Integrály iracionálnych základných funkcií. Online kalkulačka: vypočítajte neurčitý integrál (antiderivát)

Iracionálna funkcia premennej je funkcia, ktorá je vytvorená z premennej a ľubovoľných konštánt pomocou konečného počtu operácií sčítania, odčítania, násobenia (umocnenie na celé číslo), delenia a extrakcie koreňov. Iracionálna funkcia sa líši od racionálnej funkcie tým, že iracionálna funkcia obsahuje operácie na extrakciu koreňov.

Existujú tri hlavné typy iracionálnych funkcií, ktorých neurčité integrály sú redukované na integrály racionálnych funkcií. Sú to integrály obsahujúce korene ľubovoľných celočíselných stupňov z lineárnej zlomkovej funkcie (odmocniny môžu mať rôzne stupne, ale z rovnakej lineárnej zlomkovej funkcie); integrály diferenciálneho binomu a integrály s druhou odmocninou štvorcového trinomu.

Dôležitá poznámka. Korene sú nejednoznačné!

Pri výpočte integrálov obsahujúcich odmocniny sa často stretávame s vyjadrením tvaru, kde je nejaká funkcia premennej integrácie. Treba mať na pamäti, že. Teda pre t> 0, | t | = t... Na t< 0, | t | = - t. Preto pri výpočte takýchto integrálov je potrebné samostatne uvažovať o prípadoch t> 0 a t< 0 ... Dá sa to urobiť napísaním značiek alebo tam, kde je to potrebné. Za predpokladu, že horné znamienko odkazuje na prípad t> 0 , a spodný - do prípadu t< 0 ... Pri ďalšej transformácii sa tieto znaky spravidla navzájom rušia.

Možný je aj druhý prístup, v ktorom integrand a výsledok integrácie možno považovať za komplexné funkcie komplexných premenných. Potom nemôžete sledovať znaky v radikálnych prejavoch. Tento prístup je použiteľný, ak je integrand analytický, to znamená diferencovateľná funkcia komplexnej premennej. V tomto prípade sú integrand aj jeho integrál viachodnotovými funkciami. Preto je po integrácii pri dosadzovaní číselných hodnôt potrebné vybrať jednohodnotovú vetvu (Riemannovu plochu) integrandu a pre ňu vybrať zodpovedajúcu vetvu výsledku integrácie.

Frakčná lineárna iracionalita

Toto sú integrály s koreňmi rovnakej lineárnej zlomkovej funkcie:
,
kde R je racionálna funkcia, sú racionálne čísla, m 1, n 1, ..., m s, n s sú celé čísla, α, β, γ, δ sú reálne čísla.
Takéto integrály sa substitúciou redukujú na integrál racionálnej funkcie:
, kde n je spoločný menovateľ čísel r 1, ..., r s.

Korene nemusia byť nevyhnutne z lineárnej zlomkovej funkcie, ale aj z lineárnej (γ = 0, 5 = 1), alebo na premennej integrácie x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Tu sú príklady takýchto integrálov:
, .

Integrály diferenciálnych dvojčlenov

Integrály diferenciálnych binomických jednotiek sú:
,
kde m, n, p sú racionálne čísla, a, b sú reálne čísla.
Takéto integrály sa v troch prípadoch redukujú na integrály racionálnych funkcií.

1) Ak p je celé číslo. Substitúcia x = t N, kde N je spoločný menovateľ zlomkov m a n.
2) Ak - celé. Substitúcia a x n + b = t M, kde M je menovateľ p.
3) Ak - celé. Substitúcia a + b x - n = t M, kde M je menovateľ p.

V iných prípadoch sa takéto integrály nevyjadrujú ako elementárne funkcie.

Niekedy je možné takéto integrály zjednodušiť pomocou redukčných vzorcov:
;
.

Integrály obsahujúce druhú odmocninu štvorcového trojčlenu

Takéto integrály majú tvar:
,
kde R je racionálna funkcia. Pre každý takýto integrál existuje niekoľko metód riešenia.
1) Pomocou transformácií dospieť k jednoduchším integrálom.
2) Použite trigonometrické alebo hyperbolické substitúcie.
3) Použiť Eulerove substitúcie.

Pozrime sa bližšie na tieto metódy.

1) Transformácia integrandu

Použitím vzorca a vykonaním algebraických transformácií privedieme integrand do tvaru:
,
kde φ (x), ω (x) sú racionálne funkcie.

Typ I

Integrál formulára:
,
kde P n (x) je polynóm stupňa n.

Takéto integrály sa nachádzajú metódou nedefinovaných koeficientov pomocou identity:

.
Diferencovaním tejto rovnice a porovnaním ľavej a pravej strany nájdeme koeficienty A i.

II typ

Integrál formulára:
,
kde P m (x) je polynóm stupňa m.

Substitúcia t = (x - a) -1 tento integrál je redukovaný na predchádzajúci typ. Ak m ≥ n, potom by sa mala vybrať celá časť zlomku.

III typ

Tu urobíme náhradu:
.
Potom bude mať integrál tvar:
.
Ďalej musia byť konštanty α, β zvolené tak, aby koeficienty v t v menovateli zmizli:
B = 0, B1 = 0.
Potom sa integrál rozloží na súčet integrálov dvoch typov:
,
,
ktoré sú integrované substitúciami:
u2 = A1t2 + C1,
v2 = Ai + Cit-2.

