Süreçlerin çok değişkenli istatistiksel kontrolü. STATISTICA Çok Değişkenli Keşif Teknikleri Çok değişkenli veri analizi teknolojileri

Önceki bölümde, bir 2B durum geçiş diyagramına baktık. Artan sayıda yük akışı için durum sayısı (ve dolayısıyla denklemler) çok hızlı bir şekilde artar. Ancak, bir durum geçiş diyagramı yapısı kullanarak sorunu basitleştirebilirsiniz. Şekil 2'de gösterilen iki boyutlu durum geçiş diyagramını düşünün. 10.2. Dört bitişik durum için, saat yönündeki akış, zıt akışa eşit olmalıdır (Kingman, 1969), (Sutton, 1980). Şek. 10.2.

Pirinç. 10.2.

Saat yönünde:

saat yönünün tersine:

Durum olasılıkları için her iki ifadeyi de iptal edebilir ve ardından koşul (10.12) elde edebiliriz. Tersinirlik için gerekli ve yeterli bir koşul, aşağıdaki iki ifadenin eşit olmasıdır.

Saat yönünde:

saat yönünün tersine:

Bu iki ifade birbirine eşitse yerel veya kısmi denge... Böylece, gerekli kondisyon tersine çevrilebilirlik, i durumundan j durumuna bir akış (ok) varsa, j durumundan i durumuna bir akış (ok) olması gerektiğidir. Herhangi iki bağlantılı durum arasında bölüm denklemleri uygulayabiliriz. Böylece Şekil 10.2'den şunu elde ederiz:

Bir durumun herhangi bir olasılığını, bu iki durum arasında herhangi bir yol seçerek, bir durumun olasılığı cinsinden ifade edebiliriz ( Kolmogorov kriterleri). Örneğin bir yol seçebiliriz:

Sonra aşağıdaki denge denklemini elde ederiz:

N yük akışına sahip çok boyutlu kayıplı bir sistem düşünürsek, herhangi bir yük akışı duruma bağlı bir Poisson süreci olabilir. Belirli bir iş parçacığında, türden yükler olabilir BPP(Bernoulli, Poisson, Pascal). N için - boyutlu sistemlerde, tersinirlik koşulları (10.12)'ye benzer. Tüm olası yollar için Kolmogorov'un kriteri karşılanmalıdır. Pratikte herhangi bir problem yaşamıyoruz çünkü tersinirlik varsayımı altında elde edilen çözüm doğru karar ancak ve ancak düğümün denge denklemleri sağlanırsa. Bir sonraki bölümde, bunu genel bir çok boyutlu yük modelini tanıtmak için temel olarak kullanacağız.

Çok Boyutlu Kayıplı Sistemler

Bu bölümde, tek bir kanala veya kanal grubuna veya kanal demetlerine ulaşan çeşitli yük akışlarından oluşan sistemler için klasik teletrafik teorisinin genellemelerini ele alıyoruz. Her yük akışı olabilir bireysel parametreler ve duruma bağlı Poisson sınıfı sınırlı çağrı akışları ve çok yuvalı trafik olabilir. Bu genel sınıf modeller, bir sınıf olabilen sistemdeki bekleme süresinin dağılımına duyarsızdır. Genellemeleri teker teker tanıtıyoruz ve ana fikirleri göstermek için küçük bir vaka çalışması sunuyoruz.

