Sonuç regresyon istatistiklerinin sonucu. Psikolojide Matematiksel Yöntemler

Bu yazılım yardımcı programının çalışmalarında kullanıldığı ekonometri gibi disiplinler de dahil olmak üzere çeşitli faaliyet alanlarında yararlı olduğu bilinmektedir. Temel olarak, pratik ve laboratuvar alıştırmalarının tüm eylemleri, çalışmayı büyük ölçüde kolaylaştıran ve belirli eylemlerin ayrıntılı açıklamalarını veren Excel'de gerçekleştirilir. Bu nedenle, analiz araçlarından biri olan "Regresyon", en küçük kareler yöntemini kullanarak bir dizi gözlem için bir grafik seçmek için kullanılır. Programın bu aracının ne olduğunu ve kullanıcılara faydasının ne olduğunu düşünelim. Aşağıda ayrıca bir regresyon modeli oluşturmak için kısa ama anlaşılması kolay bir talimat bulunmaktadır.

Ana görevler ve regresyon türleri

Regresyon, verilen değişkenler arasındaki bir ilişkidir, bu nedenle bu değişkenlerin gelecekteki davranışının tahminini belirlemek mümkündür. Değişkenler, insan davranışı da dahil olmak üzere çeşitli periyodik olaylardır. Bu Excel analizi, bir veya daha fazla değişkenin değerlerinin belirli bir bağımlı değişken üzerindeki etkisini analiz etmek için kullanılır. Örneğin, bir mağazadaki satışlar, çeşitler, fiyatlar ve mağaza konumu gibi çeşitli faktörlerden etkilenir. Excel'deki regresyon sayesinde, mevcut satışların sonuçlarına göre bu faktörlerin her birinin etki derecesini belirleyebilir ve ardından elde edilen verileri başka bir aya veya yakındaki başka bir mağazaya yönelik satışları tahmin etmek için uygulayabilirsiniz.

Regresyon genellikle, bir grubun bağımlı veya içsel, diğerinin bağımsız veya dışsal olduğu iki değişken grubu arasındaki ilişkinin ilişkisini ve gücünü ortaya çıkaran basit bir denklem olarak sunulur. Birbiriyle ilişkili bir grup göstergenin varlığında, bağımlı değişken Y, akıl yürütme mantığına göre belirlenir ve geri kalanı bağımsız X değişkenleri olarak hareket eder.

Bir regresyon modeli oluşturmanın ana görevleri şunlardır:

1. Önemli bağımsız değişkenlerin seçimi (X1, X2,…, Xk).
2. Fonksiyon tipinin seçilmesi.
3. Katsayılar için tahminlerin oluşturulması.
4. Güven aralıkları ve regresyon fonksiyonlarının oluşturulması.
5. Hesaplanan tahminlerin ve oluşturulan regresyon denkleminin öneminin kontrol edilmesi.

Birkaç tür regresyon analizi vardır:

• eşleştirilmiş (1 bağımlı ve 1 bağımsız değişken);
• çoklu (birkaç bağımsız değişken).

İki tür regresyon denklemi vardır:

1. Değişkenler arasında katı bir doğrusal ilişkiyi gösteren doğrusal.
2. Doğrusal Olmayan - Kuvvetler, kesirler ve trigonometrik işlevleri içerebilen denklemler.

Model oluşturma talimatı

Excel'de verilen yapıyı tamamlamak için talimatları izlemelisiniz:

Daha fazla hesaplama için, Y-Değerleri, X-Değerleri, Sabit ve istatistikleri belirterek "Doğrusal ()" fonksiyonunu kullanın. Ardından, "Trend" işlevini kullanarak regresyon çizgisi üzerindeki nokta kümesini tanımlayın - Y-Values, X-Values, New Values, Const. Belirtilen parametreleri kullanarak, sorunun belirtilen koşullarına göre katsayıların bilinmeyen değerini hesaplayın.

Regresyon analizi, istatistiksel araştırmaların en çok talep edilen yöntemlerinden biridir. Bağımsız değişkenlerin bağımlı değişken üzerindeki etki derecesini belirlemek için kullanılabilir. Microsoft Excel'in işlevselliğinde bu tür analizler için tasarlanmış araçlar bulunmaktadır. Gelin bunların ne olduğuna ve nasıl kullanılacağına bir göz atalım.

Ancak regresyon analizi yapmanızı sağlayan fonksiyonu kullanabilmek için öncelikle Analiz Paketini aktif etmeniz gerekmektedir. Ancak o zaman bu prosedür için gerekli araçlar Excel şeridinde görünecektir.

Şimdi sekmeye gittiğimizde "Veri", araç kutusundaki bantta "Analiz" yeni bir düğme göreceğiz - "Veri analizi".

Regresyon analizi türleri

Birkaç tür regresyon vardır:

• parabolik;
• Güç yasası;
• logaritmik;
• üstel;
• gösterge;
• hiperbolik;
• lineer regresyon.

Excel'deki son tür regresyon analizinin performansı hakkında daha ayrıntılı konuşacağız.

Excel'de doğrusal regresyon

Aşağıda, örnek olarak, dışarıdaki ortalama günlük hava sıcaklığını ve ilgili iş günü için mağaza alıcılarının sayısını gösteren bir tablo bulunmaktadır. Hava sıcaklığı şeklindeki hava koşullarının çıkışın katılımını nasıl etkileyebileceğini tam olarak regresyon analizi yardımıyla öğrenelim.

Genel lineer regresyon denklemi aşağıdaki gibidir: Y = a0 + a1x1 +… + akhk. Bu formülde Y bir değişken, üzerinde çalışmaya çalıştığımız faktörlerin etkisi anlamına gelir. Bizim durumumuzda, bu alıcı sayısıdır. Anlam x Değişkeni etkileyen çeşitli faktörlerdir. Seçenekler a regresyon katsayılarıdır. Yani, şu veya bu faktörün önemini belirleyen onlardır. dizin k aynı faktörlerin toplam sayısını gösterir.

Analiz sonuçlarının analizi

Regresyon analizinin sonuçları, ayarlarda belirtilen yerde bir tablo şeklinde görüntülenir.

Ana göstergelerden biri, R Meydanı... Modelin kalitesini gösterir. Bizim durumumuzda bu oran 0,705 veya yaklaşık %70.5'tir. Bu kabul edilebilir bir kalite seviyesidir. 0,5'ten az bağımlılık kötüdür.

