n. mertebenin belirleyicilerini hesaplama yöntemleri.

Sıralı bir set olsun n elementler. herhangi bir konum n belirli bir sıradaki elemanlara denir yeniden düzenleme bu öğelerden.

Her eleman kendi sayısına göre belirlendiğinden, verilen n doğal sayılar.

Farklı permütasyonların sayısı n sayılar eşittir n!

Eğer bazı permütasyonda ise n sayılar numarası benönünde duruyor J, ancak ben > J, yani, büyük sayı küçüğünden önce, o zaman çiftin olduğunu söylüyorlar. ben, J NS ters çevirme.

Örnek 1. Permütasyondaki inversiyon sayısını belirleyin (1, 5, 4, 3, 2)

Çözüm.

5 ve 4, 5 ve 3, 5 ve 2, 4 ve 3, 4 ve 2, 3 ve 2 sayıları ters çevirme oluşturur. Bu permütasyondaki toplam ters çevirme sayısı 6'dır.

permütasyon denir hatta, içindeki toplam inversiyon sayısı çift ise, aksi halde denir garip... Yukarıdaki örnekte, eşit bir permütasyon verilmiştir.

Biraz permütasyon verilsin..., ben, …, J, … (*) ... Hangi sayılarda dönüşüm ben ve J yer değiştirir ve geri kalanı yerlerinde kalır. aktarma... Sayıların aktarılmasından sonra ben ve J permütasyonda (*) bir permütasyon elde edersiniz ..., J, …, ben, ..., hariç tüm öğeler ben ve J yerlerinde kaldı.

Herhangi bir permütasyondan n sayılar, birkaç transpozisyon kullanarak bu sayıların diğer herhangi bir permütasyonuna gidebilirsiniz.

Herhangi bir aktarım, permütasyonun paritesini değiştirir.

NS n ≥ 2 gelen çift ve tek permütasyonların sayısı n sayılar aynı ve eşittir.

İzin vermek m sıralı bir kümedir n elementler. Bir kümenin herhangi bir bijektif dönüşümü m aranan ikamen-inci derece.

Değişiklikler şu şekilde yazılır: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif "width =" 27 "height =" 19 "> ve tüm ik farklıdır.

ikame aranan hatta her iki satırı da (permütasyonlar) aynı pariteye sahipse, yani her ikisi de çift veya her ikisi de tek. Aksi halde ikame aranan garip.

NS n ≥ 2 çift ​​ve tek oyuncu değişikliği sayısı nNS derece aynı ve eşittir.

A = ikinci dereceden bir kare matris A'nın determinantı, ='e eşit bir sayıdır. a11a22-a12a21.

Bir matrisin determinantı da denir belirleyici... A matrisinin determinantı için şu notasyon kullanılır: det A, ΔA.

determinant Meydan matrisler bir = üçüncü sıra│А│ = 'e eşit bir sayı denir a11a22a33 + a12a23a31 + a21a13a32 ‑ a13a22a31 ‑ a21a12a33 ‑ a32a23a11

Son formülün sağ tarafındaki cebirsel toplamın her bir terimi, her sütundan ve her satırdan birer ve yalnızca birer tane alınan matris elemanlarının çarpımıdır. Çarpımın işaretini belirlemek için, Şek. 1'de şematik olarak gösterilen kuralı (buna üçgen kuralı denir) bilmek faydalıdır:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif "width =" 73 "height =" 75 src = ">.

Çözüm.

A, karmaşık elemanları olan n-mertebeden bir matris olsun:

А = https: //pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif "width =" 112 "height =" 27 src = "> (1) ..gif "genişlik =" 111 "yükseklik =" 51 "> (2) .

n. mertebenin determinantı veya n> 1 için A = (aij) kare matrisinin determinantı, formun tüm olası ürünlerinin cebirsel toplamıdır. (1) , ve iş (1) karşılık gelen ikame ise "+" işareti ile alınır (2) çift ​​ve eğer ikame tek ise bir "-" işareti ile.

küçük Mij eleman aij determinant, orijinalden silinerek elde edilen determinanttır. ben inci satır ve J- sütun.

cebirsel tamamlayıcı Aij eleman aij belirleyici sayıdır Aij=(–1) ben+ Jmij, nerede mij – küçük eleman aij.

determinant özellikleri

1. Determinant, tüm satırları karşılık gelen sütunlarla değiştirildiğinde değişmez (determinant, transpoze edildiğinde değişmez).

2. İki satırın (sütunların) permütasyonu üzerine, determinant işaret değiştirir.

3. İki özdeş (orantılı) satır (sütun) ile determinant sıfıra eşittir.

4. Bir satırın (sütun) tüm elemanları için ortak olan faktör, determinantın işaretinin ötesinde alınabilir.

5. Başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğeleri, belirli bir satırın (sütun) öğelerine aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılırsa, determinant değişmeyecektir.

