Kritické hodnoty študentského kritéria. Študentské šance

V priebehu príkladu použijeme fiktívne informácie, aby čitateľ mohol potrebné transformácie vykonať sám.

Tak sme napríklad v rámci výskumu skúmali vplyv liečiva A na obsah látky B (v mmol/g) v tkanive C a koncentráciu látky D v krvi (v mmol/l) u pacientov. rozdelené podľa nejakého kritéria E do 3 skupín s rovnakým objemom (n = 10). Výsledky takejto fiktívnej štúdie sú uvedené v tabuľke:

Obsah látky B, mmol / g			Látka D, mmol / l
						zvýšenie koncentrácie

Upozorňujeme, že vzorky veľkosti 10 zvažujeme pre jednoduchosť prezentácie údajov a výpočtov, v praxi takáto veľkosť vzorky zvyčajne nestačí na vytvorenie štatistického záveru.

Ako príklad uvažujme údaje v 1. stĺpci tabuľky.

Deskriptívna štatistika

Ukážkový priemer

Aritmetický priemer, často označovaný jednoducho ako „priemer“, sa získa sčítaním všetkých hodnôt a vydelením tohto súčtu počtom hodnôt v množine. Dá sa to ukázať pomocou algebraického vzorca. Množina n pozorovaní premennej x môže byť reprezentovaná ako x 1, x 2, x 3, ..., x n

Vzorec na určenie aritmetického priemeru pozorovaní (vyslovuje sa „x s čiarou“):

= (Xi + X2 + ... + Xn) / n

= (12 + 13 + 14 + 15 + 14 + 13 + 13 + 10 + 11 + 16) / 10 = 13,1;

Ukážkový rozptyl

Jedným zo spôsobov merania rozptylu údajov je určiť mieru, do akej sa každé pozorovanie odchyľuje od aritmetického priemeru. Je zrejmé, že čím väčšia odchýlka, tým väčšia variabilita, variabilita pozorovaní. Nemôžeme však použiť priemer týchto odchýlok. ako miera rozptylu, pretože kladné odchýlky kompenzujú negatívne odchýlky (ich súčet je nula). Na vyriešenie tohto problému urobíme druhú mocninu každej odchýlky a nájdeme stred druhej mocniny odchýlok; táto veličina sa nazýva variácia alebo rozptyl. Urobte n pozorovaní x 1, x 2, x 3, ..., x n, stredný ktorý sa rovná... Vypočítame rozptyl toto sa zvyčajne označuje akos 2,tieto postrehy:

Výberový rozptyl tohto ukazovateľa je s 2 = 3,2.

Odchýlka odmocniny

Štandardná odchýlka (odmocnina) je kladná druhá odmocnina z rozptylu. Ak použijeme n pozorovaní ako príklad, vyzerá to takto:

Štandardnú odchýlku môžeme považovať za akúsi strednú odchýlku pozorovaní od priemeru. Počíta sa v rovnakých jednotkách (rozmeroch) ako pôvodné údaje.

s = sqrt (s 2) = sqrt (3,2) = 1,79.

Variačný koeficient

Ak štandardnú odchýlku vydelíte aritmetickým priemerom a výsledok vyjadríte v percentách, dostanete variačný koeficient.

CV = (1,79 / 13,1) * 100 % = 13,7

Ukážka strednej chyby

1,79 / sqrt (10) = 0,57;

Študentov t koeficient (jednovýberový t-test)

Používa sa na testovanie hypotézy, že stredná hodnota sa líši od nejakej známej hodnoty m

Počet stupňov voľnosti sa vypočíta ako f = n-1.

V tomto prípade je interval spoľahlivosti pre priemer medzi hranicami 11,87 a 14,39.

Pre 95 % úroveň spoľahlivosti je m = 11,87 alebo m = 14,39, teda = | 13,1 – 11,82 | = | 13,1 – 14,38 | = 1,28

V tomto prípade je teda pre počet stupňov voľnosti f = 10 - 1 = 9 a úroveň spoľahlivosti 95 % t = 2,26.

Dialóg Základné štatistiky a tabuľky

V module Základné štatistiky a tabuľky vybrať si Deskriptívna štatistika.

Otvorí sa dialógové okno Deskriptívna štatistika.

V teréne Premenné vybrať si Skupina 1.

Lisovanie OK, získame tabuľky výsledkov s popisnou štatistikou vybraných premenných.

Otvorí sa dialógové okno Jednovzorkový t-test.

Predpokladajme, že vieme, že priemerný obsah látky B v tkanive C je 11.

Tabuľka výsledkov s popisnou štatistikou a Studentovým t-testom je nasledovná:

Museli sme zamietnuť hypotézu, že priemerný obsah látky B v tkanive C je 11.

Keďže vypočítaná hodnota kritéria je väčšia ako tabuľková (2.26), nulová hypotéza sa na zvolenej hladine významnosti zamietne a rozdiely medzi vzorkou a známou hodnotou sa považujú za štatisticky významné. Záver o existencii rozdielov uskutočnený pomocou Studentovho testu je teda potvrdený pomocou tejto metódy.

Jedným z najznámejších štatistických nástrojov je Studentov t test. Používa sa na meranie štatistickej významnosti rôznych párových veličín. Microsoft Excel má špeciálnu funkciu na výpočet tohto ukazovateľa. Poďme zistiť, ako vypočítať Studentov t-test v Exceli.

Najprv si však zistime, aké je kritérium študenta vo všeobecnosti. Tento indikátor sa používa na kontrolu rovnosti stredných hodnôt dvoch vzoriek. To znamená, že určuje spoľahlivosť rozdielov medzi týmito dvoma skupinami údajov. Na určenie tohto kritéria sa zároveň používa celý súbor metód. Ukazovateľ možno vypočítať s prihliadnutím na jednostranné alebo obojstranné rozdelenie.

Výpočet ukazovateľa v Exceli

Teraz prejdime priamo k otázke, ako vypočítať tento ukazovateľ v programe Excel. Dá sa vyrobiť pomocou funkcie ŠTUDENTSKÝ TEST... Vo verziách Excelu 2007 a starších bol tzv TTEST... V neskorších verziách však bola ponechaná kvôli kompatibilite, ale stále sa odporúča používať v nich modernejšiu verziu - ŠTUDENTSKÝ TEST... Táto funkcia môže byť použitá tromi spôsobmi, ktoré budú podrobne popísané nižšie.

Metóda 1: Sprievodca funkciou

Najjednoduchší spôsob výpočtu tohto ukazovateľa je pomocou Sprievodcu funkciami.

Vykoná sa výpočet a výsledok sa zobrazí vo vopred vybranej bunke.

Metóda 2: práca s kartou "Vzorce".

Funkcia ŠTUDENTSKÝ TEST možno vyvolať aj prepnutím na kartu "vzorce" pomocou špeciálneho gombíka na stuhe.

Metóda 3: manuálne zadanie

Vzorec ŠTUDENTSKÝ TEST môžete tiež zadať manuálne do ľubovoľnej bunky v hárku alebo na paneli funkcií. Jeho syntaktická forma je nasledovná:

STUDENT.TEST (pole1; pole2; chvosty; typ)

Pri analýze prvej metódy sa zvažovalo, čo každý z argumentov znamená. Tieto hodnoty by sa mali nahradiť touto funkciou.