Bir diğer önemli gösterge, satırın kesiştiği hücrede bulunur. "Y-kavşak" ve sütun "Oranlar"... Y değerinin ne olacağını gösterir ve bizim durumumuzda bu, diğer tüm faktörler sıfıra eşit olan alıcıların sayısıdır. Bu tabloda bu değer 58.04'tür.

Grafiğin kesişim noktasındaki değer "Değişken X1" ve "Oranlar" Y'nin X'e bağımlılık düzeyini gösterir. Bizim durumumuzda mağaza müşteri sayısının sıcaklığa bağımlılık düzeyidir. 1.31 katsayısı oldukça yüksek bir etki göstergesi olarak kabul edilir.

Gördüğünüz gibi, Microsoft Excel kullanarak bir regresyon analiz tablosu oluşturmak oldukça kolaydır. Ancak çıktıda elde edilen verilerle yalnızca eğitimli bir kişi çalışabilir ve özlerini anlayabilir.

Regresyon analizi, istatistiksel araştırmaların en çok talep edilen yöntemlerinden biridir. Bağımsız değişkenlerin bağımlı değişken üzerindeki etki derecesini belirlemek için kullanılabilir. Microsoft Excel'in işlevselliğinde bu tür analizler için tasarlanmış araçlar bulunmaktadır. Gelin bunların ne olduğuna ve nasıl kullanılacağına bir göz atalım.

Analiz paketi bağlantısı

Ancak regresyon analizi yapmanızı sağlayan fonksiyonu kullanabilmek için öncelikle Analiz Paketini aktif etmeniz gerekmektedir. Ancak o zaman bu prosedür için gerekli araçlar Excel şeridinde görünecektir.

1. "Dosya" sekmesine gidin.
2. "Parametreler" bölümüne gidin.
3. Excel Seçenekleri penceresi açılır. "Eklentiler" alt bölümüne gidin.
4. Açılan pencerenin en altında, "Kontrol" bloğundaki anahtarı, farklı bir konumdaysa "Excel Eklentileri" konumuna getirin. "Git" düğmesine tıklayın.
5. Kullanılabilir Excel eklentileri penceresi açılır. "Analiz paketi" öğesinin yanına bir onay işareti koyarız. "Tamam" düğmesine tıklayın.

Şimdi, "Analiz" araç kutusundaki şeritte "Veri" sekmesine gittiğimizde, yeni bir düğme göreceğiz - "Veri Analizi".

Regresyon analizi türleri

Birkaç tür regresyon vardır:

• parabolik;
• Güç yasası;
• logaritmik;
• üstel;
• gösterge;
• hiperbolik;
• lineer regresyon.

Excel'deki son tür regresyon analizinin performansı hakkında daha ayrıntılı konuşacağız.

Excel'de doğrusal regresyon

Aşağıda, örnek olarak, dışarıdaki ortalama günlük hava sıcaklığını ve ilgili iş günü için mağaza alıcılarının sayısını gösteren bir tablo bulunmaktadır. Hava sıcaklığı şeklindeki hava koşullarının çıkışın katılımını nasıl etkileyebileceğini tam olarak regresyon analizi yardımıyla öğrenelim.

Genel lineer regresyon denklemi aşağıdaki gibidir: Y = a0 + a1x1 +… + akhk. Bu formülde Y değişkeni, üzerinde çalışmaya çalıştığımız faktörlerin etkisi anlamına gelir. Bizim durumumuzda, bu alıcı sayısıdır. X değeri, değişkeni etkileyen çeşitli faktörlerdir. a parametreleri regresyon katsayılarıdır. Yani, şu veya bu faktörün önemini belirleyen onlardır. İndeks k, bu aynı faktörlerin toplam sayısını gösterir.

Analiz sonuçlarının analizi

Regresyon analizinin sonuçları, ayarlarda belirtilen yerde bir tablo şeklinde görüntülenir.

Ana göstergelerden biri R-karedir. Modelin kalitesini gösterir. Bizim durumumuzda bu oran 0,705 veya yaklaşık %70.5'tir. Bu kabul edilebilir bir kalite seviyesidir. 0,5'ten az bağımlılık kötüdür.

Bir diğer önemli gösterge, "Y-kesişim" satırı ile "Katsayılar" sütununun kesiştiği hücrede bulunur. Y değerinin ne olacağını gösterir ve bizim durumumuzda bu, diğer tüm faktörler sıfıra eşit olan alıcıların sayısıdır. Bu tabloda bu değer 58.04'tür.

"Değişken X1" ve "Katsayılar" sütunlarının kesişimindeki değer, Y'nin X'e bağımlılık düzeyini gösterir. Bizim durumumuzda, mağaza müşteri sayısının sıcaklığa bağımlılık düzeyidir. 1.31 katsayısı oldukça yüksek bir etki göstergesi olarak kabul edilir.

Gördüğünüz gibi, Microsoft Excel kullanarak bir regresyon analiz tablosu oluşturmak oldukça kolaydır. Ancak çıktıda elde edilen verilerle yalnızca eğitimli bir kişi çalışabilir ve özlerini anlayabilir.

Sorunu çözmenize yardımcı olabildiğimiz için mutluyuz.

Sorunuzu, sorunun özünü detaylandırarak yorumlarda sorun. Uzmanlarımız mümkün olduğunca çabuk cevap vermeye çalışacaktır.

Bu makale size yardımcı oldu mu?

Doğrusal regresyon, bir dizi sıralı çift (x, y) ile en iyi eşleşen düz bir çizgiyi tanımlamamızı sağlar. Doğrusal denklem olarak bilinen düz bir çizginin denklemi aşağıda gösterilmiştir:

ŷ, verilen bir x değeri için y'nin beklenen değeridir,

x bağımsız bir değişkendir,

a - düz bir çizgi için y eksenindeki segment,

b - düz bir çizginin eğimi.

Aşağıdaki şekil bu kavramı grafik olarak göstermektedir:

Yukarıdaki resim, ŷ = 2 + 0,5x denklemi ile tanımlanan çizgiyi göstermektedir. Y eksenindeki doğrunun y ekseniyle kesiştiği nokta; bizim durumumuzda a = 2. Doğrunun eğimi, b, doğrunun yüksekliğinin doğrunun uzunluğuna oranı 0,5 değerindedir. Pozitif eğim, çizginin soldan sağa doğru yükseldiği anlamına gelir. b = 0 ise doğru yataydır, yani bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında bir ilişki yoktur. Başka bir deyişle, x değerini değiştirmek y değerini etkilemez.

