Najčastejšie v modernom svete metódy výpočtu - desiatkové a binárne. Používajú sa perfektne rôznych oblastiach ale obe sú rovnako dôležité. Často je potrebný aj preklad z binárneho do binárneho. desiatková sústava alebo naopak. Názvy pochádzajú zo základov, ktoré závisia od toho, koľko znakov sa používa pri písaní číslic. V binárnom systéme je to len 0 a 1 a v desiatkovej sústave je to od 0 do 9. V iných systémoch sa okrem čísel používajú aj písmená, iné ikony a dokonca aj hieroglyfy, ale takmer všetky sú už dávno zastarané. Keďže aj iné varianty číselných sústav sú oveľa menej bežné, čo budeme rozprávať V prvom rade už spomínané dve. Je naozaj úžasné, ako sa toto všetko mohlo objaviť. Hovorme o tejto téme samostatne.

História výskytu

Dokonca aj teraz, keď by sa zdalo, že celý svet uvažuje rovnako, existujú veľmi odlišné systémy. V najodľahlejších kútoch glóbus obsah iba s pojmami „jeden“, „dva“ a „veľa“ alebo niečo podobné. Čo môžeme povedať o tých časoch, keď bolo pre ľudí oveľa ťažšie sa navzájom kontaktovať, takže sa to používalo veľké množstvo najviac odlišné typy záznamy a metódy výpočtu. Ľudstvo neprišlo okamžite existujúci systém, a to sa odráža v tom, že hodina je rozdelená na 60 minút, a nie na 100 časových úsekov, čo by sa zdalo logickejšie. A zároveň ľudia často počítajú po desiatkach ako po desiatkach. To všetko sú ozveny doby, keď vlastné prsty alebo napríklad falangy niektorých z nich slúžili ako nástroje na kvantifikáciu niečoho. Tak vznikla desiatková a duodecimálna sústava. Ale ako vznikla dvojhviezda? Veľmi jednoduché a logické. Faktom je, že napríklad diódy majú iba dve polohy: môžu byť zapnuté alebo vypnuté. Prvý stav teda môžeme zapísať ako 1 a druhý ako 0. To však neznamená, že dvojková sústava vznikla súčasne s elektronické zariadenia. Používal sa oveľa skôr, napríklad Leibniz to považoval za mimoriadne pohodlné, elegantné a jednoduché. Je dokonca prekvapujúce, že tento číselný systém sa nakoniec nestal hlavným.

Aplikácie

Pre väčšinu ľudí sa tieto dva hlavné číselné systémy jednoducho neprekrývajú. Prevod z binárneho na desiatkové je teda úloha, ktorá nie je realizovateľná pre každého. Faktom je, že najnovší systém Používa sa v každodennom živote, pri komunikácii medzi ľuďmi, pri jednoduchých výpočtoch atď. Ale každý hovorí binárnym jazykom digitálnych nástrojov predovšetkým počítače. Akékoľvek informácie, ktoré sú v pamäti každého stolného PC, tabletu, telefónu, notebooku a mnohých ďalších zariadení, sú rôzne kombinácie nuly a jednotky.

Rozdiely a vlastnosti

Pokiaľ ide o číselné systémy, je nevyhnutné medzi nimi nejako rozlišovať. Veď rozlíšiť 11 alebo 100 palcov rôzne metódy nahrávanie je tak úplne nemožné. Preto sa používa ukazovateľ pod a napravo od samotného čísla. Takže, keď uvidíte záznam 11 2 alebo 100 10 , môžete pochopiť, čo v otázke. Oba systémy sú pozičné, to znamená, že jeho hodnota závisí od miesta konkrétnej číslice. V škole hovoria o čísliciach desiatkovej sústavy: sú to jednotky, desiatky, stovky, tisíce atď. V dvojkovej sústave je všetko rovnaké. Ale vzhľadom na to, že jeho základ - 2 - je menší ako 10, potrebuje oveľa viac číslic, to znamená, že zaznamenávanie čísel je oveľa dlhšie. Mimochodom, v binárnom systéme, rovnako ako vo všetkých ostatných systémoch, s výnimkou desiatkového, ktorý je najbežnejším, sa čítanie vyskytuje zvláštnym spôsobom. Ak základ 10 umožňuje čítať 101 ako "sto a jedna", potom pre 2 to bude "jedna nula jedna".

