Bir matrisin köşegen küçükleri nasıl hesaplanır. Bir matrisin derecesini bulun: yöntemler ve örnekler

Matris küçükleri

bir kare olsun matris A, n. sıra. Küçük bazı eleman a ij , matris determinantı n. sıra denir belirleyici(n - 1) -inci sıra, seçilen a ij öğesinin bulunduğu kesişim noktasındaki satır ve sütun silinerek orijinalden elde edilir. Belirtilen M ij .

Bir örneğe bakalım matris determinantı 3 - sırası:

Daha sonra tanıma göre küçük, küçük a 12 elemanına karşılık gelen M 12 belirleyici:

Aynı zamanda yardımı ile küçükler hesaplamayı kolaylaştırabilir matris determinantı. ayrıştırmak gerekiyor matris determinantı bir çizgi boyunca ve sonra belirleyici bu satırın tüm elemanlarının ve onların küçüklerinin toplamına eşit olacaktır. Ayrışma matris determinantı 3 - sırası şöyle görünecek:

Çarpımdan önceki işaret (-1) n'dir, burada n = i + j.

Cebirsel eklemeler:

cebirsel toplama a ij elemanına onun adı verilir küçük(i + j) toplamı çift sayı ise "+" işaretiyle ve bu toplam tek sayıysa "-" işaretiyle alınır. Belirtilen A ij . A ij \u003d (-1) ben + j × M ij.

O zaman yukarıdaki özelliği yeniden formüle edebiliriz. matris determinantı belirli bir satırın (satır veya sütun) öğelerinin çarpımının toplamına eşittir matrisler ilgililerine cebirsel eklemeler. Örnek:

4. Ters matris ve hesaplanması.

A bir kare olsun matris n. sıra.

Meydan matris A, dejenere olmayan olarak adlandırılırsa matris determinantı(Δ = det A) sıfıra eşit değil (Δ = det A ≠ 0). Aksi halde (Δ = 0) matris Dejenere denir.

Matris, müttefik matris Ah, denir matris

Nerede bir ij - cebirsel toplama verilen bir ij elemanı matrisler(aynı şekilde tanımlanır cebirsel toplama eleman matris determinantı).

Matris-1 denir ters matris A, koşul karşılanırsa: A × A -1 \u003d A -1 × A \u003d E, burada E tektir matris aynı sıra matris ANCAK. Matris A -1 ile aynı boyutlara sahiptir matris ANCAK.

ters matris

kare varsa matrisler X ve A şu koşulu sağlıyor: X × A \u003d A × X \u003d E, burada E birimdir matris aynı sıra, o zaman matris X denir ters matris A matrisine bağlanır ve A-1 ile gösterilir. Herhangi bir dejenere olmayan matris sahip ters matris ve dahası, sadece bir tane, yani kare yapmak için matris bir vardı ters matris olması gerekli ve yeterlidir. belirleyici sıfırdan farklıydı.

almak için ters matris formülü kullanın:

M ji isteğe bağlı olduğunda küçük eleman bir ji matrisler ANCAK.

5. Matris sıralaması. Temel dönüşümleri kullanarak sıralamanın hesaplanması.

Bir dikdörtgen matris mxn düşünün. Bu matristeki bazı k satır ve k sütunu ayıralım, 1 £ k £ min (m, n) . Seçilen satır ve sütunların kesişim noktalarındaki elemanlardan k. mertebenin determinantını oluşturacağız. Tüm bu belirleyicilere matris minörleri denir. Örneğin, bir matris için ikinci dereceden küçükler oluşturabilirsiniz. ve birinci dereceden küçükler 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Tanım. Bir matrisin rankı, bu matrisin sıfır olmayan minörünün en yüksek mertebesidir. r (A) matrisinin sırasını belirtin.

Yukarıdaki örnekte, örneğin küçük olduğundan, matrisin sırası ikidir.

Bir matrisin sırası, temel dönüşümler yöntemiyle uygun bir şekilde hesaplanır. Temel dönüşümler aşağıdakileri içerir:

1) satırların (sütunların) permütasyonları;

2) bir satırı (sütun) sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak;

3) bir satırın (sütun) öğelerine, önceden belirli bir sayı ile çarpılmış başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğelerinin eklenmesi.

Bu dönüşümler matrisin rankını değiştirmez, çünkü 1) satırlar değiştirildiğinde, determinant işaret değiştirir ve sıfıra eşit değilse, değişmez; 2) determinantın satırını sıfıra eşit olmayan bir sayı ile çarparken, determinant bu sayı ile çarpılır; 3) üçüncü temel dönüşüm determinantı hiç değiştirmez. Böylece, bir matris üzerinde temel dönüşümler gerçekleştirerek, onun ve dolayısıyla orijinal matrisin sıralamasını hesaplamanın kolay olduğu bir matris elde edilebilir.

