Sinyaller ve lineer sistemler. sinyallerin korelasyonu

Konu 6. Sinyallerin korelasyonu

En büyük korku ve en büyük cesaret şevki aynı derecede mideyi bulandırıyor ve ishale neden oluyor.

Michel Montaigne. Fransız hukuk düşünürü, 16. yüzyıl

Bu numara! İki fonksiyon üçüncü ile %100 ilişkilidir ve birbirine diktir. Şey, Yüce Allah'ın Dünyanın yaratılışında şakaları vardı.

Anatoly Pyshmintsev. Ural okulunun Novosibirsk jeofizikçisi, XX yüzyıl

1. Sinyallerin otokorelasyon fonksiyonları. Otokorelasyon fonksiyonları (ACF) kavramı. Zaman sınırlı ACF sinyalleri. Periyodik sinyallerin ACF'si. Otokovaryans fonksiyonları (ACF). Ayrık sinyallerin ACF'si. Gürültülü sinyallerin ACF'si. Kod sinyallerinin ACF'si.

2. Sinyallerin (CCF) çapraz korelasyon fonksiyonları. Çapraz korelasyon işlevi (CCF). Gürültülü sinyallerin çapraz korelasyonu. Kesikli sinyallerin CCF'si.Gürültüde periyodik sinyallerin değerlendirilmesi. Çapraz korelasyon katsayısı fonksiyonu.

3. Korelasyon fonksiyonlarının spektral yoğunlukları. ACF spektral yoğunluğu. Sinyal korelasyon aralığı. CCF'nin spektral yoğunluğu. FFT kullanarak korelasyon fonksiyonlarının hesaplanması.

Tanıtım

Korelasyon (korelasyon) ve ortalanmış sinyaller için özel durumu - kovaryans, bir sinyal analizi yöntemidir. İşte yöntemi kullanma seçeneklerinden biri. Zamansal konumu ilgilendiğimiz, sonlu T uzunluğunda bir x (t) dizisinin bulunabileceği (veya olmayabileceği) bir s (t) sinyali olduğunu varsayalım. Bu diziyi, s(t) sinyali boyunca kayan T uzunluğundaki bir zaman penceresinde aramak için, s(t) ve x(t) sinyallerinin skaler ürünleri hesaplanır. Bu nedenle, gerekli x (t) sinyalini, argümanı boyunca kayan sinyale s (t) "uygularız" ve nokta çarpım değerine göre, karşılaştırma noktalarındaki sinyallerin benzerlik derecesini tahmin ederiz.

Korelasyon analizi, sinyallerde (veya dijital sinyal verisi dizisinde), bağımsız değişkendeki sinyallerin değerlerindeki değişiklikler arasında belirli bir ilişkinin varlığının, yani birinin büyük değerleri olduğunda kurulmasını mümkün kılar. sinyal (sinyalin ortalama değerlerine göre) başka bir sinyalin büyük değerleriyle (pozitif korelasyon) ilişkilendirilir veya tersine, bir sinyalin küçük değerleri diğerinin büyük değerleriyle ilişkilendirilir ( negatif korelasyon) veya iki sinyalin verileri hiçbir şekilde ilişkili değildir (sıfır korelasyon).

Sinyallerin işlevsel uzayında, bu bağlantı derecesi, korelasyon katsayısının normalleştirilmiş birimlerinde ifade edilebilir, yani. sinyal vektörleri arasındaki açının kosinüsünde ve buna göre, 1'den (sinyallerin tam çakışması) -1'e (tam zıt) kadar değerler alacaktır ve ölçüm birimlerinin değerine (ölçek) bağlı değildir. .

Otokorelasyon varyantında, argüman boyunca kayan kendi kopyası ile s(t) sinyalinin skaler ürünü benzer bir teknik kullanılarak belirlenir. Otokorelasyon, mevcut sinyal örneklerinin önceki ve sonraki değerlerine (sinyal değerlerinin korelasyon yarıçapı olarak adlandırılan) ortalama istatistiksel bağımlılığını tahmin etmeyi ve ayrıca sinyalde periyodik olarak tekrar eden elemanların varlığını ortaya çıkarmayı mümkün kılar.

Rastgele olmayan bileşenleri belirlemek ve bu süreçlerin rastgele olmayan parametrelerini değerlendirmek için rastgele süreçlerin analizinde korelasyon yöntemleri özellikle önemlidir.

"Korelasyon" ve "kovaryans" açısından bazı karışıklıklar olduğunu unutmayın. Matematik literatüründe, merkezlenmiş fonksiyonlar için "kovaryans" terimi ve keyfi fonksiyonlar için "korelasyon" terimi kullanılır. Teknik literatürde ve özellikle sinyaller ve bunların işleme yöntemleri ile ilgili literatürde sıklıkla tam tersi terminoloji kullanılmaktadır. Bu çok önemli değil, ancak edebi kaynaklarla tanışırken bu terimlerin kabul edilen amacına dikkat etmelisiniz.

