Yöntem aşağıdaki formüle dayanmaktadır: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, burada x = j(t), söz konusu aralıkta türevi alınabilen bir fonksiyondur.

Kanıt. Formülün sol ve sağ taraflarından t değişkenine göre türevleri bulalım.

Sol tarafta ara argümanı x = j(t) olan karmaşık bir fonksiyonun olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, bunun t'ye göre türevini almak için, önce integralin x'e göre türevini alırız, sonra ara argümanın t'ye göre türevini alırız.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

Sağ taraftan türev:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

Bu türevler eşit olduğundan, Lagrange teoreminin doğal sonucu olarak, ispatlanan formülün sol ve sağ tarafları belirli bir sabit kadar farklılık gösterir. Belirsiz integrallerin kendileri belirsiz bir sabit terime kadar tanımlandığından, bu sabit son gösterimden çıkarılabilir. Kanıtlanmış.

Başarılı bir değişken değişikliği, orijinal integrali basitleştirmenize ve en basit durumlarda onu tablo haline getirmenize olanak tanır. Bu yöntemin uygulanmasında doğrusal ve doğrusal olmayan ikame yöntemleri arasında bir ayrım yapılır.

a) Bir örnek kullanarak doğrusal ikame yöntemini ele alalım.

Örnek 1.. t = 1 – 2x olsun, o zaman

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

Yeni değişkenin açıkça yazılmasına gerek olmadığı unutulmamalıdır. Bu gibi durumlarda, bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına dönüştürmekten veya sabitleri ve değişkenleri diferansiyel işaret altına almaktan bahsederler, yani. Ö örtülü değişken değiştirme.

Örnek 2.Örneğin òcos(3x + 2)dx'i bulalım. Diferansiyelin özelliklerine göre
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), o zaman òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

Ele alınan her iki örnekte de integralleri bulmak için doğrusal ikame t = kx + b (k ¹ 0) kullanıldı.

Genel durumda aşağıdaki teorem geçerlidir.

Doğrusal ikame teoremi. F(x), f(x) fonksiyonunun bir terstürevi olsun. O halde òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, burada k ve b bazı sabitlerdir, k ¹ 0.

Kanıt.

İntegralin tanımı gereği, òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. İntegral işaretinin dışındaki k sabit faktörünü alalım: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Şimdi eşitliğin sol ve sağ taraflarını k'ye bölebilir ve kanıtlanacak ifadeyi elde edebiliriz. sabit terimin belirlenmesine kadar.

Bu teorem, ò f(x)dx = F(x) + C integralinin tanımında x argümanı yerine (kx + b) ifadesini koyarsak, bunun ek bir ifadenin ortaya çıkmasına yol açacağını belirtir. antiderivatifin önündeki faktör 1/k.

Kanıtlanmış teoremi kullanarak aşağıdaki örnekleri çözüyoruz.

Örnek 3.

Hadi bulalım. Burada kx + b = 3 – x, yani. k = -1, b = 3. O halde

Örnek 4.

Hadi bulalım. Burada kx + b = 4x + 3, yani. k = 4, b = 3. O zaman

Örnek 5.

Hadi bulalım. Burada kx + b = -2x + 7, yani. k = -2, b = 7. O halde

.

Örnek 6. Hadi bulalım. Burada kx + b = 2x + 0, yani. k = 2, b = 0.

.

Elde edilen sonucu ayrıştırma yöntemiyle çözülen örnek 8 ile karşılaştıralım. Aynı problemi farklı bir yöntem kullanarak çözerek cevaba ulaştık . Sonuçları karşılaştıralım: . Dolayısıyla bu ifadeler birbirlerinden sabit bir terimle farklılık gösterir; Alınan cevaplar birbiriyle çelişmiyor.

Örnek 7. Bulacağız . Paydada bir tam kare seçelim.