2) Trigonometrické a hyperbolické substitúcie

Pre integrály tvaru a > 0 ,
máme tri hlavné substitúcie:
;
;
;

Pre integrály, a > 0 ,
máme nasledujúce náhrady:
;
;
;

A nakoniec, pre integrály, a > 0 ,
náhrady sú nasledovné:
;
;
;

3) Eulerove substitúcie

Integrály možno tiež zredukovať na integrály racionálnych funkcií jednej z troch Eulerových substitúcií:
, pre a > 0;
, pre c> 0;
, kde x 1 je koreň rovnice a x 2 + b x + c = 0. Ak má táto rovnica skutočné korene.

Eliptické integrály

Na záver zvážte integrály tvaru:
,
kde R je racionálna funkcia,. Takéto integrály sa nazývajú eliptické. Vo všeobecnosti nie sú vyjadrené z hľadiska elementárnych funkcií. Sú však prípady, keď medzi koeficientmi A, B, C, D, E existujú vzťahy, v ktorých sú takéto integrály vyjadrené v elementárnych funkciách.

Nižšie je uvedený príklad súvisiaci s návratovými polynómami. Výpočet takýchto integrálov sa vykonáva pomocou substitúcií:
.

Príklad

Vypočítajte integrál:
.

Riešenie

Robíme striedanie.

.
Tu pre x> 0 (u> 0 ) vezmeme horné znamienko ′ + ′. Pre x< 0 (u< 0 ) - nižšie "-".

.

Odpoveď

Referencie:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, "Lan", 2003.

