diferansiyel denklem nasıl çözülür
operasyonel hesap?

Bu derste, tipik ve yaygın bir karmaşık analiz görevi ayrıntılı olarak analiz edilecektir - operasyonel hesap yöntemiyle sabit katsayılarla 2. dereceden belirli bir DE çözümünü bulma. Tekrar tekrar, malzemenin düşünülemeyecek kadar karmaşık ve erişilemez olduğu önyargısından sizi kurtarıyorum. Komik ama örneklerde uzmanlaşmak için ayırt edemeyebilirsiniz, bütünleştiremeyebilirsiniz ve hatta ne olduğunu bilemeyebilirsiniz. Karışık sayılar. Uygulama becerisi gerektirir belirsiz katsayılar yöntemi, makalede ayrıntılı olarak tartışılan Kesirli rasyonel fonksiyonların entegrasyonu. Aslında, ödevin temel taşı olağan cebirsel işlemlerdir ve malzemenin bir okul çocuğu için bile mevcut olduğundan eminim.

İlk olarak, ele alınan matematiksel analiz bölümü hakkında kısa teorik bilgiler. Ana nokta operasyonel hesapşunlardan oluşur: işlev geçerli sözde kullanarak değişken Laplace dönüşümleri içinde görüntüleniyor işlev Birleşik değişken :

Terminoloji ve gösterim:
fonksiyon denir orijinal;
fonksiyon denir resim;
büyük harf gösterir Laplace dönüşümü.

Basit bir ifadeyle, belirli kurallara göre, gerçek bir işlevin (orijinal) karmaşık bir işleve (görüntü) dönüştürülmesi gerekir. Ok bu dönüşümü gösterir. Ve "belirli kurallar" kendileri Laplace dönüşümü sadece resmi olarak ele alacağımız, sorunları çözmek için oldukça yeterli olacak.

Görüntü orijinale dönüştürüldüğünde, ters Laplace dönüşümü de mümkündür:

Bütün bunlar neden gerekli? Bir dizi yüksek matematik probleminde, orijinallerden görüntülere geçmek çok faydalı olabilir, çünkü bu durumda problemin çözümü büyük ölçüde basitleştirilmiştir (şaka yapıyorum). Ve ele alacağımız bu sorunlardan sadece biri. Operasyonel hesabı görecek kadar yaşadıysanız, formülasyon size aşina olmalıdır:

Verilen başlangıç ​​koşulları için sabit katsayılı homojen olmayan ikinci dereceden bir denklemin özel bir çözümünü bulun.

Not: bazen diferansiyel denklem homojen olabilir: , bunun için yukarıdaki formülasyonda işlemsel hesap yöntemi de uygulanabilir. Ancak pratik örneklerde 2. dereceden homojen DE son derece nadirdir ve ayrıca homojen olmayan denklemler hakkında konuşacağız.

Ve şimdi üçüncü yöntem analiz edilecek - operasyonel hesap kullanarak DE'nin çözümü. Şu gerçeği bir kez daha vurguluyorum. belirli bir çözüm bulmakla ilgili, Dahası, başlangıç ​​koşulları kesinlikle forma sahiptir("X'ler" sıfıra eşittir).

Bu arada, "X" hakkında. Denklem aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir:
, burada "x" bağımsız bir değişkendir ve "y" bir fonksiyondur. Bundan tesadüfen bahsetmiyorum, çünkü söz konusu problemde en sık diğer harfler kullanılıyor:

Yani, bağımsız değişkenin rolü "te" değişkeni ("x" yerine) tarafından oynanır ve işlevin rolü "x" değişkeni ("y" yerine) tarafından oynanır.

Elbette uygunsuz olduğunu anlıyorum, ancak çoğu sorunlu kitap ve kılavuzda bulunan gösterime bağlı kalmak daha iyidir.

Yani diğer harflerle görevimiz şöyle yazılır:

Verilen başlangıç ​​koşulları için sabit katsayılı homojen olmayan ikinci dereceden bir denklemin özel bir çözümünü bulun .

Görevin anlamı hiç değişmedi, sadece harfler değişti.