Po zadaní údajov stlačte tlačidlo Zadajte na zobrazenie výsledku na obrazovke.

Ako vidíte, výpočet kritéria Študent v Exceli je veľmi jednoduchý a rýchly. Hlavná vec je, že používateľ, ktorý vykonáva výpočty, musí pochopiť, čo je a aké vstupné údaje sú za čo zodpovedné. Program vykoná priamy výpočet sám.

Metóda umožňuje testovať hypotézu, že priemerné hodnoty dvoch všeobecných populácií, z ktorých sa porovnávajú závislý vzorky sa navzájom líšia. Predpoklad závislosti najčastejšie znamená, že znak sa meria na tej istej vzorke dvakrát, napríklad pred a po expozícii. Vo všeobecnom prípade je každému zástupcovi jednej vzorky pridelený zástupca z druhej vzorky (sú spojené do párov), takže tieto dva dátové rady navzájom pozitívne korelujú. Slabšie typy závislosti vzorky: vzorka 1 - manželia, vzorka 2 - ich manželky; vzorka 1 - ročné deti, vzorka 2 je zložená z dvojčiat od detí vo vzorke 1 atď.

Testovateľná štatistická hypotéza, ako v predchádzajúcom prípade, H 0: M1 = M2(priemerné hodnoty vo vzorkách 1 a 2 sú rovnaké). Ak sa zamietne, prijme sa alternatívna hypotéza, že M 1 viacmenej) M 2.

Počiatočné predpoklady pre štatistické overenie:

□ každému zástupcovi jednej vzorky (z jednej všeobecnej populácie) je priradený zástupca inej vzorky (z inej všeobecnej populácie);

□ údaje z dvoch vzoriek sú pozitívne korelované (tvoria páry);

□ rozloženie študovaného znaku v oboch vzorkách zodpovedá normálnemu zákonu.

Štruktúra zdrojových údajov: pre každý objekt (pre každý pár) existujú dve hodnoty študovaného atribútu.

Obmedzenia: distribúcia znaku v oboch vzorkách by sa nemala výrazne líšiť od normálneho; údaje dvoch meraní zodpovedajúcich obom vzorkám pozitívne korelujú.

Alternatívy: Wilcoxonov T test, ak sa rozdelenie pre aspoň jednu vzorku výrazne líši od normálneho; Studentov t-test pre nezávislé vzorky - ak údaje pre dve vzorky nekorelujú pozitívne.

Vzorec pretože empirická hodnota Studentovho t-testu odráža skutočnosť, že jednotkou analýzy rozdielov je rozdiel (posun) charakteristické hodnoty pre každú dvojicu pozorovaní. Podľa toho sa pre každý z N párov charakteristických hodnôt najskôr vypočíta rozdiel d i = x 1 i - x 2 i.

(3) kde Md je priemerný rozdiel hodnôt; σ d je štandardná odchýlka rozdielov.

Príklad výpočtu:

Predpokladajme, že v priebehu kontroly účinnosti školenia bola každému z 8 členov skupiny položená otázka: "Ako často sa vaše názory zhodujú s názormi skupiny?" - dvakrát, pred a po tréningu. Pre odpovede bola použitá 10-bodová škála: 1 – nikdy, 5 – polovičný čas, 10 – vždy. Bola testovaná hypotéza, že v dôsledku tréningu sa zvýši sebaúcta konformizmu (túžba byť ako ostatní v skupine) účastníkov (α = 0,05). Urobme tabuľku pre medzivýpočty (tabuľka 3).

Tabuľka 3

Aritmetický priemer pre rozdiel Md = (-6) / 8 = -0,75. Odčítajte túto hodnotu od každého d (predposledný stĺpec tabuľky).

Vzorec smerodajnej odchýlky sa líši len tým, že namiesto X sa objaví d. Dosadením všetkých požadovaných hodnôt dostaneme

ad = = 0,886.

Krok 1. Vypočítajte empirickú hodnotu kritéria pomocou vzorca (3): priemerný rozdiel M d= -0,75; smerodajná odchýlka σ d = 0,886; t e = 2,39; df = 7.

Krok 2. Určte p-hladinu významnosti z tabuľky kritických hodnôt Studentovho t-kritéria. Pre df = 7 je empirická hodnota medzi kritickými hodnotami pre p = 0,05 a p - 0,01. Preto p< 0,05.

df	R
0,05	0,01	0,001
	2,365	3,499	5,408

Krok 3. Urobíme štatistické rozhodnutie a sformulujeme záver. Štatistická hypotéza o rovnosti priemerov sa zamieta. Záver: sebaúcta konformizmu účastníkov po tréningu sa štatisticky významne zvýšila (na hladine významnosti p< 0,05).

Parametrické metódy zahŕňajú porovnanie rozptylov dvoch vzoriek podľa kritéria F-Fisher. Niekedy táto metóda vedie k hodnotným zmysluplným záverom a v prípade porovnávania priemerov pre nezávislé vzorky je porovnanie rozptylov povinné postup.

Kalkulovať F emp je potrebné nájsť pomer rozptylov dvoch vzoriek, a to tak, aby väčší rozptyl bol v čitateli a menší v menovateli.

Porovnanie rozptylov... Metóda umožňuje testovať hypotézu, že rozptyly dvoch všeobecných populácií, z ktorých sú porovnávané vzorky odvodené, sa navzájom líšia. Testovaná štatistická hypotéza H 0: σ 1 2 = σ 2 2 (rozptyl vo vzorke 1 sa rovná rozptylu vo vzorke 2). Ak sa zamietne, prijme sa alternatívna hypotéza, že jeden rozptyl je väčší ako druhý.

Počiatočné predpoklady: náhodne sa odoberú dve vzorky z rôznych všeobecných populácií s normálnym rozložením študovaného znaku.

Štruktúra zdrojových údajov: skúmaný znak sa meria na objektoch (subjektoch), z ktorých každý patrí do jednej z dvoch porovnávaných vzoriek.

Obmedzenia: rozloženie znaku v oboch vzorkách sa výrazne nelíši od normálneho.

Alternatíva k metóde: Levene „sTest“, ktorého aplikácia nevyžaduje testovanie predpokladu normality (používa sa v programe SPSS).

Vzorec pre empirickú hodnotu kritéria F-Fisher:

(4)

kde σ 1 2 - veľký rozptyl, σ 2 2- menší rozptyl. Pretože nie je vopred známe, ktorý rozptyl je väčší, potom na určenie úrovne p použijeme Tabuľka kritických hodnôt pre nesmerové alternatívy. Ak F e> F Kp pre zodpovedajúci počet stupňov voľnosti teda R < 0,05 и статистическую гипотезу о равенстве дисперсий можно отклонить (для α = 0,05).

Príklad výpočtu:

Deti dostali obvyklé aritmetické úlohy, po ktorých jednej náhodne vybranej polovici študentov povedali, že test neprešli, a zvyšok - naopak. Každého dieťaťa sa potom pýtali, koľko sekúnd by trvalo vyriešiť podobný problém. Experimentátor vypočítal rozdiel medzi časom, kedy dieťa volalo, a výsledkom dokončenej úlohy (v sekundách). Očakávalo sa, že ohlásenie zlyhania spôsobí určitú nedostatočnosť v sebaúcte dieťaťa. Testovanou hypotézou (na úrovni α = 0,005) bolo, že rozptyl súboru sebahodnotení nezávisí od správ o úspechu alebo neúspechu (Н 0: σ 1 2 = σ 2 2).