Keď sa vrátime k problematike výbojov, treba zopakovať, že vzhľadom na oveľa menšiu základňu je potrebných viac výbojov. Takže napríklad 8 10 je 1 000 2 . Rozdiel je zrejmý – jedna číslica a štyri. Ďalší zásadný rozdiel - v binárnom systéme neexistuje záporné čísla. Samozrejme, môžete si ho zapísať, no aj tak bude uložený a zašifrovaný iným spôsobom. Ako teda prebieha preklad z dvojkovej sústavy do desiatkovej a naopak?

Algoritmus

Zriedkavo, ale niekedy musíte urobiť prechod z jednej základne na druhú. Inými slovami, je potrebné konvertovať z binárneho na desiatkové a naopak. Moderné počítače aby to bolo jednoduché a rýchle, aj keď sú nahrávky veľmi dlhé a objemné. Ľudia to dokážu tiež, aj keď oveľa pomalšie a menej efektívne. Vykonať jednu aj druhú operáciu nie je také ťažké, ale sú potrebné znalosti, ako to urobiť, pozornosť a prax. Ak chcete prejsť zo základne 2 na základňu 10, musíte vykonať nasledujúce kroky:

2) postupne vynásobte hodnotu 2 umocnenou číslom pozície;

3) sčítajte výsledky.

Ďalším spôsobom je začať sčítať súčin čísel postupne sprava doľava. Toto sa nazýva Hornerova transformácia a mnohým sa zdá byť pohodlnejšia ako bežný algoritmus.

Ak chcete vykonať opačnú operáciu, to znamená prepnúť z desiatkového na binárne, musíte urobiť nasledovné:

1) vydeľte pôvodné číslo 2 a zapíšte zvyšok (1 alebo 0);

2) opakujte krok 1, kým nezostane iba 0 alebo 1;

3) zapíšte si získané hodnoty v poradí.

Existujú aj iné spôsoby prevodu z binárneho na desiatkové a naopak. Nemajú však žiadnu výhodu oproti opísanému algoritmu, nie sú efektívnejšie. Vyžadujú však schopnosť vykonávať aritmetické operácie v dvojkovej sústave, ktorú má len málokto k dispozícii.

Zlomky

Našťastie alebo bohužiaľ faktom zostáva, že v dvojkovej sústave sa nepoužívajú len celé čísla. Preklad zlomkov nie je príliš náročný, ale pre človeka často namáhavá úloha. Ak je pôvodné číslo zastúpené v desiatkovej sústave, tak po prepočte celého čísla by sa už nemalo všetko za desatinnou čiarkou deliť, ale násobiť 2, pričom sa zapisujú celé časti. Ak konvertujete z binárneho na desiatkové, potom je všetko ešte jednoduchšie. V tomto prípade, keď sa spustí prevod desatinnej čiarky, výkon, na ktorý sa zvýši 2, bude postupne -1, -2, -3 atď. Najlepšie je zvážiť to v praxi.

Príklad

Aby ste pochopili, ako aplikovať opísané algoritmy, musíte všetky operácie vykonať sami. Prax môže vždy posilniť teóriu, preto je najlepšie zvážiť nasledujúce príklady:

• prevod 1000101 2 na desatinné číslo: 1x2 6 + 0x2 5 + 0x2 4 + 0x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 = 64+0+0+0+4+1 = 69 10;
• pomocou Hornerovej metódy. 00110111010 2 = 0x2+0=0x2+0=0x2+1=1x2+1=3x2+0=6x2+1=13x2+1=27x2+1=55x2+0=110x2+1=221x2+0=442 10 ;
• 1110,01 2: 1x2 3 + 1x2 2 + 1x2 1 + 0x2 0 + 0x2 -1 + 1x2 -2 \u003d 8 + 4 + 2 + 0,25 \u003d 14,25 10;
• z desiatkovej sústavy: 15 10 = 15/2=7(1)/2=3(1)/2=1(1)/2=0(1)= 1111 2 ;

Ako sa nenechať zmiasť?