Tanım. Temel dönüşümler kullanılarak bir matristen elde edilen matrise eşdeğer denir ve şu şekilde gösterilir: ANCAK AT.

Teorem. Bir matrisin rankı, temel matris dönüşümleri altında değişmez.

Temel dönüşümlerin yardımıyla, matrisi, sıralamasının hesaplanması zor olmadığında, sözde adım formuna getirilebilir.

Matris şu şekle sahipse adımlı olarak adlandırılır:

Açıkçası, adım matrisinin sırası, sıfır olmayan satırların sayısına eşittir. , çünkü sıfıra eşit olmayan, inci dereceden bir minör var:

.

Bir matrisin sıralaması önemli bir sayısal özelliktir. Bir matrisin sırasını bulmayı gerektiren en tipik problem, bir lineer cebirsel denklem sisteminin uyumluluğunu kontrol etmektir. Bu yazıda, bir matrisin rankı kavramını vereceğiz ve onu bulma yöntemlerini ele alacağız. Malzemenin daha iyi özümsenmesi için birkaç örneğin çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Sayfa gezintisi.

Bir matrisin rankının belirlenmesi ve gerekli ek kavramlar.

Bir matrisin rankının tanımını dile getirmeden önce, minör kavramının iyi anlaşılması gerekir ve bir matrisin minörlerini bulmak, determinantı hesaplama yeteneği anlamına gelir. Bu nedenle, gerekirse, makalenin teorisini, matris determinantını bulma yöntemlerini, determinantın özelliklerini hatırlamanızı öneririz.

mertebeden bir A matrisi alın. k, m ve n sayılarının en küçüğünü geçmeyen bir doğal sayı olsun, yani, .

Tanım.

Küçük k. sıra A matrisi, önceden seçilmiş k satır ve k sütunda bulunan A matrisinin öğelerinden oluşan mertebeden kare matrisin determinantıdır ve A matrisinin öğelerinin konumu korunur.

Başka bir deyişle, A matrisindeki (p–k) satırlarını ve (n–k) sütunlarını silersek ve kalan elemanlardan A matris elemanlarının düzenini koruyarak bir matris oluşturursak, elde edilen matrisin determinantı ​​A matrisinin k mertebesinden bir minör.

Bir örnek kullanarak bir matris minör tanımına bakalım.

matrisi düşünün .

Bu matrisin birkaç birinci dereceden küçüklerini yazalım. Örneğin, A matrisinin üçüncü satırını ve ikinci sütununu seçersek, seçimimiz birinci dereceden bir minöre karşılık gelir. . Başka bir deyişle, bu minörü elde etmek için, A matrisinden birinci ve ikinci satırların yanı sıra birinci, üçüncü ve dördüncü sütunların üzerini çizdik ve kalan elemandan determinantı oluşturduk. A matrisinin ilk satırını ve üçüncü sütununu seçersek, o zaman bir minör elde ederiz. .

Birinci dereceden küçükleri elde etme prosedürünü gösterelim
ve .

Böylece, bir matrisin birinci dereceden küçükleri, matris elemanlarının kendileridir.

İkinci dereceden birkaç küçük gösterelim. İki satır ve iki sütun seçin. Örneğin, birinci ve ikinci satırları ve üçüncü ve dördüncü sütunları alın. Bu seçimle, ikinci dereceden bir minörümüz var . Bu minör, A matrisinden üçüncü satır, birinci ve ikinci sütunlar silinerek de oluşturulabilir.

A matrisinin başka bir ikinci dereceden minörü .

Bu ikinci dereceden küçüklerin yapısını örnekleyelim.
ve .

A matrisinin üçüncü dereceden küçükleri benzer şekilde bulunabilir. A matrisinde sadece üç satır olduğu için hepsini seçiyoruz. Bu satırlar için ilk üç sütunu seçersek, üçüncü dereceden bir minör elde ederiz.

A matrisinin son sütunu silinerek de oluşturulabilir.

Başka bir üçüncü dereceden küçük

A matrisinin üçüncü sütunu silinerek elde edilir.

İşte bu üçüncü dereceden küçüklerin yapımını gösteren bir çizim
ve .

Belirli bir A matrisi için, üçüncüden daha yüksek mertebeden minörler yoktur, çünkü .