Získali sa tieto údaje:

Krok 1. Vypočítajme empirickú hodnotu kritéria a počet stupňov voľnosti pomocou vzorcov (4):

Krok 2. Podľa tabuľky kritických hodnôt kritéria f-Fisher pre neriadený alternatívy nájsť kritickú hodnotu pre číslo df = 11; df banner= 11. Existuje však kritická hodnota iba pre číslo df= 10 a df banner = 12. Nie je možné vziať väčší počet stupňov voľnosti, preto berieme kritickú hodnotu pre číslo df= 10: Pre R = 0,05 F Kp = 3,526; pre R = 0,01 F Kp = 5,418.

Krok 3. Štatistické rozhodnutie a zmysluplný záver. Keďže empirická hodnota presahuje kritickú hodnotu pre R= 0,01 (a ešte viac - pre p = 0,05), potom v tomto prípade p< 0,01 и принимается альтернативная гипо­теза: дисперсия в группе 1 превышает дисперсию в группе 2 (R< 0,01). Preto po nahlásení neúspechu je nedostatočnosť sebaúcty vyššia ako po nahlásení úspechu.

/ workshop-štatistika / referenčný materiál / hodnoty študentského t-testu

Významt - Študentské kritérium na hladine významnosti 0,10, 0,05 a 0,01

ν - stupne voľnosti variácií

Štandardné hodnoty študentského testu

Počet stupňov voľnosti	Úrovne významnosti				Počet stupňov voľnosti	Úrovne významnosti

tabuľky XI

Štandardné hodnoty Fisherovho testu používané na posúdenie významnosti rozdielov medzi dvoma vzorkami

Stupne slobody	Úroveň významnosti			Stupne slobody	Úroveň významnosti

Študentovo t-kritérium

Študentov t-test- všeobecný názov pre triedu metód na štatistické testovanie hypotéz (štatistické testy) na základe Študentovho rozdelenia. Najbežnejšie prípady použitia t-testu sú spojené s kontrolou rovnosti stredných hodnôt v dvoch vzorkách.

t-Štatistika sa zvyčajne zostavuje podľa nasledujúceho všeobecného princípu: v čitateli je náhodná premenná s nulovým matematickým očakávaním (keď je splnená nulová hypotéza) a v menovateli je výberová smerodajná odchýlka tejto náhodnej premennej získaná ako druhá odmocnina nezmiešaného odhadu rozptylu.

História

Toto kritérium vyvinul William Gossett na hodnotenie kvality piva v Guinness. V súvislosti so záväzkom voči spoločnosti za mlčanlivosť o obchodných tajomstvách (Guinessovo vedenie považovalo za také využitie štatistického aparátu pri svojej práci) bol Gossetov článok publikovaný v roku 1908 v časopise „Biometrics“ pod pseudonymom „Student ".

Požiadavky na údaje

Na uplatnenie tohto kritéria je potrebné, aby pôvodné údaje mali normálne rozdelenie. V prípade použitia dvojvýberového testu pre nezávislé výbery musí byť splnená aj podmienka rovnosti rozptylov. Existujú však alternatívy k Študentovmu testu pre situácie s nerovnakými rozptylmi.

Požiadavka normality na distribúciu údajov je nevyhnutná pre presný t (\ displaystyle t) -test. Avšak aj pri iných distribúciách údajov sa dá použiť t (\ displaystyle t) -štatistika. V mnohých prípadoch má táto štatistika asymptoticky štandardné normálne rozdelenie - N (0, 1) (\ displaystyle N (0,1)), takže môžete použiť kvantily tohto rozdelenia. Často však ani v tomto prípade nie sú kvantily použité pre štandardné normálne rozdelenie, ale pre zodpovedajúce Studentovo rozdelenie, ako v presnom t (\ displaystyle t) -teste. Asymptoticky sú ekvivalentné, avšak na malých vzorkách sú intervaly spoľahlivosti Studentovho rozdelenia širšie a spoľahlivejšie.

Jednovzorkový t-test

Používa sa na testovanie nulovej hypotézy H 0: E (X) = m (\ displaystyle H_ (0): E (X) = m), že matematické očakávanie E (X) (\ displaystyle E (X)) sa rovná nejakému známa hodnota m ( \ displaystyle m).

Je zrejmé, že pri nulovej hypotéze E (X ¯) = m (\ štýl zobrazenia E ((\ overline (X))) = m). Za predpokladu predpokladanej nezávislosti pozorovaní V (X ¯) = σ 2 / n (\ štýl zobrazenia V ((\ overline (X))) = \ sigma ^ (2) / n). Použitím nestranného odhadu rozptylu s X 2 = ∑ t = 1 n (X t - X ¯) 2 / (n - 1) (\ štýl zobrazenia s_ (X) ^ (2) = \ súčet _ (t = 1) ^ ( n ) (X_ (t) - (\ overline (X))) ^ (2) / (n-1)) dostaneme nasledujúcu t-štatistiku:

t = X ¯ - m s X / n (\ štýl zobrazenia t = (\ frac ((\ overline (X)) - m) (s_ (X) / (\ sqrt (n))))))

Podľa nulovej hypotézy je rozdelenie tejto štatistiky t (n - 1) (\ štýl zobrazenia t (n-1)). Ak teda absolútna hodnota štatistiky prekročí kritickú hodnotu daného rozdelenia (na danej hladine významnosti), nulová hypotéza sa zamieta.

Dvojvýberový t-test pre nezávislé vzorky

Nech existujú dve nezávislé vzorky veľkostí n 1, n 2 (\ displaystyle n_ (1) ~, ~ n_ (2)) normálne rozdelené náhodné premenné X 1, X 2 (\ displaystyle X_ (1), ~ X_ (2) ). Je potrebné otestovať nulovú hypotézu o rovnosti matematických očakávaní týchto náhodných premenných H 0: M 1 = M 2 (\ štýl zobrazenia H_ (0): ~ M_ (1) = M_ (2)) pomocou vzorových údajov .

Zvážte rozdiel medzi priemermi vzorky Δ = X ¯ 1 - X ¯ 2 (\ štýl zobrazenia \ Delta = (\ overline (X)) _ (1) - (\ overline (X)) _ (2)). Je zrejmé, že ak je nulová hypotéza pravdivá, E (A) = M 1 - M 2 = 0 (\ štýl zobrazenia E (\ Delta) = M_ (1) - M_ (2) = 0). Rozptyl tohto rozdielu je na základe nezávislosti vzoriek V (Δ) = σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 (\ štýl zobrazenia V (\ Delta) = (\ frac (\ sigma _ (1)) ^ (2)) ( n_ (1))) + (\ frac (\ sigma _ (2) ^ (2)) (n_ (2)))). Potom pomocou nezaujatého odhadu rozptylu s 2 = ∑ t = 1 n (X t - X ¯) 2 n - 1 (\ štýl zobrazenia s ^ (2) = (\ frac (\ súčet _ (t = 1) ^ (n) ( X_ (t) - (\ overline (X))) ^ (2)) (n-1))) získame nestranný odhad rozptylu rozdielu priemerov vzorky: s Δ 2 = s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 (\ štýl zobrazenia s _ (\ Delta) ^ (2) = (\ frac (s_ (1) ^ (2)) (n_ (1))) + (\ frac (s_ (2)) ^ (2)) (n_ (2) ))). Preto t-štatistika na testovanie nulovej hypotézy je