Dokonca aj na príklade iba binárnych a desiatkových systémov je zrejmé, že manuálna zmena základne nie je triviálna úloha. Existujú však aj iné: šestnástkové, osmičkové, šesťdesiatkové atď. Pri manuálnom prevode z jednej číselnej sústavy do druhej je mimoriadne potrebná opatrnosť. Je naozaj ťažké nenechať sa zmiasť, najmä ak je príspevok dlhý. Okrem toho nesmieme zabúdať, že číslice sa počítajú od 0, nie od 1, to znamená, že počet číslic bude vždy o jednu viac. Samozrejme, musíte starostlivo počítať počet číslic a nerobiť chyby v aritmetických operáciách a samozrejme nepreskakovať kroky v algoritme. V konečnom dôsledku existujú spôsoby prechodu medzi základňami softvérové ​​metódy. Ale tu je jednoduchšie napísať scenár sami, ako ho hľadať vonku World Wide Web. V každom prípade by mali byť zručnosti manuálneho prekladu, ako aj teoretické pochopenie toho, ako sa to robí.

| 6 tried | Plánovanie vyučovania na školský rok | Prevod binárnych čísel do desiatkovej číselnej sústavy

Lekcia 5
Prevod binárnych čísel do desiatkovej číselnej sústavy
Práca s aplikáciou Kalkulačka

Prevod celých desiatkových čísel na binárny kód

Metóda 1

Skúsme znázorniť číslo 1409 ako súčet členov druhého radu.

Použime rozdielovú metódu. Vezmime člena druhého radu, ktorý je najbližšie k pôvodnému číslu, ale nepresahuje ho, a dorovnajme rozdiel:

1409 - 1024 = 385.

Zoberme člena druhého radu, ktorý je najbližšie k získanému rozdielu, ale nepresahuje ho, a doplňte rozdiel:

385 - 256 = 129.

Podobne urobíme rozdiel: 129 - 128 = 1.

V dôsledku toho dostaneme:

1409 = 1024 + 256 + 128 + 1 = 1 1024 + 0 512 + 1 256 + + 1 128 + 0 64 + 0 32 + 0 16 + 0 8 + 0 4 + 0 2 + 1 1.

Vidíme, že každý člen druhého radu buď nemôže byť zahrnutý do súčtu, alebo byť do neho zahrnutý iba raz.

Čísla 1 a 0, ktorými sa násobia členy druhého radu, tvoria tiež pôvodné číslo 1409, ale v jeho inom, binárnom zápise: 10110000001.

Výsledok je napísaný takto:

1409 10 = 10110000001 2 .

Pôvodné číslo sme zapísali pomocou 0 a 1, inými slovami, dostali sme binárny kód tohto čísla, alebo reprezentovali číslo v binárnej číselnej sústave.

Metóda 2

Týmto spôsobom získate binárny kód desiatkové číslo je založená na zaznamenávaní zvyškov z delenia pôvodného čísla a výsledných kvocientov 2, pričom sa pokračuje, kým sa ďalší kvocient nerovná 0.

Príklad:

Prvá bunka horného riadku obsahuje pôvodné číslo a každá ďalšia bunka obsahuje výsledok. celočíselné delenie predchádzajúce číslo o 2.

V bunkách spodná čiara zvyšky z rozdelenia stojaceho v horný riadokčísla po 2.

Posledná bunka spodného riadku zostane prázdna. Binárny kód pôvodného desiatkového čísla sa získa postupným zapisovaním všetkých zvyškov, začínajúc od posledného: 1409 10 = 10110000001 2 .

Prvých 20 členov prirodzeného radu v dvojkovej sústave je zapísaných takto: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,1100, 1101,1110,10111,0. 10010. 10011.10100.

