Preklad z 10 do iných číselných sústav. Rýchla konverzia z desatinných miest na binárne

Ak chcete rýchlo previesť čísla z desiatkových na binárne, musíte dobre poznať čísla "2 na mocninu". Napríklad 2 10 = 1024 atď. To vám umožní vyriešiť niektoré príklady na preklad doslova za pár sekúnd. Jednou z týchto úloh je úloha A1 z dema USE 2012... Deliť číslo „2“ môžete samozrejme dlho a zdĺhavo. Je však lepšie rozhodnúť sa inak, čím ušetríte drahocenný čas na skúške.

Metóda je veľmi jednoduchá. Jeho podstata je nasledovná: ak sa číslo, ktoré sa má previesť z desiatkovej sústavy, rovná číslu „2 na mocninu“, potom toto číslo v dvojkovej sústave obsahuje počet núl rovný mocnine. Pred tieto nuly pridajte „1“.

• Preložme si číslo 2 z desiatkovej sústavy. 2 = 21. Preto v dvojkovej sústave číslo obsahuje 1 nulu. Položíme "1" dopredu a dostaneme 10 2.
• Prevod 4 desiatkovej sústavy. 4 = 2 2. Preto v dvojkovej sústave číslo obsahuje 2 nuly. Položíme "1" dopredu a dostaneme 100 2.
• Prevod 8 desiatkovej sústavy. 8 = 2 3. Preto v dvojkovej sústave číslo obsahuje 3 nuly. Položíme "1" dopredu a dostaneme 1000 2.

Podobne pre ostatné čísla „2 na mocninu“.

Ak je číslo, ktoré sa má preložiť, menšie ako číslo „2 na mocninu“ o 1, potom v binárnom systéme toto číslo pozostáva iba z jednotiek, ktorých počet sa rovná mocnine.

• Prevod 3 z desiatkovej sústavy. 3 = 22-1. Preto v dvojkovej sústave číslo obsahuje 2 jednotky. Dostávame 112.
• Prevod 7 z desiatkovej sústavy. 7 = 23-1. Preto v dvojkovej sústave číslo obsahuje 3 jednotky. Dostaneme 1112.

Na obrázku štvorce označujú binárne znázornenie čísla a vľavo ružovou desatinnou čiarkou.

Preklad je podobný pre ostatné čísla „2 na mocninu-1“.

Je jasné, že preklad čísel od 0 do 8 je možné vykonať rýchlo alebo delením, alebo jednoducho poznať naspamäť ich zastúpenie v dvojkovej sústave. Tieto príklady som uviedol preto, aby ste pochopili princíp tejto metódy a použili ju na preklad „pôsobivejších čísel“, napríklad na preklad čísel 127,128, 255, 256, 511, 512 atď.

Takéto problémy môžete nájsť, keď potrebujete preložiť číslo, ktoré sa nerovná číslu „2 na mocninu“, ale je blízko k nemu. Môže to byť viac alebo menej ako číslo "2 k výkonu". Rozdiel medzi preloženým číslom a číslom „2 na mocninu“ by mal byť malý. Napríklad do 3. Zastúpenie čísel od 0 do 3 v dvojkovej sústave stačí vedieť bez prekladu.

Ak je číslo väčšie, riešime to takto:

Najprv preložíme číslo „2 na mocninu“ v dvojkovej sústave. A potom k nemu pridáme rozdiel medzi číslom „2 na mocninu“ a číslom, ktoré sa má preložiť.

Preložme si napríklad 19 z desiatkovej sústavy. Je to viac ako číslo „2 na mocninu“ o 3.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Ak je číslo menšie ako číslo "2 na mocninu", potom je vhodnejšie použiť číslo "2 na mocninu-1". Riešime takto:

Najprv preložíme číslo „2 na mocninu-1“ v dvojkovej sústave. A potom od neho odčítajte rozdiel medzi číslom „2 na mocninu 1“ a číslom, ktoré sa má preložiť.

Preložme si napríklad 29 z desiatkovej sústavy. Je to viac ako číslo "2 na mocninu-1" o 2. 29 = 31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Ak je rozdiel medzi preloženým číslom a číslom "2 na mocninu" väčší ako tri, potom môžete číslo rozdeliť na komponenty, preložiť každú časť do binárneho systému a pridať.

Napríklad preložte číslo 528 z desiatkovej sústavy. 528 = 512 + 16. Prekladáme samostatne 512 a 16.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Teraz to pridajte do stĺpca:

Metódy prevodu čísel z jedného číselného systému do druhého.

