n-boyutlu bir lineer uzayın V lineer dönüşümü olsun. Doğrusal uzay V'nin koşulu sağlayan sıfır olmayan bir vektör \boldsembol(ler)i

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s),

aranan kendi vektörü doğrusal dönüşüm \matematik(A) . Eşitlikteki (9.5) \lambda sayısına denir dönüşüm özdeğeri\matematik(A) . Bir özvektörün, özdeğer \lambda ile eşleştiği (ait olduğu) söylenir. V uzayı gerçek (karmaşık) ise, o zaman \lambda özdeğeri gerçek (karmaşık) bir sayıdır.

Doğrusal bir dönüşümün tüm özdeğerlerinin kümesine denir. spektrum.

Özvektörlerin geometrik anlamını açıklayalım. Sıfır olmayan bir vektör s, görüntüsü ise \mathcal(A) için bir özdeğerdir. \mathcal(A) (\boldsymbol(s))ön görüntü \boldsymbol(s) ile eşdoğrusaldır. Diğer bir deyişle, \boldsymbol(s) bir özvektör ise, o zaman \mathcal(A) dönüşümünün tek boyutlu bir değişmez alt uzayı vardır. Tersi de doğrudur.

Gerçekten de, özvektör \boldsymbol(s)'ün bazı özdeğer \lambda'ya karşılık gelmesine izin verin. Herhangi bir \boldsymbol(v) vektörü \operatöradı(lin)(\boldsembol(ler)) forma sahip \boldsymbol(v)=\alpha \boldsembol(ler), burada \alpha verilen alandan herhangi bir sayıdır. Bu vektörün görüntüsünü bulun

\mathcal(A)(\boldsymbol(v))= \mathcal(A)(\alpha \boldsymbol(s))= \alpha\cdot \mathcal(A)(\boldsymbol(s))= \alpha\cdot \ lambda\cdot \boldsymbol(s)\in \operatorname(Lin) (\boldsymbol(s)).

Sonuç olarak, \mathcal(A)(\boldsymbol(v))\in \operatöradı(Lin)(\boldsymbol(s)) herhangi bir vektör için \boldsymbol(v)\in \operatöradı(Lin)(\boldsymbol(s)), yani alt uzay \operatöradı(lin)(\boldsembol(ler))\mathcal(A) dönüşümü altında değişmezdir. alt uzay boyutu \operatöradı(lin) (\boldsymbol(s)) bire eşittir çünkü \boldsymbol(s)\ne \boldsymbol(o) tanım olarak.

Tersi iddia, argümanı tersine çevirerek kanıtlanır.

Doğrusal bir dönüşümün (operatör) özvektörleri ile matrisi arasındaki ilişki

Daha önce, özvektörler ve öz değerler matrisler. N'inci mertebeden bir kare matris A'nın özvektörüne sıfırdan farklı denildiğini hatırlayın. sayısal sütun s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_(n)\end(pmatrix)^T tatmin edici koşul (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

(9.6)'daki \lambda sayısına A matrisinin özdeğeri denir. \lambda özdeğerinin ve sayıların s_i~(i=1,\ldots,n) karmaşık sayılar alanına aittir.

Bu kavramlar, doğrusal bir dönüşümün özvektörleri ve özdeğerleri ile ilgilidir.

Lineer dönüşümün özvektörleri ve matrisi üzerine Teorem 9.3. İzin vermek \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V n-boyutlu lineer uzay V'nin baz ile lineer dönüşümüdür. O zaman \mathcal(A) dönüşümünün özvektörü \boldsembol(ler)inin özdeğeri \lambda ve koordinat sütun(lar)ı, tabana göre tanımlanan bu dönüşümün A matrisinin özdeğeri ve özvektörüdür. \boldsymbol(e)_1,\ldots, \boldsymbol(e)_n, yani

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s)\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s, nerede \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_n,~ s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots& s_n\end(pmatrix)^T.

Bunun tersi doğrudur ek koşullar: eğer sütun s=\begin(pmatrix) s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^T ve \lambda sayısı, A matrisinin bir özvektörü ve bir özdeğeridir ve sayılar s_1,\ldots,s_n,\lambda V doğrusal uzayının tanımlandığı aynı sayı alanına aittir, ardından vektör \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+ \ldots+s_n \boldsymbol(e)_n ve \lambda sayısı lineer dönüşümün özvektörü ve özdeğeridir \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V bazında matris A ile \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n.

Gerçekten de, koordinat biçimindeki (9.5) koşulu, matris özvektörünün (7.13) tanımıyla örtüşen (9.6) biçimine sahiptir. Tersine, eşitlik (9.6), vektörlerin ve \lambda\cdot \boldsembol(ler) tanımlı, yani sayılar s_1,\ldots,s_n, \lambda lineer uzayın tanımlandığı aynı sayı alanına aittir.

Bir matrisin özdeğerlerini bulmanın, karakteristik denklemini çözmeyi azalttığını hatırlayın. \Delta_A(\lambda)=0, nerede \Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E) A matrisinin karakteristik polinomudur. Doğrusal bir dönüşüm için benzer kavramları tanıtıyoruz.

Doğrusal dönüşümün karakteristik polinomu \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V n-boyutlu lineer uzaya, V uzayının herhangi bir tabanına göre bulunan bu dönüşümün A matrisinin karakteristik polinomu denir.

Denklem denir lineer dönüşümün karakteristik denklemi.

dönüşüm \mathcal(A)-\lambda\mathcal(E) lineer dönüşüm için karakteristik olarak adlandırılır \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V.

Açıklamalar 9.4

1. Doğrusal dönüşümün karakteristik polinomu, dönüşüm matrisinin bulunduğu temele bağlı değildir.

Gerçekten de, matrisler \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e))) ve \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(f))) bazlarda doğrusal dönüşüm \mathcal(A) (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots, \boldsymbol(e)_n) ve (\boldsymbol(f))=(\boldsymbol(f)_1,\ldots,\boldsymbol(f)_n)(9.4)'e göre aşağıdakilere benzer: \nathop(A)\limits_((\boldsymbol(f)))=S^(-1)\mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e)))S, burada S, tabandan (\boldsymbol(e)) tabana (\boldsymbol(f)) geçiş matrisidir. Daha önce gösterildiği gibi, karakteristik polinomlar benzer matrisler eşleştirin (bkz. özellik 3). Bu nedenle, \mathcal(A) dönüşümünün karakteristik polinomu için şu notasyon kullanılabilir: \Delta_(\mathcal(A))(\lambda), bu dönüşümün matrisini belirtmeden.

2. Teorem 9.3'ten, karakteristik denklemin herhangi bir karmaşık (gerçek, rasyonel) kökünün lineer dönüşümün bir özdeğeri olduğu sonucu çıkar. \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V karmaşık (gerçek, rasyonel) sayılar alanı üzerinde tanımlanan lineer uzay V.