Ŷ ve y genellikle karıştırılır. Grafik, 6 sıralı nokta çiftini ve bu denkleme göre bir doğruyu göstermektedir.

Bu şekil x = 2 ve y = 4 sıralı ikilisine karşılık gelen noktayı göstermektedir. NS= 2, ŷ'dir. Bunu aşağıdaki denklemle doğrulayabiliriz:

ŷ = 2 + 0,5x = 2 +0,5 (2) = 3.

y değeri gerçek noktadır ve değer, belirli bir x değerinde doğrusal bir denklem kullanılarak beklenen y değeridir.

Bir sonraki adım, sıralı çiftler kümesine en yakın olan lineer denklemi belirlemektir, bunu en küçük kareler yöntemini kullanarak denklemin şeklini belirlediğimiz bir önceki makalede bahsetmiştik.

Doğrusal Regresyonu Tanımlamak için Excel'i Kullanma

Excel'de yerleşik olarak bulunan regresyon analizi aracını kullanmak için eklentiyi etkinleştirmeniz gerekir. Analiz paketi... Sekmeye tıklayarak bulabilirsiniz Dosya -> Seçenekler(2007+), görünen iletişim kutusunda SeçeneklerExcel sekmeye git Eklentiler. alanında Kontrol Seç EklentilerExcel ve tıklayın Gitmek. Görünen pencerede, karşısına bir onay işareti koyun Analiz paketi, basarız TAMAM.

sekmesinde Veri grup içinde analiz yeni bir düğme görünecek Veri analizi.

Eklentinin çalışmasını göstermek için, bir erkek ve bir kızın banyoda bir masayı paylaştığı önceki makaledeki verileri kullanacağız. Küvet örneğimiz için verileri boş sayfanın A ve B sütunlarına girin.

sekmeye git Veri, grup içinde analiz Tıklayın Veri analizi. Görünen pencerede Veri analizi Seç regresyon gösterildiği gibi ve Tamam'ı tıklayın.

Pencerede gerekli regresyon parametrelerini ayarlayın regresyon, resimde gösterildiği gibi:

Tıklamak TAMAM. Aşağıdaki şekil elde edilen sonuçları göstermektedir:

Bu sonuçlar, önceki makalede kendi kendine hesaplama ile elde ettiğimiz sonuçlarla tutarlıdır.

Regresyon analizi, bir parametrenin bir veya daha fazla bağımsız değişkene bağımlılığını göstermenizi sağlayan istatistiksel bir araştırma yöntemidir. Bilgisayar öncesi çağda, özellikle büyük miktarda veri söz konusu olduğunda, uygulaması oldukça zordu. Bugün, Excel'de bir regresyon oluşturmayı öğrendikten sonra, karmaşık istatistiksel sorunları sadece birkaç dakika içinde çözebilirsiniz. Aşağıda ekonomi alanından özel örnekler verilmiştir.

Regresyon türleri

Kavramın kendisi matematiğe 1886'da Francis Galton tarafından tanıtıldı. Gerileme olur:

• doğrusal;
• parabolik;
• Güç yasası;
• üstel;
• hiperbolik;
• gösterge;
• logaritmik.

örnek 1

6 sanayi kuruluşunda işten ayrılan çalışan sayısının ortalama maaşa bağımlılığını belirleme problemini ele alalım.

Görev. Altı işletme, ortalama aylık maaşı ve kendi isteğiyle ayrılan çalışan sayısını analiz etti. Tablo biçiminde, elimizde:

6 işletmede işten ayrılan çalışan sayısının ortalama maaşa bağımlılığını belirleme problemi için, regresyon modeli Y = a0 + a1 × 1 +… + akxk denklemi biçimindedir, burada xi etkileyen değişkenlerdir, ai regresyon katsayıları ve k faktör sayısıdır.

Bu görev için Y, işten ayrılan çalışanların göstergesidir ve etkileyen faktör, X ile gösterdiğimiz maaştır.

Excel tablo işlemcisinin özelliklerini kullanma

Excel'deki regresyon analizinden önce, mevcut tablo verilerine yerleşik işlevlerin uygulanması gelmelidir. Ancak bu amaçlar için çok kullanışlı "Analiz Paketi" eklentisini kullanmak daha iyidir. Etkinleştirmek için ihtiyacınız olan:

• "Dosya" sekmesinden "Parametreler" bölümüne gidin;
• açılan pencerede "Eklentiler" satırını seçin;
• "Kontrol" satırının sağındaki aşağıda bulunan "Git" düğmesine tıklayın;
• "Analiz paketi" adının yanına bir onay işareti koyun ve "Tamam" düğmesine tıklayarak işlemlerinizi onaylayın.

Her şey doğru yapılırsa, "Excel" çalışma sayfasının üzerinde bulunan "Veri" sekmesinin sağ tarafında gerekli düğme görünecektir.

Excel'de doğrusal regresyon

Artık ekonometrik hesaplamalar yapmak için gerekli tüm sanal araçlara sahip olduğumuza göre, problemimizi çözmeye başlayabiliriz. Bunun için:

• "Veri Analizi" düğmesine tıklayın;
• açılan pencerede "Regresyon" düğmesine tıklayın;
• görünen sekmede Y (işten ayrılan çalışan sayısı) ve X (maaşları) için değer aralığını girin;
• "Tamam" butonuna basarak işlemlerimizi onaylıyoruz.

Sonuç olarak, program otomatik olarak elektronik tablo işlemcisinin yeni sayfasını regresyon analizi verileriyle dolduracaktır. Not! Excel, bu amaç için tercih ettiğiniz konumu bağımsız olarak tanımlama yeteneğine sahiptir. Örneğin, Y ve X değerlerini içeren aynı sayfa veya hatta bu tür verileri depolamak için özel olarak tasarlanmış yeni bir çalışma kitabı olabilir.

R-Kare için Regresyon Sonuçlarının Analizi

Excel'de, söz konusu örneğin verilerinin işlenmesi sırasında elde edilen veriler şöyle görünür:

Öncelikle R-kare değerine dikkat etmelisiniz. Belirleme katsayısını temsil eder. Bu örnekte, R-kare = 0,755 (%75,5), yani modelin hesaplanan parametreleri, dikkate alınan parametreler arasındaki ilişkiyi %75.5 oranında açıklamaktadır. Belirleme katsayısının değeri ne kadar yüksek olursa, seçilen modelin belirli bir görev için o kadar uygulanabilir olduğu kabul edilir. R-kare değeri 0,8'in üzerinde olduğunda gerçek durumu doğru bir şekilde tanımladığına inanılmaktadır. R-kare tcr ise, lineer denklemin serbest teriminin önemsizliği hipotezi reddedilir.

