Čo sa nazýva stres v danom bode úseku. Napätia. Rovnomerné rozloženie napätia

Napätie vytvorené v pevnom telese vonkajším zaťažením je mierou (s rozmerom sily na jednotku plochy) intenzity vnútorných síl pôsobiacich z jednej psychicky odrezanej časti telesa na druhú zostávajúcu (rezová metóda). Vonkajšie zaťaženia spôsobujú deformáciu telesa, t.j. mení svoju veľkosť a tvar. V odolnosti materiálov sa študujú vzťahy medzi zaťaženiami, napätiami a deformáciami a výskum sa uskutočňuje na jednej strane matematickým odvodením vzorcov vzťahujúcich zaťaženie na napätia a deformácie, ktoré spôsobujú, a na druhej strane experimentálne stanovenie charakteristík materiálov používaných v budovách a strojoch. pozri tiež KOVOVÉ MECHANICKÉ VLASTNOSTI ; TESTOVANIE KOVOV. Podľa nájdených vzorcov, berúc do úvahy výsledky testovania materiálov, sa vypočítajú rozmery prvkov budov a strojov, ktoré poskytujú odolnosť voči špecifikovaným zaťaženiam. Pevnosť materiálov nepatrí do exaktných vied, pretože mnohé z jej vzorcov sú odvodené od predpokladov o správaní materiálov, ktoré nie sú vždy presne splnené. Pomocou nich však môže kompetentný inžinier vytvoriť spoľahlivé a ekonomické návrhy.

Matematická teória pružnosti úzko súvisí s odolnosťou materiálov, ktorá zohľadňuje aj napätia a deformácie. Umožňuje vám vyriešiť tie problémy, ktoré je ťažké vyriešiť konvenčnými metódami pevnosti materiálov. Medzi pevnosťou materiálov a teóriou pružnosti však neexistuje jasná hranica. Hoci takmer všetky problémy rozloženia napätia boli vyriešené metódami matematickej analýzy, v zložitých podmienkach si tieto riešenia vyžadujú prácne výpočty. A potom prídu na pomoc experimentálne metódy analýzy stresu.

STRES A NAPÁJANIE

Druhy napätí.

Najdôležitejším pojmom v pevnosti materiálov je pojem napätia ako sily pôsobiacej na malú plochu a vzťahujúcej sa k ploche tejto plochy. Existujú tri typy napätí: ťah, tlak a šmyk.

Ak je bremeno zavesené na kovovej tyči, ako je znázornené na obr. jeden, ale, potom sa takáto tyč nazýva natiahnutá alebo pracujúca v ťahu. Napätie S vytvorený silou P v ťažnej tyči s plochou prierezu rovnajúcou sa A, je daný S = P/A. Ak je hmotnosť bremena 50 000 N, potom je sila v ťahu tiež 50 000 N. Ďalej, ak je šírka tyče 0,05 m a hrúbka 0,02 m, tak plocha prierezu je 0,001 m 2, potom napätie v ťahu je 50 000 / 0,001 \u003d 50 000 000 N / m2 \u003d 50 MPa. Napnutá tyč je dlhšia ako pred pôsobením ťahových síl.

Zoberme si krátky valec (obr. 1, b), na ktorého hornom konci je náklad umiestnený. V tomto prípade pôsobia tlakové napätia vo všetkých prierezoch valca. Ak je napätie rovnomerne rozložené po celom priereze, potom platí vzorec S = P/A. Stlačený valec je kratší ako pri absencii deformácií.

Šmykové napätie vzniká napr. v skrutke (obr. 2, ale), na ktorom je napnutá tyč podopretá svojim horným koncom AB so zaťažením 50 000 N (obr. 1, ale). Svorník drží tyč, pričom pôsobí silou 50 000 N smerujúcou nahor na tú časť tyče, ktorá sa nachádza priamo nad otvorom v tyči, a tyč zase tlačí na strednú časť skrutky silou. 50 000 N. Sily pôsobiace na skrutku pôsobia tak, ako je znázornené na obr. 2, b. Ak by bol svorník vyrobený z materiálu s nízkou pevnosťou v šmyku, ako je olovo, potom by bol strihaný pozdĺž dvoch vertikálnych rovín (obr. 2, v). Ak je svorník oceľový a má dostatočne veľký priemer, nebude sa strihať, ale v jeho dvoch zvislých prierezoch budú šmykové napätia. Ak sú šmykové napätia rovnomerne rozdelené, potom sú dané vzorcom S = P/A. Celková šmyková sila pôsobiaca v každom z prierezov je 25 000 N a ak je priemer skrutky 0,02 m (plocha prierezu je približne 0,0003 m 2), potom šmykové napätie S s bude 25 000 N / 0,0003 m 2, t.j. niečo cez 80 MPa.

Ťahové a tlakové napätie smeruje pozdĺž normály (t.j. pozdĺž kolmice) k miestu, v ktorom pôsobí, a šmykové napätie je rovnobežné s miestom. Preto sa ťahové a tlakové napätia nazývajú normálne a šmykové napätia sa nazývajú tangenciálne.

Deformácia.

Deformácia je zmena veľkosti telesa pri pôsobení zaťažení, ktoré naň pôsobia. Deformácia uvedená v plnej veľkosti sa nazýva relatívna. Ak je zmena v každom malom prvku dĺžky tela rovnaká, potom sa relatívna deformácia nazýva rovnomerná. Relatívny kmeň je často označený symbolom d, a plný - symbol D. Ak je relatívna deformácia konštantná po celej dĺžke L, potom d= D/ L. Napríklad, ak je dĺžka oceľovej tyče pred pôsobením ťahového zaťaženia 2,00 m a po zaťažení je 2,0015 m, potom je celková deformácia D 0,0015 m a relatívna d= 0,0015/2,00 = 0,00075 (m/m).