3. Teorem 9.3'ten, karmaşık bir lineer uzayın herhangi bir lineer dönüşümünün tek boyutlu değişmez bir alt uzayı olduğu sonucu çıkar, çünkü bu dönüşümün bir öz değeri (bkz. Bölüm 2) ve dolayısıyla özvektörleri vardır. Böyle bir alt uzay, örneğin, herhangi bir özvektörün lineer zarfıdır. Karakteristik denklemin tüm kökleri karmaşıksa (ama gerçek değilse), gerçek bir lineer uzayın dönüşümü tek boyutlu değişmez alt uzaylara sahip olmayabilir.

Gerçek uzayda bir lineer operatörün değişmez alt uzayları üzerine Teorem 9.4. Gerçek bir lineer uzayın her lineer dönüşümü, tek boyutlu veya iki boyutlu değişmez bir alt uzaya sahiptir.

Doğrusu, lineer dönüşümün A matrisini oluşturalım. \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V keyfi bir temelde n-boyutlu gerçek doğrusal uzay V \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n. Bu matrisin elemanları reel sayılardır. Bu nedenle, karakteristik polinom \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E) gerçek katsayıları olan n dereceli bir polinomdur. Cebirin Temel Teoreminin Sonuçları 3 ve 4'e göre, böyle bir polinomun gerçek kökleri ve karmaşık eşlenik kök çiftleri olabilir.

\lambda=\lambda_1, karakteristik denklemin gerçek kökü ise, o zaman ilgili özvektör s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^T A matrisi de gerçektir. Yani bir özvektör tanımlar \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_n lineer dönüşüm (bkz. Teorem 9.3). Bu durumda, tek boyutlu bir \mathcal(A)-invariant alt uzayı vardır. \operatöradı(lin)(\boldsembol(ler))(bkz. özvektörlerin geometrik anlamı).

Eğer bir \lambda=\alpha\pm\beta i bir çift karmaşık eşlenik kök (\beta\ne0) ise, A matrisinin s\ne o özvektörü de karmaşık öğelere sahiptir: s=\begin(pmatrix)x_1+y_1i&\cdots& x_n+y_n i \end(pmatrix)^T. s=x+yi olarak temsil edilebilir, burada x,\,y gerçek sütunlardır. Eşitlik (9.6) daha sonra forma sahiptir

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

Gerçek ve hayali kısımları ayırarak sistemi elde ederiz.

\begin(durumlar)Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\end(durumlar)

(x) ve (y) sütunlarının lineer bağımsız olduğunu gösterelim. İki durumu ele alalım. x=o ise, ilk denklemden (9.7) \beta\ne0 olduğundan y=o çıkar. Sonra s=o , bu da s\ne o koşuluyla çelişir. x\ne o ile x ve y sütunlarının orantılı olduğunu varsayalım, yani. böyle var gerçek Numara y=\gamma x olan \gamma . Daha sonra sistemden (9.7) elde ederiz \begin(cases)Ax=(\alpha-\beta\gamma)x,\\ \gamma Ax=(\beta-\alpha\gamma)x. \end(durumlar)(-\gamma) ile çarpılan ilk denklemi ikinci denkleme ekleyerek eşitliğe ulaşırız [(\beta+\alpha\gamma)-\gamma(\alpha-\beta\gamma)]x=o. x\ne o olduğundan, köşeli parantez içindeki ifade sıfıra eşittir, yani. (\beta+\alpha\gamma)- \gamma(\alpha- \beta\gamma)= \beta(1+\gamma^2)=0. \beta\ne0 olduğundan, o zaman \gamma^2=-1 . Bu olamaz, çünkü \gamma gerçek bir sayıdır. Bir çelişki yakaladık. Böylece x ve y sütunları lineer olarak bağımsızdır.

Alt uzayı düşünün, burada \boldsymbol(x)= x_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+x_n \boldsymbol(e)_n,~ \boldsymbol(y)= y_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+ y_n \boldsymbol(y)_n. Bu alt uzay iki boyutludur, çünkü vektörler \boldsymbol(x),\boldsymbol(y) lineer bağımsızdır (yukarıda gösterildiği gibi, x,y koordinat sütunları lineer olarak bağımsızdır). (9.7)'den şu sonuç çıkar: \begin(durumlar)\mathcal(A)(\boldsymbol(x))=\alpha \boldsymbol(x)-\beta \boldsymbol(y),\\ \mathcal(A)(\boldsymbol(y))=\ beta \boldsymbol(x)+\alpha \boldsymbol(y),\end(durumlar)şunlar. ait herhangi bir vektörün görüntüsü \operatöradı(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)), ayrıca aittir \operatöradı(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)). Sonuç olarak, \operatöradı(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)) ispatlanması gereken, \mathcal(A) dönüşümü altında iki boyutlu bir altuzay değişmezidir.

Doğrusal bir operatörün özvektörlerini ve değerlerini bulma (dönüşümler)

Doğrusal bir dönüşümün özvektörlerini ve özdeğerlerini bulmak için \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V gerçek lineer uzay V, aşağıdakileri yapın.

1. Keyfi bir temel seçin \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n lineer uzay V ve bu temelde A \mathcal(A) dönüşüm matrisini bulun.

2. Dönüşümün karakteristik polinomunu oluşturun \mathcal(A)\iki nokta üst üste\, \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E).

3. Tüm farklı gerçek kökleri bulun \lambda_1,\ldots,\lambda_k karakteristik denklem \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=0. Karakteristik denklemin karmaşık (ama gerçek olmayan) kökleri atılmalıdır (bkz. 9.4 açıklamanın 2. maddesi).

4. \lambda=\lambda_1 kökü için temel sistemi bulun \varphi_1, \varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r) homojen denklem sisteminin çözümleri (A-\lambda_1E)x=o , burada r=\operatöradı(rg)(A-\lambda_1E). Bunu yapmak için, homojen bir sistemi çözmek için bir algoritma veya temel matrisi bulma yöntemlerinden birini kullanabilirsiniz.

5. \lambda_1 özdeğerine karşılık gelen \mathcal(A) dönüşümünün lineer bağımsız özvektörlerini yazın:

\begin(matrix) \boldsymbol(s)_1=\varphi_(1\,1)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,1)\boldsymbol(e)_n,\\ \boldsymbol(s) _2=\varphi_(1\,2)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,2)\boldsymbol(e)_n,\\ \vdots\\ \boldsymbol(s)_(n-r)=\ varphi_(1\,n-r) \boldsymbol(e)_1+ \ldots+\varphi_(n\,n-r)\boldsymbol(e)_n. \end(matris)

\lambda_1 özdeğerine karşılık gelen tüm özvektörlerin kümesini bulmak için sıfır olmayan doğrusal kombinasyonlar oluşturun

\boldsymbol(s)= C_1 \boldsymbol(s)_1+C_2 \boldsymbol(s)_2+\ldots+ C_(n-r)\boldsymbol(s)_(n-r),

nerede C_1,C_2,\ldots,C_(n-r) aynı anda sıfıra eşit olmayan keyfi sabitlerdir.

