: düz çizgiler
kirişlere git
, segmentler

çevrelere gitmek
.

nerede
gerçek sayılardır ve - adı verilen özel bir karakter hayali birim ... Hayali birim için tanım gereği,
.

(4.1) – cebirsel form karmaşık sayı ve
aranan gerçek kısım karmaşık sayı ve
-hayali kısım .

Sayı
aranan karmaşık eşlenik numaraya
.

Verilen iki karmaşık sayı
,
.

1. Toplam
Karışık sayılar ve karmaşık sayı denir

2. Fark
Karışık sayılar ve karmaşık sayı denir

3. Ürüne göre
Karışık sayılar ve karmaşık sayı denir

4. Özel karmaşık bir sayıyı bölmekten karmaşık bir sayı üzerinde
karmaşık sayı denir

.

Açıklama 4.1. Yani, karmaşık sayılar üzerindeki işlemler, cebirdeki değişmez ifadeler üzerindeki olağan aritmetik işlem kurallarına göre tanıtılır.

Örnek 4.1. Karmaşık sayılar verilir. Bulmak

.

Çözüm. 1) .

4) Pay ve paydayı, paydanın sayı kompleksi eşleniği ile çarparak, elde ederiz.

trigonometrik form karmaşık sayı:

nerede
- karmaşık sayının modülü,
karmaşık sayı argümanıdır. Enjeksiyon belirsiz bir şekilde tanımlanmıştır, terime kadar
:

,
.

- koşul tarafından belirlenen argümanın ana değeri

, (veya
).

açıklayıcı form karmaşık sayı:

.

Kök
sayının kuvveti sahip formül tarafından bulunan farklı değerler

,

nerede
.

Değerlere karşılık gelen noktalar
, doğrunun köşeleri
yarıçaplı bir daire içine yazılmış bir kare
orijin merkezlidir.

Örnek 4.2. Tüm kök değerleri bul
.

Çözüm. Karmaşık bir sayıyı temsil edelim
trigonometrik biçimde:

,

, nerede
.

Sonra
... Bu nedenle, formül (4.2) ile
dört anlamı vardır:

,
.

varsayarsak
, bulduk

,
,

, .

Burada argüman değerlerini ana değerine dönüştürdük.

Karmaşık düzlemde ayarlar

Karmaşık sayı
bir uçakta tasvir
puan
koordinatlarla
... Modül
ve argüman
noktanın kutupsal koordinatlarına karşılık gelir
.

eşitsizliği hatırlamakta fayda var.
bir noktada merkezli bir daire tanımlar yarıçap ... eşitsizlik
düz bir çizginin sağında bulunan bir yarım düzlemi belirtir
, ve eşitsizlik
- düz çizginin üzerinde bulunan yarım düzlem
... Ayrıca eşitsizlik sistemi
ışınlar arasındaki açıyı ayarlar
ve
kökenlidir.

Örnek 4.3. Eşitsizliklerle tanımlanan alanı çizin:
.

Çözüm.İlk eşitsizlik, nokta merkezli bir halkaya karşılık gelir.
ve iki yarıçap 1 ve 2, bölgeye daire dahil değildir (Şekil 4.1).

İkinci eşitsizlik, ışınlar arasındaki açıya karşılık gelir.
(4 koordinat açısının açıortayı) ve
(pozitif eksen yönü
). Işınların kendileri bölgeye girmez (Şekil 4.2).

İstenilen alan, elde edilen iki alanın kesişimidir (Şekil 4.3)

4.2. Karmaşık değişken fonksiyonlar

Tek değerli fonksiyon olsun
alanda tanımlanmış ve sürekli
, a - parçalı düzgün kapalı veya açık yönlendirilmiş eğri
... Her zamanki gibi izin ver,
,, nerede
,
- değişkenlerin gerçek fonksiyonları ve .

Bir fonksiyonun integralini hesaplama
karmaşık değişken normal eğrisel integrallerin hesaplanmasına indirgenir, yani

.

eğer fonksiyon
basit bağlantılı bir alanda analitik
içeren noktalar ve , sonra Newton-Leibniz formülü gerçekleşir:

,

nerede
- bir fonksiyon için herhangi bir ters türev
, yani
alanında
.

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarının integrallerinde, değişkeni değiştirebilirsiniz ve parçalara göre entegrasyon, gerçek bir değişkenin fonksiyonlarının integrallerini hesaplarken nasıl yapıldığına benzer.

Ayrıca, entegrasyon yolu, noktadan giden düz çizginin bir parçasıysa, şunu da unutmayın: veya bir noktada ortalanmış bir dairenin bir parçası , o zaman formun bir değişkenini değiştirmek yararlıdır
... İlk durumda
, a - gerçek entegrasyon değişkeni; ikinci durumda
, a entegrasyonun gerçek değişkenidir.

Örnek 4.4. Hesaplamak
parabol
noktadan
diyeceğim şey şu ki
(Şekil 4.4).

Çözüm.İntegrantı formda yeniden yazıyoruz Sonra , ... Formül (4.3) uyguluyoruz: Çünkü , sonra , ... Bu yüzden

Örnek 4.5. integrali hesapla
, nerede - bir dairenin yayı
,
(şekil 4.5).