Takmer u všetkých materiálov používaných v budovách a strojoch je relatívna deformácia úmerná namáhaniu, až kým nepresiahne tzv. limit proporcionality. Tento veľmi dôležitý vzťah sa nazýva Hookov zákon. Experimentálne ho založil a sformuloval v roku 1678 anglický vynálezca a hodinár R. Hooke. Tento vzťah medzi napätím a deformáciou pre akýkoľvek materiál je vyjadrený vzorcom S = Ed, kde E je konštantný faktor charakterizujúci materiál. Tento faktor sa nazýva Youngov modul podľa T. Younga, ktorý ho zaviedol v roku 1802, alebo modul pružnosti. Z bežných konštrukčných materiálov má najvyšší modul pružnosti oceľ; je to približne 200 000 MPa. V oceľovej tyči je relatívne napätie 0,00075 z predchádzajúceho príkladu spôsobené napätím S = Ed= 200 000 ґ 0,00075 = 150 MPa, čo je menej ako proporcionálny limit konštrukčnej ocele. Ak by bola tyč vyrobená z hliníka s modulom pružnosti asi 70 000 MPa, potom by napätie tesne nad 50 MPa stačilo na to, aby spôsobilo rovnakú deformáciu 0,00075. Z toho, čo bolo povedané, je zrejmé, že elastické deformácie v konštrukciách a strojoch sú veľmi malé. Aj pri pomerne veľkom napätí 150 MPa z uvedeného príkladu nepresiahne relatívna deformácia oceľovej tyče tisícinu. Takáto vysoká tuhosť ocele je jej cennou kvalitou.

Na vizualizáciu šmykovej deformácie zvážte napríklad pravouhlý hranol A B C D(obr. 3). Jeho spodný koniec je pevne zapustený do pevnej základne. Ak na vrch hranola pôsobí horizontálna vonkajšia sila F, spôsobuje šmykovú deformáciu znázornenú prerušovanými čiarami. Posun D je celková deformácia na dĺžku (výšku) L. Relatívna šmyková deformácia d sa rovná D/ L. Pre šmykovú deformáciu je splnený aj Hookov zákon za predpokladu, že napätie nepresiahne úmernú hranicu šmyku. v dôsledku toho S s = E s d, kde E s je modul v šmyku. Pre akýkoľvek materiál hodnota E s menej E. Pre oceľ je to asi 2/5 E, t.j. približne 80 000 MPa. Dôležitým prípadom šmykovej deformácie je deformácia hriadeľov vystavených vonkajším torzným momentom.

Vyššie sme hovorili o elastických deformáciách, ktoré sú spôsobené napätiami, ktoré neprekračujú hranicu úmernosti. Ak napätie prekročí hranicu úmernosti, tak deformácia začne rásť rýchlejšie ako napätie. Hookov zákon prestáva byť spravodlivý. V prípade konštrukčnej ocele v oblasti tesne nad limitom proporcionality vedie malé zvýšenie napätia k mnohonásobne väčšiemu zvýšeniu napätia ako je deformácia zodpovedajúca limitu proporcionality. Napätie, pri ktorom začína taký rýchly nárast napätia, sa nazýva medza klzu. Materiál, pri ktorom lomu predchádza veľká nepružná deformácia, sa nazýva ťažný.

POVOLENÉ NAPÄTIE

Dovolené (dovolené) napätie je hodnota napätia, ktorá sa považuje za maximálne prípustnú pri výpočte rozmerov prierezu prvku, vypočítaného pre dané zaťaženie. Môžeme hovoriť o prípustnom napätí v ťahu, tlaku a šmyku. Prípustné napätia sú buď predpísané príslušným orgánom (napr. odbor mostov železničného dozoru), alebo sú vybrané projektantom, ktorý dobre pozná vlastnosti materiálu a podmienky jeho použitia. Dovolené napätie obmedzuje maximálne prevádzkové napätie konštrukcie.

Pri navrhovaní konštrukcií je cieľom vytvoriť konštrukciu, ktorá by bola spoľahlivá a zároveň mimoriadne ľahká a hospodárna. Spoľahlivosť je zabezpečená tým, že každý prvok má dané také rozmery, pri ktorých bude maximálne prevádzkové napätie v ňom do určitej miery menšie ako napätie, ktoré spôsobuje stratu pevnosti tohto prvku. Strata sily nemusí nutne znamenať zlyhanie. Konštrukcia stroja alebo budovy sa považuje za poruchovú, ak nemôže uspokojivo plniť svoju funkciu. Časť vyrobená z plastového materiálu spravidla stráca pevnosť, keď napätie v nej dosiahne medzu klzu, pretože v tomto prípade v dôsledku príliš veľkej deformácie časti stroj alebo konštrukcia prestáva byť vhodná na zamýšľaný účel. Ak je diel vyrobený z krehkého materiálu, takmer sa nedeformuje a jeho strata pevnosti sa zhoduje s jeho zničením.

Rozpätie bezpečnosti.

Rozdiel medzi napätím, pri ktorom materiál stráca pevnosť a prípustným napätím, je „medza bezpečnosti“, ktorú je potrebné vziať do úvahy, berúc do úvahy možnosť náhodného preťaženia, nepresnosti výpočtu spojené so zjednodušením predpokladov a neistých podmienok, prítomnosť nezistených (alebo nedetekovateľných) defektov materiálu a následného poklesu pevnosti v dôsledku korózie kovu, rozpadu dreva atď.

akciový faktor.

Bezpečnostný faktor akéhokoľvek konštrukčného prvku sa rovná pomeru medzného zaťaženia, ktoré spôsobuje stratu pevnosti prvku, k zaťaženiu, ktoré vytvára prípustné napätie. V tomto prípade sa stratou pevnosti rozumie nielen zničenie prvku, ale aj výskyt zvyškových deformácií v ňom. Preto je pre konštrukčný prvok vyrobený z plastového materiálu konečným napätím medza klzu. Vo väčšine prípadov sú pracovné napätia v konštrukčných prvkoch úmerné zaťaženiam, a preto je bezpečnostný faktor definovaný ako pomer medzi medzou pevnosti a prípustným napätím (bezpečnostný faktor pre medzu pevnosti). Ak je teda pevnosť v ťahu konštrukčnej ocele 540 MPa a prípustné napätie je 180 MPa, potom je bezpečnostný faktor 3.

