Berezneva T.D.

Téma 7

„SYSTÉMY LINEÁRNYCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC.

GAUSSOVÁ METÓDA - JORDÁNSKO."

( Akademická disciplína "Úvod do lineárnej algebry a analytickej geometrie")

SYSTÉMY LINEÁRNYCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC.

GAUSSOVÁ METÓDA - JORDÁNSKO.

Základné pojmy

Nazýva sa rovnica s n premennými lineárne ak všetky premenné ( X 1 , X 2 , … X n ) sú v nej zahrnuté v stupni 1. Všeobecný tvar takejto rovnice je formálne napísaný takto:

a 1 X 1 + a 2 X 2 + … a j X j + … a n X n = b, (*)

= b.

Množstvá a j , j = 1,…, n a b sú známe (dané). Množstvá a j sa volajú koeficienty pre premenné(s neznámymi) a b - voľný člen.

Vyriešením lineárnej rovnice (*),,…,) hodnoty premenných, ktoré po dosadení do rovnice (t.j. pri nahradení x j za so všetkým j od 1 do n premení na identitu. Zdôrazňujeme, že riešením rovnice s n premennými je vždy množina n čísel a každá takáto množina n čísel je jedna vec Riešenie. Je zrejmé, že ak sa aspoň jeden koeficient premenných nerovná 0, potom rovnica (*) má riešenie. V opačnom prípade existuje riešenie len pre b = 0 a to všetko sú ľubovoľné množiny n čísel.

Uvažujme súčasne m rovníc tvaru (*), t.j. systémmlineárne algebraické rovnice snpremenné... Nech je každá i - tá rovnica, i = 1,2, ..., m, daná koeficientmi pre premenné a i 1, a i 2, ..., a in a voľný člen b i, t.j. má formu

a i1 X 1 + a i2 X 2 + ... + a ij X j + … + a v X n = b i .

Potom vo všeobecnej forme možno systém m lineárnych algebraických rovníc s n premennými zapísať v tvare:

a 11 X 1 + a 12 X 2 + ... + a 1j X j + ... + a 1n X n = b 1

a 21 X 1 + a 22 X 2 + ... + a 2j X j + ... + a 2n X n = b 2

………………………………………………………………………………

a i1 X 1 + a i2 X 2 + ... + a ij X j + ... + a v X n = b i (1)

…………………………………………………

a m1 X 1 + a m2 X 2 + ... + a mj X j + ... + a mn X n = b m

alebo, čo je to isté,

= b i , i = 1,…, m.

Ak sú všetky voľné členy rovné nule, potom sa volá systém (1). homogénne, t.j. má formu

= 0, i = 1,…, m, (1 0 )

inak - heterogénne... systém (1 0 ) je špeciálny prípad všeobecného systému (1) .

Riešením sústavy rovníc (1) sa nazýva usporiadaná množina ( ,,…,) hodnoty premenných, ktoré po dosadení do rovníc sústavy (1) (t.j. pri nahradení x j za , j = 1,..., n) všetky prevádza tieto rovnice na identity, t.j.
= b i pre všetky i = 1,…, m.

Sústava rovníc (1) sa nazýva kĺb, ak má aspoň jedno riešenie. V opačnom prípade sa systém nazýva nekonzistentné.

Zavolá sa množina všetkých riešení sústavy rovníc (1). mnohé z jeho riešení a označujú X b (X 0, ak je systém homogénny). Ak je systém nekonzistentný, potom X b = .

Hlavnou úlohou teórie sústav lineárnych algebraických rovníc je zistiť, či je sústava (1) konzistentná, a ak áno, opísať množinu všetkých jej riešení. Existujú metódy na analýzu takýchto systémov, ktoré umožňujú popísať súbor všetkých riešení v prípade spoločných systémov alebo sa uistiť, že sú inak nekompatibilné. Jednou z týchto univerzálnych metód je metóda sekvenčnej úplnej eliminácie neznámych, alebo metódaGauss - Jordánsko , ktorý budeme podrobne študovať.

Predtým, ako pristúpime k popisu Gaussovej - Jordanovej metódy, uvádzame množstvo definícií a tvrdení užitočných pre to, čo nasleduje.

Dve sústavy rovníc sa nazývajú ekvivalent ak majú rovnaký súbor riešení. Inými slovami, každé riešenie jedného systému je riešením druhého a naopak. Všetky nekompatibilné systémy sa považujú za rovnocenné.

Z definícií ekvivalencie a množiny riešení systémov tvaru (1) bezprostredne vyplýva platnosť nasledujúcich tvrdení, ktoré formulujeme vo forme vety.

Veta 1. Ak sústava (1) obsahuje rovnicu s číslomk, 1k m, také žea kj = 0 j, potom

Platnosť tvrdení vety je zrejmá, ak si všimneme, že k-ta rovnica má tvar

0 X 1 + 0 X 2 + … + 0 X j + … + 0 X n = b k .

Veta 2. Ak k jednej rovnici sústavy (1) pridáme ďalšiu rovnicu tej istej sústavy, vynásobenú ľubovoľným číslom, dostaneme sústavu rovníc ekvivalentnú pôvodnej sústave.

Dôkaz. Vynásobme napríklad druhú rovnicu sústavy (1) nejakým číslom a pridajte ho do prvej rovnice. V dôsledku tejto transformácie dostaneme systém (1 '), v ktorom sa všetky rovnice počnúc druhou nezmenili a prvá má nasledujúci tvar

= b 1 + b 2 .

Je zrejmé, že ak sú nejaké nastavené ( ,,…,) hodnôt premenných premení všetky rovnice systému (1) na identity, potom zmení všetky rovnice systému (1') na identity. Naopak, riešenie (x '1, x' 2,…, x 'j,…, x' n) k systému (1 ') je tiež riešením k systému (1), pretože sa získa systém (1). zo systému (1') pomocou podobnej transformácie, keď sa k prvej rovnici systému (1') pridá druhá rovnica systému (1'), vynásobená číslom (- ).

Nasledujúce tvrdenie je dokázané rovnakým spôsobom.

Veta 2'.Násobenie ľubovoľnej rovnice systému (1) ľubovoľným číslom iným ako nula transformuje systém (1) na ekvivalentný systém rovníc.

Vety 2 a 2 'dávajú dva typy transformácií, ktorému bol vystavený systém (1), pričom zostáva ekvivalentný:

a) násobenie (alebo delenie) ľubovoľnej rovnice systému (1) ľubovoľným číslom iným ako nula;

b) sčítanie (alebo odčítanie) k jednej rovnici druhej, vynásobené nejakým číslom.

Takéto premeny a) a b) sa nazývajú elementárne transformácie sústava rovníc (1).

Ak sa elementárne transformácie aplikujú na sústavu rovníc (1) niekoľkokrát, potom bude výsledná sústava, samozrejme, tiež ekvivalentná tej pôvodnej.