Bu problem operasyonel hesap yöntemiyle nasıl çözülür?

Her şeyden önce, ihtiyacınız olacak orijinaller ve resimler tablosu. Bu önemli bir karar aracıdır ve onsuz yapamazsınız. Bu nedenle mümkünse belirtilen referans materyali yazdırmaya çalışın. Hemen "pe" harfinin ne anlama geldiğini açıklayacağım: karmaşık bir değişken (normal "ze" yerine). Bu gerçek, sorunların çözümü için özel bir öneme sahip olmasa da, “pe” çok “pe” dir.

Tabloyu kullanarak, orijinallerin bazı görüntülere dönüştürülmesi gerekir. Bunu bir dizi tipik eylem izler ve ters Laplace dönüşümü kullanılır (tabloda da). Böylece istenilen özel çözüm bulunacaktır.

Güzel olan tüm görevler oldukça katı bir algoritmaya göre çözülür.

örnek 1

, ,

Çözüm:İlk adımda, orijinallerden karşılık gelen görüntülere geçeceğiz. Sol tarafı kullanalım.

İlk önce orijinal denklemin sol tarafıyla ilgilenelim. Laplace dönüşümü için, doğrusallık kuralları, bu yüzden tüm sabitleri yok sayarız ve fonksiyon ve türevleriyle ayrı ayrı çalışırız.

1 numaralı tablo formülüne göre, işlevi dönüştürüyoruz:

2 numaralı formüle göre , başlangıç ​​koşulunu dikkate alarak türevi çeviriyoruz:

3 numaralı formüle göre, başlangıç ​​koşulları verildiğinde, ikinci türevi çeviriyoruz:

İşaretlerle karıştırmayın!

“Formüller” değil, “dönüşümler” demenin daha doğru olduğunu itiraf ediyorum, ancak basitlik için zaman zaman tablo formüllerinin doldurulmasını arayacağım.

Şimdi polinomu içeren sağ tarafla ilgilenelim. Aynı nedeniyle doğrusallık kuralları Laplace dönüşümleri, her terimle ayrı ayrı çalışıyoruz.

İlk terime bakıyoruz: - bu bağımsız değişken "te"dir, bir sabitle çarpılır. Sabiti yok sayın ve tablonun 4 numaralı öğesini kullanarak dönüşümü gerçekleştirin:

İkinci terime bakıyoruz: -5. Tek başına bir sabit bulunduğunda, artık onu atlamak mümkün değildir. Tek bir sabitle bunu yaparlar: netlik için, bir çarpım: olarak temsil edilebilir ve birime bir dönüşüm uygulanır:

Böylece, tablo kullanılarak diferansiyel denklemin tüm elemanları (orijinalleri) için karşılık gelen görüntüler bulunur:

Bulunan görüntüleri orijinal denklemde değiştirin:

Bir sonraki görev ifade etmektir. operatör kararı diğer her şey aracılığıyla, yani bir kesir aracılığıyla. Bu durumda, aşağıdaki prosedürün izlenmesi tavsiye edilir:

İlk olarak, sol taraftaki parantezleri açın:

Benzer terimleri sol tarafta (varsa) veriyoruz. Bu durumda, -2 ve -3 sayılarını ekleyin. Aptallar, bu aşamayı atlamamanızı şiddetle tavsiye eder:

Solda, mevcut olan terimleri bırakıyoruz, kalan terimleri işaret değişikliği ile sağa aktarıyoruz:

Sol tarafta operatör çözümünü çıkarıyoruz, sağ tarafta ifadeyi ortak bir paydaya getiriyoruz:

Soldaki polinom (mümkünse) çarpanlarına ayrılmalıdır. İkinci dereceden denklemi çözüyoruz:

Böylece:

Sağ tarafın paydasına sıfırlıyoruz:

Hedefe ulaşıldı - operatör çözümü bir kesir olarak ifade edildi.

Eylem iki. kullanma belirsiz katsayılar yöntemi, denklemin operatör çözümü, temel kesirlerin toplamına genişletilmelidir:

Katsayıları karşılık gelen güçlerde eşitleyin ve sistemi çözün:

Herhangi bir zorluk varsa lütfen makaleleri takip edin Bir kesirli-rasyonel fonksiyonun integrali ve Bir denklem sistemi nasıl çözülür? Bu çok önemlidir çünkü fraksiyonlama esasen problemin en önemli kısmıdır.