Bazı durumlarda, bir değişkeni değiştirmek, integrali doğrudan tablo haline getirmez, ancak çözümü basitleştirerek genişletme yönteminin bir sonraki adımda kullanılmasını mümkün kılar.

Örnek 8. Mesela bulalım. t = x + 2'yi değiştiririz, sonra dt = d(x + 2) = dx. Daha sonra

burada C = C 1 – 6 (t yerine (x + 2) ifadesini değiştirirken, ilk iki terim yerine ½x 2 -2x – 6 elde ederiz).

Örnek 9. Hadi bulalım. t = 2x + 1 olsun, o zaman dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.

t'nin yerine (2x + 1) ifadesini koyalım, parantezleri açıp benzerlerini verelim.

Dönüşüm sürecinde başka bir sabit terime geçtiğimizi unutmayın, çünkü dönüşüm süreci sırasında sabit terimler grubu çıkarılabilir.

b) Bir örnek kullanarak doğrusal olmayan ikame yöntemini ele alalım.

Örnek 1.. t = - x 2 olsun. Daha sonra x, t cinsinden ifade edilebilir, ardından dx için bir ifade bulunabilir ve istenen integralde bir değişken değişikliği uygulanabilir. Ancak bu durumda işleri farklı yapmak daha kolaydır. dt = d(-x 2) = -2xdx'i bulalım. xdx ifadesinin istenen integralin integralinin bir faktörü olduğuna dikkat edin. Bunu elde edilen xdx = - ½ dt eşitliğinden ifade edelim. Daha sonra

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2. Hadi bulalım. t = 1 - x 2 olsun. Daha sonra

Örnek 3. Hadi bulalım. t = olsun. Daha sonra

Örnek 4. Doğrusal olmayan ikame durumunda, örtülü değişken ikamesinin kullanılması da uygundur.

Mesela bulalım. xdx = yazalım
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (örtük olarak t = 3 - 2x 2 değişkeni ile değiştirilmiştir). Daha sonra

Örnek 5. Bulacağız . Burada ayrıca diferansiyel işaretinin altına bir değişken ekliyoruz: (örtük değiştirme t = 3 + 5x 3). Daha sonra

Örnek 6. Hadi bulalım. Çünkü ,

Örnek 7. Hadi bulalım. O zamandan beri

Çeşitli ikameleri birleştirmenin gerekli olduğu birkaç örneğe bakalım.

Örnek 8. Bulacağız . İzin vermek
t = 2x + 1, bu durumda x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.

Örnek 9. Bulacağız . İzin vermek
t = x - 2 ise x = t + 2; dx = dt.

2. Değişken değiştirme (ikame yöntemi)

İkame yönteminin özü, yeni bir değişkenin getirilmesinin bir sonucu olarak, verilen zor integral tablo halindeki bir veya hesaplama yöntemi bilinen birine indirgenir.

İntegrali hesaplamak gerekli olsun. İki ikame kuralı vardır:

Bir işlevin seçilmesine ilişkin genel kural
mevcut değildir, ancak işlevin seçilmesine yönelik önerilerin bulunduğu çeşitli türde integral işlevleri vardır
.

Sonuç elde edilene kadar değişkenlerin değiştirilmesi birkaç kez uygulanabilir.

Örnek 1. İntegralleri bulun:

A)
; B)
; V)
;

G)
; D)
; e)
.

Çözüm.

a) Tablo integralleri arasında çeşitli derecelerde radikaller bulunmadığından öncelikle “kurtulmak istiyorum”
Ve
. Bunu yapmak için değiştirmeniz gerekecek X her iki kökün de kolayca çıkarılabileceği böyle bir ifade:

b) Üstel fonksiyondan “kurtulma” arzusunun olduğu tipik bir örnek
. Ancak bu durumda kesrin paydasındaki ifadenin tamamını yeni bir değişken olarak almak daha uygundur:

;

c) Payın çarpımı içerdiğini fark etmek
Radikal ifadenin diferansiyelinin bir parçası olan bu ifadenin tamamını yeni bir değişkenle değiştirin:

