Definícia stavovej premennej. Popis systému v stavových premenných

Systém sa nazýva pozorovateľný, ak sa tvorí vektor výstupných súradníc zapojené sú všetky zložky vektora stavových premenných. Ak žiadna zo zložiek vektora neovplyvňuje tvorbu výstupu systému, potom bude takýto systém nepozorovateľný.

Analýza kontrolovateľnosti a pozorovateľnosti sa vykonáva pomocou matice ovládateľnosti A pozorovateľnosť alebo pomocou ovládateľnosť gramiakov A pozorovateľnosť.

Na základe matíc vytvoríme dve pomocné matice

R = [ , , ..., n-1 ], D= [ , ,…, n -1 ]

Matrice R A D sa nazývajú resp matica ovládateľnosti A matice pozorovateľnosti systémov. V balíku MATLAB ich možno zostaviť pomocou príkazov ctrb A obsv.

Aby bol systém (3.2) ovládateľný, je potrebné, aby

stačí, aby matica ovládateľnosti mala plnú hodnotu poradie R = n.

Aby bol systém (3.2) pozorovateľný, je potrebné a postačujúce, aby matica pozorovateľnosti mala plnú úroveň poradieD=n.

V prípade systémov s jedným vstupom a jedným výstupom matice R A Dštvorec, takže na kontrolu ovládateľnosti a pozorovateľnosti stačí vypočítať determinanty matíc R a D. Ak sa nerovnajú nule, tak matice majú plný rank.

Prednáška 4

Hodnotenie statických vlastností

V závislosti od procesov vyskytujúcich sa v ACS sa rozlišujú dva režimy prevádzky ACS a jeho prvkov: dynamický a statický.

Prechodný proces zodpovedá dynamickému režimu fungovania ACS a ich prvkov. Tento režim má najviac času v TAU. V dynamickom režime sa hodnoty, ktoré určujú stav ACS a ich prvkov, časom menia. Vyššie boli prezentované matematické modely ACS v dynamickom režime vo forme diferenciálnych rovníc n(2.1) alebo vo forme stavových rovníc (3.2, 3.3).

Naopak, ustálený proces v ACS zodpovedá statickému režimu prevádzky, v ktorom sa veličiny charakterizujúce stav ACS v čase nemenia. Na posúdenie ACS v statickom (stabilnom) režime sa používa indikátor nazývaný presnosť riadenia. Tento indikátor je určený statickými charakteristikami ACS.

Ryža. 4.1. Statické charakteristiky statických a astatických systémov

Statická charakteristika ACS predstavuje závislosť ustálenej hodnoty výstupného parametra – y 0 zo vstupného parametra – ty 0 s konštantnou perturbáciou alebo závislosťou výstupného parametra - y 0 v rovnovážnom stave od poruchy – f s konštantným vstupným parametrom. Rovnice statiky ACS majú tvar alebo . Vo všeobecnosti môžu byť rovnice nelineárne. Zvážte statickú charakteristiku prvkov alebo ACS ako celku (obr. 4.1) zostavených podľa druhej rovnice. Ak ustálená hodnota chyby v systéme závisí od ustálenej hodnoty poruchy f, potom sa systém nazýva statický (obr. 4.1, a), a ak nezávisí, potom astatický (obr. 4.1, b).

Relatívna statická chyba alebo pokles systému je

Pokles možno tiež charakterizovať koeficientom poklesu rovným tangente sklonu statickej charakteristiky (obr. 3.1, a).

Účinnosť statického riadenia automatického riadiaceho systému v ustálenom stave sa hodnotí takzvaným stupňom presnosti riadenia, ktorý sa rovná pomeru absolútnej statickej chyby neautomatizovaného riadiaceho objektu (bez regulátora) na absolútnu statickú chybu automatického systému.

V niektorých prípadoch je statická chyba nežiaduca, potom prechádzajú na astatické riadenie alebo zavádzajú kompenzačné účinky na poruchy.

Fakulta automatizácie a elektromechaniky

Katedra teoretickej a všeobecnej elektrotechniky

PRECHODNÉ PROCESY V LINEÁRNYCH ELEKTRICKÝCH OBVODOCH

(metóda stavových premenných)

Pokyny na implementáciu práce v kurze

Zostavil Bashev A.A.

Ed. Prednášal prof. Altunin B.Yu.

N.Novgorod, 2010

Metóda stavových premenných.