Böylece, katsayılar bulunur: ve operatör çözümü demonte halde önümüzde görünür:

Sabitlerin kesirlerin paylarında yazılmadığına dikkat edin. Bu yazı biçimi daha iyi . Ve daha karlı, çünkü son işlem karışıklık ve hata olmadan gerçekleşecek:

Görevin son adımı, ters Laplace dönüşümünü kullanarak görüntülerden ilgili orijinallere geçmektir. Sağ sütunu kullanın orijinallerin ve resimlerin tabloları.

Belki de herkes dönüşümü anlamıyor. Burada tablonun 5 numaralı paragrafının formülü kullanılır:. Daha detaylı ise: . Aslında, benzer durumlar için formül değiştirilebilir: . Evet ve 5 No'lu paragrafın tüm tablo formüllerini benzer şekilde yeniden yazmak çok kolaydır.

Ters geçişten sonra, mavi kenarlıklı gümüş bir tepside DE'nin istenen özel çözümü elde edilir:

Öyleydi:

Dönüştü:

Yanıt vermek:özel çözüm:

Zaman izin verdiğinde, her zaman bir kontrol yapılması tavsiye edilir. Kontrol, derste önceden düşünülmüş olan standart şemaya göre gerçekleştirilir. 2. mertebeden homojen olmayan diferansiyel denklemler. Tekrar edelim:

Başlangıç ​​koşulunun yerine getirildiğini kontrol edelim:
- tamamlamak.

İlk türevi bulalım:

İkinci başlangıç ​​koşulunun yerine getirildiğini kontrol edelim:
- tamamlamak.

İkinci türevi bulalım:

Vekil , ve orijinal denklemin sol tarafında:

Orijinal denklemin sağ tarafı elde edilir.

Sonuç: görev doğru bir şekilde tamamlandı.

Kendi başınıza çözmeniz için küçük bir örnek:

Örnek 2

İşlemsel hesabı kullanarak, verilen başlangıç ​​koşulları için bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü bulun.

Dersin sonunda bir son ödev örneği.

Diferansiyel denklemlerde en sık görülen konuk, çoğu kişinin uzun zamandır fark ettiği gibi, üslerdir, bu yüzden onlarla birkaç örneğe bakalım, akrabalar:

Örnek 3

, ,

Çözüm: Laplace dönüşüm tablosunun yardımıyla (tablonun sol tarafı), orijinallerden karşılık gelen görüntülere geçeceğiz.

Önce denklemin sol tarafına bakalım. İlk türev yoktur. Peki ne olmuş? İyi. Az iş. İlk koşullar göz önüne alındığında, 1,3 numaralı tablo formüllerine göre görüntüleri buluyoruz:

Şimdi sağ tarafa bakıyoruz: - iki fonksiyonun ürünü. Faydalanmak için doğrusallık özellikleri Laplace dönüşümü, parantezleri açmanız gerekir: . Sabitler ürünlerde olduğundan, onlara puan veririz ve tablo formüllerinin 5 numaralı grubunu kullanarak görüntüleri buluruz:

Bulunan görüntüleri orijinal denklemde değiştirin:

Bir sonraki görevin operatör çözümünü tek bir kesir cinsinden ifade etmek olduğunu hatırlatırım.

Sol tarafta mevcut olan terimleri bırakıyoruz, kalan terimleri sağ tarafa aktarıyoruz. Aynı zamanda sağ tarafta kesirleri yavaş yavaş ortak bir paydaya getirmeye başlıyoruz:

Soldaki parantezlerden çıkardık, sağda ifadeyi ortak bir paydaya getiriyoruz:

Sol tarafta, ayrıştırılamaz bir polinom elde edilir. Polinom çarpanlara ayrılmazsa, o zaman zavallı adam, bacaklarını bir havzada betonlaştırarak hemen sağ tarafın altına atılmalıdır. Ve payda, parantezleri açın ve benzer terimler verin:

En zahmetli aşama geldi: belirsiz katsayılar yöntemi denklemin operatör çözümünü temel kesirlerin toplamına genişletiriz:


Böylece:

Kesrin nasıl ayrıştırıldığına dikkat edin: Bunun neden böyle olduğunu yakında açıklayacağım.

