Sériový a paralelný oscilačný obvod

Praktický výpočet sériového alebo paralelného LC obvodu.

Dobrý deň milí rádioamatéri!
Dnes sa na to pozrieme postup výpočtu obrysu LC.

Niektorí z vás sa možno pýtajú, prečo to do pekla potrebujeme? Po prvé, ďalšie znalosti nikdy neuškodia a po druhé, v živote sú chvíle, kedy možno budete potrebovať znalosť týchto výpočtov. Napríklad veľa začínajúcich rádioamatérov (samozrejme, väčšinou mladých) rádo zostavuje takzvané „chrobáky“ - zariadenia, ktoré vám umožňujú počúvať niečo na diaľku. Samozrejme, som si istý, že sa to deje bez zlých (aj špinavých) myšlienok niekoho odpočúvať, ale na dobré účely. Napríklad do izby s bábätkom nainštalujú „plošticu“ a počúvajú vysielací prijímač, či sa už zobudilo. Všetky obvody „rádiových chýb“ fungujú na určitej frekvencii, ale čo robiť, keď vám táto frekvencia nevyhovuje. Tu vám pomôžu poznatky z nižšie uvedeného článku.

LC oscilačné obvody sa používajú takmer v akomkoľvek zariadení pracujúcom na rádiových frekvenciách. Ako je známe z kurzu fyziky, oscilačný obvod pozostáva z induktora a kondenzátora (kapacita), ktoré môžu byť zapojené paralelne ( paralelný obvod) alebo postupne ( sériový obvod), ako na obr. 1:

Je známe, že reaktancie indukčnosti a kapacity závisia od frekvencie striedavého prúdu. So zvyšujúcou sa frekvenciou sa zvyšuje reaktancia induktora a znižuje sa kapacita. Pri znižovaní frekvencie sa naopak znižuje indukčný odpor a zvyšuje sa kapacitný odpor. Pre každý obvod teda existuje určitá rezonančná frekvencia, pri ktorej sú indukčné a kapacitné odpory rovnaké. V momente rezonancie sa amplitúda striedavého napätia na paralelnom obvode prudko zvyšuje alebo amplitúda prúdu v sériovom obvode prudko stúpa. Obrázok 2 zobrazuje graf napätia v paralelnom obvode alebo prúdu v sériovom obvode v závislosti od frekvencie:

Pri rezonančnej frekvencii majú tieto veličiny maximálnu hodnotu. A šírka pásma obvodu je určená na úrovni 0,7 maximálnej amplitúdy, ktorá je pri rezonančnej frekvencii.

Teraz prejdime k praxi. Predpokladajme, že potrebujeme vytvoriť paralelný obvod, ktorý má rezonanciu na frekvencii 1 MHz. Najprv musíte urobiť predbežný výpočet takéhoto obrysu. To znamená určiť požadovanú kapacitu kondenzátora a indukčnosť cievky. Pre predbežný výpočet existuje zjednodušený vzorec:

L = (159,1/F)2/C kde:
L je indukčnosť cievky v µH;
OD je kapacita kondenzátora v pF;
F– frekvencia v MHz

Frekvenciu nastavíme na 1 MHz a kapacitu napríklad 1000 pF. Dostaneme:

L \u003d (159,1/1) 2/1000 \u003d 25 μH

Ak teda chceme obvod 1 MHz, potom potrebujeme kondenzátor 1000 pF a tlmivku 25 uH. Kondenzátor je možné vybrať, ale indukčnosť musí byť vyrobená nezávisle.

N=32*√(L/D) kde:
N- požadovaný počet otáčok;
L je daná indukčnosť v µH;
D- priemer rámu v mm, na ktorý má byť cievka navinutá.

Predpokladajme, že priemer rámu je 5 mm, potom:

N=32*√(25/5) = 72 otáčok.

Tento vzorec je približný, neberie do úvahy vlastnú medzizávitovú kapacitu cievky. Vzorec slúži na predbežný výpočet parametrov cievky, ktoré sa následne upravujú pri ladení obvodu.

V rádioamatérskej praxi sa často používajú cievky s ladiacimi feritovými jadrami, ktoré majú dĺžku 12-14 mm a priemer 2,5-3 mm. Takéto jadrá sa napríklad používajú v obvodoch televízorov a prijímačov. Na predbežný výpočet počtu závitov pre takéto jadro existuje ďalší približný vzorec:

N=8,5*√L, nahraďte hodnoty pre náš obrys N=8,5*√25 = 43 otáčok. To znamená, že v tomto prípade nebude potrebné navíjať 43 závitov drôtu na cievku.

Pod elektrickými osciláciami sa rozumejú periodické zmeny náboja, prúdu a napätia. Najjednoduchším systémom, v ktorom sú možné voľné elektrické oscilácie, je takzvaný oscilačný obvod. Ide o zariadenie pozostávajúce z navzájom spojených kondenzátorov a cievky. Budeme predpokladať, že neexistuje žiadny aktívny odpor cievky, v tomto prípade sa obvod nazýva ideálny. Pri prenose energie do tohto systému v ňom vzniknú netlmené harmonické oscilácie náboja na kondenzátore, napätia a prúdu.

Energiu možno oscilačnému obvodu odovzdať rôznymi spôsobmi. Napríklad nabíjaním kondenzátora z jednosmerného zdroja alebo budiacim prúdom v induktore. V prvom prípade má elektrické pole medzi doskami kondenzátora energiu. V druhom je energia obsiahnutá v magnetickom poli prúdu pretekajúceho obvodom.

§1 Rovnica kmitov v obvode

Dokážme, že keď je obvodu odovzdaná energia, dôjde v ňom k netlmeným harmonickým osciláciám. Na to je potrebné získať diferenciálnu rovnicu harmonických kmitov tvaru .

Predpokladajme, že kondenzátor je nabitý a uzavretý s cievkou. Kondenzátor sa začne vybíjať, cievkou potečie prúd. Podľa druhého Kirchhoffovho zákona sa súčet poklesov napätia pozdĺž uzavretého okruhu rovná súčtu EMF v tomto obvode. .