T = X ¯ 1 - X ¯ 2 s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 (\ štýl zobrazenia t = (\ frac ((\ overline (X)) _ (1) - (\ overline (X)) _ ( 2)) (\ sqrt ((\ frac (s_ (1) ^ (2)) (n_ (1))) + (\ frac (s_ (2) ^ (2)) (n_ (2))))) ))

Podľa nulovej hypotézy má táto štatistika rozdelenie t (df) (\ displaystyle t (df)), kde df = (s 1 2 / n 1 + s 2 2 / n 2) 2 (s 1 2 / n 1) 2 / (n 1 - 1) + (s 2 2 / n 2) 2 / (n 2 - 1) (\ displaystyle df = (\ frac ((s_ (1) ^ (2) / n_ (1) + s_) (2) ^ (2) / n_ (2)) ^ (2)) ((s_ (1) ^ (2) / n_ (1)) ^ (2) / (n_ (1) -1) + (s_ (2) ^ (2) / n_ (2)) ^ (2) / (n_ (2) -1))))

Prípad rovnakého rozptylu

Ak sa predpokladá, že rozptyly vzoriek sú rovnaké, potom

V (Δ) = σ 2 (1 n 1 + 1 n 2) (\ štýl zobrazenia V (\ Delta) = \ sigma ^ (2) \ vľavo ((\ frac (1) (n_ (1))) + (\ frac (1) (n_ (2))) \ vpravo))

Potom sa t-štatistika rovná:

T = X ¯ 1 - X ¯ 2 s X 1 n 1 + 1 n 2, s X = (n 1 - 1) s 1 2 + (n 2 - 1) s 2 2 n 1 + n 2 - 2 (\ štýl zobrazenia t = (\ frac ((\ overline (X)) _ (1) - (\ overline (X)) _ (2)) (s_ (X) (\ sqrt ((\ frac (1) (n_ (1) ))) + (\ frac (1) (n_ (2))))) ~, ~~ s_ (X) = (\ sqrt (\ frac ((n_ (1) -1) s_ (1) ^ (2) + (n_ (2) -1) s_ (2) ^ (2)) (n_ (1) + n_ (2) -2))))

Táto štatistika má rozdelenie t (n 1 + n 2 - 2) (\ štýl zobrazenia t (n_ (1) + n_ (2) -2))

Dvojvýberový t-test pre závislé vzorky

Na výpočet empirickej hodnoty t (\ displaystyle t) -testu v teste hypotézy o rozdiele medzi dvoma závislými vzorkami (napríklad dvoma vzorkami toho istého testu v časovom intervale) sa používa nasledujúci vzorec:

T = M d s d / n (\ štýl zobrazenia t = (\ frac (M_ (d)) (s_ (d) / (\ sqrt (n)))))

kde M d (\ displaystyle M_ (d)) je stredný rozdiel, s d (\ displaystyle s_ (d)) je štandardná odchýlka rozdielov a n je počet pozorovaní

Táto štatistika má rozdelenie t (n - 1) (\ štýl zobrazenia t (n-1)).

Test lineárneho obmedzenia na parametroch lineárnej regresie

T-test môže tiež testovať ľubovoľné (jedno) lineárne obmedzenie parametrov lineárnej regresie odhadnutých pomocou obvyklej metódy najmenších štvorcov. Predpokladajme, že chcete otestovať hypotézu H 0: c T b = a (\ štýl zobrazenia H_ (0): c ^ (T) b = a). Je zrejmé, že pri nulovej hypotéze E (c T b ^ - a) = c TE (b ^) - a = 0 (\ štýl zobrazenia E (c ^ (T) (\ klobúk (b)) - a) = c ^ ( T) E ((\ klobúk (b))) - a = 0). Tu sme použili vlastnosť nezaujatosti odhadov OLS parametrov modelu E (b ^) = b (\ displaystyle E ((\ hat (b))) = b). Okrem toho V (c T b ^ - a) = c TV (b ^) c = σ 2 c T (XTX) - 1 c (\ štýl zobrazenia V (c ^ (T) (\ klobúk (b)) - a ) = c ^ (T) V ((\ klobúk (b))) c = \ sigma ^ (2) c ^ (T) (X ^ (T) X) ^ (- 1) c). Použitím jeho nezaujatého odhadu s 2 = E S S / (n - k) (\ displaystyle s ^ (2) = ESS / (n-k)) namiesto neznámeho rozptylu dostaneme nasledujúcu t-štatistiku:

T = c T b ^ - asc T (XTX) - 1 c (\ štýl zobrazenia t = (\ frac (c ^ (T) (\ klobúk (b)) - a) (s (\ sqrt (c ^ (T)) (X ^ (T) X) ^ (- 1) c)))))

Táto štatistika podľa nulovej hypotézy má rozdelenie t (n - k) (\ štýl zobrazenia t (n-k)), takže ak je štatistika nad kritickou hodnotou, potom sa nulová hypotéza lineárneho obmedzenia zamietne.

Testovanie hypotéz lineárnej regresie

Špeciálnym prípadom lineárneho obmedzenia je testovanie hypotézy, že regresný koeficient b j (\ displaystyle b_ (j)) sa rovná nejakej hodnote a (\ displaystyle a). V tomto prípade je zodpovedajúca t-štatistika:

T = b ^ j - asb ^ j (\ štýl zobrazenia t = (\ frac ((\ klobúk (b)) _ (j) -a) (s _ ((\ klobúk (b)) _ (j)))) )

kde s b ^ j (\ displaystyle s _ ((\ hat (b)) _ (j))) je štandardná chyba odhadu koeficientu, ktorá je druhou odmocninou zodpovedajúceho diagonálneho prvku kovariančnej matice odhadu koeficientu.

Podľa nulovej hypotézy je rozdelenie tejto štatistiky t (n - k) (\ štýl zobrazenia t (n-k)). Ak je absolútna hodnota štatistiky vyššia ako kritická hodnota, potom je rozdiel medzi koeficientom a a (\ displaystyle a) štatisticky významný (nie náhodný), inak je nevýznamný (náhodný, to znamená, že skutočný koeficient je pravdepodobne rovné alebo veľmi blízke predpokladanej hodnote a (\ displaystyle a))

Komentujte

Jednovýberový test pre matematické očakávania možno zredukovať na kontrolu lineárneho obmedzenia parametrov lineárnej regresie. V jednovzorkovom teste ide o „regresiu“ pre konštantu. Preto s 2 (\ displaystyle s ^ (2)) regresie je vzorový odhad rozptylu skúmanej náhodnej premennej, matica XTX (\ displaystyle X ^ (T) X) je n (\ displaystyle n ) a odhad „koeficientu“ modelu je výberový priemer. Z toho dostaneme výraz pre t-štatistiku uvedenú vyššie pre všeobecný prípad.