5 Periyodik sinyallerin spektral analizi. Dirichlet koşulları. Fourier serisi.

6 Periyodik olmayan sinyallerin spektral analizi. Fourier dönüşümü. Parseval eşitliği.

7 Sürekli sinyallerin örneklerle temsili. Kotelnikov teoremi. Örnekleme hızının bir filtre kullanarak bir sinyali geri kazanma yeteneği üzerindeki etkisi.

8 Sürekli mesaj enterpolasyon işlemi. Cebirsel polinomlarla en basit enterpolasyon türleri.

9 Korelasyon analizi. Korelasyon fonksiyonu, özellikleri. Tek bir darbe ve periyodik bir sinyalin korelasyon fonksiyonunun hesaplanması

10 Çapraz korelasyon fonksiyonu, özellikleri. Sinyallerin çapraz korelasyon fonksiyonunun hesaplanması

11 Rastgele süreçler. Rastgele bir sürecin uygulanması. Stokastik süreçlerin dağıtım yasaları

13 Parazit önleyici kodlama. Tek yönlü ve iki yönlü iletim kanallarında aslına uygunluğun iyileştirilmesi

14 Blok sistematik kodlar, özellikler ve sunum yöntemleri

15 Hamming kodları, özellikleri. Kodlayıcı ve kod çözücünün yapısal şeması, çalışma prensibi

16 Döngüsel kodların genel özellikleri ve temsil yolları.

18 Analog modülasyon türleri. Genlik modülasyonu. Genlik modülasyonlu salınım, zaman ve spektral özellikler

19 Analog modülasyon türleri. Genlik modülatörü.

20 Analog modülasyon türleri. Sinyal demodülatörüm.

21. Analog modülasyon türleri. Dengeli modülasyon. Dengeli-modülasyonlu salınım, zamansal ve spektral özellikler. Modülatör ve demodülatör BMK.

22 Analog modülasyon türleri. Tek yan bant modülasyonu. Ani salınım frekansının bir yan bandını oluşturma yöntemleri.

24 Faz modülasyonlu ve frekans modülasyonlu salınımların spektrumları.

25 Analog darbe modülasyonu türleri. Genlik-darbe modülasyonu: nişan-1 ve nişan-2. Sinyal modülatörlerini ve demodülatörlerini hedefleyin.

26 Darbe Genişliği Modülasyonu: PWM-1 ve PWM-2. PWM sinyalinin spektral gösterimi. PWM sinyal modülatörleri.

27 Faz-darbe modülasyonu. Phim sinyal modülatörleri.

28 Darbe frekansı modülasyonu. Chim sinyal dedektörleri.

29 Dijital modülasyon türleri. Darbe kodu modülasyonu. Örnekleme, niceleme ve kodlama.

30 Diferansiyel Öngörülü bir iletim sisteminin blok diyagramı. Doğrusal bir tahmin edicinin blok diyagramı, çalışma prensibi. Uyarlanabilir diferansiyel rcm.

31 Delta modülasyonu. Delta modülasyon sinyal oluşumu ilkesi. Uyarlanabilir delta modülasyonu.

32 Ayrık modülasyon türleri. İki konumlu (tek) modülasyon yöntemleri. Sinyal konumu, modülasyon oranı.

33 Tek seferlik mutlak faz kaydırmalı anahtarlama. Faz manipülatörü.

34 FMN sinyal dedektörü.

35 Tek seferlik bağıl faz kaydırmalı anahtarlama manipülatörü.

35 Tek seferlik bağıl faz kaydırmalı anahtarlama manipülatörü.

36 Tek devreli sinyal demodülatörü.

38 Çok kanallı iletim sistemleri oluşturma ilkeleri. Kanal ayrımı için teorik ön koşullar. Kanalların frekans bölümü.

39 Kanalların faz ayrımı. Dopmn sinyallerinin modülatörü ve demodülatörü.

40 Kanalların zaman bölümü. Kanalların zaman bölmeli çok kanallı bir iletim sisteminin blok diyagramı.

41 Optimum sinyal alımı. Optimum alım için görevler ve kriterler.

42 Tam olarak bilinen sinyallerle alıcının blok şeması, çalışma prensibi.

9 Korelasyon analizi. Korelasyon fonksiyonu, özellikleri. Tek bir darbe ve periyodik bir sinyalin korelasyon fonksiyonunun hesaplanması

Spektral analiz ile birlikte korelasyon analizi, sinyal teorisinde önemli bir rol oynar. Anlamı, sinyaller arasındaki benzerlik (fark) derecesini ölçmektir. Bunun için korelasyon fonksiyonu kullanılır.

