Итак, последовательные переходы от одного сопряженного базиса к другому производят до тех пор, пока не получат решение задачи или не установят ее неразрешимость. Каждый переход от одного псевдоплана к другому составляет одну итерацию (один шаг) .
Каждая итерация содержит два этапа. На первом этапе выясняют, не является ли псевдоплан оптимальным планом прямой задачи, и если нет, то разрешима ли задача. Для этого необходимо вычислить и установить их знаки. Второй этап состоит в осуществлении элементарного преобразования - (одной итерации) метода полного исключения Жордана-Гауса, приводящего к новому псевдоплану с меньшим значением целевой функции.
Описание алгоритма
. Задача ЛП должна быть задана в канонической
форме (1.1), (1.2) или сведена к ней. Отыскивают сопряженный
базис
двойственной задачи
и обозначают его 
. Разложим А 0
по векторам базиса А і1 ,.,А іm
в соответствии с (1.9) и найдем псевдоплан 
прямой задачи.
Исследуем знаки {х i0 } . Если имеет место случай , то начальный псевдоплан является оптимальным планом прямой задачи. При наличии отрицательных компонент {х i0 } вычисляем коэффициенты разложения векторов A j по векторами сопряженного базиса {х ij } в соответствии с (1.8).
Если для некоторого r такого, что х r0 <0 , все то задача не разрешима (второй случай), и на этом процесс вычислений заканчивается.
Если имеет место третий случай (то есть для каждого r такого, что х r0 <0 , по крайней мере одна из компонент х rj <0 ), то переходим к второму этапу. С этой целью составляют таблицу k -й итерации (аналогичную симплекс-таблице ), которая состоит (m+2) строк и (n+1) -го столбца (табл. 6.1).
Столбец В x таблицы, как обычно, содержит векторы {A i } базиса псевдоплана хk , а столбец А 0 - базисные компоненти псевдоплана {х i0 (k)} . Строка (m+1) -индексная, ее заполняют параметрами , являющимися оценками векторов А j :
величина - значение целевой функции при псевдоплане
Итерацию k завершают заполнением главной части таблицы (от первой до (m+1) -й строк).
| C | C 1 | C 2 | . | C j | . | C n | ||
| B x | A 0 | A 1 | A 2 | . | A j | . | A n | |
| C 1 | X 1 | X 10 | X 11 | X 12 | . | X 1j | . | X 1n |
| C 2 | X 2 | X 20 | X 21 | X 22 | . | X 2j | . | X 2n |
| . | . | . | . | . | . | . | . | . |
| C i | X i | X i0 | X i1 | X i2 | . | X ij | . | X in |
| . | . | . | . | . | . | . | . | . |
| C m | X m | X m0 | X m1 | X m2 | . | X mj | . | X mn |
| . | . | |||||||
| . | . |
На первом этапе (k+1) -и итерации выясняют, имеет ли место первый, второй или третий случай.
В третьем случае переходим ко второму этапу. Сначала определяют вектор А r , который необходимо вывести из базиса. Его индекс r определяют из условия
В строке заполняют лишь те позиции, для которых x rj <0 . Вектор А l , который должен быть введен в базис, находят из условия
Определив направляющую строку r и столбец l , вычисляют элементы главной части таблицы (k+1) -й итерации по рекуррентным соотношениям
 |
(1.15) |
Где x ri - направляющий элемент преобразования.
Вычислительная схема алгоритма двойственного симплекс-метода похожа на вычислительную схему симплекс-метода . Аналогичны и формы таблиц.
Различие между методами заключается в том, что при симплекс -методе производят последовательный переход от одного допустимого базисного решения (опорного плана) задачи к другому, а при двойственном симплеск-методе - переход от одного псевдоплана к другому.
Формальное различие между вычислительными схемами этих методов проявляется только в правилах перехода от одного базиса к другому, а также в признаках оптимальности и неразрешимости задачи. В симплекс -методе сначала определяют вектор, вводимый в базис, а затем - вектор,исключаемый из базиса, а в двойственном симплекс-методе этот порядок - обратный.
Отметим некоторые важные свойства двойственного симплекс-метода .
В отличие от прямого
11.4. ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД
Из результатов предыдущих пунктов следует, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двойственной и, используя оценки ее оптимального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.
Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмотреть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным базисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках –двойственная.
Как было показано, при решении прямой задачи на любой итерации разность , т.е. величина -коэффициента при переменной , равна разности между правой и левой частями соответствующего ограничения двойственной задачи. Если при решении прямой задачи с максимизируемой целевой функцией итерация не приводит к оптимальному решению, то по крайней мере для одной переменной и только в оптимуме для всех разность .
Рассматривая это условие с учетом двойственности, можно записать
.
Таким образом, если
,
то .
Это означает, что, когда решение прямой задачи неоптимальное, решение
двойственной задачи недопустимое. С другой стороны
при
.
