Prevod čísel do rôznych číselných sústav s riešením. Číselné sústavy. Prenos z jedného systému do druhého

Základné pojmy číselných sústav

Číselný systém je súbor pravidiel a techník na písanie čísel pomocou súboru digitálnych znakov. Počet číslic potrebných na zaznamenanie čísla v systéme sa nazýva základ číselného systému. Základ systému je zapísaný správnymi číslami v dolnom indexe:; ; atď.

Existujú dva typy číselných systémov:

pozičné, keď je hodnota každej číslice čísla určená jej pozíciou v číselnom zázname;

nepozičné, kedy hodnota číslice v čísle nezávisí od jej miesta v číselnom zázname.

Príkladom nepozičnej číselnej sústavy je rímska: čísla IX, IV, XV atď. Príkladom pozičnej číselnej sústavy je desiatková sústava používaná na dennej báze.

Akékoľvek celé číslo v pozičnom systéme možno zapísať vo forme polynómu:

kde S je základ číselnej sústavy;

Číslice čísla zaznamenané v danej číselnej sústave;

n - počet číslic čísla.

Príklad. číslo sa zapíše vo forme polynómu takto:

Typy číselných sústav

Rímsky číselný systém je nepozičný systém. Na písanie čísel používa písmená latinskej abecedy. Navyše, písmeno I vždy znamená jeden, písmeno V je päť, X je desať, L je päťdesiat, C je sto, D je päťsto, M je tisíc atď. Napríklad číslo 264 je napísané ako CCLXIV. Pri písaní čísel v rímskom číselnom systéme je hodnota čísla algebraickým súčtom číslic, ktoré sú v ňom zahrnuté. V tomto prípade čísla v číselnom zázname nasledujú spravidla v zostupnom poradí ich hodnôt a nie je dovolené písať vedľa seba viac ako tri rovnaké čísla. V prípade, že za číslicou s veľkou hodnotou nasleduje číslica s menšou, jej príspevok k hodnote čísla ako celku je záporný. Typické príklady ilustrujúce všeobecné pravidlá pre písanie čísel v rímskej číselnej sústave sú uvedené v tabuľke.

Tabuľka 2. Zápis čísel v systéme rímskych číslic

		III
	Vii	VIII
	XIII	Xviii	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Nevýhodou rímskeho systému je nedostatok formálnych pravidiel na písanie čísel, a teda aj aritmetických operácií s viaccifernými číslami. Pre nepohodlie a veľkú zložitosť sa v súčasnosti systém rímskych číslic používa tam, kde je to naozaj vhodné: v literatúre (číslovanie kapitol), v papieroch (séria pasov, cenných papierov atď.), na ozdobné účely na číselníku hodinky a v mnohých iných prípadoch.

V súčasnosti je najznámejšia a najpoužívanejšia sústava desiatkových čísel. Vynález desiatkovej číselnej sústavy patrí k hlavným výdobytkom ľudského myslenia. Bez nej by moderná technológia sotva mohla existovať, nieto ešte vzniknúť. Dôvod, prečo sa systém desiatkových čísel stal všeobecne akceptovaným, nie je vôbec matematický. Ľudia sú zvyknutí počítať v desiatkovom zápise, pretože majú na rukách 10 prstov.

Staroveké zobrazenie desatinných číslic (obr. 1) nie je náhodné: každá číslica označuje číslo podľa počtu rohov v nej. Napríklad 0 - žiadne rohy, 1 - jeden roh, 2 - dva rohy atď. Výraznými zmenami prešlo písanie desatinných číslic. Forma, ktorú používame, vznikla v 16. storočí.

Desatinná sústava sa prvýkrát objavila v Indii okolo 6. storočia nášho letopočtu. Indické číslovanie používalo deväť číselných znakov a nulu na označenie prázdnej pozície. V raných indických rukopisoch, ktoré sa k nám dostali, boli čísla písané v opačnom poradí, pričom najvýznamnejšie číslo bolo vpravo. Ale čoskoro sa stalo pravidlom umiestniť takéto číslo na ľavú stranu. Mimoriadny význam sa prikladal nulovému znaku, ktorý bol zavedený pre systém pozičnej notácie. Indické číslovanie vrátane nuly prežilo do našej doby. V Európe sa hinduistické metódy desiatkovej aritmetiky rozšírili začiatkom 13. storočia. vďaka dielam talianskeho matematika Leonarda z Pisy (Fibonacciho). Európania si indický číselný systém požičali od Arabov a nazvali ho Arabom. Tento historicky nesprávny názov sa zachoval dodnes.

Desatinná sústava používa desať číslic – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9, ako aj symboly „+“ a „-“ na označenie znamienka čísla a čiarky alebo bodky. oddeliť celé a zlomkové časti.čísla.

Počítače používajú dvojkovú číselnú sústavu, jej základom je číslo 2. Na písanie čísel v tejto sústave sa používajú iba dve číslice – 0 a 1. Na rozdiel od zaužívanej mylnej predstavy, dvojkovú číselnú sústavu nevymysleli počítačoví dizajnéri, ale matematikmi a filozofmi dávno pred objavením sa počítačov, v sedemnástom a devätnástom storočí. Prvá publikovaná diskusia o binárnom číselnom systéme patrí španielskemu kňazovi Juanovi Caramuelovi Lobkowitzovi (1670). Všeobecnú pozornosť tomuto systému pritiahol článok nemeckého matematika Gottfrieda Wilhelma Leibniza z roku 1703. Vysvetľoval binárne operácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Leibniz neodporúčal používať tento systém na praktické výpočty, ale zdôraznil jeho význam pre teoretický výskum. Postupom času sa binárny číselný systém stal známym a rozvinutým.

Výber binárneho systému na použitie vo výpočtovej technike sa vysvetľuje skutočnosťou, že elektronické prvky - spúšťače, ktoré tvoria počítačový mikroobvod - môžu byť iba v dvoch prevádzkových stavoch.

Akékoľvek údaje a poznatky je možné zaznamenať pomocou systému binárneho kódovania. To je ľahké pochopiť, ak si pamätáte princíp kódovania a prenosu informácií pomocou Morseovej abecedy. Telegrafný operátor, ktorý používa iba dva symboly tejto abecedy - bodky a pomlčky, dokáže preniesť takmer akýkoľvek text.

Binárny systém je vhodný pre počítač, ale nepohodlný pre človeka: čísla sú dlhé a ťažko sa zapisujú a zapamätajú. Samozrejme, môžete previesť číslo do desiatkovej sústavy a zapísať ho v tomto tvare a potom, keď ho potrebujete preložiť späť, ale všetky tieto preklady sú časovo náročné. Preto sa používajú číselné sústavy podobné dvojkovej sústave – osmičkové a šestnástkové. Na písanie čísel v týchto systémoch je potrebných 8 a 16 číslic. V šestnástkovej sústave je bežných prvých 10 číslic a potom sa používajú veľké latinské písmená. Šestnástková číslica A zodpovedá desiatkovej 10, šestnástkovej sústave B - desiatkové 11 atď. Použitie týchto sústav sa vysvetľuje tým, že prechod k zápisu čísla v ktorejkoľvek z týchto sústav z jej binárneho zápisu je veľmi jednoduchý. Nižšie je uvedená tabuľka zhody medzi číslami zaznamenanými v rôznych systémoch.

Tabuľka 3. Korešpondencia čísel zapísaných v rôznych číselných sústavách

Desatinné	binárne	Osmičkový	Hexadecimálne
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Pravidlá pre preklad čísel z jednej číselnej sústavy do druhej

Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého je dôležitou súčasťou strojovej aritmetiky. Pozrime sa na základné pravidlá prekladu.

1. Na prevod binárneho čísla na desiatkové je potrebné zapísať ho v tvare polynómu pozostávajúceho zo súčinu číslic čísla a zodpovedajúcej mocniny čísla 2 a vypočítať ho podľa pravidiel desiatkovej sústavy. aritmetika:

Pri preklade je vhodné použiť tabuľku mocniny dvoch:

Tabuľka 4. Právomoci 2

n (stupeň)
											1024

Príklad. Preveďte číslo na desiatkový zápis.

