Niektoré vlastnosti operácií nad matricami.
Maticové výrazy

A teraz pokračovanie témy bude nasledovať, v ktorej budeme zvážiť nielen nový materiál, ale aj prácu akcie s matricami.

Niektoré vlastnosti operácií nad matricami

Existuje pomerne veľa nehnuteľností, ktoré sa týkajú akcií s matricami, v tej istej Wikipédii môžete obdivovať štíhle kroky príslušných pravidiel. Avšak v praxi mnoho nehnuteľností v určitom zmysle "mŕtvy", pretože len niektoré z nich sa používajú pri riešení skutočných úloh. Mojím cieľom je zvážiť aplikovanú aplikáciu vlastností na konkrétne príklady, a ak potrebujete prísnu teóriu, použite iný zdroj informácií.

Zvážiť niektoré výnimky z pravidlabude potrebné vykonávať praktické úlohy.

Ak má štvorcová matrica inverzná matrica , potom ich násobenie komutuácie:

Jednoduchá matrica Nazýva sa štvorcová matrica, ktorá hlavný diagonálny Jednotky sa nachádzajú a zostávajúce prvky sú nula. Napríklad: atď.

Kde Spravodlivosti: Ak sa ľubovoľná matrica násobí Ľavá alebo pravá Na jednej matrici vhodných veľkostí je výsledkom počiatočnú maticu:

Ako vidíte, prebieha aj komutácia multiplikácie matrice.

Vezmite si nejakú matricu, povedzme, matricu z predchádzajúcej úlohy: .

Tí, ktorí chcú kontrolovať a uistiť sa, že:

Jedna matrica pre matrice je analóg číselnej jednotky pre čísla, ktorá je z uvedených príkladov jednoznačne vidieť.

Komutativita numerického faktora vzhľadom na množenie matríc

Pre matrice a skutočné číslo je táto vlastnosť spravodlivá:

To znamená, že číselný multiplikátor môže (a potrebný), aby sa tak, aby "neinterferoval" násobiť maticu.

Poznámka : Všeobecne povedané, znenie nehnuteľnosti je neúplné - "Lambda" môže byť umiestnený kdekoľvek medzi matricami, dokonca aj na konci. Pravidlo zostáva spravodlivé, ak sa vynásobí tri alebo viac matríc.

Príklad 4.

Vypočítať prácu

Rozhodnutie:

(1) Podľa nehnuteľnosti Posuňte numerický faktor dopredu. Nemôžete usporiadať matrice!

(2) - (3) Vykonajte multiplikáciu matice.

(4) Tu môžete zdieľať každé číslo 10, ale potom sa medzi prvkom matrice objavia desatinné frakcie, ktoré nie sú dobré. Avšak, sme si všimli, že všetky čísla matríc sú rozdelené do 5, takže vynásobíte každý prvok.

Odpoveď:

Little Charade pre vlastné riešenia:

Príklad 5.

Vypočítať, ak

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Aký technický príjem je dôležitý pri riešení takýchto príkladov? S číslom, ktorým rozumieme nakoniec .

Vstup do lokomotívy Ďalšie auto:

Ako vynásobiť tri matrice?

Po prvé, čo by sa malo stať v dôsledku násobenia troch matríc? Mačka nebude porodiť myši. Ak je multiplikácia matrice uskutočniteľná, potom nakoniec bude matrica fungovať aj. M-ÁNO, No, môj učiteľ v Algebre nevidí, ako vysvetľujem uzavretie algebraickej štruktúry, pokiaľ ide o jej prvky \u003d)

Práca troch matríc možno vypočítať dvoma spôsobmi:

1) Nájsť a potom sa množia na "CE" Matrix:;

2) Buď najprv nájdete, potom vykonajte násobenie.

Výsledky sa určite zhodujú a teoreticky táto nehnuteľnosť sa nazýva Associativity Matication Multiplikácie:

Príklad 6.

