Markovova sieť- Markovova sieť, Markovovo náhodné pole alebo neorientovaný grafický model je grafický model, v ktorom množina náhodných premenných má Markovovu vlastnosť opísanú neorientovaným grafom. Sieť Markov je iná ... Wikipedia

HODNOTNÝ VEKTOR- vektorová štatistika R= =(R1, . . ., Rn), zostavená z náhodného vektora pozorovaní X= (Х 1 . .., Х n), zložka i k roju Ri=Ri(X), i= l, 2, . . ., n, je určené pravidlom, kde je charakteristická funkcia množiny, t.j. štatistika Ri sa nazýva ... Matematická encyklopédia

PODMIENENÁ DISTRIBÚCIA je funkciou elementárnej udalosti a Borelovej množiny, čo je rozdelenie pravdepodobnosti pre každú fixnú elementárnu udalosť a podmienená pravdepodobnosť pre každú fixnú Borelovu množinu. Nech je pravdepodobnostná ...... Matematická encyklopédia

GAUSSOV ZÁKON je bežný názov pre normálne rozdelenie. Názov je spojený s úlohou, ktorú toto rozdelenie zohráva v chybách teórie K. Gaussa. Hustoty (pôvodne sa volali G. z.) sa objavili u K. Gaussa v op. Teória pohybu ...... Matematická encyklopédia

Medzi tokmi výsledkov udalosti X a udalosti Y sa rovná nule. Preto, ak by existovala stochastická nezávislosť, potom by sa dalo očakávať, že pravdepodobnosť X = 0 a Y = 3 by sa rovnala (6/27) (8/27) = 0,222 0,0658 = 0,0658. Namiesto toho je táto pravdepodobnosť nulová, čím sa potvrdzuje prijatá teoréma podmienenej pravdepodobnosti, že hustoty spojov nemožno odvodiť z nepodmienených hustôt komponentov.

Bolo známe, ako určiť korelačný koeficient v prítomnosti iba hustoty spoja a bezpodmienečných hustôt, ale dlho sa verilo, že nie je možné určiť hustotu spoja, pretože má iba nepodmienené hustoty a korelačný koeficient tokov. A presne to som potreboval.

FUNKCIA HUSTOTY KĹBOV

Uvažujme systém simultánnych rovníc (2.1), pre ktoré sú splnené podmienky normality (podmienka 1) a poradia (podmienka 2). Potom (i) hustota spoja (r/1, ... r/n) závisí od (B0, R0, Ho) len prostredníctvom parametrov redukovanej formy (R0, o)5 (n) R0 a 1 sú globálne identifikovateľné.

Skutočne, nech

náhodný vektor obmedzenia b. Distribučná hustota komponentu 6 je rovná

Označme f hustotu spoločného rozloženia zložiek vektora b(w).

Pomocou tohto vzorca môžete určiť spoločnú pravdepodobnosť (hustotu spoločnej pravdepodobnosti) týchto SW

Spoločná pravdepodobnosť, spoločná distribučná funkcia, spoločná hustota pravdepodobnosti nedávajú jasnú predstavu o správaní každej zo zložiek uvažovaného SW a ich vzájomnom vzťahu. V tomto prípade je možné skonštruovať distribučné zákony pre každú zo zložiek viacrozmerného SW. Navyše každá z nich nadobúda rovnaké hodnoty, ale so zodpovedajúcimi hraničnými pravdepodobnosťami alebo hraničnými distribučnými funkciami vypočítanými podľa vzorcov (1.23), (1.24). Napríklad dvojrozmerný diskrétny SW (X, Y) môže byť uvedený v tabuľkovej forme

Čo je spoločná pravdepodobnosť, spoločná distribučná funkcia, spoločná hustota pravdepodobnosti

Uveďte príklad spoločnej hustoty rozdelenia pravdepodobnosti dvoch náhodných premenných a nakreslite ich čiary úrovne pre rôzne hodnoty korelačného koeficientu týchto premenných.