2. Na prevod osmičkového čísla na desiatkové je potrebné zapísať ho v tvare polynómu pozostávajúceho zo súčinu číslic čísla a zodpovedajúcej mocniny čísla 8 a vypočítať ho podľa pravidiel desiatkovej sústavy. aritmetika:

Pri preklade je vhodné použiť tabuľku mocnin ôsmich:

Tabuľka 5. Právomoci 8

n (stupeň)

Pri štúdiu kódovania som si uvedomil, že dosť dobre nerozumiem číselným systémom. Napriek tomu často používal 2-, 8-, 10-, 16. systémy, prekladal jeden do druhého, ale všetko sa dialo „automaticky“. Po prečítaní mnohých publikácií som bol prekvapený, že chýba jediný, jednoduchým jazykom napísaný článok o takom základnom materiáli. Preto som sa rozhodol napísať svoj vlastný, v ktorom som sa snažil prístupným a prehľadným spôsobom vysvetliť základy číselných sústav.

Úvod

Notový zápis je spôsob zápisu (reprezentácie) čísel.

Čo to znamená? Napríklad pred sebou vidíte niekoľko stromov. Vašou úlohou je spočítať ich. Ak to chcete urobiť, môžete - ohnúť prsty, urobiť zárezy na kameni (jeden strom - jeden prst / zárez) alebo spojiť 10 stromov s predmetom, napríklad kameňom, a pre jednu kópiu - palicu a položiť ich na zemi ako rátate. V prvom prípade je číslo znázornené ako línia ohnutých prstov alebo zárezov, v druhom - zloženie kameňov a palíc, kde kamene sú vľavo a palice vpravo.

Číselné sústavy sa delia na pozičné a nepozičné a pozičné zasa na homogénne a zmiešané.

Nepozičné- najstarší, v ňom má každá číslica čísla hodnotu, ktorá nezávisí od jej pozície (ranku). To znamená, že ak máte 5 pomlčiek, potom je číslo tiež 5, pretože každá pomlčka, bez ohľadu na jej miesto v riadku, zodpovedá iba 1 jednému objektu.

Polohový systém- význam každej číslice závisí od jej pozície (číslice) v čísle. Napríklad nám známy 10. číselný systém je pozičný. Zoberme si číslo 453. Číslo 4 označuje počet stoviek a zodpovedá číslu 400, 5 - počet desiatok a je podobné hodnote 50 a 3 - jednotky a hodnota 3. Ako vidíte, čím väčšia číslica, tým vyššia hodnota. Konečné číslo môže byť vyjadrené ako súčet 400 + 50 + 3 = 453.

Homogénny systém- pre všetky číslice (pozície) čísla je množina povolených symbolov (čísel) rovnaká. Vezmime si ako príklad vyššie uvedený systém 10. Pri písaní čísla v jednotnej desiatej sústave môžete v každej číslici použiť iba jednu číslicu od 0 do 9, preto je povolené číslo 450 (1. číslica - 0, 2. - 5, 3. - 4) a 4F5 nie je, pretože znak F nie je súčasťou číslice od 0 do 9.

Zmiešaný systém- v každej číslici (pozícii) čísla sa sada platných znakov (číslic) môže líšiť od sady iných číslic. Pozoruhodným príkladom je systém merania času. V kategórii sekúnd a minút je možných 60 rôznych znakov (od "00" do "59"), v kategórii hodín - 24 rôznych znakov (od "00" do "23"), v kategórii dní - 365 atď.

Nepolohové sústavy

Len čo sa ľudia naučili počítať, vznikla potreba písať čísla. Na začiatku bolo všetko jednoduché - zárez alebo čiarka na nejakom povrchu zodpovedali jednému predmetu, napríklad jednému ovociu. Takto sa objavila prvá číselná sústava – jednotková.

Systém čísel jednotiek

Číslo v tejto číselnej sústave je reťazec pomlčiek (paličiek), ktorých počet sa rovná hodnote daného čísla. Úroda 100 datlí sa teda bude rovnať číslu pozostávajúcemu zo 100 čiarok.
Tento systém má ale zjavné nevýhody – čím väčšie číslo, tým dlhší je reťazec palíc. Navyše, pri písaní čísla sa môžete ľahko pomýliť tým, že omylom pridáte paličku navyše alebo naopak nepridáte.

Pre pohodlie ľudia začali zoskupovať palice po 3, 5, 10 kusoch. Zároveň každej skupine zodpovedal určitý znak alebo predmet. Spočiatku sa na počítanie používali prsty, takže prvé znaky sa objavili pri skupinách po 5 a 10 kusoch (jednotkách). To všetko umožnilo vytvoriť pohodlnejšie systémy na zaznamenávanie čísel.

Staroegyptská desatinná sústava

V starovekom Egypte sa na označenie čísel 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 používali špeciálne symboly (čísla). Tu sú niektoré z nich:

Prečo sa to nazýva desatinné? Ako bolo uvedené vyššie, ľudia začali zoskupovať postavy. V Egypte zvolili skupinu 10, pričom číslo „1“ ponechali nezmenené. V tomto prípade sa číslo 10 nazýva základ desiatkovej číselnej sústavy a každý znak je do určitej miery reprezentáciou čísla 10.

Čísla v staroegyptskom číselnom systéme boli napísané ako ich kombinácia
znaky, z ktorých každý sa opakuje najviac deväťkrát. Celková hodnota sa rovnala súčtu prvkov čísla. Stojí za zmienku, že tento spôsob získania hodnoty je vlastný každej nepozičnej číselnej sústave. Príkladom je číslo 345:

Babylonský šesťdesiatkový systém

Na rozdiel od egyptského sa v babylonskom systéme používali iba 2 symboly: „rovný“ klin – na označenie jednotiek a „ležiaci“ – pre desiatky. Na určenie hodnoty čísla je potrebné rozdeliť obrázok čísla na číslice sprava doľava. Nový výboj začína objavením sa rovného klinu po ležiacom. Vezmime si ako príklad číslo 32:

Číslo 60 a všetky jeho stupne sú tiež označené rovným klinom ako „1“. Preto sa babylonský číselný systém nazýval šesťdesiatkový.
Všetky čísla od 1 do 59 zaznamenali Babylončania v desiatkovej nepozičnej sústave a veľké hodnoty - v pozičnej sústave so základom 60. Číslo 92:

Zaznamenanie čísla bolo nejednoznačné, pretože neexistovala žiadna číslica označujúca nulu. Zastúpenie čísla 92 by mohlo znamenať nielen 92 = 60 + 32, ale napríklad aj 3632 = 3600 + 32. Na určenie absolútnej hodnoty čísla bol zavedený špeciálny znak na označenie chýbajúcej šesťdesiatkovej číslice, ktorá zodpovedá výskytu číslice 0 v desiatkovom zápise:

Teraz by sa číslo 3632 malo zapísať takto:

Babylonský šesťdesiatkový systém bol prvým číselným systémom založeným čiastočne na pozičnom princípe. Tento systém číslovania sa dnes používa napríklad pri určovaní času – hodina pozostáva zo 60 minút a minúta zo 60 sekúnd.

rímsky systém

Rímsky systém sa veľmi nelíši od egyptského. Používa veľké písmená I, V, X, L, C, D a M na znázornenie čísel 1, 5, 10, 50, 100, 500 a 1000. Číslo v rímskej číselnej sústave je množina po sebe idúcich čísel.

Metódy na určenie hodnoty čísla:

1. Hodnota čísla sa rovná súčtu hodnôt jeho číslic. Napríklad číslo 32 v rímskej číselnej sústave je XXXII = (X + X + X) + (I + I) = 30 + 2 = 32
2. Ak je naľavo od väčšej číslice menšia číslica, potom sa hodnota rovná rozdielu medzi väčšími a menšími číslicami. V tomto prípade môže byť ľavá číslica menšia ako pravá najviac o jeden rád: takže pred L (50) a C (100) z „dolných“ číslic môže stáť iba X (10), pred D (500) a M (1000) - iba C (100), pred V (5) - iba I (1); číslo 444 sa v uvažovanej číselnej sústave zapíše ako CDXLIV = (D-C) + (L-X) + (V-I) = 400 + 40 + 4 = 444.
3. Hodnota sa rovná súčtu hodnôt skupín a čísel, ktoré sa nezmestia pod 1 a 2 body.

