Doğrusal bir operatörün özvektörü. Doğrusal bir operatörün özvektörleri ve özdeğerleri

En basit doğrusal operatör, bir vektörün bir \ (\ lambda \) ile çarpılmasıdır. Bu operatör basitçe tüm vektörleri \ (\ lambda \) kez uzatır. Herhangi bir temelde matris formu \ (diag (\ lambda, \ lambda, ..., \ lambda) \). Kesinlik için, \ (\ matit (L) \) vektör uzayında \ (\ (e \) \) tabanını sabitleriz ve bu temelde köşegen matris formuna sahip bir doğrusal operatör düşünün, \ (\ alpha = diag ( \ lambda _1, \ lambda _2, ..., \ lambda _n) \). Bu operatör, matris formunun tanımına göre, \ (e_k \) \ (\ lambda _k \) kez uzanır, yani. \ (Ae_k = \ lambda _ke_k \) tümü için \ (k = 1,2, ..., n \). İLE BİRLİKTE köşegen matrisler onlarla çalışmak uygundur, sadece onlar için fonksiyonel bir hesap yapılır: herhangi bir fonksiyon \ (f (x) \) için \ (f (diag (\ lambda _1, \ lambda _2, ..., \) koyabiliriz lambda _n)) = diag (f (\ lambda _1), f (\ lambda _2), ..., f (\ lambda _n)) \). Böylece, doğal bir soru ortaya çıkar: bir lineer operatör \ (A \ olsun) olsun, vektör uzayında \ (A \) operatörünün matris formunun bu temelde köşegen olması için bir temel seçmek mümkün müdür? Bu soru, özdeğerlerin ve özvektörlerin tanımlanmasına yol açar.

Tanım. izin ver lineer operatör\ (A \) sıfır olmayan bir vektör \ (u \) ve bir \ (\ lambda \) sayısı vardır, öyle ki \ [Au = \ lambda \ cdot u. \ dörtlü \ dörtlü (59) \] Sonra \ (u \) vektörü denir özvektör operatör \ (A \) ve sayı \ (\ lambda \) - karşılık gelen kendi numarası operatör \ (A \). Tüm özdeğerlerin toplanması denir lineer operatörün spektrumu \ (A \).

Doğal bir problem ortaya çıkar: belirli bir doğrusal operatör için özdeğerlerini ve karşılık gelen özvektörlerini bulun. Bu probleme lineer operatörün spektrum problemi denir.

özdeğer denklemi

Kesinlik için vektör uzayında bir taban sabitliyoruz, yani. bir kez ve herkes için verildiğini varsayacağız. Daha sonra, yukarıda tartışıldığı gibi, doğrusal operatörlerin dikkate alınması, matrislerin - doğrusal operatörlerin matris biçimlerinin dikkate alınmasına indirgenebilir. Denklem (59), \ [(\ alpha - \ lambda E) u = 0 olarak yeniden yazılabilir. \] Burada \ (E \) - kimlik matrisi, ve \ (\ alpha \) lineer operatörümüzün \ (A \) matris biçimidir. Bu oran bir sistem olarak yorumlanabilir \ (n \) lineer denklemler\ (n \) bilinmeyenler için - \ (u \) vektörünün koordinatları. Ayrıca, bu homojen bir denklem sistemidir ve onu bulmalıyız. önemsizçözüm. Daha önce, böyle bir çözümün varlığı için koşul verildi - bunun için sistemin sıralamasının bilinmeyenlerin sayısından az olması gerekli ve yeterli. Dolayısıyla özdeğerler için denklem şöyledir: \ [det (\ alpha - \ lambda E) = 0. \ dörtlü \ dörtlü (60) \]

Tanım. Denklem (60) denir karakteristik denklem lineer operatör \ (A \) için.

Bu denklemin özelliklerini ve çözümlerini tanımlayalım. Açıkça yazarsak, \ [(-1) ^ n \ lambda ^ n + ... + det (A) = 0 biçiminde bir denklem elde ederiz. \ dörtlü \ dörtlü (61) \] Sol tarafta \ (\ lambda \) değişkeninde bir polinom var. Bu tür denklemlere cebirsel dereceler \ (n \) denir. verelim gerekli bilgi bu denklemler hakkında

Cebirsel denklemler hakkında yardım.

Teorem. \ (A \) doğrusal operatörünün tüm özdeğerleri asal olsun. Daha sonra bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler seti bir temel oluşturur. vektör alanı.

Teoremin koşullarından, operatörünün tüm özdeğerlerinin \ (A \) farklı olduğu anlaşılmaktadır. Özvektörler kümesinin lineer olarak bağımlı olduğunu varsayalım, öyle ki, tümü sıfır olmayan, \ (c_1, c_2, ..., c_n \) sabitleri vardır ve şu koşulu sağlar: \ [\ sum_ (k = 1) ^ nc_ku_k = 0. \ dörtlü \ dörtlü (62) \]

Bu tür formüller arasında, minimum terim sayısını içeren ve \ (A \) operatörü ile hareket eden bir formül düşünün. Doğrusallığından dolayı şunu elde ederiz: \ [A \ sol (\ toplam_ (k = 1) ^ nc_ku_k \ sağ) = \ toplam_ (k = 1) ^ nc_kAu_k = \ sum_ (k = 1) ^ nc_k \ lambda _ku_k = 0. \ dörtlü \ dörtlü (63) \]

Kesinlik için \ (c_1 \ neq 0 \) olsun. (62)'yi \ (\ lambda _1 \) ile çarparak ve (63)'den çıkararak, formun (62) bir ilişkisini elde ederiz, ancak bir terim eksiktir. Çelişki teoremi kanıtlıyor.

Böylece, teoremin koşulları altında, belirli bir doğrusal operatörle - özvektörlerinin temeli ile ilişkili bir temel görünür. Operatörün matris formunu böyle bir temelde düşünün. Yukarıda bahsedildiği gibi, bu matrisin \ (k \) - th sütunu, \ (Au_k \) vektörünün baz cinsinden genişlemesidir. Ancak, tanım gereği \ (Au_k = \ lambda _ku_k \), yani bu ayrıştırma (sağ tarafta yazılanlar) sadece bir terim içerir ve oluşturulan matris köşegen olur. Sonuç olarak, teoremin koşulları altında, operatörün özvektörleri temelinde matris formunun \ (diag (\ lambda _1, \ lambda _2, ..., \ lambda _n) \)'ye eşit olduğunu elde ederiz. . Bu nedenle, doğrusal bir operatör için fonksiyonel bir hesap geliştirmek gerekiyorsa, özvektörleri temelinde çalışmak mantıklıdır.