V našom prípade je pokles napätia spôsobený tým, že obvod je ideálny. Kondenzátor v obvode sa správa ako zdroj prúdu, potenciálny rozdiel medzi doskami kondenzátora pôsobí ako EMF, kde je náboj na kondenzátore, je kapacita kondenzátora. Navyše, keď cievkou preteká meniaci sa prúd, vzniká v nej EMF samoindukcie, kde je indukčnosť cievky, je rýchlosť zmeny prúdu v cievke. Pretože EMF samoindukcie zabraňuje procesu vybíjania kondenzátora, druhý Kirchhoffov zákon má formu

Ale prúd v obvode je prúd vybíjania alebo nabíjania kondenzátora. Potom

Diferenciálna rovnica sa prevedie do tvaru

Zavedením notácie získame známu diferenciálnu rovnicu harmonických kmitov.

To znamená, že náboj na kondenzátore v oscilačnom obvode sa bude meniť podľa harmonického zákona

kde je maximálna hodnota náboja na kondenzátore, je cyklická frekvencia, je počiatočná fáza kmitov.

Doba oscilácie nabíjania . Tento výraz sa nazýva Thompsonov vzorec.

Napätie kondenzátora

Prúd obvodu

Vidíme, že okrem náboja na kondenzátore sa podľa harmonického zákona zmení aj prúd v obvode a napätie na kondenzátore. Napätie osciluje vo fáze s nábojom a prúd je pred nabíjaním

fáza na .

Energia elektrického poľa kondenzátora

Energia prúdu magnetického poľa

Aj energie elektrického a magnetického poľa sa teda menia podľa harmonického zákona, ale s dvojnásobnou frekvenciou.

Zhrnúť

Elektrické oscilácie treba chápať ako periodické zmeny náboja, napätia, intenzity prúdu, energie elektrického poľa, energie magnetického poľa. Tieto oscilácie, podobne ako mechanické, môžu byť voľné aj vynútené, harmonické aj neharmonické. V ideálnom oscilačnom obvode sú možné voľné harmonické elektrické oscilácie.

§2 Procesy prebiehajúce v oscilačnom obvode

Matematicky sme dokázali existenciu voľných harmonických kmitov v oscilačnom obvode. Stále však nie je jasné, prečo je takýto proces možný. Čo spôsobuje oscilácie v obvode?

Pri voľných mechanických vibráciách sa takýto dôvod našiel – ide o vnútornú silu, ktorá vzniká pri vyvedení systému z rovnováhy. Táto sila v každom okamihu smeruje do rovnovážnej polohy a je úmerná súradniciam tela (so znamienkom mínus). Pokúsme sa nájsť podobný dôvod výskytu kmitov v oscilačnom obvode.

Nechajte oscilácie v obvode vybudiť nabitím kondenzátora a jeho uzavretím k cievke.

V počiatočnom okamihu je náboj na kondenzátore maximálny. V dôsledku toho je napätie a energia elektrického poľa kondenzátora tiež maximálne.

V obvode nie je prúd, energia magnetického poľa prúdu je nulová.

Prvá štvrtina obdobia- vybitie kondenzátora.

Dosky kondenzátora s rôznymi potenciálmi sú spojené vodičom, takže kondenzátor sa začne vybíjať cez cievku. Klesá náboj, napätie na kondenzátore a energia elektrického poľa.

Prúd, ktorý sa objavuje v obvode, sa zvyšuje, ale jeho rastu bráni samoindukcia EMF, ktorá sa vyskytuje v cievke. Energia magnetického poľa prúdu sa zvyšuje.

Uplynula štvrtina- kondenzátor je vybitý.

Kondenzátor sa vybil, napätie na ňom sa rovnalo nule. Energia elektrického poľa sa v tomto okamihu tiež rovná nule. Podľa zákona zachovania energie nemohla zaniknúť. Energia poľa kondenzátora sa úplne zmenila na energiu magnetického poľa cievky, ktorá v tomto okamihu dosahuje svoju maximálnu hodnotu. Maximálny prúd v obvode.

Zdalo by sa, že v tomto momente by sa mal prúd v obvode zastaviť, pretože príčina prúdu, elektrické pole, zmizla. Zániku prúdu však opäť bráni EMF samoindukcie v cievke. Teraz bude udržiavať klesajúci prúd a bude naďalej prúdiť rovnakým smerom a nabíjať kondenzátor. Začína sa druhá štvrtina tretiny.

Druhá štvrtina obdobia - Nabíjanie kondenzátora.

Prúd podporovaný samoindukčným EMF pokračuje v toku rovnakým smerom a postupne klesá. Tento prúd nabíja kondenzátor s opačnou polaritou. Náboj a napätie na kondenzátore sa zvyšujú.

Energia magnetického poľa prúdu, klesajúca, prechádza do energie elektrického poľa kondenzátora.

Uplynula druhá štvrtina obdobia - kondenzátor sa nabil.

Kondenzátor sa dobíja, kým je prúd. Preto v okamihu, keď sa prúd zastaví, náboj a napätie na kondenzátore nadobudnú maximálnu hodnotu.

Energia magnetického poľa sa v tomto okamihu úplne zmenila na energiu elektrického poľa kondenzátora.

Situácia v okruhu je v tomto momente ekvivalentná tej pôvodnej. Procesy v okruhu sa budú opakovať, ale v opačnom smere. Jedna úplná oscilácia v obvode, trvajúca určitú dobu, skončí, keď sa systém vráti do pôvodného stavu, to znamená, keď sa kondenzátor dobije v pôvodnej polarite.

Je ľahké vidieť, že príčinou oscilácií v obvode je fenomén samoindukcie. EMF samoindukcie zabraňuje zmene prúdu: neumožňuje mu okamžite zvýšiť a okamžite zmiznúť.

Mimochodom, nebolo by zbytočné porovnávať výrazy na výpočet kvázi-elastickej sily v mechanickom oscilačnom systéme a EMF samoindukcie v obvode:

Predtým sa získali diferenciálne rovnice pre mechanické a elektrické oscilačné systémy:

Napriek zásadným rozdielom medzi fyzikálnymi procesmi v mechanických a elektrických oscilačných systémoch je jasne viditeľná matematická identita rovníc popisujúcich procesy v týchto systémoch. Toto by sa malo prediskutovať podrobnejšie.

§3 Analógia medzi elektrickými a mechanickými vibráciami

Dôkladná analýza diferenciálnych rovníc pre pružinové kyvadlo a oscilačný obvod, ako aj vzorce týkajúce sa veličín charakterizujúcich procesy v týchto systémoch, umožňuje identifikovať, ktoré veličiny sa správajú rovnako (tabuľka 2).