Podobne je možné ukázať, že dvojvýberový test s rovnakými odchýlkami vzorky sa týka aj kontroly lineárnych obmedzení. V dvojvzorovom teste ide o „regresiu“ na konštantu a fiktívnu premennú, ktorá identifikuje podvzorku v závislosti od hodnoty (0 alebo 1): y = a + b D (\ displaystyle y = a + bD). Hypotézu o rovnosti matematických očakávaní vzoriek možno formulovať ako hypotézu o rovnosti koeficientu b tohto modelu k nule. Dá sa ukázať, že zodpovedajúca t-štatistika na testovanie tejto hypotézy sa rovná t-štatistike uvedenej pre dvojvýberový test.

Môže sa tiež zredukovať na kontrolu lineárneho obmedzenia v prípade rôznych odchýlok. V tomto prípade má rozptyl chýb modelu dve hodnoty. Na základe toho je možné získať aj t-štatistiku podobnú tej, ktorá je uvedená pre dvojvýberový test.

Neparametrické analógy

Analógom dvojvzorkového testu pre nezávislé vzorky je Mann-Whitney U-test. Pre situáciu so závislými vzorkami sú analógmi znakový test a Wilcoxonov T test

Literatúra

Študent. Pravdepodobná chyba priemeru. // Biometrika. 1908. Číslo 6 (1). S. 1-25.

Odkazy

O kritériách na testovanie hypotéz o homogenite prostriedkov na webovej stránke Štátnej technickej univerzity v Novosibirsku

MINISTERSTVO ŠKOLSTVA RUSKEJ FEDERÁCIE

Štátna univerzita v Perme

Vedecké a vzdelávacie centrum

"Nerovnovážne prechody v kontinuálnych médiách"

Yu.K. Bratukhin, G.F. Putina

EXPERIMENTÁLNE SPRACOVANIE ÚDAJOV

Učebnica pre laboratórne cvičenie "Mechanika"

kurz všeobecnej fyziky

Perm 2003

BBK 22.253.3

MDT 531.7.08 (076.5)

Bratukhin Yu.K., Putin G.F.

B 87 Spracovanie experimentálnych údajov: Učebnica pre laboratórne cvičenie "Mechanika" kurzu všeobecnej fyziky / Perm. un-t. - Perm, 2003 .-- 80 s.

ISBN 5–7944–0370 5

Príručka je určená študentom prvého ročníka fyzikálnych odborov vysokých škôl, ako aj študentom iných prírodovedných odborov vysokých škôl a technických vysokých škôl, ktorí začínajú pracovať vo všeobecnej fyzikálnej dielni. Je zostavený v súlade s aktuálnym programom kurzu všeobecnej fyziky ako úvod do kurzu laboratórnych prác. Uvádza sa zhrnutie teórie, ktoré sa vzťahuje na všetky úlohy, a popis niekoľkých laboratórnych prác, z ktorých každú môžu súčasne vykonávať študenti celej skupiny. Formulácia úloh zabezpečuje, že realizácia väčšiny experimentálnych inštalácií je jednoduchá a študenti po vykonaní experimentov môžu sami navrhnúť ich vylepšenie alebo, ak je to potrebné, reprodukovať doma. Príručku je teda možné použiť aj na samostatnú prácu.

Tab. 10. Obr. 13. Bibliografia. 12 titulov

Učebnica bola pripravená s podporou Vedecko-vzdelávacieho centra „Nerovnovážne prechody v spojitých médiách“

Vydané rozhodnutím Akademickej rady Fyzikálnej fakulty Permskej univerzity

Recenzenti:

Katedra aplikovanej fyziky, Štátna technická univerzita v Perme;

Doktor fyzikálnych a matematických vied, profesor A.F. Psheničnikov

ISBN 5–7944–0370 5 Ó Yu.K. Bratukhin, G.F. Putin, 2003

1. Pravidlá spracovania výsledkov meraní. ... ... ... ... ... .5

1.1. Spracovanie výsledkov priamych meraní. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5

1.2. Spracovanie výsledkov nepriamych meraní. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .deväť

2. Evidencia správ o laboratórnych prácach. ... jedenásť

3. Úvod. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .12

4. Typy meraní. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .15

4.1. Meranie. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .15

4.2. Priame merania. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .15

4.3. Nepriame merania. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15

5. Prezentácia výsledkov meraní. ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16

5.1. Zaznamenanie výsledku merania. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16

5.2. Priemerná. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16

5.3. Skutočný význam. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .17

5.4. Interval spoľahlivosti. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17

5.5. Faktor spoľahlivosti. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .17

6. Typy chýb. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .osemnásť

6.1. Absolútna chyba. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .osemnásť

6.2. Relatívna chyba. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .osemnásť

6.3. Systematická chyba. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19

6.4. Náhodná chyba. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .21

6.5. Chýbať. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22

7. Chyby meracích prístrojov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23

7.1. Limitná chyba zariadenia. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23

7.2. Trieda presnosti. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24

7.3. Chyba prístroja. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24

7.4. Chyba zaokrúhľovania. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .25

7.5. Celková chyba merania. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .25

8. Štatistické spracovanie výsledkov

merania obsahujúce náhodnú chybu. ... ... .27

8.1 Spracovanie výsledkov priamych meraní. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27

8.2. Gaussovo rozdelenie. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... tridsať

8.3. Študentská metóda. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31

8.4. Spracovanie výsledkov nepriamych meraní. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .33

9. Približné výpočty pri spracovaní

experimentálne údaje. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .37

9.1. Počet platných číslic pri určovaní chyby. ... ... ... ... 38

9.2. K výpočtu celkovej chyby merania. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 40

9.3. O presnosti výpočtov. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 40

10. Laboratórne práce zo štatistiky

spracovanie výsledkov meraní. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .42

10.1. Laboratórne práce. Štúdium rozdelenia náhody

magnitúdy. Lorentzov plyn. ... ... ... ... ... ... ... ... ... 44

10.2. Laboratórne práce. Experimentálna definícia

číslo π. Buffonova ihla. ... ... ... ... ... ... ... ... ... 55

10.3. Laboratórne práce. Simulácia merania,

sprevádzaná veľkou náhodnou chybou. ... ... ... ... ... ... ... 64

10.4. Laboratórne práce. Príklad odhadu chyby

nepriame merania. Stanovenie hustoty pevnej látky. ... ... ... ... ... ... ... ... 70

10.5. Laboratórne práce. Stanovenie hustoty pevnej látky

telesá pravidelného geometrického tvaru. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 76

11. Ako písať správy o laboratórnych a

výskumné projekty a

vedecké články. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 77

BIBLIOGRAFICKÝ ZOZNAM. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 79

Kapitoly 1, 2 sumarizujú postupnosť krokov, ktoré sú potrebné pri spracovaní a prezentácii experimentálnych údajov a pri príprave laboratórnych správ. Podrobná diskusia o týchto problémoch je obsiahnutá v častiach 3 až 11, ktoré tvoria hlavný obsah tejto príručky.

1. PRAVIDLÁ SPRACOVANIA VÝSLEDKOV MERANIA

Pri spracovaní výsledkov meraní sa navrhuje nasledovný postup.

1.1. Spracovanie výsledkov priamy merania

Priame merania sú také merania, pri ktorých sa požadovaná hodnota odčítava priamo zo zariadenia.

Nech sa to deje za rovnakých podmienok n merania nejakej fyzikálnej veličiny X.