ROVNOMERNÉ ROZDELENIE NAPÄTIA

Pri pevnosti materiálov sa veľká pozornosť venuje odvodeniu vzťahov medzi danými zaťaženiami, rozmermi a tvarom konštrukčného prvku, ktorý tieto zaťaženia nesie alebo im odoláva, a napätiami, ktoré vznikajú v určitých úsekoch konštrukčného prvku. Účelom výpočtov je spravidla nájsť požadované rozmery prvku, pri ktorých maximálne prevádzkové napätie v ňom nepresiahne prípustné.

V základnom kurze o pevnosti materiálov sa uvažuje o množstve typických prípadov rovnomerného rozloženia napätia: ťažné tyče, krátke stlačené tyče, tenkostenné valce pracujúce pod vnútorným tlakom (kotly a nádrže), nitované a zvárané spoje, tepelné namáhanie a také staticky neurčité systémy ako ťažné tyče z niekoľkých rôznych materiálov.

Ak je napätie vo všetkých bodoch prierezu rovnaké, potom S = P/A. Projektant zistí požadovanú plochu prierezu vydelením daného zaťaženia dovoleným napätím. Ale musíme byť schopní rozlíšiť prípady, v ktorých je stres skutočne rovnomerne rozložený, od iných podobných prípadov, v ktorých nie je. Je tiež potrebné (ako v problematike nitovaných spojov, v ktorých existujú napätia a napätia, stlačenia a šmyky) nájsť roviny, v ktorých pôsobia napätia rôzneho druhu, a určiť maximálne lokálne napätia.

Tenkostenný valec.

Takýto zásobník zlyhá (rozbije sa), keď sa ťahové napätie v jeho plášti rovná pevnosti materiálu v ťahu. Vzorec týkajúci sa hrúbky steny t, vnútorný priemer nádrže D, Napätie S a vnútorný tlak R, možno odvodiť zohľadnením rovnovážnych podmienok pre prstenec vyrezaný z plášťa dvoma priečnymi rovinami oddelenými vzdialenosťou L(obr. 4, ale). Vnútorný tlak pôsobí na vnútorný povrch polotovaru silou nahor rovnou produktu RDL a napätia v dvoch horizontálnych koncových častiach polkruhu vytvárajú dve sily smerujúce nadol, z ktorých každá je rovná tLS. Prirovnávame, dostávame

RDL = 2tLS, kde S = RD/2t.

Nitové spojenie.

Na obr. 4, b je prezentované dvojité nitované spojenie dvoch pásov s presahom. Takéto spojenie môže zlyhať v dôsledku prerezania oboch nitov, pretrhnutia jedného z pásikov v mieste, kde je oslabený otvorom pre nit, alebo v dôsledku príliš vysokých šmykových napätí pozdĺž oblasti kontaktu nitu s pásom. . Napätie zrútenia v nitovom spoji sa vypočíta ako zaťaženie na nit delené priemerom nitu a hrúbkou pásu. Prípustné zaťaženie pre takéto spojenie je najmenšie zo zaťažení zodpovedajúcich prípustným napätiam troch uvedených typov.

Všeobecne povedané, napätie pôsobiace v priereze napnutej alebo krátko stlačenej tyče možno oprávnene považovať za rovnomerne rozložené, ak pôsobia rovnaké a opačne smerujúce zaťaženia tak, že výslednica každého z nich prechádza ťažiskom uvažovaného prierezu. . Je však potrebné mať na pamäti, že množstvo problémov (vrátane problému tlakových napätí v nitovanom spoji) sa rieši za predpokladu rovnomerného rozloženia napätia, aj keď to zjavne nie je pravda. Prípustnosť takéhoto prístupu sa testuje experimentálne.

JEDNOROBNÉ ROZDELENIE NAPÄTIA

Mnohé stavebné prvky a časti strojov sú zaťažované tak, že napätia vo všetkých ich prierezoch sú nerovnomerne rozložené. Ak chcete odvodiť vzorce na výpočet napätí za takýchto podmienok, mentálne rozrežte prvok rovinou, ktorá dáva požadovaný prierez, na dve časti a zvážte podmienky rovnováhy pre jednu z nich. Na túto časť pôsobí jedna alebo viacero špecifikovaných vonkajších síl, ako aj sily ekvivalentné napätiam v danom priereze. Prevádzkové napätia musia spĺňať podmienky rovnováhy a zodpovedať deformáciám. Tieto dve požiadavky tvoria základ riešenia problému. Druhý z nich naznačuje platnosť Hookovho zákona. Typickými prvkami s nerovnomerným rozložením napätí sú zaťažené nosníky, hriadele pod torznými silami, ťahané alebo stlačené tyče s dodatočným ohybom a stĺpy.

lúče.

Nosník je dlhá tyč s podperami a bremenami, ktorá pracuje hlavne pri ohýbaní. Prierez nosníka je zvyčajne rovnaký po celej jeho dĺžke. Sily, ktorými podpery pôsobia na nosník, sa nazývajú reakcie podpier. Najbežnejšie sú dva typy nosníkov: konzolové (obr. 5, ale) a nosník s dvoma podperami, nazývaný jednoduchá (obr. 5, b). Pri pôsobení zaťaženia sa lúč ohýba. Zároveň sa zmenšujú „vlákna“ na jeho hornej strane a na spodnej strane sa predlžujú. Je zrejmé, že niekde medzi hornou a spodnou stranou nosníka je tenká vrstva, ktorej dĺžka sa nemení. Nazýva sa to neutrálna vrstva. Zmena dĺžky vlákna umiestneného medzi hornou (alebo spodnou) stranou lúča a jeho neutrálnou vrstvou je úmerná vzdialenosti k neutrálnej vrstve. Ak platí Hookov zákon, tak aj napätia sú úmerné tejto vzdialenosti.