6. Determinantın bir satırının (sütununun) tüm elemanları sıfıra eşitse, o zaman sıfıra eşittir.

7. Determinant, herhangi bir satırın (sütun) öğelerinin ürünlerinin cebirsel tamamlayıcıları (belirleyicinin bir satırda (sütun) ayrıştırma özelliği) toplamına eşittir.

biraz düşünün sıra belirleyicileri hesaplama yöntemleri n .

1. n'inci sıradaki bir determinanttaki en az bir satır (veya sütun) sıfırlardan oluşuyorsa, determinant sıfıra eşittir.

2. n'inci sıradaki determinanttaki bazı dizelerin sıfır olmayan öğeler içermesine izin verin. n. mertebeden determinantın hesaplanması, bu durumda n-1 mertebesinin determinantının hesaplanmasına indirgenebilir. Aslında, determinantın özelliklerini kullanarak, bir dizgenin bir hariç tüm öğelerini sıfır yapabilir ve ardından determinantı belirtilen dizge boyunca genişletebilirsiniz. Örneğin, determinantın satırlarını ve sütunlarını yerinde olacak şekilde yeniden düzenleyelim. a11 sıfır olmayan bir öğe vardı.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif "width =" 32 yükseklik = 37 "yükseklik =" 37 ">. gif" genişlik = "307" yükseklik = "101 src =">

Satırları (veya sütunları) yeniden düzenlemenin gerekli olmadığını unutmayın. Niteleyicinin herhangi bir satırında (veya sütununda) sıfır alabilirsiniz.

n mertebesinin determinantlarını hesaplamak için, tanım gereği doğrudan belirli bir mertebenin determinantlarını hesaplamak dışında genel bir yöntem yoktur. Bir veya daha fazla özel türden bir determinanta çeşitli hesaplama yöntemleri uygulanır ve bu da daha basit determinantlara yol açar.

3. Üçgen bir forma getirelim. Determinantın özelliklerini kullanarak, ana köşegenin bir tarafındaki tüm elemanlar sıfıra eşit olduğunda, onu sözde üçgen biçime getiriyoruz. Elde edilen üçgensel determinant, ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. Yan köşegenin bir tarafında sıfır almak daha uygunsa, yan köşegen öğelerinin çarpımına eşit olacaktır, https://pandia.ru/text/78/456/ işaretiyle alınır. images/image022_48.gif "width =" 49 "height = "37">.

Örnek 3. Dize genişletme ile hesap determinantı

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif "width =" 612 "height =" 72 ">

Örnek 4. Dördüncü dereceden determinantı hesaplayın

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif "width =" 373 "height =" 96 src = ">.

2. yol(belirleyiciyi dize boyunca genişleterek hesaplama):

Bu determinantı doğru boyunca genişleterek hesaplayalım, daha önce onu dönüştürdük, öyle ki bazı çizgilerinde biri hariç tüm öğeler yok olsun. Bunu yapmak için, determinantın ilk satırını üçüncü satıra ekleyin. Ardından üçüncü sütunu (-5) ile çarpın ve dördüncü sütuna ekleyin. Dönüştürülmüş determinantı üçüncü satır boyunca genişletiriz. Üçüncü dereceden minör, ana köşegene göre üçgen bir forma indirgenir.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif "width =" 202 "height =" 121 src = ">

Çözüm.

İkinciyi ilk satırdan, üçüncüyü ikinciden, vb., son olarak, sonuncudan çıkaralım (son satır değişmeden kalır).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif "width =" 445 "height =" 126 src = ">

Toplamdaki ilk belirleyici, ana köşegene göre üçgendir, bu nedenle köşegen elemanların çarpımına eşittir, yani (n - 1) n. Toplamdaki ikinci determinant, determinantın önceki tüm satırlarına son satır eklenerek dönüştürülür. Bu dönüşümle elde edilen determinant ana köşegene göre üçgen olacak, yani köşegen elemanların çarpımına, yani nn-1'e eşit olacaktır:

= (n – 1) n + (n – 1) n + nn-1.

4. Laplace teoremini kullanarak determinantın hesaplanması. Determinantta k satır (veya sütun) (1 £ k £ n-1) seçersek, determinant, seçilen k satırda (veya sütunda) bulunan tüm k'inci dereceden küçüklerin çarpımlarının toplamına eşittir. onların cebirsel tümleyenleri tarafından.

Örnek 6. determinantı hesapla

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif "width =" 538 "height =" 209 src = ">

BİREYSEL İŞ #2

"N-SİPARİŞ TANIMLAYICILARININ HESAPLANMASI"

seçenek 1

Belirleyicileri hesaplayın

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif "width =" 114 "height =" 94 src = ">

İzin vermek bir = gerçek (veya karmaşık) elemanlara sahip rastgele bir n'inci dereceden kare matris.