Doğrusal operatörün özdeğerleri arasında katlar varsa, durumun açıklaması daha karmaşık hale gelir ve Ürdün hücrelerini içerebilir. İlgili durumları keşfetmek için okuyucuyu daha gelişmiş eğitimlere yönlendireceğiz.

n-boyutlu bir lineer uzay V'nin lineer dönüşümü olsun. koşulu sağlayan V lineer uzayının sıfırdan farklı vektörü \ kalın sembol(ler)i

\ matematik (A) (\ kalın sembol (ler)) = \ lambda \ cdot \ kalın sembol (ler),

aranan özvektör doğrusal dönüşüm \ matematiksel (A). (9.5) eşitliğindeki \ lambda sayısına denir özdeğer dönüşümü\ matematiksel (A). Özvektörün, özdeğer \ lambda'ya karşılık geldiği (ait olduğu) söylenir. V uzayı gerçek (karmaşık) ise, özdeğer \ lambda gerçek (karmaşık) bir sayıdır.

Doğrusal bir dönüşümün tüm özdeğerlerinin kümesine denir. spektrum.

Özvektörlerin geometrik anlamını açıklayalım. Sıfır olmayan bir vektör s, görüntüsü ise \ mathcal (A) dönüşümü için bir özdeğerdir. \ matematiksel (A) (\ kalın sembol (ler))\ kalın sembol (ler) ile eşdoğrusal. Diğer bir deyişle, \ boldsymbol (s) bir özvektör ise, \ mathcal (A) dönüşümünün tek boyutlu bir değişmez alt uzayı vardır. Tersi de doğrudur.

Gerçekten de, özvektör \ kalın sembol(ler)in bir özdeğer \ lambda'ya karşılık gelmesine izin verin. Herhangi bir vektör \ kalın sembol (v) \ operatöradı (Lin) (\ kalın sembol (ler)) forma sahip \ kalın sembol (v) = \ alfa \ kalın sembol (ler), burada \ alpha verilen alandan herhangi bir sayıdır. Bu vektörün görüntüsünü bulun

\ matematik (A) (\ boldsymbol (v)) = \ matematik (A) (\ alpha \ boldsymbol (s)) = \ alpha \ cdot \ matcal (A) (\ boldsymbol (s)) = \ alpha \ cdot \ lambda \ cdot \ kalın sembol (ler) \ in \ operatöradı (Lin) (\ kalın sembol (ler)).

Buradan, \ matematik (A) (\ kalın sembol (v)) \ in \ operatöradı (Lin) (\ kalın sembol (ler)) herhangi bir vektör için \ kalın sembol (v) \ in \ operatöradı (Lin) (\ kalın sembol (ler)), yani alt uzay \ operatöradı (Lin) (\ kalın sembol (ler))\ mathcal (A) dönüşümü altında değişmezdir. alt uzay boyutu \ operatöradı (Lin) (\ kalın sembol (ler)) bire eşittir, çünkü \ kalın sembol (ler) \ ne \ kalın sembol (o) a-rahip.

Tersi ifade, muhakemeyi ters sırada gerçekleştirerek kanıtlanır.

Doğrusal bir dönüşümün (operatör) özvektörleri ile matrisi arasındaki ilişki

Matrisin özvektörleri ve özdeğerleri daha önce düşünülmüştü. N'inci mertebeden bir kare matris A'nın özvektörüne sıfırdan farklı dendiğini hatırlayın. sayısal sütun s = \ başlangıç ​​(pmatrix) s_1 & \ cdots & s_ (n) \ bitiş (pmatrix) ^ T tatmin edici koşul (7.13):

A \ cdot s = \ lambda \ cdot s.

(9.6)'daki \ lambda sayısına A matrisinin öz değeri denir. Özdeğer \ lambda ve sayıların s_i ~ (i = 1, \ ldots, n) karmaşık sayılar alanına aittir.

Bu kavramlar, doğrusal bir dönüşümün özvektörleri ve özdeğerleri ile ilgilidir.

Lineer dönüşümün özvektörleri ve matrisi üzerine Teorem 9.3. İzin vermek \ matematiksel (A) \ iki nokta üst üste V \ - V- n-boyutlu lineer uzay V'nin baz ile lineer dönüşümü. O zaman, dönüşümün \ matematiksel (A) özvektörünün \ kalın sembolünün (lerinin) özdeğer \ lambda ve koordinat sütunu (ları), bu dönüşümün tabana göre tanımlanan A matrisinin özdeğeri ve özvektörüdür. \ kalın sembol (e) _1, \ ldots, \ kalın sembol (e) _n, yani

\ matematik (A) (\ kalın sembol (ler)) = \ lambda \ cdot \ kalın sembol (ler) \ dörtlü \ Sağ ok \ dörtlü A \ cdot s = \ lambda \ cdot s, nerede \ boldsymbol (s) = s_1 \ boldsymbol (e) _1 + \ ldots + s_n \ boldsymbol (e) _n, ~ s = \ start (pmatrix) s_1 & \ cdots & s_n \ end (pmatrix) ^ T.

Bunun tersi doğrudur ek koşullar: eğer sütun s = \ başlangıç ​​(pmatrix) s_1 & \ cdots & s_n \ bitiş (pmatrix) ^ T ve sayı \ lambda, A matrisinin özvektörü ve öz değeridir ve sayılar s_1, \ ldots, s_n, \ lambda V doğrusal uzayının tanımlandığı aynı sayı alanına aittir, ardından vektör \ kalın sembol (ler) = s_1 \ kalın sembol (e) _1 + \ ldots + s_n \ kalın sembol (e) _n ve \ lambda sayısı lineer dönüşümün özvektörü ve özdeğeridir \ matematiksel (A) \ iki nokta üst üste V \ - V temelinde matris A ile \ kalın sembol (e) _1, \ ldots, \ kalın sembol (e) _n.

Gerçekten de, koordinat biçimindeki (9.5) koşulu, matrisin özvektörünün (7.13) tanımıyla örtüşen (9.6) biçimine sahiptir. Aksine, eşitlik (9.6), vektörlerin ve \ lambda \ cdot \ kalın sembol (ler) tanımlı, yani sayılar s_1, \ ldots, s_n, \ lambda lineer uzayın tanımlandığı aynı sayı alanına aittir.

Bir matrisin özdeğerlerini bulmanın, karakteristik denklemini çözmeye indirgendiğini hatırlayın. \ Delta_A (\ lambda) = 0, nerede \ Delta_A (\ lambda) = \ det (A- \ lambda E) A matrisinin karakteristik polinomudur. Doğrusal bir dönüşüm için benzer kavramları tanıtıyoruz.

Doğrusal bir dönüşümün karakteristik polinomu \ matematiksel (A) \ iki nokta üst üste V \ - V Bir n-boyutlu lineer uzay, V uzayının herhangi bir tabanına göre bulunan bu dönüşümün A matrisinin karakteristik polinomudur.