CF, sinyalin birbirine göre kaydırılan iki kopyasının çarpımının integralidir. bir süre arkadaş.

CF değeri ne kadar yüksek olursa, benzerlik o kadar güçlü olur. CF aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. CF değeri
sinyal enerjisine eşit (karesinin integrali)

2. Eşit bir fonksiyondur

3. CF değeri

4. Artan abs ile. anlam Sonlu enerji bozunmalarına sahip bir sinyalin CF'si

5. Sinyal, zamana karşı voltajın bir fonksiyonuysa, o zaman CF'sinin boyutu [
]

Periyodik bir sinyal durumunda (T periyodu ile), CF, bir periyot içinde kaydırılan kopyaların ürününün ortalaması alınarak hesaplanır:

Böyle bir CF'nin özellik seti değişir:

1. CF değeri
ortalama sinyal gücüne eşit

2. Parite özelliği korunur.

3. CF değeri
mümkün olan maksimumdur.

4. CF periyodik bir fonksiyondur (sinyal ile aynı periyoda sahip)

5. Sinyal delta fonksiyonları içermiyorsa, CF süreklidir.

6. Sinyal bir bağımlılık U (t) ise, o zaman CF'nin boyutu [
]

Bir harmonik sinyalin CF'si, sinyalin başlangıç ​​fazına bağlı olmayan harmonik bir fonksiyondur.

10 Çapraz korelasyon fonksiyonu, özellikleri. Sinyallerin çapraz korelasyon fonksiyonunun hesaplanması

Çapraz korelasyon fonksiyonu (CCF), zaman içinde kaydırılan iki farklı sinyal için benzerlik derecesini gösteren bir fonksiyondur.

Genel form:

Örneğin, 2 fonksiyonun CCF'sini hesaplayalım:

NS

NS

NS

Sonuçları birleştirerek şunları yazabilirsiniz:

VKF'nin Özellikleri:

1)

2)

3)

4) Eğer fonksiyonlar S 1 (T) ve S 2 (T) delta fonksiyonları içermiyorsa, CCF'lerinde süreksizlikler olamaz.

5) Sinyal fonksiyon ise sen(T) , ardından CCF'nin boyutu

11 Rastgele süreçler. Rastgele bir sürecin uygulanması. Stokastik süreçlerin dağıtım yasaları

Bazen, pratikte, zaman içinde seyri tahmin edilemez olan ve zamanın her anında rastgele bir değişken tarafından tanımlanan fenomenlerle uğraşmak gerekir. Bu tür olaylara rastgele süreçler denir. Rastgele bir süreçle fonksiyon ζ ( T) rastgele olmayan argüman T (genellikle zaman), bağımsız değişkenin her sabit değeri için rastgele bir değişkendir. Örneğin, gün boyunca kaydedici tarafından kaydedilen sıcaklık. İşlem tarafından alınan değerler ζ ( T) zaman içinde belirli noktalarda denir devletler, ve tüm durumların kümesi faz boşluğu rastgele süreç. Rastgele bir sürecin olası durumlarının sayısına bağlı olarak, faz uzayı şu şekilde olabilir: ayrık veya sürekli. Rastgele bir süreç sadece belirli zamanlarda durumunu değiştirebiliyorsa, böyle bir sürece denir. ayrık zamanlı rastgele bir süreç; ve keyfi ise, o zaman - sürekli zaman süreci .

Rastgele süreç ζ ( T) denir sabit olası durumlarının olasılık dağılımı zamanla değişmiyorsa. Örneğin, her saniyede bir zar atıldığında, karşılık gelen rastgele sürecin durumlarının olasılık dağılımı (Şekil 44, B) zamana bağlı değildir (değişmez) (bu durumda, tüm durumlar ζ ( T) eşit derecede mümkündür). Buna karşılık, ortam sıcaklığını karakterize eden rastgele bir süreç durağan değildir, çünkü yaz, kıştan daha yüksek sıcaklıklarla karakterizedir.

Durağan rastgele bir sürecin durumlarının olasılık dağılımına denir. sabit dağıtım.

Aralarında Uniform, Gauss (normal) olmak üzere çeşitli dağılım yasaları vardır.

üniforma: bazı durumlarda x miktarının x 1 değerlerini almasına izin verin<=x<=x 2 тогда плотность вероятности

P (x) = sistem (x için 0 x 2)

Dağılım fonksiyonunu integral alarak buluruz.

F (x) = sistem (x için 0 x 2)

Gauss (normal) dağılım... Rastgele sinyaller teorisinde, Gauss olasılık yoğunluğu temel öneme sahiptir.