Diğer özdeğerler için 4, 5 adımlarını tekrarlayın \lambda_2,\ldots,\lambda_k doğrusal dönüşüm \mathcal(A) .

Karmaşık bir doğrusal uzayın doğrusal dönüşümünün özvektörlerini bulmak için, 3. paragrafta, karakteristik denklemin tüm köklerini belirlemek ve karmaşık kökleri atmadan, onlar için 4. ve 5. paragrafları gerçekleştirmek gerekir.

Doğrusal operatörlerin özvektör örnekleri (dönüşümler)

1. Sıfır dönüşüm için \matematik(O)\iki nokta üst üste V\to V sıfır olmayan herhangi bir vektör, sıfır özdeğer \lambda=0'a ​​karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \mathcal(O)(\boldsymbol(s))=0\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

2. Kimlik dönüşümü için \mathcal(E)\iki nokta üst üste V\to V sıfır olmayan herhangi bir vektör \boldsembol(ler)\in V\lambda=1 tek özdeğerine karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \mathcal(E) (\boldsymbol(s))=1\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

3. Merkezi simetri için \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o))\kolon V\to V sıfır olmayan herhangi bir vektör \boldsembol(ler)\in V \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o)) (\boldsymbol(s))=(-1)\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

4. Homotetiklik için \mathcal(H)_(\lambda)\iki nokta üst üste V\to V sıfır olmayan herhangi bir vektör \boldsembol(ler)\in V\lambda özdeğerine (homotety katsayısı) karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \mathcal(H)_(\lambda) (\boldsymbol(\boldsymbol(s))= \lambda\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

5. Döndürmek \mathcal(R)_(\varphi)\iki nokta üst üste V_2\to V_2 düzlemde ('de) özvektör yoktur, çünkü \pi'nin katı olmayan bir açıyla döndürüldüğünde, sıfırdan farklı her vektörün görüntüsü ön görüntüyle doğrusal değildir. Burada gerçek düzlemin dönüşünü ele alıyoruz, yani. iki boyutlu vektör alanı reel sayılar alanı üzerinde.

6. Farklılaşma operatörü için \mathcal(D)\iki nokta üst üste P_n(\mathbb(R))\to P_n(\mathbb(R)) sıfır dereceli sıfır olmayan herhangi bir polinom (aynı şekilde sıfır değil) sıfır özdeğerine karşılık gelen bir özvektördür \lambda=0 , çünkü \mathcal(D)(s(x))=0\cdot s(x) \forall s(x)\equiv \text(const). Sıfırdan farklı herhangi bir polinom özvektör değildir, çünkü polinom türeviyle orantılı değildir: \mathcal(D)(s(x))=s"(x)\ne \lambda\cdot s(x)çünkü dereceleri farklıdır.

7. Operatörü düşünün \Pi_(L_1)\iki nokta üst üste V\to V L_1 altuzayına L_2 altuzayına paralel izdüşümler. Burada V=L_1\oplus L_2, \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+ \boldsymbol(v)_2)=\boldsymbol(v)_1 için \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1)=1\cdot \boldsymbol(v)_1, ve sıfır olmayan herhangi bir vektör, özdeğer \lambda=0'a ​​karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \Pi_(L_2)(\boldsymbol(v)_2)=0\cdot \boldsymbol(v)_2 \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1= \lambda(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2) veya adresinde mümkündür.

8. Operatörü düşünün \mathcal(Z)_(L_1)\iki nokta üst üste V\to V L_1 altuzayına L_2 altuzayına paralel yansımalar. Burada V=L_1\oplus L_2 \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2, için \boldsymbol(v)=\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2, \boldsymbol(v)_1\L_1'de,~ \boldsymbol(v)_2\L_2'de. Bu operatör için sıfır olmayan herhangi bir vektör \boldsymbol(v)_1\in L_1\lambda=1 özdeğerine karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \mathcal(Z)_(L_1) (\boldsymbol(v)_1)= 1\cdot \boldsymbol(v)_1, ve sıfır olmayan herhangi bir vektör \boldsymbol(v)_2\in L_2\lambda=-1 özdeğerine karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \mathcal(Z)_(L_2) (\boldsymbol(v)_2)= (-1)\cdot \boldsymbol(v)_2. Diğer vektörler özvektör değildir, çünkü eşitlik \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2= \lambda(\boldsymbol()_1+ \boldsymbol(v) )_2) ile mümkün \boldsymbol(v)_1=\boldsymbol(o), ya da ne zaman \boldsymbol(v)_2= \boldsymbol(o).

9. Sabit bir O noktasından çizilen uzayın yarıçap-vektörlerinin V_3 uzayında, açı boyunca dönüşü göz önünde bulundurun. \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb(Z), \vec(\ell) yarıçap vektörü tarafından verilen \ell ekseni etrafında. \vec(\ell) ile eşdoğrusal olan sıfır olmayan herhangi bir vektör, özdeğer \lambda=1'e karşılık gelen bir özdeğerdir. Bu dönüşümün başka özvektörleri yoktur.

Örnek 9.1. Farklılaşma operatörünün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun \mathcal(D)\iki nokta üst üste T_1\to T_1, trigonometrik polinomların uzayını dönüştürmek (frekanslar \omega=1 ):

a) gerçek katsayılarla T_1=T_1(\mathbb(R))= \operatöradı(Lin) (\sin(t),\cos(t));

b) karmaşık katsayılarla T_1=T_1(\mathbb(C))= \operatöradı(Lin) (\sin(t),\cos(t)).

Çözüm. 1. Standart bir temel seçin e_1(t)=\sin(t),~ e_2(t)=\cos(t) ve bu temelde \mathcal(D) operatörünün D matrisini oluşturun:

D=\begin(pmatrix)0&-1\\ 1&0 \end(pmatrix)\!.

2. Dönüşümün karakteristik polinomunu oluşturun \mathcal(D)\iki nokta üst üste\, \Delta_(\mathcal(D))(\lambda)= \begin(vmatrix)-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end(vmatrix)= \lambda^2+ bir..

3. Karakteristik denklem \lambda^2+1=0 karmaşık eşlenik köklere sahiptir \lambda_1=i,~ \lambda_2=-i. Gerçek kök yoktur, bu nedenle T_1(\mathbb(R)) (durum (a)) gerçek uzayının \mathcal(D) dönüşümünün özdeğeri yoktur ve dolayısıyla özvektörleri yoktur. T_1(\mathbb(C)) (durum (b)) karmaşık uzayının \mathcal(D) dönüşümü karmaşık özdeğerlere sahiptir \lambda_1,\,\lambda_2.

4(1). \lambda_1=i kökü için, homojen denklem sisteminin çözümlerinin \varphi_1 temel sistemini buluyoruz (D-\lambda_1 E)x=o:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i\end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

İlk denklemi (i) ile çarparak ve ikinci denklemden çıkararak sistemin matrisini kademeli bir forma getiriyoruz:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\ \0&0\end(pmatrix)\!.

x_1 temel değişkenini serbest olana göre ifade ediyoruz: x_1=ix_2 . x_2=1 ayarlandığında, x_1=i elde ederiz, yani. \varphi=\begin(pmatrix)i&1 \end(pmatrix)^T.