Vynásobte matricu dvoma spôsobmi

Algoritmus riešenia Two-chlpatý: Nájdeme produkt z dvoch matríc, potom opäť nájdeme produkt z dvoch matríc.

1) Používame vzorec

Akcia najprv:

Akcia druhej:

2) Používame vzorec

Akcia najprv:

Akcia druhej:

Odpoveď:

Zvyčajný a štandardný, samozrejme, prvý spôsob, ako vyriešiť, "bez ohľadu na to, ako je všetko v poriadku." Mimochodom, o objednávke. V posudzovanej úlohy vzniká ilúzia často, že hovoríme o niektorých permutáciách matice. Nie sú tu. Opäť si spomínam všeobecne Usporiadané matrice nemôžu. Takže v druhom bode, v druhom kroku, vykonávame násobenie, ale v žiadnom prípade. S bežnými číslami, takýto číslo prešiel a s matricami - č.

Vlastnosť multiplikačnej asociácie je platná nielen pre štvorec, ale aj pre ľubovoľné matrice - ak by sa vynásobili:

Príklad 7.

Nájdite prácu troch matríc

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Vo vzorke sa výpočtové riešenia uskutočňovali dvoma spôsobmi, analyzovali, ktorá cesta je výhodnejšie a kratšia.

Vlastnosti priosporiadania multiplikácie matrice prebiehajú pre viac multiplikátorov.

Teraz je čas vrátiť sa do stupňov matríc. Námestie matice sa považuje za samozrejme a na programe otázky:

Ako vybudovať matricu v kocke a vyššie stupne?

Tieto operácie sú definované aj pre štvorcové matrice. Ak chcete zvýšiť štvorcovú matricu do kocky, musíte vypočítať prácu:

V skutočnosti je to špeciálny prípad násobenia troch matríc podľa vlastností priostupnosti multiplikácie matrice :. \\ T A matrica vynásobená samotným je námestie matice:

Dostaneme teda pracovný vzorec:

To znamená, že úloha sa vykonáva v dvoch krokoch: Najprv matrix musí byť zvýšená do námestia a potom výsledná matrica znásobuje matricu.

Príklad 8.

Postaviť maticu do kocky.

Toto je malá úloha nezávislého riešenia.

Výstavba matrice vo štvrtom stupni sa vykonáva prirodzeným spôsobom:

Pomocou asociácie multiplikácie matice vyberte dve pracovné vzorce. Po prvé: - Toto je práca troch matríc.

jeden). Inými slovami, najprv nájdeme, potom sme dominantní "byť" - dostaneme kocku, a nakoniec vykonávame násobenie opäť - štvrtý stupeň bude.

2) Ale v kroku kratšie je riešenie :. To znamená, že v prvom kroku nájdeme štvorec a obchádzanie kocky, vykonávať množenie

Dodatočná úloha Napríklad 8:

Hodnotiť matricu vo štvrtom stupni.

Akonáhle poznamenal, môže sa vykonať dvoma spôsobmi:

1) Keďže kocka je čoskoro známa, potom vykonávame násobenie.

2) Avšak, ak podmienkou úlohy musíte vybudovať matricu len vo štvrtom stupni, cesta je prospešná pre zníženie - nájsť štvorec matrice a použiť vzorec.

Riešenia a reakcie - na konci hodiny.

Podobne sa matrica postavila v piatom a vyššom stupni. Z praktických skúseností môžem povedať, že niekedy existujú príklady výstavby 4. stupňa, ale nie som si spomenul na piaty titul. Ale len v prípade, že prinesiem optimálny algoritmus:

1) nájdeme;
2) nájdeme;
3) Staviame maticu do piateho stupňa :.

Snáď, snáď, všetky základné vlastnosti operácií Matrix, ktoré môžu byť užitočné v praktických úlohách.

V druhej časti lekcie sa neočakáva žiadna menej dôveryhodná strana.