Отсюда следует, что оптимальному решению прямой задачи соответствует допустимое
решение двойственной задачи.
Это позволило разработать новый метод решения задач линейного программирования, при использовании которого сначала получается недопустимое, но «лучшее, чем оптимальное» решение (в обычном симплекс-методе сначала находится допустимое , но неоптимальное решение). Новый метод, получивший название двойственного симплекс-метода , обеспечивает выполнение условия оптимальности решения и систематическое «приближение» его к области допустимых решений. Когда полученное решение оказывается допустимым, итерационный процесс вычислений заканчивается, так как это решение является и оптимальным.
Двойственный симплекс-метод позволяет решать задачи линейного программирования, системы ограничений которых при положительном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограничений, а также размера симплексной таблицы. Рассмотрим применение двойственного симплекс-метода на примере.
Пример
. Найти минимум
функции 
при ограничениях
.
Перейдем к канонической форме:
при ограничениях
Начальная симплекс-таблица имеет вид
|
Базисные переменные |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
Решение |
|
x 3 x 4 x 5 |
–3 –4 |
–1 –3 |
–3 –6 |
|||
|
–2 |
–1 |
Начальное базисное решение оптимальное, но не допустимое.
Как и обычный симплексный метод, рассматриваемый метод решения основан на использовании условий допустимости и оптимальности.
Условие допустимости . В качестве исключаемой переменной выбирается наибольшая по абсолютной величине отрицательная базисная переменная (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если все базисные переменные неотрицательные, процесс вычислений заканчивается, так как полученное решение допустимое и оптимальное.
Условие оптимальности . Включаемая в базис переменная выбирается из числа небазисных переменных следующим образом. Вычисляются отношения коэффициентов левой части -уравнения к соответствующим коэффициентам уравнения, ассоциированного с исключаемой переменной. Отношения с положительным или нулевым значением знаменателя не учитываются. В задаче минимизации вводимой переменной должно соответствовать наименьшее из указанных отношений, а в задаче максимизации – отношение, наименьшее по абсолютной величине (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если знаменатели всех отношений равны нулю или положительные, задача не имеет допустимых решений.
После выбора включаемой в базис и исключаемой переменных для получения следующего решения осуществляется обычная операция преобразования строк симплекс-таблицы.
В рассматриваемом примере исключаемой переменной является . Отношения, вычисленные для определения новой базисной переменной, приведены в следующей таблице:
|
Переменные |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
|
Уравнение x 4 -уравнение |
–2 –4 |
–1 –3 |
|||
|
Отношение |
В качестве включаемой переменной выбирается x 2 . Последующее преобразование строк приводит к новой симплекс-таблице:
|
Базисные переменные |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
Решение |
|
x 3 x 2 x 5 |
–1 –1 |
|||||
Новое решение также оптимальное, но все еще недопустимое. В качестве новой исключаемой переменной выберем (произвольно) x 3 . Определим включаемую переменную.
|
Переменные |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
|
Уравнение x 4 -уравнение |
|||||
|
отношение |
Cтраница 1
Двойственный симплекс-метод меняет только порядок нахождения разрешающего элемента, поэтому все особенности (несовместность системы, неограниченность функционала) имеют здесь те же признаки, что и в обычном симплекс-методе. Разберем только преодоление вырождения, так как оно вызывается нулем среди коэффициентов z - строки, а не среди свободных членов.
Двойственный симплекс-метод начинает с двойственно допустимого решения и сохраняет его двойственно допустимым на протяжении всех шагов. Двойственный симплекс-метод реализуется посредством таких же таблиц, что и прямой симплекс-метод. Сначала определяется, какая переменная должна быть выведена из базиса, а затем - какая должна быть введена в базис. Двойственный симплекс-метод для задачи минимизации состоит из следующих шагов.
Двойственный симплекс-метод, как и симплекс-метод, используется при нахождении решения задачи линейного программирования, записанной в форме основной задачи, для которой среди векторов Р /, составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений, имеется т единичных.
Двойственным симплекс-методом с применением модифицированных исключений удобно решать задачи целочисленного программирования (см. гл.
Двойственным симплекс-методом он получен не тремя шагами, а двумя.
Используя двойственный симплекс-метод, находят решение задачи, получающейся в результате присоединения дополнительного ограничения.
Используя двойственный симплекс-метод, находят решение задачи, получающейся из задачи (32) - (34) в результате присоединения дополнительного ограничения.
Существует еще двойственный симплекс-метод, который предназначен для решения задач с большим числом ограничений или задач, в которых число ограничений возрастает. Кроме того, существуют методы, решающие задачи с изменяющимися параметрами, когда не обязательно прибавляются только строки или только столбцы.
Применение двойственного симплекс-метода к задаче линейного программирования может натолкнуться на сложности, если задача вырождена. Геометрически это означает, что одинаковые значения целевой функции достигаются более чем в одной вершине двойственного многогранника условий.