5(1). Özdeğere karşılık gelen bir özvektör yazın \lambda_1= i\kolon\, s_1(t)=i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). \lambda_1=i özdeğerine karşılık gelen tüm özvektörler kümesi, s_1(t) ile orantılı sıfırdan farklı fonksiyonlar oluşturur.

4(2). \lambda_2=-i kökü için benzer şekilde temel sistemi buluruz (bir vektörden oluşur) \varphi_2=\begin(pmatrix)-i&1 \end(pmatrix)^T homojen denklem sisteminin çözümleri (D-\lambda_2E)x=o:

\begin(pmatrix)i&-1\\ 1&i \end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

5(2). Özdeğere karşılık gelen bir özvektör yazın \lambda_2=-i\iki nokta üst üste\, s_2(t)=-i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). \lambda_2=-i özdeğerine karşılık gelen tüm özvektörler kümesi, s_2(t) ile orantılı sıfırdan farklı fonksiyonlar oluşturur.

Ayrıca bkz. Lineer operatörlerin özvektörlerinin özellikleri (dönüşümler) Tarayıcınızda Javascript devre dışı.
Hesaplama yapmak için yapmanız gerekenler ActiveX denetimleri!

- Lineer Cebir

Doğrusal bir operatörün özvektörleri ve değerleri (dönüşümler)

n-boyutlu bir lineer uzayın V lineer dönüşümü olsun. Doğrusal uzay V'nin koşulu sağlayan sıfır olmayan bir vektör \boldsembol(ler)i

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s),

aranan lineer dönüşümün özvektörü\matematik(A) . Eşitlikteki (9.5) \lambda sayısına denir dönüşüm özdeğeri\matematik(A) . Bir özvektörün, özdeğer \lambda ile eşleştiği (ait olduğu) söylenir. V uzayı gerçek (karmaşık) ise, o zaman \lambda özdeğeri gerçek (karmaşık) bir sayıdır.

Doğrusal bir dönüşümün tüm özdeğerlerinin kümesine denir. spektrum.

Özvektörlerin geometrik anlamını açıklayalım. Sıfır olmayan bir vektör s, görüntüsü ise \mathcal(A) için bir özdeğerdir. \mathcal(A) (\boldsymbol(s))ön görüntü \boldsymbol(s) ile eşdoğrusaldır. Diğer bir deyişle, \boldsymbol(s) bir özvektör ise, o zaman \mathcal(A) dönüşümünün tek boyutlu bir değişmez alt uzayı vardır. Tersi de doğrudur.

Gerçekten de, özvektör \boldsymbol(s)'ün bazı özdeğer \lambda'ya karşılık gelmesine izin verin. Herhangi bir \boldsymbol(v) vektörü \operatöradı(lin)(\boldsembol(ler)) forma sahip \boldsymbol(v)=\alpha \boldsembol(ler), burada \alpha verilen alandan herhangi bir sayıdır. Bu vektörün görüntüsünü bulun

\mathcal(A)(\boldsymbol(v))= \mathcal(A)(\alpha \boldsymbol(s))= \alpha\cdot \mathcal(A)(\boldsymbol(s))= \alpha\cdot \ lambda\cdot \boldsymbol(s)\in \operatorname(Lin) (\boldsymbol(s)).

Sonuç olarak, \mathcal(A)(\boldsymbol(v))\in \operatöradı(Lin)(\boldsymbol(s)) herhangi bir vektör için \boldsymbol(v)\in \operatöradı(Lin)(\boldsymbol(s)), yani alt uzay \operatöradı(lin)(\boldsembol(ler))\mathcal(A) dönüşümü altında değişmezdir. alt uzay boyutu \operatöradı(lin) (\boldsymbol(s)) bire eşittir çünkü \boldsymbol(s)\ne \boldsymbol(o) tanım olarak.

Tersi iddia, argümanı tersine çevirerek kanıtlanır.

Doğrusal bir dönüşümün (operatör) özvektörleri ile matrisi arasındaki ilişki

Önceden, bir matrisin özvektörleri ve özdeğerleri dikkate alınıyordu. n. mertebeden A kare matrisinin özvektörünün sıfırdan farklı bir sayısal sütun olduğunu hatırlayın. s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_(n)\end(pmatrix)^T tatmin edici koşul (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

(9.6)'daki \lambda sayısına A matrisinin özdeğeri denir. \lambda özdeğerinin ve sayıların s_i~(i=1,\ldots,n) karmaşık sayılar alanına aittir.

Bu kavramlar, doğrusal bir dönüşümün özvektörleri ve özdeğerleri ile ilgilidir.

Lineer dönüşümün özvektörleri ve matrisi üzerine Teorem 9.3. İzin vermek \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V n-boyutlu lineer uzay V'nin baz ile lineer dönüşümüdür. O zaman \mathcal(A) dönüşümünün özvektörü \boldsembol(ler)inin özdeğeri \lambda ve koordinat sütun(lar)ı, tabana göre tanımlanan bu dönüşümün A matrisinin özdeğeri ve özvektörüdür. \boldsymbol(e)_1,\ldots, \boldsymbol(e)_n, yani

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s)\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s, nerede \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_n,~ s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots& s_n\end(pmatrix)^T.

Converse ifadesi, ek koşullar altında doğrudur: eğer sütun s=\begin(pmatrix) s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^T ve \lambda sayısı, A matrisinin bir özvektörü ve bir özdeğeridir ve sayılar s_1,\ldots,s_n,\lambda V doğrusal uzayının tanımlandığı aynı sayı alanına aittir, ardından vektör \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+ \ldots+s_n \boldsymbol(e)_n ve \lambda sayısı lineer dönüşümün özvektörü ve özdeğeridir \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V bazında matris A ile \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n.

Gerçekten de, koordinat biçimindeki (9.5) koşulu, matris özvektörünün (7.13) tanımıyla örtüşen (9.6) biçimine sahiptir. Tersine, eşitlik (9.6), vektörlerin ve \lambda\cdot \boldsembol(ler) tanımlı, yani sayılar s_1,\ldots,s_n, \lambda lineer uzayın tanımlandığı aynı sayı alanına aittir.

Bir matrisin özdeğerlerini bulmanın, karakteristik denklemini çözmeyi azalttığını hatırlayın. \Delta_A(\lambda)=0, nerede \Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E) A matrisinin karakteristik polinomudur. Doğrusal bir dönüşüm için benzer kavramları tanıtıyoruz.

Doğrusal dönüşümün karakteristik polinomu \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V n-boyutlu lineer uzaya, V uzayının herhangi bir tabanına göre bulunan bu dönüşümün A matrisinin karakteristik polinomu denir.