Excel araçlarını kullanarak bir serbest terim için ele alınan problemde, t = 169.20903 ve p = 2.89E-12 olduğu elde edildi, yani serbest terimin önemsizliğine ilişkin doğru hipotezin sıfır olasılığına sahibiz. reddedilmiş. Bilinmeyen t = 5.79405 ve p = 0.001158'deki katsayı için. Başka bir deyişle, katsayının bilinmeyenle önemsizliğine ilişkin doğru hipotezin reddedilme olasılığı %0,12'dir.

Böylece elde edilen lineer regresyon denkleminin yeterli olduğu söylenebilir.

Bir hisse bloğu satın almanın uygunluğu sorunu

Excel'de çoklu regresyon, aynı Veri Analizi aracı kullanılarak gerçekleştirilir. Belirli bir uygulamalı görevi ele alalım.

"NNN" şirketinin yönetimi, JSC "MMM" de %20 hisse satın almanın tavsiye edilebilirliğine karar vermelidir. Paketin (JV) maliyeti 70 milyon ABD dolarıdır. NNN uzmanları, benzer işlemler hakkında veri topladı. Milyonlarca ABD doları olarak ifade edilen bu tür parametrelerle hisse bloğunun değerinin aşağıdaki gibi değerlendirilmesine karar verildi:

• ödenecek hesaplar (VK);
• yıllık cironun hacmi (VO);
• alacak hesapları (VD);
• sabit kıymetlerin maliyeti (SOF).

Ek olarak, parametre, işletmenin (V3 P) binlerce ABD doları cinsinden ödenmemiş maaşlarıdır.

Excel elektronik tablo çözümü

Her şeyden önce, bir başlangıç ​​verileri tablosu oluşturmanız gerekir. Şuna benziyor:

• "Veri Analizi" penceresini çağırın;
• "Gerileme" bölümünü seçin;
• G sütunundaki bağımlı değişkenlerin değer aralığı "Giriş aralığı Y" kutusuna girilir;
• "Giriş aralığı X" penceresinin sağındaki kırmızı oklu simgeye tıklayın ve sayfada B, C, D, F sütunlarından tüm değerlerin aralığını seçin.

"Yeni Çalışma Sayfası" öğesini kontrol edin ve "Tamam" ı tıklayın.

Belirli bir görev için bir regresyon analizi alın.

Sonuçların ve sonuçların incelenmesi

Excel elektronik tablo sayfasında yukarıda sunulan yuvarlatılmış verilerden regresyon denklemini "toplarız":

SP = 0.103 * SOF + 0.541 * VO - 0.031 * VK + 0.405 * VD + 0.691 * VZP - 265.844.

Daha tanıdık bir matematiksel formda şu şekilde yazılabilir:

y = 0.103 * x1 + 0.541 * x2 - 0.031 * x3 + 0.405 * x4 + 0.691 * x5 - 265.844

JSC "MMM" verileri tabloda sunulmaktadır:

Bunları regresyon denkleminde yerine koyarsak rakam 64,72 milyon ABD dolarıdır. Bu, JSC "MMM" hisselerinin satın alınmaması gerektiği anlamına gelir, çünkü 70 milyon ABD doları değeri oldukça fazladır.

Gördüğünüz gibi, Excel elektronik tablo işlemcisinin ve regresyon denkleminin kullanılması, çok özel bir işlemin tavsiye edilebilirliği konusunda bilinçli bir karar vermeyi mümkün kıldı.

Artık regresyonun ne olduğunu biliyorsunuz. Yukarıda tartışılan Excel'deki örnekler, ekonometri alanındaki pratik sorunları çözmenize yardımcı olacaktır.

Önceki gönderilerde, analiz genellikle yatırım fonu getirileri, Web sayfası yükleme süreleri veya meşrubat tüketimi gibi tek bir sayısal değişkene odaklandı. Bu ve sonraki notlarda, bir veya daha fazla sayısal değişkenin değerlerine bağlı olarak sayısal bir değişkenin değerlerini tahmin etme yöntemlerini ele alacağız.

Materyal çapraz kesen bir örnekle gösterilecektir. Bir giyim mağazasındaki satış hacmini tahmin etmek. Ayçiçekleri indirimli giyim mağazaları zinciri 25 yıldır sürekli genişlemektedir. Ancak, şirketin şu anda yeni satış noktaları seçme konusunda sistematik bir yaklaşımı bulunmamaktadır. Şirketin yeni bir mağaza açmayı planladığı yer, subjektif değerlendirmeler temelinde belirlenir. Seçim kriterleri, uygun kiralama koşulları veya yöneticinin mağazanın ideal konumu hakkındaki fikridir. Özel projeler ve planlama departmanının başında olduğunuzu hayal edin. Yeni mağaza açılışları için stratejik bir plan geliştirmekle görevlendirildiniz. Bu plan, yeni açılan mağazaların yıllık satışları için bir tahmin içermelidir. Alan satışının doğrudan gelir miktarı ile ilgili olduğuna inanıyor ve karar verme sürecinizde bu gerçeği dikkate almak istiyorsunuz. Yeni mağaza büyüklüğüne göre yıllık satışları tahmin eden istatistiksel bir modeli nasıl geliştirirsiniz?

Tipik olarak, bir değişkenin değerlerini tahmin etmek için regresyon analizi kullanılır. Amacı, en az bir bağımsız veya açıklayıcı değişkenin değerlerinden bağımlı değişkenin veya yanıtın değerlerini tahmin eden istatistiksel bir model geliştirmektir. Bu yazıda, bağımlı değişkenin değerlerini tahmin eden istatistiksel bir teknik olan basit doğrusal regresyona bakacağız. Y bağımsız değişkenin değerlerine göre x... Aşağıdaki notlar, bağımsız değişkenin değerlerini tahmin etmek için tasarlanmış bir çoklu regresyon modelini açıklayacaktır. Y birkaç bağımlı değişkenin değerleriyle ( X 1, X 2, ..., Xk).

Bir notu formatta veya formatta örnekler indirin

Regresyon modellerinin türleri

nerede ρ 1 - otokorelasyon katsayısı; Eğer ρ 1 = 0 (otokorelasyon yok), NS≈ 2; Eğer ρ 1 ≈ 1 (pozitif otokorelasyon), NS≈ 0; Eğer ρ 1 = -1 (negatif otokorelasyon), NS ≈ 4.