Sınıf sınırlaması

Bölüm 10.1'de tartışılan durumla karşılaştırıldığında, şimdi her bir yük (sınıf) iş parçacığı için eşzamanlı isteklerin sayısını sınırlayacağız. Böylece, tam kullanılabilirlik olmayacak, ancak fiziksel olarak yalnızca belirli kanallara erişimin olduğu tıkanıklık sistemlerinden farklı olarak, artık tüm kanalları kullanmak mümkün, ancak herhangi bir zamanda yalnızca sınırlı sayıda işgal edebiliyoruz. Bu, hizmet koruması sağlar (VC sayısının korunması = hizmet sınıfı başına sınırlama = öncelik eşiği stratejisi). Bu nedenle, j sınıfındaki eşzamanlı çağrıların sayısına kısıtlamalar getiriyoruz. Aşağıdaki şekilde:

Son kısıtlama sağlanmazsa, o zaman şunu elde ederiz: ayrı gruplar N sıradan bağımsız tek boyutlu karşılık gelen kayıplı sistemler... Sınırlamalar nedeniyle durum geçiş diyagramı kısaltılmıştır. İki yük akışı için Şekil 10.3'te gösterilmiştir.

Kesik durum geçiş diyagramının hala tersine çevrilebilir olduğuna ve değere göre değerin kesildiğinde değişmediğine dikkat edin. Sadece normalizasyon sabiti değişir. Aslında, yerel denge özelliği nedeniyle, yukarıda belirtilen özellikleri değiştirmeden herhangi bir durumu kaldırabiliriz. Herhangi bir yük akışının minimum (garanti edilen) tahsis edilmiş kanal sayısına sahip olması için yük akışları kümelerinde daha genel sınıf kısıtlamalarını düşünebilirsiniz.

Genelleştirilmiş yük hizmeti süreçleri

düşünebiliriz PCT-I yalnızca bölüm 10.1'deki gibi yükleyin. Her yük akışı duruma bağlı olabilir, örneğin, doğrusal durum bağımlılığı ve kendi çıkış hızı (ölüm) ile Poisson çağrı akışı, bakınız (10.16) ve (10.17)

Sistem, tersine çevrilebilirlik koşullarını karşılıyor, bkz. (10.12). Böylece eserin formu da BPP-yük akışları ve daha genel duruma bağlı Poisson süreçleri. Tüm yük akışları Engset (binom) süreçleri ise, çok boyutlu Engset formülünü elde ederiz (Jensen, 1948). Yukarıda bahsedildiği gibi sistem, sistemdeki kalma sürelerinin dağılımlarına duyarsızdır. Her yük akışının kendi ayrı kalma süresi dağılımı olabilir.

Çoklu yuva yükü

Entegre hizmet sistemlerinde, gerekli bant genişliği hizmet türüne bağlı olabilir. Örneğin, yalnızca sesli bir telefon bağlantısına hizmet vermek için bir kanal (yuva) gerekirken, örneğin video iletimi aynı anda kanalları gerektirebilir. alırız ek kısıtlamalar:

tür aramaların gerçek sayısı nerede. Ortaya çıkan durum geçiş diyagramı tersinir olacak ve bir çarpım şeklinde olacaktır.

Sayfalar 513-523

çok boyutlu süreçler

Şimdiye kadar, zaman serilerini birbirine bağlayan yalnızca bir ilişkiden oluşan modelleri ele aldık. Bu durumda değişkenlerden birini içsel, geri kalan değişkenler dışsal olarak seçtik. Böyle bir bölünme her zaman doğal değildir, çoğu zaman aynı değişkenlerin hem içsel hem de dışsal olarak dahil edildiği birkaç ilişkiyi aynı anda düşünmek gerekir. Son derste görebileceğiniz gibi, bir değişken her zaman dışsal olarak kabul edilemez ve aslında birkaç denklemden oluşan bir DGP modelini düşünmemiz gerekir. Bu, aynı anda birkaç zaman serisini modellemek anlamına gelir, başka bir deyişle - çok boyutlu modelleme rastgele süreç.