;

d) Burada a) durumunda olduğu gibi radikalden kurtulmak istiyorum. Ancak a) noktasından farklı olarak yalnızca bir kök olduğundan, onu yeni bir değişkenle değiştireceğiz:

e) Burada yerine koyma seçimine iki durum katkıda bulunmaktadır: Bir yanda logaritmalardan kurtulmaya yönelik sezgisel arzu, diğer yanda ifadenin varlığı fonksiyonun diferansiyeli olan
. Ancak önceki örneklerde olduğu gibi, logaritmaya eşlik eden sabitleri yerine koymak daha iyidir:

f) Burada, önceki örnekte olduğu gibi, integraldeki hantal üstelden kurtulmaya yönelik sezgisel istek, iyi bilinen bir gerçekle tutarlıdır:
(tablo 3'ün formül 8'i). Bu nedenle elimizde:

.

Bazı işlev sınıfları için değişkenleri değiştirme

Belirli ikamelerin önerilebileceği bazı fonksiyon sınıflarına bakalım.

Tablo 4.Rasyonel fonksiyonlar

İntegral türü	Entegrasyon yöntemi
1.1.
1.2.
1.3.	Tam bir kare seçmek:
1.4.	Tekrarlama formülü

Aşkın işlevler:

1.5.
- ikame T = e X ;

1.6.
- ikame T=günlük A X.

Örnek 2. Rasyonel fonksiyonların integrallerini bulun:

A)
; B)
;

V)
; D)
.

Çözüm.

a) Bu integrali değişken değişimini kullanarak hesaplamaya gerek yoktur; burada diferansiyel işaret altında yerine koymayı kullanmak daha kolaydır:

b) Benzer şekilde diferansiyel işareti altında toplamayı kullanırız:

;

c) Tablo 4'ün 1.3 tipinde bir integral almadan önce, ilgili önerileri kullanacağız:

e) Önceki örneğe benzer şekilde:

Örnek 3.İntegralleri bul

A)
; B)
.

Çözüm.

b) İntegral bir logaritma içerdiğinden öneri 1.6'yı kullanacağız. Ancak bu durumda yalnızca bir işlevi değiştirmek daha uygun değildir
ve radikal ifadenin tamamı:

.

Tablo 6. Trigonometrik fonksiyonlar (R

İntegral türü	Entegrasyon yöntemi
3.1.	Evrensel ikame , , ,
3.1.1. , Eğer	ikame
3.1.2. , Eğer	ikame .
3.1.3. . , Eğer (yani fonksiyonların yalnızca çift dereceleri vardır )	ikame
3.2.	Eğer – tek ise 3.1.1'e bakınız; Eğer – tek ise 3.1.2'ye bakınız; Eğer – çift ise, o zaman 3.1.3'e bakınız; Eğer – hatta, o zaman dereceyi azaltmak için formüller kullanın ,
3.3. , ,	Formülleri kullan

Örnek 4.İntegralleri bulun:

A)
; B)
; V)
; D)
.

Çözüm.

a) Burada trigonometrik fonksiyonun integralini alıyoruz. Evrensel bir ikame uygulayalım (Tablo 6, 3.1):

.

b) Burada ayrıca evrensel bir ikame uyguluyoruz:

.

Dikkate alınan integralde değişken değişiminin iki kez uygulanması gerektiğine dikkat edin.

c) Benzer şekilde hesaplıyoruz:

e) Bu integrali hesaplamak için iki yöntemi ele alalım.

1)

.

Gördüğünüz gibi farklı ilkel fonksiyonlar elde ettik. Bu, kullanılan tekniklerden birinin yanlış sonuç verdiği anlamına gelmez. Gerçek şu ki, yarım açının tanjantını tam açının trigonometrik fonksiyonlarına bağlayan iyi bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece bulunan antiderivatifler birbiriyle örtüşür.