A mertebesinden matrisin kaç k-inci mertebeden küçükleri vardır?

k dereceli küçüklerin sayısı şu şekilde hesaplanabilir: ve - sırasıyla p'den k'ye ve n'den k'ye kombinasyon sayısı.

n üzerinde p dereceli A matrisinin k dereceli tüm küçükleri nasıl oluşturulur?

Bir dizi matris satır numarasına ve bir dizi sütun numarasına ihtiyacımız var. Her şeyi kaydetmek p elemanlarının k ile kombinasyonları(k dereceli bir minör oluşturulurken A matrisinin seçilen satırlarına karşılık geleceklerdir). Her satır numarası kombinasyonuna, k sütun numarasına göre n elemanın tüm kombinasyonlarını sırayla ekliyoruz. A matrisinin satır numaraları ve sütun numaralarının bu kombinasyonları, k düzeyindeki tüm minörlerin oluşturulmasına yardımcı olacaktır.

Bir örnek alalım.

Örnek.

Matrisin tüm ikinci dereceden küçüklerini bulun.

Çözüm.

Orijinal matrisin sırası 3'e 3 olduğundan, toplam ikinci dereceden küçükler olacaktır. .

A matrisinin 3 ila 2 satır numaralarının tüm kombinasyonlarını yazalım: 1, 2; 1, 3 ve 2, 3. 3'e 2 sütun numaralarının tüm kombinasyonları 1, 2'dir; 1, 3 ve 2, 3.

A matrisinin birinci ve ikinci satırlarını alın. Bu satırlar için birinci ve ikinci sütunları, birinci ve üçüncü sütunları, ikinci ve üçüncü sütunları seçerek sırasıyla küçükleri elde ederiz.

Benzer sütun seçeneklerine sahip birinci ve üçüncü satırlar için,

İkinci ve üçüncü satırlara birinci ve ikinci, birinci ve üçüncü, ikinci ve üçüncü sütunları eklemeye devam ediyor:

Böylece, A matrisinin ikinci mertebesinden dokuz minörün tümü bulunur.

Şimdi matrisin rankını belirlemeye geçebiliriz.

Tanım.

matris sıralaması sıfır olmayan matris minörünün en yüksek mertebesidir.

A matrisinin rankı Rank(A) olarak gösterilir. Rg(A) veya Rang(A) tanımlarını da görebilirsiniz.

Bir matrisin rankının ve bir matrisin minörünün tanımlarından, sıfır matrisinin rankının sıfıra eşit olduğu ve sıfır olmayan bir matrisin rankının en az bir olduğu sonucuna varabiliriz.

Tanıma göre bir matrisin rankını bulma.

Bu nedenle, bir matrisin rankını bulmanın ilk yöntemi şudur: küçük numaralandırma yöntemi. Bu yöntem matrisin rankının belirlenmesine dayanmaktadır.

A mertebesinden bir matrisin rankını bulalım.

Kısaca açıkla algoritma küçüklerin sayımı yöntemi ile bu sorunun çözümü.

Sıfır dışında en az bir matris elemanı varsa, matrisin rankı en az bire eşittir (çünkü sıfıra eşit olmayan birinci dereceden bir minör vardır).

Ardından, ikinci dereceden küçükler üzerinde yineleniriz. Tüm ikinci dereceden küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası bire eşittir. En az bir sıfır olmayan ikinci dereceden küçük varsa, üçüncü dereceden küçüklerin numaralandırılmasına geçilir ve matrisin sırası en az ikiye eşittir.

Benzer şekilde, tüm üçüncü dereceden küçükler sıfırsa, matrisin sırası ikidir. En az bir sıfır olmayan üçüncü dereceden küçük varsa, matrisin sırası en az üçtür ve dördüncü dereceden küçüklerin sayımına geçiyoruz.

Bir matrisin rankının p ve n'nin en küçüğünü aşamayacağını unutmayın.

Örnek.

Bir matrisin sırasını bulun .

Çözüm.

Matris sıfır olmadığı için sıralaması birden az değildir.

İkinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır, bu nedenle, A matrisinin rankı en az ikidir. Üçüncü dereceden küçüklerin sayımına geçiyoruz. Hepsi şeyler.

Tüm üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir. Bu nedenle, matrisin sırası ikidir.

Cevap:

Sıra(A) = 2 .

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin rankını bulma.

Daha az hesaplama çalışmasıyla sonucu elde etmenizi sağlayan bir matrisin sırasını bulmak için başka yöntemler de vardır.