Tanım 7. A matrisinin determinantı (determinant N. sıra) Cebirsel toplam n! her biri matrisin n elemanının çarpımı olan terimler, her satırdan ve her sütundan birer tane alınır. Bu durumda ürün, içerdiği elementlerin indekslerinden ikame çift ise “+” işaretiyle, aksi halde “-” işaretiyle alınır.

Tanımlayıcı tanımı: | A| = .

Örneğin, n = 6 için ürün А21а13а62а34а46а55 her satırdan ve her sütundan tam olarak bir öğe içerdiğinden niteleyicinin bir üyesidir. Endekslerinden oluşan bir ikame, ... Üst sırada 4 inversiyon, alt sırada 2 inversiyon vardır. Toplam ters çevirme sayısı 6'dır, yani ikame çifttir. Sonuç olarak, bu ürün determinantın açılımına "+" işareti ile dahil edilir.

Çalışmak А21а13а62а34а46а15 niteleyicinin bir üyesi değil çünkü ilk satırdan iki öğe içeriyor.

Belirleyici özellikler.

10. Transpoze edildiğinde, determinant değişmez (bir matris ve determinantın transpozisyonunun satırları ve sütunları değiştirmek anlamına geldiğini hatırlayın).

Gerçekten de, eğer (-1) k determinantın bir üyesiyse, o zaman tüm a1, a2,…, an farklıdır ve k, permütasyondaki (a1, a2,…, an) inversiyonların sayısıdır. Aktarıldığında, satır numaraları sütun numaralarına dönüşür ve bunun tersi de geçerlidir. Sonuç olarak, çarpımda tüm faktörler farklı sütun ve satırlardan olacaktır, yani bu çarpım, aktarılan determinantta yer alacaktır. İşareti, ikamedeki inversiyon sayısına göre belirlenecektir. ... Ancak bu sayı açıkça k'ye eşittir.Yani, (-1)k, aktarılan determinantın bir üyesi olacaktır. Verilen determinantın herhangi bir üyesini aldığımızdan ve verilen ve transpoze edilen determinantlardaki terimlerin sayısı aynı olduğundan, eşitlikleri ortaya çıkar. Kanıtlanmış özelliğinden, determinantın satırları için ispatlanacak her şeyin onun sütunları için de doğru olacağı sonucu çıkar.

20. Determinantın bir satırının (veya sütununun) tüm öğeleri sıfıra eşitse, determinant sıfıra eşittir.

Bu, belirtilen satırın (veya sütunun) bir öğesinin determinantın her bir üyesine dahil edileceği gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

30. Determinantın herhangi bir satırının tüm elemanlarının ortak bir çarpanı varsa, o zaman determinantın işaretinin ötesine alınabilir.

Gerçekten de, eğer k-inci satırın tüm elemanları ortak bir l faktörüne sahipse, o zaman olarak yazılabilirler. Determinantın herhangi bir üyesi (-1) s biçimine sahip olacaktır. ... Sonuç olarak, l faktörü, determinantın tüm terimlerinden çıkarılabilir.

40. Tanımlayıcının iki satırı değiştirilirse, tanımlayıcı işaret değiştirir.

Gerçekten de, eğer (-1) k verilen determinantın herhangi bir üyesiyse, yeni determinantta p ve q satır numaraları yer değiştirecek ve sütun numaraları aynı kalacaktır. Bu nedenle, yeni determinantta aynı çarpım (-1) s biçiminde görünecektir. Satır numaralarında bir yer değiştirme meydana geldiğinden ve sütun numaraları değişmediğinden, k ve s'nin pariteleri zıttır. Böylece, bu determinantın tüm üyeleri işaretlerini değiştirmiştir, dolayısıyla determinantın kendisi işaretini değiştirmiştir.

50. Determinantın iki satırı orantılıysa, determinant sıfırdır.

Aslında, k-inci satırın tüm elemanları, p-inci satırın l ile çarpımı karşılık gelen elemanlarına eşit olsun, yani | A| = = = 0.

60. Determinantta k'inci satırın tüm öğeleri iki terimin toplamıysa, determinant, k'inci sıra hariç tüm satırların aşağıdaki gibi olduğu iki determinantın toplamına eşittir. bu belirleyici. Bunlardan birinin k-inci satırının elemanları yerine, verilen determinantın k-inci satırının elemanlarının ilk terimleri ve ikincinin k-inci satırının elemanlarının yerine vardır. , onların ikinci terimleri.

k'inci doğrunun elemanları + olsun CK1,+ Ck2, …. , + scn... O zaman determinantın herhangi bir üyesi forma sahip olacaktır.