Maticové výrazy

Opakujeme obvyklé školské výrazy s číslami. Numerická expresia sa skladá z čísel, príznakov matematických akcií a konzol, napríklad: . Pri výpočte, známa algebraická priorita: najprv zohľadnená zátvorkypotom vykonaný do stupňa stupňa koreňovneskôr násobenie / rozdelenie A naposledy - pridanie / odčítanie.

Ak číselný výraz dáva zmysel, potom je výsledkom jeho výpočtu číslo, napr.:

Maticové výrazy Usporiadané takmer rovnaké! S týmto rozdielom, že hlavné herci sú matice. Navyše, niektoré špecifické matricové operácie, ako je transpozícia a inverzná matrica.

Zvážte výraz matici kde - niektoré matrice. V tejto expresii matrice sú plne splnené tri zložky a prídavky na pridávanie / odčítanie.

V prvom termíne, musíte najprv transponovať maticu "BE":, potom vykonať násobenie a vykonať "deuce" na výslednú maticu. poznač si to prenosná prevádzka má vyššiu prioritu ako násobenie. Konzoly, ako v numerických výrazoch zmeňte postup: - Tu sa násobenie uskutočňuje najprv, potom je výsledná matrica transponovaná a vynásobená 2.

V druhom termíne sa matrix multiplikácia vykonáva predovšetkým a inverzná matrica je už z práce. Ak sú zátvorky odstránené: je to najprv potrebné nájsť reverznú matricu a potom násobiť maticu :. Nájdenie reverznej matrice má tiež prednosť pred násobením.

Všetko je zrejmé s tretím termínom: Budeme stavať maticu do kocky a urobiť "päť" do výslednej matrice.

Ak výraz matrici dáva zmysel, výsledkom jeho výpočtu je matrica.

Všetky úlohy budú z reálnej testovanej práce a začneme s najjednoduchším:

Príklad 9.

Dana matici . Nájsť:

Rozhodnutie: Postup je zrejmý, najprv sa uskutočňuje násobenie, potom pridanie.

Pridanie nie je možné vykonať, pretože matice rôznych veľkostí.

Nenechajte sa prekvapení, zjavne nemožné akcie sú často ponúkané v úlohách tohto typu.

Snažíme sa vypočítať druhý výraz:

Všetko je tu v poriadku.

Odpoveď: Akcia nie je možná, .

Na štvorcové matice, je možné formálne aplikovať cvičenie do stupňa n. Na to by n malo byť celé číslo. Výsledok tejto operácie je uvedený v tabuľke. 9.1. Zadajte erekčný operátor matice m do stupňa n je možný rovnakým spôsobom ako pre skalárnu hodnotu: stlačením tlačidla zvýšenia na napájanie na paneli kalkulačiny alebo stlačením tlačidla<А>. Potom, čo sa nachádza zástupný symbol, zadajte titul n.

Tabuľka 9.1. Výsledky konštrukcie matrice do tohto stupňa

0 Single Matrix Matrix Matrix M

1 matica m

1 m -1 - matrix, reverz m

2.3, ... mm, (mm) m, ...

2, -3, ... M -1 M -1, (M-1 m -1) M -1, ...

Niektoré príklady konštrukcie matríc v rozsahu sú uvedené v zozname 9.15.

Zoznam 9.15. Príklady konštrukcie štvorcovej matrice do celého stupňa

Masívna vektorácia

The MathCAD Vector Algebra obsahuje trochu neobvyklý operátor nazývaný vektorový operátor (Vectorized operátor). Tento operátor je spravidla určený na prácu s poliami. To vám umožní vykonávať podobnú prevádzku cez všetky prvky poľa (t.j., matice alebo vektory), čím sa zjednodušuje programovanie cyklov. Napríklad, niekedy musíte znásobiť každý prvok rovnakého vektora na zodpovedajúci prvok iného vektora. Neexistuje žiadna takáto prevádzka v Mathcad, ale je ľahké implementovať pomocou vektorácie (zoznam 9.16). Pre to:

· Zadajte výraz vektor, ako je znázornené na druhom riadku zoznamu (všimnite si, že v tomto formulári symbol multiplikácie označuje skalárny kus vektorov).

