Markovova sieť- Markovova sieť, Markovovo náhodné pole alebo neorientovaný grafický model je grafický model, v ktorom množina náhodných premenných má Markovovu vlastnosť opísanú neorientovaným grafom. Sieť Markov je iná ... Wikipedia

ROZSAH VEKTOR- vektorová štatistika R = = (R1,..., Rn), zostrojená z náhodného vektora pozorovaní X = (X 1 ..., X n), i-tá zložka k roju Ri = Ri (X), i = 1,2,. ... ., n, je určené pravidlom kde je charakteristická funkcia množiny, čiže štatistika Ri sa nazýva ... Encyklopédia matematiky

PODMIENENÁ DISTRIBÚCIA- funkcia elementárnej udalosti a borelovej množiny, ktorá je pre každú fixnú elementárnu udalosť rozdelením pravdepodobností a pre každú fixnú borelovu množinu je podmienená pravdepodobnosť. Nech je pravdepodobnostná ...... Encyklopédia matematiky

GAUSSOV ZÁKON je všeobecný názov pre normálne rozdelenie. Názov je spojený s úlohou, ktorú toto rozdelenie zohráva v chybách teórie K. Gaussa. Hustoty (pôvodne sa volali G. z.) Objavili sa u K. Gaussa v op. Teória pohybu ...... Encyklopédia matematiky

Náhodné vektory

Spoločné rozdelenie hustoty pravdepodobnosti dvoch náhodných premenných

Nech má funkcia derivácie vzhľadom na, ako aj druhú zmiešanú deriváciu. Spoločná (alebo dvojrozmerná) hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodných premenných je funkcia

Uvažujme o hlavných vlastnostiach dvojrozmernej hustoty pravdepodobnosti.

1. Pomer je spravodlivý:

Na dôkaz používame rovnosť (51.1), potom:

Teraz rovnosť (50.2) znamená (51.2). Tento pomer má praktický význam, pretože vám umožňuje vypočítať pravdepodobnosť, že dvojrozmerný vektor spadne do obdĺžnika definovaného segmentmi a hustotou pravdepodobnosti.

2. Zvážte konkrétny prípad vzťahu (51.2). Nech, potom (51.2) má tvar:

Tento vzťah definuje funkciu rozdelenia pravdepodobnosti prostredníctvom hustoty pravdepodobnosti a je inverzný vzhľadom na rovnosť (51.1).

3. Uvažujme (51.2) za podmienok:, potom z (51.2) vyplýva rovnosť:

pretože - ako pravdepodobnosť určitej udalosti. Vzťah (51.5) sa nazýva normalizačná podmienka pre hustotu pravdepodobnosti.

4. Ak je hustota pravdepodobnosti vektora a je hustota pravdepodobnosti náhodnej premennej, potom

Táto rovnosť sa nazýva konzistencia hustoty druhého rádu a hustoty prvého rádu. Ak je známa hustota druhého rádu, potom pomocou vzorca (51.6) je možné vypočítať hustotu pravdepodobnosti - náhodnú premennú. podobne,

Dôkaz (51.6) získame na základe rovnosti

Znázorňujeme cez hustotu podľa (51.4) a cez, potom z (51.8) to vyplýva

Diferenciácia (51.9) vzhľadom na vedie k rovnosti (51.6), čím je dôkaz ukončený.

5. Náhodné premenné a nazývajú sa nezávislé, ak sú náhodné udalosti nezávislé a pre ľubovoľné čísla a. Pre nezávislé náhodné premenné a:

Dôkaz vyplýva z definícií funkcií a,. Keďže a sú nezávislé náhodné premenné, udalosti tvaru: a sú nezávislé pre ľubovoľné a. Preto

Platí rovnosť (51.10). Diferencujeme (51.10) vzhľadom na a potom podľa (51.1) získame dôsledok pre hustoty:

6. Nech je teda ľubovoľná doména v rovine

Pravdepodobnosť, že vektor nadobudne akékoľvek hodnoty z oblasti, je určená integrálom nad hustotou pravdepodobnosti.