Tento predpoklad možno analyticky prepísať nasledovne: aktívum /-a korporácia generuje tok príjmov X, (1), X, (2), ..., X, (T). Prvky tohto prúdu sú náhodné premenné, ktoré majú spoločnú hustotu distribúcie v tvare xL-Y, (1), X, (2). .., X, (T)]. Ziskovosť i-tého kor-

Budeme uvažovať hlavne časové rady , ktoré majú spoločné rozdelenie náhodných premenných X, . .., X má hustotu spoločného rozdelenia p(x, x, ..., x).

Za takýchto predpokladov má hustota spoločného rozloženia náhodných vektorov ul,...,un tvar

Keďže u, = y,T - xtB, prechodom z premenných u1,...,unk do premenných y1,...,yn, dostaneme výraz pre združenú hustotu hodnôt vektorov y1 ,...,y vo forme

Je známe, že pre f (x)- f(x,y)dy a ftj(y)- f(x,y)dx je hustota spoja

Všetky tieto podmienené hustoty sú ľahko vyjadrené ako hustota spoja

V dôsledku kombinovaného vplyvu náhodných a systematických faktorov sú technologické parametre a parametre produktu náhodnými veličinami. Zvyčajne sú rozdelené podľa normálneho alebo skráteného normálneho rozdelenia s hustotou rozdelenia f(x) (-)]

Za tristo rokov spoločnej aktívnej práce mnohých generácií fyzikov a matematikov sa podarilo postaviť harmonickú budovu – systém matematických modelov fyzikálnych procesov. Táto budova má veľa poschodí. Vychádza z princípov, ktoré slúžia ako základ pre modely fyzikálnych javov. Tieto princípy sú produktom dlhého vývoja vedy, stelesňujú skúsenosť ľudského vplyvu na prírodu okolo neho, teda prax (vo filozofickom zmysle slova), v ktorej zaujíma dôležité miesto v prírodných vedách. prirodzeným experimentom. Tri princípy mechaniky, formulované Isaacom Newtonom, slúžia ako dostatočný základ pre zostavovanie matematických modelov v mechanike v prípade, keď je možné objekty, ktoré nás zaujímajú, popísať s dostatočnou mierou presnosti v podobe hmotných bodov a ich rýchlostí. sú ďaleko od rýchlosti svetla. Objekty tohto druhu zahŕňajú širokú triedu študovaných javov, od oscilácií kyvadla až po riadený let kozmickej lode. Pridaním k trom newtonovským princípom princípov popisu deformácie pevného telesa už môžeme opísať interakciu pevných telies s konečnými rozmermi. K Newtonovým princípom sa pripojí princíp považovania kvapaliny za spojité, spojité médium (t. j. zanedbanie jej molekulovej štruktúry), princíp popísania vzťahu medzi hustotou a tlakom, ako aj princíp zachovania hmoty, ktorá má tvar rovnice strednej kontinuity získame matematický model kvapaliny.

Tento príklad ukazuje, že súčet pravdepodobností v prvom stĺpci by sa mal rovnať bezpodmienečnej hustote spojenej so stĺpcom Good Outcomes (0,4). To znamená, že súčet spoločných pravdepodobností vojny, krízy, stagnácie, mieru a prosperity na jednej strane a dobrých výsledkov na strane druhej sa musí presne rovnať 0,4.

Všimnite si, že ak požadujete, aby súčet spoločných pravdepodobností v každom riadku a každom stĺpci s bezpodmienečnou hustotou spojenou s každým riadkom a každým stĺpcom (ako by mal), potom sa už nemusíte starať o žiadnu spoločnú pravdepodobnosť, ktorá by neprekročila hornú hranicu. (a pokiaľ sú všetky vaše spoločné pravdepodobnosti väčšie alebo rovné 0, ako by mali byť, nemusíte sa obávať, že prekročia spodnú hranicu). Okrem toho, ak sa spoločné pravdepodobnosti v každom riadku a každom stĺpci rovnajú bezpodmienečným hustotám spojeným s každým riadkom a každým stĺpcom, potom