Использование двойственного симплекс-метода для решения задачи линейного программирования эквивалентно использованию обычного симплексного метода для решения соответствующей двойственной задачп.
Воспользуемся стандартным двойственным симплекс-методом для решения задачи максимизации и получим искомую систему оптимальных цен.
В двойственном симплекс-методе решение задачи выполняется в такой последовательности: сначала добиваются неотрицательности коэффициентов z - строки, а затем-неотрицательности, свободных членов. Требуется обосновать для такого порядка правило выбора разрешающего элемента.
Если используется двойственный симплекс-метод, то нам надо, имея двойственное допустимое у, получить неравенство, которому текущее у не удовлетворяет. Таким образом, вычисления состоят из двух частей. Вторая часть - вспомогательные вычисления (порожденных) неравенств, используемых в первой части. Если воспользоваться текущим Y в графе Н (G, т), у), можно найти кратчайший путь от 0 до g0 длины yt Yo - Тогда неравенство yt То не выполняется. Это неравенство-добавляется к неравенствам первой части. Неравенство необходимо видоизменить, прежде чем записать его в конец двойственной симплексной таблицы.
Если вы уже разобрались с графическим методом решения задач линейного программирования, самое время переходить к симплекс-методу . В отличие от первого, он практически не имеет ограничений на задачу (любое количество переменных, разные знаки и т.п.) и модифицируется в зависимости от типа задачи (например, М-метод или метод искусственного базиса).
При решении задачи симплекс методом вычисления обычно ведутся (для компактности и наглядности) в таблицах (табличный симплекс-метод), причем последняя таблица с оптимальным решением содержит важную дополнительную информацию: решение двойственной задачи, остатки ресурсов, сведения о дефицитных ресурсах и т.п., которая позволяет провести экономический анализ задачи линейного программирования (см. ниже пример 3).
Примеры решений задач симплекс-методом выложены бесплатно для вашего удобства — изучайте, ищите похожие, решайте. Если вам нужна помощь в выполнении подобных заданий, перейдите в раздел: решение линейного программирования на заказ.
Решение задач симплекс-методом: примеры онлайн
Задача 1. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров — А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В — 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В — 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В — 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?
Составление математической модели и решение ЗЛП симплекс-методом (pdf, 33 Кб)
Задача 2.
Решить задачу линейного программирования симплекс-методом. 
Решение симплекс-методом с искусственным базисом (pdf, 45 Кб)
Задача 3. Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.
- Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли?
- Определить статус каждого вида сырья и его удельную ценность.
- Определить максимальный интервал изменения запасов каждого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т.е. номенклатура выпуска, не изменится.
- Определить количество выпускаемой продукции и прибыль от выпуска при увеличении запаса одного из дефицитных видов сырья до максимально возможной (в пределах данной номенклатуры выпуска) величины.
- Определить интервалы изменения прибыли от единицы продукции каждого вида, при которых полученный оптимальный план не изменится.
Решение задачи линейного программирования с экономическим анализом (pdf, 163 Кб)
Задача 4.
Решить задачу линейного программирования симплексным методом: 
Решение табличным симплекс-методом с поиском опорного плана (pdf, 44 Кб)
Задача 5.
Решить задачу линейного программирования симплекс-методом: 
Решение табличным симплекс-методом (pdf, 47 Кб)
Задача 6.
Решить задачу симплекс-методом, рассматривая в качестве начального опорного плана, план, приведенный в условии:
Решение ручным симплекс-методом (pdf, 60 Кб)
Задача 7.
Решить задачу модифицированным симплекс-методом.
Для производства двух видов изделий А и Б используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А оборудование первого типа используется а1=4 часов, оборудование второго типа а2=8 часов, а оборудование третьего типа а3=9 часов. На производство единицы изделия Б оборудование первого типа используется б1=7 часов, оборудование второго типа б2=3 часов, а оборудование третьего типа б3=5 часов.
На изготовление этих изделий оборудование первого типа может работать не более чем t1=49 часов, оборудование второго типа не более чем t2=51 часов, оборудование третьего типа не более чем t3=45 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет АЛЬФА=6 рублей, а изделия Б – БЕТТА=5 рублей.
Составить план производства изделий А и Б, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
Решение модифицированным симплекс-методом (pdf, 67 Кб)
Задача 8.
Найти оптимальное решение двойственным симплекс-методом
Решение двойственным симплекс-методом (pdf, 43 Кб)
Примеры решений задач по линейному программированию
Методы решения задачи линейного программирования
Опорные решения задачи линейного программирования
Пусть дана задача линейного программирования в канонической форме записи
при условиях
Будем обозначать через множество решений системы (2) – (3). Предположим, что , где – ранг матрицы , – количество уравнений в системе (2).