Bitir: resimlerden ilgili orijinallere geçin, tablonun sağ sütununu kullanın:

İki alt dönüşümde, tablonun 6 ve 7 numaralı formülleri kullanıldı ve kesir, yalnızca tablo dönüşümlerine “ayarlama” için önceden genişletildi.

Sonuç olarak, belirli bir çözüm:

Yanıt vermek: istenen özel çözüm:

Kendin yap çözümü için benzer bir örnek:

Örnek 4

İşlemsel hesap yöntemiyle diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü bulun.

Kısa çözüm ve ders sonunda cevap.

Örnek 4'te, başlangıç ​​koşullarından biri sıfırdır. Bu kesinlikle çözümü basitleştirir ve en ideal seçenek, her iki başlangıç ​​koşulunun da sıfır olduğu zamandır: . Bu durumda, türevler kuyruksuz görüntülere dönüştürülür:

Daha önce belirtildiği gibi, sorunun en zor teknik yönü, kesrin genişlemesidir. belirsiz katsayılar yöntemi, ve elimde oldukça zaman alıcı örnekler var. Yine de, canavarlarla kimseyi korkutmayacağım, denklemin birkaç tipik çeşidini düşünelim:

Örnek 5

İşlemsel hesap yöntemini kullanarak, verilen başlangıç ​​koşullarını sağlayan diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun.
, ,

Çözüm: Laplace dönüşüm tablosunu kullanarak orijinallerden karşılık gelen görüntülere geçelim. Başlangıç ​​koşulları göz önüne alındığında :

Sağ tarafta da sorun yok:

(Çarpan sabitlerinin yok sayıldığını hatırlatırım)

Ortaya çıkan görüntüleri orijinal denklemde değiştirin ve umarım zaten iyi sonuç vermişsinizdir:

Paydadaki sabiti kesir dışında çıkarıyoruz, en önemlisi, sonra bunu unutma:

Paydan ek bir ikili alıp almamayı düşündüm, ancak tahmin ettikten sonra, bu adımın pratikte sonraki kararı basitleştirmeyeceği sonucuna vardım.

Görevin bir özelliği ortaya çıkan kesirdir. Ayrışması uzun ve zor olacak gibi görünüyor, ancak izlenim aldatıcı. Doğal olarak, zor şeyler var, ama her durumda, korkmadan ve şüphe duymadan devam edin:

Bazı katsayıların kesirli olduğu gerçeği utanç verici olmamalı, bu durum nadir değildir. Keşke bilgi işlem tekniği başarısız olmasaydı. Ayrıca, cevabı kontrol etmek her zaman mümkündür.

Sonuç olarak, operatör çözümü:

Resimlerden ilgili orijinallere geçelim:

Yani özel bir çözüm:

Görev 1. Resmin orijinalini bul

basit kesirlere ayırarak.

Çözüm. hadi ayrıştıralım
basit kesirlerin toplamı

.

belirsiz katsayıları bulalım A, B, C, D. Çünkü

daha sonra, katsayıları aynı güçlerde eşitlemek , alırız

,
,
,
.

Böylece,

Orijinal rulo.İzin vermek
ve
- referans fonksiyonları ve
,
. Tanım olarak, orijinallerin bir kıvrımı
integral denir
(3.1)

Görüntü ekleme teoremine göre, orijinallerin konvolüsyonu
görüntülerin ürününe karşılık gelir

Görev 2. Fonksiyon Evrişimini Bul
ve
.

Çözüm. Sahibiz

Görev 3. Orijinali görüntüden geri yükle
evrişim kullanarak.