Uvažujme príklad náhodného vektora s rovnomerným rozdelením pravdepodobnosti, ktorý má hustotu pravdepodobnosti na obdĺžniku a mimo tohto obdĺžnika. Počet je určený z podmienok normalizácie:

Príspevok B.V Gnedenko vo vývoji teórie pravdepodobnosti

V 30. rokoch 20. storočia upútali pozornosť Borisa Vladimiroviča problémy súvisiace so sčítavaním nezávislých náhodných premenných. Záujem o takéto problémy sa objavil v matematike už v 17. storočí ...

Matematické štatistiky

Pomocou bodových odhadov parametrov zákona normálneho rozdelenia zapíšte hustotu pravdepodobnosti a distribučnú funkciu ...

Spojité náhodné premenné. Zákon normálneho rozdelenia

Nech je spojitá náhodná premenná X daná hustotou rozdelenia f (x). Predpokladajme, že všetky možné hodnoty X patria do segmentu [a, b]. Tento segment rozdelíme na n čiastkových segmentov dĺžky ...

Náhodné vektory

Pri problémoch s náhodným výsledkom je zvyčajne potrebné brať do úvahy interakciu viacerých náhodných premenných. To prirodzene vedie ku konceptu viacrozmerných (vektorových) náhodných premenných alebo súboru niekoľkých náhodných premenných ...

Náhodné vektory

Podmienená hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej za podmienky sa nazýva funkcia:. (53.1) Vzťah (52.5) ​​dosadíme do (53.1). (53.2) Z toho vyplýva. (53.3) - vzorec na násobenie hustôt ...

Náhodné vektory

Pre nezávislé náhodné premenné a kovarianciu. Naproti tomu budeme uvažovať o ďalšom extrémnom prípade, keď náhodné premenné a sú spojené funkčnou závislosťou:, (56.1) kde sú čísla. Vypočítajme kovarianciu náhodných premenných a:. (56...

Náhodné vektory

Nech má náhodný vektor funkciu rozdelenia pravdepodobnosti a existuje parciálna derivácia, (61.1) potom sa funkcia nazýva hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodného vektora alebo - nameraná hustota pravdepodobnosti ...

Náhodné vektory

Nech sú náhodné premenné so spoločnou hustotou a spoločnou funkciou rozdelenia pravdepodobnosti. Uveďme aj funkcie a premenné. Namiesto argumentov funkcií dosadíme náhodné premenné, potom (64 ...

Náhodné vektory

66.1. Vzťah (65.11), ktorý určuje hustotu pravdepodobnosti transformovanej veličiny z hľadiska hustoty pôvodnej náhodnej premennej, možno zovšeobecniť na prípad transformácie náhodných veličín ...

Náhodné procesy

Ak má deriváciu (71.1), potom sa táto derivácia nazýva -rozmerná hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodného procesu. Základné vlastnosti hustoty (71 ...

Teória pravdepodobnosti

Náhodná veličina je veličina, ktorej číselná hodnota sa môže meniť v závislosti od výsledku stochastického experimentu. Diskrétna je náhodná premenná, ktorej možné hodnoty tvoria konečnú množinu ...

Teória pravdepodobnosti

Náhodná veličina je veličina, ktorej číselná hodnota sa môže meniť v závislosti od výsledku stochastického experimentu. Spojitá je náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z určitého intervalu ...

Teória pravdepodobnosti a náhodné premenné

Nech je spojitá náhodná premenná X daná distribučnou funkciou f (x). Predpokladajme, že všetky možné hodnoty náhodnej premennej patria do segmentu. Definícia. Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej X ...

Čo je náhodná premenná

Existujú dva typy náhodných premenných: diskrétne a spojité. Diskrétne sú tie náhodné premenné, ktorých množina hodnôt je konečná alebo pevná. Príklad diskrétnej náhodnej premennej...

Prvky teórie pravdepodobnosti

Matematické očakávanie: Hodnota (6) sa nazýva matematické očakávanie. V podstate ide o priemer daný implementačnou váhou aktuálnej hodnoty. Aby sme objasnili pojem hmotnosti, predpokladajme, že ide o diskrétnu veličinu...