(-1) s = (-1) s + (-1) sn .

Tüm ilk terimleri toplayarak, yalnızca k. satırda verilenden farklı olan bir determinant elde ederiz. k-inci çizginin yerine , ,…. ,. Tüm ikinci terimleri toplayarak, yalnızca k. satırda verilenden farklı olan determinantı elde ederiz. k'inci satır şunları içerecektir: ck1, ck2, …. , scn.

70. Determinantın bir satırına, tüm elemanları aynı sayı ile çarpılmış olan satırlarından bir başkasını eklersek, determinant değişmeyecektir.

Bu özellik önceki ikisinin bir sonucudur.

determinant ise | A| k-inci satırı ve p-th sütununu silin, ardından (n – 1). sıranın determinantı kalır. denir Öğenin küçük tamamlayıcısı ve belirtilen mcr... Sayı (-1) k + p × M cr Aranan Eleman için Cebirsel Tamamlayıcı ve belirtilen dönüm.

80. Ek küçük ve cebirsel tümleyen, determinantın k-inci satırında ve p-th sütununda hangi elemanın olduğuna bağlı değildir.

Önlem 1 D = . (8)

Kanıt. Eğer A11= 0, o zaman eşitlik (8) açıktır. İzin vermek A11¹ 0. Determinantın her üyesi ilk satırdan tam olarak bir eleman içerdiğinden, sadece A11... Hepsinin formu var , burada gk ve k, 2 ile n... D determinantındaki bu terimin işareti, ikame paritesi ile belirlenir s = Böylece D, formun terimlerinin cebirsel toplamıdır. İkame s ile belirtilen karakterlerle. Bu miktar parantez içinden çıkarılırsa A11, o zaman şunu elde ederiz: D = A11× S, nerede Sİşareti ikame s tarafından belirlenen formun terimlerinin cebirsel bir toplamı vardır. Bu terimler, açıkça, ( n- 1)!. Ama ikame s ve ikame aynı pariteye sahip. Buradan, S = m 11. O zamandan beri A11 =(-1) 1 + 1 × m 11 = m 11, sonra D = A11× A11.

Lemma 2. D = (9)

Kanıt. D determinantında, pth satırını bir öncekiyle sırayla yeniden düzenleriz. Bu durumda, p-th satırı ilk satırın yerini alacak, ancak öğenin küçük tamamlayıcısı gemi Değişmeyecek. Toplam yapılacak ( r- 1) çizgilerin permütasyonu. Yeni determinant D1 ile gösterilirse, o zaman D1 = (-1) p-1 × D olur. D1 determinantında yeniden düzenleriz İLE-th sütunu, önceki her sütunla sırayla ( İLE- 1) sütunların permütasyonu ve minör tamamlayıcısı gemi, Değişmeyecek. bir determinant alırsın

D2 = ... Açıkçası, D2 = (-1) k-1 × D1 = (-1) p + k-2 × D = (-1) p + k × D. Önerme 1'e göre, D2 = gemi× M Rk. Dolayısıyla D = gemi× (-1) p + k × M Pk = gemi× Ark.

Teorem 3. Determinant, belirli bir satırın elemanlarının cebirsel tümleyenleri ile çarpımlarının toplamına eşittir, yani, D = Ak1Ak1 + ak2× Ak2 + ... + birKn× birKn (10).

Kanıt. D = olsun. K-inci satırın elemanlarını formda yazıyoruz Ak1 = tüm1+ 0 + …+ 0, Ak2 = 0 + Ak2 + 0 + … + 0, … , A= 0 + 0 + …+ 0 + A... 60 özelliğini kullanarak, D = olduğunu elde ederiz.
= = Ak1Ak1+ Ak2Ak2 + … + AA(Lemma 2'yi kullandık).

Teorem 4. Determinantın bir satırının elemanlarının diğer satırın karşılık gelen elemanlarının cebirsel tümleyenleri ile çarpımı sıfıra eşittir.

Kanıt. D = olsun ... Önceki teoreme göre

D =. Alırsak, o zaman D determinantında iki özdeş çizgi olacak, yani D sıfıra eşit olacak. Bu nedenle, 0 = p ¹ k ise.

Yorum Yap. Teorem 3 ve 4, formülasyonlarında "satır" kelimesinin yerine "sütun" kelimesi geçerse doğru olacaktır.

Determinantı hesaplama yöntemiN. sıra.

Determinantı hesaplamak için n-. mertebeden, özellik 70'i kullanarak herhangi bir satırda (veya sütunda) mümkün olduğu kadar çok sıfır almak ve ardından Teorem 3'ü kullanmak yeterlidir. Bu durumda, n'inci mertebenin determinantının hesaplanması hesaplamaya indirgenecektir. determinantın ( n- 1) inci sıra.