Vzorec krivky.

Na základe zadaného rozloženia napätia, doplneného o podmienky statiky, tzv. ohybový vzorec, v ktorom je napätie vyjadrené pomocou zaťažení a rozmerov nosníka. Zvyčajne sa uvádza vo forme S = Mc/ja, kde S je maximálne napätie v uvažovanom priereze, c je vzdialenosť od neutrálnej vrstvy k najviac namáhanému vláknu, M- ohybový moment rovný súčtu momentov všetkých síl pôsobiacich na jednu stranu tohto úseku, a ja- moment zotrvačnosti prierezu (určitá funkcia tvaru a rozmerov prierezu). Charakter zmeny normálových napätí v priereze nosníka je znázornený na obr. 6.

Šmykové napätia pôsobia aj v prierezoch nosníkov. Sú spôsobené výslednicou všetkých vertikálnych síl pôsobiacich na jednej strane prierezu vodorovného nosníka. Súčet všetkých vonkajších síl a reakcií pôsobiacich na jednu z dvoch častí nosníka sa nazýva šmyk v priereze nosníka a zvyčajne sa označuje ako V. Šmykové napätia sú v priereze rozložené nerovnomerne: na hornom a dolnom okraji profilu sú rovné nule a takmer vždy sú maximálne v neutrálnej vrstve.

Vychýlenie lúča.

Často sa vyžaduje vypočítať priehyb lúča spôsobený pôsobením zaťaženia, t.j. vertikálny posun bodu ležiaceho v neutrálnej vrstve. Ide o veľmi dôležitú úlohu, keďže vychýlenie a zakrivenie lúča je potrebné poznať pri riešení problémov súvisiacich so širokou škálou tzv. staticky neurčité systémy.

Ešte v roku 1757 odvodil L. Euler vzorec na zakrivenie zakriveného lúča. V tomto vzorci je zakrivenie lúča vyjadrené ako premenlivý ohybový moment. Na nájdenie ordináty pružnej krivky (vychýlenia) je potrebné zobrať dvojitý integrál. V roku 1868 O.Mohr (Nemecko) navrhol metódu založenú na diagramoch ohybových momentov. Táto graficko-analytická metóda má oproti predchádzajúcim metódam obrovskú výhodu, pretože umožňuje zredukovať všetky matematické výpočty na relatívne jednoduché aritmetické výpočty. Umožňuje vypočítať priehyb a sklon v ľubovoľnom bode nosníka pri akomkoľvek zaťažení.

Staticky neurčité trámy.

Mnohé nosníky používané v budovách a strojoch majú viac ako dve nohy alebo iba dve nohy, ale s jedným z koncov uzavretým, čím sa eliminuje možnosť otáčania. Takéto nosníky sa nazývajú staticky neurčité, pretože rovnice statiky nestačia na určenie reakcií v podperách a momentov v kotvení. Najčastejšie sa uvažujú také nosníky troch typov: s jedným zapusteným (štipnutým) koncom a jednou podperou, s oboma koncami zapustenými a spojité nosníky s viac ako dvoma podperami (obr. 7).

Prvé riešenie problému spojitých lúčov publikoval francúzsky inžinier B. Clapeyron v roku 1857. Dokázal tzv. trojmomentová veta. Trojmomentová rovnica je pomer medzi ohybovými momentmi v troch po sebe nasledujúcich podperách jedného spojitého nosníka. Napríklad v prípade spojitého nosníka s rovnomerným zaťažením na každom poli má táto rovnica tvar

M A L 1 + 2M B(L 1 + L 2) + M C L 2 = – (W 1 L 1 3)/4 – (W 2 L 2 3)/4.

Tu M A, M B A M C- ohybové momenty v troch podperách, L 1 a L 2 - dĺžky ľavého a pravého rozpätia, 2 - zaťaženie pravého rozpätia. Je potrebné napísať takúto rovnicu pre každú dvojicu susedných polí a potom vyriešiť výsledný systém rovníc. Ak je počet rozpätí n, potom sa počet rovníc bude rovnať n – 1.

V roku 1930 H. Cross publikoval svoju metódu výpočtu širokého rozsahu staticky neurčitých rámcov a spojitých nosníkov. Jeho „metóda distribúcie momentov“ vám umožňuje zaobísť sa bez riešenia sústav rovníc, pričom všetky výpočty redukuje na sčítanie a odčítanie čísel.

TORZNÉ NAPÄTIE.

Ak na konce hriadeľa pôsobia rovnaké, ale opačne smerujúce vonkajšie torzné momenty, potom vo všetkých jeho prierezoch existujú iba tangenciálne napätia, t.j. stav napätia v bodoch krútenej tyče je čistý šmyk. V kruhovom priereze hriadeľa sú šmykové napätia a šmykové napätia v strede rovné nule a maximálne na okraji; v medziľahlých bodoch sú úmerné vzdialenosti od ťažiska úseku. Zvyčajný vzorec pre maximálne torzné šmykové napätie je: S = Tc/J, kde T- krútiaci moment na jednom konci, c je polomer hriadeľa a J je polárny moment úseku. Pre kruh J = pr 4/2. Tento vzorec je použiteľný iba v prípade kruhového prierezu. Vzorce pre hriadele s prierezom iného tvaru sú odvodené riešením príslušných problémov pomocou metód matematickej teórie pružnosti, v niektorých prípadoch s použitím metód experimentálnej analýzy.

KOMPLEXNÁ ODOLNOSŤ.

Často je potrebné navrhnúť nosníky, ktoré sú okrem priečneho zaťaženia vystavené aj pozdĺžnym ťahovým alebo tlakovým silám pôsobiacim na konce. V takýchto prípadoch sa napätie v ktoromkoľvek bode prierezu rovná algebraickému súčtu normálového napätia generovaného pozdĺžnym zaťažením a ohybového napätia generovaného priečnym zaťažením. Všeobecný vzorec pre napätie v prípade kombinovaného pôsobenia ohybu a ťahu a stlačenia je: S = ± ( P/A) ± ( Mc/ja), kde znamienko plus odkazuje na napätie v ťahu.