Medzi prúdmi výsledkov udalosti X a udalosti Y je nula. Ak by teda došlo k stochastickej nezávislosti, potom by sa dalo očakávať, že pravdepodobnosť X = 0 a Y = 3 by sa rovnala (6/27) (8/27) = 0,222 0,0658 = 0,0658. Namiesto toho je táto pravdepodobnosť nulová, čím sa potvrdzuje prijatá teoréma podmienenej pravdepodobnosti, že hustoty spojov nemožno odvodiť z nepodmienených hustôt komponentov.

Bolo známe, ako určiť korelačný koeficient v prítomnosti iba hustoty spoja a bezpodmienečných hustôt, ale dlho sa verilo, že nie je možné určiť hustotu spoja, pretože má iba nepodmienené hustoty a korelačný koeficient tokov. . A presne toto som potreboval.

FUNKCIA HUSTOTY SPOJNEJ ROZDELENIA

Uvažujme systém simultánnych rovníc (2.1), pre ktoré sú splnené podmienky normality (podmienka 1) a poradia (podmienka 2). Potom (i) hustota spoja (y / 1,..., R / n) závisí od (Bo, T0, Ho) len prostredníctvom parametrov redukovanej formy (Po, o) 5 (n) Po a 1 sú globálne identifikovateľné.

Skutočne, nech

náhodný vektor obmedzení b. Distribučná hustota komponentu 6 je rovná

F označujeme hustotu spoločného rozloženia zložiek vektora b (w).

Tento vzorec možno použiť na určenie spoločnej pravdepodobnosti (hustoty spoločnej pravdepodobnosti) týchto SW

Spoločná pravdepodobnosť, spoločná distribučná funkcia, spoločná hustota pravdepodobnosti nedávajú jasnú predstavu o správaní každej zo zložiek uvažovaného RV a ich vzájomnom vzťahu. V tomto prípade je možné zostrojiť distribučné zákony každej zo zložiek viacrozmerného SV. Navyše každá z nich nadobúda rovnaké hodnoty, ale so zodpovedajúcimi hraničnými pravdepodobnosťami alebo hraničnými distribučnými funkciami vypočítanými podľa vzorcov (1.23), (1.24). Napríklad dvojrozmerné diskrétne SV (X, Y) možno špecifikovať vo forme tabuľky

Čo je spoločná pravdepodobnosť, spoločná distribučná funkcia, spoločná hustota pravdepodobnosti

Uveďte príklad spoločného rozdelenia hustoty pravdepodobnosti dvoch náhodných premenných a nakreslite ich čiary úrovne pre rôzne hodnoty korelačného koeficientu týchto premenných.

Tento predpoklad možno analyticky prepísať takto: aktívum / -a korporácia generuje tok príjmov X, (1), X, (2), ..., X, (T). Prvky tohto toku sú náhodné premenné, ktoré majú spoločnú hustotu distribúcie v tvare хЛ-У, (1), X, (2) ,. .., X, (T)]. Ziskovosť i-tého kor-

Budeme uvažovať najmä časové rady, pre ktoré je spoločné rozdelenie náhodných premenných X,. .., X má hustotu spoločného rozloženia p (x, x, ..., x).

Za týchto predpokladov má hustota spoločného rozloženia náhodných vektorov ul, ..., un tvar

Pretože u, = y, T - xtB, prechodom z premenných u1, ..., unc do premenných y1, ..., yn, dostaneme výraz pre spoločnú hustotu hodnôt vektorov y1 , ..., y v tvare

Je známe, že pre f (x) - f (x, y) dy a ftj (y) - f (x, y) dx je hustota spoja

Všetky tieto podmienené hustoty sú ľahko vyjadrené ako hustota spoja

V dôsledku kombinovaného vplyvu náhodných a systematických faktorov sú technologické parametre a parametre produktu náhodnými veličinami. Zvyčajne sú rozdelené podľa normálneho alebo skráteného normálneho zákona s hustotou rozdelenia f (x) (-)]