Systém rovníc (1) možno zapísať v tabuľkovej forme:

Zavolá sa obdĺžniková tabuľka čísel zložená z koeficientov a ij pre neznáme sústavy (1). matice sústava (1) a označuje sa A (obsahuje m riadkov a n stĺpcov), stĺpec voľných členov označujeme b. Obdĺžniková tabuľka zložená z koeficientov a ij pre neznáme a zo stĺpca voľných členov b sústavy (1) sa nazýva rozšírená matica systém (1) a je označený (obsahuje m riadkov a (n + 1) stĺpcov), t.j. = (A, b). V i -tom riadku matice obsahuje všetky slávny parametre charakterizujúce i-tú rovnicu sústavy (1), i = 1,…, m. j-tý stĺpec matice A obsahuje všetky koeficienty pre neznáme x j vyskytujúce sa v systéme (1).

Volajú sa čísla a ij maticové prvky A. Prvok a ij je v i-tom riadku a v j-tom stĺpci matice A. Zvykom sa hovorí, že prvok a ij je na križovatkei- oh riadok aj- tý stĺpec matice A. Ak sa všetky prvky riadka (stĺpca) matice A (okrem jednej) rovnajú nule a nenulový prvok sa rovná jednej, potom sa takýto riadok (stĺpec) nazýva slobodný(slobodný).

Elementárne transformácie systému (1) zodpovedajú nasledujúcim elementárnym transformáciám tabuľky (2):

a) násobenie (alebo delenie) všetkých prvkov ľubovoľného riadku tabuľky (2) ľubovoľným číslom iným ako nula,

b) sčítanie (alebo odčítanie) do jedného riadku (prvok po prvku) iného riadku, vynásobené nejakým číslom.

V dôsledku akejkoľvek elementárnej transformácie získame nový stôl, kde namiesto riadku, do ktorého pripočítali (alebo vynásobili ľubovoľným číslom okrem nuly), napíšteNový riadok a ostatné riadky (vrátane toho, ktorý bol pridaný) sa zapíšu nezmenené... Nová tabuľka zodpovedá sústave rovníc, ekvivalentné pôvodnému systému.

Aplikovaním elementárnych transformácií je možné tabuľku (2) a tým aj systém (1) zjednodušiť tak, aby bolo jednoduché vyriešiť pôvodný systém. Navrhovaná metóda je založená na tomto.

Metóda sekvenčnej úplnej eliminácie neznámych

(Gauss-Jordanova metóda)

Metóda sekvenčnej úplnej eliminácie neznámych, príp Gauss-Jordanova metóda, je univerzálna metóda na analýzu akýchkoľvek (vopred nie je známe, či sú kompatibilné alebo nekompatibilné) sústavy lineárnych algebraických rovníc. Umožňuje vám riešiť spoločné systémy alebo sa uistiť, že nekompatibilné systémy sú nekompatibilné.

Všimnime si zásadný rozdiel medzi navrhovanou metódou riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc od metódy riešenia povedzme štandardnej kvadratickej rovnice. Rieši sa pomocou známych vzorcov, v ktorých sú neznáme vyjadrené pomocou koeficientov rovnice. V prípade všeobecných systémov lineárnych algebraických rovníc takéto vzorce nemáme a používame na nájdenie riešenia iteračná metóda, alebo iteratívna metóda, alebo iteratívna metóda... Takéto metódy nedefinujú vzorce, ale postupnosť akcií.

Metóda Gauss - Jordan je sekvenčnou implementáciou série veľké schody rovnakého typu (prípiterácií ). Táto konkrétna iteračná metóda je jednou z mnohých iteračných metód navrhovaných pre riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc tvaru (1). Skladá sa to z počiatočná fáza, hlavná fáza a konečná fáza... Hlavná fáza obsahuje opakujúce sa iterácie sú súbory akcií rovnakého typu.

Nech je daný konkrétny systém lineárnych algebraických rovníc (1). Znamená to, že známyn , m , a ij , b i , i = 1,…, m ; j = 1,…, n ... Popíšme navrhovanú metódu riešenia tohto systému.

Prvé štádium zahŕňa konštrukciu tabuľky I (0) formulára (2) a výber v nej vedúci prvok - ľubovoľná nenulová koeficient pri premenných z tabuľky (2). Stĺpec a riadok, na ktorého priesečníku sa nachádza pivot, sa nazývajú vedenie... (Nech je vybraný prvok a i 0 j 0. Potom i 0 je vedúci riadok, j 0 je vedúci stĺpec.) Prejdite do hlavnej fázy. Všimnite si, že prvok pivot sa často nazýva povoľný.

Hlavná scéna pozostáva z opakovania iterácií rovnakého typu s číslami k = 1, 2,…. Poďme si podrobne popísať iterácie Gaussovej - Jordanovej metódy.

Na začiatku každej iterácie je známa určitá tabuľka I formulára (2), v ktorej je vybraný vodiaci (rozlišovací) prvok a podľa toho aj vodiaci stĺpec a vodiaci riadok. Okrem toho sú tu informácie o tom, ktoré riadky a stĺpce už boli vedenie. (Takže napríklad po počiatočnej fáze, t. j. pri iterácii 1, sú známe I (0), vodiaci (rozlišovací) prvok a i 0 j 0 a i 0 je vodiaci riadok, j 0 je vodiaci stĺpec.)

Iterácia (s číslom k ) pozostáva z nasledujúcich krokov.

Transformácia vedúci stĺpec(t. j. stĺpec obsahujúci otočný prvok) v jednotka s 1 na mieste čapu postupným odčítaním prvého riadka (t. j. riadku obsahujúceho vodiaci prvok), vynásobeného niekoľkými číslami, od ostatných riadkov tabuľky. sám vedúca línia sa transformuje rozdelením prvku po prvku pomocou prvku pivot.

Vypíše sa nová tabuľka I (k), (k je iteračné číslo), v ktorej všetky stĺpce, ktoré kedy viedli, sú jediné.

Skontroluje sa, či je možné vybrať v tabuľke I (k) nový vedúci (rozlišovací) prvok. Podľa definície je akýkoľvek nenulový prvok, ktorý stojí na priesečníku riadka a stĺpca, ktorý je nehybný neviedli .

Ak je takáto voľba možná, potom sa stĺpec a riadok, na priesečníku ktorých je vedúci (povoľujúci) prvok, nazývajú vedenie... Iterácia sa potom opakuje s novou tabuľkou I (k), t.j. kroky 1 - 3 sa opakujú s novou tabuľkou I (k). Súčasne sa skonštruuje nová tabuľka I (k +1).

Ak je zakázané vyberte nový prvok pivot a potom pokračujte do poslednej fázy.

Záverečná fáza. Ak urobíme r iterácie, získame tabuľku I (r), ktorá pozostáva z matice koeficientov pre premenné A (r) a stĺpca voľných členov b (r) a v nej je zakázané zvoliť nový pivot, t.j. metóda zastavená... Všimnite si, že metóda povinný o sa zastaví pre konečný počet krokov odkedy r nemôže byť väčšie ako min (m, n).