Из системы векторов-столбцов матрицы выберем некоторую линейно независимую подсистему из векторов . Она существует, так как . Эта система образует базис в . Обозначим через , . Назовем множеством базисных значений индекса , – базиснойподматрицей матрицы . Координаты вектора будем называть базисными , если , и небазисными в противном случае.
Запишем систему (2) в виде . Разобьем слагаемые левой части на базисные и небазисные, то есть
Определим частное решение этой системы следующим образом. Положим в (4) все небазисные переменные равными нулю . Тогда система (4) примет вид
Назовем (5) базисной подсистемой системы уравнений (2). Обозначим через вектор, составленный из базисных координат вектора . Тогда систему (2) можно переписать в векторно-матричном виде
Так как подматрица является базисной, она
невырождена. Поэтому система (6) имеет единственное решение . Полученное таким образом частное решение системы (2) назовем опорным решением прямой задачи линейного программирования, соответствующим базису . (Иногда опорное решение также называют базисным ). Как видим, базису соответствует единственное опорное решение. Очевидно, что число опорных решений конечно.
Для данного базиса определим также и опорное решение двойственной задачи линейного программирования. Напомним, что задача двойственная к канонической имеет вид
при условиях
Запишем систему (8) в виде
Напомним, что множество решений системы (8) обозначается через .
Определим вектор двойственных переменных из условия выполнения базисных ограничений в системе (9) как равенств. Получим следующую систему линейных уравнений:
Обозначим через вектор, составленный из ба-
зисных координат вектора . Тогда систему (10) можно переписать в векторно-матричном виде
Система (11) также имеет единственное решение .
Назовем его опорным (базисным ) решением двойственной задачи линейного программирования, соответствующим базису . Это опорное решение также определяется однозначно.
Итак, любому базису соответствуют два вектора – два опорных решения и прямой и двойственной задач линейного программирования, соответственно.
Определим далее следующие разновидности базисов и опорных решений. Если все координаты опорного решения неотрицательны, то базис, которому соответствует это опорное решение, называется допустимым опорным планом прямой задачи линейного программирования, а соответствующее тому же базису опорное решение называется псевдопланом двойственной задачи. Фактически для допустимости базиса достаточно неотрицательности базисных координат . Заметим, что опорный план является допустимым вектором прямой задачи линейного программирования ().
Если опорное решение удовлетворяет всем ограничениям (9) двойственной задачи, то базис, которому соответствует это опорное решение, называется двойственно допустимым . В этом случае вектор называется опорным планом двойственной задачи линейного программирования, а соответствующее тому же базису опорное реше-
ние называется псевдопланом прямой задачи.
Для двойственной допустимости базиса достаточно выполнения только небазисных неравенств . Заметим, что опорный план является допустимым вектором двойственной задачи линейного программирования ().
Разности левых и правых частей неравенств (9) обозначим через , . Тогда двойственную допустимость базиса можно устанавливать, проверяя неотрицательность всех . Заметим, что, как следует непосредственно из определения, все базисные невязки равны нулю ().
Пример решения прямой и двойственной задачи симплекс методом
Поэтому достаточно убедиться в выполнении неравенств для всех .
Теорема 1. Пусть и – опорные решения задачи линейного программирования, соответствующие некоторому базису , тогда имеет место равенство .
Доказательство . Из определений опорных решений легко получить равенства
откуда и следует справедливость теоремы.
Теорема 2. (Критерий оптимальности опор-ных решений) Если базис одновременно допустим и двойственно допустим, то соответствующие ему опорные решения и являются решениями, соответственно, прямой и двойственной задач линейного программирования.
Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из теории двойственности в линейном программировании и теоремы 1.
Теорема 3. Допустимое решение задачи (1) – (3) является опорным планом задачи тогда и только тогда, когда оно является вершиной выпуклого многогранного множества .
Доказательство. Пусть – опорный план задачи (1) – (3). Докажем, что – вершина множества . По определению опорный план – допустимое опорное решение, соответствующее некоторому базису , то есть – решениесистемы линейных уравнений относительно переменных
Легко увидеть, что эта система имеет единственное решение. Значит, несущая плоскость грани, содержащей точку , имеет размерность 0. Следовательно, – вершина множества .
Обратно. Пусть – вершина множества . Докажем, что – опорный план задачи (1) – (3). Так как – вершина, то она является гранью множества , размерность которой равна нулю. Следовательно, у вектора найдется не менее нулевых компонент, множество номеров которых обозначим . Таким образом, – единственное решение системы
где . Поэтому осталось доказать, что система векторов линейно независима. Предположим противное. Тогда существуют числа не все равные нулю, такие что . Поэтому
Это означает, что система (12) имеет решение, отличное от , что противоречит единственности ее решения. Таким образом, – базис, а вектор – соответствующий ему опорный план задачи (1) – (3). Что и требовалось.
Заметим, что допустимое решение задачи (7), (8) (двойственной задаче (1) – (3)) также является опорным планом тогда и только тогда, когда оно является вершиной допустимого множества .