Prevod celých čísel z binárnych na desiatkové

Metóda 1

Nech je tam číslo 111101 2 . Môže byť reprezentovaný takto:

Metóda 2

Zoberme si rovnaké číslo 111101 2 . Jednotku 6. cifry (prvú zľava v zázname čísla) preložíme na jednotky 5. cifry, pre ktoré vynásobíme 1 2, pretože jednotka 6. cifry v dvojkovej sústave obsahuje 2. jednotky 5. číslice.

K prijatým 2 jednotkám 5. kategórie pripočítavame existujúcu jednotku 5. kategórie. Preložme tieto 3 jednotky 5. kategórie do 4. kategórie a pridajme existujúcu jednotku 4. kategórie: 3 2 + 1 = 7.

Preložme 7 jednotiek 4. kategórie do 3. kategórie a pripočítajme existujúcu jednotku 3. kategórie: 7 2 + 1 = 15.

Preložme 15 jednotiek 3. kategórie do 2. kategórie: 15 2 \u003d 30. V 2. kategórii nie sú žiadne jednotky v pôvodnom počte.

Preložme 30 jednotiek 2. kategórie do 1. kategórie a pripočítajme jednotku, ktorá je tam k dispozícii: 30 2 + 1 \u003d 61. Máme, že pôvodné číslo obsahuje 61 jednotiek 1. kategórie.

Písomné výpočty sú pohodlne usporiadané takto:

Previesť celé čísla z desiatkového na binárny systém kalkul a naopak je možné pomocou aplikácie Kalkulačka.

Urobme malý experiment .

1. Spustite aplikáciu Kalkulačka a spustite príkaz [View-Engineering]. dávaj pozor na skupina prepínačov, ktoré určujú číselnú sústavu:

2. Uistite sa, že je kalkulačka nastavená na prácu desiatkovýčíselný systém. Pomocou klávesnice alebo myši zadajte do vstupného poľa ľubovoľné dvojciferné číslo. Aktivujte spínač Bin a sledujte zmeny vo vstupnom okne. Vráťte sa do desiatkovej sústavy. Vymažte vstupné pole.

3. Opakujte krok 2 niekoľkokrát pre ďalšie desatinné čísla.

4. Nastavte kalkulačku na prácu v binárnom systéme. Venujte pozornosť tomu, ktoré tlačidlá Kalkulačka a číselné klávesy klávesnice sú vám k dispozícii. Striedavo vstúpte binárne kódy 5., 10. a 15. člen prirodzenej série a pomocou prepínača dec previesť ich do desiatkovej číselnej sústavy.

Kalkulačka vám umožňuje previesť celé čísla a zlomky z jednej číselnej sústavy do druhej. Základ číselnej sústavy nemôže byť menší ako 2 a väčší ako 36 (10 číslic a 26 latinské písmená napriek tomu). Čísla nesmú presiahnuť 30 znakov. Pre vstup zlomkové čísla použiť symbol. alebo, . Ak chcete previesť číslo z jednej sústavy do druhej, zadajte do prvého poľa pôvodné číslo, do druhého základ pôvodnej číselnej sústavy a do tretieho poľa základ číselnej sústavy, do ktorej chcete číslo previesť, potom kliknite na tlačidlo „Získať záznam“.

pôvodné číslo zaznamenané v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 35 -tá číselná sústava.

Chcem získať záznam čísla 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -tá číselná sústava.

Získajte záznam

Preklady dokončené: 1237177

Číselné sústavy

Číselné sústavy sú rozdelené do dvoch typov: pozičné a nie pozičné. Používame arabský systém, je pozičný a existuje aj rímsky - len nie je pozičný. AT pozičné systémy Pozícia číslice v čísle jednoznačne určuje hodnotu tohto čísla. To je ľahké pochopiť, keď sa pozrieme na príklad nejakého čísla.

Príklad 1. Zoberme si číslo 5921 v desiatkovej číselnej sústave. Číslo číslujeme sprava doľava od nuly:

Číslo 5921 možno zapísať v nasledujúcom tvare: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Číslo 10 je charakteristika, ktorá definuje číselný systém. Hodnoty polohy daného čísla sa berú ako stupne.