Okrem číselných existujú aj abecedné (abecedné) číselné sústavy, tu sú niektoré z nich:
1) slovanský
2) gréčtina (iónsky jazyk)

Pozičné číselné sústavy

Ako už bolo spomenuté vyššie, prvé predpoklady pre vznik pozičného systému vznikli v starovekom Babylone. V Indii mal systém podobu pozičného desiatkového číslovania pomocou nuly a od Indov si tento systém čísel požičali Arabi, od ktorých si ho osvojili Európania. Z nejakého dôvodu sa v Európe na tento systém prilepil názov „arab“.

Desatinná číselná sústava

Toto je jeden z najbežnejších číselných systémov. To je to, čo používame, keď pomenujeme cenu produktu a vyslovíme číslo autobusu. V každej číslici (pozícii) je možné použiť iba jednu číslicu v rozsahu od 0 do 9. Základom systému je číslo 10.

Zoberme si napríklad číslo 503. Ak by bolo toto číslo zapísané v nepozičnej sústave, potom by jeho hodnota bola 5 + 0 + 3 = 8. Máme ale pozičnú sústavu a preto treba každú číslicu čísla vynásobiť základom systému, v tomto prípade číslo „10“ umocnené na mocninu rovnajúcu sa číslu bitov. Ukazuje sa, že hodnota je 5 * 10 2 + 0 * 10 1 + 3 * 10 0 = 500 + 0 + 3 = 503. Aby nedošlo k zámene pri práci s viacerými číselnými sústavami súčasne, základ je špecifikovaný ako dolný index. Takže 503 = 503 10.

Okrem desiatkovej sústavy si osobitnú pozornosť zaslúži 2., 8., 16. sústava.

Binárny číselný systém

Tento systém sa používa hlavne vo výpočtovej technike. Prečo nepoužili desiatku, na ktorú sme zvyknutí? Prvý počítací stroj vytvoril Blaise Pascal, ktorý v ňom použil desiatkovú sústavu, čo sa ukázalo ako nepohodlné v moderných elektronických strojoch, keďže bolo potrebné vyrábať zariadenia schopné prevádzky v 10 štátoch, čo zvýšilo ich cenu a výslednú veľkosť stroja. Prvky pracujúce v 2. systéme sú zbavené týchto nedostatkov. Napriek tomu bol predmetný systém vytvorený dávno pred vynálezom počítačov a je „zakorenený“ v civilizácii Inkov, kde používali kipu – zložité laná a uzly.

Binárny pozičný číselný systém má základ 2 a na zápis čísla používa 2 znaky (číslice): 0 a 1. V každej číslici je povolená iba jedna číslica – buď 0 alebo 1.

Príkladom je číslo 101. Je analogické s číslom 5 v desiatkovej sústave. Na prevod z 2. na 10. je potrebné vynásobiť každú číslicu binárneho čísla základom „2“ umocneným na mocninu rovnajúcej sa číslici. Teda číslo 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10.

No, pre stroje je 2. číselná sústava pohodlnejšia, ale často vidíme, že na počítačoch sa používajú čísla v 10. sústave. Ako potom stroj určí, ktoré číslo používateľ zadá? Ako preloží číslo z jednej sústavy do druhej, veď má k dispozícii len 2 znaky - 0 a 1?

Aby mohol počítač pracovať s binárnymi číslami (kódmi), musia byť niekde uložené. Na uloženie každej jednotlivej číslice sa používa spúšťač, ktorým je elektronický obvod. Môže byť v 2 stavoch, z ktorých jeden zodpovedá nule, druhý jednému. Na zapamätanie samostatného čísla sa používa register - skupina spúšťačov, ktorých počet zodpovedá počtu číslic v binárnom čísle. A súbor registrov je pamäť s náhodným prístupom. Číslo obsiahnuté v registri je strojové slovo. Aritmetické a logické operácie so slovami vykonáva aritmetická logická jednotka (ALU). Pre zjednodušenie prístupu k registrom sú očíslované. Číslo sa nazýva adresa registra. Napríklad, ak potrebujete pridať 2 čísla, stačí uviesť čísla buniek (registrov), v ktorých sa nachádzajú, a nie samotné čísla. Adresy sa píšu v osmičkových a šestnástkových sústavách (budú popísané nižšie), pretože prechod z nich do dvojkovej sústavy a naopak je pomerne jednoduchý. Na prenos z 2. na 8. číslo je potrebné rozdeliť ho na skupiny po 3 číslice sprava doľava a prejsť na 16. - až 4. Ak v skupine číslic úplne vľavo nie je dostatok číslic, potom sú vyplnené zľavami nulami, ktoré sa nazývajú vodiace. Zoberme si číslo 101100 2 ako príklad. V osmičke je to 101 100 = 54 8 a v šestnástkovej sústave je to 0010 1100 = 2C 16. Skvelé, ale prečo na obrazovke vidíme desatinné čísla a písmená? Keď stlačíte kláves, do počítača sa prenesie určitá sekvencia elektrických impulzov, pričom každý symbol zodpovedá svojej vlastnej sekvencii elektrických impulzov (nuly a jednotky). Program ovládača klávesnice a obrazovky sa pozrie na tabuľku kódov znakov (napríklad Unicode, ktorá dokáže zakódovať 65536 znakov), určí, ktorému znaku zodpovedá výsledný kód, a zobrazí ho na obrazovke. Texty a čísla sú teda uložené v pamäti počítača v binárnom kóde a sú programovo prevedené na obrázky na obrazovke.

Osmičková číselná sústava

8. číselná sústava, podobne ako binárna, sa často používa v digitálnej technike. Je to základ 8 a na vyjadrenie čísla používa číslice 0 až 7.

Príklad osmičkového čísla: 254. Na prevod do 10. sústavy je potrebné každú číslicu pôvodného čísla vynásobiť 8 n, kde n je číslicové číslo. Ukazuje sa, že 254 8 = 2 * 8 2 + 5 * 8 1 + 4 * 8 0 = 128 + 40 + 4 = 172 10.

Hexadecimálna číselná sústava

Hexadecimálny systém je široko používaný v moderných počítačoch, napríklad označuje farbu: #FFFFFF - biela. Uvažovaný systém má základ 16 a používa čísla na zápis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, kde sú písmená 10, 11, 12, 13, 14, 15 v tomto poradí.

Vezmime si ako príklad číslo 4F5 16. Ak chcete previesť na osmičkovú sústavu - najprv prevedieme šestnástkové číslo na binárne a potom, keď ho rozdelíme na skupiny po 3 číslice, na osmičkové. Ak chcete previesť číslo na 2, každá číslica musí byť reprezentovaná ako 4-bitové binárne číslo. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ale v skupinách 1 a 3 nie je miesto, takže každú vyplníme vodiacimi nulami: 0100 1111 0101. Teraz musíte výsledné číslo rozdeliť na skupiny 3 číslic sprava doľava: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Preložme každú binárnu skupinu do osmičkovej sústavy, pričom každý bit vynásobíme 2 n, kde n je číslo bitu: (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = 2365 8.

Okrem uvažovaných pozičných číselných systémov existujú aj iné, napríklad:
1) Trojica
2) Kvartér
3) Duodecimálne

Polohové systémy sa delia na homogénne a zmiešané.

Homogénne pozičné číselné sústavy

Definícia uvedená na začiatku článku úplne úplne popisuje homogénne systémy, takže nie je potrebné ich objasňovať.

Zmiešané číselné sústavy

K už uvedenej definícii môžeme pridať nasledujúcu vetu: „ak P = Q n (P, Q, n sú kladné celé čísla, kým P a Q sú základy), potom reprezentácia ľubovoľného čísla v zmiešanom (PQ) - číselná sústava sa identicky zhoduje so zápisom rovnakého čísla do základu Q."