Metóda stavových premenných je založená na základnej možnosti nahradenia diferenciálnej rovnice n elektrický obvod -tého rádu n diferenciálne rovnice prvého rádu. Indukčné prúdy a kapacitné napätia sú brané ako stavové veličiny, ktoré jednoznačne určujú energetickú rezervu obvodu v akomkoľvek čase. Systém stavových rovníc možno znázorniť ako maticovú rovnicu:

kde: – stĺpcová matica (vektor) n stavových premenných;

– stĺpcová matica (vektor) n prvých derivácií stavových premenných;

je štvorcová matica veľkosti , ktorej prvky sú určené koeficientmi diferenciálnej rovnice obvodu;

V(t)– stĺpcová matica (vektorová) m nezávislé vplyvy;

B je matica veľkosti, ktorej prvky závisia od parametrov obvodu a jeho štruktúry;

je stĺpcová matica, ktorej prvky závisia od nezávislých vplyvov, štruktúry a parametrov obvodu.

Tvorba sústavy diferenciálnych rovníc obvodu je založená na použití diferenciálnych rovníc pre stavové veličiny, podľa ktorých

Výpočet obvodov metódou premenných stavov možno rozdeliť do dvoch etáp:

1) V prvej fáze sa nalíčte sústava diferenciálnych rovníc obvodu;

2) V druhej fáze vyriešiť zostavenú sústavu diferenciálnych rovníc;

Riešenie sústavy diferenciálnych rovníc zostavenej metódou stavových premenných je možné realizovať dvoma spôsobmi: analytickým a numerickým.

S analytickou metódou riešenie stavových rovníc sa zapíše ako súčet matíc vynútenej a voľnej zložky:

kde: - zodpovedá reťazovej reakcii z vonkajších vplyvov pri nulových počiatočných podmienkach;

je matica (vektor) počiatočných hodnôt stavových premenných získaných pri ;

je maticová exponenciálna funkcia.

– zodpovedá reťazovej reakcii v dôsledku nenulových počiatočných podmienok; pri absencii vonkajších vplyvov V=0;

Ak sa v okruhu po prepnutí nenachádzajú zdroje energie, t.j. , potom riešenie maticovej rovnice má tvar:

Ak po prepnutí existujú zdroje nezávislých vplyvov, potom matica a integrácia maticovej rovnice vedie k riešeniu v tvare:

ktorý pozostáva zo súčtu dvoch pojmov - reťazovej reakcie za nenulových počiatočných podmienok a reťazovej reakcie za nulových počiatočných podmienok a prítomnosti zdrojov vonkajších vplyvov

Pri numerickej metóde riešenia stavových rovníc sa používajú rôzne programy na numerickú integráciu na počítači: Runge-Kutta metóda, Eulerova metóda, lichobežníková metóda atď. Napríklad softvérový balík MathCAD obsahuje programy na numerické riešenie diferenciálnych rovníc modifikované Eulerovou metódou a Rungeovou-Kuttovou metódou. Keďže chyba riešenia Eulerovou metódou dosahuje niekoľko percent, je vhodnejšia metóda Runge-Kutta, ktorá pri riešení rovníc štvrtého rádu dáva chybu , kde je prírastok premennej. Táto metóda poskytuje kontrolu nad presnosťou výpočtu pri každom integračnom kroku a úprave softvérového kroku.

V systéme MatchCAD má názov program na integráciu rovníc Runge-Kutta rkfixed. Je prístupný prostredníctvom operácie priradenia k nejakej premennej (ďalej). z) názov programu:

kde: X je vektor stavových premenných, ktorých veľkosť je určená vektorom počiatočných hodnôt a zodpovedá počtu stavových rovníc;

0 a sú začiatkom a koncom integračného časového intervalu;

N je počet bodov na integračnom intervale;

D je funkcia, ktorá popisuje pravú stranu rovníc vyriešených vzhľadom na prvé derivácie.

Pre lineárne obvody funkcia D má formu lineárnej maticovej transformácie , kde A- štvorcová matica koeficientov, ktoré sú určené štruktúrou obvodu a parametrami prvkov; F je vektor nezávislých premenných, ktorých prvky sú určené vstupnými akciami. Všetky prvky matrice A A F musia byť definované pred volaním programu rkfixed.

Matica z má veľkosť , kde prvý stĺpec (nula) zodpovedá diskrétnym hodnotám času. Zvyšné stĺpce tejto matice zodpovedajú hodnotám stavových premenných: , kde index i sa mení z 1 na N.