1. Výsledky každého z jednotlivých meraní si zapisujeme do tabuľky v zošite x 1, x 2, ... x n.

2. Vypočítajte aritmetický priemer <X> od n merania

4. Určte z tabuľky 1.1.1 Študentský koeficient t p, n pre počet meraní n(a vzhľadom na spoľahlivosť p = 0.95).

tabuľky 1.1.1

Študentské koeficienty

p = 0.95

6. Vypočítajte absolútnu hodnotu chyba prístroja D NS podľa vzorca

kde ω - cena najmenšieho dielu zariadenia.

Chyby prístroja ∆ NS a zaokrúhľovanie ∆ env pre niektoré zariadenia používané v laboratórnej dielni na mechanike sú uvedené v tabuľke 1.1.2 :

tabuľky 1.1.2

Chyby prístroja

p = 0.95

8. Určte súčet absolútna chyba D X skúsenosti podľa vzorca

.	(1.1.6) / (7.5.1)

Pri výpočte D X podľa vzorca (1.1.6) jedna alebo dve chyby D NS a ∆ env, ak sú ich hodnoty polovičné alebo výrazne nižšie ako zostávajúce hodnoty.

9. Zaokrúhlite absolútnu chybu D X(pozri odsek 9.1):

Dx = 0. 523 0.5 ;

D x = 0. 124 0.12 .

Významné čísla sú tu a v niektorých z nasledujúcich príkladov podčiarknuté.

10. Zapíšte si záverečnú výsledok experimentu ako

a uveďte merné jednotky.

Nahrávanie (1.1.7) znamená skutočnú hodnotu X meraná hodnota X leží v interval spoľahlivosti ( - D X, <X> + D X) s pravdepodobnosťou p vo výške 95 %.

11. Zaokrúhlite priemer<X> takže chyba D X zaúčtované (pozri odsek 9.1):

Na poslednú priečku priemeru<X> ak D X písané jednou platnou číslicou

Pre posledné dve číslice v strede<X> ak D X písané dvoma platnými číslicami

12. Určiť relatívna chyba D x rel výsledkom série meraní

D x rel= D X /<X>.	(1.1.10) / (6.2.1)

13. Hodnotu fyzikálnej veličiny, ktorú študujeme, si zapíšeme teoretickú, tabuľkovú, alebo získanú v iných štúdiách atď. X... Tu je podrobný odkaz na uvedený zdroj.

Napríklad: Tabuľková hodnota hustoty hliníka pri teplote 20 ° C

p = 2,69 g/cm3.

Pozri: Tabuľky fyzikálnych veličín: Príručka / Ed. I.K. Kikoina. M.: Atomizdat. 1976,1006 s. (tabuľka na str. 121).

14. Porovnajte výsledok získaný v našich experimentoch s údajmi z predchádzajúceho odseku 13. Ak sa tieto výsledky výrazne líšia, mali by ste zistiť dôvody tohto nesúladu: skontrolujte výpočty; opakujte merania pre jednu alebo dve charakteristické hodnoty parametrov.

15. Napíšte výstup.

Napríklad: V rámci experimentálnej chyby sa výsledky našich meraní zhodujú (nezhodujú) s teoretickou, prípadne tabuľkovou, alebo uvedenou v citovanej práci [N] hodnotou. (Nesúlad medzi výsledkami môže byť spôsobený nasledujúcimi dôvodmi: ... alebo nasledujúcimi nedostatkami použitých prístrojov a experimentálnej techniky: ...).

1.2. Spracovanie výsledkov nepriamy merania

Nepriame merania sa nazývajú merania, pri ktorých nás kvantita zaujíma z je funkcia k (k 1) priamo merané hodnoty x 1,x 2,…, x k:

z = z(x 1,x 2,…, x k).	(1.2.1)/(8.4.1)

Pri spracovaní výsledkov nepriamych meraní je najbežnejšia nasledujúca metóda.

1. Údaje priamych meraní každého z parametrov x 1, x 2,…, x k postup opísaný v odseku 1.1:

Vypočítajte aritmetický priemer argumenty , , …, podľa vzorca (1.1.1) ;

Nájsť absolútne chyby D x 1, D x 2,..., D x k merania každého z argumentov pomocou vyššie uvedených vzorcov (1.1.3) – (1.1.6) ... V tomto prípade nastavíme rovnakú hodnotu spoľahlivosti pre všetky argumenty p = 0.95.

2. Výsledok nepriameho merania určíme dosadením zisteného priemeru , , …, z priamo nameraných hodnôt do vzorca pre funkciu z

kde sú parciálne derivácie funkcie z vypočítané pre hodnoty premenných x 1 = , x 2 = , …, x k = .

Výsledná chyba D z má rovnakú spoľahlivosť p = 0.95.

Pri výpočte výslednej chyby vzorcom (1.2.3) mali by sme zanedbávať tie výrazy v radikálnom výraze, ktoré sú aspoň polovičné ako ostatné výrazy.

Ďalší spôsob spracovania výsledkov nepriamych meraní je popísaný ďalej v bode 8.4.

2. REGISTRÁCIA SPRÁV O LABORATÓRNYCH PRÁCACH

1. Každá práca by mala začínať na novej strane.

2. Názov práce by mal byť zvýraznený.

3. Po nadpise by ste mali napísať krátky úvod, ktorý by mal odrážať nasledujúce body:

· Stanovenie problému, aký jav alebo aká závislosť sa bude skúmať, čo sa očakáva, že sa získa v priebehu práce;

· Fyzikálne veličiny, ktoré budú v práci merané; aké sú ich rozmery a merné jednotky;

· Popis metódy merania použitej v práci. V tomto prípade je nevyhnutné nakresliť schematický diagram experimentálneho nastavenia a napísať pracovný vzorec a vzorce na výpočet chýb.

4. Experimentálne výsledky zaznamenávajte len do pracovného zošita, do pripravených tabuliek. Na tento účel by ste nemali používať koncepty.

5. Ak nameraná hodnota závisí od vonkajších podmienok, ako je teplota alebo tlak, mali by sa zaznamenať experimentálne podmienky.

6. Konečný výsledok by sa mal zaznamenať na konci správy s uvedením intervalu spoľahlivosti, bezpečnostného faktora, jednotiek merania a podmienok prostredia. Tento výsledok je potrebné zdôrazniť.

7. Ak je to možné, získaný výsledok by sa mal porovnať s dostupnými tabuľkovými údajmi, teoretickými výpočtami alebo výsledkami experimentov iných autorov, nezabudnite uviesť odkaz na zdroj týchto údajov.

8. Ak merania obsahujú systematické chyby (napríklad trecia sila, ktorá sa vo vzorcoch nezohľadňuje), potom nemá zmysel uvádzať interval spoľahlivosti. V tomto prípade sa obmedzujú na posúdenie presnosti metódy merania.

9. Na charakterizáciu kvality výsledkov a použitej experimentálnej metódy sa odporúča vždy vyhodnotiť relatívnu chybu výsledku.

10. Všetky zápisy v zošite musia byť datované.

ÚVOD

Hlavnými úlohami laboratórnej praxe sú:

· Oboznámenie sa s prístrojmi;

· Získanie skúseností s vykonávaním experimentu;

· Ilustrácia teoretických princípov fyziky.

Je zrejmé, že ani jeden kurz praktickej práce nebude schopný obsiahnuť celú teóriu a oboznámiť človeka so všetkými zariadeniami. Hlavnou úlohou tohto workshopu je preto naučiť sa:

· Naplánujte experiment tak, aby presnosť merania bola v súlade s cieľmi;

· Zohľadniť možnosť systematických chýb a prijať opatrenia na ich odstránenie;

· Analyzujte výsledky experimentu a urobte správne závery;

· Vyhodnoťte presnosť konečného výsledku;

· Záznamy o meraniach a výpočtoch veďte presne, jasne a stručne.