Denklem denir lineer dönüşümün karakteristik denklemi.

dönüşüm \mathcal(A)-\lambda\mathcal(E) lineer dönüşüm için karakteristik olarak adlandırılır \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V.

Açıklamalar 9.4

1. Doğrusal dönüşümün karakteristik polinomu, dönüşüm matrisinin bulunduğu temele bağlı değildir.

Gerçekten de, matrisler \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e))) ve \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(f))) bazlarda doğrusal dönüşüm \mathcal(A) (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots, \boldsymbol(e)_n) ve (\boldsymbol(f))=(\boldsymbol(f)_1,\ldots,\boldsymbol(f)_n)(9.4)'e göre aşağıdakilere benzer: \nathop(A)\limits_((\boldsymbol(f)))=S^(-1)\mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e)))S, burada S, tabandan (\boldsymbol(e)) tabana (\boldsymbol(f)) geçiş matrisidir. Daha önce gösterildiği gibi, benzer matrislerin karakteristik polinomları çakışır (bkz. özellik 3). Bu nedenle, \mathcal(A) dönüşümünün karakteristik polinomu için şu notasyon kullanılabilir: \Delta_(\mathcal(A))(\lambda), bu dönüşümün matrisini belirtmeden.

2. Teorem 9.3'ten, karakteristik denklemin herhangi bir karmaşık (gerçek, rasyonel) kökünün lineer dönüşümün bir özdeğeri olduğu sonucu çıkar. \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V karmaşık (gerçek, rasyonel) sayılar alanı üzerinde tanımlanan lineer uzay V.

3. Teorem 9.3'ten, karmaşık bir lineer uzayın herhangi bir lineer dönüşümünün tek boyutlu değişmez bir alt uzayı olduğu sonucu çıkar, çünkü bu dönüşümün bir öz değeri (bkz. Bölüm 2) ve dolayısıyla özvektörleri vardır. Böyle bir alt uzay, örneğin, herhangi bir özvektörün lineer zarfıdır. Karakteristik denklemin tüm kökleri karmaşıksa (ama gerçek değilse), gerçek bir lineer uzayın dönüşümü tek boyutlu değişmez alt uzaylara sahip olmayabilir.

Gerçek uzayda bir lineer operatörün değişmez alt uzayları üzerine Teorem 9.4. Gerçek bir lineer uzayın her lineer dönüşümü, tek boyutlu veya iki boyutlu değişmez bir alt uzaya sahiptir.

Doğrusu, lineer dönüşümün A matrisini oluşturalım. \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V keyfi bir temelde n-boyutlu gerçek doğrusal uzay V \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n. Bu matrisin elemanları reel sayılardır. Bu nedenle, karakteristik polinom \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E) gerçek katsayıları olan n dereceli bir polinomdur. Cebirin Temel Teoreminin Sonuçları 3 ve 4'e göre, böyle bir polinomun gerçek kökleri ve karmaşık eşlenik kök çiftleri olabilir.

Karakteristik denklemin gerçek kökü ise, karşılık gelen özvektör s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^T A matrisi de gerçektir. Yani bir özvektör tanımlar \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_n lineer dönüşüm (bkz. Teorem 9.3). Bu durumda, tek boyutlu bir \mathcal(A)-invariant alt uzayı vardır. \operatöradı(lin)(\boldsembol(ler))(bkz. özvektörlerin geometrik anlamı).

Eğer bir \lambda=\alpha\pm\beta i bir çift karmaşık eşlenik kök (\beta\ne0) ise, A matrisinin s\ne o özvektörü de karmaşık öğelere sahiptir: s=\begin(pmatrix)x_1+y_1i&\cdots& x_n+y_n i \end(pmatrix)^T. s=x+yi olarak temsil edilebilir, burada x,\,y gerçek sütunlardır. Eşitlik (9.6) daha sonra forma sahiptir

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

Gerçek ve hayali kısımları ayırarak sistemi elde ederiz.

\begin(durumlar)Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\end(durumlar)

(x) ve (y) sütunlarının lineer bağımsız olduğunu gösterelim. İki durumu ele alalım. x=o ise, ilk denklemden (9.7) \beta\ne0 olduğundan y=o çıkar. Sonra s=o , bu da s\ne o koşuluyla çelişir. x\ne o ile x ve y sütunlarının orantılı olduğunu varsayalım, yani. y=\gamma x olacak şekilde bir gerçek sayı \gamma vardır. Daha sonra sistemden (9.7) elde ederiz \begin(cases)Ax=(\alpha-\beta\gamma)x,\\ \gamma Ax=(\beta-\alpha\gamma)x. \end(durumlar)(-\gamma) ile çarpılan ilk denklemi ikinci denkleme ekleyerek eşitliğe ulaşırız [(\beta+\alpha\gamma)-\gamma(\alpha-\beta\gamma)]x=o. x\ne o olduğundan, köşeli parantez içindeki ifade sıfıra eşittir, yani. (\beta+\alpha\gamma)- \gamma(\alpha- \beta\gamma)= \beta(1+\gamma^2)=0. \beta\ne0 olduğundan, o zaman \gamma^2=-1 . Bu olamaz, çünkü \gamma gerçek bir sayıdır. Bir çelişki yakaladık. Böylece x ve y sütunları lineer olarak bağımsızdır.

Alt uzayı düşünün, burada \boldsymbol(x)= x_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+x_n \boldsymbol(e)_n,~ \boldsymbol(y)= y_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+ y_n \boldsymbol(y)_n. Bu alt uzay iki boyutludur, çünkü vektörler \boldsymbol(x),\boldsymbol(y) doğrusal olarak bağımsızdır (yukarıda gösterildiği gibi, koordinatları x,y sütunları Doğrusal bağımsız). (9.7)'den şu sonuç çıkar: \begin(durumlar)\mathcal(A)(\boldsymbol(x))=\alpha \boldsymbol(x)-\beta \boldsymbol(y),\\ \mathcal(A)(\boldsymbol(y))=\ beta \boldsymbol(x)+\alpha \boldsymbol(y),\end(durumlar)şunlar. ait herhangi bir vektörün görüntüsü \operatöradı(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)), ayrıca aittir \operatöradı(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)). Sonuç olarak, \operatöradı(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)) ispatlanması gereken, \mathcal(A) dönüşümü altında iki boyutlu bir altuzay değişmezidir.

Doğrusal bir operatörün özvektörlerini ve değerlerini bulma (dönüşümler)

Doğrusal bir dönüşümün özvektörlerini ve özdeğerlerini bulmak için \matematik(A)\iki nokta üst üste V\to V gerçek lineer uzay V, aşağıdakileri yapın.

1. Keyfi bir temel seçin \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n lineer uzay V ve bu temelde A \mathcal(A) dönüşüm matrisini bulun.

2. Dönüşümün karakteristik polinomunu oluşturun \mathcal(A)\iki nokta üst üste\, \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E).