Aké sú možnosti zastavenia metódy? Čo tým myslíte, že „nemôžem vybrať nový prvok pivot“? To znamená, že po r-tej iterácii v matici A (r) nového systému ekvivalentného systému (1) buď

a) viedli všetky čiary A (r), t.j. každý riadok obsahuje jednu a práve jednu jednotku, ktorá už nestojí v žiadnom inom riadku,

b) v A (r) sú reťazce pozostávajúce iba z núl.

Zvážme tieto možnosti.

a) V tomto prípade r = m, m n. Preskupením riadkov a prečíslovaním premenných (t.j. preusporiadaním stĺpcov) môže byť tabuľka I (r) reprezentovaná ako

Zdôrazňujeme, že v tabuľke (3) sa každá premenná s číslom i nepresahujúcim r vyskytuje iba v jednom riadku. Tabuľka (3) zodpovedá sústave lineárnych rovníc formulára

x 1 +
= b (r) 1,

x 2 +
= b (r) 2,

………………………, (4)

x r +
= b (r) r,

v ktorej každá premenná s číslom i, nie nadradenýr, je jednoznačne vyjadrená v premenných xr +1,…, xn, koeficientoch matice a (r) ij, j = r + 1,…, n a voľného členu b (r) i uvedených v tabuľke (3). Na premenných X r +1 , … , X n neprekrývajú sa žiadne obmedzenia, t.j. oni môže nadobudnúť akékoľvek hodnoty . Ľubovoľné riešenie sústavy opísanej v tabuľke (3), alebo, čo je rovnaké, ľubovoľné riešenie sústavy (4), alebo, ktoré je rovnaké, ľubovoľné riešenie sústavy (1) má tvar

x i = b (r) i - a (r) ij x j, i = 1,..., r = m; x j - ľubovoľné pre j = (r + 1),…, n. (5)

Potom množinu riešení systému (1) možno zapísať ako

X b = (x = (x 1, ..., x n): x i = b (r) i - a (r) ij x j pre i = 1,..., r = m; x j - ľubovoľné pre j = (r + 1),…, n.).

b) V tomto prípade r< m, и существует хотя бы одна строка k, k >r, (predpokladáme, že permutácia riadkov a stĺpcov je rovnaká ako v bode a)) tak, že a (r) kj = 0 pre všetky j. Potom, ak príslušný priesečník b (r) k nerovná sa 0, potom k -tá rovnica nemá riešenie, a teda ani celý systém nemá riešenie, t.j. systém (1) nekonzistentné .

Ak sa zodpovedajúce b (r) k rovná 0, potom je k-tá rovnica zbytočná a možno ju zahodiť. Ak zahodíme všetky takéto rovnice, zistíme, že systém (1) je ekvivalentný systému z r rovnice s n premennými, ktoré sa po r krokoch zapíšu pomocou tabuľky v tvare (3), v ktorej viedli všetky riadky. Tým sme sa dostali k vyššie uvažovanému prípadu a) a môžeme napísať riešenie tvaru (5).

Gaussova - Jordanova metóda je opísaná v plnom znení. Za konečný počet iterácií systém lineárnych algebraických rovníc bude vyriešený (ak je kompatibilný) alebo bude zrejmé, že je nezlučiteľný (ak je skutočne nekompatibilný).

Premenné zodpovedajúce vedúcim (permisívnym) prvkom, alebo stojaci vo vedúcich kolónach, je zvykom volať základné a ostatné premenné sú zadarmo.

Venujme pozornosť nasledovnému.

1) Keď začneme riešiť systém pomocou Gauss-Jordanovej metódy, možno nevieme, či je tento systém konzistentný alebo nie. Na túto otázku odpovie Gaussova - Jordanova metóda pre konečný počet iterácií r. V prípade spoločného systému sa všeobecné riešenie pôvodného systému vypíše na základe poslednej tabuľky. V tomto prípade počet základných premenných nevyhnutne rovné číslu r poslednej iterácie, t.j. počet vykonaných iterácií. Číslo r vždy nepresahuje min (m, n), kde m je počet rovníc v sústave a n - počet systémových premenných. Ak r< n, potom ( n – r) sa rovná počtu voľných premenných.

2) Pri zaznamenávaní všeobecného rozhodnutia nie je potrebné prečíslovať premenné, ako to bolo urobené pre ľahšie pochopenie pri popise záverečnej fázy. Toto je pre jasnejšie pochopenie.

3) Pri riešení sústavy (1) Gaussovou - Jordanovou metódou základné premenné budú iba premenné zodpovedajúce stĺpcom, ktoré v niektorých iteráciách fungovali vedenie, a naopak, ak pri nejakej iterácii stĺpec fungoval ako vedúci, príslušná premenná bude nevyhnutne medzi základnými.

4) Ak všeobecné riešenie sústavy (1) obsahuje aspoň jednu voľnú premennú, tak táto sústava má nekonečne veľa súkromné ​​riešenia, ak neexistujú žiadne voľné premenné, systém má jedinečné riešenie, ktoré sa zhoduje so všeobecným riešením.

5) Vedúce prvky je možné vybrať v každej iterácii iným spôsobom. Dôležité je len to, že ide o nenulové koeficienty na priesečníku riadku a stĺpca, ktoré predtým neviedli. Rôzne možnosti výberu vedúce prvky môžu dať rôzne záznamy veľa riešení. Ale, samotný súbor riešení je rovnaký pre akýkoľvek záznam.

Vysvetlíme si, ako metóda funguje na príkladoch.

Príklad I. Vyriešte nasledujúcu sústavu lineárnych algebraických rovníc

2 x 1 - 3 x 2 + 3 x 3 + 5 x 4 = -1,

3 x 1 + 4 x 2 - 2 x 3 + 6 x 4 = 2, (6)

5 X 1 – 4 X 2 + 6 X 3 + 10 X 4 = 2

metódou sekvenčnej úplnej eliminácie neznámych (metóda Gauss - Jordan).

Prvé štádium. Najprv si vypíšeme sústavu rovníc (6) vo vhodnejšej forme - vo forme tabuľky I (0).

Ku každému systému lineárnych rovníc dávame korešpondenciu rozšírená matrica získané spojením s matricou A stĺpec bezplatných členov:

Jordan – Gaussova metóda aplikovaný na systémové riešenie m lineárne rovnice s n neznámy druh:

Táto metóda spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií sa sústava rovníc redukuje na ekvivalentnú sústavu rovníc s maticou určitého typu.

Nad riadkami rozšírenej matice vykonáme nasledujúce elementárne transformácie:

1. permutácia dvoch riadkov;

2. násobenie reťazca ľubovoľným číslom iným ako nula;

3. pridanie do jedného riadku ďalšieho riadku vynásobeného nejakým číslom;

4. zahodenie nulového riadka (stĺpca).