Eşitliğe (13.5) göre, doğrusal olmayan bir cihazın cevabının korelasyon fonksiyonu, bu cihazın geçici fonksiyonu aracılığıyla aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

Çift katlı integral, eşitlik (4.25) ile karşılaştırmadan görülebileceği gibi, karmaşık değişkenlerin bir fonksiyonu olarak yazılan niceliklerin ortak karakteristik fonksiyonuna eşittir. Buradan,

İfade (13.40), doğrusal olmayan cihazlar üzerindeki rastgele etkilerin dönüşüm yöntemiyle analizindeki ana formüldür. Bu bölümün geri kalanı, çeşitli cihaz türleri ve bunlar üzerinde çeşitli eylemler için bu ifadenin hesaplanmasına ayrılmıştır.

Birçok problemde, sistemin girişine uygulanan etki, faydalı sinyal ve gürültünün toplamıdır:

istatistiksel olarak bağımsız olasılıksal süreçlerin örnek fonksiyonları nerede. Bu gibi durumlarda, eylemin ortak karakteristik fonksiyonu, sinyal ve gürültünün karakteristik fonksiyonlarının çarpımına eşittir ve eşitlik (13.40) alınır.

miktarların ortak karakteristik fonksiyonu nerede - miktarların ortak karakteristik fonksiyonu ve

Girişte Gauss gürültüsü. Cihazın girişindeki gürültü, sıfır matematiksel beklentisi olan gerçek bir Gauss olasılık sürecinin örnek bir fonksiyonu ise, eşitlik (8.23)'e göre,

bu durumda cevabın Korelasyon fonksiyonu şu şekli alır

Şimdi bunlar, bir fonksiyonun bir fonksiyonu tarafından veya bu tür ürünlerin toplamı olarak temsil edilebiliyorsa, o zaman son ifadedeki çift katlı integral, integrallerin bir ürünü olarak hesaplanabilir. Üstel fonksiyonun, fonksiyonların ürünleri cinsinden temsil edilebilmesi ve bunun bir kuvvet serisindeki genişlemesinden kaynaklanması gerçeği

Bu nedenle, girdiye Gauss gürültüsü uygulandığında doğrusal olmayan bir cihazın yanıtının korelasyon fonksiyonu yazılabilir.

Sinüzoidal sinyaller.

Şimdi, cihazın girişindeki sinyalin modüle edilmiş bir sinüzoid olduğunu, yani

düşük frekanslı bir olasılık sürecinin örnek fonksiyonu nerededir (yani, spektral yoğunluğun sıfırdan yalnızca sıfır frekansa bitişik frekans aralığında farklı olduğu ve rasgele değişkenin aralıkta eşit olarak dağıldığı ve buna kıyasla dar olduğu ve modülasyon sinyaline ve gürültüye bağlı değildir.Böyle bir sinyalin karakteristik işlevi,

Üssü Jacobi-Anger formülüne [ifade (13.20)] genişleterek, şunu elde ederiz:

kadarıyla

genlik modülasyonlu bir sinüzoidal sinyal için bunu nereden alıyoruz

Doğrusal olmayan bir cihazın sinüsoidal sinyali ve Gauss gürültüsü girişe beslendiğinde tepkisinin korelasyon fonksiyonu artık (13.47)'de (13.45) değiştirilerek bulunabilir. Fonksiyonu tanımlıyoruz

nerede ve korelasyon fonksiyonu

ortalama almanın modüle edici sinyal üzerinden yapıldığı; o zaman yanıtın korelasyon fonksiyonu şuna eşit olacaktır:

Hem modüle edici sinyal hem de gürültü durağan ise, ifade (13.50) şu şekli alır:

Giriş sinyali modüle edilmemiş bir sinüs dalgasıysa

çünkü bu durumda katsayılar sabittir ve birbirine eşittir.

Çıkış sinyali ve gürültü bileşenleri.

Şimdi girişteki gürültünün modüle edilmiş bir sinüzoid biçiminde olduğu durumu düşünün. Bu durumda çıkış korelasyon fonksiyonu (13.52) ifadesi ile verilir. Bu ifadeyi aşağıdaki gibi genişletelim:

bireysel koşullarını göz önünde bulundurun. İlk terim, cihazın çıkışındaki sabit bileşene karşılık gelir. Bir sonraki terim grubu, yanıtın periyodik kısmına karşılık gelir ve esas olarak giriş sinyalinin kendisiyle etkileşiminden kaynaklanır. Terimlerin geri kalanı, yanıttaki rastgele dalgalanmalara, yani çıkıştaki gürültüye karşılık gelir. Bunlardan

esas olarak giriş gürültüsünün kendisiyle etkileşiminden kaynaklanan ve girişteki sinyal ve gürültünün etkileşiminden kaynaklanan bu kalan terimler.

Doğrusal olmayan bir cihazın yanıtını ortalama değer, periyodik bileşenler ve rastgele bir bileşenin toplamı olarak temsil edelim:

Daha sonra cevabın korelasyon fonksiyonu şeklinde yazılabilir.

burada (13.53) ve (13.55) eşitliklerini karşılaştırarak, yanıtın ortalama değerinin ve periyodik bileşenlerinin genliğinin doğrudan katsayılar aracılığıyla ifade edilebileceğini görüyoruz.