Bu yöntemlerden biri saçaklama minör yöntemi.

ilgilenelim sınırdaki küçük kavramı.

Minör M ok'a karşılık gelen matris, minör M ok'a karşılık gelen matrisi "içeriyorsa", A matrisinin (k+1)'inci mertebesindeki minör M ok'un, A matrisinin k mertebesindeki minör M'yi çevrelediği söylenir. M .

Başka bir deyişle, kenarlı minör M'ye karşılık gelen matris, bir satır ve bir sütunun elemanları silinerek sınırlayıcı minör M ok'a karşılık gelen matristen elde edilir.

Örneğin, matrisi düşünün ve ikinci dereceden bir minör alın. Sınırdaki tüm küçükleri yazalım:

Küçükleri sınırlama yöntemi aşağıdaki teorem ile doğrulanır (formülasyonunu kanıtsız sunuyoruz).

Teorem.

Eğer p ile n mertebesine sahip bir A matrisinin k-inci mertebeden minörünü çevreleyen tüm minörler sıfıra eşitse, bu durumda A matrisinin (k + 1) mertebesinden tüm minörleri sıfıra eşittir.

Bu nedenle, bir matrisin rankını bulmak için, yeterince bordering olan tüm minörleri numaralandırmak gerekli değildir. A mertebesinden matrisin k'inci mertebeden minörünü çevreleyen minörlerin sayısı formülle bulunur. . A matrisinin k-inci dereceden minörünü, A matrisinin (k+1)-inci dereceden minörlerinden daha fazla sınırlayan minör olmadığına dikkat edin. Bu nedenle, çoğu durumda, küçükleri sınırlama yöntemini kullanmak, tüm küçüklerin basitçe numaralandırılmasından daha karlıdır.

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin rankını bulmaya devam edelim. Kısaca açıkla algoritma Bu method.

A matrisi sıfır değilse, o zaman A matrisinin sıfırdan farklı herhangi bir öğesini birinci dereceden küçük olarak alırız. Sınırdaki küçükleri düşünüyoruz. Hepsi sıfıra eşitse, matrisin sırası bire eşittir. En az bir sıfır olmayan sınır çocuğu varsa (sıralaması ikiye eşittir), o zaman sınırdaki küçüklerin değerlendirilmesine geçiyoruz. Hepsi sıfırsa, Rank(A) = 2 . Sınırdaki en az bir çocuk sıfır değilse (sıralaması üçe eşittir), o zaman sınırdaki küçükleri dikkate alırız. Ve benzeri. Sonuç olarak, A matrisinin (k + 1). mertebesindeki tüm sınırlayıcı minörler sıfıra eşitse Rank(A) = k veya olmayan bir varsa Rank(A) = min(p, n) olur. mertebenin minörünü çevreleyen sıfır minör (min( p, n) – 1) .

Bir örnek kullanarak bir matrisin sırasını bulmak için küçükleri sınırlama yöntemini analiz edelim.

Örnek.

Bir matrisin sırasını bulun sınırlayıcı küçükler yöntemiyle.

Çözüm.

A matrisinin a 1 1 elemanı sıfır olmadığı için, onu birinci dereceden küçük olarak alıyoruz. Sıfırdan farklı bir sınırlayıcı minör aramaya başlayalım:

Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör bulundu. Sınırındaki küçükleri (onların şeyler):

İkinci dereceden minörü çevreleyen tüm minörler sıfıra eşittir, bu nedenle A matrisinin rankı ikiye eşittir.

Cevap:

Sıra(A) = 2 .

Örnek.

Bir matrisin sırasını bulun sınırdaki küçüklerin yardımıyla.

Çözüm.

Birinci mertebeden sıfır olmayan bir minör olarak, A matrisinin a 1 1 = 1 öğesini alıyoruz. İkinci dereceden küçük saçak sıfıra eşit değildir. Bu reşit olmayan üçüncü dereceden bir reşit tarafından sınırlanmıştır
. Sıfıra eşit olmadığı ve onun için bir sınırlayıcı minör olmadığı için, A matrisinin rankı üçe eşittir.

Cevap:

Sıra(A) = 3 .

Matrisin temel dönüşümlerini kullanarak sıra bulma (Gauss yöntemiyle).

Bir matrisin rankını bulmanın başka bir yolunu düşünün.

Aşağıdaki matris dönüşümleri temel olarak adlandırılır:

• matrisin satırlarının (veya sütunlarının) permütasyonu;
• matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının sıfırdan farklı rastgele bir k sayısı ile çarpımı;
• herhangi bir satırın (sütun) elemanlarına, matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen elemanlarının eklenmesi, keyfi bir k sayısı ile çarpılır.