Pratikte, Durbin-Watson testinin uygulanması, değerin karşılaştırılmasına dayanır. NS kritik teorik değerlerle d L ve d U Belirli sayıda gözlem için n, modelin bağımsız değişken sayısı k(basit doğrusal regresyon için k= 1) ve önem düzeyi α. Eğer NS< d L , rastgele sapmaların bağımsızlığı hipotezi reddedilir (dolayısıyla pozitif bir otokorelasyon vardır); Eğer D> d U, hipotez reddedilmez (yani, otokorelasyon yoktur); Eğer d L< D < d U , bir karar vermek için yeterli bir temel yoktur. Hesaplanan değer ne zaman NS 2'yi aşıyor, ardından d L ve d U katsayının kendisi karşılaştırılmaz NS, ve ifade (4 - NS).

Excel'de Durbin-Watson istatistiklerini hesaplamak için Şekil 1'deki alt tabloya dönüyoruz. on dört Kalanın çekilmesi... (10) ifadesindeki pay, = SUMKVRAZN (dizi1; dizi2) işlevi ve payda = SUMKV (dizi) işlevi kullanılarak hesaplanır (Şekil 16).

Pirinç. 16. Durbin-Watson istatistiklerini hesaplamak için formüller

Örneğimizde NS= 0.883. Asıl soru şudur: Durbin-Watson istatistiğinin hangi değeri, pozitif bir otokorelasyon olduğu sonucuna varmak için yeterince küçük kabul edilmelidir? D değerini kritik değerlerle ilişkilendirmek gerekir ( d L ve d U) gözlem sayısına bağlı olarak n ve anlamlılık düzeyi α (Şekil 17).

Pirinç. 17. Durbin-Watson istatistiklerinin kritik değerleri (tablonun parçası)

Böylece evinize mal teslim eden bir mağazadaki satış hacmi probleminde bir bağımsız değişken vardır ( k= 1), 15 gözlem ( n= 15) ve anlamlılık düzeyi α = 0.05. Buradan, d L= 1.08 ve NSsen= 1.36. kadarıyla NS = 0,883 < d L= 1.08, artıklar arasında pozitif bir otokorelasyon vardır, en küçük kareler yöntemi kullanılamaz.

Eğim ve korelasyon katsayısı ile ilgili hipotezlerin test edilmesi

Yukarıdaki regresyon yalnızca tahmin için kullanılmıştır. Regresyon katsayılarını belirlemek ve bir değişkenin değerini tahmin etmek Y değişkenin belirli bir değeri için x en küçük kareler yöntemi kullanılmıştır. Ek olarak, tahminin ortalama karekök hatasına ve karışık korelasyon katsayısına baktık. Kalıntıların analizi, en küçük kareler yönteminin uygulanabilirlik koşullarının ihlal edilmediğini ve basit doğrusal regresyon modelinin yeterli olduğunu doğrularsa, örnek verilere dayanarak, değişkenler arasında doğrusal bir ilişki olduğu iddia edilebilir. Genel popülasyon.

BaşvuruT - eğim kriteri. Genel popülasyonun β 1 eğiminin sıfıra eşit olup olmadığını kontrol ederek, değişkenler arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki olup olmadığını belirlemek mümkündür. x ve Y... Bu hipotez reddedilirse, değişkenler arasında x ve Y doğrusal bir ilişki vardır. Boş ve alternatif hipotezler şu şekilde formüle edilir: H 0: β 1 = 0 (doğrusal bağımlılık yoktur), H1: β 1 ≠ 0 (doğrusal bir bağımlılık vardır). A-manastırı T-istatistik, örnek eğim ile popülasyonun varsayımsal eğimi arasındaki farkın, eğim tahmininin ortalama karekök hatasına bölünmesine eşittir:

(11) T = (B 1 – β 1 ) / S b 1

nerede B 1 Örnek verilere dayalı regresyon çizgisinin eğimi, β1 genel popülasyonun düz çizgisinin varsayımsal eğimidir, ve test istatistikleri T sahip T-ile dağıtım n - 2özgürlük derecesi.

α = 0.05'te mağaza büyüklüğü ile yıllık satışlar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki olup olmadığını kontrol edelim. T-kriter kullanılırken diğer parametrelerle birlikte görüntülenir Analiz paketi(seçenek regresyon). Analiz Paketinin tam sonuçları Şekil 2'de gösterilmektedir. Şekil 4'te, t-istatistikleri ile ilgili bir parça, Şekil 4'te gösterilmektedir. on sekiz.

Pirinç. 18. Başvuru sonuçları T

mağaza sayısından beri n= 14 (bkz. Şekil 3), kritik değer T- α = 0.05 önem düzeyindeki istatistikler şu formülle bulunabilir: t L= ÖĞRENCİ.OBR (0.025; 12) = –2.1788, burada 0.025 anlamlılık düzeyinin yarısıdır ve 12 = n – 2; t U= ÖĞRENCİ.OBR (0.975; 12) = +2.1788.

kadarıyla T-istatistik = 10.64> t U= 2.1788 (Şekil 19), boş hipotez H 0 sapar. Diğer tarafta, r-değer NS= 1 ÖĞRENCİ.DAĞ (D3; 12; DOĞRU) formülüyle hesaplanan = 10.6411, yaklaşık olarak sıfıra eşittir, bu nedenle hipotez H 0 tekrar sapar. gerçeği r-değerin neredeyse sıfıra eşit olması, mağaza büyüklüğü ile yıllık satışlar arasında gerçek bir doğrusal ilişki olmasaydı, doğrusal regresyon kullanarak bunu tespit etmenin neredeyse imkansız olacağı anlamına gelir. Sonuç olarak, mağazalardaki ortalama yıllık satışlar ile büyüklükleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir doğrusal ilişki vardır.

Pirinç. 19. Genel popülasyonun eğimi hakkındaki hipotezin 0,05 ve 12 serbestlik derecesinde anlamlılık düzeyinde test edilmesi

BaşvuruF - eğim kriteri. Basit doğrusal regresyonun eğim hipotezlerini test etmek için alternatif bir yaklaşım, F-kriter. Hatırlamak F-kriter, iki varyans arasındaki ilişkiyi test etmek için kullanılır (ayrıntılara bakın). Eğim hipotezini test ederken, rastgele hataların ölçüsü, hatanın varyansıdır (karelerinin toplamının serbestlik derecesi sayısına bölümü), bu nedenle F- kriter, regresyon tarafından açıklanan varyans oranını kullanır (yani, değerler SSR bağımsız değişken sayısına bölünmesiyle k), hataların varyansına ( MSE = S Yx 2 ).