Ayrıca cevabın rastgele kısmının korelasyon fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:

(13.50) uyarınca tanım gereği koyduğumuz yer

Açıkça söylemek gerekirse, tüm bu terimlerin giriş sinyalini modüle eden sürecin işlevleri olduğuna dikkat edilmelidir.

(13.62)'deki terimlerden hangisinin faydalı çıkış sinyalini belirlediği sorusunun kararı, elbette, doğrusal olmayan cihazın amacına bağlıdır. Örneğin, cihaz bir dedektör olarak kullanılıyorsa, çıkış sinyalinin düşük frekans kısmı kullanışlıdır. Bu durumda, faydalı sinyal, eşitlik tarafından belirlenen korelasyon fonksiyonunun bir kısmına karşılık gelir.

Öte yandan, cihaz doğrusal olmayan bir amplifikatör olarak kullanılıyorsa, o zaman

çünkü bu durumda, giriş sinyalinin taşıyıcı frekansı yakınında yoğunlaşan sinyal bileşeni yararlıdır.

2.6. Deterministik sinyallerin korelasyon-spektral analizi. Radyo mühendisliği devreleri ve sinyalleri. Bölüm I

2.6. Deterministik sinyallerin korelasyon-spektral analizi

Birçok radyo mühendisliği probleminde, genellikle bir sinyali ve kopyasını bir süre kaydırılmış olarak karşılaştırmak gerekir. Özellikle bu durum, hedeften yansıyan darbenin bir zaman gecikmesi ile alıcı girişine ulaştığı radarda gerçekleşir. Bu sinyallerin birbirleriyle karşılaştırılması, yani. ilişkilerini kurmak, işleme sırasında, hedefin hareketinin parametrelerini belirlemenizi sağlar.

Sinyal ve zaman kaydırmalı kopyası arasındaki ilişkiyi ölçmek için bir karakteristik tanıtıldı

, (2.57)

hangisi denir otokorelasyon fonksiyonu(ACF).

ACF'nin fiziksel anlamını açıklığa kavuşturmak için, dikdörtgen bir süre ve genlik darbesinin bir sinyal görevi gördüğü bir örnek verelim. İncirde. 2.9, bir zaman aralığı ve ürün tarafından kaydırılan bir darbeyi, kopyasını gösterir. ... Açıkçası, ürünü entegre etmek, ürün olan dürtü alanının değerini verir. ... Sabitlendiğinde, bu değer koordinatlarda bir nokta olarak gösterilebilir. Değiştirildiğinde, otokorelasyon fonksiyonunun bir grafiğini elde ederiz.

Analitik bir ifade bulalım. Çünkü

sonra bu ifadeyi (2.57) yerine koyarsak,

. (2.58)

Sinyal sola kaydırılırsa, benzer hesaplamalarla bunu göstermek kolaydır.

. (2.59)

Sonra (2.58) ve (2.59)'u birleştirerek elde ederiz.

. (2.60)

Bu örnekten, keyfi dalga biçimleri için aşağıdaki önemli sonuçlar çıkarılabilir:

1. Periyodik olmayan bir sinyalin otokorelasyon işlevi, artışla azalır (diğer sinyal türleri için monoton olması gerekmez). Açıkçası, ACF'de de sıfıra eğilimlidir.

2. ACF maksimum değerine şu anda ulaşır. Bu durumda, sinyal enerjisine eşittir. Böylece, ACF enerji sinyal karakteristiği. Beklediğiniz gibi, sinyal ve kopyası tamamen ilişkili olduğunda (birbiriyle bağlantılı).

3. (2.58) ve (2.59)'un karşılaştırılması, ACF'nin eşit işlev argüman, yani

.

Sinyalin önemli bir özelliği, korelasyon aralığı... Korelasyon aralığı, sinyal ve kopyasının ilişkisiz hale geldiği bir kaymadaki zaman aralığı olarak anlaşılır.

Matematiksel olarak, korelasyon aralığı aşağıdaki ifade ile belirlenir.

,

veya beri çift bir fonksiyondur

. (2.61)

İncirde. 2.10, keyfi bir dalga biçiminin ACF'sini gösterir. Bir tarafı eşit olan pozitif değerlerde (eğrinin sağ dalı) eğrinin altındaki alana eşit bir alana eşit bir dikdörtgen oluşturursanız, diğer taraf eşleşir.

Dikdörtgen bir darbe için korelasyon aralığını bulalım. Basit dönüşümlerden sonra (2.58)'i (2.60) yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

,

hangi Şekil'den izler. 2.9.