Pružinové kyvadlo	Oscilačný obvod
Súradnice tela ()	Nabíjanie na kondenzátore ()
rýchlosť tela	Slučkový prúd
Potenciálna energia pružne deformovanej pružiny	Energia elektrického poľa kondenzátora
Kinetická energia záťaže	Energia magnetického poľa cievky s prúdom
Prevrátená tuhosť pružiny	Kapacita kondenzátora
Hmotnosť nákladu	Indukčnosť cievky
Elastická sila	EMF samoindukcie sa rovná napätiu na kondenzátore

tabuľka 2

Dôležitá je nielen formálna podobnosť medzi veličinami, ktoré opisujú procesy kmitania kyvadla a procesmi v obvode. Samotné procesy sú rovnaké!

Krajné polohy kyvadla sú ekvivalentné stavu obvodu, keď je náboj na kondenzátore maximálny.

Rovnovážna poloha kyvadla je ekvivalentná stavu obvodu pri vybitom kondenzátore. V tomto okamihu elastická sila zmizne a na kondenzátore v obvode nie je žiadne napätie. Rýchlosť kyvadla a prúd v obvode sú maximálne. Potenciálna energia elastickej deformácie pružiny a energia elektrického poľa kondenzátora sa rovnajú nule. Energiu systému tvorí kinetická energia záťaže alebo energia magnetického poľa prúdu.

Vybíjanie kondenzátora prebieha podobne ako pri pohybe kyvadla z krajnej polohy do rovnovážnej polohy. Proces dobíjania kondenzátora je identický s procesom odstránenia záťaže z rovnovážnej polohy do krajnej polohy.

Celková energia oscilačného systému alebo zostáva nezmenená v priebehu času.

Podobnú analógiu možno vysledovať nielen medzi pružinovým kyvadlom a oscilačným obvodom. Všeobecné vzorce voľných oscilácií akejkoľvek povahy! Tieto vzory, znázornené na príklade dvoch oscilačných systémov (pružinové kyvadlo a oscilačný obvod), sú nielen možné, ale musí vidieť vo vibráciách akéhokoľvek systému.

V zásade je možné vyriešiť problém akéhokoľvek oscilačného procesu jeho nahradením osciláciami kyvadla. Na to stačí kompetentne postaviť ekvivalentný mechanický systém, vyriešiť mechanický problém a zmeniť hodnoty v konečnom výsledku. Napríklad musíte nájsť periódu oscilácie v obvode obsahujúcom kondenzátor a dve paralelne zapojené cievky.

Oscilačný obvod obsahuje jeden kondenzátor a dve cievky. Keďže cievka sa správa ako váha kyvadla pružiny a kondenzátor sa správa ako pružina, musí ekvivalentný mechanický systém obsahovať jednu pružinu a dve závažia. Celý problém je v tom, ako sú závažia pripevnené k pružine. Sú možné dva prípady: jeden koniec pružiny je pevný a jedno závažie je pripevnené k voľnému koncu, druhé je na prvom alebo sú závažia pripevnené k rôznym koncom pružiny.

Keď sú paralelne zapojené cievky rôznych indukčností, prúdy cez ne sú rôzne. V dôsledku toho musia byť rýchlosti zaťaženia v rovnakom mechanickom systéme tiež odlišné. Je zrejmé, že je to možné iba v druhom prípade.

Obdobie tohto oscilačného systému sme už našli. Je rovnocenný . Nahradením hmotností závaží indukčnosťou cievok a prevrátenej tuhosti pružiny kapacitou kondenzátora získame .

§4 Oscilačný obvod so zdrojom jednosmerného prúdu

Zvážte oscilačný obvod obsahujúci zdroj jednosmerného prúdu. Nechajte kondenzátor na začiatku vybiť. Čo sa stane v systéme po zatvorení kľúča K? Budú v tomto prípade pozorované oscilácie a aká je ich frekvencia a amplitúda?

Je zrejmé, že po zatvorení kľúča sa kondenzátor začne nabíjať. Píšeme druhý Kirchhoffov zákon:

Prúd v obvode je teda nabíjací prúd kondenzátora. Potom . Diferenciálna rovnica sa prevedie do tvaru

*Riešenie rovnice zmenou premenných.

Označme . Diferencujte dvakrát a berúc do úvahy, že dostaneme . Diferenciálna rovnica má tvar

Toto je diferenciálna rovnica harmonických kmitov, jej riešením je funkcia

kde je cyklická frekvencia, integračné konštanty a sú zistené z počiatočných podmienok.

Náboj na kondenzátore sa mení podľa zákona

Ihneď po zopnutí spínača je náboj na kondenzátore nulový a v obvode nie je žiadny prúd. . Ak vezmeme do úvahy počiatočné podmienky, získame systém rovníc:

Vyriešením systému dostaneme a . Po zatvorení kľúča sa náboj na kondenzátore zmení podľa zákona.

Je ľahké vidieť, že v obvode sa vyskytujú harmonické oscilácie. Prítomnosť zdroja jednosmerného prúdu v obvode neovplyvnila frekvenciu kmitov, zostala rovnaká. „Rovnovážna poloha“ sa zmenila - v okamihu, keď je prúd v obvode maximálny, kondenzátor sa nabije. Amplitúda oscilácií náboja na kondenzátore sa rovná Cε.

Rovnaký výsledok možno získať jednoduchšie použitím analógie medzi osciláciami v obvode a osciláciami pružinového kyvadla. Zdroj konštantného prúdu je ekvivalentný konštantnému silovému poľu, v ktorom je umiestnené pružinové kyvadlo, napríklad gravitačné pole. Neprítomnosť náboja na kondenzátore v momente uzavretia obvodu je totožná s absenciou deformácie pružiny v momente uvedenia kyvadla do kmitavého pohybu.

V konštantnom silovom poli sa perióda kmitania pružinového kyvadla nemení. Doba kmitania v obvode sa chová rovnako - zostáva nezmenená, keď je do obvodu privedený zdroj jednosmerného prúdu.