Örnek 5.İntegralleri bulun:

A)
; B)
; V)
; G)
.

Çözüm.

a) Bu integralde evrensel ikameyi de uygulayabiliriz.
ancak integralin içerdiği kosinüs çift kuvvette olduğundan Tablo 6'nın 3.1.3 paragrafındaki önerileri kullanmak daha mantıklıdır:

b) Öncelikle integralin içerdiği tüm trigonometrik fonksiyonları tek bir argümana indirgeyelim:

Ortaya çıkan integralde evrensel bir ikame uygulayabiliriz, ancak sinüs ve kosinüs işaretleri değiştiğinde integralin işaret değiştirmediğini not ediyoruz:

Sonuç olarak, fonksiyon Tablo 6'nın 3.1.3 paragrafında belirtilen özelliklere sahiptir, dolayısıyla en uygun ikame şu şekilde olacaktır:
. Sahibiz:

c) Belirli bir integralde kosinüsün işareti değiştirilirse, fonksiyonun tamamı işaret değiştirir:

.

Bu, integralin paragraf 3.1.2'de açıklanan özelliğe sahip olduğu anlamına gelir. Bu nedenle ikame yöntemini kullanmak mantıklıdır.
. Ama önce önceki örnekte olduğu gibi integrand fonksiyonunu dönüştürüyoruz:

d) Belirli bir integralde sinüsün işareti değişirse, o zaman tüm fonksiyonun işareti değişecektir; bu, Tablo 6'nın 3.1.1 paragrafında açıklanan duruma sahip olduğumuz anlamına gelir, bu nedenle yeni değişkenin bir fonksiyon olarak belirtilmesi gerekir.
. Ancak integralde fonksiyonun varlığı olmadığından
ne de diferansiyeli, ilk önce şunu dönüştürüyoruz:

Örnek 6.İntegralleri bulun:

A)
; B)
;

V)
G)
.

Çözüm.

a) Bu integral Tablo 6'nın 3.2 tipi integrallere karşılık gelir. Sinüs tek bir güç olduğundan, önerilere göre fonksiyonu değiştirmek uygundur.
. Ama önce integrand fonksiyonunu dönüştürüyoruz:

.

b) Bu integral bir öncekiyle aynı türdedir ancak buradaki fonksiyonlar
Ve
eşit derecelere sahip olduğunuz için derece azaltma formüllerini uygulamanız gerekir:
,
. Şunu elde ederiz:

=

c) Fonksiyonu dönüştürün:

d) Tablo 6'nın 3.1.3 numaralı tavsiyesine göre, bu integralde değiştirmenin yapılması uygundur.
. Şunu elde ederiz:

Tablo 5.İrrasyonel fonksiyonlar (R– argümanlarının rasyonel işlevi)

İntegral türü	Entegrasyon yöntemi
	ikame , Nerede k – kesirlerin ortak paydası …, .
	ikame , Nerede k– kesirlerin ortak paydası …,
2.3.	İkame, , Nerede k– üslü kesirlerin ortak paydası …,
2.4.	ikame .
2.5.	ikame ,
2.6.	ikame , .
2.7.	ikame , .
2.8. (diferansiyel binom), yalnızca üç durumda entegre edilir: A) R– tamsayı (ikame X = T k, Nerede k– kesirlerin ortak paydası T Ve P); B) – bütün (yedek) = T k, Nerede k– kesrin paydası R); V) – bütün (yedek) = T k, Nerede k– kesrin paydası R).

Örnek 7.İntegralleri bulun:

A)
; B)
; V)
.