Örnek. D = determinantını hesaplayın .

. İkinci satırda sıfırları alalım. Bunun için ikinci sütun 1) (-2) ile çarpın ve ilk sütuna ekleyin; 2) üçüncü sütuna ekleyin; 3) (-4) ile çarpın ve dördüncü sütuna ekleyin. D'yi elde ederiz = ... Ortaya çıkan determinantı ikinci satırın öğeleri üzerinde genişletelim. Ayrıca, bu satırın tüm elemanlarının, eleman 1 hariç, cebirsel tümleyenleriyle çarpımı sıfıra eşittir. 1. elemanın cebirsel tamamlayıcısını elde etmek için, bu elemanın bulunduğu satır ve sütunun yani ikinci satır ve ikinci sütunun üzerini çizmeniz gerekir. Cebirsel tümleyen işareti (-1) 2 + 2 = (-1) 4 = +1'i tanımlar. Yani D = +. Üçüncü mertebenin determinantını aldı. Bu belirleyici köşegenler ve üçgenler kullanılarak hesaplanabilir, ancak ikinci dereceden bir belirleyiciye indirgenebilir. Çarpmak İlk sütun 1) (-4) ile ve ikinci sütuna ekleyin, 2) 2 ile çarpın ve üçüncü sütuna ekleyin. anladık

n. sıranın belirleyicileri

n'inci sıra determinantı, n satır ve n sütun halinde yazılmış n 2 elemandan oluşur ve şu şekildedir:

belirleyici eleman ve ben j, i satırında ve j sütunundadır. I ve j endeksleri, 1'den n'ye kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Yani, yazmak a i3 (i = 1,2, ..., n), tüm öğeleri sütun 3'te listeliyoruz: a 13 , a 23 , a 33 ,…,a n3. Elementler a ij (i = j için) determinantın ana köşegenini oluşturur.

n'inci dereceden determinantın hesaplanması, aşağıdaki özellikler kullanılarak üçüncü ve ikinci dereceden determinantların hesaplanmasına indirgenir.

Belirleyici özellikler:

1. Satırları sütunlarla değiştirilirse (sayılarının sırasını değiştirmeden) determinant değişmeyecektir. Bu nedenle, aşağıda söylenenlerin sütunlar için de doğru olduğunu ima ederek satırlar hakkında konuşacağız.

2. Tanımlayıcının iki satırını değiştirirseniz, işaretini değiştirir.

3. İki özdeş (veya orantılı) dizili determinant sıfıra eşittir.

4. Çizgilerinden herhangi birinin tüm elemanlarının ortak çarpanı, determinantın işaretinin ötesine alınabilir.

5. Determinantın herhangi bir satırının tüm elemanları sıfıra eşitse, o zaman bu determinant sıfıra eşittir.

6. Aynı sayı ile çarpılan başka bir satırın karşılık gelen elemanları, satırlarından herhangi birinin tüm elemanlarına eklenirse, determinant değişmeyecektir.

Örnekler

No. 6. Belirleyicileri hesaplayın:

a)

Burada üçüncü sütunun elemanları birinci sütunun elemanlarına eklenmiştir.

B)

Üçüncü satırın öğeleri, ilk satırın öğelerine eklendi.

v)

Bu determinantı Sarrus kuralı ile hesaplamak daha uygundur, çünkü altı terimden dördü sıfırdır.

Belirleyicilerin özelliklerine geri dönelim. Ama önce minör ve cebirsel tümleyen kavramlarını tanıtalım.

n'inci sıranın verilen determinantından, kesişim noktasında bir elemanın bulunduğu satır ve sütunu silersek a ij olarak adlandırılan bir (n-1) -th sıra determinantı elde ederiz. küçük eleman a ij ve М ij ile gösterilir. Örneğin, üçüncü mertebenin determinantında küçük М 21 öğelerini bulun a 21. Bunu yapmak için ikinci satırı ve ilk sütunu çizin:

Dördüncü mertebenin determinantına her biri üçüncü mertebenin determinantı olacak 4x4 = 16 minör yazabilirsiniz.

Elementlerin minörlerini yazalım a 32 ve a 44, örneğin, dördüncü mertebenin belirleyicisi:

Bir Elemanın Cebirsel Tümleyeni a ij'ye minör denir, (–1) i + j işaretiyle alınır ve А ij ile gösterilir. Böylece, A ij = (- 1) ben + j × M ij.

Örneğin, determinantın elemanlarının cebirsel tümleyenlerini bulalım. .

.

Son olarak, düşünün ayrışma özelliği satır veya sütuna göre.

7. Determinant, herhangi bir satırın (veya sütunun) elemanlarının cebirsel tümleyenleri ile çarpımlarının toplamına eşittir.