STĹPCE.

Rámy budov a mostné väzníky pozostávajú hlavne z ťažných tyčí, nosníkov a stĺpov. Stĺpy sú dlhé stlačené tyče, ktorých príkladom v rámci budov sú vertikálne tyče, ktoré nesú medzipodlažné podlahy.

Ak je dĺžka stlačenej tyče viac ako 10–15-krát väčšia ako jej hrúbka, potom pri pôsobení kritických zaťažení aplikovaných na jej konce stratí stabilitu a ohne sa, a to aj v prípade, že zaťaženie pôsobí nominálne pozdĺž jej osi (pozdĺžnej ohýbanie). Vďaka tomuto ohybu je zaťaženie excentrické. Ak je excentricita v priemernom priereze stĺpa D, potom sa maximálne tlakové napätie v stĺpe bude rovnať ( P/A) + (PDc/ja). To ukazuje, že prípustné zaťaženie pre stĺp by malo byť menšie ako pre krátku stlačenú tyč.

Vzorec pre stabilitu flexibilných stĺpov odvodil v roku 1757 L. Euler. Maximálne zaťaženie P, ktorý možno niesť pružným stĺpikom s výškou L, rovná sa mEA/(L/r) 2, kde m je konštantný faktor v závislosti od konštrukcie základne, A je prierezová plocha stĺpca a r– najmenší polomer otáčania prierezu. Postoj L/r nazývaná flexibilita (vzpieranie). Je ľahké vidieť, že prípustné zaťaženie rýchlo klesá so zvyšujúcou sa flexibilitou stĺpika. V prípade stĺpov s nízkou flexibilitou je Eulerov vzorec nevhodný a dizajnéri sú nútení používať empirické vzorce.

V budovách sa často nachádzajú excentricky zaťažené stĺpy. Ako výsledok presnej teoretickej analýzy takýchto stĺpcov sa získali "sekantové vzorce". Výpočty pomocou týchto vzorcov sú však veľmi namáhavé, a preto sa často treba uchýliť k empirickým metódam, ktoré dávajú dobré výsledky.

KOMPLEXNÉ STRESOVÉ STAVY

Napätie v ktoromkoľvek bode jednej alebo druhej roviny zaťaženého telesa, vypočítané podľa obvyklých vzorcov, nemusí byť v tomto bode nevyhnutne najväčšie. Preto je veľmi dôležitá otázka vzťahu medzi napätiami v rôznych rovinách prechádzajúcich jedným bodom. Takéto vzťahy sú predmetom odboru mechaniky, ktorý sa venuje zložitým napäťovým stavom.

Vzťahy medzi stresmi.

Stav napätia v niektorom bode ľubovoľného zaťaženého telesa možno plne charakterizovať reprezentáciou napätí pôsobiacich v tomto bode na plochu elementárnej kocky. Často existujú prípady, ktoré zahŕňajú vyššie uvedené prípady, dvojosového (rovinného) napätého stavu s napätiami rovnými nule na dvoch protiľahlých stranách kocky. Napätia existujúce v bode telesa nie sú rovnaké v rovinách s rôznym sklonom. Na základe základných ustanovení statiky možno vyvodiť množstvo dôležitých záverov o vzťahu medzi napätiami v rôznych rovinách. Tu sú tri z nich:

1. Ak je v niektorom bode danej roviny šmykové napätie, potom presne rovnaké napätie existuje aj v rovine prechádzajúcej týmto bodom a kolmej na daný bod.

2. Existuje rovina, v ktorej je normálové napätie väčšie ako v ktorejkoľvek inej.

3. V rovine kolmej na túto rovinu je normálové napätie menšie ako v ktorejkoľvek inej.

Maximálne a minimálne normálové napätia uvedené v odsekoch 2 a 3 sa nazývajú hlavné napätia a zodpovedajúce roviny sa nazývajú hlavné roviny.

Potreba analyzovať hlavné napätia na základe týchto vzťahov nie vždy vzniká, pretože jednoduché vzorce, ktoré inžinieri zvyčajne používajú, vo väčšine prípadov udávajú presne maximálne napätia. Ale v niektorých prípadoch, napríklad pri výpočte hriadeľa, ktorý odoláva torzným aj ohybovým momentom, sa bez vzťahov pre komplexný stav napätia nezaobíde.

NÁROČNEJŠIE VÝZVY

Vo vyššie diskutovaných problémoch boli napätia považované buď za rovnomerne rozložené alebo lineárne sa meniace so vzdialenosťou od neutrálnej osi, kde je napätie nulové. V mnohých prípadoch je však zákon zmeny napätia komplikovanejší.

Príklady problémov s nelineárnym rozložením napätia zahŕňajú zakrivené nosníky, hrubostenné nádoby pracujúce pod vysokým vnútorným alebo vonkajším tlakom, hriadele nekruhového prierezu a zaťažené telesá s náhlymi zmenami prierezu (drážky, ramená atď.). .). Pre takéto problémy sa vypočítavajú faktory koncentrácie stresu.

Navyše, vyššie uvedená diskusia bola len o statických zaťaženiach, postupne aplikovaných a odstraňovaných. Premenlivé a periodicky sa meniace zaťaženia, opakovane opakované, môžu viesť k strate pevnosti, aj keď nepresahujú statickú pevnosť v ťahu daného materiálu. Takéto poruchy sa nazývajú únavové poruchy a problém ich prevencie sa stal dôležitým v našej dobe strojov a mechanizmov pracujúcich pri nezvyčajne vysokých rýchlostiach. pozri tiež

Ako miera intenzity vnútorných síl rozložených na úseky sú napätia sily na jednotku plochy úseku. Vyberte v blízkosti bodu B malá platforma Δ F(obr. 3.1). Nechať byť Δ R je výsledkom vnútorných síl pôsobiacich na toto miesto. Potom priemerná hodnota vnútorných síl na jednotku plochy Δ F uvažovaná lokalita sa bude rovnať:

Ryža. 3.1. Priemerné napätie na mieste

Hodnota pm volal stredné napätie. Charakterizuje priemernú intenzitu vnútorných síl. Zmenšenie veľkosti plochy, v limite, ktorý dostaneme

Hodnota p sa nazýva skutočný stres alebo jednoducho napätie v danom bode v danom úseku.