Táto časť sa bude zaoberať metódou integrácie racionálnych funkcií. 7.1. Stručné informácie o racionálnych funkciách Najjednoduchšia racionálna funkcia je polynóm desiateho stupňa, tj. funkciou tvaru kde sú reálne konštanty a a0 Φ 0. Polynóm Qn (x), pre ktorý koeficient a0 = 1 " sa nazýva redukovaný. Reálne číslo b sa nazýva koreň polynómu Qn (z), ak Qn (b) = 0. Je známe, že každý polynóm Qn (x) s reálnymi koeficientmi sa jednoznačne rozkladá na reálne faktory v tvare, kde p, q sú reálne koeficienty a kvadratické faktory nemajú skutočné korene, a preto sú nerozložiteľné na skutočné lineárne faktory. Skombinovaním rovnakých faktorov (ak existujú) a za predpokladu, že pre jednoduchosť je polynóm Qn (x) zmenšený, môžeme zapísať jeho rozklad v tvare, kde sú prirodzené čísla. Keďže stupeň polynómu Qn (x) sa rovná n, súčet všetkých exponentov a, / 3, ..., A, sčítaných s dvojnásobným súčtom všetkých exponentov ui, ..., q, je rovný n: Koreň a polynómu sa nazýva jednoduchý alebo jednoduchý, ak a = 1, a násobný, ak a> 1; číslo a sa nazýva násobnosť koreňa a. To isté platí pre ostatné korene polynómu. Racionálna funkcia f (x) alebo racionálny zlomok je podiel dvoch polynómov a predpokladá sa, že polynómy Pm (x) a Qn (x) nemajú žiadne spoločné faktory. Racionálny zlomok sa nazýva správny, ak je stupeň polynómu v čitateli menší ako stupeň polynómu v menovateli, t.j. Ak mn, potom sa racionálny zlomok nazýva nesprávny a v tomto prípade po delení čitateľa menovateľom podľa pravidla delenia polynómov môže byť reprezentovaný v tvare, kde sú niektoré polynómy a ^^ je pravidelný racionálny zlomok . Príklad 1. Racionálny zlomok je nepravidelný zlomok. Delením podľa "rohu" budeme mať Následne. Tu. a pravidelný zlomok. Definícia. Najjednoduchšie (alebo elementárne) zlomky sú racionálne zlomky nasledujúcich štyroch typov: kde sú reálne čísla, k je prirodzené číslo väčšie alebo rovné 2 a štvorcová trojčlenka x2 + px + q nemá žiadne skutočné korene, takže - 2 _2 je jeho diskriminant V algebre je dokázaná nasledujúca veta. Veta 3. Pravidelný racionálny zlomok s reálnymi koeficientmi, ktorého menovateľ Qn (x) má tvar jedinečným spôsobom rozložený na súčet elementárnych zlomkov podľa pravidla Integrácia racionálnych funkcií Stručné informácie o racionálnych funkciách Integrácia elementárnych zlomkov Všeobecný prípad Integrácia iracionálnych funkcií Prvá Eulerova substitúcia Druhá Eulerova substitúcia Tretia Eulerova substitúcia V tomto expanzii - niektoré reálne konštanty, z ktorých niektoré sa môžu rovnať nule. Na nájdenie týchto konštánt sa pravá strana rovnosti (I) zredukuje na spoločného menovateľa a potom sa koeficienty s rovnakými mocninami x v čitateľoch ľavej a pravej strany vyrovnajú. To dáva systém lineárnych rovníc, z ktorých sa nachádzajú požadované konštanty. ... Táto metóda zisťovania neznámych konštánt sa nazýva metóda nedefinovaných koeficientov. Niekedy je vhodnejšie použiť iný spôsob hľadania neznámych konštánt, ktorý spočíva v tom, že po zrovnoprávnení čitateľov sa získa identita vzhľadom na x, v ktorej sú argumentu x priradené niektoré hodnoty, napr. hodnoty koreňov, v dôsledku ktorých sa získajú rovnice na nájdenie konštánt. Zvlášť vhodné je, ak má menovateľ Q „(x) len skutočné jednoduché korene. Príklad 2. Rozložte racionálny zlomok na jednoduché zlomky Tento zlomok je pravidelný. Menovateľ rozložíme na činitele ate: Keďže korene menovateľa sú skutočné a rôzne, potom na základe vzorca (1) bude mať rozklad zlomku na elementárne prvky tvar Neznáme ku koeficientu A. 2? , C sa nachádzajú dvoma spôsobmi. Prvý spôsob. Zrovnoprávnenie koeficientov pri rovnakých mocninách x, t.j. at (voľný člen) a na ľavej a pravej strane identity získame lineárnu sústavu rovníc na nájdenie neznámych koeficientov A, B, C: Táto sústava má jedinečné riešenie C Druhý spôsob. Tek ako korene menovateľa sú roztrhané stv v i 0, dostaneme 2 = 2A, odkiaľ A * 1; r i 1, dostaneme -1 * -B, odkiaľ 5 * 1; x i 2, dostaneme 2 = 2C. odkiaľ С »1, a požadovaný rozklad má tvar 3. Rozvinieme neelementárne zlomky, racionálny zlomok 4 Polynóm stojaci na enayewle rozložíme na faktory:. Menovateľ má dva rôzne dvojité korene: x \ = 0 násobnosti 3. Rozšírenie tohto zlomku preto nie je najjednoduchšie. Redukovaním pravej strany na spoločného menovateľa nájdeme buď Prvý spôsob. Vyrovnanie koeficientov pri rovnakých mocninách x na ľavej a pravej strane poslednej identity. získame lineárnu sústavu rovníc Táto sústava má jedinečné riešenie a požadované rozšírenie bude Druhá metóda. Vo výslednej identite pri nastavení x = 0 dostaneme 1 a A2, alebo A2 = 1; pole * gay x = -1, dostaneme -3 i B), alebo Bj i -3. Pri dosadení zistených hodnôt koeficientov A \ a B) a bude mať identita tvar alebo Za predpokladu, že x = 0, a potom x = -I. zistíme, že = 0, B2 = 0 a. teda B \ = 0. Opäť dostaneme príklad 4. Rozviňte racionálny zlomok na jednoduché zlomky 4 Menovateľ zlomku nemá reálne korene, pretože funkcia x2 + 1 nezaniká pre žiadne reálne hodnoty x. Preto by expanzia do najjednoduchších zlomkov mala mať tvar Z toho získame resp. Pri porovnávaní koeficientov pri Sshinakových mocninách x na ľavej a pravej strane poslednej rovnosti budeme mať odkiaľ nájdeme, a preto treba poznamenať, že v niektorých prípadoch možno expanzie na jednoduché zlomky získať rýchlejšie a jednoduchšie pôsobením iným spôsobom, bez použitia metódy neurčitých koeficientov. Napríklad, ak chcete získať rozšírenie zlomku v príklade 3, môžete sčítať a odčítať v čitateli Zx2 a vykonať delenie, ako je uvedené nižšie. 