Na základe vety môžeme formulovať pravidlá pre prechod z P-tého do Q-tého systému a naopak:

1. Na prechod z Q-tej do P-tej je potrebné rozdeliť číslo v Q-tej sústave do skupín po n číslic, počnúc pravou číslicou a každú skupinu nahradiť jednou číslicou v P-tej sústave.
2. Na prevod z P-tej do Q-tej je potrebné preložiť každú číslicu čísla v P-tej sústave do Q-tej a chýbajúce číslice doplniť vodiacimi nulami okrem ľavej tak, aby číslo v systéme so základom Q pozostáva z n číslic ...

Pozoruhodným príkladom je preklad z dvojky do osmičky. Zoberme si binárne číslo 10011110 2, aby sme ho preložili do osmičky, rozdelíme ho sprava doľava na skupiny po 3 číslice: 010 011 110, teraz vynásobíme každú číslicu 2 n, kde n je číslice, 010 011 110 = (0 * 2 2 +1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) = 236 8. Ukazuje sa, že 10011110 2 = 236 8. Aby bol obraz dvojkovo-osmičkového čísla jednoznačný, delí sa na trojice: 236 8 = (10 011 110) 2-8.

Zmiešané číselné systémy sú tiež napríklad:
1) Faktorový
2) Fibonacciho

Preklad z jedného číselného systému do druhého

Niekedy je potrebné previesť číslo z jedného číselného systému do druhého, preto zvážime spôsoby prekladu medzi rôznymi systémami.

Prevod na desatinné číslo

V základe b je číslo a 1 a 2 a 3. Pre prechod do 10. sústavy je potrebné vynásobiť každú číslicu čísla b n, kde n je číslo číslice. Takže (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.

Príklad: 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10

Prevod z desatinného čísla na iné

Celá časť:

1. Postupne delíme celú časť desatinného čísla základom sústavy, do ktorej prekladáme, až kým sa desatinné číslo nestane nulou.
2. Zvyšky získané delením sú číslice požadovaného čísla. Číslo v novom systéme sa zaznamenáva počnúc posledným zvyškom.

zlomková časť:

1. Zlomková časť desatinného čísla sa vynásobí základom systému, do ktorého chcete preložiť. Oddelíme celú časť. Pokračujeme v násobení zlomkovej časti základom nového systému, kým sa nerovná 0.
2. Čísla v novom systéme tvoria celé časti výsledkov násobenia v poradí zodpovedajúcom ich prijatiu.

Príklad: preveďte 15 10 na osmičkové:
15 \ 8 = 1, zvyšok 7
1 \ 8 = 0, zvyšok 1

Zapísaním všetkých zvyškov zdola nahor dostaneme konečné číslo 17. Preto 15 10 = 17 8.

Prevod z dvojkovej sústavy na osmičkovú a hexadecimálnu

Ak chcete previesť na osmičkové číslo, rozdelíme binárne číslo na skupiny po 3 číslice sprava doľava a chýbajúce krajné číslice doplníme nulami. Ďalej transformujeme každú skupinu postupným násobením číslic 2 n, kde n je číslo bitu.

Ako príklad si vezmite číslo 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = ( 0 + 0 + 1) (0 + 0 + 1) = 11 8

Pri prevode do šestnástkovej sústavy rozdelíme binárne číslo na skupiny po 4 číslice sprava doľava a potom - podobne ako pri prevode z 2. na 8. číslo.

Konvertovať z osmičkových a šestnástkových sústav na binárne

Konverzia z osmičkového čísla na binárne - preveďte každú číslicu osmičkového čísla na binárne 3-bitové číslo delením číslom 2 (podrobnosti o delení nájdete v odseku „Prevod z desiatkovej na iné“ vyššie), doplňte chýbajúce krajné číslice s vodiacimi nulami.

Uvažujme napríklad číslo 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Prevod zo 16. na 2. - každý bit hexadecimálneho čísla prevedieme na binárne 4-bitové číslo delením 2, chýbajúce krajné číslice doplníme nulami na začiatku.

Preveďte zlomkovú časť ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú

Prepočet sa vykonáva rovnakým spôsobom ako pre celé časti, s výnimkou toho, že číslice čísla sa vynásobia základom na mocninu „-n“, kde n začína 1.

Príklad: 101 011 2 = (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 -1 + 1 * 2 -2 + 1 * 2 -3) = (5), (0 + 0 , 25 + 0,125) = 5,375 10

Preveďte zlomkovú časť dvojkovej sústavy na 8. a 16

Preklad zlomkovej časti sa vykonáva rovnakým spôsobom ako pri celých častiach čísla, s jedinou výnimkou, že rozdelenie do skupín po 3 a 4 číslic ide vpravo od desatinnej čiarky, chýbajúce číslice sa dopĺňajú s nulami vpravo.

Príklad: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) = (0 + 0 + 1) (0 + 0 + 1), (0 + 2 + 0) = 11,2 8

Preveďte zlomkovú časť desiatkovej sústavy na akúkoľvek inú

Ak chcete preložiť zlomkovú časť čísla do iných číselných systémov, musíte otočiť celú časť na nulu a začať násobiť výsledné číslo základom systému, do ktorého chcete preložiť. Ak sa v dôsledku násobenia znova objavia celé časti, musia sa obrátiť na nulu, pričom si predtým zapamätali (zapísali) hodnotu výslednej časti celého čísla. Operácia končí, keď zlomková časť úplne zmizne.

Napríklad skonvertujme 10,625 10 na binárne:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapísaním všetkých zvyškov zhora nadol dostaneme 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2

Metodický komentár k lekcii

Ciele učiteľa: Ukázať žiakom metódy integrácie poznatkov z rôznych zdrojov, vytvárať podmienky pre produktívnu prácu v skupinách.

Cieľ študentov: Oboznámiť sa s históriou vzniku číselných sústav, osvojiť si princípy budovania rôznych číselných sústav a oblasti ich použitia, získať potrebné zručnosti tímovej práce s rôznymi zdrojmi informácií.

Na hodine matematiky v 5. ročníku mali žiaci pri vypĺňaní zadania súvisiacej s rozkladom mnohociferných čísel otázky: „Prečo počítame po desiatkach? Prečo to nemôžete počítať inak? Existujú aj iné spôsoby počítania?" Učiteľ bol požiadaný, aby našiel odpovede na tieto otázky hľadaním, analýzou a zhrnutím informácií na túto tému počas týždňa, pričom pracoval v malých skupinách vytvorených zo študentov triedy podľa vlastného uváženia. Výsledky tejto práce by mali byť formalizované a prezentované na hodine matematiky o týždeň. Na konci hodiny bola trieda rozdelená do nasledujúcich tvorivých skupín:

• Číselné sústavy (všeobecné pojmy) - 5 osôb
• Binárny systém - 7 ľudí (táto otázka vzbudila najväčší záujem)
• Hexagezimálny systém - 5 osôb
• Desatinná sústava - 5 osôb
• Ostatné číselné sústavy – 3 osoby
• Ich prenos z jedného systému do druhého - 5 osôb.

Výsledkom vyhľadávacích aktivít študentov bola táto lekcia:

„Čísla nevládnu svetu, ale ukazujú, ako sa svet riadi“

(A-In Goethe)

Skupiny študentov prezentovali výsledky rešeršnej a analytickej práce.

I - Všeobecné pojmy

Číselný systém je súbor techník na označovanie čísel - jazyk, ktorého abecedou sú symboly (čísla) a syntax je pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne formulovať číslo.

Číslo je nejaká abstraktná entita na popis množstva

Číslica je znak používaný na písanie čísel. Čísla sú rôzne, najčastejšie sú arabské číslice; menej bežné rímske číslice (možno ich vidieť na ciferníku hodiniek alebo v označení storočia)

Základ je počet číslic použitých v číselnej sústave.

Príklady čísel v rôznych číselných sústavách:

11001 2 - číslo v binárnom zápise

221 3 - číslo v trojčlennej číselnej sústave

31 8 - číslo v osmičkovom zápise

25 10 - číslo v desiatkovom zápise

V starých knihách o počtení sa okrem 4 počtových operácií spomína aj piata - číslovanie. Číslovanie (mŕtve počítanie) bolo jedným z prvých problémov, ktoré sa vyskytli pri konštrukcii aritmetiky.