Jednotkou napätia je pascal, 1 Pa \u003d 1 N / m2. Pretože skutočné hodnoty napätia budú vyjadrené vo veľmi veľkých číslach, mali by sa použiť viaceré jednotkové hodnoty, napríklad MPa (megapascal) 1 MPa \u003d 10 6 N / m 2.

Napätia, podobne ako sily, sú vektorové veličiny. V každom bode časti tela plné napätie p možno rozložiť na dve zložky (obr. 3.2):

1) komponent kolmý na rovinu rezu. Táto zložka sa nazýva normálne napätie a označené σ ;

2) komponent ležiaci (v rovine rezu. Tento komponent sa označuje τ a volal šmykové napätie. Tangenciálne napätie v závislosti od pôsobiacich síl môže mať v rovine rezu ľubovoľný smer. Pre pohodlie τ predstavujú vo forme dvoch komponentov v smere súradnicových osí. Akceptované označenia napätí nie sú zobrazené ani na obr. 3.2

Normálne napätie má index označujúci, s ktorou súradnicovou osou je napätie rovnobežné. Ťahové normálové napätie sa považuje za pozitívne, tlakové - negatívne.. Označenia šmykových napätí majú dva indexy: prvý z nich označuje, ktorá os je rovnobežná s normálou k oblasti pôsobenia daného napätia, a druhý označuje, s ktorou osou je samotné napätie rovnobežné. Rozklad celkového napätia na normálne a tangenciálne napätia má určitý fyzikálny význam. Normálne napätie nastáva, keď majú častice materiálu tendenciu sa od seba vzďaľovať alebo naopak približovať. Šmykové napätia sú spojené so šmykom častíc materiálu pozdĺž roviny rezu.

Ryža. 3.2. Rozklad vektora celkového napätia

Ak mentálne vystrihnete okolo nejakého bodu tela prvok vo forme nekonečne malej kocky, potom vo všeobecnom prípade budú napätia znázornené na obr. 3.3. Súbor napätí vo všetkých elementárnych oblastiach, ktoré možno ťahať cez ktorýkoľvek bod tela volal stresový stav v danom bode.

Vypočítajme súčet momentov všetkých elementárnych síl pôsobiacich na prvok (obr. 3.3), vzhľadom na súradnicové osi, takže napr. X berúc do úvahy rovnováhu prvku, máme:

Napätie nazývaná intenzita pôsobenia vnútorných síl v určitom bode telesa , to znamená, že napätie je vnútorná sila na jednotku plochy. Stres je svojou povahou povrchové zaťaženie, ktoré sa vyskytuje na vnútorných povrchoch kontaktu medzi časťami tela.

deformácia nazývaná zmena veľkosti a tvaru tela pri pôsobení pôsobiacich síl.

Napätie je pomer pôsobiacej sily k ploche prierezu telesa alebo vzorky σ = P/F. V závislosti od smeru pôsobenia sily sa normálové napätia delia na strečing A kompresný. Rozlišovať dočasné A zvyškový Napätie. Dočasné stresy vznikajú pôsobením vonkajšieho zaťaženia a zanikajú po jeho odstránení, zvyškový- zostávajú v tele po ukončení záťaže.

Ak sa po ukončení pôsobenia vonkajších síl úplne eliminujú zmeny tvaru, stavby a vlastností telesa, potom sa takáto deformácia nazýva tzv. elastické.

Keď napätie narastie nad medzu pružnosti, deformácia sa stáva nevratnou. Pri odstránení zaťaženia sa eliminuje iba elastická zložka deformácie, zvyšná časť sa nazýva plastická deformácia.

Normálne napätie:

Zložka napätí smerujúcich pozdĺž normály k miestu jej pôsobenia.

Kasat napätie:

Zložka napätí ležiaca v rovine rezu.

Pravidlá podpisovania:

Normálne stresyσ sa berú ako kladné (t. j. σ>0), ak rozťahujú vybraný tyčový prvok.

Šmykové napätiaτ sa považujú za kladné (t.j. τ>0), ak majú tendenciu otáčať uvažovaný prvok nosníka v smere hodinových ručičiek.

V napätí-kompresii

Vnútorná pozdĺžna sila N, ktorý má tendenciu naťahovať uvažovanú časť dreva, sa považuje za pozitívny. Pozdĺžna tlaková sila má záporné znamienko.

Krútenie

Vnútorný torzný moment T sa považuje za pozitívny, ak má tendenciu otáčať uvažovanú časť lúča proti smeru hodinových ručičiek pri pohľade z vonkajšej normály.

Pri ohýbaní

Vnútorná šmyková sila Q sa považuje za pozitívny v prípade, keď má tendenciu otáčať uvažovanú časť lúča v smere hodinových ručičiek.

Vnútorný ohybový moment M je kladný, keď má tendenciu stláčať horné vlákna dreva.

Ťahovo-kompresné napätie Δ l sa považuje za pozitívne, ak sa dĺžka tyče zväčší.

S plochým priečnym ohybom

Vertikálne posunutie časti nosníka sa považuje za kladné, ak smeruje nahor z počiatočnej polohy.

Znakové pravidlo pri zostavovaní rovníc statiky

- na projekcie síl na osi súradnicového systému

Priemet vonkajších síl na osi súradnicového systému sa považuje za kladný, ak sa ich smer zhoduje s kladným smerom príslušnej osi.