· Presuňte kurzor takým spôsobom, že vstupné čiary prideľujú všetky výrazy, ktoré chcete vystaviť vektoru (obr. 9.3).

· Zadajte operátor vektorovania stlačením tlačidla Vectorize (Vectorizácia) na paneli Matrix (Obr. 9.3) alebo kombinácia kľúčov +<->.

· Zadajte<=>Získať výsledok.

Obr. 9.3. Vektorový operátor

Zoznam 9.16. Použitie vektorizácie na násobenie vektorových prvkov

Vektorový operátor sa môže používať iba s vektormi a matricami rovnakej veľkosti.

Väčšina nešpecifických funkcií MathCAD nevyžadujú vektorizáciu za rovnakú operáciu nad všetkými prvkami vektora. Napríklad argument trigonometrických funkcií podľa definície je skalárny. Ak sa pokúsite vypočítať sinus vektorovú veľkosť, MathCAD vykoná predvolenú vektorizáciu, počíta sine každej položky a vydáva zodpovedajúci vektor ako výsledok. Príklad je uvedený v zozname 9.17.

Zoznam 9.17. Vektorizácia je voliteľná pre väčšinu funkcií MathCAD.

Symbolické operácie s matricami

Všetky operátori matrice a vektorov diskutované vyššie sú prípustné na použitie v symbolických výpočtoch. Sila symbolických operácií je možné vykonať nielen nad konkrétnymi číslami, ale aj nad premennými. Niekoľko príkladov je uvedených v zozname 9.18.

Zoznam 9.18. Príklady symbolických operácií nad vektormi a matricami

Odvážne používajte procesor symbolu ako výkonná matematická referenčná kniha. Napríklad, keď chcete pripomenúť akúkoľvek definíciu z lineárnej algebry (tak, multiplikácie a manipulácie pravidlá matríc sú uvedené v prvých riadkoch zoznamu 9.18).

Funkcie matice

Uvádzame hlavné vstavané funkcie určené na uľahčenie práce s vektormi a matricami. Je potrebné vytvoriť matice, fúzie a separáciu častí matríc, čím sa získajú hlavné vlastnosti matríc atď.

Funkcie vytvárania matríc

Najviac vizuálny spôsob, ako vytvoriť maticu alebo vektor, je použitie prvého tlačidla panela nástrojov Matrix (matrix). Vo väčšine prípadov, najmä pri programovaní komplexných projektov, je však vhodnejšie vytvoriť polia s použitím vložených funkcií.

Určenie prvkov matrice prostredníctvom funkcie

· Matrix (M, N, F) - Vytvorenie matice veľkosti M * N, z ktorých každá I, J, ktorého prvok J je F (I, J) (zoznam 9.19);

o m - počet riadkov;

o n - počet stĺpcov;

o F (i, j) - funkcia.

Zoznam 9.19. Vytvorenie matice

Ak chcete vytvoriť matice, používajú sa ďalšie ďalšie špecifické funkcie, najmä pre rýchle a veľkolepé zobrazenie akýchkoľvek závislostí vo forme trojrozmerných grafov (typ povrchovej alebo priestorovej krivky). Všetky ich argumenty iné ako prvé (funkcie) sú nepovinné. Zvážte prvú z funkcií.

· SGEATESERAS (F (alebo F1, F2, F3), T0, T1, TGRID, FMAP) - vytvorenie vloženého poľa predstavujúce súradnicu X-, U a Z parametrickej priestorovej krivky špecifikovanej funkciou P;

• F (t) - vektorová funkcia troch prvkov, ktorá je parametricky vzhľadom na jediný argument t;
• f1 (t), F2 (T), F3 (T) - Skarové funkcie;
• t0 - dolná hranica T (predvolené -5);
• t1 - horná hranica T (predvolené 5);
• tGRID - počet bodov mriežky cez premennú T (predvolené 2o);
• fMAP - vektorová funkcia z troch argumentov, ktorá špecifikuje konverziu súradníc.