Denklem denir lineer dönüşümün karakteristik denklemi.

dönüşüm \ matematik (A) - \ lambda \ matematik (E) doğrusal dönüşüm için karakteristik denir \ matematiksel (A) \ iki nokta üst üste V \ - V.

Açıklamalar 9.4

1. Doğrusal dönüşümün karakteristik polinomu, dönüşüm matrisinin bulunduğu temele bağlı değildir.

Gerçekten de, matrisler \ matematik (A) \ limitler _ ((\ boldsymbol (e))) ve \ matematik (A) \ limitler _ ((\ boldsymbol (f))) bazlarda lineer dönüşüm \ matematiksel (A) (\ boldsymbol (e)) = (\ boldsymbol (e) _1, \ ldots, \ boldsymbol (e) _n) ve (\ boldsymbol (f)) = (\ boldsymbol (f) _1, \ ldots, \ boldsymbol (f) _n)(9.4)'e göre benzerdir: \ nathop (A) \ limitler _ ((\ boldsymbol (f))) = S ^ (- 1) \ matematik (A) \ limitler _ ((\ boldsymbol (e))) S, burada S, tabandan (\ kalın sembol (e)) tabana (\ kalın sembol (f)) geçiş matrisidir. Daha önce gösterildiği gibi, karakteristik polinomlar benzer matrislerçakışır (bkz. özellik 3). Bu nedenle, \ matematiksel (A) dönüşümünün karakteristik polinomu için şu notasyon kullanılabilir: \ Delta _ (\ matematik (A)) (\ lambda) bu dönüşümün matrisini belirtmeden.

2. Teorem 9.3'ten, karakteristik denklemin herhangi bir karmaşık (gerçek, rasyonel) kökünün lineer dönüşümün bir öz değeri olduğu sonucu çıkar. \ matematiksel (A) \ iki nokta üst üste V \ - V karmaşık (gerçek, rasyonel) sayılar alanı üzerinde tanımlanan lineer uzay V.

3. Teorem 9.3'ten, karmaşık bir lineer uzayın herhangi bir lineer dönüşümünün tek boyutlu bir değişmez alt uzaya sahip olduğu sonucu çıkar, çünkü bu dönüşümün bir öz değeri (bkz. madde 2) ve dolayısıyla özvektörleri vardır. Böyle bir alt uzay, örneğin, herhangi bir özvektörün lineer gövdesidir. Karakteristik denklemin tüm kökleri karmaşık (ama gerçek değil) ise, tek boyutlu değişmez alt uzayların gerçek bir lineer uzayının dönüşümü olmayabilir.

Gerçek uzayda bir lineer operatörün değişmez alt uzayları üzerine Teorem 9.4. Gerçek bir lineer uzayın herhangi bir lineer dönüşümü, tek boyutlu veya iki boyutlu değişmez bir alt uzaya sahiptir.

Doğrusu, lineer dönüşümün A matrisini oluşturuyoruz. \ matematiksel (A) \ iki nokta üst üste V \ - V keyfi bir temelde n-boyutlu gerçek doğrusal uzay V \ kalın sembol (e) _1, \ ldots, \ kalın sembol (e) _n... Bu matrisin elemanları reel sayılardır. Bu nedenle, karakteristik polinom \ Delta _ (\ matematik (A)) (\ lambda) = \ det (A- \ lambda E) gerçek katsayıları olan n dereceli bir polinomdur. Cebir ana teoreminin Sonuçları 3, 4'e göre, böyle bir polinom gerçek köklere ve karmaşık eşlenik kök çiftlerine sahip olabilir.

\ lambda = \ lambda_1, karakteristik denklemin gerçek kökü ise, karşılık gelen özvektör s = \ başlangıç ​​(pmatrix) s_1 & \ cdots & s_n \ bitiş (pmatrix) ^ T A matrisi de gerçektir. Bu nedenle, bir özvektör tanımlar \ kalın sembol (ler) = s_1 \ kalın sembol (e) _1 + \ ldots + s_n \ kalın sembol (e) _n lineer dönüşüm (bkz. Teorem 9.3). Bu durumda, tek boyutlu bir \ matematiksel (A) değişmez alt uzayı vardır. \ operatöradı (Lin) (\ kalın sembol (ler))(özvektörlerin geometrik anlamına bakın).

Eğer \ lambda = \ alfa \ pm \ beta ben bir çift karmaşık eşlenik köktür (\ beta \ ne0), daha sonra A matrisinin s \ ne o özvektörü de karmaşık elemanlarla birlikte: s = \ start (pmatrix) x_1 + y_1i & \ cdots & x_n + y_n i \ end (pmatrix) ^ T... s = x + yi olarak temsil edilebilir, burada x, \, y gerçek sütunlardır. Eşitlik (9.6) daha sonra forma sahip olacaktır.

A \ cdot (x + yi) = (\ alpha + \ beta i) \ cdot (x + yi).

Gerçek ve hayali kısımları ayırarak sistemi elde ederiz.

\ başlangıç ​​(durumlar) Ax = \ alpha x- \ beta y, \\ Ay = \ beta x + \ alpha y. \ bitiş (durumlar)

(x) ve (y) sütunlarının lineer bağımsız olduğunu gösterelim. İki durumu ele alalım. Eğer x = o ise, (9.7)'deki ilk denklemden, \ beta \ ne0'dan beri y = o olduğu sonucu çıkar. Sonra s = o, bu da s \ ne o koşuluyla çelişir. Diyelim ki x \ ne o ve x ve y sütunları orantılı, yani. böyle var gerçek Numara\ gama öyle ki y = \ gama x. Daha sonra sistemden (9.7) elde ederiz \ başlangıç ​​(durumlar) Ax = (\ alpha- \ beta \ gamma) x, \\ \ gamma Ax = (\ beta- \ alpha \ gamma) x. \ bitiş (durumlar)İkinci denkleme birinciyi ekleyerek (- \ gamma) ile çarparak eşitliğe ulaşırız [(\ beta + \ alfa \ gama) - \ gama (\ alfa- \ beta \ gama)] x = o... x \ ne o olduğundan, köşeli parantez içindeki ifade sıfırdır, yani. (\ beta + \ alfa \ gama) - \ gama (\ alfa- \ beta \ gama) = \ beta (1+ \ gama ^ 2) = 0... \ beta \ ne0, \ gama ^ 2 = -1 olduğundan. Bu olamaz, çünkü \ gama gerçek bir sayıdır. Bir çelişki yakaladık. Bu nedenle, x ve y sütunları lineer bağımsızdır.