- na okamihy

Sústredené momenty a momenty síl v rovniciach statiky sa píšu s kladným znamienkom, ak majú tendenciu otáčať uvažovaný systém proti smeru hodinových ručičiek.

Znakové pravidlo pri zostavovaní rovníc statiky pre imobilné systémy

Pri zostavovaní rovnováh rovnováhy pre statické (nehybné) systémy (napríklad keď stanovenie podporných reakcií), posledné dve pravidlá sú zjednodušené na formulár:

Projekcie síl a momentov, ktoré majú rovnaký smer, sa považujú za pozitívne, a teda projekcie síl a momentov opačného smeru sú negatívne.

PLOCHÝ STRESOVÝ STAV

Ak sú všetky vektory napätia rovnobežné s tou istou rovinou, stav napätia sa nazýva plochý (obr. 1). V opačnom prípade: stav napätia je plochý, ak je jedno z troch hlavných napätí nulové.

Obrázok 1.

Rovinný napäťový stav sa realizuje v doske zaťaženej pozdĺž jej obrysu silami, ktorých výslednice ležia v jej strednej rovine (stredná rovina je rovina deliaca hrúbku dosky na polovicu).

Smery napätia na obr. 1 sa považujú za pozitívne. Uhol α je kladný, ak je vynesený od osi x k osi y. Na stránke s normálnym n:

Normálne napätie σ n je kladné, ak je ťahové. Kladné napätie je znázornené na obr. 1. Znamenkové pravidlo pre vzorec (1) je rovnaké ako pre napätia podľa vzorca (1).

Tu uvedené pravidlo značiek platí pre naklonené oblasti. V článku "Stav objemového stresu" bolo formulované znamienkové pravidlo pre zložky napätia v bode, t.j. pre napätia v oblastiach kolmých na súradnicové osi. Toto pravidlo znakov je akceptované v teórii elasticity.

Hlavné napätia v oblastiach kolmých na rovinu napätia:

Najväčšie a najmenšie šmykové napätia

Tieto napätia pôsobia na miesta umiestnené pod uhlom 45° k prvému a druhému hlavnému miestu.

Napätie je mierou rozloženia vnútorných síl v priereze.

Kde
- vnútorná pevnosť odhalená na mieste
.

plné napätie
.

Normálové napätie - priemet vektora celkového napätia do normály sa označí σ.
, kde E je modul pružnosti prvého druhu, ε je lineárna deformácia. Normálne napätie je spôsobené len zmenou dĺžok vlákien, smeru ich pôsobenia a nie je skreslený uhol priečnych a pozdĺžnych vlákien.

Šmykové napätie - zložky napätia v rovine rezu.
, kde
(pre izotropný materiál) - modul pružnosti v šmyku (modul pružnosti druhého druhu), μ - Poissonov koeficient (=0,3), γ - uhol šmyku.

7. Hookov zákon pre jednoosový stav napätia v bode a Hookov zákon pre čistý šmyk. Elastické moduly prvého a druhého druhu, ich fyzikálny význam, matematický význam a grafická interpretácia. Poissonov pomer.

- Hookov zákon pre jednoosový stav napätia v bode.

E je koeficient proporcionality (modul pružnosti prvého druhu). Modul pružnosti je fyzikálna konštanta materiálu a je určená experimentálne. Hodnota E sa meria v rovnakých jednotkách ako σ, t.j. v kg/cm2.

- Hookov zákon pre zmenu.

G je modul pružnosti v šmyku (modul pružnosti druhého druhu). Rozmer modulu G je rovnaký ako rozmer modulu E, t.j. kg/cm2.
.

μ je Poissonov pomer (faktor proporcionality).
. Experimentálne stanovená bezrozmerná hodnota charakterizujúca vlastnosti materiálu leží v rozsahu od 0,25 do 0,35 a nemôže presiahnuť 0,5 (pre izotropný materiál).

8. Stredové napätie (stlačenie) rovnej tyče. Stanovenie vnútorných pozdĺžnych síl rezovou metódou. Pravidlo znakov pre vnútorné pozdĺžne sily. Uveďte príklady výpočtu vnútorných pozdĺžnych síl.

Nosník zažíva stav stredového napätia (stlačenia), ak v jeho prierezoch vznikajú centrálne pozdĺžne sily N z (t. j. vnútorná sila, ktorej línia pôsobenia smeruje pozdĺž osi z), a zvyšných 5 silových faktorov je rovných nule. (Qx = Qy=Mx=My=Mz=0).

Znamenkové pravidlo pre N z: skutočná ťahová sila - "+", skutočná tlaková sila - "-".

9. Stredové napätie (stlačenie) priameho nosníka. Stanovenie a riešenie problému stanovenia napätí v prierezoch nosníka. Tri strany problému.

Tvrdenie: Priamy nosník z homogénneho materiálu, natiahnutý (stlačený) stredovými pozdĺžnymi silami N. Určte napätie, ktoré vzniká v prierezoch nosníka, deformáciu a posunutie prierezov nosníka v závislosti od súradníc z týchto sekcií.

10. Stredové napätie (stlačenie) priameho nosníka. Stanovenie deformácií a posunov. Tuhosť nosníka v ťahu (v tlaku). Uveďte príklady relevantných výpočtov.

Centrálne napätie (stlačené) priameho nosníka, pozri otázku 8.

.

Pri stredovom napätí (stlačenom) nosníka v priečnom smere vzniká v reze len normálové napätie σ z, ktoré je vo všetkých bodoch prierezu konštantné a rovné N z /F.
, kde EF je ťahová (tlaková) tuhosť nosníka. Čím väčšia je tuhosť nosníka, tým menej sa guľôčky deformujú rovnakou silou. 1/(EF) – poddajnosť nosníka v ťahu (tlaku).

11. Stredové napätie (stlačenie) priameho nosníka. Štatisticky neurčité systémy. Zverejnenie statickej neurčitosti. Vplyv teploty a montážnych faktorov. Uveďte príklady relevantných výpočtov.