3. Tüm farklı gerçek kökleri bulun \lambda_1,\ldots,\lambda_k karakteristik denklem \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=0. Karakteristik denklemin karmaşık (ama gerçek olmayan) kökleri atılmalıdır (bkz. 9.4 açıklamanın 2. maddesi).

4. Kök için \lambda=\lambda_1 temel sistemi bulun \varphi_1, \varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r) (A-\lambda_1E)x=o, nerede r=\operatöradı(rg)(A-\lambda_1E). Bunu yapmak için, homojen bir sistemi çözmek için bir algoritma veya temel matrisi bulma yöntemlerinden birini kullanabilirsiniz.

5. \lambda_1 özdeğerine karşılık gelen \mathcal(A) dönüşümünün lineer bağımsız özvektörlerini yazın:

\begin(matrix) \boldsymbol(s)_1=\varphi_(1\,1)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,1)\boldsymbol(e)_n,\\ \boldsymbol(s) _2=\varphi_(1\,2)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,2)\boldsymbol(e)_n,\\ \vdots\\ \boldsymbol(s)_(n-r)=\ varphi_(1\,n-r) \boldsymbol(e)_1+ \ldots+\varphi_(n\,n-r)\boldsymbol(e)_n. \end(matris)

\lambda_1 özdeğerine karşılık gelen tüm özvektörlerin kümesini bulmak için sıfır olmayan doğrusal kombinasyonlar oluşturun

\boldsymbol(s)= C_1 \boldsymbol(s)_1+C_2 \boldsymbol(s)_2+\ldots+ C_(n-r)\boldsymbol(s)_(n-r),

nerede C_1,C_2,\ldots,C_(n-r) aynı anda sıfıra eşit olmayan keyfi sabitlerdir.

Diğer özdeğerler için 4, 5 adımlarını tekrarlayın \lambda_2,\ldots,\lambda_k doğrusal dönüşüm \mathcal(A) .

Karmaşık bir doğrusal uzayın doğrusal dönüşümünün özvektörlerini bulmak için, 3. paragrafta, karakteristik denklemin tüm köklerini belirlemek ve karmaşık kökleri atmadan, onlar için 4. ve 5. paragrafları gerçekleştirmek gerekir.

Doğrusal operatörlerin özvektör örnekleri (dönüşümler)

1. Sıfır dönüşüm için \matematik(O)\iki nokta üst üste V\to V sıfır olmayan herhangi bir vektör, sıfır özdeğer \lambda=0'a ​​karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \mathcal(O)(\boldsymbol(s))=0\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

2. Kimlik dönüşümü için \mathcal(E)\iki nokta üst üste V\to V sıfır olmayan herhangi bir vektör \boldsembol(ler)\in V\lambda=1 tek özdeğerine karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \mathcal(E) (\boldsymbol(s))=1\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

3. Merkezi simetri için \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o))\kolon V\to V sıfır olmayan herhangi bir vektör \boldsembol(ler)\in V \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o)) (\boldsymbol(s))=(-1)\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

4. Homotetiklik için \mathcal(H)_(\lambda)\iki nokta üst üste V\to V sıfır olmayan herhangi bir vektör \boldsembol(ler)\in V\lambda özdeğerine (homotety katsayısı) karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \mathcal(H)_(\lambda) (\boldsymbol(\boldsymbol(s))= \lambda\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

5. Döndürmek \mathcal(R)_(\varphi)\iki nokta üst üste V_2\to V_2 düzlemde ('de) özvektör yoktur, çünkü \pi'nin katı olmayan bir açıyla döndürüldüğünde, sıfırdan farklı her vektörün görüntüsü ön görüntüyle doğrusal değildir. Burada gerçek düzlemin dönüşünü ele alıyoruz, yani. gerçek sayıların alanı üzerinde iki boyutlu vektör uzayı.

6. Farklılaşma operatörü için \mathcal(D)\iki nokta üst üste P_n(\mathbb(R))\to P_n(\mathbb(R)) sıfır dereceli sıfır olmayan herhangi bir polinom (aynı şekilde sıfır değil) sıfır özdeğerine karşılık gelen bir özvektördür \lambda=0 , çünkü \mathcal(D)(s(x))=0\cdot s(x) \forall s(x)\equiv \text(const). Sıfırdan farklı herhangi bir polinom özvektör değildir, çünkü polinom türeviyle orantılı değildir: \mathcal(D)(s(x))=s"(x)\ne \lambda\cdot s(x)çünkü dereceleri farklıdır.

7. Operatörü düşünün \Pi_(L_1)\iki nokta üst üste V\to V L_1 altuzayına L_2 altuzayına paralel izdüşümler. Burada V=L_1\oplus L_2, \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+ \boldsymbol(v)_2)=\boldsymbol(v)_1 için \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1)=1\cdot \boldsymbol(v)_1, ve sıfır olmayan herhangi bir vektör, özdeğer \lambda=0'a ​​karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \Pi_(L_2)(\boldsymbol(v)_2)=0\cdot \boldsymbol(v)_2 \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1= \lambda(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2) veya adresinde mümkündür.

8. Operatörü düşünün \mathcal(Z)_(L_1)\iki nokta üst üste V\to V L_1 altuzayına L_2 altuzayına paralel yansımalar. Burada V=L_1\oplus L_2 \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2, için \boldsymbol(v)=\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2, \boldsymbol(v)_1\L_1'de,~ \boldsymbol(v)_2\L_2'de. Bu operatör için sıfır olmayan herhangi bir vektör \boldsymbol(v)_1\in L_1\lambda=1 özdeğerine karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \mathcal(Z)_(L_1) (\boldsymbol(v)_1)= 1\cdot \boldsymbol(v)_1, ve sıfır olmayan herhangi bir vektör \boldsymbol(v)_2\in L_2\lambda=-1 özdeğerine karşılık gelen bir özdeğerdir, çünkü \mathcal(Z)_(L_2) (\boldsymbol(v)_2)= (-1)\cdot \boldsymbol(v)_2. Diğer vektörler özvektör değildir, çünkü eşitlik \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2= \lambda(\boldsymbol()_1+ \boldsymbol(v) )_2) ile mümkün \boldsymbol(v)_1=\boldsymbol(o), ya da ne zaman \boldsymbol(v)_2= \boldsymbol(o).

9. Sabit bir O noktasından çizilen uzayın yarıçap-vektörlerinin V_3 uzayında, açı boyunca dönüşü göz önünde bulundurun. \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb(Z), \vec(\ell) yarıçap vektörü tarafından verilen \ell ekseni etrafında. \vec(\ell) ile eşdoğrusal olan sıfır olmayan herhangi bir vektör, özdeğer \lambda=1'e karşılık gelen bir özdeğerdir. Bu dönüşümün başka özvektörleri yoktur.

Örnek 9.1. Farklılaşma operatörünün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun \mathcal(D)\iki nokta üst üste T_1\to T_1, trigonometrik polinomların uzayını dönüştürmek (frekanslar \omega=1 ):

a) gerçek katsayılarla T_1=T_1(\mathbb(R))= \operatöradı(Lin) (\sin(t),\cos(t));

b) karmaşık katsayılarla T_1=T_1(\mathbb(C))= \operatöradı(Lin) (\sin(t),\cos(t)).