Preklad čísel z jedného pozičného číselného systému do druhého: preklad celých čísel.

Na prevod celého čísla z jednej číselnej sústavy so základom d1 na druhú so základom d2 je potrebné toto číslo a výsledné kvocienty postupne deliť základom d2 novej sústavy, až kým nebude podiel menší ako základ d2. Posledným kvocientom je najvýznamnejšia číslica čísla v novom systéme zápisu so základom d2 a nasledujúce číslice sú zvyšky delenia, zapísané v opačnom poradí ako pri ich prijatí. Vykonajte aritmetické operácie v číselnej sústave, v ktorej je zapísané preložené číslo.

Príklad 1. Preveďte číslo 11 (10) do binárnej číselnej sústavy.

Odpoveď: 11 (10) = 1011 (2).

Príklad 2. Preveďte číslo 122 (10) na osmičkovú číselnú sústavu.

Odpoveď: 122 (10) = 172 (8).

Príklad 3. Preveďte číslo 500 (10) do hexadecimálnej číselnej sústavy.

Odpoveď: 500 (10) = 1F4 (16).

Prevod čísel z jedného pozičného číselného systému do druhého: preklad pravidelných zlomkov.

Na prevod pravidelného zlomku z číselnej sústavy so základom d1 do sústavy so základom d2 je potrebné postupne vynásobiť pôvodný zlomok a zlomkové časti výsledných produktov základom novej číselnej sústavy d2. Správny zlomok čísla v novej číselnej sústave so základom d2 sa tvorí vo forme celých častí výsledných súčinov, počnúc prvou.
Ak sa ukáže, že preklad je zlomkom vo forme nekonečnej alebo divergentnej série, proces môže byť dokončený, keď sa dosiahne požadovaná presnosť.

Pri preklade zmiešaných čísel je potrebné preložiť oddelene celé číslo a zlomkovú časť do novej sústavy podľa pravidiel pre preklad celých čísel a pravidelných zlomkov a následne oba výsledky spojiť do jedného zmiešaného čísla v novej číselnej sústave.

Príklad 1. Preveďte číslo 0,625 (10) do binárnej číselnej sústavy.

Odpoveď: 0,625 (10) = 0,101 (2).

Príklad 2. Preveďte číslo 0,6 (10) do osmičkovej číselnej sústavy.

Odpoveď: 0,6 (10) = 0,463 (8).

Príklad 2. Preveďte číslo 0,7 (10) do hexadecimálnej číselnej sústavy.

Odpoveď: 0,7 (10) = 0, B333 (16).

Prevádza binárne, osmičkové a hexadecimálne čísla na desiatkový zápis.

Ak chcete previesť číslo P-árnej sústavy na desatinné číslo, musíte použiť nasledujúci vzorec rozšírenia:
аnan-1 ... а1а0 = аnPn + аn-1Pn-1 + ... + а1P + a0.

Príklad 1. Preveďte číslo 101.11 (2) do desiatkovej číselnej sústavy.

Odpoveď: 101,11 (2) = 5,75 (10).

Príklad 2. Preveďte číslo 57,24 (8) do desiatkovej číselnej sústavy.

Odpoveď: 57,24 (8) = 47,3125 (10).

Príklad 3. Preveďte číslo 7A, 84 (16) do desiatkovej číselnej sústavy.

Odpoveď: 7A, 84 (16) = 122,515625 (10).

Prevod osmičkových a hexadecimálnych čísel na binárne a naopak.

Ak chcete previesť číslo z osmičkovej číselnej sústavy na binárne, každá číslica tohto čísla musí byť zapísaná trojciferným binárnym číslom (triáda).

Príklad: napíšte číslo 16,24 (8) v binárnom zápise.

Odpoveď: 16,24 (8) = 1110,0101 (2).

Pre spätný preklad binárneho čísla do osmičkovej číselnej sústavy je potrebné rozdeliť pôvodné číslo na trojice naľavo a napravo od čiarky a reprezentovať každú skupinu ako číslicu v osmičkovej číselnej sústave. Extrémne neúplné triády sú vyplnené nulami.

Príklad: Zapíšte si číslo 1110,0101 (2) v osmičkovom zápise.

Odpoveď: 1110,0101 (2) = 16,24 (8).

Ak chcete previesť číslo zo hexadecimálnej číselnej sústavy na binárne, každá číslica tohto čísla musí byť zapísaná štvorciferným binárnym číslom (tetradou).