Alt uzayı düşünün \ boldsymbol (x) = x_1 \ boldsymbol (e) _1 + \ ldots + x_n \ boldsymbol (e) _n, ~ \ boldsymbol (y) = y_1 \ boldsymbol (e) _1 + \ ldots + y_n \ boldsymbol (y) _n... Bu alt uzay iki boyutludur, çünkü vektörler \ kalın sembol (x), \ kalın sembol (y) lineer bağımsızdır (yukarıda gösterildiği gibi, x, y koordinat sütunları lineer olarak bağımsızdır). (9.7)'den şu sonuç çıkar: \ başlangıç ​​(durumlar) \ matematik (A) (\ boldsymbol (x)) = \ alpha \ boldsymbol (x) - \ beta \ boldsymbol (y), \\ \ matematik (A) (\ boldsymbol (y)) = \ beta \ kalın sembol (x) + \ alpha \ kalın sembol (y), \ bitiş (durumlar) onlar. ait herhangi bir vektörün görüntüsü \ operatöradı (Lin) (\ kalın sembol (x), \ kalın sembol (y)), ayrıca aittir \ operatöradı (Lin) (\ kalın sembol (x), \ kalın sembol (y))... Buradan, \ operatöradı (Lin) (\ kalın sembol (x), \ kalın sembol (y)) gerektiği gibi, \ mathcal (A) dönüşümü altında iki boyutlu bir altuzay değişmezidir.

Doğrusal bir operatörün özvektörlerini ve değerlerini bulma (dönüşüm)

Doğrusal bir dönüşümün özvektörlerini ve özdeğerlerini bulmak için \ matematiksel (A) \ iki nokta üst üste V \ - V gerçek bir lineer uzay V için aşağıdaki eylemler gerçekleştirilmelidir.

1. Keyfi bir temel seçin \ kalın sembol (e) _1, \ ldots, \ kalın sembol (e) _n lineer uzay V ve bu temelde A \ mathcal (A) dönüşüm matrisini bulun.

2. Dönüşümün karakteristik polinomunu oluşturun \ matematik (A) \ iki nokta üst üste \, \ Delta _ (\ matematik (A)) (\ lambda) = \ det (A- \ lambda E).

3. Tüm farklı geçerli kökleri bulun \ lambda_1, \ ldots, \ lambda_k karakteristik denklem \ Delta _ (\ matematik (A)) (\ lambda) = 0... Karakteristik denklemin karmaşık (ama gerçek olmayan) kökleri atılmalıdır (bkz. 9.4 açıklamanın 2. maddesi).

4. Kök \ lambda = \ lambda_1 için temel sistemi bulun \ varphi_1, \ varphi_2, \ ldots, \ varphi_ (n-r) homojen denklem sisteminin çözümleri (A- \ lambda_1E) x = o, burada r = \ operatöradı (rg) (A- \ lambda_1E)... Bunun için, homojen bir sistemi çözmek için bir algoritma veya temel matrisi bulma yöntemlerinden biri kullanılabilir.

5. Özdeğer \ lambda_1'e karşılık gelen lineer bağımsız dönüşüm özvektörleri \ matematik (A)'yı yazın:

\ start (matris) \ boldsymbol (s) _1 = \ varphi_ (1 \, 1) \ boldsymbol (e) _1 + \ ldots + \ varphi_ (n \, 1) \ boldsymbol (e) _n, \\ \ boldsymbol ( s) _2 = \ varphi_ (1 \, 2) \ boldsymbol (e) _1 + \ ldots + \ varphi_ (n \, 2) \ boldsymbol (e) _n, \\ \ vdots \\ \ boldsymbol (s) _ ( nr) = \ varphi_ (1 \, nr) \ kalın sembol (e) _1 + \ ldots + \ varphi_ (n \, nr) \ kalın sembol (e) _n. \ bitiş (matris)

Özdeğer \ lambda_1'e karşılık gelen tüm özvektörlerin koleksiyonunu bulmak için sıfır olmayan doğrusal kombinasyonlar oluşturun

\ kalın sembol (ler) = C_1 \ kalın sembol (ler) _1 + C_2 \ kalın sembol (ler) _2 + \ ldots + C_ (n-r) \ kalın sembol (ler) _ (n-r),

nerede C_1, C_2, \ ldots, C_ (n-r)- aynı anda sıfıra eşit olmayan keyfi sabitler.

Diğer özdeğerler için 4, 5 adımlarını tekrarlayın \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_k doğrusal dönüşüm \ matematiksel (A).

Karmaşık bir lineer uzayın lineer dönüşümünün özvektörlerini bulmak için, 3. adımda karakteristik denklemin tüm köklerini belirlemek ve karmaşık kökleri atmadan, onlar için 4. ve 5. maddeleri gerçekleştirmek gerekir.

Doğrusal operatörlerin özvektör örnekleri (dönüşümler)

1. Sıfır dönüşüm için \ matematiksel (O) \ iki nokta üst üste V \ - V sıfır olmayan herhangi bir vektör, sıfır özdeğer \ lambda = 0'a karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \ matematiksel (O) (\ boldsymbol (s)) = 0 \ cdot \ boldsymbol (s) ~ \ forall \ boldsymbol (s) \ V'de.

2. Özdeş dönüşüm için \ matematiksel (E) \ iki nokta üst üste V \ - V sıfır olmayan herhangi bir vektör \ kalın sembol (ler) \ V'de tek bir özdeğer \ lambda = 1'e karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \ matematiksel (E) (\ boldsymbol (s)) = 1 \ cdot \ boldsymbol (s) ~ \ forall \ boldsymbol (s) \ V'de.

3. Merkezi simetri için \ matematik (Z) _ (\ kalın sembol (o)) \ iki nokta üst üste V \ - V sıfır olmayan herhangi bir vektör \ kalın sembol (ler) \ V'de \ mathcal (Z) _ (\ boldsymbol (o)) (\ boldsymbol (s)) = (- 1) \ cdot \ boldsymbol (s) ~ \ forall \ boldsymbol (s) \ in V.

4. Homotetiklik için \ matematiksel (H) _ (\ lambda) \ iki nokta üst üste V \ - V sıfır olmayan herhangi bir vektör \ kalın sembol (ler) \ V'deözdeğer \ lambda'ya (homotety katsayısı) karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \ mathcal (H) _ (\ lambda) (\ boldsymbol (\ boldsymbol (s))) = \ lambda \ cdot \ boldsymbol (s) ~ \ forall \ boldsymbol (s) \ in V.

5. çevirmek \ matematik (R) _ (\ varphi) \ iki nokta üst üste V_2 \ - V_2 düzlemde (at) hiçbir özvektör yoktur, çünkü \ pi'nin katı olmayan bir açıyla döndürüldüğünde, sıfır olmayan her vektörün görüntüsü ters görüntüyle doğrusal değildir. Burada gerçek düzlemin dönüşünü ele alıyoruz, yani. gerçek sayıların alanı üzerinde iki boyutlu vektör uzayı.