V rovnovážnej polohe, keď je rýchlosť zaťaženia maximálna, sa pružina deformuje:

Keď je prúd v oscilačnom obvode maximálny . Druhý Kirchhoffov zákon je napísaný nasledovne

V tomto momente je náboj na kondenzátore rovný Rovnaký výsledok možno získať na základe výrazu (*) nahradením

§5 Príklady riešenia problémov

Úloha 1 Zákon zachovania energie

L\u003d 0,5 μH a kondenzátor s kapacitou OD= 20 pF vznikajú elektrické oscilácie. Aké je maximálne napätie na kondenzátore, ak je amplitúda prúdu v obvode 1 mA? Aktívny odpor cievky je zanedbateľný.

Riešenie:

(1)

2 V momente, keď je napätie na kondenzátore maximálne (maximálny náboj na kondenzátore), nie je v obvode žiadny prúd. Celková energia systému pozostáva iba z energie elektrického poľa kondenzátora

(2)

3 V momente, keď je prúd v obvode maximálny, je kondenzátor úplne vybitý. Celková energia systému pozostáva len z energie magnetického poľa cievky

(3)

4 Na základe výrazov (1), (2), (3) dostaneme rovnosť . Maximálne napätie na kondenzátore je

Úloha 2 Zákon zachovania energie

V oscilačnom obvode pozostávajúcom z indukčnej cievky L a kondenzátor OD, elektrické oscilácie sa vyskytujú s periódou T = 1 μs. Maximálna hodnota nabitia . Aký je prúd v obvode v okamihu, keď je náboj na kondenzátore rovný? Aktívny odpor cievky je zanedbateľný.

Riešenie:

1 Keďže aktívny odpor cievky možno zanedbať, celková energia systému, pozostávajúca z energie elektrického poľa kondenzátora a energie magnetického poľa cievky, zostáva v priebehu času nezmenená:

(1)

2 V momente, keď je náboj na kondenzátore maximálny, v obvode nie je žiadny prúd. Celková energia systému pozostáva iba z energie elektrického poľa kondenzátora

(2)

3 Na základe (1) a (2) dostaneme rovnosť . Prúd v obvode je .

4 Periódu kmitov v obvode určuje Thomsonov vzorec. Odtiaľ. Potom pre prúd v obvode, ktorý získame

Úloha 3 Oscilačný obvod s dvomi paralelne zapojenými kondenzátormi

V oscilačnom obvode pozostávajúcom z indukčnej cievky L a kondenzátor OD, elektrické oscilácie sa vyskytujú s amplitúdou náboja. V momente, keď je náboj na kondenzátore maximálny, je zatvorený kľúč K. Aká bude perióda kmitov v obvode po zatvorení kľúča? Aká je amplitúda prúdu v obvode po zopnutí spínača? Ignorujte ohmický odpor obvodu.

Riešenie:

1 Zatvorenie kľúča vedie k tomu, že sa v obvode objaví ďalší kondenzátor zapojený paralelne k prvému. Celková kapacita dvoch paralelne zapojených kondenzátorov je .

Perióda kmitov v obvode závisí iba od jeho parametrov a nezávisí od toho, ako boli oscilácie v systéme vybudené a aká energia bola na to systému odovzdaná. Podľa Thomsonovho vzorca.

2 Ak chcete zistiť amplitúdu prúdu, zistime, aké procesy sa vyskytujú v obvode po zatvorení kľúča.

Druhý kondenzátor bol pripojený v okamihu, keď bol náboj na prvom kondenzátore maximálny, preto v obvode nebol žiadny prúd.

Slučkový kondenzátor by sa mal začať vybíjať. Vybíjací prúd po dosiahnutí uzla by sa mal rozdeliť na dve časti. Vo vetve s cievkou však dochádza k EMF samoindukcie, ktorá zabraňuje zvýšeniu vybíjacieho prúdu. Z tohto dôvodu bude celý vybíjací prúd tiecť do vetvy s kondenzátorom, ktorého ohmický odpor je nulový. Prúd sa zastaví, akonáhle sa napätia na kondenzátoroch rovnajú, zatiaľ čo počiatočný náboj kondenzátora sa prerozdelí medzi dva kondenzátory. Čas prerozdelenia náboja medzi dvoma kondenzátormi je zanedbateľný kvôli absencii ohmického odporu vo vetvách kondenzátora. Počas tejto doby sa prúd vo vetve s cievkou nestihne objaviť. Oscilácie v novom systéme budú pokračovať aj po prerozdelení náboja medzi kondenzátory.

Je dôležité pochopiť, že v procese prerozdeľovania náboja medzi dva kondenzátory sa energia systému nešetrí! Pred zatvorením kľúča mal jeden kondenzátor, slučkový kondenzátor, energiu:

Po prerozdelení náboja má batéria kondenzátorov energiu:

Je ľahké vidieť, že energia systému klesla!

3 Novú amplitúdu prúdu nájdeme pomocou zákona zachovania energie. V procese oscilácií sa energia kondenzátorovej banky premieňa na energiu magnetického poľa prúdu:

Upozorňujeme, že zákon zachovania energie začína "fungovať" až po dokončení prerozdelenia náboja medzi kondenzátory.

Úloha 4 Oscilačný obvod s dvoma kondenzátormi zapojenými do série

Oscilačný obvod pozostáva z cievky s indukčnosťou L a dvoch sériovo zapojených kondenzátorov C a 4C. Kondenzátor s kapacitou C sa nabíja na napätie, kondenzátor s kapacitou 4C sa nenabíja. Po zatvorení kľúča začnú v obvode oscilácie. Aká je perióda týchto oscilácií? Určite amplitúdu prúdu, maximálne a minimálne hodnoty napätia na každom kondenzátore.

Riešenie:

1 V momente, keď je prúd v obvode maximálny, v cievke nie je samoindukčné EMF . Pre túto chvíľu si zapíšeme druhý Kirchhoffov zákon

Vidíme, že v momente, keď je prúd v obvode maximálny, kondenzátory sa nabíjajú na rovnaké napätie, ale v opačnej polarite:

2 Pred zatvorením kľúča sa celková energia systému skladala iba z energie elektrického poľa kondenzátora C:

V momente, keď je prúd v obvode maximálny, energia systému je súčtom energie magnetického poľa prúdu a energie dvoch kondenzátorov nabitých na rovnaké napätie:

Podľa zákona zachovania energie

Na zistenie napätia na kondenzátoroch používame zákon zachovania náboja - náboj spodnej dosky kondenzátora C sa čiastočne preniesol na hornú dosku kondenzátora 4C:

Nájdenú hodnotu napätia dosadíme do zákona zachovania energie a nájdeme amplitúdu prúdu v obvode:

3 Nájdite hranice, v ktorých sa mení napätie na kondenzátoroch počas procesu kmitania.

Je jasné, že v momente uzavretia okruhu bolo na kondenzátore C maximálne napätie. Kondenzátor 4C nebol nabitý, preto .