A-manastırı F-İstatistikler, regresyona bağlı sapmanın (MSR) ortalama karesinin hatanın varyansına (MSE) bölünmesine eşittir: F = MSR/ MSE, nerede MSR =SSR / k, MSE =SSE/(n- k - 1), k- regresyon modelindeki bağımsız değişkenlerin sayısı. Test istatistikleri F sahip F-ile dağıtım k ve n- k - 1özgürlük derecesi.

Belirli bir önem düzeyi α için, karar kuralı şu şekilde formüle edilir: F> Fsen, boş hipotez reddedilir; aksi halde reddedilmez. Varyans analizinin bir özet tablosu şeklinde sunulan sonuçlar, Şekil 2'de gösterilmektedir. yirmi.

Pirinç. 20. Regresyon katsayısının istatistiksel önemi hakkındaki hipotezi test etmek için ANOVA tablosu

aynı şekilde T-kriter F-kriter kullanıldığında tabloda görüntülenir Analiz paketi(seçenek regresyon). Tamamen iş sonuçları Analiz paketiŞekilde gösterilmektedir. 4, ilgili bir parça F-istatistikler - Şek. 21.

Pirinç. 21. Başvuru sonuçları F-Excel Analiz Paketi kullanılarak elde edilen kriterler

F istatistiği 113.23'tür ve r-değer sıfıra yakın (hücre ÖnemiF). Anlamlılık düzeyi α 0.05 ise kritik değeri belirleyiniz. F-bir ve 12 serbestlik dereceli dağılımlar formülle verilebilir FU= F. OBR (1-0.05; 1; 12) = 4.7472 (Şekil 22). kadarıyla F = 113,23 > FU= 4.7472 ve r-değer 0'a yakın< 0,05, нулевая гипотеза H 0 sapar, yani mağaza büyüklüğü, yıllık satışlarıyla yakından ilgilidir.

Pirinç. 22. Genel popülasyonun eğimi hakkındaki hipotezin 0,05 anlamlılık düzeyinde, bir ve 12 serbestlik derecesiyle test edilmesi

β 1 eğimini içeren güven aralığı. Değişkenler arasında doğrusal bir ilişkinin varlığına ilişkin hipotezi test etmek için β 1 eğimini içeren bir güven aralığı oluşturabilir ve β 1 = 0 varsayımsal değerinin bu aralığa ait olduğundan emin olabilirsiniz. β 1 eğimini içeren güven aralığının merkezi, örnek eğimdir. B 1 , ve sınırları miktarlardır b1 ±t n –2 S b 1

Şekilde gösterildiği gibi. on sekiz, B 1 = +1,670, n = 14, S b 1 = 0,157. T 12 = ÖĞRENCİ.OBR (0.975; 12) = 2.1788. Buradan, b1 ±t n –2 S b 1 = +1.670 ± 2.1788 * 0.157 = +1.670 ± 0.342 veya + 1.328 ≤ β 1 ≤ +2.012. Bu nedenle, 0.95 olasılıkla genel popülasyonun eğimi +1.328 ila +2.012 (yani 1.328.000 ila 2.012.000 ABD Doları) aralığındadır. Bu değerler sıfırdan büyük olduğu için yıllık satışlar ile mağaza alanı arasında istatistiksel olarak anlamlı doğrusal bir ilişki vardır. Güven aralığı sıfırı içeriyorsa, değişkenler arasında bağımlılık olmazdı. Ek olarak, güven aralığı, mağaza alanındaki her artışın 1.000 m2 olduğu anlamına gelir. fit, ortalama satışlarda 1.328.000 $ ila 2.012.000 $ arasında bir artışa neden olur.

kullanımT - korelasyon katsayısı için kriter. korelasyon katsayısı tanıtıldı r, iki sayısal değişken arasındaki ilişkinin bir ölçüsüdür. İki değişken arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki olup olmadığını belirlemek için kullanılabilir. Her iki değişkenin genel popülasyonları arasındaki korelasyon katsayısını ρ sembolü ile gösterelim. Boş ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibi formüle edilir: H 0: ρ = 0 (korelasyon yok), H1: ρ ≠ 0 (bir korelasyon var). Bir korelasyonun varlığını kontrol etme:

nerede r = + , Eğer B 1 > 0, r = – , Eğer B 1 < 0. Тестовая статистика T sahip T-ile dağıtım n - 2özgürlük derecesi.

Mağazalar zinciri ile ilgili problemde Ayçiçekleri r2= 0.904 ve b1- +1.670 (bkz. şekil 4). kadarıyla b1> 0, yıllık satışlar ile mağaza büyüklüğü arasındaki korelasyon katsayısı r= + √0.904 = +0.951. kullanarak bu değişkenler arasında bir korelasyon olmadığına dair boş hipotezi kontrol edin. T-İstatistik:

α = 0.05 anlamlılık düzeyinde, sıfır hipotezi reddedilmelidir çünkü T= 10.64> 2.1788. Dolayısıyla yıllık satışlar ile mağaza büyüklüğü arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki olduğu söylenebilir.

Güven aralıkları ve hipotezleri test etme kriterleri, popülasyon eğimi hakkında sonuçlar tartışılırken birbirinin yerine kullanılır. Ancak, korelasyon katsayısını içeren güven aralığını hesaplamak, istatistiğin örnek dağılımının şekli nedeniyle daha zor görünmektedir. r gerçek korelasyon katsayısına bağlıdır.

Matematiksel beklenti tahmini ve bireysel değerlerin tahmini

Bu bölüm, beklenen yanıtı değerlendirme yöntemlerini tartışır Y ve bireysel değerlerin tahminleri Y değişkenin verilen değerlerinde x.