Tanımla başlayalım. Bir vektör düşünün = (x1, xt 2, ..., xTk)T, her bileşeni bir zaman serisidir. üst simge, bileşen numarasını ve daha önce olduğu gibi, zaman içindeki anı daha düşük olanı gösterecektir. bileşenlerin dağılımı, formun ortak dağılım yoğunlukları ailesi ile karakterize edilir: F n ( NSt1i1, xt2i2, ..., xtniçinde) ‚N = 1, 2, .... Dar anlamda durağanlık koşulu, hala tüm ortak dağılım yoğunlukları ailesinin zaman kaymasının bağımsızlığıdır. Ancak şimdi, farklı zamanlarda rastgele bir sürecin tüm olası değer kombinasyonlarına ek olarak, olasılık yoğunluklarının argümanları da farklı zamanlarda farklı bileşenlerin her türlü kombinasyonudur. Örneğin, iki boyutlu bir yoğunluk için durağanlık koşulundan şunu elde ederiz: F 2 (NST 1 ,NST 2 ) = F 2 (x 1T + r, x 2T + r) herhangi bir τ için Ortak dağıtım zaman içinde aynı an için bileşen zamana bağlı değildir. Başka bir dağıtım işlevi, örneğin, zaman içinde iki farklı noktada birinci bileşenin değerlerini ve zamanın üçüncü bir anında ikinci bileşeni içeren üç boyutlu bir işlev düşünün. Durağanlık şu anlama gelir F 3 (NST 1 ,NST + H 1 ,NST + s 2 ) = F 3 (x 1T + τ , x 2T + s + τ ) ... Bunun zamandaki bir kaymaya karşı değişmezliğin özelliği olduğunu söyleyebiliriz. Yani, zamanın her anına τ değeri eklenirse, yoğunluk fonksiyonu değişmeyecektir. Çok boyutlu bir sürecin durağanlığının, bileşenlerinin her birinin durağanlığını gerektirdiği açıktır.

Tek boyutlu durumda olduğu gibi, dar anlamda durağanlık, rastgele süreçlerin özelliklerinin bir dizi özelliğini gerektirir. Her şeyden önce, beklenen değerle başlayalım. Her bileşen için matematiksel beklenti diğer bileşenlerden bağımsızdır. Bu nedenle, çok boyutlu süreç durağan ise, her bileşenin matematiksel beklentisi zamana bağlı değildir. Matematiksel beklentilerin vektörü E ( zamana bağlı değildir.

Şimdi ikinci mertebenin anlarını ele alalım. Her bileşen, varyans ve otokorelasyon fonksiyonu... Tek boyutlu bir seri durağansa, otokorelasyon ve otokovaryans fonksiyonları sadece τ kaymasına bağlıdır: Düzeltme (τ) = Düzeltme ( NSTben,NSJT + r) = р i (τ), ama şimdi için ikinci karışık anı düşünebiliriz farklı bileşenler ve ayrıca Corr ( NSTben,NSJT + r). Böyle bir değeri çapraz korelasyon fonksiyonu olarak adlandırmak doğaldır. Bileşenler çok boyutlu durağan bir süreç oluşturuyorsa, çapraz korelasyon τ zamanındaki kaymanın bir fonksiyonu olacaktır. Bu işlevi belirtiyoruz R ij (τ) ... oldukça açık ki R ij (τ) = R ji (-τ) ... Sabit bir τ değeri için, elemanlar R ij (τ) τ'ya bağlı olarak bir R matrisi oluşturur. Sıfıra eşit τ değeri, vektörün korelasyon matrisine karşılık gelir

Çok boyutlu durağan rastgele süreç, durağan ve durağan birbirine bağlı rastgele süreçler kümesi olarak tanımlanır. ... Böyle bir süreç genellikle zamana bağlı olarak rastgele bir sütun vektörü olarak gösterilir:

.

Çok boyutlu stokastik süreçler, çok boyutlu (çok kanallı) sistemleri tanımlamak için kullanılır. Bu bölümde, normal çok boyutlu durağan rastgele süreçlerin sayısal modellemesi problemini ele alıyoruz. Bu problemi çözmenin sonucu, tek boyutlu durumda olduğu gibi, dijital bir bilgisayarda belirli bir işlemin çok boyutlu ayrık gerçekleşmelerini oluşturmayı mümkün kılan bir algoritmadır. -boyutlu sürekli normal durağan rastgele süreç genellikle ya korelasyon matrisi şeklinde belirtilir

veya bir spektral matris şeklinde

nerede - rastgele süreçlerin otokorelasyon (at) ve çapraz korelasyon (at) fonksiyonları - Fourier dönüşümü. Ayrıca, beri , elemanlar ve spektral matris karmaşık eşleniktir,

.