Na oboznámenie sa s metódami praktických meraní, štatistickým spracovaním ich výsledkov, s metódami experimentálneho výskumu a návodmi na prezentáciu výsledkov, prípravu správ a písanie vedeckých článkov odporúčame použiť knihu J. Squires "Praktická fyzika".

Navrhovaný laboratórny workshop mechaniky ako jedného z odborov fyziky nie je určený ani tak na informovanie čitateľa o nových informáciách - to už škola urobila - ako na to, aby mu pomohol lepšie pochopiť podstatu viac či menej známych faktov a ich vzájomné prepojenie. Tento náš hlavný cieľ priamo súvisí aj s výchovou tvorivých schopností a formovaním samostatného myslenia. Takáto výchova môže byť formovaná v týchto hlavných smeroch: schopnosť zovšeobecňovať - ​​indukcia; schopnosť aplikovať teóriu na konkrétnu úlohu je dedukcia a možno najdôležitejšia je schopnosť identifikovať rozpory medzi teoretickými zovšeobecneniami a praxou – dialektikou.

Teoretický obraz, ktorý vám predkladajú na prednáškach, skúma tie aspekty reálneho sveta, ktoré teória považuje za dôležité. Môže sa ukázať, že vaše zoznámenie sa s prírodným svetom je obmedzené len na tieto stránky a budete si istí, že ide o celý skutočný svet, a nie jeho jednotlivé aspekty. Navyše na takomto obrázku je všetko tak dobre prepojené, že je ľahké stratiť zo zreteľa námahu, ktorú bolo potrebné na jeho vytvorenie. Najlepším liekom na takúto chorobu je ísť do laboratória a tam vidieť zložitosť skutočného sveta.

Tým, že sa venujete experimentálnej fyzike, v prvom rade sa naučíte, aké ťažké môže byť otestovať teóriu, zmerať to, čo je potrebné, a nie niečo iné, a naučiť sa, ako takéto ťažkosti prekonať. Zároveň budete mať pohľad na fyziku vo všeobecnosti a vzťah medzi teóriou a experimentom.

Pre výučbu tvorby správ o vedeckom výskume (pre vás je toto školenie rozdelené na etapy - laboratórne práce, študentské vedecké semináre a konferencie, účasť na výskume katedry) sú niektoré z nižšie uvedených popisov laboratórnych prác vypracované v štýl článkov vo vedeckých časopisoch. Ako písať vedecké články je podrobne popísané v knihách, kde sú uvedené praktické rady, odporúčania a ukážky. Tu len naznačíme, že pri takýchto popisoch sa budeme držať všeobecne uznávaného rozdelenia článku na nasledujúce časti:

· Úvod s vyhlásením problému;

· Popis usporiadania experimentu a meracej techniky;

· Výsledky experimentu;

· ich analýza a porovnanie s výsledkami iných autorov;

· závery.

Pre všetkých fyzikov sveta sa tento spôsob prezentácie stal takou integrálnou profesionálnou zručnosťou, že často slúži ako zámienka na vtipy a paródie – pozri napr. články P. Jordana a R. de Kroniga „The movement of dolná čeľusť u dobytka v procese žuvania potravy“ a I. I. Frenkel „Ku kvantovej teórii tanca“ v knihe. Autori tejto publikácie neodolali takémuto vtipu nad klišé a nad sebou samými, keď do sekcie „Diskusia o výsledkoch“ spoločnej publikácie v rešpektovanom akademickom časopise umiestnili doslovný citát z paródie „Pokyny pre čitateľa vedeckých článkov ": "Ak vezmeme do úvahy aproximácie vykonané v analýze, zhoda medzi experimentálnymi a teoretickými výsledkami by sa mala uznať ako uspokojivá ", avšak s vynechaním tajného významu tohto výrazu uvedeného v "Pokynoch..."

Aby sa demonštrovalo, aké užitočné je pri vykazovaní experimentálnych údajov uvádzať nielen priemerné charakteristiky, ale aj intervaly spoľahlivosti, v rámci ktorých možno najpravdepodobnejšie nájsť skutočné hodnoty meraných veličín, a tiež ukázať, ako teoretické a experimentálne výsledky možno dať do súvisu pri štúdiu konkrétnych problémov, uvádzame dva grafy zo spomínaného článku.

4. TYPY MERANÍ

Meranie

Meranie ľubovoľnej fyzikálnej veličiny je operácia, ktorá umožňuje zistiť, koľkokrát je meraná veličina väčšia (alebo menšia) ako zodpovedajúca veličina, braná ako jednotka.

Je potrebné zdôrazniť, že takéto porovnanie s etalónom - meranie - musí prebiehať za presne stanovených podmienok a veľmi špecifickým spôsobom. Napríklad meranie dĺžky objektu predpokladá, že štandard je vo vzťahu k nemu stacionárny a trvanie udalosti sa meria pomocou stacionárnych hodín. V tomto zmysle je poučná Einsteinova analýza konceptu simultánnosti, ktorá v klasickej fyzike nebola vôbec definovaná ako a priori"Jasné".

Merania sa delia na priame a nepriame.

Priame merania

Priame merania sú také, pri ktorých sa požadovaná hodnota porovnáva s jednotkou merania priamo alebo pomocou meracieho zariadenia kalibrovaného v príslušných jednotkách. Príklady priamych meraní sú merania dĺžky pomocou pravítka alebo posuvného meradla; meranie hmotností na lúčových váhach pomocou sady závaží; meranie časových intervalov pomocou hodín alebo stopiek, meranie teploty teplomerom, napätia voltmetrom a pod. Hodnota nameranej hodnoty sa súčasne odčíta na stupnici prístroja alebo sa zisťuje počítaním mier, závaží a pod.

Nepriame merania

Nepriame merania sa nazývajú merania, pri ktorých sa požadovaná hodnota zistí ako funkcia niekoľkých priamo meraných hodnôt. Príklady nepriamych meraní sú: zistenie hustoty tuhej látky meraním jej hmotnosti a objemu; meranie viskozity kvapaliny jej objemovým prietokom pri prietoku kruhovou kapilárou, dĺžka a prierez tejto kapiláry; alebo rýchlosťou pádu malej guľôčky v tejto kvapaline, jej hustotou a priemerom atď.

Metóda vám umožňuje testovať hypotézu, že priemerné hodnoty dvoch rodov závislý vzorky sa od seba líšia. Predpoklad závislosti najčastejšie znamená, že znak sa meria na tej istej vzorke dvakrát, napríklad pred a po dopade. Vo všeobecnom prípade je každému zástupcovi jednej vzorky pridelený zástupca z druhej vzorky (sú spojené do párov), takže tieto dva dátové rady navzájom pozitívne korelujú. Slabšie typy závislosti vzorky: vzorka 1 - manželia, vzorka 2 - ich manželky; vzorka 1 - ročné deti, vzorka 2 je zložená z dvojčiat od detí vo vzorke 1 atď.