Obr. 9.4. Použitie funkcie Kreatespace s rôznou sadou parametrov

Príklad použitia funkcie vytvrdzovania je znázornený na obr. 9.4. Poznámka, Ak chcete vybudovať špirálový harmonogram, nebol potrebný žiadny ďalší kód, s výnimkou určovania parametrickej závislosti vo vektorovej funkcii F.

Funkcia vytvárania matrice pre grafiku trojrozmerného povrchu je úplne usporiadaná podobne podobne, v výnimke, že nikto nemá na určenie povrchu, ale dve premenné. Príklad jeho použitia znázorňuje obr. 9.5.

Obr. 9.5. Použitie funkcie Createmesh s inou sadou parametrov

· Createmesh (F (alebo G, alebo F1, F2, F3), S0, S1, T0, T1, SGRID, TGID, FMAP) - vytvorenie vnoreného poľa reprezentujúceho súradnicu X-, U a Z Povrch špecifikovaný funkciou F;

• F (s, t) - vektorová funkcia troch prvkov uvedených parametricky vzhľadom na dve argumenty s a t;
• g (s, t) je skalárna funkcia;
• f1 (S, T), F2 (S, T), F3 (S, T) - Skarové funkcie;
• s0, T0 - nižšie limity argumentov S, T (predvolené -5);
• s1, T1 - horné limity argumentov S, T (predvolené 5);
• sGRID, TGRID je počet mriežkových bodov podľa premenných S a T (predvolené 20);
• fMAP - vektorová funkcia troch prvkov z troch argumentov, ktoré špecifikuje konverziu súradníc.

Príklady vložených polí, ktoré sú vytvorené Createmesh a Createspace Charaktermi, sú uvedené 9.20. Každá matrica z počtu troch vnorených matíc, ktoré tvoria pole, určuje súradnicu X-, U a Z povrchových bodov alebo krivky.

Zoznam 9.20. Výsledok pôsobenia CreateMesh a funkcií Kreatespace (Obr. 9.4 - 9.5)

Vytvorenie špeciálnych typov matríc

V Mathcad je ľahké vytvoriť matice špecifických druhov pomocou jednej zo zabudovaných funkcií. Príklady použitia týchto funkcií sú uvedené v zozname 9.21.

· Identita (n) je jednou maticou veľkosti n * n;

· Diag (V) - diagonálna matrica, na uhlopriečku, z ktorých sú prvky vektora V;

· GENINV (A) - vytvorenie matrice, reverznej (ľavej) matrice A;

· RREF (A) - Transformácia matrice alebo vektora A v kroku kroku;

• N je celé číslo;
• v - vektor;
• A - Matrica z platných čísel.

Veľkosť N * M Matrix A pre funkciu GENINV by mala byť tak, že n\u003e m.

Zoznam 9.21. Vytvorenie špeciálnych typov matríc

Treba poznamenať, že môžu byť uvedené len štvorcové matrice. Rovnaký počet riadkov a stĺpcov - predpokladom pre stavbu matrice do stupňa. Počas výpočtu sa matrica vynásobí požadovaným počtom krát.

Táto online kalkulačka je navrhnutá tak, aby vykonala prevádzku matricovej erekcie. Vďaka svojmu použitiu sa s touto úlohou rýchlo vyrovná, ale tiež získate vizuálne a nasadenie pokroku. To pomôže lepšie konsolidovať materiál získaný v teórii. Vidieť podrobný algoritmus výpočtov, budete lepšie pochopiť všetky jeho jemnosti a následne nedovoliť chyby v manuálnom výpočte. Okrem toho, nikdy nebude zbytočná, aby sa zdvojnásobila ich výpočty, a to je tiež najlepšie cvičiť tu.