7.2. Integrácia elementárnych zlomkov. Ako bolo uvedené vyššie, každý nepravidelný racionálny zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet určitého polynómu a pravidelného racionálneho zlomku (§7), pričom toto zobrazenie je jedinečné. Integrácia polynómu nie je náročná, preto zvážime otázku integrácie pravidelného racionálneho zlomku. Pretože každý pravidelný racionálny zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet najjednoduchších zlomkov, jeho integrácia sa redukuje na integráciu najjednoduchších zlomkov. Zamyslime sa teraz nad otázkou ich integrácie. III. Aby sme našli integrál najjednoduchšieho zlomku tretieho typu, vyberieme zo štvorcového trojčlenu úplný štvorec dvojčlenu: Od druhého členu ho nastavíme na a2, kde a potom vykonáme substitúciu. Potom, berúc do úvahy lineárne vlastnosti integrálu, zistíme: Príklad 5. Nájdite integrál 4 Integrand je najjednoduchší zlomok tretieho typu, keďže štvorcová trojčlenka x1 + Ax + 6 nemá reálne korene (jeho diskriminant je zápor:, a v čitateli je polynóm prvého stupňa, preto postupujeme nasledovne: 1) vyberieme úplný štvorec v menovateli 2) vykonáme substitúciu (tu 3) za * jeden integrál Aby sme našli integrál najjednoduchší zlomok štvrtého typu, dáme, ako je uvedené vyššie,. Potom získame Integrál na pravej strane, označíme ho A a transformujeme nasledovne: Integrál na pravej strane integrujeme po častiach, pričom určíme odkiaľ alebo Integrácia racionálnych funkcií Stručné informácie o racionálnych funkciách Integrácia jednoduchých zlomky Všeobecný prípad Integrácia iracionálnych funkcií Prvá Eulerova substitúcia Druhá Eulerova substitúcia Tretia Eulerova substitúcia Získali sme takzvaný rekurentný vzorec, ktorý nám umožňuje nájsť integrál Jk pre ľubovoľné k = 2, 3 ,. ... Integrál J \ je skutočne tabuľkový: Ak v opakujúcom sa vzorci nastavíme, zistíme, že poznáme a nastavíme A = 3, môžeme ľahko nájsť Jj atď. V konečnom dôsledku dosadením všade namiesto t a a ich vyjadrenia v x a koeficientoch p a q dostaneme pre počiatočný integrál jeho vyjadrenie v x a daných číslach M, AH, p, q. Príklad 8. Neytiho integrál „Integrovateľná funkcia je najjednoduchší zlomok štvrtého typu, keďže diskriminant štvorcového trinomu je záporný, tj. menovateľ teda nemá skutočné korene a čitateľ je polynóm 1. stupňa. 1) Prideľte plnú mocninu v menovateli 2) Vykonajte substitúciu: Integrál má tvar: Za predpokladu, že v rekurentnom vzorci * = 2, a3 = 1. budeme mať, a preto sa požadovaný integrál rovná. premennej x, nakoniec dostaneme 7,3. Všeobecný prípad Z výsledkov pp. Z 1 a 2 tejto časti okamžite vyplýva dôležitá veta. Veta! 4. Neurčitý integrál akejkoľvek racionálnej funkcie vždy existuje (na intervaloch, v ktorých je menovateľ zlomku Qn (x) Φ 0) a je vyjadrený ako konečný počet elementárnych funkcií, konkrétne ide o algebraický súčet. racionálne zlomky, prirodzené logaritmy a arkustangens. Aby sme teda našli neurčitý integrál zlomkovej racionálnej funkcie, mali by sme postupovať nasledovne: 1) ak je racionálny zlomok nesprávny, potom delením čitateľa menovateľom vyberieme celú časť, to znamená, že táto funkcia je reprezentovaná ako súčet polynómu a pravidelného racionálneho zlomku; 2) potom sa menovateľ získaného správneho zlomku rozloží na súčin lineárnych a kvadratických faktorov; 3) tento pravidelný zlomok sa rozloží na súčet najjednoduchších zlomkov; 4) pomocou linearity integrálu a vzorcov z bodu 2 sa integrály každého člena nachádzajú samostatne. Príklad 7. Nájdite integrál М Keďže menovateľom je polynóm tretieho kroku, integrand je nepravidelný zlomok. Vyčleňujeme v ňom celú časť: Preto budeme mať. Menovateľ pravidelného zlomku má phi rôznych skutočných koreňov: a preto jeho rozšírenie na jednoduché zlomky má tvar Z toho nájdeme. Ak argumentu x dáme hodnoty rovné koreňom menovateľa, z tejto identity zistíme, že: Následne sa požadovaný integrál bude rovnať príkladu 8. Nájdite integrál 4 Integrand je pravidelný zlomok, ktorého menovateľ má dva rôzne reálne korene: х - О násobnosti 1 a х = 1 násobnosti 3. Preto rozšírenie integrandu na najjednoduchšie zlomky má tvar Privedenie pravej strany tejto rovnosti k spoločnému menovateľovi a zrušenie oboch strán násobku rovnosti týmto menovateľom dostaneme resp. Zrovnáme koeficienty v rovnakých stupňoch x na ľavej a pravej strane tejto identity: Odtiaľto nájdeme. Dosadením zistených hodnôt koeficientov v expanzii dostaneme Integrovanie, nájdeme: Príklad 9. Nájdite integrál 4 Menovateľ zlomku nemá reálne korene. Preto expanzia do najjednoduchších zlomkov integrandu má tvar Odtiaľ alebo Pri rovnaní koeficientov pri rovnakých mocninách x na ľavej a pravej strane tejto identity, budeme mať odkiaľ nájdeme a teda Poznámka. V uvedenom príklade je možné integrand znázorniť ako súčet elementárnych zlomkov jednoduchším spôsobom, a to v čitateli zlomku vyberieme v menovateli dvojčlen a následne vykonáme členenie po členoch: § 8. Integrácia iracionálnych funkcií Funkcia tvaru reálnych konštánt, a Príklad 1, Funkcia je racionálnou funkciou premenných z a y, keďže predstavuje vzťah polynómu tretieho stupňa a polynómu piateho stupňa, resp. funkcia nie je tis. V prípade, že premenné sú zase funkciami premennej x: potom sa funkcia] nazýva racionálna funkcia príkladových funkcií. Funkcia je racionálna funkcia r a pvdikvlv Čiara 3. Funkcia tvaru nie je racionálnou funkciou x a radikálu y / r1 + 1, ale je racionálnou funkciou funkcií. Ako ukazujú príklady, integrály iracionálnych funkcií nie sú vždy vyjadrené elementárnymi funkciami. Napríklad integrály, ktoré sa často vyskytujú v aplikáciách, nie sú vyjadrené v termínoch elementárnych funkcií; tieto integrály sa nazývajú eliptické integrály prvého a druhého druhu. Uvažujme o prípadoch, keď integráciu iracionálnych funkcií možno pomocou niektorých substitúcií redukovať na integráciu racionálnych funkcií. 