Skutočnú bolesť mi spôsobila známa veta o podmienených pravdepodobnostiach, ktorá hovorí, že z nepodmienených hustôt pravdepodobnosti komponentov nemožno získať spoločnú hustotu pravdepodobnosti. Podľa tradičného hľadiska sa verilo, že pri absencii stochastickej nezávislosti je spoločná funkcia hustoty pravdepodobnosti jedinečná, úplne nezávislá, ktorá sa objavuje akoby odnikiaľ. To znamená, že nie je vyjadrená funkciami bezpodmienečného hustoty komponentov, ale existuje nová, nezávislá funkcia hustoty pravdepodobnosti, ktorú nemožno obnoviť z funkcií bezpodmienečných hustôt komponentov. Aby ste to videli, zvážte nasledujúcu tabuľku, požičanú od Fellera, ktorú sme graficky znázornili na obr. 3.1.

Moderná albánska spoločnosť je stále menej ovplyvnená industrializáciou ako ktorákoľvek iná európska krajina, rast miest, migrácia obyvateľstva z dedín do miest, z jedného mesta do druhého, presídľovanie ľudí pracujúcich v tom istom podniku v rôznych častiach krajiny. Mesto, fragmentácia (nuklearizácia) rodín v tejto krajine nezašla tak ďaleko, ako napríklad v Rusku. Nielen na dedinách, ale aj v mestách Albánska susedia poznajú z detstva

Náhodné vektory

Spoločná hustota pravdepodobnosti dvoch náhodných premenných

Nech má funkcia derivácie vzhľadom na, ako aj druhú zmiešanú deriváciu. Spoločná (alebo dvojrozmerná) hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodných premenných je funkciou

Uvažujme o hlavných vlastnostiach dvojrozmernej hustoty pravdepodobnosti.

1. Spravodlivý pomer:

Na dôkaz používame rovnosť (51.1), potom:

Teraz (50.2) znamená (51.2). Tento pomer má praktický význam, pretože umožňuje vypočítať pravdepodobnosť, že dvojrozmerný vektor spadne do obdĺžnika definovaného segmentmi a hustotou pravdepodobnosti.

2. Zvážte konkrétny prípad vzťahu (51.2). Nech, potom (51.2) má tvar:

Tento vzťah definuje funkciu rozdelenia pravdepodobnosti v zmysle hustoty pravdepodobnosti a je inverznou hodnotou k rovnosti (51.1).

3. Uvažujme (51.2) za podmienok: , potom z (51.2) vyplýva rovnosť:

pretože - ako pravdepodobnosť určitej udalosti. Vzťah (51.5) sa nazýva normalizačná podmienka pre hustotu pravdepodobnosti.

4. Ak je hustota pravdepodobnosti vektora a je hustota pravdepodobnosti náhodnej premennej, potom

Táto rovnosť sa nazýva konzistencia hustoty druhého rádu a hustoty prvého rádu. Ak je známa hustota druhého rádu, potom pomocou vzorca (51.6) je možné vypočítať hustotu pravdepodobnosti - náhodnú premennú. podobne,

Dôkaz (51.6) získame na základe rovnosti

Znázorňujeme cez hustotu podľa (51.4) a cez, potom z (51.8) to vyplýva

Diferenciácia (51.9) vzhľadom na vedie k rovnosti (51.6), čím je dôkaz ukončený.

5. Náhodné premenné a nazývame nezávislé, ak náhodné udalosti a sú nezávislé pre ľubovoľné čísla a. Pre nezávislé náhodné premenné a:

Dôkaz vyplýva z definícií funkcií a, . Keďže a sú nezávislé náhodné premenné, potom udalosti tvaru: a sú nezávislé pre ľubovoľné a. Takže

Rovnosť (51,10) je pravdivá. Diferencujeme (51.10) vzhľadom na u, potom podľa (51.1) získame dôsledok pre hustoty:

6. Nech - teda ľubovoľná oblasť v rovine

Pravdepodobnosť, že vektor získa akúkoľvek hodnotu z oblasti, je daná integrálom nad hustotou pravdepodobnosti.