Çözüm.

a) Bu integral 2.1 tipi integraller olarak sınıflandırılabilir, o halde uygun ikameyi yapalım. Bu durumda değiştirilme noktasının irrasyonellikten kurtulmak olduğunu hatırlayalım. Bu da radikal ifadenin, integralin altındaki tüm köklerin çıkarılacağı yeni bir değişkenin böyle bir kuvveti ile değiştirilmesi gerektiği anlamına gelir. Bizim durumumuzda açıkça :

İntegralin altında uygunsuz bir rasyonel kesir elde ederiz. Bu tür kesirlerin integrali, her şeyden önce parçanın tamamının izole edilmesini içerir. O halde payı paydaya bölelim:

Sonra alırız
, buradan

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Eğitimsel görevler:

• öğrencilere ikame yoluyla entegrasyon yöntemini kullanmayı öğretmek;
• fonksiyonların entegrasyonunun kullanımına ilişkin becerileri geliştirmeye devam etmek;
• problem çözme yoluyla matematiğe olan ilgiyi geliştirmeye devam etmek;
• öğrenme sürecine karşı bilinçli bir tutum geliştirmek, bilginin kalitesi için sorumluluk duygusu aşılamak, egzersizleri çözme ve tasarlama süreci üzerinde öz kontrol uygulamak;
• Belirsiz integralin hesaplanmasına yönelik algoritmaların yalnızca bilinçli kullanımının, öğrencilerin çalışılan konuya niteliksel olarak hakim olmalarına olanak sağlayacağını hatırlatın.

Sınıfların sağlanması:

• temel entegrasyon formülleri tablosu;
• Test çalışması için görev kartları.

Öğrenci şunları bilmelidir: Belirsiz integrali ikame yöntemini kullanarak hesaplamak için algoritma.

Öğrenci şunları yapabilmelidir: Edinilen bilgiyi belirsiz integrallerin hesaplanmasına uygular.

Öğrencilerin bilişsel aktivitelerinin motivasyonu.

Öğretmen, doğrudan integral alma yöntemine ek olarak, belirsiz integrallerin hesaplanmasında başka yöntemlerin de bulunduğunu, bunlardan birinin yerine koyma yöntemi olduğunu belirtmektedir. Bu, integralin başka bir entegrasyon değişkenine taşınarak dönüştürülmesini içeren, karmaşık bir fonksiyonun integralini almanın en yaygın yöntemidir.

Dersin ilerlemesi

BEN. Zamanı organize etmek.

II. Ev ödevlerini kontrol ediyorum.

Ön anket:

III. Öğrencilerin temel bilgilerinin tekrarı.

1) Temel entegrasyon formülleri tablosunu tekrarlayın.

2) Doğrudan entegrasyon yönteminin ne olduğunu tekrarlayın.

Doğrudan entegrasyon, belirli bir integralin, integralin özdeş dönüşümleri ve belirsiz integralin özelliklerinin uygulanması yoluyla bir veya daha fazla tablo integraline indirgendiği bir entegrasyon yöntemidir.

IV. Yeni materyal öğrenme.

Belirli bir integrali doğrudan integrasyonla hesaplamak her zaman mümkün değildir ve bazen bu büyük zorluklarla ilişkilendirilir. Bu durumlarda başka teknikler kullanılır. En etkili tekniklerden biri entegrasyon değişkeninin ikame edilmesi veya değiştirilmesi yöntemidir. Bu yöntemin özü, yeni bir entegrasyon değişkeni ekleyerek belirli bir integrali, doğrudan alınması nispeten kolay olan yeni bir integrale indirgemenin mümkün olmasıdır. Değişken değiştirildikten sonra integral basitleşiyorsa, ikamenin amacına ulaşılmıştır. İkame yöntemiyle entegrasyon aşağıdaki formüle dayanmaktadır:

Bu yöntemi ele alalım.