Çözüm. Hayal etmek
iki fonksiyonun bir ürünü olarak ve çarpma teoremini kullanarak yazıyoruz

. (bkz. sorun 2)

4. Lineer diferansiyel denklemlerin ve sistemlerin çözümü.

Sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemlerin çözümüne ve verilen başlangıç ​​koşulları altında sistemlerine işlemsel hesabın kural ve teoremlerinin uygulanmasını düşünün. İstenen çözümün, türevlerinin ve diferansiyel denklemin sağ tarafının orijinal olduğunu öneriyoruz.

Bir diferansiyel denklemi çözme şeması.

İstenen fonksiyon, bu denklemde yer alan türevleri, denklemin sağ tarafı onların görüntüleri ile değiştirilir. Sonuç, sözde operatör denklemidir.

Operatör denklemini istenen fonksiyonun görüntüsüne göre çözüyoruz.

İstenen işlevin görüntüsünden orijinaline geçiyoruz.

Diferansiyel denklem sistemlerini çözme şeması aynıdır.

Görev 1. Diferansiyel denklemi çöz

, Eğer
,

Çözüm.İzin vermek
- istenen çözüm.

.

Operatör denklemini yazalım

Bulduk A, B, C.
,
,
.

Görev 2. Bir diferansiyel denklem sistemine bir çözüm bulun

başlangıç ​​koşullarını sağlayan
,
,
,

Çözüm.İzin vermek
,
. O zamanlar

;
;
;
.

Dönüştürülen sistem şu şekildedir:

biz tanımlarız
,
Cramer kuralına göre

;

hesaplama
alırız

hesaplama
alırız

Duhamel integralini kullanarak sıfır başlangıç ​​koşulları altında diferansiyel denklemlerin çözümünü düşünün.

Duhamel integrali.

Eğer
ve
, sonra

(4.1)

(4.1 ’)

Sabit katsayılı bir lineer diferansiyel denklem düşünün

o zaman alırız

veya
, nerede
- n'inci derecenin polinomu;

(4.2)

Sağ tarafın bire eşit olduğu başka bir diferansiyel denklemi ele alırsak,

daha sonra görüntülerde aynı sıfır başlangıç ​​koşulları altında denklemi elde ederiz

Buradan
(4.3)

(4.3)'ü (4.2'de) yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

(4.4)

Duhamel integralini (4.1') kullanarak ve bunu dikkate alarak
, alırız

Bu nedenle, (4.5) integralini kullanarak farklı sağ taraflara sahip çözümler elde etmek için sağ tarafı bire eşit olan bir denklemi çözmek yeterlidir.

Görev 3.

Duhamel integralini kullanarak diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun:

(4.7)

İzin vermek
, sonra

Görüntü için denklemi alın

için orijinal denkleme dönersek
, Hadi yaz

Diferansiyel denklemleri çözmek için operasyonel yöntemin avantajının, bu yöntem sayesinde, bir diferansiyel denklemin çözümünü, hesaplamayı büyük ölçüde basitleştiren bir cebirsel denklemin çözümü ile değiştirmemiz olduğuna dikkat edilmelidir.

Operasyonel hesap yöntemlerinin uygulanması

elektrik mühendisliği görevleri.

Operasyonel hesap yöntemleri, elektrik mühendisliğindeki özel problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Görev 1.

Sıfır olmayan başlangıç ​​koşullarına sahip bir devreye ek bir EMF kaynağının dahil edilmesi.

Sıfır olmayan başlangıç ​​koşullarına sahip bir elektrik devresi düşünün (Şekil 5.1), burada r dirençtir; L endüktanstır; C kapasitörün kapasitansıdır; k anahtardır.

Bu devre, EMF E kapatıldığında, kapasitörün devrede şarj edilmesiyle karakterize edilir. Kondansatör şarj olduktan sonra devredeki akım sıfır olur. Devreye ek bir EMF e(t) bağladıktan sonra i(t) akımının bulunması gerekir.

Kirchhoff'un ikinci yasasına göre (dirençler boyunca gerilim düşüşünün cebirsel toplamı, devrede etkili olan EMF'nin cebirsel toplamına eşittir) zaman anı için
sahibiz

, (5.1)

nerede
- kapasitördeki voltaj;

(0), kondansatörün önceden şarj edilmiş olması nedeniyle kapasitör üzerindeki başlangıç ​​voltajıdır.