Aby ste vytvorili maticu do online titulu, budete potrebovať niekoľko jednoduchých akcií. Po prvé, zadajte veľkosť matice kliknutím na ikony "+" alebo "-" doľava. Potom zadajte čísla v poli Matrix. Musíte tiež určiť titul, v ktorom je matica postavená. A potom môžete kliknúť len na tlačidlo: "Vypočítať" v dolnej časti poľa. Získaný výsledok bude spoľahlivý a presný, ak ste starostlivo a správne zadali všetky hodnoty. Spolu s ním budete poskytnuté podrobné dekódovacie riešenie.

Ako vložiť matematické vzorce na stránke?

Ak potrebujete pridať jednu alebo dve matematické vzorce na webovej stránke, je to najjednoduchšie, ako je opísané v článku: Matematické vzorce sa ľahko vložia do lokality vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje alfa volfrámu. Okrem jednoduchosti tento univerzálny spôsob pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Pracuje na dlhú dobu (a myslím, že bude fungovať navždy), ale morálne zastarané.

Ak ste na svojich stránkach neustále používate matematické vzorce, potom odporúčam používať MathJAX - Špeciálna knižnica JavaScript, ktorá zobrazuje matematické označenia vo webových prehliadačoch pomocou MathML, LATEXU alebo ASCIIMATHML MARKUP.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJAX: (1) Pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJAX na vaše stránky, ktoré sa automaticky automaticky načítava zo vzdialeného servera na požadovanom mieste; (2) Download Script MathJAX zo vzdialeného servera na server a pripojte sa ku všetkým stránkam vašej stránky. Druhá metóda je zložitejšia a dlhá - bude urýchliť prevzatie stránok vašich stránok, a ak sa materský server MathJax pre nejaký dôvod stane dočasne nedostupným, nebude mať vplyv na vašu vlastnú webovú stránku. Napriek týmto výhodám som si vybral prvú cestu ako jednoduchšie, rýchle a nevyžadujúce technické zručnosti. Nasledujte svoj príklad a po 5 minútach môžete použiť všetky funkcie MathJAX na vašich webových stránkach.

Knižnicový skript MathJAX môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódovania na hlavnej webovej stránke MathJax alebo na stránke Dokumentácia:

Jeden z týchto možností kódov sa musí kopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi tagmi a alebo ihneď po tagu . Podľa prvej verzie, MathJAX je načítaný rýchlejšie a spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a zaťažuje najnovšie verzie Mathjax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, strany budú naložené pomalšie, ale nebudete musieť neustále monitorovať aktualizácie MathJAX.

Pripojiť MathJAX je najjednoduchší spôsob, ako Blogger alebo WordPress: Pridajte widget na vloženie kódu JavaScriptu tretej strany, aby ste vložili prvú alebo druhú verziu kódu sťahovania prezentovaného vyššie a umiestnite widget bližšie k začiatku šablóny (mimochodom) , nie je vôbec potrebné, pretože skript MathJaX je naložený asynchrónne). To je všetko. Teraz si prečítajte MathML, LATEX a ASCIIMATHML MARKUSKEJ Syntax a ste pripravení vložiť matematické vzorce na webových stránkach vašej stránky.

Akýkoľvek fraktál je založený na konkrétnom pravidle, ktoré sa neustále uplatňuje na neobmedzený počet krát. Každý sa nazýva iterácia.

Iteratívny algoritmus pre výstavbu Menger Sponge je celkom jednoduchý: Zdrojová kocka s bočnou stranou 1 je rozdelená rovnobežnými rovinami s jeho tvárami, na 27 rovnakých kockách. Jedna ústredná kocka a 6 susedných kocky sú z nej odstránené. Získa sa súbor pozostávajúci z 20 zostávajúcich menších kociek. Robil to isté s každou z týchto kocky, získame súbor, pozostávajúci už od 400 menších kociek. Pokračujúci tento proces nekonečne, dostaneme špongiu z mzdy.