Hesaplama algoritmasıikame yöntemiyle belirsiz integral:

1. Bu integralin hangi tablo integraline indirgendiğini belirleyin (gerekiyorsa ilk önce integrali dönüştürdükten sonra).
2. İntegralin hangi kısmının yeni bir değişkenle değiştirileceğini belirleyin ve bu değişimi yazın.
3. Kaydın her iki bölümünün diferansiyellerini bulun ve eski değişkenin diferansiyelini (veya bu diferansiyeli içeren bir ifadeyi) yeni değişkenin diferansiyeli cinsinden ifade edin.
4. İntegralin altında bir değişiklik yapın.
5. Ortaya çıkan integrali bulun.
6. Sonuç olarak, ters bir değiştirme yapılır, yani. eski değişkene gidin. Sonucun farklılaşma yoluyla kontrol edilmesinde fayda vardır.

Örneklere bakalım.

Örnekler.İntegralleri bulun:

1) )4

Değiştirmeyi tanıtalım:

Bu eşitliğin farklılığını alırsak:

V. Tipik örnekleri çözerken bilginin uygulanması.

VI. Bilgi, beceri ve yeteneklerin bağımsız uygulanması.

seçenek 1

İntegralleri bulun:

seçenek 2

İntegralleri bulun:

VII. Dersi özetlemek.

VIII. Ev ödevi:

G.N. Yakovlev, bölüm 1, §13.2, paragraf 2, No. 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)

A İntegralleri tablo halindekilere indirmenin yolları Sizin için listeledik:

değişken değiştirme yöntemi;

parçalara göre entegrasyon yöntemi;

Doğrudan entegrasyon yöntemi

rasyonel kesirlerin integralleri için belirsiz integralleri tablo halinde temsil etme yöntemleri;

İrrasyonel ifadelerin integralleri için belirsiz integralleri tablo integralleri aracılığıyla temsil etme yöntemleri;

Trigonometrik fonksiyonların integralleri için belirsiz integralleri tablo halinde ifade etme yolları.

Bir güç fonksiyonunun belirsiz integrali

Üstel fonksiyonun belirsiz integrali

Ancak logaritmanın belirsiz integrali tablo şeklinde bir integral değildir; bunun yerine formül tablo şeklindedir:

Trigonometrik Fonksiyonların Belirsiz İntegralleri: Sinüs, Kosinüs ve Tanjant İntegralleri

Ters trigonometrik fonksiyonlara sahip belirsiz integraller

Tablo formuna indirgeme veya doğrudan entegrasyon yöntemi. İntegralin özdeş dönüşümleri kullanılarak integral, temel entegrasyon kurallarının uygulanabileceği bir integrale indirgenir ve bir temel integral tablosu kullanmak mümkündür.

Örnek

Egzersiz yapmak.İntegrali bulun

Çözüm.İntegralin özelliklerini kullanalım ve bu integrali tablo haline getirelim.

Cevap.

Teknik olarak değişken değiştirme yöntemi belirsiz integral iki şekilde uygulanır:

– Bir fonksiyonun diferansiyel işareti altında toplanması. – Aslında değişkeni değiştirmek.

Bir fonksiyonu diferansiyel işaret altında toplamak

Örnek 2

Kontrol gerçekleştirin.

İntegral fonksiyonunu analiz edelim. Burada bir kesirimiz var ve payda doğrusal bir fonksiyondur (“x”in birinci kuvveti). İntegral tablosuna bakıyoruz ve en benzer şeyi buluyoruz: .

Fonksiyonu diferansiyel işaretin altına getiriyoruz:

Hangi kesirle çarpılacağını hemen bulmakta zorlananlar, farkı bir taslakta hızla ortaya çıkarabilir: . Evet, görünen o ki bu, hiçbir şeyin değişmemesi için integrali ile çarpmam gerektiği anlamına geliyor. Daha sonra tablo formülünü kullanıyoruz:

Muayene: Orijinal integral fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru bulunmuştur.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Örnek olarak dersin başında incelediğimiz integrali aldım. Daha önce de söylediğimiz gibi, integrali çözmek için tablo formülünü beğendik. ve tüm meseleyi ona indirgemek istiyorum.