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 695 | Нарушение авторского права страницы
Studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2018 год.(0.005 с)…
Для определенности считаем, что решается задача на отыскание минимума.
1. Задачу линейного программирования привести к каноническому виду.
После введения добавочных переменных систему уравнений и линейную функцию записываем в виде, который называется расширенной системой:
Предполагаем, что все добавочные переменные имеют тот же знак, что и свободные члены; в противном случае используем так называемый М – метод, который будет рассмотрен ниже.
2. Определить базисные и свободные переменные.
3. Исходную расширенную систему заносим в первую симплекс – таблицу. Последняя строка таблицы, в которой приведено уравнение для линейной функции цели, называется оценочной . В ней указываются коэффициенты функции цели . В левом столбце таблицы записываем основные переменные (базис), в последующих – коэффициенты при свободных переменных. В предпоследнем столбце – свободные члены расширенной системы . Последний столбец подготовлен для оценочных отношений, необходимых для определения базисной переменной на основании соотношения (6.29).
4. Определить возможность решения задачи по значениям согласно теоремам 6.7,…, 6.9.
5. Выбрать разрешающий (опорный) элемент .
Решение производственной задачи табличным симплекс-методом
Если критерий оптимальности не выполнен (не выполнены условия теоремы 6.7 или 6.8), то наибольший по модулю отрицательный коэффициент в последней строке определяет разрешающий (опорный) столбец 
.
Составляем оценочные отношения каждой строки по следующим правилам:
1 0) , если все и имеют разные знаки;
2 0) , если все и ;
3 0) , если ;
4 0) 0, если и ;
5 0) , если и имеют одинаковые знаки.
Определим . Если конечного минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума (). Если минимум конечен, то выбираем строку q , на которой он достигается (любую, если их несколько), и называем ее разрешающей (опорной) строкой. На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий (опорный) элемент .
6 0) Переход к следующей таблице по правилам:
а) в левом столбце записываем новый базис: вместо основной переменной – переменную , т.е. поменяем местами переменные и ;
б) на место опорного элемента поставить 1;
в) на остальных местах опорной строки в новой таблице оставить элементы исходной таблицы;
г) на остальные места в опорном столбце поставить соответствующие элементы исходной таблицы, умноженные на –1;
д) на оставшиеся свободные места элементов , , в новой таблице записать числа , , , которые находятся следующим образом:
Для упрощения вычислений по этим формулам их можно сформулировать в виде «правила прямоугольника» (рис. 6.8): элементы на диагоналях прямоугольника с вершинами (или , , , , или , , , ) перемножаются (произведение, не содержащее опорного элемента , берется со знаком минус) и полученные произведения складываются;
е) все полученные элементы новой таблицы разделить на опорный элемент .
7 0) По значению элемента определить, найдено ли оптимальное значение целевой функции. В случае отрицательного ответа продолжить решение (возврат к пункту 6).
Рис. 6.8. Правило прямоугольника для определения чисел:
а − , б − , в − .
Рассмотрен алгоритм преобразования симплекс – таблиц для невырожденных допустимых базисных решений, т.е. выполнялась ситуация, описанная теоремой 6.9. Если исходная задача линейного программирования является вырожденной, то в ходе ее решения симплекс – методом могут появиться и вырожденные базисные решения. При этом возможны холостые шаги симплекс – метода, т.е. итерации, на которых f (x) не изменяется. Возможно так же и зацикливание, т.е. бесконечная последовательность холостых шагов. Для его предотвращения разработаны специальные алгоритмы – антициклины. Однако в подавляющем большинстве случаев холостые шаги сменяются шагами с убыванием целевой функции и процесс решения завершается в результате конечного числа итераций.
Пример 6.8. Решить задачу, приведенную в примере 6.7, симплекс методом.
⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 174 | Нарушение авторского права страницы
Studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2018 год.(0.002 с)…
Главная >> Пример №3. Симплекс метод. Нахождение наибольшего значения функции (искусственный базис)
Симплекс метод
| — | x 1 | + | x 2 | ≥ | 1 | |
| x 1 | + | 3 | x 2 | ≤ | 15 | |
| — | 2 | x 1 | + | x 2 | ≤ | 4 |
| Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения (при условии, что в правой части уравнения стоит положительное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис. Идея симплекс метода заключается в том, чтобы переходить от одного базиса к другому, получая значение функции, как минимум, не меньше имеющегося (каждому базису соответствует единственное значение функции). Как осуществляется переход от одного базиса к другому? |
| x 1 = 0 x 2 = 0 S 1 = 0 S 2 = 15 S 3 = 4 R 1 = 1 |
=> W = 1 |
| x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | R 1 | св. член | Θ |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1: 1 = 1 |
| 1 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 15 | 15: 3 = 5 |
| -2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 4 | 4: 1 = 4 |
| 1 | -1 | 1 | 0 | 0 | 0 | W — 1 | |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 4 | 0 | 3 | 1 | 0 | -3 | 12 | |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | -1 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | W — 0 |
| x 1 | x 2 | S 1 | S 2 | S 3 | св. член | Θ |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
| 4 | 0 | 3 | 1 | 0 | 12 | 12: 4 = 3 |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | F — 1 | |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | F — 1 | |
| 0 | 1 | -1/4 | 1/4 | 0 | 4 | |
| 1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
| 0 | 0 | 7/4 | 1/4 | 1 | 6 | |
| 0 | 0 | -2 | -1 | 0 | F — 13 |
| S 1 = 0 S 2 = 0 x 1 = 3 x 2 = 4 S 3 = 6 |
=> F — 13 = 0 => F = 13 |
Среди коэффициентов выделенной строки нет положительных. Следовательно, найдено наибольшее значение функции F.