Príklad: napíšte číslo 7A, 7E (16) v binárnom zápise.


Odpoveď: 7A, 7E (16) = 1111010,0111111 (2).

Poznámka: Úvodné nuly vľavo pre celé čísla a vpravo pre zlomky sa nepíšu.

Pre spätný preklad binárneho čísla do hexadecimálnej číselnej sústavy je potrebné rozdeliť pôvodné číslo na tetrády naľavo a napravo od čiarky a reprezentovať každú skupinu ako číslicu v hexadecimálnej číselnej sústave. Extrémne neúplné triády sú vyplnené nulami.

Príklad: zapíšte si číslo 1111010,0111111 (2) v šestnástkovej sústave.

Pri prevode čísel z desiatkovej číselnej sústavy na akúkoľvek inú sa vždy prekladá oddelene celá a zlomková časť (podľa iných pravidiel).

Preklad celej časti

Ak chcete previesť číslo z desiatkovej číselnej sústavy na akúkoľvek inú, musíte vykonať celočíselné delenie pôvodného čísla základom číselnej sústavy, do ktorej chcete číslo previesť. V tomto prípade je dôležitý zvyšok delenia a kvocient. Kvocient sa musí deliť základom, kým nezostane nula. Potom sa musia všetky zvyšky vypísať v opačnom poradí - to bude číslo v novej číselnej sústave.

Napríklad preklad - číslo 25 z desiatkovej číselnej sústavy do binárneho bude vyzerať takto:

Zapísaním zvyškov v opačnom poradí dostaneme 25 10 = 11001 2.

Ak sa nad tým zamyslíte, môžete si ľahko všimnúť, že pri preklade absolútne akéhokoľvek čísla do binárnej číselnej sústavy sa úplne posledný zvyšok (to znamená úplne prvá číslica vo výsledku) bude vždy rovnať poslednému kvocientu, ktorý sa zmenil byť menší ako základ číselnej sústavy, do ktorej číslo prekladáme. Preto sa delenie často zastaví skôr, ako sa podiel rovná nule - v okamihu, keď sa podiel stane jednoducho menším ako základ. Napríklad:

Prevod z desiatkovej číselnej sústavy do akejkoľvek inej číselnej sústavy sa vykonáva presne podľa rovnakých pravidiel. Tu je príklad prevodu 393 10 na hexadecimálny zápis:

Zapísaním zvyškov v opačnom poradí dostaneme 393 10 = 189 16.

Musíte pochopiť, že zvyšky sa získajú v systéme desiatkových čísel. Pri delení 16 sa môžu objaviť zvyšky nielen od 0 do 9, ale aj zvyšky od 10 do 15. Každý zvyšok je vždy presne jedna číslica v číselnej sústave, do ktorej sa prevod uskutočňuje.

Napríklad, ak ste pri prevode do hexadecimálnej číselnej sústavy dostali nasledujúce rezíduá (zapísané v poradí, v akom by sa mali zapísať do čísla): 10, 3, 15, 7, potom v hexadecimálnom zápise táto postupnosť rezíduí bude zodpovedať číslu A3F7 16 (niektorí omylom zapíšu číslo ako 103157 16 - rozumie sa, že ide o úplne iné číslo, a že ak to urobíte, ukáže sa, že čísla od A do F budú sa neobjaví v žiadnom hexadecimálnom čísle).

Zlomkový preklad

Pri preklade zlomkovej časti na rozdiel od prekladu celej časti netreba deliť, ale násobiť základom číselnej sústavy, do ktorej prekladáme. V tomto prípade sa celé časti zakaždým vyhodia a zlomkové časti sa znova vynásobia. Po zozbieraní celých častí v poradí, v akom boli prijaté, sa získa zlomková časť čísla v požadovanom číselnom systéme.

Jedna operácia násobenia dáva presne jedno dodatočné znamienko v číselnom systéme, do ktorého sa preklad vykonáva.

V tomto prípade existujú dve podmienky na dokončenie procesu:

1) v dôsledku ďalšieho násobenia ste dostali nulu v zlomkovej časti. Je jasné, že nech túto nulu vynásobíte akokoľvek, stále zostane nulou. To znamená, že číslo bolo prenesené zo sústavy desiatkových čísel do požadovaného presne.