Matris B, matris A'ya eşdeğer olarak adlandırılır, B, A'dan sonlu sayıda temel dönüşüm yardımıyla elde edilirse. Matrislerin denkliği "~" sembolü ile gösterilir, yani A ~ B şeklinde yazılır.

Temel matris dönüşümlerini kullanarak bir matrisin sırasını bulmak şu ifadeye dayanır: B matrisi, A matrisinden sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak elde edilirse, Sıra(A) = Sıra(B) .

Bu ifadenin geçerliliği, matris determinantının özelliklerinden kaynaklanmaktadır:

• Bir matrisin satırları (veya sütunları) değiştirildiğinde, determinantı işaret değiştirir. Sıfıra eşitse, satırlara (sütunlara) izin verilirken sıfıra eşit kalır.
• Matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm öğelerini sıfırdan farklı bir rastgele sayı k ile çarparken, ortaya çıkan matrisin determinantı, orijinal matrisin determinantına eşittir, k ile çarpılır. Orijinal matrisin determinantı sıfıra eşitse, herhangi bir satır veya sütunun tüm öğelerini k sayısıyla çarptıktan sonra, ortaya çıkan matrisin determinantı da sıfıra eşit olacaktır.
• Matrisin belirli bir satırının (sütununun) öğelerine, matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen öğelerinin belirli bir k sayısı ile çarpılması, determinantını değiştirmez.

Temel dönüşümler yönteminin özü rütbesini bulmamız gereken matrisi, temel dönüşümleri kullanarak bir yamuğa (belirli bir durumda, bir üst üçgen olana) getirmektir.

Bu ne için? Bu tür matrislerin rankını bulmak çok kolaydır. En az bir boş olmayan öğe içeren satır sayısına eşittir. Ve elementer dönüşümler sırasında matrisin rankı değişmediğinden, elde edilen değer orijinal matrisin rankı olacaktır.

Biri dönüşümlerden sonra elde edilmesi gereken matrislerin çizimlerini veriyoruz. Formları matrisin sırasına bağlıdır.

Bu çizimler, A matrisini dönüştüreceğimiz şablonlardır.

tarif edelim yöntem algoritması.

Sıfır olmayan bir A matrisinin sırasını bulmamız gerektiğini varsayalım (p, n'ye eşit olabilir).

Yani, . A matrisinin ilk satırının tüm öğelerini ile çarpalım. Bu durumda, eşdeğer bir matris elde ederiz, bunu A (1) :

Ortaya çıkan A (1) matrisinin ikinci satırının öğelerine, ilk satırın karşılık gelen öğelerini çarparak ekliyoruz. Üçüncü satırın öğelerine, ilk satırın karşılık gelen öğelerini çarparak ekleyin. Ve böylece p-th satırına kadar. Eşdeğer bir matris elde ederiz, bunu A (2) olarak ifade edin:

Ortaya çıkan matrisin ikinciden p-th'ye kadar olan satırlardaki tüm öğeleri sıfıra eşitse, bu matrisin sırası bire eşittir ve sonuç olarak orijinal matrisin sırası bire eşittir. .

İkinciden p-th'e kadar olan satırlarda en az bir sıfır olmayan eleman varsa, dönüşümleri gerçekleştirmeye devam ederiz. Ayrıca, tam olarak aynı şekilde hareket ederiz, ancak yalnızca Şekil (2)'de işaretlenmiş olan A matrisinin parçası ile.

ise, A (2) matrisinin satırlarını ve (veya) sütunlarını "yeni" öğe sıfır olmayacak şekilde yeniden düzenleriz.

Matris belirleyicileri genellikle hesaplamada, lineer cebirde ve analitik geometride kullanılır. Akademik dünyanın dışında, özellikle bilgisayar grafikleri ile çalışanlar olmak üzere mühendisler ve programcılar tarafından sürekli olarak matris belirleyicilere ihtiyaç duyulmaktadır. 2x2'lik bir matrisin determinantını nasıl bulacağınızı zaten biliyorsanız, 3x3'lük bir matrisin determinantını bulmak için ihtiyacınız olan tek araç toplama, çıkarma ve çarpmadır.

adımlar

Belirleyici ara

3 x 3'lük bir matris yazın. M ile gösterdiğimiz 3 x 3'lük bir matris yazalım ve determinantı |M|'yi bulalım. Kullanacağımız matrisin genel gösterimi ve örneğimiz için matris aşağıdadır:

• M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) (\displaystyle M=(\begin(pmatrix)a_(11)&a_) (12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33)\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)1&5&3\ \2&4&7\\4&6&2\end(pmatrix)))

1. Matrisin bir satırını veya sütununu seçin. Bu satır (veya sütun) pivot olacaktır. Hangi satırı veya hangi sütunu seçerseniz seçin sonuç aynı olacaktır. Bu örnekte, ilk satırı alalım. Biraz sonra, hesaplamaları basitleştirmek için bir satır veya sütunun nasıl seçileceğine dair bazı ipuçları bulacaksınız.