Değiştirme yönteminin ardındaki fikir, karmaşık bir ifadeyi (veya bazı işlevleri) tek bir harfle değiştirin. Bu durumda kendini gösteriyor: Değiştirilecek en popüler ikinci harf, harftir. Prensip olarak başka harfleri de kullanabilirsiniz, ancak yine de geleneklere bağlı kalacağız.

Bu yüzden: Ama onu değiştirdiğimizde elimizde ! Muhtemelen birçok kişi, yeni bir değişkene geçiş yapılırsa, yeni integralde her şeyin harfle ifade edilmesi gerektiğini ve orada diferansiyele hiç yer olmadığını tahmin etmiştir. Mantıksal sonuç gerekli olduğudur yalnızca bağlı olan bir ifadeye dönüşmek.

Eylem aşağıdaki gibidir. Bu örnekte yenisini seçtikten sonra farkı bulmamız gerekiyor. Farklılıklarla herkesin zaten dostluk kurduğunu düşünüyorum.

O zamandan beri

Diferansiyeli çözdükten sonra nihai sonucu olabildiğince kısa bir şekilde yeniden yazmanızı öneririm: Şimdi orantı kurallarına göre ihtiyacımız olanı ifade ediyoruz:

Sonunda: Böylece: Ve bu zaten en tablosal integraldir (İntegral tablosu elbette değişken için de geçerlidir).

Son olarak geriye kalan tek şey ters değiştirme işlemini gerçekleştirmektir. Bunu hatırlayalım.

Hazır.

Ele alınan örneğin son tasarımı şöyle görünmelidir:

“

Değiştirelim:

“

Simgenin herhangi bir matematiksel anlamı yoktur, ara açıklamalar için çözüme ara verdiğimiz anlamına gelir.

Bir defterde örnek hazırlarken ters değişimi basit bir kalemle işaretlemek daha iyidir.

Dikkat! Aşağıdaki örneklerde diferansiyelin bulunması ayrıntılı olarak anlatılmayacaktır.

Şimdi ilk çözümü hatırlamanın zamanı geldi:

Fark ne? Temel bir fark yok. Aslında aynı şey. Ancak görevin tasarlanması açısından bakıldığında, bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yöntemi çok daha kısadır. Bir soru ortaya çıktı. İlk yöntem daha kısaysa neden değiştirme yöntemini kullanasınız ki? Gerçek şu ki, bir dizi integral için fonksiyonu diferansiyelin işaretine "sığdırmak" o kadar kolay değildir.

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

Logaritmanın integralleri

örnek 1

Belirsiz integrali bulun.

Klasik. Zaman zaman bu integral tablolarda bulunabilir ancak hazır bir cevabın kullanılması tavsiye edilmez çünkü öğretmenin bahar vitamini eksikliği vardır ve ağır bir şekilde küfredecektir. Çünkü söz konusu integral hiçbir şekilde tablo halinde değildir - parçalar halinde alınır. Biz karar veriyoruz:

Ara açıklamalar için çözüme ara veriyoruz.

Parçalara göre entegrasyon formülünü kullanıyoruz:

Formül soldan sağa uygulanır

Sol tarafa bakıyoruz: . Açıkçası, bizim örneğimizde (ve dikkate alacağımız diğer tüm örneklerde), bir şeyin olarak ve bir şeyin de olarak belirtilmesi gerekiyor.

Söz konusu türdeki integrallerdeher zaman logaritma ile gösterilir.

Teknik olarak çözümün tasarımı şu şekilde uygulanıyor; sütuna şunu yazıyoruz:

Yani logaritmayı şu şekilde gösterdik: ve - kalan kısım integral ifadesi.

Sonraki aşama: farkı bulun:

Diferansiyel türevle hemen hemen aynıdır; onu nasıl bulacağımızı önceki derslerde zaten tartışmıştık.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz. Entegre etmeniz gereken işlevi bulmak için Sağ Taraf düşük eşitlik:

Şimdi çözümümüzü açıyoruz ve formülün sağ tarafını oluşturuyoruz: . Bu arada, bazı notlarla birlikte son çözümün bir örneğini burada bulabilirsiniz:

Çalışmadaki tek nokta, faktörü logaritmadan önce yazmak geleneksel olduğu için hemen ve'yi değiştirmiş olmamdır.