2) nie všetky čísla sa dajú preložiť presne. V tomto prípade zvyčajne prekladajú s určitou presnosťou. V tomto prípade najskôr určia, koľko desatinných miest bude potrebných – presne toľkokrát bude potrebné vykonať operáciu násobenia.

Tu je príklad prevodu čísla 0,39 10 do binárnej číselnej sústavy. Presnosť - 8 číslic (v tomto prípade sa presnosť prekladu volí ľubovoľne):

Ak vypíšeme celé časti v priamom poradí, dostaneme 0,39 10 = 0,01100011 2.

Úplne prvá nula (na obrázku je prečiarknutá modrou farbou) nie je potrebné vypisovať - ​​pretože sa netýka zlomkovej časti, ale celku. Niektorí ľudia pri vypisovaní výsledku omylom píšu túto nulu za desatinnú čiarku.

Takto bude vyzerať preklad čísla 0,39 10 do hexadecimálnej číselnej sústavy. Presnosť - v tomto prípade 8 číslic, presnosť je opäť ľubovoľne zvolená:

Ak vypíšeme celé časti v priamom poradí, dostaneme 0,39 10 = 0,63D700A3 16.

Zároveň ste si pravdepodobne všimli, že celé časti sa pri vynásobení získajú v desiatkovej číselnej sústave. Tieto celé časti získané pri preklade zlomkovej časti čísla by sa mali interpretovať rovnakým spôsobom ako zvyšky pri preklade celej časti čísla. To znamená, že ak sa pri prevode na hexadecimálny číselný systém celé časti ukážu v tomto poradí: 3, 13, 7, 10, potom sa zodpovedajúce číslo bude rovnať 0,3D7A 16 (a nie 0,313710 16, ako niektorí niekedy omylom napísať).

Prevod čísla s celým číslom a zlomkovou časťou

Ak chcete preložiť číslo s celočíselnou a zlomkovou časťou, musíte oddelene preložiť celú časť a oddelene zlomkovú časť a básnik by mal tieto dve časti napísať spolu.

Napríklad 25,39 10 = 11001,01100011 2 (preklady celých a zlomkových častí – pozri vyššie).

Prevod malých celých čísel z desiatkového na binárne v mysli

Keďže pri práci s rôznymi číselnými systémami, najmä pri vývoji programov, je často potrebné prekladať malé celé čísla, potom má vo všeobecnosti zmysel zapamätať si prvých 16 čísel (od 0 do 15).

Ale ak prídete na to, aké ľahké je vo vašej mysli previesť malé celé čísla od 0 do 15 z desiatkovej číselnej sústavy na binárne, potom si môžete jednoducho vypočítať významnú časť tabuľky v hlave zakaždým, keď to potrebujete. Opakujte túto operáciu mnohokrát a v určitom bode nebudete schopní pochopiť - už ste si zapamätali tabuľku alebo stále počítate.

Ak teda chcete previesť malé kladné celé číslo od 0 do 15 z desiatkového na binárne, v prvom rade je potrebné pochopiť, že každá pozícia v binárnom čísle zodpovedá mocnine dvoch. Zároveň sú mocniny dvoch pre pozície od 0 do 3 veľmi ľahko zapamätateľné - sú to čísla 1, 2, 4 a 8:

A číslo 10 je 2 plus 8:

No, číslo 0 je hriech nezapamätať si, pretože na jeho získanie nie je potrebné nič pridávať.

Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého je dôležitou súčasťou strojovej aritmetiky. Pozrime sa na základné pravidlá prekladu.

1. Na prevod binárneho čísla na desiatkové je potrebné zapísať ho v tvare polynómu pozostávajúceho zo súčinu číslic čísla a zodpovedajúcej mocniny čísla 2 a vypočítať ho podľa pravidiel desiatkovej sústavy. aritmetika:

Pri preklade je vhodné použiť tabuľku mocniny dvoch:

Tabuľka 4. Právomoci 2

n (stupeň)

Príklad.

2. Na prevod osmičkového čísla na desiatkové je potrebné zapísať ho v tvare polynómu pozostávajúceho zo súčinu číslic čísla a zodpovedajúcej mocniny čísla 8 a vypočítať ho podľa pravidiel desiatkovej sústavy. aritmetika:

Pri preklade je vhodné použiť tabuľku mocnin ôsmich:

Tabuľka 5. Právomoci 8

n (stupeň)

Príklad. Preveďte číslo na desiatkový zápis.