   • Örneğimizde M matrisinin ilk satırını seçelim. 1 5 3. Genel formda a 11 a 12 a 13'ü daire içine alın.

2. İlk öğeyle satır veya sütunun üzerini çizin. Referans satırına (veya referans sütununa) bakın ve ilk elemanı seçin. Bu öğenin içinden yatay ve dikey bir çizgi çizin, böylece bu öğeyle sütun ve satırı çaprazlayın. Geriye dört sayı kalmalıdır. Bu elemanları yeni bir 2 x 2 matris olarak ele alacağız.

   • Örneğimizde referans satırı 1 5 3 olacaktır. İlk eleman, ilk sütun ve ilk satırın kesişim noktasındadır. Bu öğeyle, yani ilk terimle ve ilk sütunla satır ve sütunun üzerini çizin. Kalan öğeleri 2 x 2 matris olarak yazın:
   • 1 5 3
   • 2 4 7
   • 4 6 2

3. 2 x 2 matrisin determinantını bulun. Unutmayın ki matris determinantı (a b c d) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&b\\c&d\end(pmatrix)))şu şekilde hesaplanır ad-bc. Buna dayanarak, elde edilen 2 x 2 matrisin determinantını dilerseniz X olarak belirtebilirsiniz hesaplayabilirsiniz.X matrisinin çapraz bağlı iki sayısını soldan sağa çarpın (yani şu şekilde: \) . Ardından diğer iki sayıyı çapraz olarak sağdan sola çarpmanın sonucunu çıkarın (yani şu şekilde: /). Az önce elde ettiğiniz matrisin determinantını hesaplamak için bu formülü kullanın.

   Elde edilen cevabı M matrisinin seçilen elemanı ile çarpın. Yeni bir matris elde etmek için satırın ve sütunun diğer öğelerinin üzerini çizerken referans satırındaki (veya sütundaki) hangi öğeyi kullandığımızı hatırlayın. Bu öğeyi elde edilen minörle çarpın (X olarak etiketlediğimiz 2x2 matrisinin determinantı).

   • Örneğimizde, 1'e eşit olan a 11 öğesini seçtik. Bunu -34 (2x2 matrisin determinantı) ile çarparsak 1*-34 = elde ederiz. -34 .

4. Sonucun işaretini belirleyin. Ardından, sonucu elde etmek için sonucu 1 veya -1 ile çarpmanız gerekir. cebirsel tamamlayıcı (kofaktör) seçilen öğe. Kofaktörün işareti, elemanın 3x3 matrisinde nerede olduğuna bağlı olacaktır. Kofaktörün işaretini bilmek için bu basit işaret şemasını hatırlayın:

5. Yukarıdaki tüm adımları referans satırının (veya sütununun) ikinci öğesiyle tekrarlayın. Orijinal 3x3 matrisine ve hesaplamaların en başında daire içine aldığımız satıra dönün. Bu öğeyle tüm eylemleri tekrarlayın:

   • Bu öğeyle satır ve sütunun üzerini çizin.Örneğimizde, a 12'yi (5'e eşit) seçmeliyiz. İlk satırı (1 5 3) ve ikinci sütunu çizin (5 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)5\\4\\6\end(pmatrix))) matrisler.
   • Kalan elemanları 2x2'lik bir matrise yazın.Örneğimizde, matris şöyle görünecek (2 7 4 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&7\\4&2\end(pmatrix)))
   • Bu yeni 2x2 matrisin determinantını bulun. Yukarıdaki ad - bc formülünü kullanın. (2*2 - 7*4 = -24)
   • Elde edilen determinantı 3x3 matrisin seçilen elemanı ile çarpın. -24 * 5 = -120
   • Sonucu -1 ile çarpmanız gerekip gerekmediğini kontrol edin. Cebirsel tümleyenin işaretini belirlemek için (-1) ij formülünü kullanalım. Seçtiğimiz a 12 elemanı için tabloda “-” işareti belirtilmiştir ve formül de benzer bir sonuç vermektedir. Yani, işareti değiştirmeliyiz: (-1)*(-120) = 120 .