1. Predpokladajme, že je potrebné nájsť integrál, kde R (x, y) je racionálnou funkciou jeho argumentov x a y; m £ 2 - prirodzené číslo; a, 6, c, d sú reálne konštanty spĺňajúce podmienku ad - bc> 0 (pre ad - be = 0 sú koeficienty a a b úmerné koeficientom c a d, a preto pomer nezávisí od x; preto , v tomto prípade bude integrand racionálnou funkciou premennej x, o integrácii ktorej sa uvažovalo skôr). Urobme zmenu premennej v tomto integráli nastavením Premennú x teda vyjadríme pomocou novej premennej, máme x = - racionálnu funkciu t. Ďalej zistíme, alebo po zjednodušení, Preto, kde A1 (t) je racionálna funkcia *, keďže racionálna funkcia racionálnej funkcie, ako aj súčin racionálnych funkcií, sú racionálnymi funkciami. Vieme, ako integrovať racionálne funkcie. Nech Potom sa požadovaný integrál bude rovnať At. IVIt integrál 4 Funkcia integrand * je racionálna funkcia. Preto nastavíme t = Then Integrácia racionálnych funkcií Stručné informácie o racionálnych funkciách Integrácia elementárnych zlomkov Všeobecný prípad Integrácia iracionálnych funkcií Prvá Eulerova substitúcia Druhá Eulerova substitúcia Tretia Eulerova substitúcia Získame teda Primar 5. Nájdite integrál, ktorý môže byť funkcia reprezentovaná v tvare 1 _ 1_, z ktorého vidno, že ide o racionálnu funkciu: Berúc do úvahy toto, kladieme. Následne 2. Uvažujme intefps tvaru, kde subintefalická funkcia je taká, že nahradením radikálu \ / ax2 + bx + c v nej za y dostaneme funkciu R (x) y) - racionálnu vzhľadom na oba argumenty x a r. Tento integrál sa Eulerovými substitúciami redukuje na integrál racionálnej funkcie inej premennej. 8.1. Prvá Eulerova substitúcia Nech koeficient a> 0. Dáme alebo Nájdeme teda x ako racionálnu funkciu a teda naznačenú substitúciu vyjadrujeme racionálne cez *. Preto budeme mať kde Remark. Prvá Eulerova substitúcia môže byť tiež v tvare Príklad 6. Nájdite integrál Budeme mať teda dx Eulerovu substitúciu, ukážte, že Y 8.2. Druhá Eulerova substitúcia Nech má trinom ax2 + bx + c rôzne reálne korene λ] a x2 (koeficient môže mať ľubovoľné znamienko). V tomto prípade predpokladáme Odvtedy dostaneme Keďže x, dxn y / ax2 + be + c sú vyjadrené racionálne v t, pôvodný integrál je redukovaný na integrál racionálnej funkcie, teda kde Problém. Pomocou prvej Eulerovej substitúcie ukážte, že ide o racionálnu funkciu t. Príklad 7. Neytiho integrál dx M funkcia] - x1 má rôzne reálne korene. Preto aplikujeme druhú substitúciu na Eulera.Odtiaľto nájdeme Nahradenie nájdených výrezov do daného?V * gyvl; dostaneme 8.3. Tretia Eulerova rozvodňa Nech koeficient c> 0. Zmeňte premennú nastavením. Všimnite si, že prvá a druhá Eulerova substitúcia sú dostatočné na redukciu integrálu na integrál racionálnej funkcie. V skutočnosti, ak je diskriminant b2 -4ac> 0, potom korene štvorcového trinomického ax + bx + c sú reálne av tomto prípade je použiteľná druhá Eulerova substitúcia. Ak sa potom znamienko trojčlenky ax2 + bx + c zhoduje so znamienkom koeficientu a, a keďže trojčlen musí byť kladný, potom a> 0. V tomto prípade je použiteľná prvá Eulerova substitúcia. Na nájdenie integrálov vyššie uvedeného typu nie je vždy vhodné použiť Eulerove substitúcie, pretože pre ne je možné nájsť iné metódy integrácie, ktoré vedú k cieľu rýchlejšie. Uvažujme o niektorých z týchto integrálov. 1. Ak chcete nájsť integrály tvaru, vyberte dlhý štvorec zo štvorca tého trojčlenu: kde Potom urobte substitúciu a získajte, kde koeficienty a a P majú rôzne znamienka alebo sú oba kladné. Pre a aj pre a> 0 a integrál sa zredukuje na logaritmus, ak naopak na arkussínus. o. Find imtegrel 4 Takže niečo také. za predpokladu, že dostaneme Prmmar 9. Nájsť. Vložte x -, budeme mať 2. Integrál tvaru sa redukuje na integrál y z položky 1 nasledovne. Vzhľadom na to, že derivácia () "= 2, vyberieme ju v čitateli: 4 Identifikujeme deriváciu radikálového výrazu v čitateli. Pretože (x, budeme mať, ak vezmeme do úvahy výsledok z príkladu 9, 3. Integrály tvaru, kde P„ (x) je polynóm n -tý stupeň, možno nájsť metódou nedefinovaných koeficientov, ktorá je nasledovná: Predpokladajme, že rovnosť platí Príklad 10. Mocný integrál, kde Qn-i (s) je polynóm (n - 1) -tého stupňa s nedefinovanými koeficientmi: koeficienty | diferencujeme obe strany (1): Potom sa pravá strana rovnosti (2) zredukuje na spoločného menovateľa, ktorý sa rovná menovateľovi ľavej -ručná strana, teda obe strany sú polynómy stupňa n. Vyrovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách x na ľavej a pravej strane (3) dostaneme n + 1 rovníc, z ktorých nájdeme požadované koeficienty j4 * (fc = 0,1,2, ..., n Dosadením ich hodnôt na pravú stranu (1) a nájdením integrálu + с dostaneme odpoveď pre tento integrál. Príklad 11. Nájdite integrál Odlíšime obe farby rovnosti, budeme mať Redukovaním pravej strany na spoločného menovateľa a zrušením oboch strán tým dostaneme identitu resp. Rovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách x dospejeme k sústave rovníc, z ktorej zistíme = Potom nájdeme integrál na pravej strane rovnosti (4): V dôsledku toho sa požadovaný integrál bude rovnať