Príklad 2. Zoberme si skutočné desatinné číslo 1234,567. Očíslujme to od nulová polohačísla od desatinnej čiarky doľava a doprava:

Číslo 1234,567 možno zapísať takto: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 1 +710-3.

Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého

Väčšina jednoduchým spôsobom prenos čísla z jednej číselnej sústavy do druhej je preklad čísla najskôr do desiatkovej číselnej sústavy a potom získaný výsledok do požadovanej číselnej sústavy.

Prevod čísel z ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú číselnú sústavu

Na prevod čísla z ľubovoľnej číselnej sústavy do desiatkovej stačí očíslovať jeho číslice, začínajúc od nuly (číslica naľavo od desatinnej čiarky) podobne ako v príkladoch 1 alebo 2. Nájdite súčet súčinov číslic čísla podľa základu číselnej sústavy na mocninu pozície tejto číslice:

1. Preveďte číslo 1001101.1101 2 na desiatkovú číselnú sústavu.
Riešenie: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
odpoveď: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Preveďte číslo E8F.2D 16 na desiatkovú číselnú sústavu.
Riešenie: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
odpoveď: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Prevod čísel z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy

Ak chcete previesť čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy, celé číslo a zlomkové časti čísla sa musia preložiť oddelene.

Prevod celej časti čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy

Celočíselná časť sa prekladá z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy postupným delením celočíselnej časti čísla základom číselnej sústavy, až kým sa nezíska zvyšok celého čísla, menší ako základ číselnej sústavy. Výsledkom presunu bude záznam z pozostatkov, počnúc posledným.

3. Preveďte číslo 273 10 na osmičkovú číselnú sústavu.
Riešenie: 273 / 8 = 34 a zvyšok 1, 34 / 8 = 4 a zvyšok 2, 4 je menší ako 8, takže výpočet je dokončený. Záznam zo zvyškov bude vyzerať takto: 421
Vyšetrenie: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, výsledok je rovnaký. Takže preklad je správny.
odpoveď: 273 10 = 421 8

Zvážte prevod správnych desatinných miest na rôzne systémy zúčtovanie.

Prevod zlomkovej časti čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy

Pripomeňme, že správny desatinný zlomok je reálne číslo s nulou celú časť . Ak chcete preložiť takéto číslo do číselného systému so základom N, musíte číslo dôsledne násobiť N, kým sa zlomková časť nevynuluje alebo kým sa nezíska požadovaný počet číslic. Ak sa počas násobenia získa číslo s inou celočíselnou časťou ako nula, potom sa celá časť ďalej neberie do úvahy, pretože sa postupne zadáva do výsledku.

4. Preveďte číslo 0,125 10 na binárnu číselnú sústavu.
Riešenie: 0,125 2 = 0,25 (0 je celá časť, ktorá bude prvou číslicou výsledku), 0,25 2 = 0,5 (0 je druhá číslica výsledku), 0,5 2 = 1,0 (1 je tretia číslica výsledku a keďže zlomková časť je nula, preklad je úplný).
odpoveď: 0.125 10 = 0.001 2

Poznámka 1

Ak chcete previesť číslo z jednej číselnej sústavy do druhej, je vhodnejšie ho najskôr previesť do desiatkovej číselnej sústavy a až potom preniesť z desiatkovej číselnej sústavy do akejkoľvek inej číselnej sústavy.

Pravidlá pre prevod čísel z ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú

Vo výpočtovej technike s použitím strojovej aritmetiky hrá dôležitú úlohu prevod čísel z jednej číselnej sústavy do druhej. Nižšie uvádzame základné pravidlá pre takéto transformácie (preklady).

Pri prevode binárneho čísla na desiatkové je potrebné reprezentovať binárne číslo ako polynóm, ktorého každý prvok je reprezentovaný ako súčin číslice čísla a zodpovedajúcej mocniny základného čísla, v tento prípad$ 2 $ a potom musíte vypočítať polynóm podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Obrázok 1. Tabuľka 1

Príklad 1

Preveďte číslo $11110101_2$ do systému desiatkových čísel.