Otokorelasyon fonksiyonuna benzetilerek, iki sinyal arasındaki ilişkinin derecesi ve tahmin edilir. çapraz korelasyon fonksiyonu(VKF)

. (2.62)

İki sinyalin karşılıklı korelasyon fonksiyonunu bulalım: genliği ve süresi olan dikdörtgen bir darbe

ve aynı genlik ve süreye sahip üçgen bir darbe

(2.61)'i kullanarak ve ve için integralleri ayrı ayrı hesaplayarak şunları elde ederiz:

CCF'nin hesaplamalarını gösteren grafik yapılar Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.11

Burada, noktalı çizgiler üçgen darbenin ilk (at) konumunu gösterir.

NS (2.61) ifadesi (2.57)'ye dönüştürülür. Bu nedenle, ACF'nin, tamamen çakışan sinyaller için CCF'nin özel bir durumu olduğu sonucu çıkar.

CCF'nin ana özelliklerini not edelim.

1. Otokorelasyon işlevi gibi, CCF de argümanın azalan bir işlevidir. CCF'de sıfıra eğilimlidir.

2. İsteğe bağlı olarak çapraz korelasyon fonksiyonunun değerleri, değerleri temsil eder. karşılıklı enerji(etkileşim enerjisi) sinyalleri ve.

3. Çapraz korelasyon fonksiyonu (otokorelasyon fonksiyonunun aksine) her zaman maksimum değerine ulaşmaz.

4. Sinyaller ve zamanın çift fonksiyonları ile açıklanıyorsa, CCF de çifttir. Sinyallerden en az biri bir tek fonksiyonla tanımlanıyorsa, CCF de tektir. Zıt kutuplu iki dikdörtgen darbenin CCF'sini hesaplarsak, ilk ifadeyi kanıtlamak kolaydır.

ve

Bu tür sinyallerin çapraz korelasyon işlevi

, (2.63)

argümanın çift fonksiyonudur.

İkinci ifadeye gelince, dikdörtgen ve üçgen darbelerin TCF'sini hesaplamanın dikkate alınan örneği bunu kanıtlıyor.

Bazı uygulamalı problemlerde, radyo mühendisleri normalleştirilmiş ACF'yi kullanır.

, (2.64)

ve normalleştirilmiş CCF

, (2.65)

sinyallerin içsel enerjileri nerede ve nelerdir ve. Normalleştirilmiş CCF değerinde arandı çapraz korelasyon katsayısı... Eğer , sonra çapraz korelasyon katsayısı

.

Açıkçası, değerler -1 ile +1 aralığındadır. (2.65)'i (1.32) ile karşılaştırırsak, çapraz korelasyon katsayısının vektörler arasındaki açının kosinüs değerine ve sinyallerin geometrik temsiline karşılık geldiğinden emin olabiliriz.

Yukarıda tartışılan örnekler için çapraz korelasyon katsayısını hesaplayalım. Dikdörtgen bir darbenin sinyal enerjisi

ve üçgen dürtü

o zaman (2.62) ve (2.65)'e göre çapraz korelasyon katsayısı eşit olacaktır. İkinci örneğe gelince, aynı genlik ve süreye sahip, ancak zıt polariteye sahip iki dikdörtgen darbe için.

Deneysel olarak, ACF ve CCF, yapısal diyagramı Şekil 2'de gösterilen bir cihaz kullanılarak elde edilebilir. 2.12

ACF kaldırıldığında, çarpanın girişlerinden birine bir sinyal gönderilir ve aynı sinyal diğerine gönderilir, ancak bir süre geciktirilir. Ürünle orantılı sinyal , entegrasyon işlemine tabi tutulur. Entegratörün çıkışında, sabit bir değerde ACF'nin değeriyle orantılı bir voltaj üretilir. Gecikme süresini değiştirerek sinyalin ACF'sini oluşturabilirsiniz.

CCF'nin deneysel yapısı için, sinyal çarpanın girişlerinden birine beslenir ve sinyal gecikme cihazına beslenir (gelen devreler kesikli çizgilerle gösterilir). Aksi takdirde, cihaz benzer şekilde çalışır. Açıklanan cihazın çağrıldığını unutmayın. bağdaştırıcı ve sinyalleri almak ve işlemek için çeşitli radyo mühendisliği sistemlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Şimdiye kadar, sonlu enerjili periyodik olmayan sinyallerin bir korelasyon analizini gerçekleştirdik. Aynı zamanda, teorik olarak sonsuz enerjiye, ancak sonlu bir ortalama güce sahip olan periyodik sinyaller için genellikle böyle bir analiz ihtiyacı ortaya çıkar. Bu durumda, ACF ve CCF, dönem üzerinden ortalama alınarak hesaplanır ve ortalama güç anlamına gelir (sırasıyla, içsel veya karşılıklı). Böylece, periyodik bir sinyalin ACF'si:

, (2.66)

ve çoklu periyotlu iki periyodik sinyalin çapraz korelasyon fonksiyonu:

, (2.67)

dönemin en büyük değeri nerede.