Böylece, örneğin üçüncü mertebeden bir determinant, ikinci mertebeden üç determinant kullanılarak hesaplanabilir:

- ilk satırın unsurlarına göre ayrıştırma.

Sonuç... Herhangi bir satırın (sütun) bir hariç tüm elemanları sıfıra eşitse, determinant sıfır olmayan bir elemanın cebirsel tümleyeniyle çarpımına eşittir.

Bu nedenle, örneğin,

№.7

Üçüncü mertebenin determinantında, birinci sütunun elemanlarına 2 ile çarpılarak üçüncünün karşılık gelen elemanlarını ekledik.

Böylece, determinantın özelliklerini kullanarak, herhangi bir sıranın determinantını satır veya sütun bazında genişletebilirsiniz. Dereceyi art arda düşürerek, üçüncü veya ikinci derecenin determinantını hesaplama kuralını uygulayarak determinantı doğrudan hesaplarız.

Özel bir türün belirleyicilerini düşünün: köşegen ve üçgen.

Diyagonal determinant, köşegen elemanları sıfır olmayan ve diğer tüm elemanları sıfıra eşit olan bir determinanttır.

Üçgensel determinant, tüm elemanları ana köşegenin altında (veya üstünde) sıfıra eşit olan bir determinanttır.

№ 8 n. dereceden diyagonal determinantı hesaplayın

Determinantı elemanlar 1 ile genişletme NS sütun, ürünü aldık Ancak (n – 1) -. mertebeden A 11'in determinantı bir çarpımla aynı şekilde temsil edilebilir. vesaire.

Böylece, köşegen determinantı, ana köşegeninin elemanlarının çarpımına eşittir.

Üçgen determinantın ana köşegeninin elemanlarının çarpımına da eşit olduğunu göstermek kolaydır:

9 Belirleyicileri hesaplayın:

1)

İkinci dereceden bir kare matris düşünün

Tanım... İkinci dereceden bir kare matrisin determinantı şuna eşit bir sayıdır: a 11 a 22 -a 12 a 21 ve bir sembolle belirtmek, yani

Bir matrisin determinantı da denir belirleyici... Matris belirleyici gösterimi A: |A|, Δ, det A, det (bir ij).

Şimdi üçüncü dereceden kare matrisi düşünün

Üçüncü dereceden determinantı hesaplarken, üçgen kuralını bilmek yararlıdır: artı işaretiyle, matrisin ana köşegeninde ve tabanı bu köşegene paralel olan üçgenlerin köşelerinde bulunan sayıların üçlü ürünleri vardır. ve matrisin karşı köşesinde bir tepe noktası. Eksi işareti ile ikinci köşegenden ve bu köşegene göre oluşturulan üçgenlerden üçlüler vardır. Aşağıdaki diyagram bu kuralı göstermektedir. Diyagramda mavi (solda), çalışmaları artı işaretiyle ve kırmızı (sağda) - eksi işaretiyle gelen öğeleri işaretler.

Şimdi bir tanım verelim.

Tanım... Üçüncü dereceden bir kare matrisin determinantı sayıdır.

Tanım... Bir determinantın herhangi bir elemanının minörü, verilen bir elemandan o satırı ve bu elemanın ait olduğu sütunu silerek elde edilen bir determinanttır. Element minör bir ik belirtmek ik.

Tanım... Element minör 21 matrisin üçüncü mertebesinin determinantı ikinci mertebenin determinantıdır

Tanım bir ik determinant, bir işaretle alınan minör olarak adlandırılır. (-1) ben + k.

Bir Elemanın Cebirsel Tümleyeni bir ik belirtmek bir ik... A-manastırı

Cebirsel tamamlayıcının işaretini belirleme kuralı (üçüncü dereceden bir belirleyici örneğini kullanarak):

Örnek... Bir Elemanın Cebirsel Tümleyeni 21 bir

Ayrışma teoremi... Determinant, herhangi bir satırın (sütun) elemanlarının cebirsel tümleyenleri ile çarpımlarının toplamına eşittir.

determinant özellikleri

• Tüm satırları karşılık gelen sütunlarla değiştirilirse determinant değişmeyecektir.
• İki sütun (satır) yeniden düzenlendiğinde, determinant işaret değiştirir.
• İki özdeş sütuna (satır) sahip bir determinant sıfırdır.
• Belirli bir sütunun (satırın) öğelerinde ortak olan faktör, determinant işaretinin dışına taşınabilir.
• İki orantılı sütunlu (satırlı) determinant sıfırdır.
• Bir sütunun (satırın) tüm öğeleri sıfıra eşitse, determinant sıfıra eşittir.
• Başka bir sütunun (satırın) karşılık gelen öğeleri, daha önce aynı faktörle çarpılarak belirli bir sütunun (satırın) öğelerine eklenirse, determinant değişmeyecektir.