Príklad 2.11. Riešte sústavu lineárnych rovníc Jordan – Gaussovou metódou:

a) Xi + X2 + 2X3 = -1

2X 1 - X 2 + 2 X 3 = -4

4X1 + X2 + 4X3 = -2

Riešenie: Zostavme rozšírenú maticu:

Iterácia 1

Vyberte prvok ako vodiaci prvok. Skonvertujme prvý stĺpec na jednoduchý. Ak to chcete urobiť, pridajte prvý riadok k druhému a tretiemu riadku, vynásobte ho (-2) a (-4). Dostaneme maticu:

Tým sa dokončí prvá iterácia.

Iterácia 2

Vyberte vodiaci prvok. Odvtedy vydelíme druhý riadok -3. Potom druhý riadok vynásobíme (-1), respektíve 3 a pripočítame k prvému a tretiemu riadku. Dostaneme matricu

Iterácia 3

Vyberte vodiaci prvok. Potom tretí riadok vydelíme (-2). Preveďte tretí stĺpec na jeden. Ak to chcete urobiť, vynásobte tretí riadok (-4/3) a (-2/3) a pridajte ho k prvému a druhému riadku. Dostaneme matricu

kde NS 1 = 1, NS 2 = 2, NS 3 = -2.

Po dokončení riešenia, vo fáze tréningu, je potrebné vykonať kontrolu dosadením zistených hodnôt do pôvodného systému, ktorý by sa mal zmeniť na správne rovnosti.

b) X1 - X2 + X3 - X4 = 4

X1 + X2 + 2X3 + 3X4 = 8

2X 1 + 4X 2 + 5X 3 + 10X 4 = 20

2 x 1 - 4 x 2 + x 3 - 6 x 4 = 4

Riešenie: Rozšírená matica vyzerá takto:

Aplikovaním elementárnych transformácií dostaneme:

Pôvodný systém je ekvivalentný nasledujúcemu systému rovníc:

X1-3X2-5X4 = 0

2X 2 + X 3 + 4 X 4 = 4

Posledné dva riadky matice A(2) sú lineárne závislé.

Definícia. Maticové riadky e 1 , e 2 ,…, e m sa volajú lineárne závislé ak existujú čísla, ktoré sa súčasne nerovnajú nule, takže lineárna kombinácia riadkov matice sa rovná nulovému riadku:

kde 0 = (0, 0 ... 0). Riadky matice sú lineárne nezávislé, keď sa kombinácia týchto reťazcov rovná nule práve vtedy, ak sú všetky koeficienty rovné nule.

V lineárnej algebre je koncept veľmi dôležitý hodnosť matice odkedy zohráva veľmi dôležitú úlohu pri riešení sústav lineárnych rovníc.

Veta 2.3 (o hodnosti matice). Poradie matice sa rovná maximálnemu počtu jej lineárne nezávislých riadkov alebo stĺpcov, cez ktoré sú lineárne vyjadrené všetky jej ostatné riadky (stĺpce).

Poradie matice A(2) sa rovná 2, pretože maximálny počet lineárne nezávislých riadkov v nej je 2 (sú to prvé dva riadky matice).

Veta 2.4 (Kronecker – Capeli). Systém lineárnych rovníc je konzistentný a iba vtedy, ak sa hodnosť matice systému rovná hodnosti rozšírenej matice tohto systému.

1. Ak sa hodnosť matice kompatibilného systému rovná počtu premenných, t.j. r = n, potom má systém jedinečné riešenie.

2. Ak je rank matice systému menší ako počet premenných, t.j. r< n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

V tomto prípade má systém 4 premenné a jeho poradie je 2, preto má nekonečnú množinu riešení.

Definícia. Nechať byť r< n, r premenné X 1 , X 2 ,…, x r sa volajú základné ak determinant matice z ich koeficientov ( základný menší) je nenulová. Oddych n - r premenné sa nazývajú zadarmo.

Definícia.Riešenie systém, v ktorom všetky n - r voľné premenné sa rovnajú nule, tzv základné.

Kĺbový systém m lineárne rovnice s n premenné ( m< n ) má nekonečnú množinu riešení, medzi ktorými je konečne veľa základných riešení, nepresahujúcich kde.

V našom prípade, t.j. systém nemá viac ako 6 základných riešení.

Všeobecné riešenie je:

X1 = 3 X 2 + 5 X 4

X3 = 4 - 2 x 2 - 4 x 4

Poďme nájsť základné riešenia. Na to dáme X 2 = 0, X 4 = 0, potom X 1 = 0, X 3 = 4. Základné riešenie má tvar: (0, 0, 4, 0).

Zoberme si ďalšie základné riešenie. Na tento účel berieme X 3 a X 4 ako voľné neznáme. Vyjadrime neznáme X 1 a X 2 prostredníctvom neznámych X 3 a X 4:

X1 = 6 - 3 / 2 X 2 - X 4

X2 = 2 - 1 / 2 x 3 - 2 x 4.

Potom má základné riešenie tvar: (6, 2, 0, 0).

Príklad 2.12. Systém riešenia:

X1 + 2 X 2 - X3 = 7

2X 1 - 3X 2 + X3 = 3

4X1 + X2 - X3 = 16

Riešenie: Transformujeme rozšírenú maticu systému

Takže rovnica zodpovedajúca tretiemu riadku poslednej matice je nekonzistentná - viedla k nesprávnej rovnosti 0 = –1, preto je tento systém nekonzistentný. K tomuto záveru možno dospieť aj vtedy, ak si všimneme, že poradie matice systému je 2, zatiaľ čo poradie rozšírenej matice systému je 3.

4. Jordan-Gaussova metóda.

Schéma s výberom hlavného prvku spočíva v tom, že požiadavka na nerovnosť na nulu pre diagonálne prvky akk, ktorými dochádza k deleniu v procese eliminácie, bude nahradená prísnejšou: zo všetkých prvkov stĺpca K. , vyberte najväčší modul a preusporiadajte rovnice tak, aby tento prvok bol na mieste prvku podľa Voľba hlavného prvku a súvisiacej permutácie riadka sú potrebné v tých prípadoch, keď v ktoromkoľvek i-tom kroku acc = 0 alebo je veľmi málo acc = 0 pre zvyšok prvkov i-stĺpca: pri delení takto " malé" acc, veľké accs získajú čísla s veľkými absolútnymi chybami, v dôsledku čoho môže byť riešenie značne skreslené.

Algoritmus na úplnú elimináciu neznámych alebo metóda Jordan - Gauss je uvedená nižšie. Podstatou metódy je, že po zvážení prvej rovnice je v nej neznáma s nenulovým koeficientom (ďalej len rozlišovací prvok) a vydelením prvej rovnice týmto koeficientom pomocou prvej rovnice sa táto neznáma vylúči z všetky rovnice okrem prvej. Výber neznámej v druhej rovnici s koeficientom odlišným od nuly a delenie druhej rovnice ňou, pomocou druhej vylúčte ostatné neznáme zo všetkých rovníc okrem druhej atď., t.j. jedna rovnica sa používa na úplné odstránenie jednej neznámej. Proces pokračuje, kým sa nepoužijú všetky rovnice.