Po zopnutí spínača sa kondenzátor C začne vybíjať a začne sa nabíjať kondenzátor s kapacitou 4C. Proces vybíjania prvého a nabíjania druhých kondenzátorov končí, akonáhle sa prúd v obvode zastaví. Stane sa tak v priebehu polovice obdobia. Podľa zákonov zachovania energie a elektrického náboja:

Pri riešení systému zistíme:

.

Znamienko mínus znamená, že po uplynutí polovice periódy sa kapacita C nabije v obrátenej polarite oproti originálu.

Úloha 5 Oscilačný obvod s dvoma cievkami zapojenými do série

Oscilačný obvod pozostáva z kondenzátora s kapacitou C a dvoch cievok s indukčnosťou L1 A L2. V momente, keď prúd v obvode dosiahne svoju maximálnu hodnotu, sa do prvej cievky rýchlo zavedie železné jadro (v porovnaní s periódou kmitania), čo vedie k zvýšeniu jej indukčnosti o μ-krát. Aká je amplitúda napätia v procese ďalších kmitov v obvode?

Riešenie:

1 Keď sa jadro rýchlo zavedie do cievky, musí sa zachovať magnetický tok (fenomén elektromagnetickej indukcie). Preto rýchla zmena indukčnosti jednej z cievok bude mať za následok rýchlu zmenu prúdu v obvode.

2 Pri zavádzaní jadra do cievky sa náboj na kondenzátore nestihol zmeniť, zostal nenabitý (jadro bolo zavedené v momente, keď bol prúd v obvode maximálny). Po štvrtine periódy sa energia magnetického poľa prúdu zmení na energiu nabitého kondenzátora:

Vo výslednom výraze dosaďte hodnotu prúdu ja a nájdite amplitúdu napätia na kondenzátore:

Úloha 6 Oscilačný obvod s dvomi paralelne zapojenými cievkami

Induktory L 1 a L 2 sú pripojené cez tlačidlá K1 a K2 ku kondenzátoru s kapacitou C. V počiatočnom momente sú obe kľúče otvorené a kondenzátor je nabitý na rozdiel potenciálov. Najprv sa zatvorí kľúč K1 a keď sa napätie na kondenzátore rovná nule, uzavrie sa K2. Určte maximálne napätie na kondenzátore po uzavretí K2. Ignorujte odpory cievky.

Riešenie:

1 Keď je kľúč K2 otvorený, v obvode pozostávajúcom z kondenzátora a prvej cievky dochádza k osciláciám. V čase zatvorenia K2 sa energia kondenzátora prenesie na energiu magnetického poľa prúdu v prvej cievke:

2 Po uzavretí K2 sa v oscilačnom obvode objavia dve paralelne zapojené cievky.

Prúd v prvej cievke sa nemôže zastaviť kvôli fenoménu samoindukcie. V uzle sa rozdeľuje: jedna časť prúdu ide do druhej cievky a druhá časť nabíja kondenzátor.

3 Napätie na kondenzátore bude maximálne, keď sa prúd zastaví ja nabíjací kondenzátor. Je zrejmé, že v tejto chvíli budú prúdy v cievkach rovnaké.

: Závažia podliehajú rovnakému modulu sily - obe závažia sú pripevnené k pružine Ihneď po uzavretí K2 existoval prúd v prvej cievke V počiatočnom momente mal prvý náklad rýchlosť Hneď po zopnutí K2 nebol v druhej cievke prúd V počiatočnom momente bola druhá záťaž v pokoji Aké je maximálne napätie na kondenzátore? Aká je maximálna elastická sila, ktorá vzniká v pružine počas kmitania?

Kyvadlo sa pohybuje dopredu rýchlosťou ťažiska a kmitá okolo ťažiska.

Pružná sila je maximálna v momente maximálnej deformácie pružiny. Je zrejmé, že v tomto okamihu sa relatívna rýchlosť závaží rovná nule a vzhľadom na stôl sa závažia pohybujú rýchlosťou ťažiska. Napíšeme zákon zachovania energie:

Riešenie systému, nájdeme

Robíme náhradu

a získame predtým zistenú hodnotu pre maximálne napätie

§6 Úlohy na samostatné riešenie

Cvičenie 1 Výpočet periódy a frekvencie vlastných kmitov

1 Oscilačný obvod obsahuje cievku s premenlivou indukčnosťou, ktorá sa vo vnútri mení L1= 0,5 uH až L2\u003d 10 μH a kondenzátor, ktorého kapacita sa môže meniť od Od 1= 10 pF až

Od 2\u003d 500 pF. Aký frekvenčný rozsah možno pokryť ladením tohto obvodu?

2 Koľkokrát sa zmení frekvencia vlastných kmitov v obvode, ak sa jeho indukčnosť zvýši 10-krát a kapacita sa zníži 2,5-krát?

3 Oscilačný obvod s kondenzátorom 1 uF je naladený na frekvenciu 400 Hz. Ak k nemu pripojíte druhý kondenzátor paralelne, frekvencia oscilácií v obvode sa rovná 200 Hz. Určte kapacitu druhého kondenzátora.

4 Oscilačný obvod pozostáva z cievky a kondenzátora. Koľkokrát sa zmení frekvencia vlastných kmitov v obvode, ak je do obvodu zapojený druhý kondenzátor, ktorého kapacita je 3-krát menšia ako kapacita prvého?

5 Určte periódu kmitania obvodu, ktorého súčasťou je cievka (bez jadra) dĺžky v= 50 cm m plocha prierezu

S\u003d 3 cm 2 s N\u003d 1000 otáčok a kapacitný kondenzátor OD= 0,5 uF.

6 Oscilačný obvod obsahuje tlmivku L\u003d 1,0 μH a vzduchový kondenzátor, ktorého plochy dosiek S\u003d 100 cm 2. Obvod je naladený na frekvenciu 30 MHz. Určte vzdialenosť medzi doskami. Aktívny odpor obvodu je zanedbateľný.