Çözüm. 1. Standart bir temel seçin e_1(t)=\sin(t),~ e_2(t)=\cos(t) ve bu temelde \mathcal(D) operatörünün D matrisini oluşturun:

D=\begin(pmatrix)0&-1\\ 1&0 \end(pmatrix)\!.

2. Dönüşümün karakteristik polinomunu oluşturun \mathcal(D)\iki nokta üst üste\, \Delta_(\mathcal(D))(\lambda)= \begin(vmatrix)-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end(vmatrix)= \lambda^2+ bir..

3. Karakteristik denklem \lambda^2+1=0 karmaşık eşlenik köklere sahiptir \lambda_1=i,~ \lambda_2=-i. Gerçek kök yoktur, bu nedenle T_1(\mathbb(R)) (durum (a)) gerçek uzayının \mathcal(D) dönüşümünün özdeğeri yoktur ve dolayısıyla özvektörleri yoktur. T_1(\mathbb(C)) (durum (b)) karmaşık uzayının \mathcal(D) dönüşümü karmaşık özdeğerlere sahiptir \lambda_1,\,\lambda_2.

4(1). \lambda_1=i kökü için, homojen denklem sisteminin çözümlerinin \varphi_1 temel sistemini buluyoruz (D-\lambda_1 E)x=o:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i\end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

İlk denklemi (i) ile çarparak ve ikinci denklemden çıkararak sistemin matrisini kademeli bir forma getiriyoruz:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\ \0&0\end(pmatrix)\!.

x_1 temel değişkenini serbest olana göre ifade ediyoruz: x_1=ix_2 . x_2=1 ayarlandığında, x_1=i elde ederiz, yani. \varphi=\begin(pmatrix)i&1 \end(pmatrix)^T.

5(1). Özdeğere karşılık gelen bir özvektör yazın \lambda_1= i\kolon\, s_1(t)=i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). \lambda_1=i özdeğerine karşılık gelen tüm özvektörler kümesi, s_1(t) ile orantılı sıfırdan farklı fonksiyonlar oluşturur.

4(2). \lambda_2=-i kökü için benzer şekilde temel sistemi buluruz (bir vektörden oluşur) \varphi_2=\begin(pmatrix)-i&1 \end(pmatrix)^T homojen denklem sisteminin çözümleri (D-\lambda_2E)x=o:

\begin(pmatrix)i&-1\\ 1&i \end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

5(2). Özdeğere karşılık gelen bir özvektör yazın \lambda_2=-i\iki nokta üst üste\, s_2(t)=-i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). \lambda_2=-i özdeğerine karşılık gelen tüm özvektörler kümesi, s_2(t) ile orantılı sıfırdan farklı fonksiyonlar oluşturur.

Ayrıca bakınız

X ≠ 0 vektörüne denir kendi vektörü AX = X olan bir  sayısı varsa, matris A ile lineer operatör.

Bu durumda,  sayısı denir özdeğer x vektörüne karşılık gelen operatör (matris A).

Başka bir deyişle, bir özvektör, doğrusal bir operatörün etkisi altında, bir eşdoğrusal vektöre dönüşen bir vektördür, yani. sadece bir sayı ile çarpın. Buna karşılık, uygun olmayan vektörlerin dönüştürülmesi daha zordur.

Özvektörün tanımını bir denklem sistemi olarak yazıyoruz:

Tüm terimleri sol tarafa taşıyalım:

Son sistem matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:

(A - E) X \u003d O

Ortaya çıkan sistemin her zaman sıfır çözümü vardır X = O. Tüm serbest terimlerin sıfıra eşit olduğu bu tür sistemlere denir. homojen. Böyle bir sistemin matrisi kare ise ve determinantı sıfıra eşit değilse, Cramer formüllerine göre her zaman benzersiz bir çözüm elde edeceğiz - sıfır. Sistemin sıfır olmayan çözümlere sahip olduğu ancak ve ancak bu matrisin determinantı sıfıra eşitse, yani.

|A - E| = = 0

 bilinmeyen bu denkleme denir karakteristik denklem(karakteristik polinom) matris A (doğrusal operatör).

Doğrusal bir operatörün karakteristik polinomunun temel seçimine bağlı olmadığı kanıtlanabilir.

Örneğin A = matrisinin verdiği lineer operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulalım.

Bunu yapmak için, |А - Е| karakteristik denklemini oluşturuyoruz. = \u003d (1 -) 2 - 36 \u003d 1 - 2 +  2 - 36 \u003d 2 - 2- 35; D \u003d 4 + 140 \u003d 144; özdeğerler 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Özvektörleri bulmak için iki denklem sistemini çözeriz.

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

Bunlardan ilki için genişletilmiş matris şu şekilde olacaktır:

,

nereden x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s, yani. X (1) \u003d (- (2/3) s; s).

İkincisi için, genişletilmiş matris şu şekilde olacaktır:

,

nereden x 2 \u003d c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1, yani. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

Böylece, bu lineer operatörün özvektörleri, özdeğeri (-5) olan (-(2/3)c;c) formunun tüm vektörleri ve ((2/3)c 1 ; c 1) formunun tüm vektörleridir. özdeğer 7.

A operatörünün özvektörlerinden oluşan temeldeki matrisinin köşegen olduğu ve aşağıdaki forma sahip olduğu kanıtlanabilir:

,

nerede  i bu matrisin özdeğerleridir.

Bunun tersi de doğrudur: A matrisi bir bazda köşegen ise, bu temelin tüm vektörleri bu matrisin özvektörleri olacaktır.

Ayrıca, bir lineer operatörün n tane ikili farklı özdeğeri varsa, o zaman karşılık gelen özvektörlerin lineer olarak bağımsız olduğu ve bu operatörün karşılık gelen bazdaki matrisinin diyagonal bir forma sahip olduğu kanıtlanabilir.

Çapraz tip matrisler en basit şekilde düzenlenir. Doğrusal bir operatörün matrisinin köşegen bir forma sahip olacağı bir temel bulmanın mümkün olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. Böyle bir temel mevcuttur.
Bir lineer uzay Rn ve onun içinde hareket eden bir lineer A operatörü verilsin; bu durumda, A operatörü R n'yi kendi içine alır, yani A:R n → R n .

Tanım. Sıfır olmayan bir vektöre, A operatörü kendisine eşdoğrusal bir vektöre, yani . λ sayısı, özvektöre karşılık gelen A operatörünün özdeğeri veya özdeğeri olarak adlandırılır.
Özdeğerlerin ve özvektörlerin bazı özelliklerini not ediyoruz.
1. Herhangi bir doğrusal özvektör kombinasyonu A operatörünün aynı özdeğere karşılık gelen λ, aynı özdeğere sahip bir özvektördür.
2. Özvektörler A operatörü, ikili olarak farklı özdeğerleri λ 1 , λ 2 , …, λ m doğrusal olarak bağımsızdır.
3. Eğer özdeğerler λ 1 =λ 2 = λ m = λ ise, o zaman λ özdeğeri m'den fazla lineer bağımsız özvektöre karşılık gelmez.