Ako viete, systémy lineárnych algebraických rovníc môžu mať jedno riešenie, mnohé riešenia alebo systémy sú nekonzistentné. Pri elementárnych transformáciách prvkov matice systému sú tieto prípady odhalené nasledovne:

1. V procese eliminácie ľavá strana I-tej rovnice systému zaniká a pravá strana sa rovná nejakému číslu odlišnému od nuly. tie. 02 + = bc0.

To znamená, že systém nemá žiadne riešenia, pretože I-tá rovnica nemôže byť splnená žiadnymi hodnotami neznámych;

2. Ľavá a pravá strana I-tej rovnice zmizne. To znamená, že I - tá rovnica je lineárnou kombináciou ostatných, vyhovuje jej akékoľvek nájdené riešenie sústavy, takže ju možno zahodiť. V systéme je počet neznámych väčší ako počet rovníc, a preto má takýto systém veľa riešení;

3. Po použití všetkých rovníc na odstránenie neznámych sa získa riešenie sústavy.

Konečným cieľom Jordan-Gaussových transformácií je teda získať z daného lineárneho systému

a11x1 + a12x2 +… + a1nxn = b1, n + 1

a21x1 + a22x2 +… + a2nxn = b2, n + 1

am1x1 + am2x2 +… + amnxn = bm.n + 1

Tu sú x1, x2,…, xn neznáme, ktoré treba určiť. a11, a12,…, amn sú koeficienty systému - a b1, b2,... bm - voľné členy - sa považujú za známe. Indexy koeficientov (aij) sústavy označujú čísla rovnice (i) a neznámej (j), pri ktorých tento koeficient stojí, resp.

Sústava (1) sa nazýva homogénna, ak sú všetky jej voľné členy rovné nule (b1 = b2 =… = bm = 0), inak je nehomogénna.

Systém (1) sa nazýva štvorcový, ak sa počet m rovníc rovná počtu n neznámych.

Riešením systému (1) je súbor n čísel c1, c2,…, cn, takže substitúcia každého ci namiesto xi v systéme (1) zmení všetky jeho rovnice na identity.

Systém (1) sa nazýva konzistentný, ak má aspoň jedno riešenie, a nekompatibilný, ak nemá žiadne riešenie.

Spoločný systém formulára (1) môže mať jedno alebo viac riešení.

Riešenia c1 (1), c2 (1),…, cn (1) a c1 (2), c2 (2),…, cn (2) kĺbového systému tvaru (1) sa nazývajú rôzne, ak pri aspoň jedna z rovnosti:

c1 (1) = c1 (2), c2 (1) = c2 (2),..., cn (1) = cn (2).

Spoločný systém tvaru (1) sa nazýva určitý, ak má jedinečné riešenie; ak má aspoň dve rôzne riešenia, potom sa nazýva neurčitý. Ak existuje viac rovníc ako neznámych, nazýva sa to preurčené.

Poďme vyriešiť nasledujúcu sústavu rovníc:

Zapíšeme to ako maticu 3 × 4, kde posledný stĺpec je priesečník:

Urobme nasledovné:

· Pridajte do riadku 2: -4 * Riadok 1.

· Pridať do riadku 3: -9 * Riadok 1.

· Pridajte do riadku 3: -3 * Riadok 2.

Rozdeľte čiaru 2 na -2

· Pridajte do riadku 1: -1 * Riadok 3.

· Pridajte do riadku 2: -3/2 * Riadok 3.

· Pridajte do riadku 1: -1 * Riadok 2.

V pravom stĺpci dostaneme riešenie:

.

V Newtonovej metóde sa pozoruje zrýchlenie konvergencie procesu aproximácie. 5. Metóda dotyčníc (Newtonova metóda) Metóda dotyčníc, spojená s menom I. Newtona, je jednou z najefektívnejších numerických metód riešenia rovníc. Myšlienka metódy je veľmi jednoduchá. Vezmite derivačný bod x0 a napíšte do neho rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f (x): y = f (x0) + f ¢ (x) (x-x0) (1.5) Grafy ...

Riešenia z numerických výpočtových metód. Na určenie koreňov rovnice nie je potrebná znalosť teórií Abelových, Galoisových, Lieových atď. grup a žiadna špeciálna matematická terminológia: kruhy, polia, ideály, izomorfizmy atď. Na vyriešenie algebraickej rovnice n - tého stupňa potrebujete iba schopnosť riešiť kvadratické rovnice a extrahovať korene z komplexného čísla. Korene možno identifikovať podľa...

Matematika goniometrickej substitúcie a testovanie efektívnosti vyvinutých vyučovacích metód. Etapy práce: 1. Vypracovanie voliteľného kurzu na tému: "Využitie goniometrickej substitúcie pri riešení algebraických úloh" pre študentov tried s prehĺbeným štúdiom matematiky. 2. Vedenie vypracovaného voliteľného kurzu. 3. Vykonanie diagnostickej kontroly...

... sa "prejavuje" až v procese premien. O samozrejmosti a „zamaskovaní“ novej premennej budeme uvažovať na konkrétnych príkladoch v druhej kapitole tejto práce. 2. Možnosti využitia metódy nahradenia neznámej pri riešení algebraických rovníc V tejto kapitole odhalíme možnosti využitia metódy nahradenia neznámej pri riešení algebraických rovníc v štandardných a neštandardných ...

metóda Gauss – Jordan je jednou z najznámejších a najpoužívanejších metód riešenia sústav lineárnych rovníc. Maticová metóda a Cramerova metóda majú nevýhodu v tom, že nedávajú odpoveď v prípade, keď detA = 0, ale určujú len jediné riešenie, keď sa detA nerovná 0. Ďalšou nevýhodou je, že množstvo matematických výpočtov v rámci týchto metód sa prudko zvyšuje s nárastom počtu rovníc. Gaussova metóda prakticky nemá tieto nevýhody.

Algoritmus Gaussovej metódy

1. Na základe sústavy lineárnych rovníc zostavíme rozšírenú maticu sústavy;
2. Maticu privedieme do "trojuholníkového" tvaru;
3. Určíme poradie hlavnej a rozšírenej matice a na základe toho vyvodíme záver o kompatibilite systému a počte realizovateľných riešení;
4. Ak má systém jednoznačné riešenie, vykonáme inverznú substitúciu a nájdeme ju, ak má systém veľa riešení: základné premenné vyjadríme pomocou premenných, ktoré môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty;

Komentár ku kroku 2 Gaussovej metódy. Trojuholníková matica sa nazýva matica, v ktorej sú všetky prvky umiestnené pod hlavnou uhlopriečkou rovné nule.