Existuje mnoho spôsobov, ako písať čísla pomocou čísel. Tieto metódy možno rozdeliť do troch skupín:

• pozičné číselné sústavy
• zmiešané číselné sústavy
• nepozičné číselné sústavy

Bankovky sú príkladom zmiešanej číselnej sústavy. Teraz sa v Rusku používajú mince a bankovky nasledujúcich nominálnych hodnôt: 1 kop., 5 kop., 10 kop., 50 kop., 1 RUB., 2 RUB., 5 RUB., 10 RUB., 50 RUB., 100 RUB., 500 RUB., 1000 RUB., 1000 RUB. 5000 RUB. Ak chcete získať určitú sumu v rubľoch, musíte použiť určité množstvo bankoviek rôznych nominálnych hodnôt. Predpokladajme, že si kúpime vysávač, ktorý stojí 6379 rubľov. Na zaplatenie nákupu budete potrebovať 6 bankoviek po 1 000 rubľov, 3 bankovky po 100 rubľov, 1 bankovku v hodnote 50 rubľov, dve desiatky, jednu päťrubľu a dve mince po 2 ruble. Ak si zapíšeme počet bankoviek a mincí, počnúc 100 rubľmi a končiac jednou kopejkou, pričom chýbajúce nominálne hodnoty nahradíme nulami, dostaneme číslo zastúpené v zmiešanom číselnom systéme: v našom prípade - 603121200000.

V nepozičných číselných sústavách hodnota čísla nezávisí od polohy číslic v číselnom zázname. Ak by sme zmiešali čísla v čísle 603121200000, potom by sme nevedeli pochopiť, koľko stojí vysávač; v nepozičnom systéme je možné čísla preusporiadať bez zmeny množstva. Príkladom nepozičného systému je rímsky systém. Takéto systémy sú postavené na princípe aditivity (anglicky add. - sum). Kvantitatívny ekvivalent čísla je definovaný ako súčet číslic. Napríklad:

V pozičných číselných sústavách je vždy dôležité poradie číslic v číselnom zázname. (25 a 52 sú rôzne čísla)

Každý číselný systém určený na praktické použitie musí poskytovať:

• schopnosť reprezentovať číslo v danom rozsahu čísel
• jednoznačná prezentácia
• stručnosť a jednoduchosť nahrávania
• jednoduchosť ovládania systému, ako aj jednoduchosť a pohodlie pri jeho ovládaní

II - Binárna číselná sústava

Binárna číselná sústava je pozičná číselná sústava so základom 2. V tejto číselnej sústave sa prirodzené čísla zapisujú pomocou dvoch znakov: 1 a 0. Číslo v dvojkovej sústave je bit. Osem číslic je bajt.

Binárny číselný systém vymysleli matematici a filozofi už v 17.-19. storočí. Významný matematik Leibniz povedal: „Výpočet pomocou dvoch... je základom vedy a vedie k novým objavom... Keď sa čísla zredukujú na najjednoduchšie princípy, ktorými sú 0 a 1, všade sa objaví úžasný poriadok“ . Neskôr sa na binárnu sústavu zabudlo a až v rokoch 1936-1938 americký inžinier a matematik Claude Shannon našiel úžasné uplatnenie dvojkovej sústavy pri navrhovaní elektronických obvodov.

Binárny systém sa používa v digitálnych zariadeniach, pretože je najjednoduchší.

Výhody binárneho systému:

• Čím menej hodnôt existuje v systéme, tým jednoduchšie je vyrábať jednotlivé prvky pracujúce s týmito hodnotami. Dve čísla sú ľahko reprezentované fyzikálnymi javmi: existuje prúd - neexistuje prúd; indukcia magnetického poľa je väčšia ako prahová hodnota alebo nie, atď.
• Čím menší počet stavov prvok má, tým vyššia je odolnosť voči šumu a tým rýchlejšie môže fungovať.
• Binárna aritmetika je celkom jednoduchá.
• Na vykonávanie bitových operácií je možné použiť logický aparát

Ak chcete previesť z binárneho na desiatkové, použite tabuľku mocniny 2.

III - Hexagezimálna číselná sústava

V modernej dobe sa šesťdesiatková číselná sústava používa na meranie času, uhlov.

V znázornení času sa používajú tri pozície: hodiny, minúty, sekundy, keďže pre každú pozíciu musíte použiť 60 číslic a my máme len 10, potom sa pre každú šesťdesiatkovú pozíciu používajú dve desatinné číslice (00, 01, . ..), pozície sú oddelené dvojbodkou. h: m: s.

Zvážte akcie v šesťdesiatkovej sústave na dva problémy:

1. Koláč je potrebné piecť v rúre 45 minút. Koľko sekúnd to bude trvať?
2. Potrebujete upiecť 10 koláčov. Ako dlho to trvá?

Na výpočty v šesťdesiatkovej sústave potrebujete poznať tabuľky sčítania a násobenia šesťdesiatkových čísel. Každá tabuľka je veľmi veľká, má veľkosť 60 x 60, sotva sme si zapamätali zvyčajnú tabuľku násobenia a bude pre nás ešte ťažšie naučiť sa tabuľku šesťdesiatych rokov. Ako byť? Tieto problémy môžete vyriešiť v desiatkovej sústave a potom výsledok preložiť do šesťdesiatkovej sústavy.

45 minút = 0 * 3 600 + 45 * 60 + 0 = 2 700 sekúnd

2700 * 10 = 27 000 sekúnd upečenie 10 koláčov.

27000/60 = 450 (zvyšok 0)

450/60 = 7 (zvyšok 30)

7/60 = 0 (zvyšok 7) Ukázalo sa 07:30:00

IV - Desatinná číselná sústava

Reprezentácia čísel pomocou arabských číslic je najbežnejším pozičným číselným systémom, nazýva sa „desiatkový číselný systém“. Nazýva sa desiatkové, pretože používa desať číslic: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Desatinná číselná sústava je najznámejším úspechom indickej matematiky (595). Systém základne 10 prenikol karavánovými cestami z Indie do mnohých oblastí Blízkeho východu. Postupne sa tento systém začal čoraz viac používať v arabskom svete, hoci súčasne zostali v prevádzke aj iné systémy. „Kniha počítadla“ od Leonarda z Pisy (1202) bola jedným zo zdrojov preniknutia indoarabského číslovania do západnej Európy. Táto kniha bola na tú dobu kolosálnym dielom, v tlačenej podobe mala 460 strán. Jeho autor je známy aj pod menom Fibonacci. Jeho kniha predstavovala matematickú encyklopédiu svojej doby. Desatinná sústava sa v Európe rozšírila a uznala až v období renesancie.

V - Iné číselné sústavy

Hexadecimálna číselná sústava - na písanie čísel sa používajú znaky: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.

Binárno-desiatková číselná sústava. V takomto systéme je každá desatinná číslica zakódovaná špecifickou kombináciou číslic v dvojkovej sústave. Označenie každej desatinnej číslice sa nazýva zápisník. Príklad:

125 10 = 000100100101 2-10 (3 tetrády)

0000=1 0100=4 1000=8

0001=1 0101=5 1001=9

Päťnásobný číselný systém - Prví matematici dokázali počítať iba na prstoch jednej ruky a ak bolo predmetov viac, hovorili: „päť + jeden“ atď. Niekedy sa za základ bralo číslo 20 – počet prstov na rukách a nohách. Z 307 číselných sústav primitívnych amerických národov bolo 146 desiatkových, 106 päťnásobných a desiatkových. V charakteristickejšej forme existoval systém základov 20 medzi Maymi v Mexiku a Keltmi v Európe.