Hlavným zariadením, ktoré určuje prevádzkovú frekvenciu akéhokoľvek alternátora, je oscilačný obvod. Oscilačný obvod (obr. 1) pozostáva z tlmivky L(zvážte ideálny prípad, keď cievka nemá ohmický odpor) a kondenzátor C a nazýva sa uzavretý. Charakteristickým znakom cievky je jej indukčnosť, označuje sa L a meria sa v Henry (H), kondenzátor je charakterizovaný kapacitou C, ktorá sa meria vo faradoch (F).

Nechajte kondenzátor nabiť v počiatočnom okamihu (obr. 1) tak, aby jedna z jeho dosiek mala náboj + Q 0 a na druhej strane - poplatok - Q 0 V tomto prípade sa medzi doskami kondenzátora vytvorí elektrické pole, ktoré má energiu

kde je amplitúda (maximálne) napätie alebo potenciálny rozdiel na doskách kondenzátora.

Po uzavretí obvodu sa kondenzátor začne vybíjať a obvodom bude pretekať elektrický prúd (obr. 2), ktorého hodnota narastá z nuly na maximálnu hodnotu. Keďže v obvode tečie striedavý prúd, v cievke sa indukuje EMF samoindukcie, ktorá zabraňuje vybitiu kondenzátora. Preto proces vybíjania kondenzátora nenastáva okamžite, ale postupne. V každom okamihu je rozdiel potenciálov na doskách kondenzátora

(kde je náboj kondenzátora v danom čase) sa rovná potenciálnemu rozdielu na cievke, t.j. rovná samoindukčnému emf

Obr.1	Obr.2

Keď je kondenzátor úplne vybitý a , prúd v cievke dosiahne svoju maximálnu hodnotu (obr. 3). Indukcia magnetického poľa cievky je v tomto okamihu tiež maximálna a energia magnetického poľa sa bude rovnať

Potom sa sila prúdu začne znižovať a náboj sa bude hromadiť na doskách kondenzátora (obr. 4). Keď prúd klesne na nulu, nabitie kondenzátora dosiahne svoju maximálnu hodnotu. Q 0, ale platňa, predtým kladne nabitá, bude teraz záporne nabitá (obr. 5). Potom sa kondenzátor začne opäť vybíjať a prúd v obvode potečie v opačnom smere.

Takže proces nabíjania prúdiaceho z jednej dosky kondenzátora na druhú cez induktor sa opakuje znova a znova. Hovorí sa, že v okruhu sa vyskytujú elektromagnetické oscilácie. Tento proces je spojený nielen s kolísaním veľkosti náboja a napätia na kondenzátore, intenzitou prúdu v cievke, ale aj s prenosom energie z elektrického poľa do magnetického poľa a naopak.

Obr.3	Obr.4

K dobitiu kondenzátora na maximálne napätie dôjde len vtedy, keď v oscilačnom obvode nedôjde k strate energie. Takýto obvod sa nazýva ideálny.

V reálnych obvodoch dochádza k nasledujúcim stratám energie:

1) tepelné straty, pretože R ¹ 0;

2) straty v dielektriku kondenzátora;

3) hysterézne straty v jadre cievky;

4) straty radiáciou a pod. Ak tieto straty energie zanedbáme, potom môžeme napísať, že , t.j.

Oscilácie vyskytujúce sa v ideálnom oscilačnom obvode, v ktorom je táto podmienka splnená, sa nazývajú zadarmo, alebo vlastné, oscilácie obrysu.

V tomto prípade napätie U(a účtovať Q) na kondenzátore sa mení podľa harmonického zákona:

kde n je vlastná frekvencia oscilačného obvodu, w 0 = 2pn je vlastná (kruhová) frekvencia oscilačného obvodu. Frekvencia elektromagnetických kmitov v obvode je definovaná ako

Obdobie T- určí sa čas, počas ktorého dôjde k úplnému kmitaniu napätia na kondenzátore a prúdu v obvode Thomsonov vzorec

Intenzita prúdu v obvode sa tiež mení podľa harmonického zákona, ale zaostáva za napätím vo fáze o . Preto závislosť sily prúdu v obvode od času bude mať formu

. (9)

Obrázok 6 zobrazuje grafy zmien napätia U na kondenzátore a prúde ja v cievke pre ideálny oscilačný obvod.

V skutočnom obvode bude energia s každým kmitaním klesať. Amplitúdy napätia na kondenzátore a prúdu v obvode sa znížia, takéto oscilácie sa nazývajú tlmené. Nemožno ich použiť v hlavných generátoroch, pretože zariadenie bude pracovať najlepšie v pulznom režime.

Obr.5	Obr.6

Na získanie netlmených kmitov je potrebné kompenzovať straty energie pri širokej škále prevádzkových frekvencií zariadení, vrátane tých, ktoré sa používajú v medicíne.

Aby sme pochopili príčinu rezonancie, je potrebné pochopiť, ako prúd preteká cez kondenzátor a induktor.
Keď prúd preteká cez induktor, napätie vedie k prúdu. Pozrime sa na tento proces podrobnejšie, keď je napätie na koncoch cievky maximálne, cievkou netečie prúd, pri klesaní napätia sa prúd zvyšuje a keď je napätie na koncoch cievky nulové, prúd cez cievku je maximálny. Ďalej sa napätie znižuje a dosahuje minimum, zatiaľ čo prúd je nulový. Z toho môžeme vyvodiť záver, že prúd cez cievku je maximálny, keď je napätie na jej koncoch nulové a prúd je nulový, keď je napätie na jej koncoch maximálne. Ak teda porovnáme grafy napätia a prúdu, zdá sa, že napätie predbieha prúd o 90 stupňov. To je možné vidieť na obrázku nižšie.