Çözüm.

Laplace dönüşümünü tam diferansiyel denkleme (5.1) uygulayarak yazıyoruz

nerede
- devredeki ilk akım. Bu ilişkileri kullanarak, görüntülerde cebirsel bir denklem elde ederiz.

bilinmeyen nerede
. Diğer miktarlar bilinmektedir (5.2)'den elde ettiğimiz

(5.3)

Belirli bir örneği ele alalım. Laplace dönüşümünü uygulayarak elde ederiz.
buradan,
Bu koşulları hesaba katarak, (5.3)'ten elde ederiz.

Yorum Yap. Elde edilen çözümden (5.4) şu sonuç çıkar:
,
, yani
Bu, bir süre sonra kapasitörün ek olarak şarj olacağı ve akımın sıfıra eşit olacağı anlamına gelir.

Görev 2.

Seri bağlı direnç r ve kapasitör C'den oluşan devredeki akımı, t = 0 anında devre EMF kaynağına (Şekil 5.2) üçgen bir darbe şeklinde bağlıysa (Şekil 5.3) belirleyin.

şekil 5.2 şekil 5.3

görev ayarlandı

Çözüm.

İkinci Kirchhoff yasasını kullanarak, incelenen devre için bir integral denklem elde ederiz.

( 5.5)

(5.5) denkleminin çözümünü Duhamel integralini (4.1) kullanarak ifade ediyoruz.

(5.6)

nerede
- yardımcı denklemin çözümü

(5.7)

Laplace dönüşümünü uygularsak,

Denklem (5.7), J(p)'yi bulmak için cebirsel bir denkleme dönüştürülür

nerede
(5.8)

Yardımcı denklemin (5.7) bulunan çözümünü (5.8) Duhamel integralinin (5.6) yerine koyarak, orijinal denklemin (5.5) çözümünü elde ederiz.

Operasyonel hesap üzerinde bir kontrol çalışması örneği

ve karmaşık sayılar.

Seçenek 1.

3. Tüm kök değerleri bulun

5. Grafiksel olarak belirtilen orijinalin görüntüsünü bulun

6. Sistemi çözün

Seçenek 2.

Özellik Resmini Bul:

3. Tüm kök değerleri bulun

6. Sistemi çözün

Seçenek 3.

1. Orijinali görüntüden geri yükleyin:

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

4. Cebirsel formda mevcut:

6. Sistemi çözün

Seçenek 4.

Özellik Resmini Bul:

Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

4. Cebirsel formda mevcut:

Orijinali görüntüden geri yükle

6. Sistemi çözün

Seçenek 5.

1. Orijinali görüntüden geri yükleyin:

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a)
;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
; B)

5. Grafik olarak belirtilen orijinalin görüntüsünü bulun:

6. Sistemi çözün

Seçenek 6.

Özellik Resmini Bul:

Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a)
;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
; B)

Orijinali görüntüden geri yükle

6. Sistemi çözün

Seçenek 7.

1. Orijinali görüntüden geri yükleyin:

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a)
;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
; B)

5. Grafik olarak belirtilen orijinalin görüntüsünü bulun:

6. Sistemi çözün

Seçenek 8.

1. Fonksiyon resmini bulun:

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a)
;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
;

B)

Orijinali görüntüden geri yükle

6. Sistemi çözün

Seçenek 9.

1. Orijinali görüntüden geri yükleyin:

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a)
;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
; B)

5. Grafik olarak belirtilen orijinalin görüntüsünü bulun:

6. Sistemi çözün

Seçenek 10.

1. Fonksiyon resmini bulun:

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a)
;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
; B)

6. Sistemi çözün

Seçenek 11.

1. Orijinali görüntüden geri yükleyin:

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a)
;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
; B)

5. Grafik olarak belirtilen orijinalin görüntüsünü bulun:

6. Sistemi çözün

Seçenek 12.

1. Fonksiyon resmini bulun:

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a)
;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
; B)

5. Orijinali görüntüden geri yükleyin

6. Sistemi çözün

Seçenek 13.