VI - Prevod z jedného systému do druhého

Súvisia číselné sústavy? Je možné preniesť číslo z jedného systému do druhého? Pre prechod z jedného systému do druhého platia dve základné pravidlá:

Prevod z akejkoľvek inej na desiatkovú sústavu sa vykonáva podľa vzorcov:

11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10

221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10

31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10

25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10

Prevod čísla z desiatkovej sústavy na sústavu s akýmkoľvek základom sa vykonáva podľa algoritmu:

Previesť 25 10 na binárne

25/2 = 12 (zvyšok 1)

12/2 = 6 (zvyšok 0)

6/2 = 3 (zvyšok 0)

3/2 = 1 (zvyšok 1)

1/2 = 0 (zvyšok 1) Dostal číslo 11001 2

25 10 previesť na ternárne číslo

25/3 = 8 (zvyšok 1)

8/3 = 2 (zvyšok 2)

2/3 = 0 (zvyšok 2) Prijaté 221 3

Preveďte 25 10 na osmičkové číslo

25/8 = 3 (zvyšok 1)

3/8 = 0 (zvyšok 3) Prijaté 31 8

Po prezentovaní výsledkov práce tvorivých skupín boli všetky číselné sústavy vyhodnotené podľa kritérií uvedených na začiatku a všetci dospeli k záveru, že v dôsledku historického vývoja matematiky je najvhodnejšia sústava (desatinná) sa stal najrozšírenejším. Zároveň existovali horliví zástancovia binárneho systému, ktorí verili, že je pre elektroniku veľmi dôležitý.

Lekcia bola dokončená syncwine.

Číselná sústava – pohodlná, rýchla, pomáha, počíta, zapisuje

„Počítanie a počítanie je základom poriadku v hlave“ (I. Pestalozzi)

Zdroje informácií

1. D.Ya Stroyk "Stručný náčrt histórie matematiky" ("Veda", Moskva, 1990).
2. N. Ya. Vilenkin, L.P. Šibasov, Z.F. Shibasov „Za stránkami učebnice matematiky“ („Osvietenie“, Moskva, 2008).
3. A.V. Dorofeeva „Stránky histórie v hodinách matematiky“ („Osvietenie“, Moskva, 2007).
4. Internetové zdroje „Wikipedia“.

Číselný systém nazval súbor techník na pomenovanie a písanie čísel. V akomkoľvek číselnom systéme sú niektoré symboly vybrané tak, aby reprezentovali čísla (nazývajú sa postavy) a ostatné čísla sa získajú ako výsledok akýchkoľvek operácií s číslicami daného číselného systému.

Systém je tzv pozičné, ak sa hodnota každej číslice (jej váha) mení v závislosti od jej polohy (polohy) v poradí číslic reprezentujúcich číslo.

Počet jednotiek ľubovoľnej kategórie spojený do jednotky najvyššej kategórie sa nazýva základný pozičný číselný systém... Ak je počet takýchto číslic P, potom sa zavolá číselná sústava P-ichi. Základ číselnej sústavy je rovnaký ako počet číslic používaných na písanie čísel v tejto číselnej sústave.

Zápis ľubovoľného čísla X v P-árna pozičná číselná sústava je založená na zobrazení tohto čísla vo forme polynómu

x = a n P n + a n -1 P n -1 + ... + a 1 P 1 + a 0 P 0 + a -1 P -1 + ... + a -m P -m

Aritmetické operácie s číslami v ľubovoľnej pozičnej číselnej sústave sa vykonávajú podľa rovnakých pravidiel ako v desiatkovej sústave, pretože všetky sú založené na pravidlách vykonávania akcií na zodpovedajúcich polynómoch. V tomto prípade musíte použiť iba tie tabuľky sčítania a násobenia, ktoré zodpovedajú tomuto základu Pčíselný systém.

Pri prevode čísel z desatinných na radixové P> 1 zvyčajne používa nasledujúci algoritmus:

1) ak sa preloží celá časť čísla, potom sa vydelí P, po ktorom sa pamätá zvyšok delenia. Výsledný kvocient sa opäť rozdelí na P, zvyšok sa zapamätá. Postup pokračuje, kým sa podiel nerovná nule. Zostáva z delenia podľa P vyložené v opačnom poradí, ako boli prijaté;

2) ak sa zlomková časť čísla preloží, potom sa vynásobí P, po ktorom sa celá časť zapamätá a zahodí. Novo získaná zlomková časť sa vynásobí P atď. Postup pokračuje, kým sa zlomková časť nerovná nule. Celé časti sa píšu za desatinnou čiarkou v poradí, v akom boli prijaté. Výsledkom môže byť buď konečný alebo periodický zlomok v základnej notácii P... Preto, keď je zlomok periodický, je potrebné násobenie v niektorom kroku prerušiť a uspokojiť sa s približným záznamom pôvodného čísla v sústave so základom P .

Kódovanie čísel

Ak chcete použiť čísla, musíte ich nejako pomenovať a napísať, potrebujete systém číslovania. Rôzne systémy na počítanie a písanie čísel existovali po tisícročia a navzájom si konkurovali, ale na konci „predpočítačovej éry“ začalo číslo „desať“ hrať osobitnú úlohu pri počítaní a najobľúbenejší systém kódovania sa ukázal byť pozičná desiatková sústava. V tomto systéme význam číslice v čísle závisí od jej miesta (pozície) vo vnútri čísla. Systém desiatkových čísel prišiel z Indie (najneskôr v 6. storočí nášho letopočtu). Abeceda tohto systému: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - iba 10 číslic, teda základ číselnej sústavy je 10. Číslo sa zapisuje ako kombinácia jednotky, desiatky, stovky, tisíce atď. Príklad: 1998 = 8 * 10 0 + 9 * 10 1 + 9 * 10 2 + 1 * 10 3.

V tomto systéme je 10 číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ale informácia je prenášaná nielen číslicou, ale aj miestom, na ktorom číslica stojí ( teda jeho polohu). Najpravejšia číslica čísla ukazuje počet jednotiek, druhá sprava - počet desiatok, ďalšia - počet stoviek atď.

333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Všimnite si, že výber čísla 10 ako základu číselnej sústavy sa vysvetľuje tradíciou, a nie niektorými pozoruhodnými vlastnosťami čísla 10. Vo všeobecnosti platí, že reprezentácia čísla N v p-árnej číselnej sústave, toto je:

N = a n * p n + a n-l * p n-l + ... + a l * p l + a o, kde a ¹ 0, a i Î {0, 1, 2, ..., a i }.

Napríklad v Babylone sa používal 60-ročný číselný systém, abeceda obsahovala čísla od 1 do 59, neexistovalo číslo 0, násobilky boli veľmi ťažkopádne, takže sa na to veľmi skoro zabudlo, ale ozveny jeho niekdajšej rozšírenosti možno pozorovať aj teraz - delenie hodiny 60 minút, delenie kruhu o 360 stupňov.

Binárny číselný systém

Binárny číselný systém vynašli matematici a filozofi ešte pred príchodom počítačov (XVII - XIX storočia). Významný matematik Leibniz povedal: „Výpočet pomocou dvojíc... je pre vedu základom a vedie k novým objavom... Keď sa čísla zredukujú na najjednoduchšie princípy, ktorými sú 0 a 1, všade sa objaví úžasný poriadok. " Neskôr sa na binárnu sústavu zabudlo a až v rokoch 1936 - 1938 našiel americký inžinier a matematik Claude Shannon pozoruhodné aplikácie dvojkovej sústavy pri návrhu elektronických obvodov. Zvážte príklad reprezentácie čísla v binárnom číselnom systéme:

Príklad 2.1.1. Preveďme číslo 2000 do dvojkovej sústavy.

1. Vydeľte 2000 na základe nového číselného systému - 2:

2000: 2 = 1000 (0 - zvyšok),

2. Zozbierajte posledný podiel delenia (vždy rovný 1) a zvyšky z delenia a zapíšte ich v poradí, začínajúc zdola:

2000 10 ==11111010000 2

Aby sme to skontrolovali, preložíme výsledné číslo do systému desiatkových čísel, a to:

1. Vyberme dvojkové číslice čísla, teda mocniny čísla 2, začínajúc od 0:

2. Napíšme súčet súčinov 0 a 1 príslušnou mocninou čísla 2 (pozri znázornenie čísla v p-árovej číselnej sústave):

0 * 2 0 + 0 * 2 1 + 0 * 2 2 + 0 * 2 3 + l * 2 4 + 0 * 2 5 + l * 2 6 + l * 2 7 + l * 2 8 + l * 2 9 + l * 210 = 16 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2000

Existujú číselné sústavy, ktoré sú podobné binárnym. Pri práci s počítačmi sa niekedy musíte zaoberať binárnymi číslami, pretože binárne čísla sú zabudované do konštrukcie počítača. Binárny systém je vhodný pre počítač, ale nepohodlný pre človeka - príliš dlhé čísla sú nepohodlné na písanie a zapamätanie. Na pomoc prichádzajú číselné sústavy, podobné binárnym - osmičkovým a šestnástkovým.