Opakom induktora je kondenzátor. Keď je napätie na koncoch kondenzátora nulové, prúd cez neho je maximálny, keď sa kondenzátor nabíja, prúd cez neho klesá, je to spôsobené tým, že potenciálny rozdiel medzi kondenzátorom a zdrojom napätia klesá a čím menší je potenciálny rozdiel, tým menší je prúd. Keď je kondenzátor plne nabitý, nepreteká ním žiadny prúd, pretože neexistuje žiadny potenciálny rozdiel. Napätie začne klesať a stane sa rovným nule, zatiaľ čo maximálny prúd tečie iba v opačnom smere, potom napätie dosiahne minimum a prúd cez kondenzátor opäť netečie. Dospeli sme k záveru, že prúd cez kondenzátor je maximálny, keď je napätie na jeho doskách nulové a prúd je nulový, keď je napätie na kondenzátore minimálne. Ak porovnáme grafy zmien prúdu a napätia, zdá sa, že prúd je pred napätím o 90 stupňov. To je možné vidieť na obrázku nižšie.

Pri rezonančnej frekvencii pre obvod pozostávajúci z kondenzátora a tlmivky, či už je paralelný alebo sériový, sú ich odpory rovnaké a fázový posun medzi napätím a prúdom je nulový. V skutočnosti, ak o tom premýšľate, potom v kondenzátore prúd vedie napätie o 90 stupňov, to znamená +90 stupňov, a v induktore prúd zaostáva za napätím o 90 stupňov, to znamená -90 stupňov. a ak ich spočítate, dostanete nulu. Pre pár majú kondenzátor a induktor paralelnú a sériovú rezonanciu na rovnakej frekvencii.

Pozrime sa na rezonanciu v sériovom rezonančnom obvode.

Horný graf ukazuje závislosť prúdu od času pretekajúceho obvodom, pod dvomi grafmi sú napätia na kondenzátore a cievke, spodný je súčet napätí na cievke a kondenzátore. Je vidieť, že celkové napätie na kondenzátore a induktore je nulové, hovoria tiež, že odpor sériového oscilačného obvodu pri rezonančnej frekvencii má tendenciu k nule.
Zostavme jednoduchý obvod znázornený na obrázku.

Odpor odporu by mal byť väčší ako výstupný odpor generátora, to znamená viac ako 50 Ohm, vzal som prvý, ktorý narazil.
Vypočítaná rezonančná frekvencia takéhoto obvodu je 270 kHz, ale keďže hodnotenia majú určitú toleranciu, ktorá sa zvyčajne uvádza v percentách, budete ju musieť vybrať. Vyberať budeme na základe toho, že odpory tlmivky a kondenzátora na rezonančnej frekvencii sú rovnaké a keďže sú zapojené sériovo, sú rovnaké aj úbytky napätia. Prvý kanál zobrazuje napätie na obvode, druhý kanál zobrazuje napätie na cievke, matematický kanál zobrazuje rozdiel medzi prvým a druhým kanálom a v skutočnosti napätie na kondenzátore. Dôvod, prečo som sondu osciloskopu nezapojil paralelne s kondenzátorom, bude podrobne popísaný v ďalšom článku. Stručne povedané, existuje pravidlo pripojiť zemného krokodíla k zemi iba vtedy, ak sú osciloskop a skúmaný obvod napájané z domácej siete a sú uzemnené. Deje sa tak, aby nedošlo k spáleniu skúmaného obvodu a osciloskopu.

Oscilogramy ukazujú, že pri rezonančnej frekvencii je pokles napätia na cievke a kondenzátore rovnaký a opačný v znamienku a celkový pokles napätia v obvode má tendenciu k nule. V sériovom oscilačnom obvode pri rezonančnej frekvencii je napätie na cievke a kondenzátore vyššie ako na generátore. Zvýšime frekvenciu a uvidíme, čo sa zmení.

Vidíme, že napätie na cievke sa zvýšilo, pretože sa zvýšil jej odpor, pretože je priamo úmerný frekvencii. Napätie na kondenzátore klesá, pretože jeho odpor klesá so zvyšujúcou sa frekvenciou. Teraz znížime frekvenciu.

Vidíme, že napätie na kondenzátore sa zvýšilo a na cievke sa znížilo, treba tiež poznamenať, že fázový rozdiel medzi signálmi je 180 stupňov.

Uvažujme teraz rezonanciu v paralelnom obvode, situácia je podobná ako v sériovom obvode, len v sérii sme uvažovali o napätiach a paralelne o prúdoch.

Vidíme, že prúdy sú voči sebe posunuté o 180 stupňov a ich súčet je nulový, to znamená, že prúd netečie obvodom a jeho odpor má tendenciu k nekonečnu. Ako pásmový filter sa používa paralelný oscilačný obvod, rádioamatéri mu hovoria zátkový filter. Neprepúšťa napätie, ktorého frekvencia sa rovná jeho rezonančnej frekvencii. Zostavme jednoduchý obvod znázornený na obrázku nižšie a uvidíme, ako sa bude napätie na koncoch obvodu meniť v závislosti od frekvencie.

Keďže kondenzátor a indukčnosť sú rovnaké ako v predchádzajúcom experimente, rezonančná frekvencia obvodu je rovnaká.

Pri rezonančnej frekvencii má odpor obvodu tendenciu k nekonečnu, a preto bude napätie maximálne. Znížime frekvenciu.

Vidíme, že napätie na obvode sa znížilo, stalo sa to preto, že odpor cievky sa zmenšil a odhodila kondenzátor.
Teraz zvýšime frekvenciu.

S rastúcou frekvenciou odpor kondenzátora klesal a posúval cievku.
Možno je to všetko, čo som chcel povedať o rezonancii.

• Elektromagnetické vibrácie sú periodické zmeny v priebehu času elektrických a magnetických veličín v elektrickom obvode.

• zadarmo sa nazývajú také výkyvy, ktoré vznikajú v uzavretom systéme v dôsledku odchýlky tohto systému zo stavu stabilnej rovnováhy.

Počas oscilácií prebieha nepretržitý proces premeny energie systému z jednej formy na druhú. V prípade kmitov elektromagnetického poľa môže výmena prebiehať len medzi elektrickou a magnetickou zložkou tohto poľa. Najjednoduchší systém, kde môže tento proces prebiehať, je oscilačný obvod.

• Ideálny oscilačný obvod (LC obvod) - elektrický obvod pozostávajúci z indukčnej cievky L a kondenzátor C.

Na rozdiel od skutočného oscilačného obvodu, ktorý má elektrický odpor R, elektrický odpor ideálneho obvodu je vždy nulový. Preto je ideálny oscilačný obvod zjednodušeným modelom skutočného obvodu.