Riešenie. Použitím vyššie uvedenej tabuľky $1$ stupňov základne $2$ predstavujeme číslo ako polynóm:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 6 4 + 128 + + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Ak chcete previesť číslo z osmičkového na desiatkové číslo, musíte ho znázorniť ako polynóm, ktorého každý prvok je reprezentovaný ako súčin číslice čísla a zodpovedajúcej mocniny základného čísla, v tomto prípade $8$, a potom musíte vypočítať polynóm podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Obrázok 2. Tabuľka 2

Príklad 2

Preveďte číslo $75013_8$ do systému desiatkových čísel.

Riešenie. Pomocou vyššie uvedenej tabuľky $2$ stupňov základne $8$ predstavujeme číslo ako polynóm:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Ak chcete previesť číslo zo šestnástkovej sústavy na desiatkovú, musíte ju znázorniť ako polynóm, ktorého každý prvok je reprezentovaný ako súčin číslice čísla a zodpovedajúcej mocniny základného čísla, v tomto prípade $16$, a potom musíte vypočítať polynóm podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Obrázok 3. Tabuľka 3

Príklad 3

Previesť číslo $FFA2_(16)$ na desiatkovú číselnú sústavu.

Riešenie. Pomocou vyššie uvedenej tabuľky $3$ základných mocnín 8$ reprezentujeme číslo ako polynóm:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Pravidlá pre prevod čísel z desiatkovej číselnej sústavy do inej

• Ak chcete previesť číslo z desiatkového na binárne číslo, musíte ho postupne deliť $2$, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný $1$. Číslo v dvojkovej sústave je reprezentované ako postupnosť posledného výsledku delenia a zvyšku delenia v opačnom poradí.

Príklad 4

Preveďte číslo $22_(10)$ do binárnej číselnej sústavy.

Riešenie:

Obrázok 4

$22_{10} = 10110_2$

• Ak chcete previesť číslo z desiatkovej na osmičkovú, musíte ho postupne deliť $8$, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný $7$. Uveďte číslo v osmičkovej číselnej sústave ako postupnosť číslic posledného výsledku delenia a zvyšku delenia v opačnom poradí.

Príklad 5

Preveďte číslo $571_(10)$ na osmičkový systém zúčtovanie.

Riešenie:

Obrázok 5

$571_{10} = 1073_8$

• Ak chcete previesť číslo z desiatkového na hexadecimálna sústava musí sa postupne deliť 16 $, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný 15 $. Vyjadrite číslo v šestnástkovej sústave ako postupnosť číslic posledného výsledku delenia a zvyšok delenia v opačnom poradí.

Príklad 6

Preveďte číslo $7467_(10)$ na hexadecimálnu číselnú sústavu.

Riešenie:

Obrázok 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Na prevod správneho zlomku z desiatkovej číselnej sústavy na nedesiatkovú je to nevyhnutné zlomková časťčíslo, ktoré sa má previesť, sa postupne vynásobí základňou systému, na ktorý sa má previesť. Zlomok v nový systém budú prezentované vo forme celých častí prác, počnúc od 1.

Napríklad: $0,3125_((10))$ v osmičkovej číslici by vyzeralo ako $0,24_((8))$.

V tomto prípade môžete naraziť na problém, keď konečný desatinný zlomok môže zodpovedať nekonečnému (periodickému) zlomku v nedesiatkovej číselnej sústave. V tomto prípade bude počet číslic v zlomku predstavovanom v novom systéme závisieť od požadovanej presnosti. Treba tiež poznamenať, že celé čísla zostávajú celými číslami a vlastné zlomky zostávajú zlomkami v akomkoľvek číselnom systéme.

Pravidlá pre prevod čísel z binárnej číselnej sústavy do inej

• Ak chcete previesť číslo z binárneho na osmičkové, musí byť rozdelené na trojice (trojice číslic), počnúc najmenej významnou číslicou, ak je to potrebné, pridaním nuly k najvyššej trojici a potom nahradením každej trojice zodpovedajúcou osmičkovou číslicou podľa tabuľky 4.