Ayrık çok boyutlu normal rastgele süreçler, korelasyon ve spektral matrisler kullanılarak sürekli olanlara benzer şekilde tanımlanır (35, 70]

nerede , ve .

Çok boyutlu bir normal rastgele sürecin sayısal modelleme problemini aşağıdaki gibi formüle etmek uygundur. Rastgele bir sürecin korelasyonu veya spektral matrisi verilir. Sayısal bir bilgisayarda belirli korelasyon (spektral) özelliklere sahip rastgele bir işlemin ayrık gerçekleşmelerini oluşturmak için bir algoritma bulmak gerekir.

Bu sorunu çözmek için, daha önce olduğu gibi, doğrusal bir filtre şekillendirme fikrini kullanacağız. İncelenen durumda gelirçok boyutlu bir şekillendirme filtresinin sentezi üzerine.

Ölçülen bir çizgi filtresi, doğrusal olarak tanımlanır. dinamik sistem girişler ve çıkışlar ile. Eğer - giriş eylemi ve sistemin cevabı ise, daha sonra -boyutlu lineer sürekli filtrenin girişi ve çıkışı arasındaki bağlantı, formdaki transfer matrisi kullanılarak açıklanır.

nerede ve - Laplace dönüşümü anlamında sırasıyla giriş ve çıkış sinyallerinin görüntüleri; - elemanların kanalların -th girdi - -th çıkışının transfer fonksiyonları olduğu -boyutlu filtrenin transfer matrisi.

Ayrık boyutlu lineer filtrelerdeki giriş-çıkış bağlantısı benzer şekilde tanımlanır:

,

Nerede ve - giriş ve çıkış sinyallerinin ayrık Laplace dönüşümü anlamında görüntüler; - ayrık boyutlu bir filtrenin transfer matrisi.

Örnek olarak iki boyutlu bir filtre kullanan çok boyutlu bir filtrenin blok diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.9, buna göre

(2.107)

Çıkış sinyallerinin her birinin toplamı olduğunu görüyoruz. lineer operatörler giriş sinyallerinden ve. Benzer ilişkiler genel durumda geçerlidir. Bu, transfer matrislerinin tanımlanmasıdır.

Bir boyutlu doğrusal filtrenin girişindeki etkinin, boyutlu bir beyaz gürültü, yani formun bir korelasyon matrisi ile rastgele bir süreç olmasına izin verin.

sürekli zaman ve

ayrık zaman için, nerede - delta işlevi. -boyutlu beyaz gürültü, burada karşılıklı olarak bağımsız -korelasyonlu rastgele süreçler kümesi olarak tanımlanır.

Beyaz gürültüye maruz kaldığında, çıktıdaki sürecin spektral matrisinin - sırasıyla sürekli ve ayrık zaman için boyutlu bir filtrenin, filtrenin transfer matrisi ile ilişkili olduğu gösterilebilir (örneğin, bakınız). ilişkiler

(2.108)

burada sembol, transpoze edilmiş matrisi gösterir.

Bu nedenle, belirli bir spektral matris ile boyutlu bir rastgele süreç elde etmek için, boyutlu beyaz gürültünün, transfer matrisi denklemleri (2.108) karşılayan boyutlu şekillendirme filtresinden geçirilmesi gerekir. Belirli bir spektral matris için transfer matrisini bulmak için, ikincisini formun (2.108) iki faktörüne bölmek gerekir. Bu prosedüre spektral matris çarpanlarına ayırma denir. İyi bilinen algoritmalar kullanılarak uygulanabilir.