Yani, eğer lineer olarak bağımsız n tane özvektör varsa farklı özdeğerlere karşılık gelen λ 1 , λ 2 , …, λn , o zaman doğrusal olarak bağımsızdırlar, bu nedenle R n uzayının temeli olarak alınabilirler. A operatörü ile temel vektörler üzerinde hareket ettiğimiz özvektörleri temelinde doğrusal A operatörünün matrisinin biçimini bulalım: sonra .
Böylece, doğrusal operatör A'nın özvektörleri temelinde matrisi köşegen bir forma sahiptir ve A operatörünün özdeğerleri köşegen üzerindedir.
Matrisin köşegen bir forma sahip olduğu başka bir temel var mı? Bu sorunun cevabı aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem. (i = 1..n) tabanındaki lineer A operatörünün matrisi, ancak ve ancak tabanın tüm vektörleri A operatörünün özvektörleriyse köşegen bir forma sahiptir.

Özdeğerleri ve özvektörleri bulma kuralı

vektör olsun , burada x 1 , x 2 , …, x n - vektörün tabana göre koordinatları ve λ özdeğerine karşılık gelen lineer operatör A'nın özvektörüdür, yani. Bu ilişki matris formunda yazılabilir.

. (*)

Denklem (*) bulmak için bir denklem olarak kabul edilebilir ve , yani özvektör sıfır olamayacağından önemsiz olmayan çözümlerle ilgileniyoruz. Homojen bir sistemin önemsiz olmayan çözümlerinin olduğu bilinmektedir. lineer denklemler ancak ve ancak det(A - λE) = 0 ise mevcuttur. Dolayısıyla, λ'nın A operatörünün bir özdeğeri olması için det(A - λE) = 0 olması gerekli ve yeterlidir.
Denklem (*) ayrıntılı olarak koordinat biçiminde yazılırsa, bir doğrusal homojen denklem sistemi elde ederiz:

(1)
nerede lineer operatörün matrisidir.

Sistem (1), determinantı D sıfıra eşitse sıfır olmayan bir çözüme sahiptir.

Özdeğerleri bulmak için bir denklemimiz var.
Bu denklem karakteristik denklem olarak adlandırılır ve Sol Taraf- matrisin (operatör) A karakteristik polinomu. Karakteristik polinomun gerçek kökleri yoksa, A matrisinin özvektörleri yoktur ve köşegen forma indirgenemez.
λ 1 , λ 2 , …, λ n karakteristik denklemin gerçek kökleri olsun ve aralarında katlar olabilir. Bu değerleri sırayla (1) sistemine koyarak özvektörleri buluyoruz.

Örnek 12. Lineer operatör A, R3'te yasaya göre hareket eder, burada x 1 , x 2 , .., x n vektörün temeldeki koordinatlarıdır. , , . Bu operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun.
Çözüm. Bu operatörün matrisini oluşturuyoruz:
.
Özvektörlerin koordinatlarını belirlemek için bir sistem oluşturuyoruz:

Karakteristik denklemi oluşturur ve çözeriz:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
λ = -1'i sisteme koyarsak:
veya
Çünkü , o zaman iki bağımlı değişken ve bir serbest değişken vardır.
x 1 serbest bir bilinmeyen olsun, o zaman Bu sistemi herhangi bir şekilde çözeriz ve buluruz ortak karar n - r = 3 - 2 = 1 olduğundan, temel çözüm sistemi tek bir çözümden oluşur.
λ = -1 özdeğerine karşılık gelen özvektörler kümesi şu şekildedir: , burada x 1 sıfırdan başka herhangi bir sayıdır. Bu kümeden bir vektör seçelim, örneğin x 1 = 1 ayarlayarak. .
Benzer şekilde tartışarak, özdeğer λ = 3'e karşılık gelen özvektörü buluruz: .
R3 uzayında taban, lineer olarak bağımsız üç vektörden oluşur, fakat biz sadece lineer olarak bağımsız iki özvektör elde ettik, bunlardan R3'teki baz oluşturulamaz. Sonuç olarak, doğrusal bir operatörün A matrisi köşegen bir forma indirgenemez.

Örnek 13 Verilen bir matris .
1. Vektörün A matrisinin bir özvektörüdür. Bu özvektöre karşılık gelen özdeğeri bulun.
2. A matrisinin köşegen bir forma sahip olduğu bir taban bulun.
Çözüm.
1. Eğer , o zaman bir özvektördür

.
Vektör (1, 8, -1) bir özvektördür. Özdeğer λ = -1.
Matris, özvektörlerden oluşan tabanda köşegen bir forma sahiptir. Bunlardan biri ünlüdür. Gerisini bulalım.
Sistemden özvektörler arıyoruz:

Karakteristik denklem: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
λ = -3 özdeğerine karşılık gelen özvektörü bulun:

Bu sistemin matrisinin rankı ikiye ve bilinmeyenlerin sayısına eşittir, bu nedenle bu sistemin yalnızca sıfır çözümü vardır x 1 = x 3 = 0. Burada x 2 sıfırdan başka bir şey olabilir, örneğin, x 2 = 1. Böylece, (0 ,1,0) vektörü, λ = -3'e karşılık gelen bir özvektördür. Hadi kontrol edelim:
.
λ = 1 ise, sistemi elde ederiz.
Matrisin sırası ikidir. Son denklemi çaprazlayın.
x 3 serbest bilinmeyen olsun. Ardından x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
x 3 = 1 varsayarsak, (-3,-9,1) - özdeğeri λ = 1'e karşılık gelen bir özvektörümüz var. Kontrol edin:

.
Özdeğerler reel ve farklı olduğundan bunlara karşılık gelen vektörler lineer bağımsızdır, dolayısıyla R3'te temel alınabilir. Böylece, temelde , , A matrisi şu şekildedir:
.
A:R n → R n lineer operatörünün her matrisi bir köşegen forma indirgenemez, çünkü bazı lineer operatörler için n'den az lineer bağımsız özvektör olabilir. Bununla birlikte, matris simetrik ise, o zaman tam olarak m doğrusal olarak bağımsız vektörler, karakteristik m çokluk denkleminin köküne karşılık gelir.

Tanım. simetrik matris denir Kare matris ana köşegen etrafında simetrik elemanların eşit olduğu, yani .
Notlar. 1. Simetrik bir matrisin tüm özdeğerleri gerçektir.
2. İkili olarak farklı özdeğerlere karşılık gelen simetrik bir matrisin özvektörleri ortogonaldir.
İncelenen aparatın sayısız uygulamalarından biri olarak, ikinci dereceden bir eğrinin biçimini belirleme problemini ele alıyoruz.