Uvažujme príklad náhodného vektora s rovnomerným rozdelením pravdepodobnosti, ktorý má hustotu pravdepodobnosti na obdĺžniku a - mimo tohto obdĺžnika. Počet je určený z podmienok normalizácie:

Príspevok B.V. Gnedenko vo vývoji teórie pravdepodobnosti

V 30. rokoch 20. storočia upútali pozornosť Borisa Vladimiroviča problémy súvisiace so sčítavaním nezávislých náhodných premenných. Záujem o takéto problémy sa objavil v matematike už v 17. storočí...

Matematické štatistiky

Pomocou bodových odhadov parametrov zákona normálneho rozdelenia zapíšte hustotu pravdepodobnosti a distribučnú funkciu...

Spojité náhodné premenné. Zákon normálneho rozdelenia

Nech je spojitá náhodná premenná X daná hustotou rozdelenia f(x). Predpokladajme, že všetky možné hodnoty X patria do segmentu [a, b]. Rozdeľme tento segment na n čiastkových segmentov dĺžky,......

Náhodné vektory

Pri problémoch s náhodným výsledkom je zvyčajne potrebné brať do úvahy interakciu viacerých náhodných premenných. To prirodzene vedie ku konceptu viacrozmerných (vektorových) náhodných premenných, alebo množiny niekoľkých náhodných premenných...

Náhodné vektory

Podmienená hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej za podmienky je funkcia: . (53.1) Vzťah (52.5) ​​dosadíme do (53.1). (53.2) Z toho vyplýva. (53.3) - vzorec na násobenie hustôt...

Náhodné vektory

Pre nezávislé náhodné premenné a kovarianciu. Naproti tomu uvažujme ďalší extrémny prípad, keď náhodné premenné a súvisia funkčnou závislosťou: , (56.1) kde sú čísla. Vypočítajme kovarianciu náhodných premenných a: . (56...

Náhodné vektory

Nech má náhodný vektor funkciu rozdelenia pravdepodobnosti a existuje parciálna derivácia, (61.1) potom sa funkcia nazýva hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodného vektora alebo - rozmerová hustota pravdepodobnosti ...

Náhodné vektory

Nech sú náhodné premenné, ktoré majú spoločnú hustotu a funkciu spoločného rozdelenia pravdepodobnosti. Uveďme aj funkcie a premenné. Namiesto argumentov funkcie dosadíme náhodné premenné, potom (64...

Náhodné vektory

66.1. Vzťah (65.11), ktorý určuje hustotu pravdepodobnosti transformovanej premennej cez hustotu pôvodnej náhodnej premennej, možno zovšeobecniť na prípad transformácie náhodných premenných ...

náhodné procesy

Ak má deriváciu (71.1), potom sa táto derivácia nazýva -rozmerná hustota pravdepodobnosti náhodného procesu. Základné vlastnosti hustoty (71...

Teória pravdepodobnosti

Náhodná premenná je premenná, ktorej číselná hodnota sa môže meniť v závislosti od výsledku stochastického experimentu. Nazvime diskrétnu náhodnú premennú, ktorej možné hodnoty tvoria konečnú množinu...

Teória pravdepodobnosti

Náhodná premenná je premenná, ktorej číselná hodnota sa môže meniť v závislosti od výsledku stochastického experimentu. Spojitá premenná je náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z určitého intervalu...

Teória pravdepodobnosti a náhodné premenné

Nech je spojitá náhodná premenná X daná distribučnou funkciou f(x). Predpokladajme, že všetky možné hodnoty náhodnej premennej patria do intervalu . Definícia. Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej X...

Čo je náhodná premenná

Existujú dva typy náhodných premenných: diskrétne a spojité. Diskrétne sú tie náhodné premenné, ktorých množina hodnôt je konečná alebo pevná. Príklad diskrétnej náhodnej premennej...

Prvky teórie pravdepodobnosti

Matematické očakávanie: Hodnota (6) sa nazýva matematické očakávanie. V podstate ide o priemernú hodnotu, berúc do úvahy implementačnú váhu aktuálnej hodnoty. Aby sme objasnili pojem hmotnosti, akceptujeme, že ide o diskrétnu hodnotu ...