Çözüm. Koyduk, , sonra , , ... Alırız:

İşlev
, halkada tek değerli ve analitik
, bu halkada ayrışır Laurent serisi

(4.5) formülünde, seri
aranan Ana bölüm Laurent serisi ve serisi
aranan doğru kısım Laurent serisi.

Tanım 4.1. Puan arananizole tekil nokta fonksiyonlar
fonksiyonun olduğu bu noktanın bir komşuluğu varsa
noktanın kendisi dışında her yerde analitik .

İşlev
noktanın yakınında Laurent serisinde genişletilebilir. Bu durumda Laurent serisinde üç farklı durum söz konusu olabilir:

1) negatif fark gücüne sahip terimler içermez
, yani

(Laurent'in serisi ana kısmı içermiyor). Bu durumda aranan çıkarılabilir tekillik fonksiyonlar
;

2) negatif fark güçleri olan sonlu sayıda terim içerir
, yani

,

Dahası
... Bu durumda, nokta aranan düzen direği fonksiyonlar
;

3) negatif güçlere sahip sonsuz sayıda terim içerir:

.

Bu durumda, nokta aranan önemli nokta fonksiyonlar
.

Yalıtılmış bir tekil noktanın doğasını belirlerken, bir Laurent serisinde açılım aramak gerekli değildir. Yalıtılmış unsur noktalarının çeşitli özelliklerini kullanabilirsiniz.

1) fonksiyonun çıkarılabilir tekil noktasıdır
fonksiyonun sonlu bir limiti varsa
noktada :

.

2) fonksiyonun bir kutbudur
, Eğer

.

3) fonksiyonun temel bir tekil noktasıdır
eğer
fonksiyonun limiti yoktur, ne sonlu ne de sonsuz.

Tanım 4.2. Puan aranansıfır
inci sıra (veya çokluk ) fonksiyonlar
koşullar yerine getirilirse:

…,

.

Açıklama 4.2. Puan eğer ve ancak o zaman sıfırdır
inci sıra fonksiyonlar
, bu noktanın bazı mahallelerinde eşitlik

,

nerede fonksiyon
noktada analitik ve

4) nokta düzen direğidir (
) fonksiyonlar
bu nokta bir sıfır sipariş ise fonksiyon için
.

5) izin ver - izole fonksiyon tekil nokta
, nerede
- noktada analitik fonksiyonlar ... Ve noktayı bırak sipariş sıfır fonksiyonlar
ve sipariş sıfır fonksiyonlar
.

NS
puan düzen direğidir
fonksiyonlar
.

NS
puan fonksiyonun çıkarılabilir tekil noktasıdır
.

Örnek 4.6. Yalıtılmış noktaları bulun ve bir işlev için türlerini belirleyin
.

Çözüm. Fonksiyonlar
ve
- tüm karmaşık düzlemde analitik. Bu nedenle, fonksiyonun tekil noktaları
paydanın sıfırları, yani
... Böyle sonsuz sayıda nokta vardır. İlk nokta
, denklemi sağlayan noktaların yanı sıra
... Buradan
ve
.

noktayı düşünün
... Bu noktada şunu elde ederiz:

,
,

,
.

sıfırın sırası
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Yani nokta
ikinci dereceden bir kutuptur (
).

... Sonra

,
.

Pay sıfır sırası
.

,
,
.

Paydanın sıfır mertebesi
... bu yüzden noktalar
NS
birinci dereceden kutuplardır ( basit direkler ).

Teorem 4.1. (Cauchy Kalıntı Teoremi ). eğer fonksiyon
sınırda analitiktir alanlar
ve sonlu sayıda tekil nokta hariç, bölge içindeki her yerde
, sonra

.

İntegralleri hesaplarken, fonksiyonun tüm tekil noktalarını dikkatlice bulmaya değer.
, ardından bir kontur ve tekil noktalar çizin ve ardından yalnızca entegrasyon konturunun içine giren noktaları seçin. Çizim yapmadan doğru seçimi yapmak genellikle zordur.

Kesinti hesaplama yöntemi
özel noktanın türüne bağlıdır. Bu nedenle, kesintiyi hesaplamadan önce tekil noktanın türünü belirlemeniz gerekir.

1) noktada fonksiyonun çıkarılması Laurent açılımında birinci derecenin eksi değerindeki katsayıya eşittir
noktanın yakınında :

.

Bu ifade tüm izole nokta türleri için geçerlidir ve bu nedenle bu durumda özel bir noktanın türünü belirlemek gerekli değildir.

2) çıkarılabilir tekil noktadaki kalıntı sıfırdır.

3) eğer basit bir kutuptur (birinci dereceden kutup) ve fonksiyon
olarak temsil edilebilir
, nerede
,
(bu durumda unutmayın
), daha sonra noktadaki kesinti eşittir

.

özellikle, eğer
, sonra
.

4) eğer basit bir kutup, o zaman

5) eğer - kutup
sıra fonksiyonu
, sonra

Örnek 4.7. integrali hesapla
.

Çözüm.İntegrandın tekil noktalarını bulun ... İşlev iki tekil noktası vardır ve Konturun içine sadece bir nokta düşüyor (şekil 4.6). Puan - ikinci derecenin kutbu, çünkü fonksiyon için çokluk 2'nin sıfırıdır .

Ardından, formül (4.7) kullanılarak, bu noktada kalıntıyı buluruz:

Teorem 4.1 sayesinde, buluruz