3. Ak chcete previesť šestnástkové číslo na desiatkové, musí byť napísané ako polynóm pozostávajúci zo súčinov číslic čísla a zodpovedajúcej mocniny čísla 16 a vypočítané podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky:

Pri preklade je vhodné použiť to blesk síl 16:

Tabuľka 6. Mocniny 16

n (stupeň)

Príklad. Preveďte číslo na desiatkový zápis.

4. Ak chcete previesť desiatkové číslo do dvojkovej sústavy, treba ho postupne deliť 2, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný 1. Číslo v dvojkovej sústave sa zapíše ako postupnosť posledného výsledku delenia a zvyšok divízie v opačnom poradí.

Príklad. Preveďte číslo do dvojkovej sústavy.

5. Na prevod desiatkového čísla na osmičkovú sústavu je potrebné ho postupne deliť 8, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný 7. Číslo v osmičkovej sústave sa zapíše ako postupnosť číslic posledného výsledku delenia a zvyšok delenia v opačnom poradí.

Príklad. Preveďte číslo do osmičkovej číselnej sústavy.

6. Ak chcete previesť desiatkové číslo na šestnástkovú sústavu, treba ho postupne deliť 16, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný 15. Číslo v šestnástkovej sústave sa zapíše ako postupnosť číslic posledného výsledku delenia a zvyšok delenia v opačnom poradí.

Príklad. Preveďte číslo na hexadecimálny zápis.

Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého je dôležitou súčasťou strojovej aritmetiky. Pozrime sa na základné pravidlá prekladu.

1. Na prevod binárneho čísla na desiatkové je potrebné zapísať ho v tvare polynómu pozostávajúceho zo súčinu číslic čísla a zodpovedajúcej mocniny čísla 2 a vypočítať ho podľa pravidiel desiatkovej sústavy. aritmetika:

Pri preklade je vhodné použiť tabuľku mocniny dvoch:

Tabuľka 4. Právomoci 2

n (stupeň)

2. Na prevod osmičkového čísla na desiatkové je potrebné zapísať ho v tvare polynómu pozostávajúceho zo súčinu číslic čísla a zodpovedajúcej mocniny čísla 8 a vypočítať podľa pravidiel desiatkovej sústavy. aritmetika:

Pri preklade je vhodné použiť tabuľku mocnin ôsmich:

Tabuľka 5. Právomoci 8

n (stupeň)

Príklad. Preveďte číslo na desiatkový zápis.

3. Ak chcete previesť šestnástkové číslo na desiatkové, musí byť napísané ako polynóm pozostávajúci zo súčinov číslic čísla a zodpovedajúcej mocniny čísla 16 a vypočítané podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky:

Pri preklade je vhodné použiť tabuľku síl čísla 16:

Tabuľka 6. Mocniny 16

n (stupeň)

Príklad. Preveďte číslo na desiatkový zápis.

4. Ak chcete previesť desiatkové číslo do dvojkovej sústavy, treba ho postupne deliť 2, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný 1. Číslo v dvojkovej sústave sa zapíše ako postupnosť posledného výsledku delenia a zvyšok divízie v opačnom poradí.

Príklad. Preveďte číslo do dvojkovej sústavy.

5. Na prevod desiatkového čísla na osmičkovú sústavu je potrebné ho postupne deliť 8, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný 7. Číslo v osmičkovej sústave sa zapíše ako postupnosť číslic posledného výsledku delenia a zvyšok delenia v opačnom poradí.

6. Ak chcete previesť desiatkové číslo na šestnástkovú sústavu, treba ho postupne deliť 16, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný 15. Číslo v šestnástkovej sústave sa zapíše ako postupnosť číslic posledného výsledku delenia a zvyšok delenia v opačnom poradí.

Príklad. Preveďte číslo na hexadecimálny zápis.

7. Ak chcete previesť číslo z dvojkovej na osmičkovú, musí sa rozdeliť na trojice (trojice číslic), počnúc najmenej významným bitom, v prípade potreby doplniť najvýznamnejšiu trojicu nulami a nahradiť každú trojicu zodpovedajúcou osmičkovou číslicou. (Tabuľka 3).

Príklad. Preveďte číslo do osmičkovej číselnej sústavy.

8. Ak chcete previesť číslo z binárneho na hexadecimálne, musí byť rozdelené na tetrády (štyri číslice), počnúc najmenej významnou číslicou, ak je to potrebné, s pridaním nuly k vyššej tetráde a nahradiť každú tetrádu zodpovedajúcou osmičkovou číslicou (tabuľka 3).