Centrálne napätie (stlačené) priameho nosníka, pozri otázku 8.

Ak je počet lineárne nezávislých rovníc statiky menší ako počet neznámych zahrnutých v sústave týchto rovníc, potom sa problém určenia týchto neznámych stáva staticky neurčitým.
(O koľko sa jedna časť predĺži, o koľko sa zmenší druhá časť).

Normálne podmienky - 20ºC.
.f(σ,ε,tº,t)=0 – funkčná závislosť medzi 4 parametrami.

12. Experimentálne štúdium mechanických vlastností materiálov v ťahu (tlaku). Princíp Saint-Venant. Vzorový diagram ťahu. Vykladanie a prekladanie. Otužovanie. Základné mechanické, pevnostné a deformačné charakteristiky materiálu.

Mechanické vlastnosti materiálov sa počítajú pomocou skúšobných strojov, ktoré sú pákové a hydraulické. V pákovom stroji sa sila vytvára pomocou zaťaženia pôsobiaceho na vzorku cez sústavu pák a v hydraulickom stroji pomocou hydraulického tlaku.

Saint-Venantov princíp: Charakter rozloženia napätia v prierezoch dostatočne vzdialených (prakticky vo vzdialenostiach rovnajúcich sa charakteristickej priečnej veľkosti tyče) od miesta pôsobenia zaťažení, pozdĺžne sily nezávisia od spôsobu pôsobenia týchto zaťažení. sily, ak majú rovnaký statický ekvivalent. V zóne pôsobenia zaťaženia sa však zákon rozloženia napätia môže výrazne líšiť od zákona rozloženia v dostatočne vzdialených úsekoch.

Ak sa skúšobná vzorka vyloží bez pretrhnutia, potom v procese odľahčenia zo závislosti medzi silou P a predĺžením Δl, vzorka získa zvyškové predĺženie.

Ak bola vzorka zaťažená v oblasti, kde je dodržaný Hookeov zákon, a potom odľahčená, potom bude predĺženie čisto elastické. Pri opakovanom nakladaní medziľahlé vykladanie zmizne.

Kalenie (pracovné spevnenie) je jav zvyšovania elastických vlastností materiálu v dôsledku predbežnej plastickej deformácie.

Hranica proporcionality je maximálne napätie, do ktorého sa materiál riadi Hookovým zákonom.

Hranica pružnosti je maximálne napätie, do ktorého materiál nedochádza k zvyškovým deformáciám.

Napätie na medzi klzu je napätie, pri ktorom dochádza k zvýšeniu napätia bez viditeľného zvýšenia zaťaženia.

Pevnosť v ťahu je maximálne napätie, ktoré vzorka odolá bez toho, aby sa zlomila.

13. Fyzikálna a podmienená medza klzu materiálov pri skúšaní vzoriek na ťah, medzu pevnosti. Prípustné napätia pri výpočte pevnosti centrálne napínaného (stlačeného) nosníka. Normatívne a skutočné bezpečnostné faktory. Uveďte číselné príklady.

V prípadoch, keď na diagrame nie je jasne definovaná medza klzu, sa za medzu klzu podmienečne berie hodnota napätia, pri ktorej je zvyšková deformácia ε zvyšok = 0,002 alebo 0,2 %. V niektorých prípadoch je stanovený limit ε zvyšok =0,5 %.

max|σz |=[σ].
,n>1(!) – normatívny bezpečnostný faktor.

- skutočný bezpečnostný faktor.n>1(!).

14. Stredové napätie (stlačenie) priameho nosníka. Výpočty pevnosti a tuhosti. silový stav. Stav tuhosti. Tri typy problémov pri výpočte pevnosti.

Centrálne napätie (stlačené) priameho nosníka, pozri otázku 8.

max|σz | natiahnuť ≤[σ] natiahnuť;max|σ z | kompresia ≤[σ] kompresia.

15. Zovšeobecnený Hookov zákon pre trojosový stav napätia v bode. Relatívna objemová deformácia. Poissonov pomer a jeho hraničné hodnoty pre homogénny izotropný materiál.

,
,
. Pridaním týchto rovníc dostaneme výraz pre objemovú deformáciu:
. Tento výraz vám umožňuje určiť hraničnú hodnotu Poissonovho pomeru pre akýkoľvek izotropný materiál. Uvažujme prípad, keď σ x =σ y =σ z =р. V tomto prípade:
. Ak je p kladné, hodnota θ musí byť tiež kladná, ak je p záporné, zmena objemu bude záporná. To je možné len vtedy, keď μ≤1/2. Preto hodnota Poissonovho pomeru pre izotropný materiál nemôže presiahnuť 0,5.

16. Vzťah medzi tromi elastickými konštantami pre izotropný materiál (bez odvodenia vzorca).

,
,
.

17. Štúdia napäto-deformačného stavu v bodoch centrálne natiahnutého (stlačeného) priameho nosníka. Zákon párovania tangenciálnych napätí.

,
.

- zákon o párovaní tangenciálnych napätí.

18. Stredové napätie (stlačenie) tyče z lineárne elastického materiálu. Potenciálna energia pružnej deformácie nosníka a jej spojenie s prácou vonkajších pozdĺžnych síl pôsobiacich na nosník.

A=U+K. (V dôsledku práce sa kumuluje potenciálna energia deformovaného telesa U, navyše práca ide na zrýchlenie hmotnosti telesa, t.j. premieňa sa na kinetickú energiu).

Ak sa centrálne napätie (stlačenie) nosníka vyrobeného z lineárneho elastického materiálu vykonáva veľmi pomaly, potom bude rýchlosť pohybu ťažiska tela veľmi malá. Takýto proces načítania sa nazýva statický. Telo je vždy v rovnovážnom stave. V tomto prípade A=U a práca vonkajších síl sa úplne premení na potenciálnu energiu deformácie.
,
,
.