6. Üçüncü elemanla tekrarlayın. Ardından, bir tane daha cebirsel ekleme bulmanız gerekiyor. Pivot satırının veya pivot sütununun son öğesi için hesaplayın. Aşağıda, örneğimizde 13'ün cebirsel tümleyeninin nasıl hesaplandığının kısa bir açıklaması yer almaktadır:

   • Bir matris elde etmek için ilk satırı ve üçüncü sütunu çaprazlayın (2 4 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&4\\4&6\end(pmatrix)))
   • Belirleyicisi 2*6 - 4*4 = -4'tür.
   • Sonucu a 13: -4 * 3 = -12 öğesiyle çarpın.
   • a 13 öğesinin yukarıdaki tabloda + işareti vardır, bu nedenle cevap şöyle olacaktır: -12 .

7. Sonuçları ekleyin. Bu son adım. Referans satırının (veya referans sütununun) öğelerinin elde edilen cebirsel tümleyenlerini eklemeniz gerekir. Bunları bir araya toplayın ve 3x3 matrisin determinantının değerini elde edin.

   • Örneğimizde, determinant -34 + 120 + -12 = 74 .

   İşler nasıl daha kolay hale getirilir

   1. Referans satırı (veya sütunu) olarak daha fazla sıfır içeren birini seçin. Referans olarak seçebileceğinizi unutmayın. hiç satır veya sütun. Referans satırı veya sütununun seçilmesi sonucu etkilemez. En fazla sıfır içeren satırı seçerseniz, daha az hesaplama yapmanız gerekecektir, çünkü yalnızca sıfır olmayan öğeler için cebirsel tamamlayıcıları hesaplamanız gerekecektir. Bu yüzden:

      • Diyelim ki a 21 , 22 ve 23 öğeleriyle 2. satırı seçtiniz. Determinantı bulmak için üç farklı 2x2 matrisin determinantını bulmanız gerekecek. Bunlara A 21 , A 22 ve A 23 diyelim.
      • Yani bir 3x3 matrisinin determinantı 21 |A 21 | - 22 |A 22 | + bir 23 |A 23 |.
      • Hem 22 hem de 23 0 ise formülümüz 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = bir 21 |A 21 | - 0 + 0 = 21 |A 21 |. Yani, sadece bir elemanın cebirsel tümleyenini hesaplamak gerekir.

   2. Matrisi basitleştirmek için satır eklemeyi kullanın. Bir satır alır ve ona bir tane daha eklerseniz, matrisin determinantı değişmez. Aynı durum sütunlar için de geçerlidir. Bunu birden çok kez yapabilir ve mümkün olduğunca çok sıfır elde etmek için dize değerlerini bir sabitle (toplamadan önce) çarpabilirsiniz. Bu adımlar size çok zaman kazandırabilir.

      • Örneğin, üç satırlı bir matrisimiz var: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))
      • a 11 öğesinin yerine 9'dan kurtulmak için ikinci satırı -3 ile çarpabilir ve sonucu birinciye ekleyebiliriz. Yeni ilk satır + [-9 -3 0] = olacaktır.
      • Yani, yeni bir matris elde ederiz. (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix))) 12 öğesi yerine sıfır almak için sütunlarla aynı şeyi yapmayı deneyin.

   3. Üçgen matrislerin determinantını hesaplamanın çok daha kolay olduğunu unutmayın.Üçgen matrislerin determinantı, sol üst köşedeki 11'den sağ alt köşedeki 33'e ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımı olarak hesaplanır. Bu durumda, 3x3 boyutlu üçgen matrislerden bahsediyoruz. Üçgen matrisler, konuma bağlı olarak aşağıdaki tiplerde olabilir. sıfır olmayan değerler:

      • Üst üçgen matris: Sıfır olmayan tüm elemanlar ana köşegenin üzerinde ve üzerindedir. Ana köşegenin altındaki tüm elemanlar sıfırdır.
      • Alt üçgen matris: Sıfır olmayan tüm elemanlar ana köşegenin altında ve üzerindedir.
      • Köşegen Matris: Sıfır olmayan tüm elemanlar ana köşegen üzerindedir. Yukarıdaki matrislerin özel bir halidir.
      • Açıklanan yöntem, herhangi bir sıradaki kare matrislere kadar uzanır. Örneğin, 4x4'lük bir matris için kullanırsanız, "çıkardıktan" sonra, determinantın yukarıdaki şekilde hesaplanacağı 3x3 matrisler olacaktır. Bu tür boyutlardaki matrisler için determinantın manuel olarak hesaplanmasının çok zahmetli bir iş olduğu gerçeğine hazırlıklı olun!
      • Bir satır veya sütunun tüm öğeleri 0 ise, matrisin determinantı da 0'dır.