Neexistuje univerzálny spôsob riešenia iracionálnych rovníc, pretože ich trieda sa líši počtom. Článok poukáže na charakteristické typy rovníc so substitúciou pomocou integračnej metódy.

Pre použitie metódy priamej integrácie je potrebné vypočítať neurčité integrály typu ∫ k x + b p d x, kde p je racionálny zlomok, k a b sú reálne koeficienty.

Príklad 1

Nájdite a vypočítajte primitívne derivácie funkcie y = 1 3 x - 1 3.

Riešenie

Podľa integračného pravidla je potrebné použiť vzorec ∫ f (kx + b) dx = 1 k F (kx + b) + C a tabuľka primitív ukazuje, že na túto funkciu existuje hotové riešenie. . Chápeme to

∫ dx 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 dx = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

odpoveď:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C.

Existujú prípady, keď môžete použiť metódu uvedenia pod diferenciálne znamienko. Rieši to princíp hľadania neurčitých integrálov v tvare ∫ f "(x) · (f (x)) p d x, keď hodnotu p považujeme za racionálny zlomok.

Príklad 2

Nájdite neurčitý integrál ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x.

Riešenie

Všimnite si, že d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Potom je potrebné sčítať pod diferenciálnym znamienkom pomocou tabuliek primitív. Dostaneme, že

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 dx = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) dx = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 dz = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

odpoveď:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C.

Riešenie neurčitých integrálov poskytuje vzorec v tvare ∫ d x x 2 + p x + q, kde p a q sú reálne koeficienty. Potom je potrebné vybrať celý štvorec spod koreňa. Chápeme to

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Použitím vzorca umiestneného v tabuľke neurčitých integrálov dostaneme:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Potom sa vypočíta integrál:

∫ dxx 2 + px + q = ∫ dxx + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + px + q + C

Príklad 3

Nájdite neurčitý integrál v tvare ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1.

Riešenie

Na výpočet musíte vybrať číslo 2 a umiestniť ho pred radikál:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Vyberte úplný štvorec v radikálnom výraze. Chápeme to

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Potom dostaneme neurčitý integrál v tvare 1 2 ∫ dxx 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ dxx + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 12 + C

odpoveď: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integrácia iracionálnych funkcií sa vykonáva podobným spôsobom. Platí pre funkcie tvaru y = 1 - x 2 + p x + q.

Príklad 4

Nájdite neurčitý integrál ∫ d x - x 2 + 4 x + 5.

Riešenie

Najprv musíte odvodiť druhú mocninu menovateľa výrazu spod koreňa.

∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ dx - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ dx - x - 2 2 - 9 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9

Tabuľkový integrál má tvar ∫ dxa 2 - x 2 = oblúkový sin xa + C, potom dostaneme, že ∫ dx - x 2 + 4 x + 5 = ∫ dx - (x - 2) 2 + 9 = oblúkový sin x - 2 3 + C

odpoveď:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a rc sin x - 2 3 + C.

Proces hľadania primitívnych derivátov iracionálnych funkcií tvaru y = M x + N x 2 + px + q, kde dostupné M, N, p, q sú reálne koeficienty a sú podobné integrácii najjednoduchších zlomkov tretí typ. Táto transformácia má niekoľko fáz:

sčítanie diferenciálu pod odmocninou, zvýraznenie celého štvorca výrazu pod odmocninou pomocou tabuľkových vzorcov.

Príklad 5

Nájdite primitívne deriváty y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Riešenie

Z podmienky máme, že d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) dx a x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, potom (x + 2) dx = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 dx = 1 2 dx (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 dx.

Vypočítajte integrál: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 dx = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ dxx 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ dxx - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

odpoveď:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C.

Hľadanie neurčitých integrálov funkcie ∫ x m (a + b x n) p d x sa vykonáva substitučnou metódou.

Aby ste to vyriešili, musíte zaviesť nové premenné:

1. Keď je číslo p celé číslo, potom x = z N a N je spoločný menovateľ pre m, n.
2. Keď m + 1 n je celé číslo, potom a + b x n = z N a N je menovateľ p.
3. Keď m + 1 n + p je celé číslo, potom musíte zadať premennú a x - n + b = z N a N je menovateľ p.

Príklad 6

Nájdite určitý integrál ∫ 1 x 2 x - 9 d x.

Riešenie

Dostaneme, že ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x. Z toho vyplýva, že m = - 1, n = 1, p = - 1 2, potom m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 je celé číslo. Môžete zadať novú premennú v tvare - 9 + 2 x = z 2. Je potrebné vyjadriť x až z. Na výstupoch to dostaneme

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 "d z = z d z - 9 + 2 x = z

V danom integráli je potrebné vykonať substitúciu. To máme

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

odpoveď:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c k t g 2 x - 9 3 + C.

Na zjednodušenie riešenia iracionálnych rovníc sa používajú základné integračné metódy.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Pod iracionálny rozumieť výrazu, v ktorom sú pod znamienko zahrnuté nezávislé premenné %% x %% alebo polynóm %% P_n (x) %% stupňa %% n \ v \ mathbb (N) %% radikálny(z latinčiny radix- koreň), t.j. sú zvýšené na zlomkovú moc. Niektoré triedy integrandov, ktoré sú iracionálne vzhľadom na %% x %% zmenou premennej, možno zredukovať na racionálne výrazy vzhľadom na novú premennú.