Obrázok 7. Tabuľka 4

Príklad 7

Preveďte číslo $1001011_2$ na osmičkovú číselnú sústavu.

Riešenie. Pomocou tabuľky 4 preložíme číslo z binárneho do osmičkového:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Ak chcete previesť číslo z binárneho na šestnástkové číslo, malo by byť rozdelené na tetrady (štyri číslice), počnúc najmenej významnou číslicou, ak je to potrebné, doplnením staršej tetrády nulami, potom by sa každá tetáda mala nahradiť zodpovedajúcou osmičkovou číslicou podľa Tabuľka 4.

Binárny číselný systém používa iba dve číslice 0 a 1. Inými slovami, dvojka je základom binárneho číselného systému. (Podobne aj desiatková sústava má základ 10.)

Aby ste sa naučili porozumieť číslam v binárnom číselnom systéme, najprv zvážte, ako sa čísla tvoria v desiatkovom číselnom systéme, ktorý je nám známy.

V desiatkovej číselnej sústave máme desať číslic (od 0 do 9). Keď počet dosiahne 9, zadá sa nová číslica (desiatky), jednotky sa vynulujú a počítanie začne znova. Po 19 sa číslica desiatok zvýši o 1 a jednotky sa opäť vynulujú. A tak ďalej. Keď desiatky dosiahnu 9, objaví sa tretia číslica - stovky.

Binárny číselný systém je podobný desiatkovému, s tým rozdielom, že na tvorbe čísla sa podieľajú iba dve číslice: 0 a 1. Hneď ako bit dosiahne svoj limit (t. j. jedna), objaví sa nový bit a starý je resetovaný.

Skúsme počítať v dvojkovej sústave:
0 je nula
1 je jedna (a toto je limit vybíjania)
10 sú dva
11 je tri (a to je opäť limit)
100 sú štyri
101 - päť
110 - šesť
111 - sedem atď.

Prevod čísel z binárnych na desiatkové

Nie je ťažké vidieť, že v binárnom číselnom systéme dĺžka čísel rýchlo rastie s rastúcimi hodnotami. Ako zistiť, čo to znamená: 10001001? Nezvyknutý na túto formu písania čísel ľudský mozog zvyčajne nedokážem zistiť, koľko to je. Bolo by pekné mať možnosť previesť binárne čísla na desiatkové.

V desiatkovej číselnej sústave môže byť akékoľvek číslo reprezentované ako súčet jednotiek, desiatok, stoviek atď. Napríklad:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Pozorne si prezrite tento záznam. Čísla 1, 4, 7 a 6 sú tu množinou čísel, ktoré tvoria číslo 1476. Všetky tieto čísla sú striedavo násobené desiatimi zvýšenými o jeden alebo druhý stupeň. Desať je základom desiatkovej číselnej sústavy. Mocnina, na ktorú sa desiatka zvýši, je číslica číslice mínus jedna.

Rovnakým spôsobom je možné rozložiť akékoľvek binárne číslo. Iba základ tu bude 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Tie. číslo 10001001 v základe 2 sa rovná číslu 137 v základe 10. Môžete ho zapísať takto:

10001001 2 = 137 10

Prečo je binárna číselná sústava taká bežná?

Faktom je, že binárny číselný systém je jazyk počítačová veda. Každá postava musí byť nejakým spôsobom znázornená na fyzickom médiu. Ak ide o desiatkovú sústavu, potom budete musieť vytvoriť také zariadenie, ktoré môže byť v desiatich stavoch. Je to komplikované. Jednoduchšie je vyrobiť fyzický prvok, ktorý môže byť len v dvoch stavoch (napríklad je prúd alebo nie je prúd). To je jeden z hlavných dôvodov, prečo sa binárnej sústave venuje toľko pozornosti.

Konverzia z desiatkovej sústavy na binárnu

Možno budete musieť previesť desiatkové číslo na binárne. Jedným zo spôsobov je delenie dvomi a vytvorenie binárneho čísla zo zvyškov. Napríklad musíte získať jeho binárny zápis z čísla 77.