Ответ:
x 1 = 3 x 2 = 4
F max = 13
Перейти к решению своей задачи
© 2010-2018, по всем вопросам пишите по адресу [email protected]
Условие задачи
Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a 11 = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a 21 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 31 = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a 12 = 3, a 13 = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a 22 = 2, a 23 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 32 = 6, a 33 = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс.
Симплексный метод решения ЗЛП
руб. товарооборота составляет соответственно c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.
К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом
, составить двойственную задачу
линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных
прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи
, в которой производится оценка ресурсов
, затраченных на продажу товаров.
Решение задачи симплекс методом
Пусть x 1 , x 2 , x 3 — количество реализованных товаров, в тыс. руб., 1, 2, 3 — ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид:
F = 4·x 1 + 5·x 2 + 4·x 3 ->max
Решаем симплекс методом.
Вводим дополнительные переменные x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
В качестве базиса возьмем x 4 = 240; x 5 = 200; x 6 = 160.
Данные заносим в симплекс таблицу
Симплекс таблица № 1
Целевая функция:
0 · 240 + 0 · 200 + 0 · 160 = 0
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 2 + 0 · 4 + 0 · 4 - 4 = - 4
Δ 2 = 0 · 3 + 0 · 2 + 0 · 6 - 5 = - 5
Δ 3 = 0 · 6 + 0 · 4 + 0 · 8 - 4 = - 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 1 - 0 = 0
Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален. Наименьшая оценка:
Вводим переменную x 2 в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 2 .
= 26.667
Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 26.667. Выводим переменную x 6 из базиса
3-ю строку делим на 6.
Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2
Вычисляем:
Получаем новую таблицу:
Симплекс таблица № 2
Целевая функция:
0 · 160 + 0 · 440/3 + 5 · 80/3 = 400/3
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 8/3 + 5 · 2/3 - 4 = - 2/3
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · 0 + 5 · 1 - 5 = 0
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · 4/3 + 5 · 4/3 - 4 = 8/3
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1)/3 + 5 · 1/6 - 0 = 5/6
Поскольку есть отрицательная оценка Δ 1 = - 2/3, то план не оптимален.
Вводим переменную x 1 в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 1 .
Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 40. Выводим переменную x 2 из базиса
3-ю строку делим на 2/3.
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 8/3
Вычисляем:
Получаем новую таблицу:
Симплекс таблица № 3
Целевая функция:
0 · 160 + 0 · 40 + 4 · 40 = 160
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 0 + 4 · 1 - 4 = 0
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · (-4) + 4 · 3/2 - 5 = 1
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · (-4) + 4 · 2 - 4 = 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1) + 4 · 1/4 - 0 = 1
Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.
Решение задачи:
Ответ
x 1 = 40; x 2 = 0; x 3 = 0; x 4 = 160; x 5 = 40; x 6 = 0; F max = 160
То есть необходимо реализовать товар первого вида в объеме 40 тыс.
руб. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. При этом максимальная прибыль составит F max = 160 тыс. руб.
Решение двойственной задачи
Двойственная задача имеет вид:
Z = 240·y 1 + 200·y 2 + 160·y 3 ->min
Вводим дополнительные переменные y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0, y 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач имеют вид:
Из последней симплекс таблицы № 3 прямой задачи, находим решение двойственной задачи:
Z min = F max = 160;
y 1 = Δ 4 = 0; y 2 = Δ 5 = 0; y 3 = Δ 6 = 1; y 4 = Δ 1 = 0; y 5 = Δ 2 = 1; y 6 = Δ 3 = 4;
Ответ
y 1 = 0; y 2 = 0; y 3 = 1; Z min = 160;
Симплексный метод – это вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решений при переходе от одной базисной точки (базисного решения) к другой. При этом значение целевой функции улучшается.
Базисным решением является одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области допустимых значений. Проверяя на оптимальность вершину за вершиной симплекса, приходят к искомому оптимуму. На этом принципе основан симплекс-метод.
Симплекс – это выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости (гиперплоскость делит пространство на два полупространства).