Ak chcete skontrolovať správnosť nastavenia počiatočných údajov, môžete (ale nie nevyhnutne) použiť program na určenie vlastných hodnôt matice A: eigenvals (A). Tento program vydáva informácie o vlastných hodnotách, ktoré zodpovedajú koreňom charakteristickej rovnice obvodu. Nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou pre správne zadávanie údajov je množina záporných vlastných hodnôt (alebo komplexne konjugovaných čísel so zápornou reálnou časťou).

Poďme sa teraz pozrieť na niektoré spôsoby písanie diferenciálnych rovníc obvodov metódou stavových premenných. Na tieto účely sa najčastejšie používajú dve hlavné metódy:

1) používanie Kirchhoffových zákonov;

2) pomocou prekrývacej metódy.

Zvážte použitie týchto metód na niekoľkých príkladoch.

Príklad 1 Je potrebné zostaviť stavové rovnice a vyriešiť ich pre jednoobvodový obvod druhého rádu pri vypnutom zdroji napätia E. Schéma zapojenia je znázornená na obrázku 1 (a) a parametre jeho prvkov majú nasledujúce hodnoty: E = 40 V; r = 40 ohmov; L=1H; C = 500 uF.

Riešenie. Pozrime sa na ekvivalentný obvod pre ľubovoľný časový bod t, ktorý je znázornený na obrázku 1(b). V tomto diagrame je kapacita OD nahradený zdrojom konštantného napätia a indukčnosťou L- zdroj prúdu. Výsledný ekvivalentný obvod obsahuje iba odpor r, zdroj prúdu a zdroj napätia.

Obrázok 1. Počiatočné ( ale) a vypočítané ( b) schémy zapojenia napríklad 1.

Pre výsledný obvod je možné napísať rovnice pomocou Kirchhoffových zákonov:

Kde nájdeme:

,

Z týchto rovníc získame hodnotu prvých derivácií stavových premenných:

.

Pomocou čoho napíšeme maticovú rovnicu obvodu:

,

Pri používaní programu rkfixed táto rovnica je napísaná takto:

,

Túto maticovú rovnicu je potrebné doplniť aj maticou počiatočných stavov obvodu, ktorá zahŕňa napätie na kapacite a prúd v tlmivke v momente spínania (t.j. t=0_):

,

používa sa na spustenie procesu integrácie diferenciálnych rovníc obvodu.

Predtým, ako sa obrátite na integračný program rkfixed sú definované operáciou priradenia hodnôt nasledujúcich veličín:

1) maticové koeficienty ALE:

2) hodnoty vektora počiatočných stavov premenných

3) počet integračných bodov;

4) formalizovaný maticový zápis stavových rovníc za predpokladu, že F=0;

5) konečná hodnota časového intervalu .

Požadovaný integračný časový interval možno odhadnúť z vlastných hodnôt matice ALE prístupom k programu eigenvals (ALE). V uvažovanom príklade existujú dve komplexne konjugované čísla , ktorých reálne časti sú rovnaké a rovnaké. Táto časť komplexného čísla určuje koeficient útlmu a priamo súvisí s trvaním prechodného procesu podľa vzorca. Pre prehľadnosť je v uvažovanom príklade integračný interval zvolený dvakrát väčší .

Formulár pre záznam počiatočných údajov pre program rkfixed a výsledky výpočtu sú znázornené na obrázku 2. Keďže stavové premenné a sú merané v rôznych jednotkách a môžu sa navzájom výrazne líšiť, je potrebné pri vykresľovaní grafov špecifikovať mierkové faktory. Napríklad pre premenný graf sa používa mierka 100. Ak chcete získať skutočnú hodnotu prúdu, mali by ste vydeliť hodnoty namerané pozdĺž osi y číslom 100.

Zo získaných grafov vyplýva, že prechodový proces v obvode má oscilačný charakter a obe funkcie s pribúdajúcim časom postupne klesajú na nulu. t.

Obrázok 2. Výsledky výpočtu pre príklad 1.

Príklad 2. Napíšte rovnice pre stavové premenné a vypočítajte ich, keď je kľúč K uzavretý v obvode druhého rádu znázornenom na obrázku 3(a). Parametre prvkov obvodu majú nasledujúci význam: A; r 1 \u003d r 2 \u003d 50 ohmov; L = 5 mH; C \u003d 0,1 uF.

Riešenie. Prechodný proces v uvažovanom obvode nastáva v dôsledku prerozdelenia energie medzi indukčnosť L a kapacitu C po pripojení odporu r1. Pomocou prvého Kirchhoffovho zákona určíme prúd v kapacite OD:

.

a) b)

Obrázok 3. Počiatočné ( ale) a vypočítané ( b) schémy napríklad 2.