Yorum Yap... Bir determinantta, belirli bir sütunun (satırın) tüm öğeleri iki terimin toplamına eşitse, böyle bir determinant, karşılık gelen iki belirleyicinin toplamına eşittir.

Örneğin,

belirleyiciler n-inci sıra

Bir kare matris düşünün n-inci sıra

Bu matrisin determinantı veya determinantı kavramı n mertebe, mertebe belirleyici kavramının zaten tanıtıldığı varsayılarak, tümevarımsal olarak tanıtılır. n-1 kare matrise karşılık gelen (n-1) sıra.

Bir matris elemanının minör tanımı ve cebirsel tümleyeni, herhangi bir sıranın belirleyicileri için geçerlidir.

Tanım... düzenin belirleyicisi n matrise karşılık gelen A n-inci sıraya eşit bir sayı denir (1k- küçük eleman 1k) ve sembollerden biri ile gösterilir

Yani tanım gereği

Bu formül, sıra belirleyiciyi oluşturma kuralını ifade eder. n karşılık gelen matrisin ilk satırının elemanları ve sıranın belirleyicisi olan bu elemanların cebirsel tümleyenleri ile n-1 uygun işaretlerle alınır.

Herhangi bir mertebenin determinantı için, üçüncü mertebenin determinantı için elde edilen ve ispatlanan tüm özellikler ve teoremler doğrudur.

Ana teoremi formüle edelim:

Teorem [İkame Teoremi]... Hat numarası ne olursa olsun ben (ben = 1,2, ..., n), determinant için n sıra, aşağıdaki formül geçerlidir

bu determinantın genişlemesi olarak adlandırılan ben inci satır.

Determinantların 1. özelliği doğru olduğundan, determinant sütun üzerinde de genişletilebilir:

Örnekleri

Aşağıdaki determinantı hesaplıyoruz:

İkinci satırı birinci ve üçüncü satırdan çıkarın. Sonra birinciyi üçüncüye ekleriz ve üçüncüden ortak çarpanı çıkarırız:

Şimdi ikinci satıra, 7 ile çarpılan üçüncüyü, dördüncüye de 2 ile çarpılan üçüncüyü ekliyoruz. Sonra dördüncü satırdan ortak çarpanı çıkarıyoruz:

Belirleyiciyi ikinci sütun boyunca genişletelim (işaretler değeri gösterir (-1) ben + j küçük bir anahtarla). Sütunda yalnızca bir sıfır olmayan öğe olduğuna dikkat edin; bu nedenle, genişlemede yalnızca bir üçüncü dereceden belirleyici kalacaktır. Son olarak, üçüncü dereceden determinant formülünü kullanarak cevabı çekeriz.

Farklı mertebelerin belirleyicileri için birkaç örnek daha verelim.

Daha kesin ve karmaşık bir tanım için ve üçüncüden daha büyük mertebe belirleyicileri hakkında konuşmak için başka bir şeyi hatırlamanız gerekir. Biz ikame terimiyle ilgileniyoruz, tanımdan çok onu hesaplama yöntemiyle ilgileniyoruz.

Aşağıdaki giriş ikame için kabul edilir:
, yani bir sütuna yazılan sayı çiftleri ve böylece üst sayılar sırayla gider (genel olarak konuşursak, sütunlar değiştirilebilir).

İkameler çift ve tek olabilir. Belirli bir ikamenin çift mi yoksa tek mi olduğunu bulmak için ikinci satıra veya daha doğrusu içindeki sayıların sırasına dikkat etmeniz gerekir. İkinci satırdaki sayı çiftlerinin sayısını, soldaki sayı sağdaki sayıdan () büyük olacak şekilde saymak gerekir. Bu tür çiftlerin sayısı tek ise, ikame de tek olarak adlandırılır ve buna göre, bu tür çiftlerin sayısı çift ise, ikame de çift olarak adlandırılır.

Örnek:
1)


4, 3'ün solunda, 1'in solunda, 2'nin solunda duruyor - bunlar zaten üç "yanlış" çift.
3, 1 ve 2'nin solunda - iki çift daha.
Toplamda 5 çift vardır, yani. bu garip bir ikame.
2)

İlk satırdaki sayıların sıralı olmadığını unutmayın. Sütunların bir permütasyonunu gerçekleştireceğiz.