Например, линия бюджетных ограничений делит блага на доступные и недоступные.
Доказано, что если оптимальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число итераций (шагов), кроме случаев «зацикливания».
Алгоритм симплексного метода состоит из ряда этапов.
Первый этап. Строится исходная оптимизационная модель. Далее исходная матрица условий преобразуется в приведенную каноническую форму, которая среди всех других канонических форм выделяется тем, что:
а) правые части условий (свободные члены bi) являются величинами неотрицательными;
б) сами условия являются равенствами;
в) матрица условий содержит полную единичную подматрицу.
Если свободные члены отрицательные, то обе части неравенства умножаются на — 1, а знак неравенства меняется на противоположный. Для преобразования неравенств в равенства вводятся дополнительные переменные, которые, обычно, обозначают объем недоиспользованных ресурсов. В этом их экономический смысл.
Наконец, если после добавления дополнительных переменных, матрица условий не содержит полную единичную подматрицу, то вводятся искусственные переменные, которые не имеют никакого экономического смысла. Они вводятся исключительно для того, чтобы получить единичную подматрицу и начать процесс решения задачи при помощи симплексного метода.
В оптимальном решении задачи все искусственные переменные (ИП) должны быть равными нулю. Для этого вводят искусственные переменные в целевую функцию задачи с большими отрицательными коэффициентами (-М) при решении задачи на max, и с большими положительными коэффициентами (+М), когда задача решается на min. В этом случае даже незначительное ненулевое значение искусственной переменной будет резко уменьшать (увеличивать) значение целевой функции. Обычно М в 1000 раз должно быть больше, чем значения коэффициентов при основных переменных.
Второй этап. Строится исходная симплекс-таблица и отыскивается некоторое начальное базисное решение. Множество переменных, образующих единичную подматрицу, принимается за начальное базисное решение. Значения этих переменных равны свободным членам. Все остальные внебазисные переменные равны нулю.
Третий этап. Проверка базисного решения на оптимальность осуществляется при помощи специальных оценок коэффициентов целевой функции. Если все оценки коэффициентов целевой функции отрицательны или равны нулю, то имеющееся базисное решение – оптимальное. Если хотя бы одна оценка коэффициента целевой функции больше нуля, то имеющееся базисное решение не является оптимальным и должно быть улучшено.
Четвертый этап. Переход к новому базисному решению. Очевидно, что в оптимальный план должна быть введена такая переменная, которая в наибольшей степени увеличивает целевую функцию. При решении задач на максимум прибыли в оптимальный план вводится продукция, производство которой наиболее выгодно. Это определяется по максимальному положительному значению оценки коэффициента целевой функции.
Столбец симплексной таблицы с этим номером на данной итерации называется генеральным столбцом.
Для отыскания генеральной строки все свободные члены (ресурсы) делятся на соответствующие элементы генерального столбца (норма расхода ресурса на единицу изделия). Из полученных результатов выбирается наименьший. Соответствующая ему строка на данной итерации называется генеральной. Она соответствует ресурсу, который лимитирует производство на данной итерации.
Элемент симплексной таблицы, находящийся на пересечении генеральных столбца и строки, называется генеральным элементом.
Затем все элементы генеральной строки (включая свободный член), делятся на генеральный элемент. В результате этой операции генеральный элемент становится равным единице. Далее необходимо, чтобы все другие элементы генерального столбца стали бы равны нулю, т.е. генеральный столбец должен стать единичным. Все строки (кроме генеральной) преобразуются следующим образом. Полученные элементы новой строки умножаются на соответствующий элемент генерального столбца и полученное произведение вычитается из элементов старой строки.
Значения новых базисных переменных получим в соответствующих ячейках столбца свободных членов.
Пятый этап. Полученное базисное решение проверяется на оптимальность (см. третий этап). Если оно оптимально, то вычисления прекращаются. В противном случае необходимо найти новое базисное решение (четвертый этап) и т.
Симплекс метод
Пример решения оптимизационных задач линейного программирования симплексным методом
Пусть необходимо найти оптимальный план производства двух видов продукции (х1 и х2).
Исходные данные:
Построим оптимизационную модель
– ограничение по ресурсу А;
– ограничение по ресурсу В.
Приведем задачу к приведенной канонической форме. Для этого достаточно ввести дополнительные переменные Х3 и Х4. В результате неравенства преобразуются в строгие равенства.
Построим исходную симплексную таблицу и найдем начальное базисное решение. Им будут дополнительные переменные, т. к. им соответствует единичная подматрица.
1-я итерация. Находим генеральный столбец и генеральную строку:
Генеральный элемент равняется 5.
2-я итерация. Найденное базисное решение не является оптимальным, т.к. cтрока оценок (Fj-Cj) содержит один положительный элемент. Находим генеральный столбец и генеральную строку:
max (0,0.3,-1.4,0) = 0.2
Найденное решение оптимально, так как все специальные оценки целевой функции Fj – Cj равны нулю или отрицательны. F(x)=29 x1=2; x2=5.