Harmonik sinyalin otokorelasyon fonksiyonunu bulun

,

açısal frekans nerede, başlangıç ​​aşamasıdır.

Bu ifadeyi (2.66) yerine koyarak ve iyi bilinen trigonometrik bağıntıyı kullanarak integrali hesaplayarak:

.

Ele alınan örnekten, herhangi bir periyodik sinyal için geçerli olan aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir.

1. Periyodik bir sinyalin ACF'si, aynı periyoda sahip periyodik bir fonksiyondur.

2. Periyodik bir sinyalin ACF'si, argümanın çift bir işlevidir.

3. Değer, 1 Ohm dirençte serbest bırakılan ve bir düzenliliğe sahip olan ortalama güç olduğunda.

4. Periyodik bir sinyalin ACF'si, sinyalin ilk aşaması hakkında bilgi içermez.

Ayrıca periyodik sinyalin korelasyon aralığına dikkat edilmelidir.

Şimdi aynı frekansa sahip, ancak genlikleri ve başlangıç ​​fazları farklı olan iki harmonik sinyalin çapraz korelasyon fonksiyonunu hesaplayalım.

ve .

Çapraz korelasyon fonksiyonu Farklı sinyallerin (CCF) (çapraz korelasyon fonksiyonu, CCF) hem iki sinyalin şeklinin benzerlik derecesini hem de koordinat boyunca birbirlerine göre göreceli konumlarını (bağımsız değişken) tanımlar. Otokorelasyon fonksiyonunun formülünü (6.1.1) iki farklı sinyal s (t) ve u (t) için genelleştirerek, sinyallerin aşağıdaki skaler ürününü elde ederiz:

B su () = s (t) u (t + ) dt. (6.2.1)

Sinyallerin çapraz korelasyonu, bu sinyaller tarafından görüntülenen fenomenlerin ve fiziksel süreçlerin belirli bir korelasyonunu karakterize eder ve sinyaller farklı cihazlarda ayrı ayrı işlendiğinde bu ilişkinin "kararlılığının" bir ölçüsü olarak hizmet edebilir. Enerji sonlu sinyaller için, CCF de sonludur:

|B su () |  || s (t) ||  || u (t) ||,

Bu, Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliğinden ve sinyal normlarının koordinatlar boyunca kaymadan bağımsızlığından kaynaklanır.

(6.2.1) formülündeki t = t- değişkenini değiştirerek şunu elde ederiz:

B su () = s (t-) u (t) dt = u (t) s (t-) dt = B us (-).

CCF, B su ()  B su (-) için düzgünlük koşulunun sağlanmadığı ve CCF değerlerinin  = 0'da maksimum olması gerekmediği izler.

Pirinç. 6.2.1. Sinyaller ve CCF.

Bu, Şekil 2'de açıkça görülebilir. 1, burada 0,5 ve 1.5 noktalarında merkezleri olan iki özdeş sinyal verilir.  değerlerinde kademeli bir artışla formül (6.2.1) ile hesaplama, zaman ekseni boyunca (integrant için s1 (t)'nin her değeri için, s2 (t) sinyalinin art arda sola kayması anlamına gelir, s2 (t + ) değerleri alınır).  = 0 olduğunda, sinyaller ortogonaldir ve B 12 () = 0 değeridir. Maksimum B 12 (), s2 (t) sinyali, s1 (t) ve s2 (t + ) sinyallerinin tamamen birleştirildiği  = 1 değeri ile sola kaydırıldığında gözlemlenecektir.

Formüllere (6.2.1) ve (6.2.1 ") göre aynı CCF değerleri, sinyallerin aynı karşılıklı konumunda gözlenir: u (t) sinyali s (t)'ye göre  aralığı ile değiştiğinde ordinat boyunca sağa ve u (t) sinyaline göre s (t) sinyali sola, yani B su () = B us (-

Pirinç. 6.2.2. Sinyallerin karşılıklı kovaryans fonksiyonları.

İncirde. 6.2.2, dikdörtgen bir sinyal s (t) ve iki özdeş üçgen sinyal u (t) ve v (t) için CCF örneklerini gösterir. Tüm sinyaller aynı T süresine sahiptir ve v (t) sinyali T / 2 aralığı kadar ileri kaydırılır.

s (t) ve u (t) sinyalleri zamansal konumda aynıdır ve sinyallerin "örtüşme" alanı, B su işlevi tarafından sabitlenen  = 0'da maksimumdur. Aynı zamanda, B su işlevi keskin bir şekilde asimetriktir, çünkü simetrik bir dalga formu s (t) için asimetrik bir dalga formu u (t) ile (sıfırdan  merkezine göre). u (t) sinyalinin ilk konumu, ordinat boyunca sola kaydırıldığında (sinyal s (t) - sinyal v (t)'nin önünde), CCF şekli değişmeden kalır ve aynı değerde sağa kayar kaydırma değerinin - Şekil 2'deki B sv işlevi. 6.2.2. (6.2.1)'deki fonksiyonların ifadelerini değiştirirsek, yeni fonksiyon B vs  = 0'a göre ayna döndürülmüş fonksiyon B sv olacaktır.