Bir güven aralığı oluşturma.Örnek 2'de (yukarıdaki bölüme bakın en küçük kareler yöntemi) regresyon denklemi, değişkenin değerini tahmin etmeyi mümkün kıldı Y x... Bir perakende satış noktası için yer seçme probleminde, 4000 metrekarelik bir mağazada ortalama yıllık satışlar. feet 7.644 milyon dolara eşitti.Ancak, genel nüfusun bu matematiksel beklentisinin bu tahmini noktasaldır. genel popülasyonun matematiksel beklentisini değerlendirmek için bir güven aralığı kavramı önerildi. Benzer şekilde, kavramı tanıtabiliriz beklenen yanıt için güven aralığı değişkenin belirli bir değeri için x:

nerede , = B 0 + B 1 X ben- tahmin edilen değer değişkendir Y NS x = X ben, S YX- kök-ortalama-kare hatası, n- örnek boyut, xben- değişkenin set değeri x, µ Y|x = xben- bir değişkenin matematiksel beklentisi Y NS NS = X ben, SSX =

Formül (13)'ün analizi, güven aralığının genişliğinin birkaç faktöre bağlı olduğunu göstermektedir. Belirli bir önem düzeyinde, ortalama kare hatası kullanılarak ölçülen regresyon çizgisi etrafındaki salınımların genliğinde bir artış, aralığın genişliğinde bir artışa yol açar. Öte yandan, beklendiği gibi, örneklem büyüklüğündeki artışa aralığın daralması eşlik etmektedir. Ayrıca değerlere bağlı olarak aralığın genişliği değişir. xben... Değişkenin değeri ise Y miktarlar için tahmin edilen x ortalamaya yakın , güven aralığı, ortalamadan uzak değerler için yanıtı tahmin etmekten daha dar olduğu ortaya çıkıyor.

Bir mağaza için yer seçerken 4.000 metrekare alana sahip tüm mağazaların ortalama yıllık satışları için %95 güven aralığı çizmek istediğimizi varsayalım. ayak:

Sonuç olarak, 4.000 metrekare alana sahip tüm mağazalarda yıllık ortalama satışlar. fit, %95 olasılıkla 6.971 ile 8.317 milyon dolar aralığında yer alıyor.

Tahmin edilen değer için güven aralığının hesaplanması. Değişkenin belirli bir değerinde yanıtın matematiksel beklentisi için güven aralığına ek olarak x, genellikle tahmin edilen değer için güven aralığını bilmek gerekir. Bu güven aralığını hesaplama formülü formül (13)'e çok benzer olmasına rağmen, bu aralık parametre tahminini değil tahmin edilen değeri içerir. Öngörülen yanıt aralığı Yx = Xi değişkenin belirli bir değerinde xben formülle belirlenir:

Bir mağaza için yer seçerken, 4000 metrekarelik bir mağaza için öngörülen yıllık satış hacmi için %95 güven aralığı çizmek istediğimizi varsayalım. ayak:

Bu nedenle, 4000 m2 alana sahip bir mağaza için öngörülen yıllık satış hacmi. ft, %95 olasılıkla 5.433 ile 9.854 milyon dolar aralığındadır.Gördüğünüz gibi, yanıtın tahmin edilen değeri için güven aralığı, matematiksel beklentisi için güven aralığından çok daha geniştir. Bunun nedeni, bireysel değerleri tahmin etmedeki değişkenliğin, matematiksel beklentiyi değerlendirirken olduğundan çok daha büyük olmasıdır.

Regresyonla İlgili Tuzaklar ve Etik Sorunlar

Regresyon analizi ile ilgili zorluklar:

• En küçük kareler yönteminin uygulanabilirlik koşullarının göz ardı edilmesi.
• En küçük kareler yönteminin uygulanabilirlik koşullarının hatalı değerlendirilmesi.
• En küçük kareler yönteminin uygulanabilirlik koşulları ihlal edildiğinde alternatif yöntemlerin yanlış seçilmesi.
• Araştırma konusu hakkında derin bilgi sahibi olmadan regresyon analizinin uygulanması.
• Açıklayıcı değişken aralığının ötesindeki regresyonun ekstrapolasyonu.
• İstatistiksel ve nedensel ilişkiler arasındaki karışıklık.

Elektronik tabloların ve istatistiksel yazılımların yaygın olarak benimsenmesi, regresyon analizinin kullanımını engelleyen hesaplama sorunlarını ortadan kaldırmıştır. Ancak bu durum regresyon analizinin yeterli nitelik ve bilgiye sahip olmayan kullanıcılar tarafından kullanılmaya başlanmasına neden olmuştur. Birçoğu en küçük kareler yönteminin uygulanabilirliği için koşullar hakkında hiçbir fikri yoksa ve uygulamalarını nasıl doğrulayacaklarını bilmiyorsa, kullanıcılar alternatif yöntemleri nasıl bilebilirler?

Araştırmacı, taşlama sayılarına - vardiya, eğim ve karışık korelasyon katsayısının hesaplanmasına kapılmamalıdır. Daha derin bilgiye ihtiyacı var. Bunu ders kitaplarından alınan klasik bir örnekle açıklayalım. Anscombe, Şekil 2'de gösterilen dört veri kümesinin hepsinin olduğunu gösterdi. 23 aynı regresyon parametrelerine sahiptir (Şekil 24).

Pirinç. 23. Dört set yapay veri

Pirinç. 24. Dört yapay veri setinin regresyon analizi; ile yapılır Analiz paketi(resmi büyütmek için resme tıklayın)

Dolayısıyla, regresyon analizi açısından tüm bu veri kümeleri tamamen aynıdır. Analiz biterse, birçok yararlı bilgiyi kaybederiz. Bu, bu veri kümeleri için çizilen dağılım grafikleri (Şekil 25) ve kalıntı grafikleri (Şekil 26) ile kanıtlanmıştır.

Pirinç. 25. Dört veri kümesi için dağılım grafikleri

Dağılım grafikleri ve kalıntı grafikleri, bu verilerin birbirinden farklı olduğunu göstermektedir. Düz bir çizgi boyunca dağıtılan tek küme A kümesidir. A kümesinden hesaplanan artıkların grafiğinin düzenliliği yoktur. Aynı şey B, C ve D Kümeleri için söylenemez. B Kümesi için çizilen dağılım grafiği, belirgin bir ikinci dereceden modeli göstermektedir. Bu sonuç, parabolik bir şekle sahip olan artıkların grafiği ile doğrulanır. Dağılım grafiği ve artık grafiği, veri kümesi B'nin bir aykırı değer içerdiğini gösterir. Bu durumda aykırı değeri veri setinden çıkarmak ve analizi tekrarlamak gerekir. Gözlemlerdeki aykırı değerleri tespit etmeye ve ortadan kaldırmaya yönelik bir tekniğe etki analizi denir. Aykırı değer ortadan kaldırıldıktan sonra, modelin yeniden değerlendirilmesinin sonucu tamamen farklı olabilir. D veri kümesinden bir dağılım grafiği, ampirik modelin büyük ölçüde bireysel bir yanıta bağlı olduğu olağandışı durumu göstermektedir ( 8 = 19, Y 8 = 12.5). Bu tür regresyon modellerinin özel bir dikkatle hesaplanması gerekir. Bu nedenle, dağılım ve artık grafikler, regresyon analizi için önemli bir araçtır ve bunun ayrılmaz bir parçası olmalıdır. Onlar olmadan regresyon analizi güvenilir değildir.