Na zmenšenie pôvodnej rozšírenej matice na trojuholníkový tvar používame nasledujúce dve vlastnosti determinantov:

Vlastnosť 1. Determinant nezmení svoju hodnotu, ak sa ku všetkým prvkom ľubovoľného riadku (stĺpca) matice pridajú zodpovedajúce prvky rovnobežného riadku (stĺpca), vynásobené ľubovoľným jedným a tým istým číslom.

Vlastnosť 2. Pri výmene akýchkoľvek dvoch stĺpcov alebo riadkov matice sa jej determinant obráti a absolútna hodnota determinantu zostane nezmenená.

Na základe týchto vlastností determinantov zostavíme algoritmus na transformáciu matice do trojuholníkového tvaru:

1. Zvážte riadok i (začínajúci prvým). Ak sa prvok a i i rovná nule, prehodíme i-ty a i + 1-ty riadok matice. V tomto prípade sa znamienko determinantu zmení na opačný. Ak je 1 1 nenulové, prejdite na ďalší krok;
2. Pre každý riadok j pod i-tým nájdeme hodnotu koeficientu K j = a j i / a i i;
3. Prvky všetkých riadkov j umiestnených pod aktuálnym riadkom i prepočítame pomocou príslušných koeficientov podľa vzorca: a j k nový = a j k -K j * a i k; Potom sa vrátime k prvému kroku algoritmu a uvažujeme o ďalšom riadku, až kým sa nedostaneme k riadku i = n-1, kde n je rozmer matice A
4. Vo výslednej trojuholníkovej matici vypočítame súčin všetkých prvkov hlavnej uhlopriečky Pa i i, ktorý bude determinantom;

Inými slovami, podstata metódy môže byť formulovaná nasledovne. Musíme urobiť všetky prvky matice pod hlavnou uhlopriečkou nula. Najprv dostaneme nuly v prvom stĺpci. Aby sme to dosiahli, postupne odčítame prvý riadok, vynásobený číslom, ktoré potrebujeme (tak, že pri odčítaní dostaneme nulu v prvom prvku riadku) od všetkých riadkov nižšie. Potom urobíme to isté pre druhý riadok, aby sme dostali nuly v druhom stĺpci pod hlavnou uhlopriečkou matice. A tak ďalej, kým sa nedostaneme na predposledný riadok.

Gauss-Jordanova metóda. Ako nájsť inverznú hodnotu matice
pomocou elementárnych transformácií?

Kedysi dávno nemecký matematik Wilhelm Jordan (nesprávne prepisujeme z nemčinyJordánsko ako Jordánsko) sadol si a riešil ďalšiu sústavu rovníc. Robil to rád a vo voľnom čase sa zdokonaľoval. Potom však prišiel moment, keď ho nudili všetky spôsoby riešenia a Gaussova metóda počítajúc do toho...

Predpokladajme, že systém s tromi rovnicami, sú dané tri neznáme a jeho rozšírená matica je napísaná. V najbežnejšom prípade sa získajú štandardné kroky, a tak každý deň…. Jedno a to isté – ako beznádejný novembrový dážď.

Na chvíľu rozptýli túžbu inač zmenšenie matrice na stupňovitú formu: navyše je úplne ekvivalentné a môže byť nepohodlné len vďaka subjektívnemu vnímaniu. Ale skôr či neskôr bude všetko nudné... A potom som si myslel, že F O rdan - prečo sa vôbec obťažovať opačným postupom Gaussovho algoritmu? Nie je jednoduchšie získať odpoveď hneď pomocou dodatočných elementárnych transformácií?

... áno, toto sa deje len z lásky =)

Na zvládnutie tejto lekcie budú musieť „figuríny“ ísť cestou F O rdana a pumpovať aspoň priemernú úroveň elementárnych transformácií, pričom vyriešili aspoň 15-20 zodpovedajúcich úloh. Ak teda nejasne chápete, o čom je rozhovor a/alebo ste niečomu počas hodiny neporozumeli, odporúčam vám oboznámiť sa s témou v nasledujúcom poradí:

No, je to celkom úžasné, ak sa to podarí zníženie poradia determinantu.

Ako všetci pochopili, Gauss-Jordanova metóda je modifikáciou Gaussova metóda a na ďalších obrazovkách sa stretneme s implementáciou hlavnej myšlienky, ktorá už bola vyjadrená vyššie. Okrem toho medzi niekoľkými príkladmi tohto článku bola zahrnutá najdôležitejšia aplikácia - nájdenie inverznej matice pomocou elementárnych transformácií.

Bez ďalších okolkov:

Príklad 1

Vyriešte sústavu Gaussovou-Jordanovou metódou

Riešenie: toto je prvá úloha lekcie Gaussova metóda pre figuríny, kde sme 5-krát transformovali rozšírenú maticu systému a priviedli ju do stupňovitej podoby:

Teraz namiesto toho obrátene do hry vstupujú ďalšie elementárne transformácie. Najprv musíme získať nuly na týchto miestach: ,
a potom ďalšia nula tu: .

Ideálny prípad z hľadiska jednoduchosti:

(6) K druhému riadku bol pridaný tretí riadok. Tretí riadok bol pridaný k prvému riadku.

(7) Druhý riadok vynásobený –2 bol pridaný k prvému riadku.

Nemôžem sa zdržať ilustrácie výsledného systému:

Odpoveď:

Varujem čitateľov pred náladou so šťastnými rukami - toto bol najjednoduchší ukážkový príklad. Metóda Gauss-Jordan má svoje vlastné špecifické techniky a nie sú najpohodlnejšími výpočtami, takže sa prosím nalaďte na serióznu prácu.

Nechcem, aby to znelo kategoricky alebo vyberavo, ale v drvivej väčšine informačných zdrojov, ktoré som videl, sa typické úlohy považujú za mimoriadne zle – musíte mať na čele sedem rozpätí a tráviť veľa času / nervov na ťažké nepohodlné riešenie so zlomkami. V priebehu rokov praxe sa mi podarilo vylepšiť, nehovorím, že najlepšiu, ale racionálnu a pomerne jednoduchú techniku, ktorá je dostupná pre každého, kto vlastní aritmetické operácie:

Príklad 2

Riešte sústavu lineárnych rovníc Gaussovou-Jordanovou metódou.

Riešenie: Prvá časť zadania je známa:

(1) Prvý riadok vynásobený -1 bol pridaný k druhému riadku. Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku a prvý riadok vynásobený –5 bol pridaný k štvrtému riadku.

(2) Druhý riadok bol rozdelený 2, tretí riadok bol rozdelený 11, štvrtý riadok bol rozdelený 3.

(3) Druhý a tretí riadok sú pomerné, tretí riadok bol odstránený. Druhý riadok bol pridaný k štvrtému riadku, vynásobený -7

(4) Tretí riadok bol rozdelený na 2.

Je zrejmé, že systém má nekonečne veľa riešení a našou úlohou je dostať jeho rozšírenú maticu do formy .