6. Farklılaşma operatörü için \ mathcal (D) \ iki nokta üst üste P_n (\ mathbb (R)) \ - P_n (\ mathbb (R)) sıfır dereceli herhangi bir sıfır olmayan polinom (aynı şekilde sıfır değil) sıfır özdeğer \ lambda = 0'a karşılık gelen bir özvektördür, çünkü \ matematiksel (D) (s (x)) = 0 \ cdot s (x) \ forall s (x) \ eşdeğer \ metin (sabit)... Sıfırdan farklı herhangi bir polinom özvektör değildir, çünkü polinom türeviyle orantılı değildir: \ matematiksel (D) (s (x)) = s "(x) \ ne \ lambda \ cdot s (x) farklı derecelere sahip oldukları için.

7. Operatörü düşünün \ Pi_ (L_1) \ iki nokta üst üste V \ - V L_1 altuzayına L_2 altuzayına paralel izdüşümler. Burada V = L_1 \ oplus L_2, \ Pi_ (L_1) (\ boldsymbol (v) _1 + \ boldsymbol (v) _2) = \ boldsymbol (v) _1 için \ Pi_ (L_1) (\ boldsymbol (v) _1) = 1 \ cdot \ boldsymbol (v) _1, ve sıfır olmayan herhangi bir vektör, özdeğer \ lambda = 0'a karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \ Pi_ (L_2) (\ boldsymbol (v) _2) = 0 \ cdot \ boldsymbol (v) _2 \ Pi_ (L_1) (\ boldsymbol (v) _1 + \ boldsymbol (v) _2) = \ boldsymbol (v) _1 = \ lambda (\ boldsymbol (v) _1 + \ boldsymbol (v) _2) için veya için mümkündür.

8. Operatörü düşünün \ matematik (Z) _ (L_1) \ iki nokta üst üste V \ - V L_1 altuzayına L_2 altuzayına paralel yansıma. Burada V = L_1 \ oplus L_2 \ matematiksel (Z) _ (L_1) (\ boldsymbol (v) _1 + \ boldsymbol (v) _2) = \ boldsymbol (v) _1- \ boldsymbol (v) _2, için \ kalın sembol (v) = \ kalın sembol (v) _1 + \ kalın sembol (v) _2, \ boldsymbol (v) _1 \ L_1'de, ~ \ boldsymbol (v) _2 \ L_2'de... Bu operatör için sıfır olmayan herhangi bir vektör \ kalın sembol (v) _1 \ L_1 içindeözdeğer \ lambda = 1'e karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \ matematik (Z) _ (L_1) (\ boldsymbol (v) _1) = 1 \ cdot \ boldsymbol (v) _1, ve sıfır olmayan herhangi bir vektör \ kalın sembol (v) _2 \ L_2'deözdeğer \ lambda = -1'e karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \ matematik (Z) _ (L_2) (\ kalın sembol (v) _2) = (-1) \ cdot \ kalın sembol (v) _2... Diğer vektörler özvektör değildir, çünkü eşitlik \ matematik (Z) _ (L_1) (\ boldsymbol (v) _1 + \ boldsymbol (v) _2) = \ boldsymbol (v) _1- \ boldsymbol (v) _2 = \ lambda (\ boldsymbol () _ 1+ \ kalın sembol (v ) _2) muhtemelen ya ile \ kalın sembol (v) _1 = \ kalın sembol (o) veya \ kalın sembol (v) _2 = \ kalın sembol (o).

9. Uzayın yarıçap vektörlerinin V_3 uzayında, sabit bir O noktasından ayrı olarak, bir açıyla dönüşü düşünün \ varphi \ ne \ pi k, ~ k \ in \ mathbb (Z), yarıçap vektörü \ vec (\ ell) tarafından tanımlanan \ ell ekseni etrafında. \ vec (\ ell) vektörüne eşdoğrusal olan herhangi bir sıfır olmayan vektör, özdeğer \ lambda = 1'e karşılık gelen bir özdeğerdir. Bu dönüşümün başka özvektörleri yoktur.

Örnek 9.1. Türev alma operatörünün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun \ matematik (D) \ iki nokta üst üste T_1 \ - T_1 trigonometrik polinomların uzayını dönüştürmek (frekanslar \ omega = 1):

a) gerçek katsayılarla T_1 = T_1 (\ mathbb (R)) = \ operatöradı (Lin) (\ sin (t), \ cos (t));

b) karmaşık katsayılarla T_1 = T_1 (\ mathbb (C)) = \ operatöradı (Lin) (\ sin (t), \ cos (t)).

Çözüm. 1. Standart bir temel seçin e_1 (t) = \ günah (t), ~ e_2 (t) = \ cos (t) ve bu temelde, \ mathcal (D) operatörünün D matrisini oluşturun:

D = \ start (pmatrix) 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end (pmatrix) \ !.

2. Karakteristik dönüşüm polinomunu oluşturalım \ matematik (D) \ iki nokta üst üste \, \ Delta _ (\ matematik (D)) (\ lambda) = \ başlangıç ​​(vmatrix) - \ lambda & -1 \\ 1 & - \ lambda \ bitiş (vmatrix) = \ lambda ^ 2 + 1..

3. Karakteristik denklem \ lambda ^ 2 + 1 = 0 karmaşık eşlenik köklere sahiptir \ lambda_1 = ben, ~ \ lambda_2 = -i... Gerçek kök yoktur, bu nedenle T_1 (\ mathbb (R)) (durum (a)) gerçek uzayının \ matematiksel (D) dönüşümünün özdeğerleri ve dolayısıyla özvektörleri yoktur. T_1 (\ mathbb (C)) (durum (b)) karmaşık uzayının \ matematiksel (D) dönüşümü karmaşık özdeğerlere sahiptir \ lambda_1, \, \ lambda_2.

4 (1). Kök \ lambda_1 = i için, homojen denklem sisteminin çözümlerinin temel \ varphi_1 sistemini buluyoruz (D- \ lambda_1 E) x = o:

\ start (pmatrix) -i & -1 \\ 1 & -i \ end (pmatrix) \! \ cdot \! \ başlangıç ​​(pmatrix) x_1 \\ x_2 \ bitiş (pmatrix) = \ başlangıç ​​(pmatrix) 0 \\ 0 \ bitiş (pmatrix) \ !.

İlk denklemi (i) ile çarparak ve ikinci denklemden çıkararak sistemin matrisini kademeli bir forma indirelim:

\ başlangıç ​​(pmatrix) -i & -1 \\ 1 & -i \ bitiş (pmatrix) \ sim \ başlangıç ​​(pmatrix) 1 & -i \\ 1 & -i \ bitiş (pmatrix) \ sim \ başlangıç ​​(pmatrix) 1 & -i \ \ 0 & 0 \ son (pmatrix) \ !.

Temel değişken x_1'i serbest olanla ifade ediyoruz: x_1 = ix_2. x_2 = 1 ayarlandığında, x_1 = i, yani elde ederiz. \ varphi = \ başlangıç ​​(pmatrix) i & 1 \ bitiş (pmatrix) ^ T.