Pirinç. 26. Dört veri kümesi için artık grafikleri

Regresyon analizinde tuzaklardan nasıl kaçınılır:

• Değişkenler arasındaki olası ilişkinin analizi x ve Y her zaman bir dağılım grafiği çizerek başlayın.
• Regresyon analizinin sonuçlarını yorumlamadan önce uygulanabilirlik koşullarını kontrol edin.
• Artıkları bağımsız değişkene karşı çizin. Bu, ampirik modelin gözlem sonuçlarıyla nasıl tutarlı olduğunu belirlemenize ve varyans sabitliğinin ihlalini tespit etmenize olanak tanır.
• Normal hata varsayımını test etmek için histogramları, gövde ve yaprak grafiklerini, kutu grafiklerini ve normal dağılım grafiklerini kullanın.
• En küçük kareler yönteminin uygulanabilirliği için koşullar karşılanmıyorsa, alternatif yöntemler (örneğin, ikinci dereceden veya çoklu regresyon modelleri) kullanın.
• En küçük kareler yönteminin uygulanabilirliği için koşullar karşılanıyorsa, regresyon katsayılarının istatistiksel anlamlılığına ilişkin hipotezin test edilmesi ve matematiksel beklenti ile tahmin edilen yanıt değerini içeren güven aralıklarının oluşturulması gerekir.
• Bağımlı değişkenin değerlerini bağımsız değişken aralığı dışında tahmin etmekten kaçının.
• İstatistiksel ilişkilerin her zaman nedensel olmadığını unutmayın. Değişkenler arasındaki korelasyonun, aralarında nedensel bir ilişki olduğu anlamına gelmediğini unutmayın.

Özet. Blok diyagramda gösterildiği gibi (Şekil 27), not basit doğrusal regresyon modelini, uygulanabilirliği için koşulları ve bu koşulların nasıl kontrol edileceğini açıklar. Dikkate alınan T- regresyon eğiminin istatistiksel önemini kontrol etmek için kriter. Bağımlı değişkenin değerlerini tahmin etmek için bir regresyon modeli kullanıldı. Yıllık satış hacminin mağaza alanına bağımlılığının araştırıldığı bir perakende satış noktası için yer seçimi ile ilgili bir örnek düşünülmüştür. Elde edilen bilgiler, mağazanın yerini daha doğru seçmenize ve yıllık satışlarını tahmin etmenize olanak tanır. Aşağıdaki notlarda, regresyon analizi tartışmamıza devam edeceğiz ve ayrıca çoklu regresyon modellerine bakacağız.

Pirinç. 27. Notun blok şeması

Yöneticiler için Levin ve diğer İstatistikler kitabının kullanılmış materyalleri. - E.: Williams, 2004 .-- s. 792-872

Bağımlı değişken kategorik ise lojistik regresyon uygulanmalıdır.

Korelasyon-REGRESYON ANALİZİHANIM mükemmel

1. MS Excel'de bir kaynak veri dosyası oluşturun (örneğin, tablo 2)

2. Korelasyon alanının oluşturulması

Komut satırında korelasyon alanını oluşturmak için menüyü seçin Ekle / Grafik... Görüntülenen iletişim kutusunda, grafik türünü seçin: Puan; görüş: Dağılım çizelgesi bu, değer çiftlerini karşılaştırmanıza izin verir (Şekil 22).

Şekil 22 - Bir grafik türü seçme

Şekil 23– Aralık ve satır seçerken pencere görünümü
Şekil 25 - Pencere görünümü, 4. adım

2. Bağlam menüsünde komutu seçin Bir eğilim çizgisi ekleyin.

3. Görünen iletişim kutusunda, Şekil 26'da gösterildiği gibi grafiğin türünü (örneğimizde doğrusal) ve denklemin parametrelerini seçin.

Tamam'ı tıklayın. Sonuç Şekil 27'de gösterilmektedir.

Şekil 27 - Emek verimliliğinin sermaye-emek oranına bağımlılığının korelasyon alanı

Benzer şekilde, işgücü verimliliğinin ekipman değiştirme oranına bağımlılığının korelasyon alanını oluşturuyoruz. (Şekil 28).

Şekil 28 - Emek verimliliği bağımlılığının korelasyon alanı

ekipman değiştirme oranından

3. Korelasyon matrisinin oluşturulması.

Menüde bir korelasyon matrisi oluşturmak için Hizmet Seç Veri analizi.

Bir veri analiz aracı kullanma regresyon, regresyon istatistikleri, varyans analizi ve güven aralıklarının sonuçlarına ek olarak, regresyon çizgisi, artıklar ve normal olasılığın uydurulması için artıklar ve grafikler elde etmek mümkündür. Bunu yapmak için analiz paketine erişimi kontrol etmeniz gerekir. Ana menüden seçin Hizmet / Eklentiler... Kutuyu kontrol et Analiz paketi(Şekil 29)

Şekil 30 - İletişim kutusu Veri analizi

Tamam'a tıkladıktan sonra, görünen iletişim kutusunda, Şekil 31'de gösterildiği gibi giriş aralığını (örneğimizde, A2: D26), gruplamayı (bizim durumumuzda sütunlara göre) ve çıkış parametrelerini belirtin.

Şekil 31 - İletişim kutusu korelasyon

Hesaplama sonucu Tablo 4'te sunulmuştur.

Tablo 4 - Korelasyon matrisi

	Sütun 1	2. sütun	Sütun 3
Sütun 1
2. sütun
Sütun 3

TEK Faktörlü Regresyon Analizi

REGRESYON ARACI UYGULAMASI İLE

Menüde emek verimliliğinin sermaye-emek oranına bağımlılığına ilişkin bir regresyon analizi yapmak Hizmet Seç Veri analizi ve analiz aracını belirtin regresyon(Şekil 32).

Şekil 33 - İletişim kutusu regresyon