1. Orijinali görüntüden geri yükleyin:

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a)
;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
; B)

5. Grafik olarak belirtilen orijinalin görüntüsünü bulun:

6. Sistemi çözün

Seçenek 14.

1. Fonksiyon resmini bulun:

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a) ;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
; B)

5. Orijinali görüntüden geri yükleyin

6. Sistemi çözün

Seçenek 15.

1. Orijinali görüntüden geri yükleyin

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a)
;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
; B)

5. Grafik olarak belirtilen orijinalin görüntüsünü bulun:

6. Sistemi çözün

Seçenek 16.

1. Fonksiyon resmini bulun:

2. Operatör yöntemini kullanarak Cauchy problemini çözün:

3. Tüm kök değerleri bulun

a)
;

B)

4. Cebirsel formda mevcut:

a)
; B)

5. Orijinali görüntüden geri yükleyin

6. Sistemi çözün

Tanıtım.

Karışık sayılar.

Laplace dönüşümü. orijinal ve görüntü.

Bir görüntüden orijinali bulma.

Lineer diferansiyel denklemlerin ve sistemlerin çözümü.

Elektrik mühendisliği problemlerinde işlemsel hesap yöntemlerinin uygulanması.

İşlemsel hesap ve karmaşık sayılarla ilgili bir test örneği.

Edebiyat.

Edebiyat.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Diferansiyel denklemler. Çoklu integraller. Satırlar. Karmaşık bir değişkenin işlevleri. M.: Nauka, 1981, 448s.

Yüksek öğretim kurumları için matematik problemlerinin toplanması. Ch.Z. Ed. AV Efimova, A.Ş. Pospelov. M.: Fiziksel ve matematiksel literatür yayınevi, 2002. 576s.

Krasnov M.L., Kiselev A.N., Makarenko G.N. Karmaşık bir değişkenin işlevleri. operasyonel hesap. Kararlılık teorisi. M.: Nauka, 1981. 304 s.

Glatenok I.V., Zavarzina I.F. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi ve işlem hesabı. M.: Moskova Enerji Enstitüsü, 1989. 48s.

Problem şu şekilde ortaya konmuştur: F(p) fonksiyonu verildiğinde, /( fonksiyonunu bulmak gereklidir.<)>kimin görüntüsü F(p). Karmaşık p değişkeninin F(p) fonksiyonunun bir görüntü işlevi görmesi için yeterli koşulları formüle edelim. Teorem 12. Yarım düzlemdeki analitik fonksiyon F(p) 1) herhangi bir yarım düzlemde olduğu gibi sıfıra meylederse Rep = a > s0 arg bazı orijinal f(t) fonksiyonuna göre düzgün bir şekilde. Görev*. F(p) = ^ işlevi, bazı orijinal işlevlerin bir görüntüsü olarak hizmet edebilir mi? Görüntüden orijinali bulmanın bazı yollarını gösterelim. 3.1. Görüntü tablolarını kullanarak orijinali bulma Her şeyden önce, F (p) fonksiyonunu daha basit, "tablo" bir forma getirmeye değer. Örneğin, F(p)'nin p argümanının kesirli rasyonel bir fonksiyonu olduğu durumda, elemanter kesirlere ayrıştırılır ve Laplace dönüşümünün uygun özellikleri kullanılır. Örnek 1. F(p) fonksiyonunu forma yazalım. Laplace dönüşümünün yer değiştirme teoremini ve lineerlik özelliğini kullanarak, Örnek 2. M fonksiyonunun orjinalini bulun F(p) yazalım. form Buradan / 3.2. Ters çevirme teoremi ve sonuç teoremlerini kullanma Teorem 13 (inversiyon). /Gauche fonksiyonu fit), büyüme indeksi s0 olan orijinal bir fonksiyondur ve F(p) onun görüntüsüdür, o zaman f(t) fonksiyonunun herhangi bir süreklilik noktasında, integralin herhangi bir düz çizgi boyunca alındığı ve ana değer anlamında, yani Formül (1)'e Laplace dönüşümü ters çevirme formülü veya Mellin formülü denir. Gerçekten de, örneğin f(t) her sonlu parça üzerinde parçalı düzgün olsun)