Napríklad v šestnástkovej sústave je na písanie číslic určených 10 arabských číslic a písmen latinskej abecedy (A, B, C, D, E, F). Na zápis čísla v tejto číselnej sústave je vhodné použiť binárnu reprezentáciu čísla. Zoberme si napríklad rovnaké číslo - 2000 alebo 11111010000 v binárnom kóde. Rozložme si to na štyri číslice, pohybujúce sa sprava doľava, do poslednej štvorky vľavo pridáme nevýznamnú 0, aby počet číslic v trojiciach bol štyri: 0111 1101 0000. Začnime s prekladom - číslo 0111 v dvojkovej sústave zodpovedá číslu 7 v desiatkovej sústave (7 10 = 1 * 2 0 + 1 * 2 1 + 1 * 2 2), v šestnástkovej sústave je číslo 7; číslo 1101 v dvojkovej sústave zodpovedá číslu 13 v desiatkovej sústave (13 = 1 * 2 0 + 0 * 2 1 + 1 * 2 2 + 1 * 2 3), v šestnástkovej sústave toto číslo zodpovedá číslici D, a nakoniec číslo 0000 - v ľubovoľnej číselnej sústave 0. Teraz zapíšeme výsledok:

11111010000 2 = 7D0 16.

DVOJA ÔSME ČÍSELNÉ SYSTÉMY

Aj keď je systém desiatkových čísel najpoužívanejší, neznamená to, že je najlepší. Jeho rozšírené rozšírenie je do značnej miery spôsobené anatomickými okolnosťami, že na rukách a nohách máme desať prstov. Pokiaľ ide o pozičný princíp a číselné označenia, dajú sa rovnako dobre prispôsobiť číselnej sústave s akýmkoľvek základom, bez ohľadu na to, či sa rovná 2, 10 alebo akémukoľvek inému kladnému číslu okrem jednej. Napríklad nahradenie 7 X 2 + 6X 1 + 5X 0 + 4X –1 + 3X–2 namiesto X hodnota 10, dostaneme 765,43 v našej bežnej desiatkovej sústave. Ale bez najmenšieho poškodenia pozičného princípu označovania celých čísel a zlomkov namiesto X môže byť nahradené akékoľvek iné kladné celé číslo. Namiesto čísla 10 sa ako základ číselnej sústavy navrhovalo častejšie ako iné používať čísla 8 a 12. Systémy vyplývajúce z takýchto substitúcií sú známe ako osmičkové a duodecimálne. Osmičková namiesto premennej X v polynómovej reprezentácii by sa malo nahradiť 8 a potom číslo rovnajúce sa 765,43 v desiatkovej sústave, v osmičkovej sústave sa bude rovnať (8 2) + 6 (8 1) + 5 (8 0) + 4 (8 -1) + 3 ( 8 –2), tj číslo. V duodecimálnej sústave rovnaké polynómové znázornenie pre X= 12 dáva (12 2) + 6 (12 1) + 5 (12 0) + 4 (12 –1) + 3 (12 –2), alebo v našom bežnom zápise. Čo sa týka výpočtov, tie sú vo všetkých troch číselných sústavách, desiatkovej, osmičkovej a dvanásťmiestnej, vykonávané takmer rovnako a s rovnakou ľahkosťou. Rozdiel je najmä v sčítacích a násobiacich tabuľkách, keďže sa menia z jednej číselnej sústavy na druhú. Napríklad sedem plus sedem sa rovná osem plus šesť v osmičke, desať plus štyri v desiatkovej sústave a dvanásť plus dva v dvanástich. Symbolicky možno tieto sumy a diela zapísať takto:

Vidíme, že prechod z desiatkovej na osmičkovú alebo dvanásťdesiatkovú skutočne vyžaduje úplné prepracovanie tabuliek sčítania a násobenia; to vysvetľuje, prečo návrhy na prechod na tieto číselné systémy neboli široko prijaté. Výhody tohto prechodu sú kompenzované ťažkosťami, ktoré s tým súvisia. Hlavné výhody osmičkových a dvanástich číselných sústav súvisia s deliteľnosťou ich základov. Ak vezmeme do úvahy iba celé čísla menšie ako polovica základu (keďže žiadne číslo nemôže byť deliteľom základu, ak je toto číslo väčšie ako polovica základu, ale menšie ako on), je ľahké pochopiť, že číslo 10 má dvoch nedeliteľov. - čísla 3 a 4, pričom v osmičkovej sústave je jediným nedeliteľom menším ako polovica základu číslo 3 a v dvanásťdesiatkovej sústave je jediným nedeliteľom základu číslo 5. Inými slovami , výhodou čísla 12 ako základu číselnej sústavy je, že má deliteľov čísiel 2, 3, 4 a 6, kým 10 má deliteľov 2 a 5. 8 má ako deliteľa len 2 a 4, ale jeho hlavnou výhodou oproti iným je, že kontinuálne rozdeľovanie na polovicu vždy vedie k „jednomiestnemu“ zlomkovému vyjadreniu v polynomickej forme. Napríklad, ak je 8 delené 2 10, výsledok bude presne (0,004) 8, zatiaľ čo ak je 12 delené 2 10, potom dostanete (približne) (0,0183) 12, a ak vydelíte 2 10 z číslo 10, výsledok je (aj približný) bude (0,0097656) 10.

Reprezentácia čísel a príkazov v počítači(INFlesson5.doc).

Myšlienka vyjadriť čísla v desiatich znakoch a dať im okrem významu vo forme aj význam na mieste je taká jednoduchá, že práve pre túto jednoduchosť je ťažké pochopiť, aké úžasné je. Aké ťažké je prísť k tejto metóde, vidíme na príklade najväčších géniov gréckej učenosti Archimeda a Apolónia, ktorým táto myšlienka zostala skrytá.

Pierre Simon Laplace

Pri štúdiu spôsobov reprezentácie číselných informácií je potrebné zoznámiť sa s pravidlami prekladania jednej reprezentácie čísla do inej, pokúsiť sa pochopiť, prečo musí byť rovnaké číslo v rôznych situáciách reprezentované inak. Špeciálna časť teórie čísel „Číselné sústavy“ sa zaoberá metódami reprezentácie čísel.

Zaviedol sa ďalší dôležitý koncept – číselný systém. Prečo je to potrebné? Čo je to vôbec? Číselné sústavy sú systémy vytvorené človekom. Takéto systémy sú tzv umelé Na rozdiel od prirodzené systémy vytvorené prírodou. Medzi prírodné (prírodné) systémy patria galaxie, naša slnečná sústava, človek ako celok a pod. Medzi umelé systémy patria mestá, továrne, vzdelávací systém, národné jazyky, teda všetko, čo tvoria ľudia.

Umelé systémy možno rozdeliť na

materiál: autá, lietadlá, domy, mestá, priehrady atď.;

verejnosti , teda rôzne združenia ľudí: parlament, verejné školstvo, šachový klub atď.;

informatívne: národné jazyky, počítačová sieť Internet, číselné sústavy a pod.

Každý umelý systém je vytvorený so špecifickým účelom. Dá sa tvrdiť, že najlepší je umelý systém, ktorý najlepšie zabezpečí dosiahnutie cieľa jeho vytvorenia.

Cieľom vytvorenia číselnej sústavy je vyvinúť najpohodlnejší spôsob zápisu čísel. Číselný systém umožňuje zobrazenie v kompaktnej forme kvantitatívne informácie o objektoch a manipulovať s nimi pomocou pomerne jednoduchých pravidiel.