5 (1). Özdeğere karşılık gelen özvektörü yazıyoruz \ lambda_1 = i \ iki nokta üst üste \, s_1 (t) = ben \ cdot \ günah (t) +1 \ cdot \ cos (t)... Özdeğer \ lambda_1 = i'ye karşılık gelen tüm özvektörler kümesi, s_1 (t) ile orantılı sıfır olmayan fonksiyonlar oluşturur.

4 (2). Kök \ lambda_2 = -i için benzer şekilde temel sistemi buluruz (bir vektörden oluşur) \ varphi_2 = \ başlangıç ​​(pmatrix) -i & 1 \ bitiş (pmatrix) ^ T homojen denklem sisteminin çözümleri (D- \ lambda_2E) x = o:

\ start (pmatrix) i & -1 \\ 1 & i \ end (pmatrix) \! \ cdot \! \ başlangıç ​​(pmatrix) x_1 \\ x_2 \ bitiş (pmatrix) = \ başlangıç ​​(pmatrix) 0 \\ 0 \ bitiş (pmatrix) \ !.

5 (2). Özdeğere karşılık gelen özvektörü yazıyoruz \ lambda_2 = -i \ iki nokta üst üste \, s_2 (t) = - i \ cdot \ günah (t) +1 \ cdot \ cos (t)... Özdeğer \ lambda_2 = -i'ye karşılık gelen tüm özvektörler kümesi, s_2 (t) ile orantılı sıfırdan farklı fonksiyonlar oluşturur.

Ayrıca bkz. Lineer operatörlerin özvektörlerinin özellikleri (dönüşümler) Tarayıcınızda Javascript devre dışı.
Hesaplama yapmak için ActiveX denetimlerini etkinleştirmeniz gerekir!

Köşegen matrisler en basitidir. Doğrusal bir operatörün matrisinin köşegen bir forma sahip olacağı bir temel bulmanın mümkün olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. Böyle bir temel mevcuttur.
Bir lineer uzay R n ve onun içinde hareket eden bir lineer A operatörü olsun; bu durumda A operatörü R n'yi kendi içine alır, yani A: R n → R n.

Tanım. Sıfır olmayan bir vektör, A operatörünün kendisiyle eşdoğrusal bir vektöre dönüşmesi durumunda, A operatörünün özvektörü olarak adlandırılır. λ sayısı, özvektöre karşılık gelen A operatörünün özdeğeri veya özdeğeri olarak adlandırılır.
Özdeğerlerin ve özvektörlerin bazı özelliklerini not edelim.
1. Herhangi bir doğrusal özvektör kombinasyonu A operatörünün aynı özdeğere karşılık gelen λ, aynı özdeğere sahip bir özvektördür.
2. Özvektörler A operatörünün ikili olarak farklı özdeğerleri λ 1, λ 2,…, λ m olan lineer bağımsızdır.
3. Özdeğerler λ 1 = λ 2 = λ m = λ ise, özdeğer λ en fazla m lineer bağımsız özvektöre karşılık gelir.

Yani, eğer lineer olarak bağımsız n tane özvektör varsa farklı özdeğerlere karşılık gelen λ 1, λ 2,…, λ n, o zaman doğrusal olarak bağımsızdırlar, bu nedenle R n uzayının temeli olarak alınabilirler. A operatörü tarafından temel vektörler üzerinde hareket ettiğimiz özvektörleri temelinde doğrusal A operatörünün matrisinin biçimini bulalım: sonra .
Böylece, doğrusal operatör A'nın özvektörleri temelinde matrisi köşegen bir forma sahiptir ve A operatörünün özdeğerleri köşegen üzerinde bulunur.
Matrisin köşegen olduğu başka bir temel var mı? Bu sorunun cevabı aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem. (i = 1..n) tabanındaki lineer A operatörünün matrisi, ancak ve ancak tabanın tüm vektörleri A operatörünün özvektörleriyse köşegen bir forma sahiptir.

Özdeğerleri ve özvektörleri bulma kuralı

Bir vektöre izin ver , burada x 1, x 2, ..., x n vektörün tabana göre koordinatlarıdır ve λ özdeğerine karşılık gelen lineer operatör A'nın özvektörüdür, yani. Bu ilişki matris formunda yazılabilir.

. (*)

Denklem (*), bulmak için bir denklem olarak düşünülebilir, ayrıca, özvektör sıfır olamayacağından önemsiz olmayan çözümlerle ilgileniyoruz. Homojen bir lineer denklem sisteminin önemsiz olmayan çözümlerinin ancak ve ancak det (A - λE) = 0 olduğunda var olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla, λ'nın A operatörünün bir özdeğeri olması için det (A - λE) = 0 olması gerekir ve yeterlidir. λE) = 0.
Denklem (*) koordinat biçiminde ayrıntılı olarak yazılırsa, bir doğrusal homojen denklem sistemi elde ederiz:

(1)
nerede lineer operatörün matrisidir.

Sistem (1), determinantı D sıfıra eşitse sıfır olmayan bir çözüme sahiptir.

Özdeğerleri bulmak için bir denklem aldı.
Bu denklem karakteristik denklem olarak adlandırılır ve Sol Taraf- matrisin (operatör) A karakteristik polinomu. Karakteristik polinomun gerçek kökleri yoksa, A matrisinin özvektörleri yoktur ve köşegen forma indirgenemez.
λ 1, λ 2,…, λ n karakteristik denklemin gerçek kökleri olsun ve aralarında birden fazla kök olabilir. Bu değerleri sırayla (1) sistemine koyarak özvektörleri buluyoruz.

Örnek 12. Lineer operatör A, yasaya göre R3'te hareket eder, burada x 1, x 2, .., x n, vektörün tabandaki koordinatlarıdır. , , ... Bu operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun.
Çözüm. Bu operatörün matrisini oluşturuyoruz:
.
Özvektörlerin koordinatlarını belirlemek için bir sistem oluşturuyoruz:

Karakteristik bir denklem hazırlıyoruz ve çözüyoruz:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
λ = -1'i sisteme koyarsak:
veya
Çünkü , o zaman iki bağımlı değişken ve bir serbest değişken vardır.
x 1 serbest bir bilinmeyen olsun, o zaman Bu sistemi herhangi bir şekilde çözer ve buluruz. ortak karar n - r = 3 - 2 = 1 olduğundan, temel karar sistemi tek bir çözümden oluşur.
λ = -1 özdeğerine karşılık gelen özvektörler kümesi şu şekildedir: burada x 1 sıfır olmayan herhangi bir sayıdır. Bu kümeden bir vektör seçelim, örneğin x 1 = 1 koyarak. .
Benzer şekilde tartışarak, özdeğer λ = 3'e karşılık gelen özvektörü buluruz: .
R3 uzayında taban, lineer olarak bağımsız üç vektörden oluşur, fakat biz sadece lineer olarak bağımsız iki özvektör elde ettik, bunlardan R3'teki baz oluşturulamaz. Bu nedenle, lineer operatörün A matrisi köşegen bir forma indirgenemez.