Obrázok 1 znázorňuje schému ideálneho oscilačného obvodu.

Okruhová energia

Celková energia oscilačného obvodu

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Kde my- energiu elektrického poľa oscilačného obvodu v danom čase, OD je kapacita kondenzátora, u- hodnota napätia na kondenzátore v danom čase, q- hodnota nabitia kondenzátora v danom čase, Wm- energia magnetického poľa oscilačného obvodu v danom čase, L- indukčnosť cievky, i- hodnota prúdu v cievke v danom čase.

Procesy v oscilačnom obvode

Zvážte procesy, ktoré sa vyskytujú v oscilačnom obvode.

Aby sme odstránili obvod z rovnovážnej polohy, nabijeme kondenzátor tak, aby bol na jeho doskách náboj Q m(obr. 2, poloha 1 ). Berúc do úvahy rovnicu \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) zistíme hodnotu napätia na kondenzátore. V tomto časovom bode nie je v obvode žiadny prúd, t.j. i = 0.

Po zatvorení kľúča sa pod pôsobením elektrického poľa kondenzátora v obvode objaví elektrický prúd, sila prúdu i ktorý sa bude časom zvyšovať. Kondenzátor sa v tomto čase začne vybíjať, pretože. elektróny, ktoré vytvárajú prúd (pripomínam, že smer pohybu kladných nábojov sa berie ako smer prúdu) opúšťajú zápornú platňu kondenzátora a prichádzajú na kladnú (pozri obr. 2, poz. 2 ). Spolu s nábojom q napätie sa zníži u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Keď sa sila prúdu zvýši, cez cievku sa objaví samoindukčné emf, ktoré zabráni zmene sily prúdu. V dôsledku toho sa sila prúdu v oscilačnom obvode zvýši z nuly na určitú maximálnu hodnotu nie okamžite, ale počas určitého časového obdobia, určeného indukčnosťou cievky.

Nabíjanie kondenzátora q klesá a v určitom čase sa rovná nule ( q = 0, u= 0), prúd v cievke dosiahne určitú hodnotu ja m(pozri obr. 2, poloha 3 ).

Bez elektrického poľa kondenzátora (a odporu) sa elektróny, ktoré vytvárajú prúd, naďalej pohybujú zotrvačnosťou. V tomto prípade elektróny prichádzajúce na neutrálnu dosku kondenzátora dávajú záporný náboj, elektróny opúšťajúce neutrálnu dosku kladný náboj. Kondenzátor sa začne nabíjať q(a napätie u), ale opačného znamienka, t.j. kondenzátor sa nabije. Teraz nové elektrické pole kondenzátora bráni pohybu elektrónov, teda prúdu i začne klesať (pozri obr. 2, poloha 4 ). Opäť sa to nestane okamžite, pretože teraz sa samoindukčný EMF snaží kompenzovať pokles prúdu a „podporuje ho“. A hodnota prúdu ja m(tehotná 3 ) sa ukáže maximálny prúd v obryse.

A opäť pri pôsobení elektrického poľa kondenzátora sa v obvode objaví elektrický prúd, ale nasmerovaný opačným smerom, sila prúdu i ktorý sa bude časom zvyšovať. A kondenzátor sa v tomto čase vybije (pozri obr. 2, pozícia 6 ) na nulu (pozri obr. 2, poloha 7 ). Atď.

Od náboja na kondenzátore q(a napätie u) určuje energiu jeho elektrického poľa my\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) a prúd v cievke i- energia magnetického poľa wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) potom spolu so zmenami náboja, napätia a prúdu sa zmenia aj energie.

Označenia v tabuľke:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2) )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Celková energia ideálneho oscilačného obvodu sa časom zachováva, pretože v ňom dochádza k strate energie (bez odporu). Potom

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Teda v ideálnom prípade LC- obvod bude pravidelne meniť hodnoty sily prúdu i, poplatok q a stres u a celková energia obvodu zostane konštantná. V tomto prípade hovoríme, že existujú voľné elektromagnetické oscilácie.

• Voľné elektromagnetické oscilácie v obvode - ide o periodické zmeny náboja na doskách kondenzátora, silu prúdu a napätie v obvode, ktoré sa vyskytujú bez spotreby energie z vonkajších zdrojov.

Výskyt voľných elektromagnetických oscilácií v obvode je teda spôsobený dobíjaním kondenzátora a výskytom samoindukčného EMF v cievke, ktorá toto dobíjanie „zabezpečuje“. Všimnite si, že náboj na kondenzátore q a prúd v cievke i dosiahnuť svoje maximálne hodnoty Q m A ja m v rôznych časových bodoch.

Voľné elektromagnetické oscilácie v obvode sa vyskytujú podľa harmonického zákona:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)

Najmenší časový úsek, počas ktorého LC- obvod sa vracia do pôvodného stavu (na počiatočnú hodnotu náboja tohto obloženia), nazýva sa perióda voľných (prirodzených) elektromagnetických kmitov v obvode.

Obdobie voľných elektromagnetických kmitov v LC- obrys je určený Thomsonovým vzorcom:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

Z hľadiska mechanickej analógie pružinové kyvadlo bez trenia zodpovedá ideálnemu oscilačnému obvodu a skutočnému - s trením. Pôsobením trecích síl sa kmity pružinového kyvadla časom utlmia.

*Odvodenie Thomsonovho vzorca

Keďže celková energia ideálu LC-obvod, ktorý sa rovná súčtu energií elektrostatického poľa kondenzátora a magnetického poľa cievky, je zachovaný, potom kedykoľvek rovnosť

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Získame rovnicu kmitov v LC-obvod, využívajúci zákon zachovania energie. Diferencovanie výrazu pre jeho celkovú energiu s ohľadom na čas, berúc do úvahy skutočnosť, že

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

dostaneme rovnicu opisujúcu voľné kmitanie v ideálnom obvode:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Prepísaním ako:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

všimnite si, že ide o rovnicu harmonických kmitov s cyklickou frekvenciou

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Podľa toho obdobie uvažovaných oscilácií

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Literatúra

1. Žilko, V.V. Fyzika: učebnica. príspevok na všeobecné vzdelanie 11. ročníka. škola z ruštiny lang. školenie / V.V. Žilko, L.G. Markovich. - Minsk: Nár. Asveta, 2009. - S. 39-43.