Za tristo rokov spoločnej energickej činnosti mnohých generácií fyzikov a matematikov sa podarilo postaviť harmonickú budovu – systém matematických modelov fyzikálnych procesov. Táto budova má veľa poschodí. Je založená na princípoch, ktoré slúžia ako základ pre modely fyzikálnych javov. Tieto princípy sú produktom dlhého vývoja vedy, stelesňujú skúsenosť vplyvu človeka na okolitú prírodu, teda prax (vo filozofickom zmysle slova), v ktorej prírodný experiment zaujíma dôležité miesto v prírodné vedy. Tri princípy mechaniky, formulované Isaacom Newtonom, slúžia ako dostatočný základ pre zostavovanie matematických modelov v mechanike v prípade, keď je možné objekty, ktoré nás zaujímajú, popísať s dostatočnou mierou presnosti v podobe hmotných bodov a ich rýchlosti. je ďaleko od rýchlosti svetla. Objekty tohto druhu zahŕňajú širokú triedu študovaných javov, od kmitov kyvadla až po riadený let kozmickej lode. Pridaním k trom newtonovským princípom princípy popisu deformácie tuhého telesa už môžeme popísať interakciu tuhých telies s konečnými rozmermi. K Newtonovým princípom sa pridá princíp považovania kvapaliny za spojité, spojité médium (teda zanedbanie jej molekulovej štruktúry), princíp popisu vzťahu medzi hustotou a tlakom, ako aj princíp zachovania hmotnosti, ktorý má tzv. tvaru rovnice kontinuity prostredia získame matematický model kvapaliny.

Z tohto príkladu môžete vidieť, že súčet pravdepodobností v prvom stĺpci by sa mal rovnať bezpodmienečnej hustote spojenej so stĺpcom Good Outcomes (0,4). To znamená, že súčet spoločných pravdepodobností vojny, krízy, stagnácie, mieru a prosperity na jednej strane a dobrých výsledkov na strane druhej sa musí presne rovnať 0,4.

Všimnite si, že ak požadujete, aby boli pravdepodobnosti spojov v každom riadku a v každom stĺpci sčítané do bezpodmienečnej hustoty spojenej s každým riadkom a každým stĺpcom (ako by malo), potom sa už nemusíte obávať skutočnosti, že žiadny spoj pravdepodobnosti by presiahli hornú hranicu (a pokiaľ sú všetky vaše spoločné pravdepodobnosti väčšie alebo rovné 0, ako by malo byť, nemusíte sa obávať, že prekročia spodnú hranicu). Navyše, ak sa spoločné pravdepodobnosti v každom riadku a v každom stĺpci rovnajú bezpodmienečným hustotám spojeným s každým riadkom a každým stĺpcom, potom

Známa veta o podmienených pravdepodobnostiach, ktorá tvrdila, že z nepodmienených hustôt pravdepodobnosti komponentov sa nedá získať spoločná hustota pravdepodobnosti, mi spôsobila skutočné utrpenie. Podľa tradičného hľadiska sa verilo, že pri absencii stochastickej nezávislosti je funkcia spoločnej hustoty pravdepodobnosti jedinečná, úplne nezávislá, ktorá sa objavuje akoby odnikiaľ. To znamená, že nie je vyjadrená prostredníctvom funkcií bezpodmienečné hustoty komponentov, ale existuje nová, nezávislá funkcia hustoty pravdepodobnosti, ktorú nemožno obnoviť z funkcií nepodmienených hustôt komponentov. Aby ste to overili, zvážte nasledujúcu tabuľku, požičanú od Fellera, ktorú sme graficky znázornili na obr. 3.1.

Moderná albánska spoločnosť je stále menej ovplyvnená industrializáciou ako ktorákoľvek iná európska krajina, rast miest, migrácia obyvateľstva z dedín do miest, z jedného mesta do druhého, presídľovanie ľudí pracujúcich v tom istom podniku v rôznych častiach mesta, fragmentácia (nuklearizácia) rodín v tejto krajine nezašla tak ďaleko ako povedzme v Rusku. Susedia poznajú od detstva nielen na dedinách, ale aj v mestách Albánska