Podobne pomocou druhého Kirchhoffovho zákona nájdeme napätie na indukčnosti:

.

Skombinujme tieto rovnice do systému pre stavové premenné:

.

Výsledný systém rovníc zapíšeme v maticovom tvare:

.

Po nahradení číselných hodnôt parametrov prvkov získame stavové rovnice v tvare:

Na určenie vektora počiatočných hodnôt nájdeme napätie cez kapacitu a prúd v induktore pred zatvorením kľúča K:

Vektor počiatočných hodnôt stavových premenných má teda tvar:

.

Ekvivalentná schéma na výpočet hodnôt stavových premenných je znázornená na obrázku 3(b). V tomto obvode je kapacita nahradená zdrojom napätia a indukčnosť je nahradená zdrojom prúdu. Hodnoty týchto veličín sa menia v každom integračnom kroku.

Stavové rovnice budeme riešiť pomocou programu rkfixed, ktorý je súčasťou systému MathCAD. Za týmto účelom priradíme stavovým premenným nasledujúce hodnoty: a stavové rovnice zapíšeme vo forme:

,

kde hodnoty koeficientov môžu byť prevzaté zo stavových rovníc vypočítaných vyššie a zahrnuté do programu konštánt alebo určené pomocou priraďovacích operácií v samotnom programe.

Forma nastavenia počiatočných údajov pre výpočet podľa programu rkfixed znázornené na obrázku 4. Význam N=5000špecifikované ľubovoľne, pretože ovplyvňuje iba čas a presnosť výpočtu. Presnosť výpočtu môžete nepriamo odhadnúť porovnaním výsledkov integrácie pre dve hodnoty N=N1 A N 1/2. Ak sa výsledky výpočtu v týchto bodoch zhodujú, potom presnosť výpočtu a počet integračných bodov na intervale t k je v prijateľných medziach.

Prostredníctvom operácie priradenia definujeme aj vektor počiatočných hodnôt X a vektor nezávislých zdrojov F. Časový interval t k môžu byť špecifikované ľubovoľne alebo približne zvolené analýzou čísel matice ALE.

Pre aperiodický proces, ktorý existuje v uvažovanom obvode, by sa malo zvoliť najmenšie vlastné číslo modulu pmin a použite vzorec t k =3/pmin. Z dvoch vlastných hodnôt p1= -1,888E5 1/s; p2=-2,118E4 1/c má menšiu hodnotu p2, preto t k\u003d 3 / 2,118E4 \u003d 1,42E-4 s.

Výber intervalu t k možno vykonať aj analýzou časových konštánt obvodov prvého rádu, ktoré možno zostaviť na základe pôvodného obvodu postupným odstraňovaním reaktívnych prvkov. V tomto prípade treba z nájdených časových konštánt vybrať tú, ktorá má maximálnu hodnotu, a pomocou nej vypočítať

Grafy časových závislostí a sú znázornené na obrázku 4. Pre premennú sa používa mierkový faktor 100. Z týchto grafov je vidieť, že napätie na kapacite sa mení od na úroveň a prúd v induktore - od do.

Obrázok 4. Výsledky výpočtu pre príklad 2.

Príklad 3. Zostavte rovnice pre stavové veličiny a vykonajte výpočet prechodového procesu v obvode tretieho rádu znázornenom na obrázku 5 (a) pri zatvorenom kľúči K. Parametre prvkov obvodu majú nasledujúce hodnoty: E = 120 V; r 1 \u003d r 3 \u003d r 4 \u003d 1 Ohm; r 2 \u003d r 5 ​​\u003d 2 ohmy; L1 = 1 mH; L2 = 2 mH; C = 10uF.

a) b)

Obrázok 5. Počiatočné ( ale) a vypočítané ( b) schémy napríklad 3.

Riešenie. Prechodový proces v obvode je spôsobený redistribúciou energie reaktívnymi prvkami obvodu po prepnutí kľúča TO. Obrázok 5(b) zobrazuje ekvivalentný obvod obvodu, v ktorom sú reaktívne prvky nahradené zdrojmi napätia a prúdu. Pozitívne smery týchto zdrojov sú v súlade s pôvodnou schémou. Pri výpočte ekvivalentného obvodu sú napätia na zdrojoch prúdu a prúd v kapacite predmetom určenia, pretože sú to oni, ktorí určujú derivácie stavových premenných. Pri výpočte týchto veličín používame princíp prekrytia, podľa ktorého možno reakciu lineárneho reťazca definovať ako súčet reakcií z jednotlivých zdrojov. Aby ste to dosiahli, zvážte štyri súkromné ​​okruhy zobrazené na obrázku 6, v každom z nich funguje iba jeden zo zdrojov zahrnutých v obvode znázornenom na obrázku 5(b).