Ako ďalej postupovať? V prvom rade si treba uvedomiť, že sme prišli o chutnú elementárnu transformáciu – riadkovú permutáciu. Presnejšie povedané, je možné ich preusporiadať, ale nemá to zmysel (vykonáme len zbytočné akcie). A potom je vhodné dodržiavať nasledujúci vzorec:

nachádzame najmenší spoločný násobokčísla v treťom stĺpci (1, –1 a 3), t.j. - najmenšie číslo, ktoré by bolo rovnomerne deliteľné 1, –1 a 3. V tomto prípade je to samozrejme „trojka“. Teraz v treťom stĺpci potrebujeme získať čísla rovnakého modulu, a tieto úvahy určujú 5. transformáciu matice:

(5) Prvý riadok sa vynásobí –3, druhý riadok sa vynásobí tromi. Vo všeobecnosti možno prvý riadok vynásobiť aj tromi, ale pre ďalší krok by to bolo menej vhodné. Na dobré veci si rýchlo zvyknete:

(6) K druhému riadku bol pridaný tretí riadok. Tretí riadok bol pridaný k prvému riadku.

(7) V druhom stĺpci (24 a 6) sú dve nenulové hodnoty a opäť musíme získať rovnaké modulo čísla... V tomto prípade všetko fungovalo celkom dobre - najmenší násobok 24 a najefektívnejším spôsobom je vynásobiť druhý riadok –4.

(8) Druhý bol pridaný k prvému riadku.

(9) Posledný dotyk: prvý riadok bol rozdelený na –3, druhý riadok bol rozdelený na –24 a tretí riadok bol rozdelený na 3. Táto akcia sa vykoná POSLEDNÉ! Žiadne predčasné zlomky!

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný pôvodný systém:

Základné premenné môžeme jednoducho vyjadriť pomocou voľnej premennej:

a napíš:

Odpoveď: spoločné rozhodnutie:

V takýchto príkladoch je použitie uvažovaného algoritmu najčastejšie opodstatnené, pretože opačný pohyb Gaussova metóda zvyčajne vyžaduje časovo náročné a nepríjemné výpočty zlomkov.

A samozrejme je veľmi žiaduca kontrola, ktorá sa vykonáva podľa obvyklej schémy diskutovanej v lekcii Nekompatibilné systémy a systémy so spoločným riešením.

Pre nezávislé riešenie:

Príklad 3

Nájdite základné riešenie pomocou elementárnych transformácií

Táto formulácia problému predpokladá použitie Gauss-Jordanovej metódy a v roztoku vzorky je matrica zredukovaná na štandardnú formu. so základnými premennými. Majte to však vždy na pamäti ostatné premenné je možné zvoliť ako základné... Takže napríklad, ak sú čísla v prvom stĺpci objemné, potom je celkom prijateľné uviesť maticu do formulára (základné premenné), alebo do formulára (základné premenné), alebo aj do formulára so základnými premennými. Sú aj iné možnosti.

Ale aj tak ide o extrémne prípady – nemali by ste učiteľov opäť šokovať svojimi vedomosťami, technikou riešenia a ešte viac by ste nemali rozdávať exotické výsledky Jordanu ako napr. ... Môže byť však ťažké upustiť od atypického základu, keď v pôvodnej matici, povedzme, v 4. stĺpci, sú dve hotové nuly.

Poznámka : výraz „základ“ má algebraický význam a pojem geometrický základ to s tym nema nic spolocne!

Ak sa v rozšírenej matici rozmerov náhle nájde pár lineárne závislé linky, potom by ste sa mali pokúsiť uviesť to do obvyklej podoby so základnými premennými. Príklad takéhoto rozhodnutia je v Príklade č.7 článku o homogénne sústavy lineárnych rovníc, a tam je zvolený iný základ.

Pokračujeme v zdokonaľovaní našich zručností v nasledujúcom aplikovanom probléme:

Ako nájsť inverznú hodnotu matice pomocou Gaussovej metódy?

Zvyčajne je podmienka formulovaná v skrátenej forme, ale v podstate tu funguje aj Gauss-Jordanov algoritmus. Jednoduchší spôsob hľadania inverzná matica pre štvorcovú maticu sme už dávno uvažovali v zodpovedajúcej vyučovacej hodine a v krutej neskorej jeseni zvládajú strúhaní žiaci majstrovský spôsob riešenia.

Zhrnutie nadchádzajúcich akcií je nasledovné: najprv by ste mali napísať štvorcovú maticu v tandeme s maticou identity:. Potom pomocou elementárnych transformácií je potrebné získať jednotkovú maticu vľavo, zatiaľ čo (bez zachádzania do teoretických detailov) inverzná matica je nakreslená vpravo. Riešenie vyzerá schematicky takto:

(Je jasné, že inverzná matica musí existovať)

Demo 4

Nájdite inverznú maticu pre maticu pomocou elementárnych transformácií. Aby sme to urobili, zapíšeme to do jedného tímu pomocou matice jednotiek a „dva kone“ pretekali:

(1) Prvý riadok vynásobený –3 bol pridaný k druhému riadku.

(2) Druhý riadok bol pridaný k prvému riadku.

(3) Druhý riadok bol rozdelený na –2.

Odpoveď:

Pozrite si odpoveď v prvej ukážkovej lekcii Ako nájdem inverznú hodnotu matice?

To však bola ďalšia lákavá úloha – v skutočnosti je riešenie oveľa náročnejšie na čas a námahu. Zvyčajne sa vám zobrazí matica tri na tri:

Príklad 5

Riešenie: pripojte maticu identity a začnite vykonávať transformácie podľa „normálneho“ algoritmu Gaussova metóda:

(1) Prvý a tretí riadok sú obrátené. Na prvý pohľad sa zdá, že permutácia riadkov je nezákonná, ale v skutočnosti môžu byť preusporiadané - koniec koncov, v dôsledku toho naľavo potrebujeme získať maticu identity a napravo "násilne" dostať presne maticu (bez ohľadu na to, či počas riešenia preusporiadame riadky alebo nie)... Upozorňujeme, že tu môžete namiesto permutácie usporiadať „šestky“ v 1. stĺpci (najmenší spoločný násobok (LCM) 3, 2 a 1)... Riešenie LCM je užitočné najmä vtedy, keď v prvom stĺpci nie sú žiadne „jednotky“.

(2) 1. riadok bol pridaný k 2. a 3. riadku, vynásobený –2 a –3.

(3) 2. riadok bol pridaný k 3. riadku, vynásobený -1

Druhá časť riešenia sa uskutočňuje podľa schémy známej z predchádzajúceho odseku: riadkové permutácie strácajú zmysel a v treťom stĺpci nájdeme najmenší spoločný násobok čísel (1, –5, 4): 20. Existuje prísny algoritmus na nájdenie LCM, ale zvyčajne existuje dostatočný výber. Je v poriadku, ak vezmete väčšie číslo, ktoré je deliteľné 1, –5 a 4, napríklad číslo 40. Rozdiel bude v ťažkopádnejších výpočtoch.