Prvých deväť prirodzených čísel označujeme špeciálnymi znakmi:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Urobte to isté so všetkými číslami, s ktorými sa v praxi stretnete, t.j. bolo by nepohodlné označiť všetky čísla špeciálnymi znakmi. Aj keby sa naše potreby obmedzili na počítanie do tisícky, bolo by potrebné zapamätať si tisíc špeciálnych znakov. Prirodzene, po dlhú dobu si ľudia začali vyberať jeden alebo druhý rad „kľúčov“, základných čísel a označovali ich iba špeciálnymi znakmi.

Číselné sústavy sú geniálnym vynálezom ľudstva. Aby som uviedol, že dnes je v prirodzenom jazyku dvetisícsedem, musím použiť 16 znakov (bez medzier). Pomocou jazyka čísel môžete zobraziť to isté so štyrmi znakmi. Ukazuje sa, že čísla predstavujú kódy zodpovedajúcich slov, čo potvrdzuje aj skutočnosť, že číslo roku, písané slovami a číslami, čítame rovnako. Čísla v rôznych prirodzených jazykoch sa vyslovujú odlišne a ich zápis a pravidlá na vykonávanie aritmetických operácií sú rovnaké.

Pojem čísla je základom matematiky aj informatiky. Ak sa však v matematike venuje najväčšia pozornosť metódam spracovania čísel, potom pre informatiku nie je možné ignorovať metódy reprezentácie čísel, pretože práve ony určujú potrebné pamäťové zdroje, rýchlosť a chybu výpočtov.

1. Notový zápis- toto je spôsob zobrazenia čísel a zodpovedajúcich pravidiel pre akcie s číslami.

Rôzne číselné systémy, ktoré existovali predtým a ktoré sa používajú v našej dobe, možno rozdeliť na nepozičné a pozičné.

1.1 Nepozičné číselné sústavy.

Starovekí Egypťania používali nepozičné číselné sústavy,

Gréci, Rimania a niektoré ďalšie národy staroveku. V nepozičných číselných sústavách hodnota, ktorú (znamienko) označuje, nezávisí od polohy znamienka v číselnom zápise.

Prišiel k nám systém rímskych číslic (rímske číslice), ktorý sa v niektorých prípadoch stále používa pri číslovaní (storočie, zväzok, kapitola knihy). V rímskom systéme sa latinské písmená používajú ako čísla:

1 5 10 50 100 500 1000

Napríklad číslo CCXXXII je súčet dvesto, troch desiatok a dvoch jednotiek a rovná sa dvesto tridsaťdva.

V rímskych čísliciach sa čísla píšu zľava doprava v zostupnom poradí. V tomto prípade sa ich hodnoty sčítajú. Ak je menšie číslo napísané vľavo a väčšie číslo vpravo, ich hodnoty sa odpočítajú.

VI = 5 + 1 = 6 a IV = 5 - 1 = 4.

MCMXCVII = 1000 + (- 100 + 1000) + (- 10 + 100) + 5 + 1 + 1 = 1997.

Nepozičné číselné sústavy boli viac-menej vhodné na vykonávanie sčítania a odčítania, ale vôbec nie na násobenie a delenie.

1.2 Systémy pozičných čísel (PSS).

Systémy pozičných čísel sú vhodné v tom, že umožňujú písať ľubovoľne veľké čísla pomocou malého počtu číslic. Pomerne jednoduché algoritmy na vykonávanie aritmetických operácií s číslami sú dôležitou výhodou pozičných číselných systémov.

V pozičných číselných sústavách hodnota označená číslicou v číselnom zápise závisí od jej polohy.

Počet použitých číslic je tzv základ PSS.

Číselný systém používaný v modernej matematike je pozičný desiatkový systém. Jeho základom je desať, pretože všetky čísla sa píšu pomocou desiatich číslic:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Mnohí z nás si tieto ikony, známe z detstva, spájajú s pojmom „číslo“. Ako čísla však môžeme použiť ľubovoľné ikony. A čísla nemusia byť desať.

Hoci sa desatinná sústava zvyčajne nazýva arabská, vznikla v Indii, v 5. storočí. V Európe sa o tomto systéme dozvedeli v XII. storočí z arabských vedeckých pojednaní, ktoré boli preložené do latinčiny. To vysvetľuje názov „arabské číslice“.

Polohový typ desiatkovej sústavy je ľahko pochopiteľný pre akékoľvek viacmiestne číslo. Napríklad v čísle 333 prvá číslica znamená tristo, druhá - tri desiatky, tretia - tri jednotky. Rovnaké číslo v závislosti od pozície v číselnom zápise označuje rôzne hodnoty.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

Akékoľvek desatinné číslo môže byť vyjadrené ako súčet súčinov jeho jednotlivých číslic zodpovedajúcimi mocninami desiatok. To isté platí pre desatinné zlomky.

26, 387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3 .

To vám umožňuje previesť čísla so základom, ktorý sa nerovná 10, na desiatkové znázornenie.

Na realizáciu takéhoto prekladu je potrebné zapísať pôvodné číslo ako súčet súčinov číslic čísla zodpovedajúcimi stupňami základu a vypočítať hodnotu výsledného číselného výrazu podľa pravidiel desatinnej čiarky. aritmetika.

1 432,32 5 → A 10.

432,32 5 = 4*5 2 + 3*5 1 + 2*5 0 + 3*5 -1 + 2*5 -2 = 100 + 15 + 2 + + =

2.DF, 4A 16 → A 10

DF, 4A 16 = 13 * 16 1 + 15 * 16 0 + 4 * 16 -1 + A * 16 -2 = 208 + 15 +

Číslo desať nie je jediným možným základom pre pozičný systém. Slávny ruský matematik NN Luzin to vyjadril takto: "Výhody desiatkovej sústavy nie sú matematické, ale zoologické. Keby sme nemali desať prstov, ale osem, ľudstvo by používalo osmičkovú sústavu."

Zápis čísel v polohovej sústave s radixom n (n- označenie základne MSS) musí mať abeceda od nčíslic. Zvyčajne na to, s n ≤ 10 použitie n prvé arabské číslice a pre n> 10 K desiatim arabským číslicam sa pridávajú latinské písmená.

Tu sú príklady abecedy niekoľkých systémov:

Základ systému, do ktorého číslo patrí, je označený dolným indexom tohto čísla.

1011001 2, 3671 8, 3B8F 16.

1.3 Konverzia desiatkových čísel na MSS so základom, ktorý sa nerovná 10.

1.3.1 Preklad celých čísel.

Základ novej číselnej sústavy je vyjadrený v desiatkovej sústave

čísla a všetky následné činnosti by sa mali vykonávať v systéme desatinných čísel;

Postupne vykonajte delenie daného čísla a výsledných neúplných podielov na základe novej číselnej sústavy, až kým nedostaneme neúplný podiel menší ako deliteľ;

Výsledné zvyšky, ktorými sú číslice čísla v novom číselnom systéme, by sa mali zosúladiť s abecedou nového číselného systému;

Zostrojte číslo v novej číselnej sústave, zapíšte si ho, počnúc posledným kvocientom.

1.3.2 Preklad zlomkových čísel.

Vyjadrite základ novej číselnej sústavy v desiatkovej sústave a vykonajte všetky nasledujúce činnosti v desiatkovej sústave;

Postupne násobte dané číslo a výsledné zlomkové časti súčinu na základe novej číselnej sústavy, kým sa zlomková časť súčinu nerovná nule alebo kým sa nedosiahne požadovaná presnosť reprezentácie čísel v novej číselnej sústave;

Výsledné celé časti produktov, ktoré sú číslicami čísla v novej číselnej sústave, zosúladia s abecedou novej číselnej sústavy;

Zostavte zlomkovú časť čísla v novej číselnej sústave, počnúc celou časťou prvého súčinu.

Príklady prekladu konkrétnych desatinných čísel sú uvedené v prílohe 1.

Príloha 1.

© stránka 2015-2019
Všetky práva patria ich autorom. Táto stránka si nenárokuje autorstvo, ale poskytuje bezplatné používanie.
Dátum vytvorenia stránky: 2016-02-16