A B C

Zásobník energie – kapacita

Výpočet prechodových procesov v obvodoch s jednotkou

Elektromagnetické procesy počas prechodového procesu v takýchto obvodoch sú spôsobené dodávkou elektrickej energie do kapacity OD a rozptyl tejto energie vo forme tepla na aktívnych odporoch obvodu. Pri zostavovaní diferenciálnej rovnice by ste mali zvoliť napätie ako neznámu funkciu u C na nádobe. Je potrebné poznamenať, že pri výpočte podmienok ustáleného stavu, teda pri určovaní počiatočných podmienok a vynútenej zložky, je kapacitný odpor v obvodoch jednosmerného prúdu rovný nekonečnu.

Príklad 6.2. Zapnutie sériového obvodu R, C na konštantné napätie.

Reťaz (obr. 6.3, ale), pozostávajúce z rezistorov zapojených do série R= 1000 ohmov a kapacita OD\u003d 200 uF, v určitom okamihu je pripojený ku konštantnému napätiu U= 60 V. Je potrebné určiť prúd a napätie kapacity v prechodovom procese a zostaviť grafy u C(t), i(t).

R i R i, A ty B

U C U C t = 0,02,s

0t 2t 3t t, od

Riešenie.1. Stanovíme počiatočné podmienky. Počiatočný stav u C(-0) = 0, keďže obvod bol pred prepnutím vypnutý (predpokladáme dosť dlho).

2. Znázorňujeme elektrický obvod po prepnutí (obr. 6.3, b), naznačíme smery prúdu a napätia a zostavíme pre ne rovnicu podľa druhého Kirchhoffovho zákona

alebo .

3. Prevedieme rovnicu bodu 2 na diferenciálnu. Ak to chcete urobiť, nahradenie namiesto prúdu i známa rovnica , dostaneme:

4. Riešenie rovnice (požadované napätie na kapacite) sa hľadá v tvare:

.

5. Definujeme . Pretože v jednosmernom obvode v ustálenom stave je kapacitný odpor rovný nekonečnu (súčasne), potom sa celé napätie aplikuje na kapacitu. Preto

u C pr \u003d U \u003d 60 V.

6. Zostavíme homogénnu diferenciálnu rovnicu

ktorého riešením je funkcia

7. Zostavíme charakteristickú rovnicu RC l + 1 = 0, ktorého koreň je

Časová konštanta

8. Zapíšme si riešenie.

9. Podľa druhého komutačného zákona a počiatočných podmienok

10. Definujeme konštantu integrácie ALE substitúciou t=0 v rovnici p.8

Napätie cez kapacitu v prechodnom jave

11. Prúd v obvode môže byť určený rovnicou

alebo podľa rovnice bodu 2

Grafy u C(t) A i(t) sú znázornené na obr. 6.3, v.

Okamžité hodnoty prúdov a napätí, ktoré určujú energetický stav elektrického obvodu, sa v tejto metóde nazývajú premenné a samotná metóda sa nazýva metóda stavových premenných.

Táto metóda je založená na zostavení sústavy diferenciálnych rovníc a spravidla ich numerickom riešení pomocou počítača.

Premenné, ktoré nemajú prestávky, tu treba brať ako neznáme, t.j. v priebehu času by tieto hodnoty nemali byť náhle zmenené. Takéto premenné preto musia byť aktuálne i a prepojenie toku v indukčnosti, napätie a náboj na kapacite. V opačnom prípade pri numerickom riešení derivácií v bodoch, kde je diskontinuita, vzniká nekonečne veľká hodnota, čo je neprijateľné.

Na výpočet diferenciálnych rovníc existujú rôzne numerické metódy. Ide o metódy Euler, Runge-Kutta a iné, ktoré sa navzájom líšia presnosťou výpočtu, objemom a časom výpočtov. V tomto prípade platí, že čím väčšia je presnosť výpočtov, tým viac času je potrebné na riešenie.

1. Určite počiatočné podmienky.

2. Zostavte sústavu diferenciálnych rovníc.

3. Všetky premenné v rovniciach bodu 2 sú vyjadrené ako prúdy alebo indukčné toky v indukčnostiach a napätiach alebo nábojoch na kapacitách.

4. Zredukujte všetky rovnice v bode 3 na Cauchyho normálny tvar.