Beyaz gürültünün çok değişkenli filtrelemesi oldukça basittir: her bileşen Bileşenler üzerinden toplanarak transfer matrisli bir boyutlu filtrenin çıkışında rastgele bir işlem elde edilir. transfer fonksiyonlarına sahip tek boyutlu filtreler tarafından filtrelenen giriş işlemi [bkz. formül (2.107)]. Tek boyutlu filtreleme algoritmaları yukarıda tartışılmıştır.

Bu modelleme yöntemi ile iki yol mümkündür: 1) sürekli boyutlu bir rastgele işlemin belirli bir spektral matrisi, bir sürekli şekillendirme filtresinin transfer matrisini elde etmek için doğrudan çarpanlara ayrılabilir ve daha sonra, tam veya yaklaşık ayrıklaştırma yöntemlerini kullanarak. yukarıda açıklanan sürekli filtreler, sürekli beyaz gürültünün çok değişkenli filtrelemesi; 2) sürekli boyutlu bir sürecin belirli bir spektral matrisi için, -dönüşümünü kullanarak, ilgili ayrık rastgele işlemin spektral matrisini bulabilir (bkz. § 2.3), sonra çarpanlara ayırma yoluyla ayrık şekillendirmenin transfer fonksiyonunu bulabilir filtreleyin ve ardından ayrık beyaz gürültünün çok boyutlu filtrelemesini gerçekleştirin.

En büyük zorluklar, spektral matrislerin çarpanlarına ayrılmasında karşılaşılır. Şu anda, yalnızca rasyonel spektral matrisleri, yani elemanları argümanların kesirli rasyonel fonksiyonları olan matrisleri çarpanlara ayırmak için algoritmalar geliştirilmiştir veya.

Rasyonel spektral matrisleri çarpanlarına ayırma algoritmalarından biri olan ispatları atlayarak, alıntı yapalım.

Rasyonel bir spektral matris verilsin

.

Matris forma indirgenebilir

aşağıdaki dönüşümlerle.

1. Matrisin sırası belirlenir, daha sonra ana sıradaki küçüklerden biri matrisin sol üst köşesinde bulunur.

2. Matris köşegen bir forma indirgenir. Bunu yapmak için, - ile çarpılan ilk satır matrisin inci satırına eklenir, ardından ilk sütun çarpılır; matris elde edilir

, (2.109)

matrisin elemanları nerede

forma sahip olmak

(2.110)

Aynı dönüşümler matriste olduğu gibi yapılır. orijinal matris ... Bu işleme inci adımda devam etmek köşegen matrisi verir.

öyle ki .

3. Yardımcı matrisi bulun

elemanları aşağıdaki gibidir:

(2.111)

tekrarlama ilişkilerinden belirlenir

(2.112)

4. Yardımcı polinomları bulun

nerede - polinomların sıfırları alt yarı düzlemde yatan, sayıları kadar sayılan maksimum çeşitlilik, ve matris elemanları olan kesirli-rasyonel fonksiyonların paydalarıdır:

.

5. § 2.9, madde 2'de ele alınan yöntemle, kesirli-rasyonel fonksiyonlar

şeklinde sunulur

,

burada polinomlar ve alt yarı düzlemde sıfır yoktur.

Böylece çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmış olur. Şekillendirme filtresinin son transfer matrisi formda yazılır.

(2.113)

Burada sürekli çok boyutlu süreçlerin rasyonel spektral matrislerini çarpanlara ayırma algoritmasını tanımlıyoruz. Ayrık süreçlerin spektral matrislerinin çarpanlara ayrılması benzer şekilde gerçekleştirilir, sadece alt yarım düzlemde bulunan kökler yerine birim çemberde bulunan kökler alınır.

Örnek 1. Bir korelasyon matrisi ile iki boyutlu sürekli durağan merkezli rastgele bir süreç verilsin

, (2.114)

bazı pozitif sabitler nerede ve .