İkinci satırdaki sayıları düşünün.
3, 2'nin solunda ve 1 - iki çift,
2, 1'in solunda - bir çift,
5, 4'ün solunda ve 1 - iki çift,
4, 1 - bir çiftin solundadır.
Toplamda 6 çift vardır - ikame eşittir.

tanım 2(matematiksel uzmanlık öğrencileri için, tanımlanan kavramın tüm özünü ortaya çıkaran):

Matrise karşılık gelen n. dereceden determinant
,
terimlerin cebirsel toplamı olarak adlandırılır ve aşağıdaki şekilde oluşur: terimler, her satırdan ve her sütundan birer tane alınan matris elemanlarının her türlü çarpımıdır ve terim, indeksleri eşit bir ikame oluşturuyorsa artı işaretiyle alınır ve tersi durumda eksi işareti ile.
Yorum Yap: Bu tanımı, hesaplama formülü zaten bilinen üçüncü dereceden bir determinant örneğini kullanarak açıklayalım.
.
1) "terimlerin cebirsel toplamı" -. Ve evet, gerçekten de burada altı terim var.
2) “her satırdan ve her sütundan birer tane alınan her türlü matris elemanı ürünü” terim görevi görür - örneğin bir terim düşünün. Birinci çarpanı ikinci satırdan, ikinci çarpanı birinciden ve üçüncü çarpanı üçüncü satırdan alınır. Sütunlar için de durum aynıdır - birincisi birinci sütundan, ikincisi üçüncüden ve sonuncusu da ikincisinden gelen faktördür.
3) “ve endeksleri eşit bir ikame oluşturuyorsa artı işaretiyle ve eksi işaretiyle - tam tersi durumda” - örneğin, (artı işaretiyle) ve (bir ile) terimlerini düşünün. Eksi işareti).

İlk satır, faktörlerin satır numaralarını ve ikinci - sütun numaralarını içerecek şekilde permütasyonları oluşturalım.
Bir terim için: (ilk sütun, birinci faktörün indeksidir, vb.)
Terim için:.
Bu permütasyonların paritesini belirleyelim:
a) - ilk satırdaki öğeler sırayla. İkinci satır, sıra dışı çiftleri içerir:
1'in solunda 2 - bir çift,
1'in solunda 3 - bir çift.
Toplamda iki çift vardır, yani. çift ​​sayısı çifttir, bu da permütasyonun çift olduğu anlamına gelir, bu da terimin toplama artı işaretiyle (gerçekte olduğu gibi) dahil edilmesi gerektiği anlamına gelir.
b) - ilk satırdaki elemanlar sırayla. İkinci satır, sıra dışı çiftleri içerir:
1'in solunda 2 - bir çift.
Toplamda, büyük olan küçük olanın solunda olacak şekilde duran sayı çiftlerinin sayısı 1 adettir, yani. tektir, yani permütasyona tek denir ve karşılık gelen terim eksi işaretiyle toplama dahil edilmelidir (evet, öyle).
Örnek("Cebirdeki problemlerin toplanması", AI Kostrikin, No. 1001 tarafından düzenlendi):

Karşılık gelen düzenlerin belirleyicilerinin genişletilmiş ifadesinde aşağıdaki eserlerden hangisinin ve hangi işaretlerle bulunduğunu öğrenin.
a)
Tanımın “her satırdan ve her sütundan bir tane” kısmına dikkat edelim. Tüm ilk faktör endeksleri 1'den 6'ya (1, 2, 3, 4, 5, 6) farklıdır. Tüm ikinci faktör endeksleri 1'den 6'ya (3, 2, 1, 4, 5, 6) farklıdır.
Sonuç - bu ürün, 6. mertebenin determinantının genişletilmiş ifadesine dahil edilmiştir.

2'nin solunda 3, 1 - iki çift,
1'in solunda 2 - bir çift,
5'in solunda 6, 4 - iki çift,
4'ün solunda 5 - bir çift.
Toplamda 6 çift vardır, yani. permütasyon çifttir ve terim, determinantın genişletilmiş kaydına artı işaretiyle dahil edilir.

B)
Tüm birinci faktör endeksleri 1'den 5'e (3, 1, 5, 4, 2) farklıdır. Tüm ikinci faktör endeksleri 1'den 5'e (1, 3, 2, 5, 4) farklıdır.
Sonuç - bu ürün, 5. mertebenin determinantının genişletilmiş ifadesine dahil edilmiştir.
Bu terimin işaretini belirleyelim, bunun için faktörlerin indekslerinin bir permütasyonunu oluşturuyoruz:

Sütunları, ilk satırdaki sayılar küçükten büyüğe doğru olacak şekilde yeniden düzenleyelim.

1'in solunda 3, 2 - iki çift.
4, 1'in solunda - iki çift,
2'nin solunda 5 - bir çift.
Toplamda 5 çift vardır, yani. permütasyon tektir ve terim, determinantın genişletilmiş kaydına eksi işaretiyle dahil edilmiştir.
v) - birinci ve altıncı faktörlere dikkat edelim: ve. Her ikisi de 4. sütundan alınmıştır, yani bu çarpım 7. mertebenin determinantının genişletilmiş ifadesine dahil edilemez.