Pojem racionálnej funkcie jednej premennej možno rozšíriť na niekoľko argumentov. Ak sú nad každým argumentom %% u, v, \ dotsc, w %% pri výpočte hodnoty funkcie poskytnuté iba aritmetické operácie a umocnenie na celé číslo, potom hovoríme o racionálnej funkcii týchto argumentov, ktorá je zvyčajne označené %% R (u, v, \ bodky, w) %%. Argumenty takejto funkcie môžu byť samy osebe funkciami nezávislej premennej %% x %%, vrátane radikálov ako %% \ sqrt [n] (x), n \ in \ mathbb (N) %%. Napríklad racionálna funkcia $$ R (u, v, w) = \ frac (u + v ^ 2) (w) $$ pre %% u = x, v = \ sqrt (x) %% a %% w = \ sqrt (x ^ 2 + 1) %% je racionálna funkcia $$ R \ vľavo (x, \ sqrt (x), \ sqrt (x ^ 2 + 1) \ vpravo) = \ frac (x + \ sqrt (x ^ 2)) (\ sqrt (x ^ 2 + 1)) = f (x) $$ z %% x %% a radikály %% \ sqrt (x) %% a %% \ sqrt (x ^ 2 + 1 ) %%, pričom funkcia %% f (x) %% bude iracionálnou (algebraickou) funkciou jednej nezávislej premennej %% x %%.

Uvažujme integrály v tvare %% \ int R (x, \ sqrt [n] (x)) \ mathrm (d) x %%. Takéto integrály sa racionalizujú zmenou premennej %% t = \ sqrt [n] (x) %%, potom %% x = t ^ n, \ mathrm (d) x = nt ^ (n-1) %%.

Príklad 1

Nájdite %% \ displaystyle \ int \ frac (\ mathrm (d) x) (\ sqrt (x) + \ sqrt (x)) %%.

Integrand požadovaného argumentu je zapísaný ako funkcia radikálov stupňa %% 2 %% a %% 3 %%. Keďže najmenší spoločný násobok čísel %% 2 %% a %% 3 %% sa rovná %% 6 %%, tento integrál je integrálom ako %% \ int R (x, \ sqrt (x)) \ mathrm (d) x %% a možno ho racionalizovať nahradením %% \ sqrt (x) = t %%. Potom %% x = t ^ 6, \ mathrm (d) x = 6t \ mathrm (d) t, \ sqrt (x) = t ^ 3, \ sqrt (x) = t ^ 2 %%. Preto $$ \ int \ frac (\ mathrm (d) x) (\ sqrt (x) + \ sqrt (x)) = \ int \ frac (6t ^ 5 \ mathrm (d) t) (t ^ 3 + t ^ 2) = 6 \ int \ frac (t ^ 3) (t + 1) \ mathrm (d) t. $$ Vezmite %% t + 1 = z, \ mathrm (d) t = \ mathrm (d) z, z = t + 1 = \ sqrt (x) + 1 %% a $$ \ begin (pole) (ll ) \ int \ frac (\ mathrm (d) x) (\ sqrt (x) + \ sqrt (x)) & = 6 \ int \ frac ((z-1) ^ 3) (z) \ mathrm (d) t = \\ & = 6 \ int z ^ 2 dz -18 \ int z \ mathrm (d) z + 18 \ int \ mathrm (d) z -6 \ int \ frac (\ mathrm (d) z) (z ) = \\ & = 2z ^ 3 - 9 z ^ 2 + 18z -6 \ ln | z | + C = \\ & = 2 \ vľavo (\ sqrt (x) + 1 \ vpravo) ^ 3 - 9 \ vľavo (\ sqrt (x) + 1 \ vpravo) ^ 2 + \\ & + ~ 18 \ vľavo ( \ sqrt (x) + 1 \ vpravo) - 6 \ ln \ vľavo | \ sqrt (x) + 1 \ vpravo | + C \ koniec (pole) $$

Integrály tvaru %% \ int R (x, \ sqrt [n] (x)) \ mathrm (d) x %% sú špeciálnym prípadom lineárnych zlomkových iracionalít, t.j. integrály v tvare %% \ displaystyle \ int R \ vľavo (x, \ sqrt [n] (\ dfrac (ax + b) (cd + d)) \ vpravo) \ mathrm (d) x %%, kde %% ad - bc \ neq 0 %%, čo možno racionalizovať zmenou premennej %% t = \ sqrt [n] (\ dfrac (ax + b) (cd + d)) %%, potom %% x = \ dfrac (dt ^ n - b) (a - ct ^ n) %%. Potom $$ \ mathrm (d) x = \ frac (n t ^ (n-1) (ad - bc)) (\ vľavo (a - ct ^ n \ vpravo) ^ 2) \ mathrm (d) t. $$

Príklad 2

Nájdite %% \ displaystyle \ int \ sqrt (\ dfrac (1 -x) (1 + x)) \ dfrac (\ mathrm (d) x) (x + 1) %%.

Zoberme si %% t = \ sqrt (\ dfrac (1 -x) (1 + x)) %%, potom %% x = \ dfrac (1 - t ^ 2) (1 + t ^ 2) %%, $ $ \ begin (pole) (l) \ mathrm (d) x = - \ frac (4t \ mathrm (d) t) (\ vľavo (1 + t ^ 2 \ vpravo) ^ 2), \\ 1 + x = \ frac (2) (1 + t ^ 2), \\ \ frac (1) (x + 1) = \ frac (1 + t ^ 2) (2). \ end (pole) $$ Preto $$ \ begin (pole) (l) \ int \ sqrt (\ dfrac (1 -x) (1 + x)) \ frac (\ mathrm (d) x) (x + 1 ) = \\ = \ frac (t (1 + t ^ 2)) (2) \ vľavo (- \ frac (4t \ mathrm (d) t) (\ vľavo (1 + t ^ 2 \ vpravo) ^ 2 ) \ vpravo) = \\ = -2 \ int \ frac (t ^ 2 \ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) = \\ = -2 \ int \ mathrm (d) t + 2 \ int \ frac (\ mathrm (d) t) (1 + t ^ 2) = \\ = -2t + \ text (arctg) ~ t + C = \\ = -2 \ sqrt (\ dfrac (1 -x) ( 1 + x)) + \ text (arctg) ~ \ sqrt (\ dfrac (1 -x) (1 + x)) + C. \ end (pole) $$

Uvažujme integrály v tvare %% \ int R \ vľavo (x, \ sqrt (ax ^ 2 + bx + c) \ vpravo) \ mathrm (d) x %%. V najjednoduchších prípadoch sa takéto integrály redukujú na tabuľkové, ak po izolácii celého štvorca vykonáme zmenu premenných.