Bu özellikler dikkate alınarak, toplam CCF, kural olarak, pozitif ve negatif gecikmeler için ayrı ayrı hesaplanır:

B su () = s (t) u (t + ) dt. B bize () = u (t) s (t + ) dt. (6.2.1 ")

Gürültülü sinyallerin çapraz korelasyonu ... u (t) = s1 (t) + q1 (t) ve v (t) = s2 (t) + q2 (t) olan iki gürültülü sinyal için, formül türetme prosedürünü uygulayarak (6.1.13) s (t ) sinyalinden s2 (t) sinyaline, çapraz korelasyon formülünü aşağıdaki biçimde türetmek kolaydır:

B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)

(6.2.2)'nin sağ tarafındaki son üç terim artan  ile sıfıra azalır. Büyük ayar sinyalleri aralıkları için ifade aşağıdaki biçimde yazılabilir:

B uv () = B s 1 s 2 () +
+
+
. (6.2.3)

Sıfır ortalama gürültü değerleri ve sinyallerden istatistiksel bağımsızlık ile aşağıdakiler gerçekleşir:

B uv () → B s 1 s 2 ().

Ayrık sinyallerin VKF'si. Analog sinyallerin CCF'sinin tüm özellikleri, ayrık sinyallerin CCF'si için de geçerliyken, ayrık sinyallerin yukarıda ayrık ACF'ler için belirtilen özellikleri (formül 6.1.9-6.1.12) onlar için de geçerlidir. Özellikle, t = const = 1 için x (k) ve y (k) sinyalleri için K örnek sayısı ile:

B xy (n) =
x k y kn. (6.2.4)

Güç ünitelerinde normalleştirme yapılırken:

B xy (n) = x k y kn 
. (6.2.5)

Gürültüde periyodik sinyallerin değerlendirilmesi ... Gürültülü sinyal, çapraz korelasyon fonksiyonu maksimum değerine ayarlanmış olarak, deneme yanılma yoluyla "referans" sinyali ile çapraz korelasyon ile tahmin edilebilir.

Gürültüden istatistiksel bağımsızlığa sahip bir sinyal için u (k) = s (k) + q (k) ve → 0, q2 (k) = 0'da sinyal şablonu p (k) ile çapraz korelasyon fonksiyonu (6.2.2) şu şekli alır:

B up (k) = B sp (k) + B qp (k) = B sp (k) + .

Dan beri → N arttıkça 0, ardından B yukarı (k) → B sp (k). Açıktır ki, B yukarı (k) fonksiyonu, p (k) = s (k) olduğunda bir maksimuma sahip olacaktır. Şablonun p (k) biçimini değiştirerek ve B yukarı (k) fonksiyonunu maksimize ederek, optimal form p (k) formunda s (k) için bir tahmin elde edilebilir.

Çapraz korelasyon katsayısı işlevi (CCF), s (t) ve u (t) sinyallerinin benzerlik derecesinin nicel bir göstergesidir. Otokorelasyon katsayılarının fonksiyonuna benzer şekilde, fonksiyonların ortalanmış değerleri üzerinden hesaplanır (karşılıklı kovaryansı hesaplamak için fonksiyonlardan sadece birini ortalamak yeterlidir) ve değerlerin çarpımına normalize edilir. s (t) ve v (t) fonksiyonlarının standartlarından:

 su () = C su () /  s  v. (6.2.6)

Vardiyalarda korelasyon katsayılarının değerlerindeki değişiklik aralığı  -1 (tam ters korelasyon) ile 1 (tam benzerlik veya yüzde yüz korelasyon) arasında değişebilir. Sıfır değerlerinin  su () gözlemlendiği  vardiyalarında, sinyaller birbirinden bağımsızdır (ilişkisiz). Çapraz korelasyon katsayısı, sinyallerin fiziksel özelliklerinden ve büyüklüklerinden bağımsız olarak sinyaller arasında bir bağlantının varlığının kurulmasını mümkün kılar.

Formül (6.2.4) kullanılarak sınırlı uzunluktaki gürültülü ayrık sinyallerin CCF'sini hesaplarken,  su (n) | > 1.

Periyodik sinyaller için, sistemlerin özelliklerini incelerken örneğin giriş ve çıkış sinyalleri gibi aynı periyoda sahip sinyaller dışında CCF kavramı genellikle uygulanmaz.