Spektral matrise (2.114) karşılık gelen korelasyon matrisi şu şekildedir:

, (2.115)

nerede ve - süreçlerin otokorelasyon ve çapraz korelasyon anları ve sırasıyla; - süreçlerin çapraz korelasyon katsayısı ve zamanın çakışan anları. Katsayılar ve bu durumda enerji spektrumunun genişliği (0,5 seviyesinde) ve süreçlerin karşılıklı enerji spektrumu ve.

Şekillendirme filtresinin transfer matrisini elde etmek için spektral matrisi (2.114) çarpanlarına ayırmak gerekir.

Yukarıdaki çarpanlara ayırma algoritmasına uygun olarak çarpanlara ayırma işlemini adım adım gerçekleştireceğiz.

1.İçinde bu durumda spektral matrisin rankı.

2. Matrisin köşegenine getirilmesi bir adım alır. Formül (2.109) ve (2.110) ile elde ederiz

.

3. (2.111) ve (2.112) ifadelerine göre yardımcı matris şu şekildedir:

4. İncelenen durumda, yalnızca bir yardımcı polinom bulmanız gerekir. Bunu yapmak için, matris elemanının paydasının köklerini, yani polinomun köklerini bulmanız gerekir. Bu kökler eşit

Buradan,

.

5. Son aşamada kesirli-rasyonel fonksiyonları çarpanlarına ayırmanız gerekir.

Bu durumda, kesirli rasyonel fonksiyonların pay ve paydalarının kökleri ve hesaplanması kolaydır. Üst yarı düzlemde bulunan kökleri kullanarak (pozitif sanal kısımlara sahip kökler), değişken için de şunu elde ederiz:

.

İncirde. 2.9 gösteri yapısal şema iki boyutlu şekillendirme filtresi, çıkışında beyaz gürültünün filtre girişine etki etmesi durumunda gerekli spektral özelliklere sahip iki boyutlu rastgele bir işlemin oluşturulduğu. Sürekli değiştirme iki boyutlu filtre karşılık gelen ayrık filtre, iki boyutlu rastgele normal bir sürecin ayrık gerçekleşmelerini bir dijital bilgisayarda oluşturmak için bir algoritma elde ederiz, yani, iki durağan ve durağan-bağlı normal rastgele sürecin ayrık gerçekleşmeleri, üstel otomatik ve çapraz korelasyon fonksiyonları ile formu (2.115).

Şekillendirme filtresinin sentezine yönelik başka bir yaklaşımda, önce karşılık gelen ayrık çok boyutlu rastgele sürecin spektral matrisi bulunmalıdır. Söz konusu örnekte, bu matris şu şekildedir:

Ve matrisler (2.116).

Ele alınan örnek, karşılık gelen polinomların sıfırları analitik olarak bulunabiliyorsa, spektral matrislerin çarpanlara ayrılmasının nispeten kolay olduğunu göstermektedir. Sürekli iki boyutlu bir sürecin spektral matrisini çarpanlara ayırırken, bu zor değildi, çünkü sıfırları belirlemek için sadece ikinci dereceden ve iki dereceli denklemleri çözmek gerekiyordu. Ayrık iki boyutlu bir sürecin spektral matrisini çarpanlara ayırırken, ikinci dereceden denklemler ve analitik bir çözüme de izin veren dördüncü dereceden bir dönüş denklemi vardı.

Diğerlerinde, daha zor vakalar polinomun sıfırları her zaman analitik olarak bulunamaz. Bu durumlarda, birinci dereceden denklemleri çözmek için sayısal yöntemlere başvururlar. Genel olarak, çarpanlara ayırma işlemi standart bir program olarak dijital bir bilgisayarda gerçekleştirilebilir. Bu amaçla burada verilene ek olarak başka çarpanlara ayırma algoritmaları da kullanılabilir.

Spektral matrisleri çarpanlara ayırmak için şu anda mevcut olan tüm algoritmaların, genel olarak konuşursak, çok zahmetli olduğuna dikkat edilmelidir.