Örnek 13. Verilen bir matris .
1. Vektörün olduğunu kanıtlayın A matrisinin bir özvektörüdür. Bu özvektöre karşılık gelen özdeğeri bulun.
2. A matrisinin köşegen bir forma sahip olduğu bir taban bulun.
Çözüm.
1. Eğer, o zaman - özvektör

.
Vektör (1, 8, -1) bir özvektördür. Özdeğer λ = -1.
Matris, özvektörlerden oluşan tabanda köşegen bir forma sahiptir. Bunlardan biri ünlüdür. Gerisini bulalım.
Sistemden özvektörler arıyoruz:

Karakteristik denklem: ;
(3 + λ) [- 2 (2-λ) (2 + λ) +3] = 0; (3 + λ) (λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
λ = -3 özdeğerine karşılık gelen özvektörü bulalım:

Bu sistemin matrisinin rankı ikiye ve bilinmeyenlerin sayısına eşittir, bu nedenle bu sistemin yalnızca sıfır çözümü vardır x 1 = x 3 = 0. Burada x 2 herhangi bir sıfırdan farklı olabilir, örneğin, x 2 = 1. Böylece vektör (0 , 1,0), λ = -3'e karşılık gelen bir özvektördür. Hadi kontrol edelim:
.
λ = 1 ise, sistemi elde ederiz.
Matrisin sırası ikidir. Son denklemi siliyoruz.
x 3 serbest bir bilinmeyen olsun. Sonra x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
x 3 = 1 ayarlandığında, (-3, -9,1) - özdeğer λ = 1'e karşılık gelen özvektör elde edilir. Doğrulama:

.
Özdeğerler reel ve farklı olduğundan bunlara karşılık gelen vektörler lineer bağımsızdır, dolayısıyla R3'te temel alınabilir. Böylece, temelde , , A matrisi şu şekildedir:
.
Bazı lineer operatörler için lineer bağımsız özvektörler n'den küçük olabileceğinden, bir lineer operatör A: R n → R n'nin her matrisi köşegen forma indirgenemez. Bununla birlikte, matris simetrik ise, o zaman tam olarak m doğrusal olarak bağımsız vektörler, karakteristik m çokluk denkleminin köküne karşılık gelir.

Tanım. Simetrik bir matris, ana köşegen etrafında simetrik olan elemanların eşit olduğu, yani içinde kare bir matristir.
Uyarılar. 1. Simetrik bir matrisin tüm özdeğerleri gerçektir.
2. İkili olarak farklı özdeğerlere karşılık gelen simetrik bir matrisin özvektörleri ortogonaldir.
İncelenen aparatın birçok uygulamasından biri olarak, ikinci dereceden bir eğrinin şeklini belirleme problemini ele alalım.

Tanım 5.3. Doğrusal uzayda sıfır olmayan vektör x arama lineer operatörün özvektörü А: L → L eğer bir gerçek sayı А için Ax = λx bağıntısı yerine getirilirse. Ayrıca, λ sayısı denir lineer bir operatörün özdeğeri (özdeğeri) A.

Örnek 5.3. En fazla n dereceli polinomların lineer uzayı К n [х] sıfır dereceli polinomları içerir, yani, kalıcı işlevler... dc / dx = 0 = 0 c olduğundan, sıfır derece p (x) = c ≠ 0 polinomları doğrusal türev operatörünün özvektörleridir ve λ = 0 sayısı bu operatörün özdeğeridir. #

Doğrusal bir operatörün tüm özdeğerlerinin kümesine denir. lineer operatörün spektrumu ... Her özvektör kendi değeriyle ilişkilendirilir. Gerçekten de, eğer bir x vektörü Ax = λx ve Ax = μx iki eşitliğini aynı anda sağlıyorsa, o zaman λx = μx, bu nedenle (λ - μ) x = 0. Eğer λ - μ ≠ 0 ise, eşitliği (λ -) sayısıyla çarparız. μ) -1 ve bunun sonucunda x = 0 elde ederiz. Ancak bu özvektörün tanımıyla çelişir, çünkü özvektör her zaman sıfır değildir.

Her özdeğerin kendi özvektörleri vardır ve bunlardan sonsuz sayıda vardır. Gerçekten de, eğer x, özdeğeri λ olan lineer A operatörünün bir özvektörü ise, yani, Ax = λx, o zaman sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayı α için αx ≠ 0 ve А (αх) = α (Ax) = αλx = λ (αx) elde ederiz. Dolayısıyla, αx vektörü aynı zamanda lineer operatör için bir özvektördür.

Açıklama 5.1. Genellikle hakkında konuşmak kare matrisin özdeğerleri (sayıları), spektrumu ve özvektörleri ... Aşağıdakileri kastediyorlar. n mertebesindeki A matrisi matris biraz lineer operatör sabit temel faaliyette bulunmak n-boyutlu lineer uzay... Örneğin, eğer durursanız lineer aritmetik uzayda standart taban R n, sonra A matrisi, bir x koordinatları sütunuyla bir x ∈ R n vektörünü Ax koordinatlarıyla bir vektöre eşleyen doğrusal bir A operatörünü tanımlar. A matrisi tam olarak A matrisidir. Bir operatörün matrisiyle tanımlanması, bir aritmetik vektörün koordinatlarının bir sütunu ile tanımlanması gibi doğaldır. Sıklıkla kullanılan ve her zaman şart koşulmayan böyle bir tanımlama, "operatör" terimlerinin matrislere aktarılmasına izin verir.

Doğrusal bir operatörün spektrumu, onunla yakından ilişkilidir. karakteristik denklem.

Teorem 5.3.λ reel sayısının bir lineer operatörün özdeğeri olması için, bu operatörün karakteristik denkleminin kökü olması gerekli ve yeterlidir.

◄ Gereklilik. λ, A: L → L lineer operatörünün bir özdeğeri olsun. Bu, bir x ≠ 0 vektörü olduğu anlamına gelir.

Ax = λx. (5.2)

L'nin etki ettiğine dikkat edin kimlik operatörü I: Herhangi bir x vektörü için Ix = x. Bu operatörü kullanarak eşitliği (5.2) dönüştürürüz: Ax = λIx, veya

(A - λI) x = 0. (5.3)

Vektör eşitliğini (5.3) bir bazda yazıyoruz b. A - λI doğrusal operatörünün matrisi, A - λE matrisi olacaktır, burada A, b temelindeki A doğrusal operatörünün matrisidir ve E birim matristir ve x, özvektörün koordinatlarının sütunu olsun. x. Sonra x ≠ 0 ve vektör eşitliği (5.3) matrise eşdeğerdir

(A - λE) x = 0, (5.4)

homojen bir lineer sistemin matris notasyonu olan cebirsel denklemler(SLAE) ile Kare matrisА - λЕ sıralı n. Bu sistem, x özvektörünün x koordinatlarının sütunu olan sıfırdan farklı bir çözüme sahiptir. Bu nedenle, (5.4) sisteminin А - λЕ matrisi sıfır determinantına sahiptir, yani, det (A - λЕ) = 0. Bu, λ'nın lineer operatör A'nın karakteristik denkleminin kökü olduğu anlamına gelir.