Matrisin vurgulamasına izin verin
herhangi bir k satır ve k sütun, k ve k. Bu satırların ve sütunların kesişiminde bulunan elemanlar, k dereceli bir kare matris А¢ oluşturur ( alt matris matrisler A).
Belirleyici, verilen matris A'nın k'inci dereceden minörü olarak adlandırılır. Açıktır ki, genel durumda, A matrisinin bu tür birkaç minörü olabilir. Bu durumda, küçüklerin maksimum sırası, m ve n sayılarının minimumuna eşittir, yani. . A matrisinin tüm olası minörlerinden sıfır olmayanları seçiyoruz. Buna karşılık, bu küçükler arasında en yüksek düzeyden en az bir küçük bulunabilir.

Tanım. Sıfır olmayan bir minörün en büyük mertebesine matrisin rankı denir.

Tanım. Sırası matrisin rankına eşit olan bir matrisin sıfırdan farklı bir minör, o matrisin temel minörü olarak adlandırılır.

Kesişmelerinde temel bir minör bulunan satır ve sütunlara denir. temel.

Genel olarak, bir matrisin birkaç temel minörü olabilir.

Kanıtsız olarak sunduğumuz aşağıdaki ana teorem önemli bir rol oynar.

Teorem 3.6.(temel minör hakkında). Bir matrisin temel satırları (temel sütunları) doğrusal olarak bağımsızdır. A matrisinin herhangi bir satırı (herhangi bir sütun), temel satırların (temel sütunların) doğrusal bir birleşimidir.

Böylece, A matrisinin rankı r, o zaman bu matrisin mutlaka bir minör vardır r-. sıra, sıfırdan farklı ve sırası büyük olan tüm küçükler r, sıfıra eşittir.

Daha önce, bir matrisin rankı, lineer olarak bağımsız satır vektörlerinin (sütunlarının) en büyük sayısı olarak tanımlanıyordu. Cebir dersinde bu iki tanımın eşdeğer olduğu kanıtlanmıştır. Bu, matrisin sırasını ve dolayısıyla vektör sisteminin sırasını hesaplamayı mümkün kılar.

Örnek. Bir matrisin tüm temel minörlerini bulun

bir= .

○ Sıfır satırı içerdiğinden, üçüncü mertebeden A matrisinin herhangi bir minörü sıfıra eşittir. Sıfırdan farklı ikinci dereceden küçükleri bulacağız.

, , , , .

İkinci mertebeden minörler arasında sıfır olmayanlar vardır, bu da A matrisinin rankının 2 olduğu ve temel minörlerin olduğu anlamına gelir. . ●

Teorem 3.7. n'inci dereceden determinantın sıfıra eşit olması için satırlarının (sütunlarının) lineer bağımlı olması gerekli ve yeterlidir.

□ 1) mertebeden A kare matrisinin determinantı olsun n sıfıra eşittir. O zaman sıfır olmayan küçüklerin maksimum sırası şundan az olmalıdır: n; bu nedenle, A matrisinin rankı şundan küçüktür: n. Bu, tüm matris satırlarının sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir.

2) Determinantın А 1 , А 2 ,…, А m satırları lineer bağımlı ise,
daha sonra, 6° doğrusal bağımlılık özelliğine göre, bir satır A i determinantın kalan satırlarının doğrusal bir birleşimidir, yani.

A satırına ekleme i Bu lineer kombinasyon, (–1) ile çarpıldığında, determinantın 7° özelliğine bağlı olarak, determinantın değeri değişmezken, tamamı sıfırlardan oluşan bir satır elde ederiz. Ama sonra, 2° özelliğine göre determinant sıfıra eşittir. ■

Örnek. vektörlerin olduğunu kanıtlayın. a 1 =(2;–1;3), a 2 =(–1;1;0), a 3 =(1;1;6) eş düzlemlidir.

○ Sıfır olmayan üç 3B vektör, doğrusal olarak bağımlıysa eş düzlemlidir. Belirleyiciyi bu vektörlerin koordinatlarından oluşturun

Determinant sıfıra eşit olduğundan, satırları doğrusal olarak bağımlıdır, bu da vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir. a 1 =(2;–1;3), a 2 =(–1;1;0), a 3 =(1;1;6), bu nedenle eş düzlemlidirler. ●