Testovateľná štatistická hypotéza, ako v predchádzajúcom prípade, H 0: M1 = M2(priemerné hodnoty vo vzorkách 1 a 2 sú rovnaké). Ak sa zamietne, prijme sa alternatívna hypotéza M 1 viacmenej) M 2.

Počiatočné predpoklady pre štatistické overenie:

Každému zástupcovi jednej vzorky (z jednej všeobecnej populácie) je priradený zástupca inej vzorky (z inej všeobecnej populácie);

Údaje dvoch vzoriek sú pozitívne korelované (tvoria páry);

Rozloženie študovaného znaku v oboch vzorkách zodpovedá normálnemu zákonu.

Štruktúra zdrojových údajov: pre každý objekt (pre každý pár) existujú dve hodnoty študovaného atribútu.

Obmedzenia: distribúcia znaku v oboch vzorkách by sa nemala výrazne líšiť od normálneho; údaje dvoch meraní zodpovedajúcich jednej a druhej vzorke sú pozitívne korelované.

Alternatívy: Wilcoxonov T test, ak sa rozdelenie pre aspoň jednu vzorku výrazne líši od normálneho; Študentov t test pre nezávislé vzorky - ak údaje pre dve vzorky nekorelujú pozitívne.

Vzorec pretože empirická hodnota Studentovho t-testu odráža skutočnosť, že jednotkou analýzy rozdielov je rozdiel (posun) hodnoty atribútov pre každú dvojicu pozorovaní. Podľa toho sa pre každý z N párov charakteristických hodnôt najskôr vypočíta rozdiel d i = x 1 i - x 2 i.

kde Md je priemerný rozdiel hodnôt; σ d je štandardná odchýlka rozdielov.

Príklad výpočtu:

Predpokladajme, že v priebehu kontroly účinnosti školenia bola každému z 8 členov skupiny položená otázka: "Ako často sa vaše názory zhodujú s názormi skupiny?" - dvakrát, pred a po tréningu. Pre odpovede bola použitá 10-bodová škála: 1 – nikdy, 5 – polovičný čas, 10 – vždy. Bola testovaná hypotéza, že v dôsledku tréningu sa zvýši sebaúcta konformizmu (túžba byť ako ostatní v skupine) účastníkov (α = 0,05). Urobme tabuľku pre medzivýpočty (tabuľka 3).

Tabuľka 3

Aritmetický priemer pre rozdiel Md = (-6) / 8 = -0,75. Odčítajte túto hodnotu od každého d (predposledný stĺpec tabuľky).

Vzorec štandardnej odchýlky sa líši len tým, že namiesto X sa objavuje d. Nahradíme všetky potrebné hodnoty, dostaneme:

ad = = 0,886.

Krok 1. Vypočítajte empirickú hodnotu kritéria pomocou vzorca (3): priemerný rozdiel M d= -0,75; smerodajná odchýlka σ d = 0,886; t e = 2,39; df = 7.

Krok 2. Určte p-hladinu významnosti z tabuľky kritických hodnôt Studentovho t-kritéria. Pre df = 7 je empirická hodnota medzi kritickými pre R= 0,05 a R - 0,01. teda R< 0,05.

df	R
0,05	0,01	0,001
	2,365	3,499	5,408

Krok 3. Urobíme štatistické rozhodnutie a sformulujeme záver. Štatistická hypotéza o rovnosti priemerov sa zamieta. Záver: štatisticky významne sa zvýšil ukazovateľ sebahodnotenia konformity účastníkov po tréningu (na hladine významnosti p< 0,05).

Parametrické metódy zahŕňajú porovnanie rozptylov dvoch vzoriek podľa kritéria F-Fisher. Niekedy táto metóda vedie k hodnotným zmysluplným záverom a v prípade porovnávania priemerov pre nezávislé vzorky je porovnanie rozptylov povinné postup.

Kalkulovať F emp je potrebné nájsť pomer rozptylov dvoch vzoriek, a to tak, aby väčší rozptyl bol v čitateli a menší v menovateli.

Porovnanie rozptylov... Metóda umožňuje testovať hypotézu, že rozptyly dvoch všeobecných populácií, z ktorých sú porovnávané vzorky odvodené, sa navzájom líšia. Testovaná štatistická hypotéza H 0: σ 1 2 = σ 2 2 (rozptyl vo vzorke 1 sa rovná rozptylu vo vzorke 2). Ak sa zamietne, prijme sa alternatívna hypotéza, že jeden rozptyl je väčší ako druhý.

Počiatočné predpoklady: náhodne sa odoberú dve vzorky z rôznych genetických populácií s normálnym rozložením študovaného znaku.

Štruktúra zdrojových údajov: skúmaný znak sa meria v objektoch (testovaných), z ktorých každý patrí do jednej z dvoch porovnávaných vzoriek.

Obmedzenia: rozloženie znaku v oboch vzorkách sa výrazne nelíši od normálneho.

Alternatíva k metóde: Levene „sTest“, ktorého aplikácia nevyžaduje testovanie predpokladu normality (používa sa v programe SPSS).

Vzorec pre empirickú hodnotu kritéria F-Fisher:

(4)

kde σ 1 2 — veľký rozptyl a σ 2 2 - menší rozptyl. Pretože nie je vopred známe, ktorý rozptyl je väčší, potom na určenie úrovne p použijeme Tabuľka kritických hodnôt pre nesmerové alternatívy. Ak F e> F Kp pre zodpovedajúci počet stupňov voľnosti teda R< 0,05 и статистическую гипотезу о равенстве дисперсий можно отклонить (для α = 0,05).

Príklad výpočtu:

Deti dostali obvyklé aritmetické úlohy, po ktorých jednej náhodne vybranej polovici študentov povedali, že test neprešli, a zvyšok - naopak. Každého dieťaťa sa potom pýtali, koľko sekúnd by trvalo vyriešiť podobný problém. Experimentátor vypočítal rozdiel medzi časom, kedy dieťa volalo, a výsledkom dokončenej úlohy (v sekundách). Očakávalo sa, že ohlásenie zlyhania spôsobí určitú nedostatočnosť v sebaúcte dieťaťa. Testovanou hypotézou (na úrovni α = 0,005) bolo, že rozptyl súboru sebahodnotení nezávisí od správ o úspechu alebo neúspechu (Н 0: σ 1 2 = σ 2 2).

Získali sa tieto údaje:

Krok 1. Vypočítajme empirickú hodnotu kritéria a počet stupňov voľnosti pomocou vzorcov (4):

Krok 2. Podľa tabuľky kritických hodnôt kritéria f-Fisher pre neriadený alternatívy nájsť kritickú hodnotu pre číslo df= 11; df banner= 11. Existuje však kritická hodnota iba pre číslo df= 10 a df banner = 12. Nie je možné vziať veľký počet stupňov voľnosti, preto berieme kritickú hodnotu pre číslo df= 10: Pre R= 0,05 F Kp = 3,526; pre R= 0,01 F Kp = 5,418.

Krok 3. Štatistické rozhodnutie a zmysluplný záver. Keďže empirická hodnota presahuje kritickú hodnotu pre R= 0,01 (a ešte viac - pre p = 0,05), potom v tomto prípade p< 0,01 и принимается альтернативная гипо-теза: дисперсия в группе 1 превышает дисперсию в группе 2 (R< 0,01). Následne po nahlásení neúspechu je nedostatočná sebaúcta vyššia ako po nahlásení úspechu.