Gördüğünüz gibi parçalara göre entegrasyon formülünü uygulamak, çözümümüzü esasen iki basit integrale indirgedi.

Bazı durumlarda lütfen unutmayın hemen sonra Formülün uygulanmasıyla, kalan integrale göre mutlaka bir basitleştirme yapılması gerekir - söz konusu örnekte, integrali "x" e indirdik.

Hadi kontrol edelim. Bunu yapmak için cevabın türevini almanız gerekir:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru çözülmüştür.

Test sırasında ürün farklılaştırma kuralını kullandık: . Ve bu bir tesadüf değil.

Parçalara göre entegrasyon formülü ve formül– bunlar birbirinin tersi olan iki kuraldır.

Üstel bir polinomla çarpılan integraller

Genel kural: arka

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Tanıdık bir algoritma kullanarak parçalara göre entegre oluyoruz:

İntegral konusunda zorluk yaşıyorsanız makaleye geri dönmelisiniz. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Yapabileceğiniz diğer tek şey cevabı değiştirmek:

Ancak hesaplama tekniğiniz çok iyi değilse, o zaman en karlı seçenek bir cevap bırakmak veya hatta

Yani son integral alındığında örnek çözülmüş sayılır. Bu bir hata olmayacak; öğretmenin sizden cevabı basitleştirmenizi isteyebileceği başka bir konu.

Trigonometrik fonksiyonların integrallerinin bir polinomla çarpımı

Genel kural: arkaher zaman bir polinomla gösterilir

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun.

Parçalara göre integral alalım:

Hmmm...ve yorum yapacak bir şey yok.

Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integralleri hesaplarken, problemin çözüm aşamalarını kesin olarak ayırt etmemek tercih edilir (integrandın terstürevini bulma, antiderivatifin artışını bulma). Özellikle değişken değişimi ve belirli bir integral için parçalara göre integral alma formüllerini kullanan bu yaklaşım, genellikle çözümün yazılmasını basitleştirmeyi mümkün kılar.

TEOREM. φ(t) fonksiyonunun [α,β], a=φ(α), β=φ(β) aralığında sürekli bir türevi olsun ve f(x) fonksiyonu x formunun her x noktasında sürekli olsun =φ(t), burada t[α,β].

O halde aşağıdaki eşitlik doğrudur:

Bu formüle belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme formülü denir.

Belirsiz integralde olduğu gibi, değişken değişikliği kullanmak integrali basitleştirmemize ve onu tablodaki bire/birlere yaklaştırmamıza olanak tanır. Üstelik belirsiz integralden farklı olarak bu durumda orijinal integral değişkenine dönmeye gerek yoktur. φ(t)=a ve φ(t)=b denklemlerinin t değişkenine çözüm olarak α ve β'nın yeni bir t değişkeni üzerindeki entegrasyon limitlerini bulmak yeterlidir. Uygulamada, değişken değişimi gerçekleştirirken genellikle yeni değişkenin eski değişken cinsinden t=ψ(x) ifadesini belirterek başlarlar. Bu durumda, t değişkeni üzerindeki integralin sınırlarını bulmak basitleştirilmiştir: α=ψ(a), β=ψ(b).

Örnek 19. Hesaplama

t=2-x 2 koyalım. O zaman dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx ve xdx=-dt. Eğer x=0 ise t=2-0 2 =2 ve eğer x=1 ise o zaman t = 2-1 2 = 1. Dolayısıyla:

Örnek 20. Hesapla

Değişken değişimini kullanalım. Sonra ve. Eğer x=0 ise t=1, eğer x=5 ise t=4 olur. Değiştirmeyi gerçekleştirerek anlıyoruz.