Двойственный симплексный метод основан на теории двойственности (см. решение двойственной задачи) и используется для решения задач линейного программирования, свободные члены которых b i могут принимать любые значения, а система ограничений задана неравенствами смысла «≤», «≥» или равенством «=».Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для решения задач линейного программирования P-методом в следующих формах записи: базовой форме записи симплекс-метода, в виде симплексной таблицы, модифицированным симплекс-методом.
Инструкция для решения задач двойственным симплекс-методом . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения двойственным симплекс-методом).
При этом ограничения типа x i ≥ 0 не учитывайте.Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Графический метод решения ЗЛП
Решение транспортной задачи
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных
Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.
| Объем товара Х (в партиях) | Доход G(X) | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 28 | 30 | 32 |
| 2 | 41 | 42 | 45 |
| 3 | 50 | 55 | 48 |
| 4 | 62 | 64 | 60 |
| 5 | 76 | 76 | 72 |
В P-методе оптимальный план получается в результате движения по псевдопланам. Псевдоплан - план, в котором условия оптимальности удовлетворяются, а среди значений базисных переменных x i имеются отрицательные числа. Алгоритм двойственного симплекс-метода включает следующие этапы:
- Составление псевдоплана . Систему ограничений исходной задачи приводят к системе неравенств смысла «≤».
- Проверка плана на оптимальность . Если в полученном опорном плане не выполняется условие оптимальности, то задача решается симплексным методом .
- Выбор ведущих строки и столбца . Среди отрицательных значений базисных переменных выбираются наибольшие по абсолютной величине. Строка, соответствующая этому значению, является ведущей.
- Расчет нового опорного плана . Новый план получается в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса . Далее переход к этапу 2.
Пример
. Предприятию необходимо выпустить по плану продукции А1 единиц, А2 единиц, А3 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах.
Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальны? Дана матрица затрат и ресурс времени каждой машины. Записать модель исследуемой операции в форме, допускающей использование P–метода.
Известно, что содержание n питательных веществ A, B и С в рационе должно быть не менее m1, m2, m3 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида продуктов. Содержание единиц питательных веществ в одном килограмме каждого из видов продукта приведено в таблице. определите дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах.
Задание
: Решить задачу, используя алгоритм двойственного симплекс-метода.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 4x 1 + 2x 2 + x 3 при следующих условиях-ограничений.
- x 1 - x 2 ≤-10
2x 1 + x 2 - x 3 ≤8
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 . Во втором неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 5 .
-1x 1 -1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = -10
2x 1 + 1x 2 -1x 3 + 0x 4 + 1x 5 = 8
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
| A = |
|
x 4 , x 5 ,
Полагая, что свободные переменные равны нулю, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-10,8)
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
| F(X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
Итерация №1
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
Ведущей будет первая строка, а переменную x 4 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x 2 необходимо ввести в базис.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
| F(X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
| θ | 0 | -4: (-1) = 4 | -2: (-1) = 2 | - | - | - |
4. Пересчет симплекс-таблицы. Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса .
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| F(X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
| B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| -10: -1 | -1: -1 | -1: -1 | 0: -1 | 1: -1 | 0: -1 |
| 8-(-10 1):-1 | 2-(-1 1):-1 | 1-(-1 1):-1 | -1-(0 1):-1 | 0-(1 1):-1 | 1-(0 1):-1 |
| 0-(-10 -2):-1 | -4-(-1 -2):-1 | -2-(-1 -2):-1 | -1-(0 -2):-1 | 0-(1 -2):-1 | 0-(0 -2):-1 |
Итерация №2
1. Проверка критерия оптимальности.
План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет вторая строка, а переменную x 5 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует третьему столбцу, т.е. переменную x 3 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1).
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| F(X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
| θ | 0 | - | - | -1: (-1) = 1 | - | - |
4. Пересчет симплекс-таблицы. Выполняем преобразования.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
| F(X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
| B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| 10-(-2 0):-1 | 1-(1 0):-1 | 1-(0 0):-1 | 0-(-1 0):-1 | -1-(1 0):-1 | 0-(1 0):-1 |
| -2: -1 | 1: -1 | 0: -1 | -1: -1 | 1: -1 | 1: -1 |
| 20-(-2 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(0 -1):-1 | -1-(-1 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(1 -1):-1 |
В базисном столбце все элементы положительные. Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №3
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
| F(X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
Оптимальный план можно записать так: x 1 = 0, x 2 = 10, x 3 = 2
F(X) = 2 10 + 1 2 = 22
Антивирус Bitdefender: эффективный защитник Без вопросов
Значение слова неудачный
Обзор Samsung Galaxy A7 (2017): не боится воды и экономии Стоит ли покупать samsung a7
Делаем бэкап прошивки на андроиде
Как настроить файл подкачки?