Keď už hovoríme o počítačoch. Na vyriešenie problému nie je vôbec hanba vyzbrojiť sa mikrokalkulačkou - je tu pomerne veľa čísel a bude veľkým sklamaním urobiť chybu vo výpočte.

(4) Tretí riadok sa vynásobí 5, druhý riadok 4, prvý riadok „mínus dvadsať“:

(5) K 1. a 2. riadku bol pridaný tretí riadok.

(6) Prvý a tretí riadok boli vydelené 5, druhý riadok bol vynásobený –1.

(7) Najmenší spoločný násobok nenulových čísel v druhom stĺpci (–20 a 44) je 220. Prvý riadok sa vynásobí 11, druhý riadok 5.

(8) Druhý riadok bol pridaný k prvému riadku.

(9) Prvý riadok bol vynásobený -1, druhý riadok bol vydelený "späť" 5.

(10) Teraz na hlavnej diagonále ľavej matice je vhodné získať najmenší spoločný násobok uhlopriečky (44, 44 a 4). Je celkom jasné, že toto číslo je 44. Tretí riadok sa vynásobí 11.

(11) Vydeľte každý riadok číslom 44. Táto akcia sa vykoná ako posledná!

Takže inverzia matice je:

Zavedenie a odstránenie -th sú v zásade nadbytočné akcie, ale vyžaduje to protokol na registráciu úlohy.

Odpoveď:

Kontrola sa vykonáva podľa obvyklej schémy uvedenej v lekcii inverzná matica.

Pokročilí ľudia môžu riešenie trochu skrátiť, ale musím vás varovať, ponáhľať sa sem je spojené so ZVÝŠENÝM rizikom, že urobia chybu.

Podobná úloha pre nezávislé riešenie:

Príklad 6

Nájdite inverznú maticu pomocou Gaussovej-Jordanovej metódy.

Približná ukážka úlohy v spodnej časti stránky. A kvôli tomu, aby ste "neprechádzali s pesničkami" som spravil riešenie už spomínaným štýlom - výhradne cez LCM stĺpcov bez jedinej permutácie riadkov a dodatočných umelých transformácií. podla mna táto schéma je, ak nie najviac, potom jedna z najspoľahlivejších.

Niekedy je vhodné použiť kratšie „modernistické“ riešenie, ktoré spočíva v nasledujúcom: v prvom kroku je všetko ako obvykle: .

V druhom kroku sa vrúbkovanou technikou (prostredníctvom LCM čísel v 2. stĺpci) usporiadajú dve nuly naraz do druhého stĺpca: ... Je obzvlášť ťažké odolať tejto akcii, ak sú v 2. stĺpci nakreslené čísla rovnakého modulu, napríklad rovnaké banálne "jednotky".

A nakoniec, v treťom kroku rovnakým spôsobom získame potrebné nuly v treťom stĺpci: .

Čo sa týka rozmernosti, vo väčšine prípadov je potrebné vyriešiť maticu „tri na tri“. Z času na čas sa však objaví odľahčená verzia problému s maticou „dva po dvoch“ a tvrdým ... - najmä pre všetkých čitateľov stránky:

Príklad 7

Nájdite inverznú hodnotu matice pomocou elementárnych transformácií

Toto je úloha z môjho vlastného testu z fyziky a matematiky z algebry, ... eh, kde je môj prvý kurz =) Pred 15 rokmi (list prekvapivo ešte nezožltol), Urobil som to v 8 krokoch a teraz - iba v 6! Matrix je mimochodom veľmi kreatívny - hneď v prvom kroku je viditeľných niekoľko lákavých riešení. Moja neskoršia verzia je v spodnej časti stránky.

A tip na záver - po takýchto príkladoch je veľmi užitočná gymnastika pre oči a dobrá hudba na relaxáciu =)

Prajem vám úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 3: Riešenie: zapíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií získame základné riešenie:


(1) Prvý a druhý riadok sú obrátené.
(2) Prvý riadok vynásobený –2 bol pridaný k druhému riadku. Prvý riadok vynásobený 5 bol pridaný k tretiemu riadku.
(3) Tretí riadok bol delený 3.
(4) Druhý riadok, vynásobený 2, bol pridaný do tretieho riadku.
(5) Tretí riadok bol delený 7.
(6) Najmenší násobok 3. stĺpca (–3, 5, 1) je 15. Prvý riadok bol vynásobený 5, druhý riadok bol vynásobený –3 a tretí riadok bol vynásobený 15.
(7) Tretí riadok bol pridaný k prvému riadku. Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku.
(8) Prvý riadok bol rozdelený na 5, druhý riadok bol rozdelený na –3, tretí riadok bol rozdelený na 15.
(9) Najmenší násobok nenulových čísel v 2. stĺpci (–2 a 1) je: 2. Druhý riadok bol vynásobený 2
(10) Druhý riadok bol pridaný k prvému riadku.
(11) Druhý riadok bol rozdelený na 2.
Vyjadrime základné premenné pomocou voľných premenných:

Odpoveď : spoločné rozhodnutie:

Príklad 6: Riešenie: nájdite inverznú maticu pomocou elementárnych transformácií:


(1) Prvý riadok bol vynásobený –15, druhý riadok bol vynásobený 3, tretí riadok bol vynásobený 5.
(2) Prvý riadok bol pridaný k 2. a 3. riadku.
(3) Prvý riadok bol rozdelený na –15, druhý riadok bol rozdelený na –3, tretí riadok bol rozdelený na –5.
(4) Druhý riadok bol vynásobený 7, tretí riadok bol vynásobený –9.
(5) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku.


(6) Druhý riadok bol delený 7.
(7) Prvý riadok bol vynásobený 27, druhý riadok bol vynásobený 6, tretí riadok bol vynásobený –4.
(8) Tretí riadok bol pridaný k prvému a druhému riadku.
(9) Tretí riadok bol rozdelený na –4. Druhý riadok vynásobený -1 bol pridaný k prvému riadku.
(10) Druhý riadok bol rozdelený na 2.
(11) Každý riadok bol vydelený 27.
Ako výsledok:
Odpoveď :

Príklad 7: Riešenie: nájdite inverznú maticu pomocou Gaussovej-Jordanovej metódy:
(1) K 1. a 4. riadku bol pridaný 3. riadok.
(2) Prvý a štvrtý riadok sú obrátené.
(3) 1. riadok bol pridaný k 2. riadku. Prvý riadok, vynásobený 2, bol pridaný k tretiemu riadku:


(4) 2. riadok, vynásobený –2, bol pridaný k 3. riadku. 2. riadok bol pridaný k 4. riadku.
(5) K 1. a 3. riadku bol pridaný 4. riadok vynásobený –1.
(6) Druhý riadok bol vynásobený –1, tretí riadok bol vydelený –2.
Odpoveď :