Príklad 3

Nájdite integrál %% \ displaystyle \ int \ dfrac (\ mathrm (d) x) (\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5)) %%.

Vzhľadom na to, že %% x ^ 2 + 4x + 5 = (x + 2) ^ 2 + 1 %%, vezmeme %% t = x + 2, \ mathrm (d) x = \ mathrm (d) t %%, potom $$ \ begin (pole) (ll) \ int \ frac (\ mathrm (d) x) (\ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5)) & = \ int \ frac (\ mathrm (d) t) (\ sqrt (t ^ 2 + 1)) = \\ & = \ ln \ vľavo | t + \ sqrt (t ^ 2 + 1) \ vpravo | + C = \\ & = \ ln \ vľavo | x + 2 + \ sqrt (x ^ 2 + 4x + 5) \ vpravo | + C. \ koniec (pole) $$

V zložitejších prípadoch sa na nájdenie integrálov v tvare %% \ int R \ vľavo (x, \ sqrt (ax ^ 2 + bx + c) \ vpravo) \ mathrm (d) x %% používajú

Zvážte integrály s koreňom lineárnej zlomkovej funkcie:
(1) ,
kde R je racionálna funkcia jeho argumentov. To znamená, že funkcia zložená zo svojich argumentov a ľubovoľných konštánt pomocou konečného počtu operácií sčítania (odčítania), násobenia a delenia (umocnenie na celé číslo).

Príklady uvažovaných integrálov s lineárnou zlomkovou iracionalitou

Uveďme príklady integrálov s koreňmi tvaru (1) .

Príklad 1

Hoci sú tu pod znakom integrálu zahrnuté korene rôznych stupňov, integrand možno transformovať takto:
;
;
.

Integrand je teda zložený z premennej integrácie x a koreňa lineárnej funkcie pomocou konečného počtu operácií odčítania, delenia a násobenia. Ide teda o racionálnu funkciu x a patrí do uvažovaného typu (1) s hodnotami konštánt n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

Príklad 2

Tu robíme konverziu:
.
Je teda jasné, že integrand je racionálna funkcia x a. Preto patrí do posudzovaného typu.

Všeobecný príklad lineárnej zlomkovej iracionality

Vo všeobecnejšom prípade môže integrand zahŕňať ľubovoľný konečný počet koreňov tej istej lineárnej zlomkovej funkcie:
(2) ,
kde R je racionálna funkcia jeho argumentov,
- racionálne čísla,
m 1, n 1, ..., m s, n s- celé čísla.
Nech je n spoločným menovateľom čísel r 1, ..., r s. Potom môžu byť reprezentované ako:
,
kde k 1, k 2, ..., k s- celé čísla. Potom všetko zahrnuté (2) korene sú sily:
,
,
. . . . .
.

Teda celý integrand (2) zložený z x a odmocniny pomocou konečného počtu operácií sčítania, násobenia a delenia. Preto je to racionálna funkcia x a:
.

Metóda integrácie koreňov

Integrálne s lineárnou zlomkovou iracionalitou
(1)
sa substitúciou redukuje na integrál racionálnej funkcie
(3) .

Dôkaz

Extrahujte n-tý koreň z oboch strán (3) :
.

Transformujeme sa (3) :
;
;
.

Nájdite derivát:

;
;
.
diferenciál:
.

Nahradiť v (1) :
.

Z toho vidno, že integrand sa skladá z konštánt a premennej integrácie t pomocou konečného počtu operácií sčítania (odčítania), násobenia (umocnenie na celé číslo) a delenia. Preto je integrand racionálnou funkciou premennej integrácie. Výpočet integrálu sa teda zredukoval na integráciu racionálnej funkcie. Q.E.D.

Príklad integrácie lineárnej iracionality

Nájdite integrál:

Riešenie

Keďže integrál obsahuje korene tej istej (zlomkovej) lineárnej funkcie x + 1 , a integrand sa tvorí pomocou operácií odčítania a delenia, potom tento integrál patrí do uvažovaného typu.

Transformujeme integrand tak, aby v ňom boli zahrnuté korene rovnakého stupňa:
;
;
.

Vykonávanie substitúcie
x + 1 = t6.
Berieme diferenciál:
d (x + 1) = dx = ( t 6 )′ dt = 6 t 5 dt.
Nahrádzame:
x = t 6 - 1 ;
;
;
.
Vyberte celú časť zlomku a všimnite si to
t 6 - 1 = (t - 1) (t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
Potom

.

Odpoveď

,
kde .

Príklad integrácie lineárnej zlomkovej iracionality

Nájdite integrál

Riešenie

Vyberme koreň lineárnej zlomkovej funkcie:
.
Potom
.
Vykonávanie substitúcie
.
Berieme diferenciál
.
Nájdite derivát
.
Potom
.
Ďalej si všimnite, že
.
Nahradiť do integrandu


.

Odpoveď

Referencie:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, "Lan", 2003.