Yeterlilik Yukarıdaki akıl yürütmenin ters sırada gerçekleştirilebileceğini görmek kolaydır. λ karakteristik denklemin bir kökü ise, verilen bir b bazında eşitlik det (A - λЕ) = 0 geçerlidir.Sonuç olarak, matris formunda yazılan homojen SLAE (5.4) matrisi dejeneredir ve sistemin bir sıfır olmayan çözüm Bu sıfırdan farklı çözüm, vektör eşitliğinin (5.3) veya eşdeğerinin (5.2) geçerli olduğu bazı sıfır olmayan x vektörlerinin b bazındaki koordinatlar kümesidir. λ sayısının lineer operatör A'nın bir özdeğeri olduğu sonucuna varıyoruz.

Matrisin (doğrusal operatör) her bir özdeğeri λ onunla ilişkilendirilir. çokluk, bu matrisin karakteristik denkleminin (bu doğrusal operatör) kökünün λ çokluğuna eşit olarak ayarlanır.

Doğrusal bir operatörün belirli bir özdeğerine karşılık gelen tüm özvektörler kümesi, doğrusal alt uzay bu set içermediğinden sıfır vektör ki, tanım gereği, sahip olunamaz. Ancak bu resmi ve kolayca kaldırılabilir engel tek engeldir. Bu kümeye bir sıfır vektörü eklenmiş olarak, λ özdeğerine karşılık gelen L doğrusal uzayındaki lineer A operatörünün tüm özvektörlerinin kümesini £ (A, λ) ile gösteriyoruz.

Teorem 5.4. L (A, λ) kümesi, L'nin lineer bir alt uzayıdır.

◄ Rastgele iki x, y ∈ £ (A, λ) vektörü seçin ve herhangi bir gerçek α ve β için αх + βу vektörünün de £ (A, λ)'ya ait olduğunu kanıtlayın. Bunu yapmak için, doğrusal operatör A'nın eylemi altında bu vektörün görüntüsünü hesaplıyoruz:

А (αх + βу) = А ((αx) + А (βу) = αАх + βАу = α (λх) + β (λу) = λ (αx) + λ (βу) = λ (αx + βу).

Böylece, z = αх + βу vektörü için Az = λz bağıntısı sağlanır. Eğer z bir sıfır vektör ise, o zaman £(A, λ)'ya aittir. Eğer sıfır değilse, ispatlanmış bağıntıya göre, özdeğeri λ olan bir özdeğerdir ve yine sterlin (A, λ) kümesine aittir.

Lineer alt uzay L (A, λ) bazen lineer bir operatörün öz alt uzayı *. özel bir durumdur değişmez alt uzay lineer operatör A - herhangi bir х ∈ H vektörü için Ax vektörünün de H'ye ait olduğu bir lineer alt uzay.

Bir lineer operatörün değişmez alt uzayı, aynı zamanda, özvektörlerinin herhangi bir sisteminin lineer yayılımıdır. Bir lineer operatörün özvektörleriyle ilgili olmayan değişmez alt uzayı, operatör resmi.

X ≠ 0 vektörüne denir özvektör AX = X olacak şekilde bir sayı varsa, matris A ile doğrusal operatör.

Bu durumda,  sayısı denir kendi anlamı x vektörüne karşılık gelen operatör (matris A).

Başka bir deyişle, bir özvektör, doğrusal bir operatörün etkisi altında, bir eşdoğrusal vektöre dönüşen bir vektördür, yani. sadece bir sayı ile çarpılır. Buna karşılık, uygun olmayan vektörlerin dönüştürülmesi daha zordur.

Bir özvektörün tanımını bir denklem sistemi şeklinde yazalım:

Tüm terimleri sol tarafa taşıyın:

İkinci sistem matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:

(A - E) X = O

Ortaya çıkan sistemin her zaman sıfır çözümü vardır X = O. Tüm serbest terimlerin sıfıra eşit olduğu bu tür sistemlere denir. homojen... Böyle bir sistemin matrisi kare ise ve determinantı sıfıra eşit değilse, o zaman Cramer formülleriyle her zaman benzersiz bir çözüm elde ederiz - sıfır. Sistemin sıfır olmayan çözümlere sahip olduğu ancak ve ancak bu matrisin determinantı sıfıra eşitse, yani.

|A - Е | = = 0

 bilinmeyenli bu denkleme denir. karakteristik denklem(karakteristik polinom) A matrisinin (doğrusal operatör).

Doğrusal bir operatörün karakteristik polinomunun, temel seçimine bağlı olmadığı kanıtlanabilir.

Örneğin A = matrisinin verdiği lineer operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulalım.

Bunun için karakteristik denklemi oluşturuyoruz |A - E | = = (1 -) 2 - 36 = 1 - 2 +  2 - 36 =  2 - 2- 35; D = 4 + 140 = 144; özdeğerler 1 = (2 - 12) / 2 = -5;  2 = (2 + 12) / 2 = 7.

Özvektörleri bulmak için iki denklem sistemini çözeriz.

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

Bunlardan ilki için genişletilmiş matris şu şekildedir:

,

buradan x 2 = c, x 1 + (2/3) c = 0; x 1 = - (2/3) s, yani X (1) = (- (2/3) s; s).

İkincisi için, genişletilmiş matris şu şekildedir:

,

buradan x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3) s 1, yani. X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Böylece, bu lineer operatörün özvektörleri, özdeğeri (-5) olan (- (2/3) с; с) formunun tüm vektörleri ve ((2/3) с 1; с 1) formunun tüm vektörleridir. özdeğeri 7 olan...

A operatörünün özvektörlerinden oluşan temeldeki matrisinin köşegen olduğu ve aşağıdaki forma sahip olduğu kanıtlanabilir:

,

nerede  i bu matrisin özdeğerleridir.

Bunun tersi de doğrudur: A matrisi bir bazda köşegen ise, bu temelin tüm vektörleri bu matrisin özvektörleri olacaktır.

Bir lineer operatörün n tane ikili farklı özdeğeri varsa, o zaman karşılık gelen özvektörlerin lineer olarak bağımsız olduğu ve bu operatörün karşılık gelen bazdaki matrisinin diyagonal bir forma sahip olduğu da kanıtlanabilir.